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Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Álgebra Lineal - p. 1/40

Álgebra LinealMa1010

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra MatricialDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionTranspuestaEjemplo 1PropiedadesMatriz InvertibleSingularidadMotivacionAlgoritmo deInversionEjemplo 2ComentarioPropiedadesEcuacionesMatricialesEjemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Complejidad


Introducción

En esta lectura veremos la matriz transpuesta y lamatriz inversa a una matriz dada (En caso de quela matriz inversa a ella exista). Revisaremos laspropiedades que tienen el tomar la inversa o latranspuesta de una matriz así como un métodoeficiente de inversión. Terminaremos con laaplicación de estos conceptos a la solución decierto tipo de ecuaciones matriciales.



Transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz A n×m esuna matriz con dimensiones m× n cuyo elemento(i, j) es precisamente el elemento (j, i) de lamatriz A.



Transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz A n×m esuna matriz con dimensiones m× n cuyo elemento(i, j) es precisamente el elemento (j, i) de lamatriz A. A esta matriz se le simboliza A

T .



Transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz A n×m esuna matriz con dimensiones m× n cuyo elemento(i, j) es precisamente el elemento (j, i) de lamatriz A. A esta matriz se le simboliza A

T . Unaforma fácil de construir AT es tomar los renglonesde A y convertirlos en columnas.



Ejemplo

Determine AT si

A =

[

1 2 3

4 5 6

]

.



Ejemplo

Determine AT si

A =

[

1 2 3

4 5 6

]

.

Soluci onSiguiendo la indicación de tomar los renglones deA como columnas para AT tenemos:

AT =

1 4

2 5

3 6

�



Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matrizA es otra vez A:

(

AT)T

= A.





(

AT)T

= A.

2. La transpuesta de una suma es la suma de lastranspuestas: (A+B)T = A

T +BT .





(

AT)T

= A.


T +BT .

3. (cA)T = cAT .





(

AT)T

= A.


T +BT .

3. (cA)T = cAT .

4. (AB)T = BTA

T .





(

AT)T

= A.


T +BT .

3. (cA)T = cAT .

4. (AB)T = BTA

T .La transpuesta de un producto es el productode las transpuestas pero en orden contrario



Matrices invertibles

Se dice que una matriz A cuadrada n× n es unamatriz invertible, o que es una matriz no singular,si existe una matriz B n× n, que llamaremos lamatriz inversa de A, que cumple:

AB = I y BA = I



Una matriz invertible sólo tiene una inversa, esdecir, la inversa es unica . La única inversa de unamatriz invertible A se representa por A−1. Así

AA−1 = I = A

−1A



Como se puede ver 0C = 0, para cualquier matrizC de dimensiones adecuadas, esto significa queexisten matrices cuadradas que no pueden serinvertibles (La matrix cuadrada 0 es una de ellas)este tipo de matrices se llama matriz singular omatriz no invertible.



Motivación del algoritmo de inversión

Ejemplo

Determine la inversa de

A =

1 −2

3 −5

Suponga que buscamos una matriz B, 2× 2 tal que AB = I2×2:

1 −2

3 −5

b11 b12

b21 b22

=

1 0

0 1



Motivación del algoritmo de inversión

Ejemplo

Determine la inversa de

A =

1 −2

3 −5

Suponga que buscamos una matriz B, 2× 2 tal que AB = I2×2:

1 −2

3 −5

b11 b12

b21 b22

=

1 0

0 1

Así se debe cumplir:■ Para elemento (1,1) del producto: 1 · b11 − 2 · b21 = 1

■ Para elemento (2,1) del producto: 3 · b11 − 5 · b21 = 0





Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otrob21 y b22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan:

1 −2 1

3 −5 0

→

1 0 −5

0 1 −3

y

1 −2 0

3 −5 1

→

1 0 2

0 1 1



Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otrob21 y b22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan:

1 −2 1

3 −5 0

→

1 0 −5

0 1 −3

y

1 −2 0

3 −5 1

→

1 0 2

0 1 1

Y así b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversacomo

A−1 = B =

−5 2

−3 1

�



Observemos que■ Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de

coeficientes: exactamente A.

■ Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas debenreducirse con las mismas operaciones de renglón.

■ En cada sistema, la columna de las constantes es una columnade I.

■ Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices decoeficientes y las operaciones de renglón para la reducción sonlas mismas, entonces el proceso se puede llevar a caboformando la matriz aumentada [A|I] y reduciendo.

■ Después del proceso de reducción, la inversa quedaexactamente acamodada en la posición donde entró I.



Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar A−1, si existe, haga los siguiente:1. Construya la matriz aumentada [A|I].

Aquí I representa la matriz identidad n× n.





Aquí I representa la matriz identidad n× n.2. Reduzca la matriz [A|I]. Digamos que se

obtenga [B|C].






obtenga [B|C].3. Si la matriz B es la matriz identidad, entonces

A sí es invertible y A−1 = C.






obtenga [B|C].3. Si la matriz B es la matriz identidad, entonces

A sí es invertible y A−1 = C.

4. Si la matriz B no es la identidad, entonces A noes invertible.



Ejemplo

Invierta las matrices:

A1 =

[

1 3

−2 −7

]

y A2 =

[

1 2

2 4

]


Soluci onPara A1:

[A1|I] =

1 3 1 0

−2 −7 0 1

R2←R2+2R1−−−−−−−−−→

1 3 1 0

0 −1 2 1

R2←−1R2−−−−−−−→

1 3 1 0

0 1 −2 −1

R1←R1−3R1−−−−−−−−−→

1 0 7 3

0 1 −2 −1


Soluci onPara A1:

[A1|I] =

1 3 1 0

−2 −7 0 1

R2←R2+2R1−−−−−−−−−→

1 3 1 0

0 −1 2 1

R2←−1R2−−−−−−−→

1 3 1 0

0 1 −2 −1

R1←R1−3R1−−−−−−−−−→

1 0 7 3

0 1 −2 −1

Como en el resultado final B es la matriz identidad, A1 es una matriz invertible y

A1−1 =

7 3

−2 −1

.


Para A2:

[A2|I] =

1 2 1 0

2 4 0 1

R2←R2−2R1−−−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 −2 1

R2←−1

2R2

−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 1 −1/2

R1←R1−R2−−−−−−−−→

1 2 0 1/2

0 0 1 −1/2

.


Para A2:

[A2|I] =

1 2 1 0

2 4 0 1

R2←R2−2R1−−−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 −2 1

R2←−1

2R2

−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 1 −1/2

R1←R1−R2−−−−−−−−→

1 2 0 1/2

0 0 1 −1/2

.

Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A2 no es una matriz

invertible.


Para A2:

[A2|I] =

1 2 1 0

2 4 0 1

R2←R2−2R1−−−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 −2 1

R2←−1

2R2

−−−−−−−→

1 2 1 0

0 0 1 −1/2

R1←R1−R2−−−−−−−−→

1 2 0 1/2

0 0 1 −1/2

.

Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A2 no es una matriz

invertible. Observe con cuidado que en cálculo para A2 que no hace falta concluir

por completo hasta la forma reducida: en el momento que aparezca un rengl on en ceros

en la parte correspondiente a B la matriz ya no ser a invertible �



Comentario

Recuerde que para una matriz A n× n la matriz inversa de ella sedefinió como una matriz B n× n que cumple

AB = In = BA

y en nuestra deducción del algoritmo sólo buscamos que se cumplaAB = I. En los resultados teóricos de álgebra de matrices se tieneque■ Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal

que AC = I, entonces A es invertible. Es decir, que es suficientetener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados.

■ Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matrizcuadrada que cumple AB = I, entonces A

−1 = B. Es decir, quela inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertiblecoincide con la inversa de la matriz.

Estos resultados teóricos justifican que sólo busquemos la inversaderecha de una matriz para decir si la matriz es invertible y que lamatriz encontrada es precisamente su inversa.



Propiedades de la inversa

1 Si la matriz A, n× n, puede invertirse, entoncesel sistema Ax = b tiene solución única paracada vector b. Esta solución puede calcularsecomo

x = A−1

b





x = A−1

b

2 Sean A y B dos matrices cuadradas n× ninvertibles cualquiera entonces AB es invertibley

(AB)−1 = B−1

A−1.





x = A−1

b

2 Sean A y B dos matrices cuadradas n× ninvertibles cualquiera entonces AB es invertibley

(AB)−1 = B−1

A−1.

3 La inversa de una matriz invertible también esuna matriz invertible y

(

A−1)

−1

= A.



