Álgebra Lineal Ma1010 - Profesor Eduardo Uresti...

Dependencia e Independencia Lineal en Rn

Álgebra Lineal - p. 1/37

Álgebra LinealMa1010


Departamento de Matemáticas

ITESM

ObjetivosMotivacionResultado clave 1Idea ClaveDependenciaLinealEjemplo 1Ejemplo 2Resultado clave 2Conjuntos de dosvectoresTamano de unConjunto L.I.Ejemplo 3Pruebas L.D.Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10EjemploResultadosTeoricos



Objetivos

Después del concepto de espacio generado, el siguiente conceptoen importancia es el de dependencia lineal. Este concepto seráintroducido en esta lectura. Los principales apartados son:■ El concepto de conjunto de vectores linealmente dependiente.

■ El proceso para verificar cuando un conjunto de vectores eslinealmente dependiente.

■ La relación entre independencia lineal y sistemas de ecuacioneslineales.

La meta final es analizar las razones por las que un sistema de

ecuaciones tiene infinitas soluciones. Nuestra conclusión será que

se debe a que las columnas de la matriz de coeficientes forman un

conjunto de vectores linealmente dependiente. Si fuera conjunto

independiente, la solución sería única en caso de haber solución.




Motivación

La motivación de este concepto surge del análisisde un sistema de ecuaciones lineales.




Motivación

La motivación de este concepto surge del análisisde un sistema de ecuaciones lineales. Considereel sistema

Ax = b

Supongamos que el sistema sea consistente y quex0 sea una solución al mismo.




Motivación


Ax = b

Supongamos que el sistema sea consistente y quex0 sea una solución al mismo. Es decir,

Ax0 = b




Motivación


Ax = b

Supongamos que el sistema sea consistente y quex0 sea una solución al mismo. Es decir,

Ax0 = b

Supongamos también que x1 sea otra solución alsistema, entonces

Ax1 = b




Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:

Ax0 −Ax1 = b− b = 0





Ax0 −Ax1 = b− b = 0

Factorizando el lado izquierdo tenemos:

A (x0 − x1) = 0





Ax0 −Ax1 = b− b = 0


A (x0 − x1) = 0

Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a

Ax = 0





Ax0 −Ax1 = b− b = 0


A (x0 − x1) = 0


Ax = 0

el cual se conoce como sistema homogéneoasociado al sistema Ax = b.





Ax0 −Ax1 = b− b = 0


A (x0 − x1) = 0


Ax = 0

el cual se conoce como sistema homogéneoasociado al sistema Ax = b. Para el sistemahomogéno asociado, por ser homogéneo,podemos decir que siempre es consistente: todaslas variables igualadas a cero es una solución.Esta solución se conoce como la solución trivial.




Si el sistema homogéneo asociado sólo tiene lasolución 0 entonces x0 − x1 = 0, y por tantox0 = x1. Es decir, si el sistema homogéneoasociado tiene sólo la solución trivial, entonces elsistema Ax = b tiene solución única. Por otrolado, si el sistema homogéneo Ax = 0 tiene otrasolución diferente de 0, digamos xh, entonces:

A (xo + xh) = Axo +Axh = b+ 0 = b

Es decir, si xh es una solución diferente de 0 alsistema homogéneo, entonces x0 + xh es unasolución a Ax = b diferente de xo. Es decir, que siAx = 0 tiene infinitas soluciones entonces elsistema consistente Ax = b también tendráinfinitas soluciones.




entre el sistema y su sistema homogéneo asociado

Esto se puede resumir en el siguiente resultadoque dice que la unicidad de la solución en unsistema consistente queda determinada por launicidad del sistema homogéneo:





Esto se puede resumir en el siguiente resultadoque dice que la unicidad de la solución en unsistema consistente queda determinada por launicidad del sistema homogéneo:Teorema

Suponga el sistema consistente:

Ax = b

Entonces: el sistema tiene solución única si ysólo si el sistema homogéneo asociado tienesolución única.





Esto se puede resumir en el siguiente resultadoque dice que la unicidad de la solución en unsistema consistente queda determinada por launicidad del sistema homogéneo:Teorema

Suponga el sistema consistente:

Ax = b

Entonces: el sistema tiene solución única si ysólo si el sistema homogéneo asociado tienesolución única. Equivalentemente: el sistemano tiene solución única si y sólo si el sistemahomogéneo asociado tiene otra solucióndiferente de la solución trivial.




