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Solo con fines educativos Álgebra Lineal Álgebra Lineal Gabriel Villaseñor Aguilar EDICIÓN 2015 Para estudiantes de ingeniería Para estudiantes de ingeniería

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Solo con fines educativos

Álgebra LinealÁlgebra Lineal

Gabriel Villaseñor Aguilar

EDICIÓN 2015

Para estudiantes de ingenieríaPara estudiantes de ingeniería

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Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif,Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén,

Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe

Álgebra

LinealPara estudiantes de ingeniería

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.

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IIIAcerca de los autores

Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la UniversidadMichoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en CienciasMatemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmentelabora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Depar-tamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como ase-sor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursosorganizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participadocomo jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacionalde Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también comodocente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnicade Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador deeducación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.

Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el áreade Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidal-go (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos(RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labo-ra en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamen-to de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora delequipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organi-zados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería(ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con expe-riencia docente hasta nivel Posgrado.

Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por elInstituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Can-non Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Cano-fil S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente co-laborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la UniversidadMarista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamentode Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe delDepartamento de Ciencias Básicas en la misma institución.

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Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tec-nológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. enIngeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos pro-gramas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITMadscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacadopor participar como asesor del equipo de estudiantes representativo dela Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacionalde Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacio-nal de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio deDibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.

Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigacióny Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM),adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por par-ticipar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITMen los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México(TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.

Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por laUniversidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actual-mente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Mo-relia (ITM).

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Vprefacio

El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamientológico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver proble-mas.

Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximara través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y con-vertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno nolineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal.

Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver proble-mas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería.

Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión delos dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales,espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales.

Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones di-ferenciales y en otras materias de especialidad.

El propósito de estas notas de Álgebra lineal, es complementar al estudiante en el aprendizajey manejo de los conceptos básicos u operaciones entre números complejos, así como generarherramientas técnicas para encontrar la solución de distintos problemas que involucran a losnúmeros complejos.

Este trabajo representa un esfuerzo de síntesis en la selección del conjunto de ejemplos y pro-blemas, cada uno de ellos con un especial interés en que su contenido sea lo mas representativoposible de el tema correspondiente.

El objetivo de este trabajo es presentar los principales conceptos básicos de la materia de Ál-gebra lineal así como de sus aplicaciones, orientando de esta forma la metodología para que elestudiante pueda identificar y construir un modelo matemático, además ser capaz de resolver-lo.

La asignatura pretende proporcionar al alumno los conceptos esenciales del álgebra lineal. Seorganiza el temario en cinco unidades. Primeramente se estudian los números complejos co-mo una extensión de los números reales, tema ya abordado en otros cursos de matemáticas. Sepropone iniciar con esta unidad para así utilizar los números complejos en el álgebra de matri-ces y el cálculo de determinantes. Además, el concepto de número complejo será retomado enel curso de ecuaciones diferenciales.

El estudio de Matrices y determinantes se propone como segunda unidad y previo a los siste-mas de ecuaciones lineales con la finalidad de darle la suficiente importancia a las aplicacionesde las matrices, ya que prácticamente todos los problemas del álgebra lineal pueden enunciar-se en términos de matrices. Por la necesidad de que el alumno comprenda si una matriz tiene

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inversa, además del cálculo para obtenerla, se ha añadido antes del subtema cálculo de la inver-sa de una matriz, los conceptos: Transformaciones elementales por renglón, escalonamientode una matriz y rango de una matriz.

Es importante, para el estudiante, aprender el concepto de transformaciones elementales porrenglón para desarrollar el escalonamiento de una matriz como método para obtener la inver-sa. Para determinar si una matriz tiene inversa o no, evitando el concepto de determinante eneste momento, se aborda el concepto de rango como el número de renglones con al menos unelemento diferente de cero de cualquiera de sus matrices escalonadas. Asimismo, se proponeque al final de la unidad dos se estudien aplicaciones tales como análisis de redes, modeloseconómicos y gráficos. Es importante resaltar que lo analizado aquí se utilizará en unidadesposteriores de esta asignatura como en la dependencia lineal de vectores y la representaciónde transformaciones lineales, y en otras asignaturas como en el cálculo del wronskiano para ladependencia lineal de funciones.

En la siguiente unidad se estudian los espacios vectoriales que se presentan en el temario demanera concisa, pero comprenden lo esencial de ellos. El temario de transformaciones linea-les se presenta condensado haciendo énfasis en las aplicaciones y en la transformación linealcomo una matriz.