4 Si c es una constante cualquiera, pero diferentede cero, entonces la matriz cA también esinvertible y

(cA)−1 =1

cA

−1.




(cA)−1 =1

cA

−1.

5 Si k es un número entero postivo, entonces Ak

también es una matriz invertible y(

Ak)

−1

=(

A−1)k.




(cA)−1 =1

cA

−1.

5 Si k es un número entero postivo, entonces Ak

también es una matriz invertible y(

Ak)

−1

=(

A−1)k.

6 La matriz AT también es invertible y

(

AT)

−1

=(

A−1)T

.



Ecuaciones con matrices

Ahora pondremos en práctica nuestra álgebra conmatrices para resolver ecuaciones donde seinvolucran incógnitas que representan matrices.



Ejemplo

Resuelva para X

cX+A = B



Ejemplo

Resuelva para X

cX+A = B

Soluci onLos pasos que se siguen son muy similares alálgebra básica



Ejemplo

Resuelva para X

cX+A = B

Soluci onLos pasos que se siguen son muy similares alálgebra básica sumamos en ambos miembros lamatriz −A:

(cX+A)−A = B−A



Ejemplo

Resuelva para X

cX+A = B

Soluci onLos pasos que se siguen son muy similares alálgebra básica sumamos en ambos miembros lamatriz −A:

(cX+A)−A = B−A

Como la suma / resta de matrices es asociativa sepueden agrupar los sumando para dejar juntos A

y −A:

cX = cX+ 0 = cX+ (A−A) = B−A�



Siendo estos cálculos para suma y resta dematrices tan similares a los del álgebra básicausaremos la misma regla:




Si en una igualdad entre expresiones conmatrices aparece sumando o restando unamatriz en un miembro la podemos pasar alotro miembro restando o sumando:




Si en una igualdad entre expresiones conmatrices aparece sumando o restando unamatriz en un miembro la podemos pasar alotro miembro restando o sumando:

Z+C = D→ Z = D−C



procedemos a multiplicar por el escalar 1/c:

X = 1X =

(

1

cc

)

X =1

c(cX) =

1

c(B−A)




X = 1X =

(

1

cc

)

X =1

c(cX) =

1

c(B−A)

Siendo estos cálculos para la multiplicación odivisión con escalares tan similares a los del álgebrabásica usaremos la misma regla:




X = 1X =

(

1

cc

)

X =1

c(cX) =

1

c(B−A)


Si en una igualdad entre expresiones conmatrices aparece multiplicando (resp.dividiendo) un escalar lo podemos pasar alotro miembro dividiendo (resp.multiplicando).




X = 1X =

(

1

cc

)

X =1

c(cX) =

1

c(B−A)


Si en una igualdad entre expresiones conmatrices aparece multiplicando (resp.dividiendo) un escalar lo podemos pasar alotro miembro dividiendo (resp.multiplicando).

cZ = D→ Z =1

cD



Por tanto, el valor de la incógnita X es

X =1

c(B−A) �



Ejemplo

Asumiendo que la matriz A sea invertible, despejela matriz X de la ecuación:

AX = B



Ejemplo


AX = B

Soluci onEste tipo de problemas presenta a los alumnoscierta dificultad en los primeros despejes deecuaciones matriciales.



Ejemplo


AX = B

Soluci onEste tipo de problemas presenta a los alumnoscierta dificultad en los primeros despejes deecuaciones matriciales. Se debe tener bien enclaro que la matriz A a eliminar está a la izquierdade la incógnita está multiplicando a la izquierda yque por consiguiente debe de multiplicarse por laizquierda por la matriz inversa de A:



Ejemplo


AX = B

Soluci onEste tipo de problemas presenta a los alumnoscierta dificultad en los primeros despejes deecuaciones matriciales. Se debe tener bien enclaro que la matriz A a eliminar está a la izquierdade la incógnita está multiplicando a la izquierda yque por consiguiente debe de multiplicarse por laizquierda por la matriz inversa de A:

X = IX =(

A−1

A)

X = A−1 (AX) = A

−1B



Es equivocado hacer cancelar A pretendiendomultiplicar por la derecha:

X = AXA−1 = BA

−1




X = AXA−1 = BA

−1

Y representa un error aun m as grave dividir entre A

pretendiendo cancelar A:

X =AX

A=

B

A




X = AXA−1 = BA

−1

Y representa un error aun m as grave dividir entre A

pretendiendo cancelar A:

X =AX

A=

B

A

La regla válida para cancelar matrices cuandoéstas poseen inversas que multiplican es lasiguiente:

AX = B→ X = A−1

B

XA = B→ X = BA−1



Ejemplo

Suponiendo que A y B son matrices invertibles,despeje X de:

ABX = C



Ejemplo


ABX = C

Soluci onOtro problema que los alumnos enfrentan en losprimeros despejes aparece en este tipo deproblemas.



