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Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 1/80

Álgebra LinealMa1010

Espacios VectorialesDepartamento de Matemáticas

ITESM

ObjetivosMotivacionAbstraccion yGeneralizacionGeneralizacionOperacionEspacio VectorialAxiomas de laSumaAxiomas delProductoResultadosEjemplos de EVR

n

Mm×n

P

Pn

F (R)SubespaciodefinicionResultado Clave


Objetivos

En esta lectura se introduce el concepto deespacio vectorial. Este concepto generaliza losvectores n y las matrices m× n. El concepto esabstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural;se le pide al estudiante un esfuerzo extra parapensar las cosas desde un punto de vista general.


n

Mm×n

P

Pn



Motivación

Ejemplo

Considere el sistema homogéneo:

x+ 2 y + w + 2 t = 0

2 x+ 4 y − z + w + 5 t = 0

x+ 2 y + z + 2w + t = 0

z + w − t = 0


n

Mm×n

P

Pn



Motivación

Ejemplo


x+ 2 y + w + 2 t = 0

2 x+ 4 y − z + w + 5 t = 0

x+ 2 y + z + 2w + t = 0

z + w − t = 0

Si utilizamos el orden x→ y → z → w → t lamatriz aumentada reducida queda:


n

Mm×n

P

Pn



Motivación

Ejemplo


x+ 2 y + w + 2 t = 0

2 x+ 4 y − z + w + 5 t = 0

x+ 2 y + z + 2w + t = 0

z + w − t = 0

Si utilizamos el orden x→ y → z → w → t lamatriz aumentada reducida queda:

1 2 0 1 2 0

2 4 −1 1 5 0

1 2 1 2 1 0

0 0 1 1 −1 0

→

1 2 0 1 2 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0


n

Mm×n

P

Pn



De donde la fórmula para las soluciones son:

x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ w

−1

0

−1

1

0

+ t

−2

0

1

0

1


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ w

−1

0

−1

1

0

+ t

−2

0

1

0

1

Si utilizamos el orden x→ y → w → z → t lamatriz aumentada reducida queda:


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ w

−1

0

−1

1

0

+ t

−2

0

1

0

1

Si utilizamos el orden x→ y → w → z → t lamatriz aumentada reducida queda:

1 2 1 0 2 0

2 4 1 −1 5 0

1 2 2 1 1 0

0 0 1 1 −1 0

→

1 2 0 −1 3 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

1

0

1

−1

0

+ t

−3

0

0

1

1


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

1

0

1

−1

0

+ t

−3

0

0

1

1

Si utilizamos el orden x→ y → t→ z → w lamatriz aumentada reducida queda:


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

1

0

1

−1

0

+ t

−3

0

0

1

1

Si utilizamos el orden x→ y → t→ z → w lamatriz aumentada reducida queda:

1 2 2 0 1 0

2 4 5 −1 1 0

1 2 1 1 2 0

0 0 −1 1 1 0

→

1 2 0 2 3 0

0 0 1 −1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

−2

0

1

0

−1

+ w

−3

0

0

1

1


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

−2

0

1

0

−1

+ w

−3

0

0

1

1

Si utilizamos el orden y → x→ z → w → t lamatriz aumentada reducida queda:


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= y

−2

1

0

0

0

+ z

−2

0

1

0

−1

+ w

−3

0

0

1

1

Si utilizamos el orden y → x→ z → w → t lamatriz aumentada reducida queda:

2 1 0 1 2 0

4 2 −1 1 5 0

2 1 1 2 1 0

0 0 1 1 −1 0

→

11

20

1

21 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= x

1

−1/2

0

0

0

+w

0

−1/2

−1

1

0

+t

0

−1

1

0

1


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= x

1

−1/2

0

0

0

+w

0

−1/2

−1

1

0

+t

0

−1

1

0

1

Todas las soluciones previas aparentant serdiferentes, sin embargo, todas representan elmismo conjunto solución.


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= x

1

−1/2

0

0

0

+w

0

−1/2

−1

1

0

+t

0

−1

1

0

1

Todas las soluciones previas aparentant serdiferentes, sin embargo, todas representan elmismo conjunto solución. Necesitamos una teoríaque nos dé confianza en los resultados obtenidos;


n

Mm×n

P

Pn




x

y

z

w

t

= x

1

−1/2

0

0

0

+w

0

−1/2

−1

1

0

+t

0

−1

1

0

1

Todas las soluciones previas aparentant serdiferentes, sin embargo, todas representan elmismo conjunto solución. Necesitamos una teoríaque nos dé confianza en los resultados obtenidos;qué nos indique las cosas que permanecen y lascosas que pueden cambiar en las múltiplesrespuestas válidas en Rn que podemos obtener.


n

Mm×n

P

Pn



Además de los conjuntos solución en Rn, existenotras áreas de la ingeniería que requieren unapoyo matemático: las matrices tienen suimportancia y uso en ingeniería industrial y encontrol; las series trigonométricas enprocesamiento de señales; los conjuntos depolinomios y las series de potencias para los IFIs,etc..


n

Mm×n

P

Pn



Además de los conjuntos solución en Rn, existenotras áreas de la ingeniería que requieren unapoyo matemático: las matrices tienen suimportancia y uso en ingeniería industrial y encontrol; las series trigonométricas enprocesamiento de señales; los conjuntos depolinomios y las series de potencias para los IFIs,etc..¿Cómo desarrollar una teoría comodín que sepueda aplicar a diferentes contextos sin ningúncambio importante?


n

Mm×n

P

Pn



Abstracción y Generalización

Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves:


n

Mm×n

P

Pn




Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves: abstracción y generalización.


n

Mm×n

P

Pn




Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves: abstracción y generalización. Laabstracción tiene que ver con representarcantidades por medio de símbolos


n

Mm×n

P

Pn




Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves: abstracción y generalización. Laabstracción tiene que ver con representarcantidades por medio de símbolos ,y lageneralización tiene que ver con la construcciónde estructuras o teorías que engloban ciertascosas o hechos conocidos.


n

Mm×n

P

Pn




Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves: abstracción y generalización. Laabstracción tiene que ver con representarcantidades por medio de símbolos ,y lageneralización tiene que ver con la construcciónde estructuras o teorías que engloban ciertascosas o hechos conocidos. La que nos interesamás para abrir este tema es el aspecto de lageneralización.


n

Mm×n

P

Pn




Si se hace una encuesta entre los matemáticossobre que palabras describen a las matemáticasse notará que la mayoría responde al menos dospalabras claves: abstracción y generalización. Laabstracción tiene que ver con representarcantidades por medio de símbolos ,y lageneralización tiene que ver con la construcciónde estructuras o teorías que engloban ciertascosas o hechos conocidos. La que nos interesamás para abrir este tema es el aspecto de lageneralización. La generalización también tieneque ver con la economia del trabajo realizado parainvestigar, y con determinar cuáles son loselementos mínimos responsables de que ciertosresultados ocurran.