Los contenidos presentados constituyen los elementos básicos indispensables. Se proponenactividades de aprendizaje que permitan al alumno conocer el ambiente histórico que da ori-gen a los conceptos del álgebra lineal, y a partir de ello extender el conocimiento.

Las actividades de aprendizaje recomendadas pretenden servir de ejemplo para el desarrollode las competencias, mencionadas más adelante en este documento, y se propone adecuarlasa la especialidad y al contexto institucional.

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Prólogo

Prólogo a la primera edición

Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Álgebra Linealque se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado y soportadopor la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por establecer unmaterial de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con características propias einherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes.

Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, puesse enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garan-tizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos.

El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del ÁlgebraLineal, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudiante realizarun repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos.

Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cuatro unidades temáticas, abordados de ma-nera gradual y en gran medida de forma intuitiva:

1. Números complejos.

2. Matrices y determinantes.

3. Espacios vectoriales.

4. Transformaciones lineales.

Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como loson formularios, gráficos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante cursomasivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Álgebra Lineal, de manera gratuita a todos los interesa-dos en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de esta asignaturaen un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo por reducirlos índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas de nuestrosistema.

Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñanlibros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante enel aula.

Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.

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Competencias a desarrollar

Competencias específicas

Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y siste-mas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.

Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales pa-ra describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

Competencias genéricas

Procesar e interpretar datos

Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, alge-braica, trascendente y verbal.

Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.

Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.

Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.

Resolución de problemas.

Analizar la factibilidad de las soluciones.

Toma de decisiones.

Reconocimiento de conceptos o principios integradores.

Establecer generalizaciones.

Argumentar con contundencia y precisión.

Objetivo general del curso (competencia específica a desarrollaren el curso)

Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemasde ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades delos espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas yvincularlos con otras ramas de las matemáticas.

Competencias previasManejar el concepto de los números reales y su representación gráfica.

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Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Emplear las funciones trigonométricas.

Graficar rectas y planos.

Obtener un modelo matemático de un enunciado.

Utilizar software matemático.

Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas)

Despertar la curiosidad de la investigación con biografías de personas que hicieron apor-taciones a las matemáticas o problemas hipotéticos con el fin de acrecentar el sentido yla actitud crítica del estudiante.

Utilizar software de matemáticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadorasgraficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, laconstrucción de gráficas y la interpretación de resultados.

Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos ad-quiridos y los relacionen con su carrera.

Proponer problemas que:

• Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución.

• Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posterio-res.

• Modelen y resuelvan situaciones reales de ingeniería mediante conceptos propiosdel álgebra lineal.

Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos ydefiniciones.

Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades deinvestigación.

Sugerencias de evaluaciónLa evaluación de la asignatura debe de ser continua y se debe considerar el desempeño encada una de las actividades de aprendizaje, haciendo especial énfasis en obtener evidencias deaprendizaje como:

Reportes escritos.

Solución de ejercicios.

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Actividades de investigación.

Elaboración de modelos o prototipos.

Análisis y discusión grupal.

Resolución de problemas con apoyo de software.

Exámenes escritos para comprobar el manejo de aspectos teóricos y declarativos.

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XIÍNDICE GENERALENERAL

PRÓLOGO VII

1 NÚMEROS COMPLEJOS 1

1.1 Números imaginarios. 2

1.2 Definición de números complejos 3

1.3 Operaciones con números complejos. 5

Suma de números complejos. 5Multiplicación de números complejos. 6Módulo o valor absoluto de un número complejo. 7Números complejos conjugados. 8División de números complejos 9

1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. 10

1.5 Potencias y raíces de un número complejo. 12

Potencia de un número complejo. 12Raíces de un número complejo 13Potencias fraccionarias 15

1.6 Logaritmo de un número complejo. 16

1.7 Ecuaciones polinomiales complejas 18

Ecuaciones de primer grado 18Ecuaciones de segundo grado 19Polinomios de grado superior 20

1.8 Evaluaciones sumativas 21

Ejercicios 21

2 MATRICES Y DETERMINANTES 23

2.1 Definición de matriz, notación y orden 24

Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene 25

2.2 Operaciones con matrices 27

Suma de matrices. 27Multiplicación de matrices 28Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones 30

2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas 34

Método de Gauss 35Método de Gauss-Jordan 37

2.4 Determinante de una matriz 38

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2.5 Inversa de una matriz 43