Idea Clave

De acuerdo con este resultado, la clave para sabersi un sistema de ecuaciones lineales puede tenerinfinitas soluciones está en el análisis del sistemahomogéneo asociado




Idea Clave

De acuerdo con este resultado, la clave para sabersi un sistema de ecuaciones lineales puede tenerinfinitas soluciones está en el análisis del sistemahomogéneo asociado , y esto hace que nosinteresemos en saber si los sistemas homogéneostienen otra solución además de la solución trivial.




Si A = [a1, a2, . . . , an] y x = [x1, x2, . . . , xn]T

entonces el sistema Ax = 0 se convierte en elsistema:

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0




Si A = [a1, a2, . . . , an] y x = [x1, x2, . . . , xn]T


x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0

Por consiguiente, la pregunta:




Si A = [a1, a2, . . . , an] y x = [x1, x2, . . . , xn]T


x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0

Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistemahomogéneo Ax = 0 tiene otra solución ademas dela soluci on trivial?




Si A = [a1, a2, . . . , an] y x = [x1, x2, . . . , xn]T


x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0

Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistemahomogéneo Ax = 0 tiene otra solución ademas dela soluci on trivial? se convierte en:




Si A = [a1, a2, . . . , an] y x = [x1, x2, . . . , xn]T


x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0

Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistemahomogéneo Ax = 0 tiene otra solución ademas dela soluci on trivial? se convierte en: ¿hay forma decombinar linealmente los vectores ai para que denel vector 0 donde no todos los coeficientes sean cero?




Dependencia lineal

Definici onUn conjunto de vectores en Rn, v1, v2,. . . , vk, eslinealmente dependiente




Dependencia lineal

Definici onUn conjunto de vectores en Rn, v1, v2,. . . , vk, eslinealmente dependiente si existen constantes c1,c2,. . . ,ck no todos ceros




Dependencia lineal

Definici onUn conjunto de vectores en Rn, v1, v2,. . . , vk, eslinealmente dependiente si existen constantes c1,c2,. . . ,ck no todos ceros tales que:

c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0.




Dependencia lineal


c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0.

Un conjunto de vectores que no es linealmentedependiente se dice linealmente independiente




Dependencia lineal


c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0.

Un conjunto de vectores que no es linealmentedependiente se dice linealmente independiente :es decir, cuando la única combinación lineal de losvectores que da el vector cero es la que tienentodos sus coeficientes cero.




Ejemplo

Indique si el siguiente conjunto de vectores eslinealmente independiente:

x1 =

4

6

1

, x2 =

1

3

4

, x3 =

−1

−2

−2




Ejemplo


x1 =

4

6

1

, x2 =

1

3

4

, x3 =

−1

−2

−2

Soluci onDebemos ver cómo deben ser las constantes c1, c2y c3 para que:

c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0




El sistema anterior tiene matriz aumentada que alreducirla queda:

4 1 −1 0

6 3 −2 0

1 4 −2 0

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0





4 1 −1 0

6 3 −2 0

1 4 −2 0

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Como el sistema tiene solución única c1 = 0,c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma decombinar los vectores x’s para que den el vectorcero es la que tiene todos los coeficientes cero.





4 1 −1 0

6 3 −2 0

1 4 −2 0

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Como el sistema tiene solución única c1 = 0,c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma decombinar los vectores x’s para que den el vectorcero es la que tiene todos los coeficientes cero.Por tanto, el conjunto de vectores es linealmenteindependiente�




Ejemplo


x1 =

0

−3

3

, x2 =

5

−2

−2

, x3 =

15

−15

3




Ejemplo


x1 =

0

−3

3

, x2 =

5

−2

−2

, x3 =

15

−15

3

Soluci onDebemos ver cómo deben ser las constantes c1, c2y c3 para que:

c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0





0 5 15 0

−3 −2 −15 0

3 −2 3 0

→

1 0 3 0

0 1 3 0

0 0 0 0





0 5 15 0

−3 −2 −15 0

3 −2 3 0

→

1 0 3 0

0 1 3 0

0 0 0 0

Como el sistema tiene infinitas soluciones sededuce que además de la solución c1 = 0, c2 = 0 yc3 = 0 debe tener otras soluciones y en estas otrasal menos un coeficiente c debe ser diferente decero.




Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cerode la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 yc2 = −3c3.




Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cerode la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 yc2 = −3c3. Dando a c3 un valor diferente de cero(por ejemplo c3 = −1) se pueden obtenercoeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3)que hacen que la combinación lineal de el vectorcero.




Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cerode la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 yc2 = −3c3. Dando a c3 un valor diferente de cero(por ejemplo c3 = −1) se pueden obtenercoeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3)que hacen que la combinación lineal de el vectorcero. Por tanto, el conjunto de vectores eslinealmente dependiente�




Criterio de dependencia lineal

El principal resultado para caracterizar conjuntosde vectores linealmente independientes es elsiguiente:Teorema

Sea A = {v1,v2, . . . ,vk} un conjunto devectores en Rn. Son equivalentes lossiguientes hechos.■ El conjunto A es linealmente

independiente.■ Tiene solución única el sistema[v1 v2 · · ·vk|0]

■ Tiene k pivotes la matriz reducida obtenidade [v1 v2 · · ·vk]




Conjuntos de dos vectores

El resultado previo indica que para determinar siun conjunto es linealmente independiente habráque reducir una matriz. Sin embargo, haysituaciones donde no es requerido tal proceso.Teorema

Son equivalentes los siguientes hechos:a. El conjunto formado por los dos vectores

es l.d.b. Un vector es un múltiplo escalar del otro.




Tamaño de un conjunto independiente

Otra situación donde es fácil verificar si unconjunto es linealmente dependiente es cuando elnúmero de elementos rebasa la dimensión delespacio que los contiene:Teorema

Si conjunto de vectores v1, v2,. . . , vk eslinealmente independiente en Rn entoncesk ≤ n.




Tamaño de un conjunto independiente

Otra situación donde es fácil verificar si unconjunto es linealmente dependiente es cuando elnúmero de elementos rebasa la dimensión delespacio que los contiene:Teorema

Si conjunto de vectores v1, v2,. . . , vk eslinealmente independiente en Rn entoncesk ≤ n. Equivalentemente, todo conjunto enRn con más de n vectores es linealmentedependiente.




Ejemplo

Indique si el siguiente conjunto de vectores eslinealmente dependiente:

{[

2

−1

]

,

[

6

4

]

,

[

0

−5

]

,

[

1

−7

]}




Ejemplo


{[

2

−1

]

,

[

6

4

]

,

[

0

−5

]

,

[

1

−7

]}

Soluci onPuesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 eslinealmente dependiente:




Ejemplo


{[

2

−1

]

,

[

6

4

]

,

[

0

−5

]

,

[

1

−7

]}

Soluci onPuesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 eslinealmente dependiente: Número de vectores (4)> dimensión del espacio donde están (2).




Algunas Pruebas de Dependencia Lineal

Algunas pruebas de Dependencia Lineal





Algunas pruebas de Dependencia Lineal1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto

es lineamente dependiente si y sólo si el vectores el vector cero.







2. Si el vector cero pertence a un conjunto devectores, el conjunto es linealmentedependiente.








3. Si en un conjunto de vectores aparecenvectores repetidos el conjunto es linealmentedependiente.








3. Si en un conjunto de vectores aparecenvectores repetidos el conjunto es linealmentedependiente.

4. Si el conjunto consta de más de dos vectores: elconjunto es linealmente dependiente si ysolamente si un vector del conjunto escombinación lineal de los restantes.




5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos esmúltiplo escalar de otro el conjunto eslinealmente dependiente.





6. Si el conjunto consta de más de dos vectores yel primer vector no es el vector cero: el conjuntoes linealmente dependiente si y solamente si unvector del conjunto es combinacion lineal de losvectores anteriores en el conjunto.






7. Si un conjunto de vectores contiene unsubconjunto de vectores que es linealmentedependiente, el conjunto es a su vezlinealmente dependiente.






7. Si un conjunto de vectores contiene unsubconjunto de vectores que es linealmentedependiente, el conjunto es a su vezlinealmente dependiente.

8. Si un conjunto de vectores es linealmenteindependiente, entonces cualquier subconjuntode él también será linealmente independiente.




Ejemplo


x1 =

−3

0

1

, x2 =

−9

0

3




Ejemplo


x1 =

−3

0

1

, x2 =

−9

0

3

Soluci onEl conjunto es linealmente dependiente porque elsegundo vector es múltiplo escalar delprimero.(x2 = 3x1)�




Ejemplo


x1 =

4

−1

−2

, x2 =

0

0

0

, x3 =

−1

4

3




Ejemplo


x1 =

4

−1

−2

, x2 =

0

0

0

, x3 =

−1

4

3

Soluci onEl conjunto es linealmente dependiente porque elvector cero está en el conjunto: x2 = 0 · x1�




Ejemplo

¿Para qué valor de a el siguiente conjunto devectores es linealmente dependiente?