n

Mm×n

P

Pn



Generalización

Para entender como ocurre la generalización ennuestra materia recordemos algunos conceptoshemos visto en diferentes cursos de matemáticas:1. vectores en el espacio n dimensional (Rn),2. matrices con entradas reales (Mn×m),3. polinomios reales,4. series de pontencias,5. series trigonométricas, y6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales

homogéneasentre otros elementos.


n

Mm×n

P

Pn



El objetivo que se persigue en el presente temaconsiste en introducir aquella estructura abstractaque engloba las anteriores construcciones,


n

Mm×n

P

Pn



El objetivo que se persigue en el presente temaconsiste en introducir aquella estructura abstractaque engloba las anteriores construcciones, y quéresultados se pueden obtener en lo general sinimportar a cual de las estructuras específicas sehaga referencia.


n

Mm×n

P

Pn



El concepto de operación

Antes que el concepto de espacio vectorial está elconcepto de operaci on . Veamos algunos ejemplosde operaciones para ir entendiendo que lasoperaciones de suma o de multiplicación porescalares podrían ser diferentes de las queconocemos.


n

Mm×n

P

Pn




Antes que el concepto de espacio vectorial está elconcepto de operaci on . Veamos algunos ejemplosde operaciones para ir entendiendo que lasoperaciones de suma o de multiplicación porescalares podrían ser diferentes de las queconocemos.Lo que es importante recordar es el uso de losparéntesis


n

Mm×n

P

Pn




Antes que el concepto de espacio vectorial está elconcepto de operaci on . Veamos algunos ejemplosde operaciones para ir entendiendo que lasoperaciones de suma o de multiplicación porescalares podrían ser diferentes de las queconocemos.Lo que es importante recordar es el uso de losparéntesis : sirven para indicar un orden en lasoperaciones.


n

Mm×n

P

Pn



EjemploSuponga que V = R2 y que se define la operación:

(x, y)⊕ (z, w) = (5x+ z, 2w + 2 y)

Si

a = (−2,−3) ,b = (−1, 3) , c = (−1,−1)

Calcule:1. a⊕ b

2. b⊕ a

3. (a⊕ b)⊕ c

4. a⊕ (b⊕ c)


n

Mm×n

P

Pn



EjemploSuponga que V = R2 y que se define la operación:

(x, y)⊕ (z, w) = (5x+ z, 2w + 2 y)

Si

a = (−2,−3) ,b = (−1, 3) , c = (−1,−1)

Calcule:1. a⊕ b

= (5 · (x = −2) + (z = −1), 2 · (w = 3)+ 2 · (y = −3)) = (−11, 0)

2. b⊕ a

= (5 · (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0)

3. (a⊕ b)⊕ c

= (−11,−0)⊕ (−1,−1) = (5 · (−11) + (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) =

(−56,−2)

4. a⊕ (b⊕ c)

= (−2,−3)⊕ (−6, 4) = (−16, 2)


n

Mm×n

P

Pn



EjemploSuponga que V = R2 y que se definen las operaciones:

(x, y)⊕ (z, w) = (2x, 3w + y)

y

t⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y)

Si

a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4

Calcule:1. (c1 + c2)⊙ a

2. (c1 ⊙ a)⊕ (c2 ⊙ a)

3. (c1 · c2)⊙ a

4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a)


n

Mm×n

P

Pn



EjemploSuponga que V = R2 y que se definen las operaciones:

(x, y)⊕ (z, w) = (2x, 3w + y)

y

t⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y)

Si

a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4

Calcule:1. (c1 + c2)⊙ a = −3⊙ (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0)

2. (c1 ⊙ a)⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0)⊕ (−8, 0) = (4, 0)

3. (c1 · c2)⊙ a = −4⊙ (1, 0) = (−8, 0)

4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a) = 1⊙ (−8, 0) = (−16, 0)


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones.


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones. Una llamada suma de vectores


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones. Una llamada suma de vectoresy otra llamada mulitplicación de un escalar por unvector.


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones. Una llamada suma de vectoresy otra llamada mulitplicación de un escalar por unvector. La suma de vectores, o simplementesuma, es una regla o función que asocia a dosvectores, digamos u y v un tercer vector, a este sele representará como u⊕ v.


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones. Una llamada suma de vectoresy otra llamada mulitplicación de un escalar por unvector. La suma de vectores, o simplementesuma, es una regla o función que asocia a dosvectores, digamos u y v un tercer vector, a este sele representará como u⊕ v. La multiplicación esuna regla que asocia a un escalar y a un vector,digamos c y u un segundo vector representado porc⊙ u.


n

Mm×n

P

Pn



Espacio Vectorial

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existendos operaciones. Una llamada suma de vectoresy otra llamada mulitplicación de un escalar por unvector. La suma de vectores, o simplementesuma, es una regla o función que asocia a dosvectores, digamos u y v un tercer vector, a este sele representará como u⊕ v. La multiplicación esuna regla que asocia a un escalar y a un vector,digamos c y u un segundo vector representado porc⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espaciovectorial si cumple todos y cada uno de lossiguientes axiomas:


n

Mm×n

P

Pn



(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u⊕ v ∈ V


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ v ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma decerradura bajo la suma:


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ v ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma decerradura bajo la suma:

La suma de dos elementos del conjuntodebe dar como resultado también unelemento del conjunto.


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ v = v ⊕ u


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de laconmutatividad de la suma:


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de laconmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera elresultado de la suma.


n

Mm×n

P

Pn



(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V

u⊕ (v ⊕w) = (u⊕ v)⊕w


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ (v ⊕w) = (u⊕ v)⊕w

Este axioma se conoce como axioma de laasociatividad de la suma:


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ (v ⊕w) = (u⊕ v)⊕w

Este axioma se conoce como axioma de laasociatividad de la suma:

En una suma de vectores, no importa elorden cómo asocien la sumas entre dos; elresultado será siempre el mismo.


n

Mm×n

P

Pn



(A4) Existe un único vector en V que se simbolizarápor 0 y que se llamará el vector cero tal quepara cualquier vector u ∈ V se cumple

u⊕ 0 = 0⊕ u = u


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ 0 = 0⊕ u = u

Este axioma se conoce como el axioma de laexistencia del elemento neutro:


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ 0 = 0⊕ u = u

Este axioma se conoce como el axioma de laexistencia del elemento neutro:

Existe en el conjunto un elementodistinguido que sumado con cualquierelemento da el mismo segundo elemento.