Método de la adjunta 44Método de Gauss-Jordan 45

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales 48

Interpretación geométrica 50Solución de sistemas de ecuaciones. 52

2.7 Evaluaciones sumativas 57

Ejercicios 57

3 ESPACIOS VECTORIALES 59

3.1 Definición de un espacio vectorial 60

3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades 64

Intersección de subespacios vectoriales 66Suma de subespacios vectoriales 67

3.3 Dependencia e independencia lineal 69

3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial 73

3.5 Ortonormalización 76

Cambio de la base canónica a otra base 76Cambio de bases en general 78Bases ortonormales 79

3.6 Evaluaciones sumativas 82

Ejercicios 82

4 TRANSFORMACIONES LINEALES 85

4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal 85

4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 89

4.3 Representación matricial de una transformación lineal 95

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales 98

4.5 Evaluaciones sumativas 108

Ejercicios 108

A FÓRMULAS DE GEOMETRÍA 111

A.1 Figuras geométricas 2D 111

A.2 Figuras geométricas 3D 112

A.3 Geometría plana 113

B FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA 115

C FÓRMULAS DE DERIVADAS 117

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D FÓRMULAS DE INTEGRALES 119

E FÓRMULAS DE CÁLCULO VECTORIAL 123

F RESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS 125

BIBLIOGRAFÍA 132

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11 Números Complejos

Introducción

Los números complejos son una extensión de los números reales y se denotan con la letramayúscula C. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real yuno imaginario, conservando todas las propiedades de los números reales.Los números complejos son importantes en el álgebra, variable compleja, ecuaciones diferen-ciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras. Son utilizados con especial énfasis en lamatemática pura, mecánica cuántica y la ingeniería, especialmente en la electrónica y sistemascomputacionales.

Competencia específica a desarrollar

Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las opera-ciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales yen diferentes aplicaciones de ingeniería.

Actividades de Aprendizaje

Investigar el origen del término número imaginario.

Discutir el proceso de solución de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b2−4ac < 0 para introducir la definición de i =

p−1 .

Comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b2 −4ac < 0 para introducir las operaciones de suma y multiplicación de números complejos.

Reconocer que cualquier potencia del número imaginario i se puede representar como±i o ±1.

Graficar un mismo número complejo en la forma rectangular y su forma polar en el planocomplejo para deducir las fórmulas de transformación entre diferentes formas de escri-bir números complejos.

Analizar la fórmula de Euler para convertir un número complejo a su forma polar o rec-tangular.

Ejercitar las operaciones de suma, multiplicación y división con complejos representa-dos en sus diferentes formas.

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1.1 Números imaginarios. Álgebra lineal.

Analizar el teorema de De Moivre y aplicarlo para extraer potencias y raíces de númeroscomplejos.

Resolver ecuaciones polinómicas con raíces complejas.

Utilizar software matemático para resolver operaciones con números complejos.

Resolver problemas de aplicación en ingeniería que involucren el uso de los númeroscomplejos.

1.1 Números imaginarios.Los números imaginarios surgen de la necesidad de resolver problemas que con números realesson difíciles o imposibles de solucionar, uno de estos casos ocurre cuando es necesario obtenerlas raíces cuadradas de un número negativo; por ejemplo, al resolver la ecuación

x2 +a = 0 donde a ∈R+

llegamos a que x = ±p−a, pero esto no es un número real, así que dentro de los números

reales ésta ecuación no tiene solución. ¿Qué podemos hacer?, lo primero que se puede intentares agregar ese número al conjunto de los de los números reales y listo. El problema es quedeberíamos agregar muchos valores (todos los que pueda tomar a), lo cual no es práctico; sinembargo, podemos hacer lo siguiente: cada vez que tengamos una raíz de un número negativolo separamos de la siguiente manera

p−a =

(−1)(a) =p

ap−1

Como este procedimiento siempre es válido y lap

a es un número real, el único problema seríacon la

p−1, esto nos conduce a

Definición 1.1 Número imaginario

La raíz cuadrada del número negativo −1 se define como

i =p−1,

donde a i se le denomina unidad imaginaria.

Con esto resolvemos completamente nuestro problema. Observemos que acabamos de definirun conjunto de números muy grande; el de los imaginarios, que se representa con la letra I

y cuyos elementos son de la forma a i donde a es cualquier número real e i es el de nuestradefinición anterior.

Una de las características importantes de los números imaginarios se observa cuando los ele-vamos a potencias enteras. Veamos como se comportan

i =p−1,

i 2 = (p−1)2 =−1,

i 3 = i 2 i =−p−1 =−i ,

i 4 = i 3 i = (−i )(i ) =−(i )2 = 1,

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1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.

i 5 = i 4 i = (1)(i ) = i ,

i 6 = i 5 i = (i )(i ) =−1.