{[

1

−2

]

,

[

6

a

]}




Ejemplo

¿Para qué valor de a el siguiente conjunto devectores es linealmente dependiente?

{[

1

−2

]

,

[

6

a

]}

Soluci onAl formar la matriz aumentada y escalonartenemos:

[

1 6 0

−2 a 0

]

→

[

1 −2 0

0 12 + a 0

]




El sistema tendrá solución infinitas cuando12 + a = 0, es decir, cuando a = −12.




El sistema tendrá solución infinitas cuando12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto,para a = −12 el conjunto es linealmentedependiente.




El sistema tendrá solución infinitas cuando12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto,para a = −12 el conjunto es linealmentedependiente. Mientras que para a 6= −12 eslinealmente independiente�




Ejemplo

Suponga que el conjunto

{v1, v2, v3, v4, v5}

es linealmente independiente. ¿Será el conjunto

{v4, v3, v2}

linealmente independiente?




Ejemplo


{v1, v2, v3, v4, v5}

es linealmente independiente. ¿Será el conjunto

{v4, v3, v2}

linealmente independiente?Soluci onCierto: Puesto que el conjunto es linealmenteindependiente, cualquier subconjunto de el serálinealmente independiente�




Ejemplo


{v3, v1, v2, }

es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto

{v1, v2, v3, v4, v5}

linealmente dependiente?




Ejemplo


{v3, v1, v2, }


{v1, v2, v3, v4, v5}

linealmente dependiente?Soluci onCierto: Puesto que el conjunto es linealmentedependiente, cualquier conjunto que lo contenga serálinealmente dependiente�




Ejemplo


{v1, v2, v3, v4, v5}


{v3, v5, v4}

linealmente independiente?




Ejemplo


{v1, v2, v3, v4, v5}


{v3, v5, v4}

linealmente independiente?Soluci onNo se puede deducir ninguna conclusión definitiva:El conjunto puede ser linealmente dependiente oindependiente�




Ejemplo

Suponga que los vectores v1 y v2 forman unconjunto linealmente independiente. ¿Será elsiguiente conjunto linealmente independiente?

{y1 = −2v1 − 2v2, y2 = 2v1 − 3v2}




Ejemplo


{y1 = −2v1 − 2v2, y2 = 2v1 − 3v2}

Soluci onBuscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2para que:

c1y1 + c2y2 = 0




Ejemplo


{y1 = −2v1 − 2v2, y2 = 2v1 − 3v2}

Soluci onBuscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2para que:

c1y1 + c2y2 = 0

Es decir

c1 (−2v1 − 2v2) + c2 (2v1 − 3v2) = 0




Desarrollando esto queda:

(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0





(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0

Como el conjunto {v1,v2} es linealmenteindependiente los coeficientes de la combinaciónlineal anterior deben ser cero:





(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0


− 2c1 + 2c2 = 0

− 2c1 − 3c2 = 0





(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0


− 2c1 + 2c2 = 0

− 2c1 − 3c2 = 0

Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.





(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0


− 2c1 + 2c2 = 0

− 2c1 − 3c2 = 0

Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.Por tanto, la única combinación lineal de losvectores y que da el vector 0 es la que tienecoeficientes cero.





(−2c1 + 2c2)v1 + (−2c1 − 3c2)v2 = 0


− 2c1 + 2c2 = 0

− 2c1 − 3c2 = 0

Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.Por tanto, la única combinación lineal de losvectores y que da el vector 0 es la que tienecoeficientes cero. Por tanto, el conjunto {y1,y2} eslinealmente independiente�




Ejemplo

Considere el sistema Ax = b. Si las columnas deA forman un conjunto l.d., entonces el sistema

A no se sabe si tiene solución.

B tiene infinitas soluciones.

C tiene solución única.




Ejemplo

Considere el sistema Ax = b. Si las columnas deA forman un conjunto l.d., entonces el sistema

A no se sabe si tiene solución.

B tiene infinitas soluciones.

C tiene solución única.Soluci onRecuerde que la consistencia no depende de silas columnas de A son un conjunto linealmenteindependiente. Lo que se tiene es que si Ax = b

es consistente entonces habrá solución única si ysólo si las columnas de A forman un conjunto li.En este caso, la respuesta más conveniente esA : no se sabe si tiene solución�




Ejemplo

Suponga que el sistema Ax = b tiene solucionesinfinitas para un vector b particular. ¿El conjuntode las columnas de la matriz de coeficientes serálinealmente dependiente?