Ejemplo


ABX = C

Soluci onOtro problema que los alumnos enfrentan en losprimeros despejes aparece en este tipo deproblemas. Hay dos formas correctas de pensar elproblema. En la primera la ecuación original sedebe pensar agrupada de la siguiente manera:

(AB)X = C



Ejemplo


ABX = C

Soluci onOtro problema que los alumnos enfrentan en losprimeros despejes aparece en este tipo deproblemas. Hay dos formas correctas de pensar elproblema. En la primera la ecuación original sedebe pensar agrupada de la siguiente manera:

(AB)X = C

En cuyo caso el despeje de X es directo por lasreglas vistas:

X = (AB)−1C



Otra manera correcta de plantear el problema es:

A (BX) = C




A (BX) = C

De donde el despeje en dos pasos es haciendoprimero:

BX = A−1

C

Para después obtener:

X = B−1

A−1

C




A (BX) = C

De donde el despeje en dos pasos es haciendoprimero:

BX = A−1

C

Para después obtener:

X = B−1

A−1

C

Note que ambos resultados sin idénticos en vistade la igualdad:

(AB)−1 = B−1

A−1

�



Ejemplo

Despeje x de la ecuación:

XT = A



Ejemplo


XT = A

Soluci onEn este caso se debe tener presente la propiedad(

XT)T

= X.



Ejemplo


XT = A

Soluci onEn este caso se debe tener presente la propiedad(

XT)T

= X. Por consiguiente, tomando latranspuesta en cada miembro:

X =(

XT)T

= AT�



Ejemplo


X−1 = A



Ejemplo


X−1 = A

Soluci onEn este caso se debe tener presente la propiedad(X−1)

−1= X.



Ejemplo


X−1 = A

Soluci onEn este caso se debe tener presente la propiedad(X−1)

−1= X. Por consiguiente, tomando matriz

inversa en cada miembro:

X =(

X−1)

−1

= A−1



Ejemplo

Suponiendo que A es invertible y c 6= 0 , despejeX de:

A (cX+B) +C = D



Ejemplo

Suponiendo que A es invertible y c 6= 0 , despejeX de:

A (cX+B) +C = D

Soluci onProcediendo como anteriormente:

A (cX+B) = D−C

cX+B = A−1 (D−C)

cX = A−1 (D−C)−B

X = 1

c(A−1 (D−C)−B) �



Ejemplo

Suponiendo matrices invertibles donde se requieradespeje X de:

A(

(BX)−1 +C)T

+D = E



Ejemplo


A(

(BX)−1 +C)T

+D = E

Soluci onEste tipo de despejes requiere ser riguroso en elorden:



Ejemplo


A(

(BX)−1 +C)T

+D = E

Soluci onEste tipo de despejes requiere ser riguroso en elorden: Pasando al segundo miembro D:

A(

(BX)−1 +C)T

= E−D



Ejemplo


A(

(BX)−1 +C)T

+D = E

Soluci onEste tipo de despejes requiere ser riguroso en elorden: Pasando al segundo miembro D:

A(

(BX)−1 +C)T

= E−D

Multiplicando por A−1 por la derecha:(

(BX)−1 +C)T

= A−1 (E−D)



Tomando la transpuesta en ambos miembros:

(BX)−1 +C =(

A−1 (E−D)

)T




(BX)−1 +C =(

A−1 (E−D)

)T

Pasando al segundo miembro C:

(BX)−1 =(

A−1 (E−D)

)T−C




(BX)−1 +C =(

A−1 (E−D)

)T

Pasando al segundo miembro C:

(BX)−1 =(

A−1 (E−D)

)T−C

Tomando inversa en ambos miembros:

BX =(

(

A−1 (E−D)

)T−C

)

−1



Finalmente, eliminando la matriz B:

X = B−1

(

(

A−1 (E−D)

)T−C

)

−1

�



Complejidad computacional de la inversión

Es importante notar que el proceso de Gaussavanza dejando la matriz escalonada hasta lacolumna de trabajo:

a1,1 a1,2 · · · a1,m−1 a1,m · · · b1,1 . . . b1,n

0 a2,2 · · · a2,m−1 a2,m · · ·

.