Como podemos observar, después de la potencia 4 el resultado es cíclico, por lo que podría-mos expresar cualquier potencia de i en términos de las primeras 4 (más específicamente, entérminos de i o 1), usando el teorema de la división euclidiana en la siguiente forma

i n = i 4(m)+q donde 0 ≤ q < 4 y m, q ∈Z

El hecho de descomponer a n en una expresión que contiene una multiplicación de 4 por unfactor, es porque sabemos que i 4 = 1 y podemos aprovechar esta situación para simplificarnuestra expresión.

Ejemplo 1.1 Potencias del número imaginario i

Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i 39 entérminos de i o 1.

Solución .Primero descomponemos 39 = 4(9)+3 luego escribimos

i 39 = i 4(9)+3 = (i 4)9(i 3) = (1)9(i 3) = i 3 =−i .

Ejemplo 1.2 Potencias del número imaginario i

Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i−23 entérminos de i o 1.

Solución .Primero descomponemos −23 = 4(−6)+1 luego escribimos

i−23 = i 4(−6)+1 = (i 4)−6(i ) = (1)−6(i ) = i .

Ejemplo 1.3 Número imaginario elevado a la potencia cero

Expresar i 0 en términos de i o 1.

Solución .Al igual que en los ejemplos anteriores, descomponemos 0 = 4(0)+0 = 4(0), para luegoescribir

i 0 = i 4(0) = (i 4)0 = (1)0 = 1.

1.2 Definición de números complejosObservemos que se pueden identificar los números reales dentro del plano cartesiano como elpar (x,0), x ∈ R. También podemos representar al conjunto de números imaginarios como el

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1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.

Eje Imaginario

Eje Real

Figura 1.1. Plano complejo

par ordenado (0, y), con y ∈R. De esta forma obtenemos gráficamente el plano complejo, en lasiguiente formaCualquier elemento de este plano está representado por un número complejo z que consta deuna parte real y una imaginaria. En general podemos definir al conjunto de números complejosen la siguiente forma

Definición 1.2 Números complejos

El conjunto de números complejos C se define como el conjunto de todos los pares or-denados z = (x, y), con x, y ∈R.

A los elementos de este conjunto, los podemos ubicar dentro del plano complejo en forma simi-lar a como lo hacemos con el par ordenado (x, y) ∈ R

2 dentro del plano cartesiano. Lo anteriorse lleva a cabo realizando dos recorridos partiendo del origen del plano: el primero avanzandox unidades sobre el eje real, seguido de un avance de y unidades en dirección paralela al ejeimaginario; el segundo con un desplazamiento de y unidades sobre el eje imaginario, seguidode un desplazamiento de x unidades en dirección paralela al eje real. El punto donde se cruzanestos dos recorridos, corresponde a el número complejo z = x + yi , como lo muestra la figura1.2.

Eje Imaginario

Eje Real

= + 𝑖

Figura 1.2. Números complejos en el plano

La figura anterior sugiere que se puede proponer que un número complejo z se obtiene su-mando un elemento real con uno imaginario en la forma

z = (x,0)+ (0, y) = (x, y).

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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.

Observación

Un número complejo que solo contiene la parte real, se identifica con los números reales;si únicamente tiene la parte imaginaria, se conoce como número imaginario puro.

Por otro lado si denotamos la unidad de los números reales como 1 = (1,0) y la unidad de losnúmeros imaginarios puros como i = (0,1), podemos escribir

z = (x, y) = x(1,0)+ y(0,1) = x + yi ,

que es una notación algebraica para los números complejos. Esta representación ha mostradoser de mayor utilidad al realizar operaciones dentro del campo complejo.

Ejemplo 1.4 Puntos en el plano complejo

Graficar los puntos z1 = 2+2i , z2 =−3+ i y z3 = 0−2i en el plano complejo.

Solución .Los puntos quedan ubicados de acuerdo a la siguiente gráfica.

z1

z2

z3

-3 -2 -1 1 2Eje Real

-2

-1

1

2

Eje Imaginario

Observación

De acuerdo a su posición en el plano complejo, claramente se puede ver que dos nú-meros complejos son iguales si y solo si tienen partes reales iguales y partes imaginariasiguales; es decir

z1 = z2 si y solo si Re z1 = Re z2 e Im z1 = Im z2

1.3 Operaciones con números complejos.Para realizar operaciones con números complejos es más práctico usar la notación z = x + yi ,con la cual estaremos trabajando de aquí en adelante, sin embargo, es importante recalcar quesiempre es bueno asociar una operación compleja en su forma geométrica, que siempre esposible hacerlo, representado los números complejos como vectores en el plano y haciendouso de sus operaciones ya definidas.