n

Mm×n

P

Pn



(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un únicovector también en V y simbolizado por −u quecumple

u⊕ (−u) = (−u)⊕ u = 0


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ (−u) = (−u)⊕ u = 0

Este axioma se conoce como axioma de laexistencia de inversos aditivos:


n

Mm×n

P

Pn




u⊕ (−u) = (−u)⊕ u = 0

Este axioma se conoce como axioma de laexistencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee uninverso aditivo; un elemento del conjuntoque sumado con él da el neutro aditivo.


n

Mm×n

P

Pn



(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquierescalar c ∈ R se cumple

c⊙ u ∈ V


n

Mm×n

P

Pn




c⊙ u ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma decerradura bajo la multiplicación por escalares:


n

Mm×n

P

Pn




c⊙ u ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma decerradura bajo la multiplicación por escalares:

El resultado del producto entre cualquierescalar por cualquier elemento del conjuntodebe dar como resultado también unelemento del conjunto.


n

Mm×n

P

Pn



(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y paracualquier escalar c en R se cumple

c⊙ (u⊕ v) = (c⊙ u)⊕ (c⊙ v)


n

Mm×n

P

Pn




c⊙ (u⊕ v) = (c⊙ u)⊕ (c⊙ v)

Este axioma se conoce como la propiedaddistributiva del producto (por escalares) sobre lasuma (de vectores):


n

Mm×n

P

Pn




c⊙ (u⊕ v) = (c⊙ u)⊕ (c⊙ v)

Este axioma se conoce como la propiedaddistributiva del producto (por escalares) sobre lasuma (de vectores):

En un producto de un escalar por una sumade vectores, da lo mismo realizar la sumade los vectores y el resultado multiplicarlopor el vector que individualmente multiplicarcada vector por el escalar y después sumarlos resultados.


n

Mm×n

P

Pn



(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquierados escalares a y b en R se cumple

(a+ b)⊙ u = (a⊙ u)⊕ (b⊙ u)


n

Mm×n

P

Pn




(a+ b)⊙ u = (a⊙ u)⊕ (b⊙ u)

Este axioma se conoce como la propiedaddistributiva del producto por escalares sobre lasuma escalares.


n

Mm×n

P

Pn




a⊙ (b⊙ u) = (a b)⊙ u


n

Mm×n

P

Pn




a⊙ (b⊙ u) = (a b)⊙ u

Esta propiedad se conoce como la leyasociativa del producto entre escalares y elproducto de escalar con vector.


n

Mm×n

P

Pn




a⊙ (b⊙ u) = (a b)⊙ u

Esta propiedad se conoce como la leyasociativa del producto entre escalares y elproducto de escalar con vector. Lo llamaremossimplemente como la propiedad asociativa delproducto.


n

Mm×n

P

Pn



(M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple

1⊙ u = u


n

Mm×n

P

Pn



Cuando se elabora una argumentación en algúncálculo o demostración uno debe hacer referenciaa los axiomas.


n

Mm×n

P

Pn



Cuando se elabora una argumentación en algúncálculo o demostración uno debe hacer referenciaa los axiomas. Por ellos es que es conveniente yelegante llamarlos por su descripción.


n

Mm×n

P

Pn



Cuando se elabora una argumentación en algúncálculo o demostración uno debe hacer referenciaa los axiomas. Por ellos es que es conveniente yelegante llamarlos por su descripción. Se le pideal alumno que entienda la l ogica de cada uno deellos y memorice sus descripciones .


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Indique cual opción enuncia la propiedaddistributiva de la suma de escalares sobre el producto.

1.- (c+ k)⊙ x = (c⊙ x)⊕ (k ⊙ x)

2.- x⊕ 0 = 0⊕ x = x

3.- x⊕ y = y ⊕ x

4.- c⊙ x es vector5.- x⊕ (−x) = (−x)⊕ x = 0

6.- x⊕ y es vector �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Indique cual opción enuncia la propiedaddistributiva de la suma de escalares sobre el producto.

1.- (c+ k)⊙ x = (c⊙ x)⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta2.- x⊕ 0 = 0⊕ x = x

3.- x⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad4.- c⊙ x es vector ← Cerradura5.- x⊕ (−x) = (−x)⊕ x = 0

6.- x⊕ y es vector ← Cerradura�


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Indique cual opción describe la propiedad:

x⊕ 0 = 0⊕ x = x

1.- Cerradura del producto por escalares.2.- Existencia del neutro de la suma.3.- Distributividad del producto sobre la suma de

vectores.4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el

producto.5.- Asociatividad del producto por escalares.6.- Existencia del inverso aditivo �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Indique cual opción describe la propiedad:

x⊕ 0 = 0⊕ x = x

1.- Cerradura del producto por escalares.2.- Existencia del neutro de la suma. ← Respuesta3.- Distributividad del producto sobre la suma de

vectores.4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el

producto.5.- Asociatividad del producto por escalares.6.- Existencia del inverso aditivo �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Apesar que nuestro interés no es hacerdemostraciones matemáticas si es convenienteentender cómo se construyen.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Apesar que nuestro interés no es hacerdemostraciones matemáticas si es convenienteentender cómo se construyen. El siguienteargumento prueba que el vector cero es único.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Apesar que nuestro interés no es hacerdemostraciones matemáticas si es convenienteentender cómo se construyen. El siguienteargumento prueba que el vector cero es único. Esdecir, que si hay otro vector que cumple lapropiedad que define al neutro debe ser el mismoneutro.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Apesar que nuestro interés no es hacerdemostraciones matemáticas si es convenienteentender cómo se construyen. El siguienteargumento prueba que el vector cero es único. Esdecir, que si hay otro vector que cumple lapropiedad que define al neutro debe ser el mismoneutro. Justifique los pasos.


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x

Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembrosda


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x

Por la propiedad (b) se deduce entonces


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x

Por la propiedad (c) se tiene entonces


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x


0+ y = 0


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x


0+ y = 0

Finalmente, por la propiedad (d) se tiene


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x


0+ y = 0


y = 0.

1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro


n

Mm×n

P

Pn



Suponga que

x+ y = x


(−x) + (x+ y) = (−x) + x


((−x) + x) + y = (−x) + x


0+ y = 0


y = 0.

1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro

Respuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3 �


n

Mm×n

P

Pn



Teoremas sobre espacios vectoriales

Resultados generales sobre espacios generales:

Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ Vy c ∈ R, entonces:1. 0u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector

da el vector cero)2. c0 = 0 (Cualquier escalar por el vector

cero da el vector cero)3. cu = 0 implica c = 0 ó u = 0 (Cuando el

producto de un escalar por un vector da elvector cero, o el escalar es cero o el vectores el vector cero)

4. (−c) u = − (cu) (Multiplicar por un escalarnegativo implica obtener el inverso aditivodel producto del escalar sin el signo por elvector)


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplos de EV

Veamos algunos de los espacios vectoriales queutilizaremos.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x⊕ y = x · y yc⊙ x = xc, veamos que V con tal operacionescumple los axiomas de espacio vectorial:


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x⊕ y = x · y yc⊙ x = xc, veamos que V con tal operacionescumple los axiomas de espacio vectorial:Axioma A1 : x⊕ y ∈ VEfectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 ypor tanto x⊕ y = x · y > 0, probando que x⊕ y ∈ V .