.

.

.

.

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.

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.

.

....

.

.

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.

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0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m

.

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.

0 0 · · · 0 am,m · · · bm,1 . . . bm,n

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....

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0 0 · · · 0 an,m · · ·

.

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1 Ciclo del paso 1 al 4En el paso 3 hay que hacer cero debajo delelemento (m,m), para cada uno de los m− nrenglones inferiores Ri; para ello habrá que■ calcular el factor f = ai,m/am,m

■ realizar la operación:

Ri ← Ri − f Rm.

2(2n−m) + 1 = 4n− 2m+ 1.entonces para realizar un ciclo desde el paso 1hasta el paso 4 deben hacerse(n−m) (4n− 2m+ 1) FLOPS.

n−1∑

m=1

(n−m) (4n− 2m+ 1) =5

3n3 −

3

2n2 −

1

6n.



2 Ciclo del paso 5.Las operaciones implicadas en el paso 5 serán■ Rm ←

1

am,mRm : n divisiones

■ Rj ← Rj − aj,mRm: n multiplcaciones y nrestas

(m− 1) · (2n) + n




1



(m− 1) · (2n) + n

Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5será:

1∑

m=n

(2n (m− 1) + n) = n3 − 2n2 + n




1



(m− 1) · (2n) + n

Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5será:

1∑

m=n

(2n (m− 1) + n) = n3 − 2n2 + n

8

3n3 −

7

2n2 +

5

6n



Ejemplo

Sea A una matriz cuadrada . Será cierto que:

Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, entonces A

es invertible.

Soluci on

Que el sistema Ax = 0 tenga infinitas soluciones indica que

cuando se reduce [A|0] queda una columna a la izquierda sin

pivote. Por tanto, cuando se reduzca [A|I] quedará una columna a

la izquierda sin pivote. Por tanto, en la reducida no se podrá obtener

[I|B]. Por tanto, la matriz A no tendrá inversa; será singular. Por

tanto, es falso que sea invertible. La afirmación es falsa.



Ejemplo


Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene solución,entonces A es invertible.

Soluci on

Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene solución eso

significará que cuando se reduce [A|b] queda pivote en la columna

de las constantes. Por tanto, en la reducida de A quedará un

renglón de ceros. Por tanto, cuando se reduzca [A|I] a la izquierda

quedará un renglón de ceros. Por tanto, en la reducida no podremos

obtener [I|B]. Así A no tiene inversa. Es falso que A es invertible.



Ejemplo


Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tieneinfinitas soluciones.

Soluci on

Si suponemos que la matriz A no es invertible, entonces cuando se

reduce [A|I] no queda la identidad en el lado izquierdo. Por

consiguiente, debe quedar un renglón sin pivote a la izquierda. Por

tanto, cuando se reduce [A|0] debe quedar a la izquierda un

renglón de ceros. Por tanto y debido a que la matriz es cuadrada

debe queda una columna sin pivote a la izquierda en tal reducida.

Como a la derecha no quedan pivotes pues a la derecha entró el

vector de ceros, concluimos que tal sistema es consistente y que en

su reducida queda una columna sin pivote. Por tanto, [A|0] tendrá

infinitas soluciones. La afirmación es cierta.



Ejemplo


Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0 tienesolución única.

Soluci on

Si A ·A no es invertible, tampoco lo es A (pues en caso contrario

A ·A sería invertible, que no es el caso). Por tanto, en el lado

izquierdo de la reducida de [A|I] no puede quedar la matriz

identidad. Por tanto, a la izquierda de la reducida de [A|0] no queda

la identidad. Por tanto, debe quedar un renglón sin pivote y por

consiguiente (siendo cuadrada A) debe quedar una columna sin

pivote. Por tanto [A|0] debe tener infinitas soluciones. Así, es falso

que [A|0] tiene solución única.

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