1.3.1 Suma de números complejos.

Sean z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i dos números complejos. Para hacer la operación de suma,basta con sumar por separado la parte real y la parte imaginaria en la siguiente forma:

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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.

z1 + z2 = (x1 + y1i )+ (x2 + y2i ) = (x1 +x2)+ (y1 + y2)i . (1.1)

Es importante señalar que el resultado sigue siendo un número complejo en la forma z = x+yi .

Ejemplo 1.5 Suma de números complejos

Dados z1 = 3−4i , z2 = 1+2i y z3 =−14 i realizar la suma z1 + z2 + z3.

Solución .z1 + z2 + z3 = (3−4i )+ (1+2i )+ (−1/4i ) = 4− 9

4 i .

Los números complejos bajo la operación de suma forman un grupo conmutativo1 algebraico;es decir cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura: Para todo z1 , z2 ∈C se cumple que z1 + z2 ∈C.

Propiedad asociativa: Sean z1,z2 y z3 ∈C, se cumple (z1 + z2)+ z3 = z1 + (z2 + z3).

Propiedad conmutativa: Sean z1 y z2 ∈C se cumple que z1 + z2 = z2 + z1

Existencia del elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ C tal que z +0 = 0+ z = z; esteelemento es 0+0i .

Existencia del inverso aditivo: Todo número complejo z ∈ C, tiene un inverso aditivo−z ∈C tal que z + (−z) = 0.

1.3.2 Multiplicación de números complejos.

Para realizar la operación de multiplicación dentro de los números complejos procedemos enla siguiente forma: primero consideramos como si fueran polinomios y los multiplicamos si-guiendo el procedimiento para el producto algebraico polinomial, es decir;Dados dos números complejos z1 = x1 + yi1 y z2 = x2 + y2i , su producto es

z1z2 = (x1 + y1i )(x2 + y2i ) = x1x2 +x1 y2i + y1x2i + y1 y2i 2

luego simplificamos las potencias de i y agrupamos parte real e imaginaria para obtener

z1z2 = (x1x2 − y1 y2)+ (x1 y2 + y1x2)i (1.2)

Ejemplo 1.6 Producto de números complejos

Dados z1 = 2−5i y z2 = 1−2i , realizar el producto z1 z2 y obtener (z1)2.

Solución .De acuerdo con el procedimiento descrito tenemos que

z1 z2 = (2−5i )(1−2i ) = 2−4i −5i +10i 2 =−8−9i ,

(z1)2 = (2−5i )2 = 4−20i +25i 2 = 4−20i −25 =−21−20i .

Los números complejos bajo la operación de producto cumplen con las siguientes propieda-des:

1Este término se usa en teoría de grupos y se estudia en álgebra moderna

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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.

Propiedad de cerradura: Para todo z1 , z2 ∈C se cumple que z1 z2 ∈C.

Propiedad asociativa: Sean z1,z2 y z3 ∈C, se cumple (z1 z2)z3 = z1(z2 z3).

Propiedad conmutativa: Sean z1 y z2 ∈C se cumple que z1 z2 = z2 z1

Elemento neutro: Existe un elemento 1 ∈C tal que z ·1 = 1 · z = z este elemento es 1+0i .

Inverso multiplicativo: Todo número complejo z 6= 0, tiene un inverso multiplicativo1z ∈C tal que z( 1

z ) = 1.

1.3.3 Módulo o valor absoluto de un número complejo.

Debido a que a los números complejos los identificamos como puntos en el plano complejo, noes posible la comparación, sin embargo, es útil tener algún orden, por lo que podemos definirel módulo o valor absoluto de un número complejo, el cual nos definirá la distancia de estepunto al origen en el plano complejo. Así, con la ayuda del teorema de Pitágoras, obtenemos:

Definición 1.3 Valor absoluto

El módulo o valor absoluto de un número complejo z = (x + yi ) está dado por |z| =√

x2 + y2.

Observación

Decimos que un número complejo z1 es más grande que z2 si z1 está más alejado delorigen; es decir, si |z1| > |z2|.

Ejemplo 1.7 Valor absoluto

Si tenemos los números z1 =−3+2i y z2 = 1+4i , ¿cuál de los dos es más grande?