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x⊕ y = x · y yc⊙ x = xc, veamos que V con tal operacionescumple los axiomas de espacio vectorial:Axioma A1 : x⊕ y ∈ VEfectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 ypor tanto x⊕ y = x · y > 0, probando que x⊕ y ∈ V .Axioma A2 : x⊕ y = y ⊕ xEfectivamente, pues x⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x.Esto se tiene por la propiedad conmutativa delproducto de números reales.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x⊕ y = x · y yc⊙ x = xc, veamos que V con tal operacionescumple los axiomas de espacio vectorial:Axioma A1 : x⊕ y ∈ VEfectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 ypor tanto x⊕ y = x · y > 0, probando que x⊕ y ∈ V .Axioma A2 : x⊕ y = y ⊕ xEfectivamente, pues x⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x.Esto se tiene por la propiedad conmutativa delproducto de números reales.Axioma A3 : x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ zEfectivamente, pues x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y · z) =x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y)⊕ z = (x⊕ y)⊕ z.Esto se tiene por la propiedad asociativa delproducto de números reales.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 : Existe en V un neutro para ⊕Efectivamente, el número 1 de V = R cumple lapropiedad requerida pues1⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x⊕ 1.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 : Existe en V un neutro para ⊕Efectivamente, el número 1 de V = R cumple lapropiedad requerida pues1⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x⊕ 1.Axioma A5 : Todo elemento de V posee un inversoaditivo en VEfectivamente, si x ∈ V es número, 1/x tambiénestá en V = R (Pues si x > 0, también se cumple1/x > 0) y cumple la propiedad requerida puesx⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x⊕ x.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 : Existe en V un neutro para ⊕Efectivamente, el número 1 de V = R cumple lapropiedad requerida pues1⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x⊕ 1.Axioma A5 : Todo elemento de V posee un inversoaditivo en VEfectivamente, si x ∈ V es número, 1/x tambiénestá en V = R (Pues si x > 0, también se cumple1/x > 0) y cumple la propiedad requerida puesx⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x⊕ x.Axioma M1 : c⊙ x ∈ VEfectivamente, pues si x ∈ V entonces x > 0 yc⊙ x = xc > 0 para cualquier número c. (Recuerdeque para x > 0, xc = ec ln(x) > 0)


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c⊙ (x⊕ y) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y)Efectivamente, c⊙ (x⊕ y) = c⊙ (x · y) =(x · y)c = xc · yc = (xc)⊕ (yc) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y). Yesto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c⊙ (x⊕ y) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y)Efectivamente, c⊙ (x⊕ y) = c⊙ (x · y) =(x · y)c = xc · yc = (xc)⊕ (yc) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y). Yesto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.Axioma M3 : (c1 + c2)⊙ x = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x)Efectivamente, (c1 + c2)⊙ x = xc1+c2 = xc1 · xc2 =(xc1)⊕ (xc2) = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por laley de los exponentes con bases positivas.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c⊙ (x⊕ y) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y)Efectivamente, c⊙ (x⊕ y) = c⊙ (x · y) =(x · y)c = xc · yc = (xc)⊕ (yc) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y). Yesto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.Axioma M3 : (c1 + c2)⊙ x = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x)Efectivamente, (c1 + c2)⊙ x = xc1+c2 = xc1 · xc2 =(xc1)⊕ (xc2) = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por laley de los exponentes con bases positivas.Axioma M4 : (c1 · c2)⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x)Efectivamente,(c1·c2)⊙x = xc1·c2 = (xc2)c1 = c1⊙(x

c2) = c1⊙(c2⊙x).Esto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c⊙ (x⊕ y) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y)Efectivamente, c⊙ (x⊕ y) = c⊙ (x · y) =(x · y)c = xc · yc = (xc)⊕ (yc) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y). Yesto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.Axioma M3 : (c1 + c2)⊙ x = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x)Efectivamente, (c1 + c2)⊙ x = xc1+c2 = xc1 · xc2 =(xc1)⊕ (xc2) = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por laley de los exponentes con bases positivas.Axioma M4 : (c1 · c2)⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x)Efectivamente,(c1·c2)⊙x = xc1·c2 = (xc2)c1 = c1⊙(x

c2) = c1⊙(c2⊙x).Esto vale por la ley de los exponentes con basespositivas.Axioma M5 : 1⊙ x = xEfectivamente, 1⊙ x = x1 = x.


n

Mm×n

P

Pn



Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimosque V con las operaciones■ x⊕ y = x · y y■ c⊙ x = xc

sí es un espacio vectorial �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 2: Rn

El conjunto de todas las n-adas con componentesreales Rn:operaciones :■ La suma: La suma de dos vectores con n

componentes es un vector también con ncomponentes cuya componente i-ésima es lasuma de las componentes i-ésimas de losvectores que se están sumando:

(xi) + (yi) = (xi + yi)


n

Mm×n

P

Pn



■ El producto por escalares: El producto de unescalar por un vector de n componentes setambién un vector de n componetes cuyacomponente i-ésima es el producto del escalarpor la i−ésima componente del vector que semultiplica:

c · (xi) = (c · xi)


n

Mm×n

P

Pn



Axiomas A1 y M1 : x+ y ∈ Rn y c · x ∈ Rn

De la misma definición de la suma y producto porescalares.Axioma A2 : x+ y = y + x

Los vectores son iguales pues tienen la mismadimensión y al comparar las componente i se tiene

xi + yi = yi + xi


n

Mm×n

P

Pn



Axiomas A1 y M1 : x+ y ∈ Rn y c · x ∈ Rn

De la misma definición de la suma y producto porescalares.Axioma A2 : x+ y = y + x


xi + yi = yi + xi

Axioma A3 : x+ (y + z) = (x+ y) + z


xi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 : Existe el vector neutro bajo la adición:Este vector es el vector con todas suscomponentes cero 0 = (0) y cumple0+ x = x+ 0 = x pues al comparar las i-ésimascomponentes se cumple:

0 + xi = xi + 0 = xi


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 : Existe el vector neutro bajo la adición:Este vector es el vector con todas suscomponentes cero 0 = (0) y cumple0+ x = x+ 0 = x pues al comparar las i-ésimascomponentes se cumple:

0 + xi = xi + 0 = xi

Axioma A5 : Cada vector de tiene su inverso aditivo:Para cada vector x = (xi) el vector −x = (−xi)cumple x+ (−x) = (−x) + x = 0 pues al compararlas i-ésimas componentes se cumple:

−xi + xi = 0 = xi +−xi


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c(x+ y) = cx+ cy: Los vectores soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar las componentes i se tiene

c(xi + yi) = c xi + c yi


n

Mm×n

P

Pn





Axioma M3 : (c1 + c2)x = c1 x+ c2 x: Los vectoresson iguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar las componentes i se tiene

(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi


n

Mm×n

P

Pn






(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi

Axioma M4 : (c1 · c2)x = c1 (c2 x): Los vectores soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar las componentes i se tiene

(c1 · c2)xi = c1(c2xi)


n

Mm×n

P

Pn






(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi

Axioma M4 : (c1 · c2)x = c1 (c2 x): Los vectores soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar las componentes i se tiene

(c1 · c2)xi = c1(c2xi)

Axioma M5 : 1 · (xi) = (1 · xi) = (xi)


n

Mm×n

P

Pn



Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimosque Rn con las operaciones■ (xi) + (yi) = (xi + yi) y■ c(xi) = (c xi)sí es un espacio vectorial �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 3: Mm×n

El conjunto de todas las matrices m× n concomponentes reales Mm×n:operaciones :■ La suma: La suma de dos matrices m× n es una

matriz también m× n cuyo elemento (i, j) es lasuma de los elementos (i, j) de las matrices quese están sumando:

(aij) + (bij) = (aij + bij)


n

Mm×n

P

Pn



■ El producto por escalares: El producto de unescalar por una matriz m× n es también unamatriz m× n cuyo elemento (i, j) es el productodel escalar por el elemento (i, j) de la matriz quese multiplica:

c · (aij) = (c · aij)


n

Mm×n

P

Pn



Axiomas A1 y M1 : A+B ∈Mm×n y c ·A ∈Mm×n:De la misma definición de la suma de matrices yproducto por escalares.Axioma A2 ; A+B = B+A: Las matrices soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

aij + bij = bij + aij


n

Mm×n

P

Pn



Axiomas A1 y M1 : A+B ∈Mm×n y c ·A ∈Mm×n:De la misma definición de la suma de matrices yproducto por escalares.Axioma A2 ; A+B = B+A: Las matrices soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

aij + bij = bij + aij

Axioma A3 : A+ (B+C) = (A+B) +C: Lasmatrices son iguales pues tienen la mismadimensión y al comparar los elementos (i, j) setiene

aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 , Existe una matriz neutra bajo la adición:Esta matriz es la matriz con todas suscomponentes cero 0 = (0) y cumple0+A = A+ 0 = A, pues al comparar loselementos (i, j) componentes se cumple:

0 + aij = aij + 0 = aij


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 , Existe una matriz neutra bajo la adición:Esta matriz es la matriz con todas suscomponentes cero 0 = (0) y cumple0+A = A+ 0 = A, pues al comparar loselementos (i, j) componentes se cumple:

0 + aij = aij + 0 = aij

Axioma A5 : Cada matriz de tiene su invero aditivo:Para cada matriz A = (aij), la matriz −A = (−aij)cumple A+ (−A) = (−A) +A = 0, pues alcomparar los elementos (i, j) se cumple:

−aij + aij = 0 = aij +−aij


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c(A+B) = cA+ cB: Las matrices soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

c(aij + bij) = c aij + c bij


n

Mm×n

P

Pn





Axioma M3 : (c1 + c2)A = c1 A+ c2 A: Las matricesson iguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

(c1 + c2)aij = c1 aij + c2 aij


n

Mm×n

P

Pn







Axioma M4 : (c1 · c2)A = c1 (c2 A): Las matrices soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

(c1 · c2)aij = c1(c2aij)


n

Mm×n

P

Pn







Axioma M4 : (c1 · c2)A = c1 (c2 A): Las matrices soniguales pues tienen la misma dimensión y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

(c1 · c2)aij = c1(c2aij)

Axioma M5 : 1 · (aij) = (1 · aij) = (aij)


n

Mm×n

P

Pn



Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimosque Mm×n con las operaciones■ (aij) + (bij) = (aij + bij) y■ c(bij) = (c aij)sí es un espacio vectorial �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 4: P

De todos los polinomios con coeficientes reales enla variable x con las operaciones:■ Suma : Cuando son dos polinomios, esta

operación se lleva a cabo sumando loscoeficientes de las mismas potencias de x de lospolinomios.

a0 + a1 x+ · · ·+ am xm

+

b0 + b1 x+ · · ·+ bm xm

=

(a0 + b0) + (a1 + b1) x+ · · ·+ (am + bm) xm

Alguno de los polinomios se completa hastael grado mayor de los dos con coeficientescero


n

Mm×n

P

Pn



■ Multiplicaci on : La multiplicación por escalar es lamultiplicación de todo el polinomio por unaconstante:

c(a0 + a1 x+ a2 x2 + · · ·+ am xm)

=

c a0 + c a1 x+ · · ·+ c am xm


n

Mm×n

P

Pn



En lo siguiente supondremos que cada polinomiose escribe en la forma

p(x) = p0 + p1 x+ p2 x2 + · · ·

Es decir, que usaremos el nombre del polinomiopara nombrar a sus coeficientes y usaremossubíndices para indicar la potencia de x a la cualacompañan.Axiomas A1 y M1 : p(x) + q(x) ∈P y c · p(x) ∈P: Dela misma definición de la suma de polinomios yproducto por escalares.Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

pi + qi = pi + qi


n

Mm×n

P

Pn



En lo siguiente supondremos que cada polinomiose escribe en la forma

p(x) = p0 + p1 x+ p2 x2 + · · ·

Es decir, que usaremos el nombre del polinomiopara nombrar a sus coeficientes y usaremossubíndices para indicar la potencia de x a la cualacompañan.Axiomas A1 y M1 : p(x) + q(x) ∈P y c · p(x) ∈P: Dela misma definición de la suma de polinomios yproducto por escalares.Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

pi + qi = pi + qi

Axioma A3 :: Los


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 , Existe un polinomio neutro bajo laadición: Este polinomio es el polinomio con todossus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple0+ p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar loscoeficientes de xi se tiene:

0 + pi = pi + 0 = pi


n

Mm×n

P

Pn



Axioma A4 , Existe un polinomio neutro bajo laadición: Este polinomio es el polinomio con todossus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple0+ p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar loscoeficientes de xi se tiene:

0 + pi = pi + 0 = pi

Axioma A5 : Cada polinomio de tiene su inveroaditivo: Para cada plinomio p(x) = p0 + p1x+ · · · , elpolinomio −p(x) = (−p0) + (−p1) x+ (−p2)x