A Falso

B No hay suficiente información para concluir

C Cierto




Ejemplo

Suponga que el sistema Ax = b tiene solucionesinfinitas para un vector b particular. ¿El conjuntode las columnas de la matriz de coeficientes serálinealmente dependiente?

A Falso

B No hay suficiente información para concluir

C CiertoSoluci onEl dato es que Ax = b tiene soluciones infinitas.Por tanto, Ax = 0 tiene soluciones infinitas. Portanto, es cierto que las columnas de A sondependientes �




EjemploSuponga que el sistema Ax = b es tal que el conjunto de lascolumnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente,qué se puede decir de la solución al sistema?

A Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones

B Que si acaso existe solución, entonces es única

C Que sí existen infinitas soluciones

D Que sí existe y además es única




EjemploSuponga que el sistema Ax = b es tal que el conjunto de lascolumnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente,qué se puede decir de la solución al sistema?

A Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones

B Que si acaso existe solución, entonces es única

C Que sí existen infinitas soluciones

D Que sí existe y además es única

Soluci on

Nuevamente, el dato sólo sirve para describir el comportamiento de

las soluciones en caso de haber. La respuesta es que A Que si

acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones �




EjemploSuponga que el sistema Ax = b n× n es tal que tiene soluciónúnica para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistenteel sistema Ax = b1?

A Consistente o inconsistente, si consistente solución única.

B Consistente o inconsistente, si es consistente puede tenerinfinitas.

C Consistente sin importar b1 y tiene solución única.

D No hay información para saber si es consistente.




EjemploSuponga que el sistema Ax = b n× n es tal que tiene soluciónúnica para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistenteel sistema Ax = b1?

A Consistente o inconsistente, si consistente solución única.

B Consistente o inconsistente, si es consistente puede tenerinfinitas.

C Consistente sin importar b1 y tiene solución única.


Soluci on

Si tiene solución única para un b se deduce que las columnas de A

son linealmente independientes. Por tanto, y como A tiene n

columnas, si a A se le aplica rref quedan n pivotes. Como A tiene

n renglones entonces en la reducida de A quedarán pivotes en

cada renglón. Por tanto, las columnas de A generan todo Rn. Por

consiguiente, para cualquier otro vector b1 de Rn el sistema será

consistente y tendrá solución única: C �




EjemploSuponga que el sistema Ax = b n× n tiene infinitas solucionespara un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente elsistema Ax = b1?

A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentetendrá solución única.

B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentepuede tener soluciones infinitas.

C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene solucionesinfinitas..


E Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentetiene soluciones infinitas.




EjemploSuponga que el sistema Ax = b n× n tiene infinitas solucionespara un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente elsistema Ax = b1?

A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentetendrá solución única.

B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentepuede tener soluciones infinitas.

C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene solucionesinfinitas..



Soluci on

Dado que tiene infinitas soluciones para un b se deduce que las

columnas de A son linealmente dependientes. Por tanto, y como A

tiene n columnas, si a A se le aplica rref quedan menos de n




EjemploSuponga que el sistema Ax = b m× n (con n > m) esinconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 seráconsistente el sistema Ax = b1?

A Será siempre inconsistente.

B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentepuede tener soluciones infinitas o solución única.

C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene solucionesinfinitas.

D No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas oúnica.





EjemploSuponga que el sistema Ax = b m× n (con n > m) esinconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 seráconsistente el sistema Ax = b1?

A Será siempre inconsistente.

B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistentepuede tener soluciones infinitas o solución única.

C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene solucionesinfinitas.

D No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas oúnica.


Soluci on

Dado que el número de columnas de A es mayor que el número de

renglones, entonces después de reducir A quedarán a lo más m

pivotes, que será menor que n. Por consiguiente las columnas de




Resultados teóricos

Veremos ahora un par de resultados que serviránpara elaborar la teoría de la dimensión y que sonrelativos al concepto de dependencia lineal:Teorema

Si el conjunto S1 = {v1,v2, . . . ,vk} eslinealmente independiente entonces:a. Cualquier vector y en el generado por S,

se puede escribir en forma única comocombinación lineal de los vectoresv1,. . . ,vk.

b. Si vk+1 no pertenece al generado por S1,entonces el nuevo conjuntoS2 = {v1,v2, . . . ,vk,vk+1} es linealmenteindependiente.

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