Solución .Al calcular el valor absoluto de ambos números, tenemos

|z1| = |−3+2i | =√

(−3)2 +22 =p

13 y

|z1| = |1+4i | =p

12 +42 =p

17.

Por lo que z2 es el más alejado del origen y podemos decir que es más grande que z1.

Como ya se mencionó en la definición de valor absoluto, en realidad estamos midiendo la dis-tancia del punto z = (x, y) al origen; sin embargo, esta definición se puede generalizar paramedir la distancia entre cualesquiera dos números complejos en la siguiente forma

d(z1, z2) = |z2 − z1| =√

(x2 −x1)2 + (y2 − y1)2

Ejemplo 1.8 Distancia entre números complejos

Encontrar la distancia entre los números complejos z1 = 3−2i , z2 =−1+3i .

Solución .

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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.

d(z1, z2) = |(−1+3i )− (3−2i )| =√

(−1−3)2 + (3+2)2 =p

16+25 =p

41.

Dados dos números complejos z y w se pueden comprobar fácilmente las siguientes propie-dades del valor absoluto

1. |z| = 0 ⇔ z = 0,

2. |z +w | ≤ |z|+ |w |,

3. |zw | = |z||w |,

4. |z −w | ≥ |z|− |w |.

1.3.4 Números complejos conjugados.

Dos binomios que tienen los mismos términos son conjugados si solo difieren en el signo deun término, por ejemplo, los binomios a +b y a −b son conjugados entre sí. Al igual que estadefinición de polinomios reales, podemos definir el conjugado de un número complejo z comoun nuevo número complejo, en la siguiente forma

Definición 1.4 Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo z = x+yi , se obtiene cambiando de signo la parteimaginaria y se representa por z = x − yi .

Sean z, w dos números complejos. El conjugado de estos números, tiene las siguientes propie-dades bajo las operaciones de suma y multiplicación.

1. zz = |z|2,

2. z + z = 2Re(z),

3. z − z = 2 Im(z),

4. z +w = z +w ,

5. z w = z w ,

6. 1z = z

|z|2 ,

7. z ∈R⇔ z = z.

Observemos que la propiedad 6 define con mayor claridad el inverso multiplicativo de un nú-mero complejo.

Ejemplo 1.9 Propiedades de los números complejos

Mostrar que se cumple la propiedad 4 de los complejos conjugados.

Solución .Sean z = a +bi y w = c +di . Entonces

z +w = (a +bi )+ (c +di ) = (a + c)+ (b +d)i .

Ahora, como quitar la barra de número conjugado equivale a cambiar de signo la parte

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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.

imaginaria, escribimos la ecuación anterior como

(a + c)− (b +d)i = (a −bi )+ (c −di ) = z +w .

El conjugado de un número complejo sigue las mismas reglas que se usan para los signos deagrupación dentro de los números reales.

Ejemplo 1.10 Simplificación de un número complejo

Simplificar la expresión (3−2i )+5+5i −6i .

Solución .Comenzamos por quitar el conjugado de las expresiones más pequeñas y seguimos hastalas más grandes en la siguiente forma

(3+2i )+5+5i − (−6i ) = 8+13i = 8−13i .

Actividad complementaria 1.1

Simplificar la expresión (2− i )2 +5+5i − (−1−2i )(−1−2i ).

1.3.5 División de números complejos

Para realizar la división usaremos la conocida idea de multiplicar tanto numerador como de-nominador por un mismo número. Además, considerando la propiedad 1 del conjugado de unnúmero complejo, obtenemos la división en la siguiente forma:

z1

z2=

z1z2

z2z2=

z1z2

|z2|2. (1.3)

Observación

Para recordar más fácilmente el proceso de hacer una división entre números complejos,notemos que en realidad lo que se hace es multiplicar y dividir por el conjugado deldenominador (ésto se conoce en álgebra elemental como racionalizar el denominador).

Estas operaciones lo que hacen en realidad es eliminar la parte imaginaria del denominador,de tal manera que esta división de números complejos se convierta en una división de númerosreales y nos facilite efectuar la operación.

Ejemplo 1.11 División de números complejos

Simplificar la siguiente expresión( 3

2−3i

)( 11+i

)

.

Solución .Primero multiplicamos los números

(

3

2−3i

)(

1

1+ i

)

=3

2+2i −3i −3i 2=

3

5− i,

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1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.

luego multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador,

3

5− i

5+ i

5+ i=

15+3i

25− i 2=

15+3i

25+1,

al simplificar ésta última expresión obtenemos el complejo z = 1526 +

326 i .