2 + · · ·cumple p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0, puesal comparar los coeficientes de xi se tiene:

(−pi) + pi = 0


n

Mm×n

P

Pn



Axioma M2 : c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

c(pi + qi) = c pi + c qi


n

Mm×n

P

Pn





Axioma M3 : (c1 + c2)p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

(c1 + c2)pi = c1 pi + c2 pi


n

Mm×n

P

Pn






(c1 + c2)pi = c1 pi + c2 pi

Axioma M4 : (c1 · c2)p(x) = c1 (c2 p(x)): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

(c1 · c2)pi = c1(c2pi)


n

Mm×n

P

Pn






(c1 + c2)pi = c1 pi + c2 pi

Axioma M4 : (c1 · c2)p(x) = c1 (c2 p(x)): Lospolinomios son iguales pues están en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi setiene:

(c1 · c2)pi = c1(c2pi)

Axioma M5 : 1 · p(x) = p(x)


n

Mm×n

P

Pn



Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimosque P con las operaciones suma de polinomios yproducto de un escalar por un polinomioconocidas sí es un espacio vectorial �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 5: Pn

Todos los polinomios con coeficientes reales en lavariable x de grado menor o igual que n (n esentero mayor o igual que cero):


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 5: Pn

Todos los polinomios con coeficientes reales en lavariable x de grado menor o igual que n (n esentero mayor o igual que cero):1 operaciones :Sea x la variable independiente de

los polinomios.a) Suma : Misma que en P.b) Multiplicaci on por escalares : Misma que en P.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 5: Pn



2 el cero : El polinomio 0, es áquel cuya totalidadde coeficientes es cero.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 5: Pn



2 el cero : El polinomio 0, es áquel cuya totalidadde coeficientes es cero.

3 inversos aditivos : El inverso de −p de unpolinomio p tiene por coeficientes los opuestosde los coeficientes de p �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 6: F (R)

El conjunto de todas las funciones de valor realdefinidas en R:


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 6: F (R)

El conjunto de todas las funciones de valor realdefinidas en R:1 operaciones : Sean f y g dos funciones de valor

real con dominio R y sea c cualquier escalar.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 6: F (R)


real con dominio R y sea c cualquier escalar.a) Suma : Se define la suma de f + g de f y g

como la función cuyos valores estánexpresados por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) para toda x ∈ R


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 6: F (R)





b) producto por escalares : Igualmente, el productopor escalar cf se define como sigue:

(c f)(x) = c f(x) para toda x ∈ A


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 6: F (R)





b) producto por escalares : Igualmente, el productopor escalar cf se define como sigue:

(c f)(x) = c f(x) para toda x ∈ A

2 el cero : La función cero, 0 es aquella cuyosvalores son todos ceros: 0(x)= 0 para todax ∈ R.


n

Mm×n

P

Pn



3 inversos aditivos : La inversa de −f de f es lafunción (-1)f .


n

Mm×n

P

Pn



3 inversos aditivos : La inversa de −f de f es lafunción (-1)f .

4 axiomas : La comprobación de los axiomas sedeja como ejercicio.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 7: F (A)

De manera más general que en el ejemplo deespacio vectorial 6, si A es un conjunto cualquieradefinimos el conjunto F (A) de todas las funcionesde valor real que tienen como dominio A; entoncesF (A) es un espacio vectorial.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo EV 8: F (A, V )

De manera más general que en el ejemplo deespacio vectorial 7, si A es un conjunto cualquieray V es un espacio vectorial (con una operaciónsuma ⊕ y producto por escalares ⊙) definimos elconjunto F (A, V ) de todas las funciones quetienen como dominio X y como codominio V .Definimos en F (A, V ) la suma ⊞ de la siguientemanera:

f ⊞ g : A → V

a 7→ f(a)⊕ g(a)

y definimos el producto por escalares de lasiguiente manera:

c⊡ f : A → V

a 7→ c⊙ f(a)


n

Mm×n

P

Pn



Subespacio Vectorial

Como se ha visto probar que un conjunto es unespacio vectorial es un trabajo arduo.


n

Mm×n

P

Pn




Como se ha visto probar que un conjunto es unespacio vectorial es un trabajo arduo. Sinembargo, hay situaciones en las que la prueba sereduce considerablemente:


n

Mm×n

P

Pn




Como se ha visto probar que un conjunto es unespacio vectorial es un trabajo arduo. Sinembargo, hay situaciones en las que la prueba sereduce considerablemente: Cuando el conjuntoestá contenido en un conjunto mayor que ya es unespacio vectorial.


n

Mm×n

P

Pn




Como se ha visto probar que un conjunto es unespacio vectorial es un trabajo arduo. Sinembargo, hay situaciones en las que la prueba sereduce considerablemente: Cuando el conjuntoestá contenido en un conjunto mayor que ya es unespacio vectorial. En este caso, como todas laspropiedades de los axiomas hacen referencia aelementos del conjunto y por tanto a elementos alconjunto mayor que ya es espacio vectorial y porconsiguiente se verifican.


n

Mm×n

P

Pn




Como se ha visto probar que un conjunto es unespacio vectorial es un trabajo arduo. Sinembargo, hay situaciones en las que la prueba sereduce considerablemente: Cuando el conjuntoestá contenido en un conjunto mayor que ya es unespacio vectorial. En este caso, como todas laspropiedades de los axiomas hacen referencia aelementos del conjunto y por tanto a elementos alconjunto mayor que ya es espacio vectorial y porconsiguiente se verifican. Salvo posiblemente losaxiomas A1 y M1 que hacen referencia a lacerradura.


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial.


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Unsubconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacíose dice subespacio vectorial o simplementesubespacio de V


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Unsubconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacíose dice subespacio vectorial o simplementesubespacio de V si U con las mismasoperaciones de suma y multiplicación porescalares que están definidas en V


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Unsubconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacíose dice subespacio vectorial o simplementesubespacio de V si U con las mismasoperaciones de suma y multiplicación porescalares que están definidas en V , perorestringidas a vectores de U


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Unsubconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacíose dice subespacio vectorial o simplementesubespacio de V si U con las mismasoperaciones de suma y multiplicación porescalares que están definidas en V , perorestringidas a vectores de U , es un espaciovectorial.


n

Mm×n

P

Pn



Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Unsubconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacíose dice subespacio vectorial o simplementesubespacio de V si U con las mismasoperaciones de suma y multiplicación porescalares que están definidas en V , perorestringidas a vectores de U , es un espaciovectorial.