Actividad complementaria 1.2

Simplificar la expresión3− i

4+2i+

2i

1− i.

1.4 Formas polar y exponencial de un número com-

plejo.Recordemos que para ubicar un punto en el plano polar (usando coordenadas polares), se es-cribe el par ordenado (r,θ), donde:

r =√

x2 + y2 es la distancia del punto al origen,

θ = arctan( y

x

)

es el ángulo medido a partir del eje X positivo,

tomando en cuenta que un ángulo positivo se mide con un giro en sentido contrario a las ma-necillas del reloj.

De igual manera podemos representar un numero dentro del plano polar complejo (conocien-do el ángulo que forma con el eje real y la distancia a la que se encuentra del origen ), como semuestra en la figura 1.3.

Eje Imaginario

𝜃

𝑟

Eje Real

𝑧

Figura 1.3. Representación gráfica del plano polar complejo

De esta gráfica, usando funciones trigonométricas, podemos deducir las siguientes ecuacionespara x y y en términos de r y θ.

x = r cosθ y = r senθ,

lo cual nos permite escribir un numero complejo z = x + yi en su forma polar como:

z = r (cosθ+ i senθ) con r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π (1.4)

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1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.

Observación

A r se le conoce como módulo de z y mide la distancia del número complejo alorigen; por lo tanto, debe ser positivo.

El ángulo θ se conoce como Ar g z . Se pide que tenga su valor entre cero y 2π por-que las funciones trigonométricas son cíclicas con periodo igual a 2π, y se cumpleque

z = r (cos(θ)+ i sen(θ)) = r (cos(θ+2nπ)+ i sen(θ+2nπ)) para todo n ∈Z,

Para escribir un número complejo en forma exponencial, usaremos la fórmula de Euler (pre-sentada por Leonhard Euler), la cual establece que:

e iθ = cosθ+ i senθ (1.5)

y nos permite escribir un número complejo no nulo en forma exponencial de la siguiente ma-nera:

z = r e iθ, (1.6)

que es una forma práctica y compacta para trabajar dentro del campo complejo.

Observación

Para calcular el ángulo, la calculadora da resultados normalmente entre −π y π, por loque se debe siempre ubicar el número complejo en el plano para saber en que cuadranteestá, y en base a esto sumarle π

2 ,π, 3π2 o 2π radianes, según sea el caso.

Ejemplo 1.12 Forma exponencial de números complejos

Convertir a su forma exponencial z = 1− i .

Solución .El valor de la magnitud r =

p2, además θ =−π

4 , sin embargo como el número complejoestá en el cuarto cuadrante y debemos expresarlo dentro del rango (0,2π) le sumamos

2π, es decir, θ =7

4π. Finalmente usando la ecuación 1.6

z =p

2e7π4 i .

Ejemplo 1.13 Forma polar y cartesiana de números complejos

Convertir a su forma polar y luego a su forma cartesiana, el número z = 3.5e(π/3)i .

Solución .Usando la fórmula 1.5 de Euler tenemos que

z = 3.5e(π/3)i = 3.5[cos(π/3)+ i sen(π/3)],

que es la fórmula polar. Ahora, para la forma cartesiana, si evaluamos las funciones tri-gonométricas obtenemos:

z = 1.75+7p

3

4i .

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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.

Finalmente, aprovechando las propiedades de la función exponencial, podemos escribir el pro-ducto de números complejos descrito en la ecuación (1.2) en la forma:

z1z2 = r1r2e i (θ1+θ2) (1.7)

de manera semejante la ecuación (1.3) que define la división de complejos en forma cartesiana,se puede escribir como:

z1

z2=

r1

r2e i (θ1−θ2) (1.8)

Ejemplo 1.14 Operaciones con números complejos

Sean z1 = 3i y z2 = 2e(3π/2)i . Convertir z1 a su forma exponencial y luego encontrar z1 z2

y z1z2

.

Solución .Dado que r1 = 3 y θ1 =

π

2, tenemos que z1 = 3e(π/2)i en forma exponencial. Luego em-

pleando la ecuación 1.7 llegamos a que

z1 z2 = (3)(2)(

e(π/2+3π/2)i)

= 6e2πi = 6e0i = 6

ademász1

z2=

3

2e(π/2−3π/2)i =

3

2e−πi =

3

2eπi .