Apesar que en la definción de subespacio estáimplicita la verificación de los axiomas, el siguienteresultado da la clave para la verificación de que unconjunto se subespacio.


n

Mm×n

P

Pn



Teorema

Un subconjunto no vacío U de un espaciovectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es unsubespacio de V si cumple las siguientescondiciones:


n

Mm×n

P

Pn



Teorema

Un subconjunto no vacío U de un espaciovectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es unsubespacio de V si cumple las siguientescondiciones:■ El conjunto U es cerrado bajo la suma;


n

Mm×n

P

Pn



Teorema


Cualquiera dos elementos de U sumadosdan como resultado un elemento quetambién está en U .


n

Mm×n

P

Pn



Teorema



■ El conjunto U es cerrado bajo la multiplicaci onpor escalares;


n

Mm×n

P

Pn



Teorema



■ El conjunto U es cerrado bajo la multiplicaci onpor escalares;Cualquier elemento de U multiplicado porcualquier escalar da como resultado unelemento que también está en U .


n

Mm×n

P

Pn



Demostraci on

Debemos probar que si se cumplen las condiciones marcadas,entonces U con la suma, que ya tenía V , y el producto porescalares, que ya tenía V , satisface los 10 axiomas para ser élmismo un espacio vectorial.newline

A1 Sean x y y dos elementos cualquiera de U . Al cumplirse que U

es cerrado bajo la suma, x⊕ y está en U .

A2 Sean x y y dos elementos cualquiera de U , como x y y sonelementos de V y V es espacio vectorial cumple A2:

x⊕ y = y ⊕ x

A3 Sean x, y y z elementos cualquiera de U ; por tanto, sonelementos de V y como V es espacio vectorial se cumple A3:

x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z

A4 Como U no es vacío, U tiene al menos un elemento, digamos x.Como U es cerrado bajo el producto por escalares:


n

Mm×n

P

Pn



Observe que realmente el resultado anterior hacereferencia a tres condiciones:


n

Mm×n

P

Pn



Observe que realmente el resultado anterior hacereferencia a tres condiciones: La que está en elenunciado: que el conjunto no sea vacío,


n

Mm×n

P

Pn



Observe que realmente el resultado anterior hacereferencia a tres condiciones: La que está en elenunciado: que el conjunto no sea vacío, y las dosexplícitamente citadas.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

El subconjuto W de P2 formado por sólopolinomios de la forma

p(x) = a x+ 3 a x2

donde a es un número real, ¿es un subespaciovectorial?


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2

donde a es un número real, ¿es un subespaciovectorial?Soluci onRequisito 0 :


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2

donde a es un número real, ¿es un subespaciovectorial?Soluci onRequisito 0 : Se debe probar que el conjunto poseeal menos un elemento:


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2

donde a es un número real, ¿es un subespaciovectorial?Soluci onRequisito 0 : Se debe probar que el conjunto poseeal menos un elemento: Debemos dar un ejemploconcreto de un polinomio que corresponde a esteformato:


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2

donde a es un número real, ¿es un subespaciovectorial?Soluci onRequisito 0 : Se debe probar que el conjunto poseeal menos un elemento: Debemos dar un ejemploconcreto de un polinomio que corresponde a esteformato: Por ejemplo

p(x) = 2 x+ 6 x2


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2


p(x) = 2 x+ 6 x2

el coeficiente de x2, 6, es justo el doble delcoeficiente de x, que es 2.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo


p(x) = a x+ 3 a x2


p(x) = 2 x+ 6 x2

el coeficiente de x2, 6, es justo el doble delcoeficiente de x, que es 2. Por tanto, W 6= ∅.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 :


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto,


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizar unvalor numérico de a;


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizar unvalor numérico de a; debemos utilizar letras.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizar unvalor numérico de a; debemos utilizar letras. Seanp(x) = a1 x+ 3 a1 x

2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos

elementos de W ,


n

Mm×n

P

Pn




2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos

elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :


n

Mm×n

P

Pn




2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos


p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2+a2 x+3 a2 x

2 = (a1+a2) x+3 (a1+a2) x2


n

Mm×n

P

Pn




2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos


p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2+a2 x+3 a2 x

2 = (a1+a2) x+3 (a1+a2) x2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3.


n

Mm×n

P

Pn




2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos


p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2+a2 x+3 a2 x

2 = (a1+a2) x+3 (a1+a2) x2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W .


n

Mm×n

P

Pn




2 y q(x) = a2 x+ 3 a2 x2 dos


p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2+a2 x+3 a2 x

2 = (a1+a2) x+3 (a1+a2) x2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W .Por tanto, W es cerrado bajo la suma.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 :


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto,


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;debemos utilizar letras.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x+ 3 a1 x

2 unelemento cualquiera de W y c un escalarcualquiera,


n

Mm×n

P

Pn




2 unelemento cualquiera de W y c un escalarcualquiera, veamos si c p(x) ∈ W :


n

Mm×n

P

Pn





c p(x) = c (a1 x+ 3 a1 x2) = (c a1) x+ 3 (c a1) x

2


n

Mm×n

P

Pn





c p(x) = c (a1 x+ 3 a1 x2) = (c a1) x+ 3 (c a1) x

2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3.


n

Mm×n

P

Pn





c p(x) = c (a1 x+ 3 a1 x2) = (c a1) x+ 3 (c a1) x

2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W .


n

Mm×n

P

Pn





c p(x) = c (a1 x+ 3 a1 x2) = (c a1) x+ 3 (c a1) x

2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el dex multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W . Portanto, W es cerrado bajo el producto porescalares.


n

Mm×n

P

Pn



Como hemos probado los tres requisitos,


n

Mm×n

P

Pn



Como hemos probado los tres requisitos, W es unsubespacio vectorial de P2.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

El conjunto W de todas las matrices 2× 2 de laforma:

[

a 0

0 b

]

donde a y b son números reales que cumplena b ≤ 0, ¿es un subespacio vectorial de M2×2?


n

Mm×n

P

Pn



Soluci on


n

Mm×n

P

Pn



Soluci onRequisto 0:


n

Mm×n

P

Pn



Soluci onRequisto 0: Como la matriz

A =

[

1 0

0 −1

]


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

1 0

0 −1

]

tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 yb = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0,


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

1 0

0 −1

]

tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 yb = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W .


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

1 0

0 −1

]

tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 yb = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W . Portanto, W 6= ∅.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 :


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto,


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizarvalores numéricos;


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizarvalores numéricos; debemos utilizar letras.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 1 : Debemos probar que si se suman doselementos cualquiera del conjunto, el resultadotambién está en el conjunto. Para abarcarcualquier elemento de W no podemos utilizarvalores numéricos; debemos utilizar letras. Sean

A =

[

a1 0

0 b1

]

y B =

[

a2 0

0 b2

]

dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 ya2 b2 ≤ 0


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

a1 0

0 b1

]

y B =

[

a2 0

0 b2

]

dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 ya2 b2 ≤ 0 veamos si A+B ∈ W :


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

a1 0

0 b1

]

y B =

[

a2 0

0 b2

]

dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 ya2 b2 ≤ 0 veamos si A+B ∈ W :

A+ B =

[

a1 + a2 0

0 b1 + b2

]


n

Mm×n

P

Pn



Ahora apliquemos la prueba última para ver sipertenece a W


n

Mm×n

P

Pn




(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?


n

Mm×n

P

Pn




(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?

Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 yque a2 b2 ≤ 0.


n

Mm×n

P

Pn




(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?

Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 yque a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puedecambiar la desigualdad.


n

Mm×n

P

Pn




(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?

Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 yque a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puedecambiar la desigualdad. De hecho los valoresa = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen

a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3


n

Mm×n

P

Pn




(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?

Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 yque a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puedecambiar la desigualdad. De hecho los valoresa = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen

a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3

Pero

(a1+a2)(b1+b2) = (1+−3)(−5+1) = (−2)(−4) = 8 > 0


n

Mm×n

P

Pn



Estos números nos dan las matrices

Ao =

[

1 0

0 −5

]

y Bo =

[

−3 0

0 1

]

que sí están en W , pero cuya suma no está en W .


n

Mm×n

P

Pn




Ao =

[

1 0

0 −5

]

y Bo =

[

−3 0

0 1

]

que sí están en W , pero cuya suma no está en W .A estos ejemplos concretos que prueban que unacierta afirmación del tipo para cualquiera no secumpla se llaman contra ejemplos.


n

Mm×n

P

Pn




Ao =

[

1 0

0 −5

]

y Bo =

[

−3 0

0 1

]

que sí están en W , pero cuya suma no está en W .A estos ejemplos concretos que prueban que unacierta afirmación del tipo para cualquiera no secumpla se llaman contra ejemplos. El anteriorcontra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo lasuma.


n

Mm×n

P

Pn




Ao =

[

1 0

0 −5

]

y Bo =

[

−3 0

0 1

]

que sí están en W , pero cuya suma no está en W .A estos ejemplos concretos que prueban que unacierta afirmación del tipo para cualquiera no secumpla se llaman contra ejemplos. El anteriorcontra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo lasuma. Fallando un requisito como ahora, W noes un subespacio.


n

Mm×n

P

Pn




Ao =

[

1 0

0 −5

]

y Bo =

[

−3 0

0 1

]

que sí están en W , pero cuya suma no está en W .A estos ejemplos concretos que prueban que unacierta afirmación del tipo para cualquiera no secumpla se llaman contra ejemplos. El anteriorcontra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo lasuma. Fallando un requisito como ahora, W noes un subespacio. Sin embargo, como nosinteresa ver la opción que se ajusta a Wdeberemos revisar el otro requisito.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 :


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto,


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;debemos utilizar letras.


n

Mm×n

P

Pn



Requisito 2 : Debemos probar que si se multiplicaun escalar cualquiera por un elemento cualquieradel conjunto, el resultado también está en elconjunto. Para abarcar cualquier elemento de Wno podemos utilizar un valor numérico de a;debemos utilizar letras. Sea

A =

[

a1 0

0 b1

]

un elemento cualquiera de W (y por tantoa1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera,


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

a1 0

0 b1

]

un elemento cualquiera de W (y por tantoa1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos sicA ∈ W :


n

Mm×n

P

Pn




A =

[

a1 0

0 b1

]

un elemento cualquiera de W (y por tantoa1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos sicA ∈ W :

cA =

[

c a1 0

0 c b1

]


n

Mm×n

P

Pn





n

Mm×n

P

Pn




(c a1) (c b1) ≤ 0?


n

Mm×n

P

Pn




(c a1) (c b1) ≤ 0?

Como(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1)

y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces

(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1) ≤ 0


n

Mm×n

P

Pn




(c a1) (c b1) ≤ 0?

Como(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1)


(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1) ≤ 0

Por tanto, cA ∈ W .


n

Mm×n

P

Pn




(c a1) (c b1) ≤ 0?

Como(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1)


(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1) ≤ 0

Por tanto, cA ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo elproducto por escalares.


n

Mm×n

P

Pn



Resumiendo,


n

Mm×n

P

Pn



Resumiendo, W no es espacio vectorial:


n

Mm×n

P

Pn



Resumiendo, W no es espacio vectorial: sí escerrado bajo el producto por escalares


n

Mm×n

P

Pn



Resumiendo, W no es espacio vectorial: sí escerrado bajo el producto por escalares pero no escerrado bajo la suma.


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Sea V = Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas. Esteconjunto con la suma conocida de matrices y el producto de unescalar por una matriz es un espacio vectorial. Éste es nuestroespacio vectorial de referencia. Definimos un subconjunto de Mn×n

formado por las matrices simétricas:

U ={

A ∈ Mn×m : AT = A}

Es decir, U está formado por todas las matrices cuadradas n× n

que al tomarle la transpuesta queda la misma matriz. Vea que U es

un subespacio de Mn×n.

Demostraci on


Veamos que U cumple los requisitos para ser subespacio:1. Que U 6= ∅.

Efectivamente, la matriz de ceros 0 n× n es una matriz que al tomarle su

transpuesta queda ella misma. Por tanto, 0T = 0. Como U agrupa a todas lasmatrices n× n que cumplen esta propiedad; 0 es un elemento de V . Por tanto,U no es vacío.

2. Que U es cerrado bajo la suma.Tomemos dos matrices cualquiera n× n de U , digamos A y B.

AT = A

BT = B

(A+B)T = AT +B

T

3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares.Sea c un escalar cualquiera y A es un elemento de U cualquiera.

(c ·A)T = c ·AT = c ·A

De lo anterior, concluimos que el conjunto U es un subespacio de Mn×n �


n

Mm×n

P

Pn



Ejemplo

Tomemos como espacio vectorial de referencia Rn con la suma y elproducto por escalares comúnes. Sea A una matriz m× n fija,defina en Rn el conjunto formado por todos los vectores que sonsolución al sistema de ecuaciones homogéneas cuya matriz decoeficientes es A:

U = {x ∈ Rn : A · x = 0}

Vea que U es un subespacio de Rn. Comente si el correspondiente

conjunto de soluciones a un sistema no homogéneo es un

subespacio.


Demostraci on

Veamos que U satisface los requisitos para ser espacio vectorial.1. Que U 6= ∅.

el vector 0 de Rn es un elemento de U .

2. Que U es cerrado bajo la suma.Sean x1 y x2 dos elementos cualquiera de U .

A · x1 = 0 y A · x2 = 0

A · (x1 + x2) = A · x1 +A · x2

= 0+ 0 = 0

3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares.Sean c un escalar cualquiera y y un elemento cualquiera de U .

A · (c · y) = c · (A · y)

= c · 0 = 0

Por lo anterior, U es un subespacio vectorial de Rn.

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