Actividad complementaria 1.3

Dados los números complejos z1 = 5e(π/3)i y z2 = 2e(π/4)i encontrar el producto z1z2 yescribirlo en su forma cartesiana.

1.5 Potencias y raíces de un número complejoExpresar un número en su forma exponencial es bastante útil, sobre todo cuando es necesariorealizar operaciones que involucran potencias o raíces de un número complejo.

1.5.1 Potencia de un número complejo.

Para elevar un número complejo a una potencia entera, podemos usar la forma binomial deNewton o el triángulo de Pascal como se hace con los números reales y así obtener el resultado.Sin embargo, esto no es práctico si se quiere elevar a alguna potencia grande. En estos casos esmejor expresar el número complejo en su forma exponencial, es decir:

z = r e iθ,

luego, elevando ambos términos a una potencia n

zn = (r e iθ)n = r n(e iθ)n = r ne i nθ,

nos proporciona una forma de obtener las potencias de un número complejo. A partir de éstopodemos definir

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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.

Definición 1.5 Potencias enteras de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo, z = r e iθ están dadas por:

zn = r ne i nθ donde n ∈Z

Observación

No se debe confundir la forma exponencial de un número complejo (z = r eθ i ), con elevara un exponente un número complejo (zn).

Ejemplo 1.15 Una potencia grande de un número complejo

Dado z = 4−7i , encontrar z15.

Solución .Al convertir z a su forma exponencial, obtenemos z =

p65e5.233i , luego usamos la defi-

nición 1.5 para obtener

z15 = (p

65)15e15(5.233i ) = (3.9523×1013)e78.495i = (3.9523×1013)e3.0966i .

Cuando las potencias son pequeñas se puede seguir usando la definición de producto paranúmeros complejos en forma rectangular,o incluso combinar ambas definiciones.

Ejemplo 1.16 Operaciones con números complejos

Simplificar la expresión(

(2+3i )2(5− i ))6

.

Solución .Al convertir a su forma exponencial, tenemos que (2+ 3i ) =

p13e0.983i , mientras que

5−i =p

26e6.08i ; así, elevando al cuadrado el primero, multiplicando y después elevandoa la potencia 6, obtenemos 84835994984e4.326i , que al regresarlo a su forma cartesianaresulta −31972782816−78580450520i .

Actividad complementaria 1.4

Simplificar la expresión (1+2i )7.

1.5.2 Raíces de un número complejo

Si z es un número complejo, el número complejo w es raíz n−ésima de z, si wn = z y se escribecomo w = z1/n . Por lo que si queremos obtener la raíz n−ésima de un número complejo, pode-mos proceder de forma similar a como se hizo en las potencias; es decir, primero expresamosel número en su forma exponencial

z = r e iθ,

luego extraemos la raíz n−ésima en ambos lados de la igualdad,

z1/n = (r e iθ)1/n = r 1/n(e iθ)1/n = r 1/neiθn ,

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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.

ésto nos daría una raíz n−ésima del número complejo. Sin embargo, este resultado no es com-pleto, pues por álgebra sabemos que existen n resultados para la raíz n−ésima de un número.Es fácil comprobar que si sumamos 2kπ

n con k = 0,1,2 . . .n −1 al exponente de la función expo-nencial, obtenemos las demás raíces.

Definición 1.6 Raíces de números complejos

Las n−raíces diferentes de un número complejo están dadas por la fórmula

z1/n = r 1/ne(θ+2kπ)

n i para k = 0,1. . .n −1

Ejemplo 1.17 Raíces cúbicas de números complejos

Encontrar todos los valores de (−8i )1/3; es decir, las 3 raíces cúbicas.

Solución .Para convertir −8i a su forma exponencial, calculamos θ = 3π

2 y r = 8 con lo que obte-nemos 8e3/2πi , enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos laexpresión para calcular las tres raíces, éstas son

para k = 0 tenemos, 81/3eπ2 i = 2e

π2 i

para k = 1 tenemos, 81/3e( 3π

2 +2π)

3 i = 2e7π6 i

para k = 2 tenemos, 81/3e( 3π

2 +4π)

3 i = 2e11π

6 i

que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 2i , −p

3− i ,p

3− i .

Ejemplo 1.18 Raíces cuadradas

Encontrar las dos raíces cuadradas de z =−5+2i .

Solución .En primer lugar calculamos el valor de r =

p29 y θ = 158.2o , así podemos expresar

z =p

29e158.2o i enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos laexpresión para calcular las dos raíces, éstas son

para k = 0 tenemos, 4p

29e158.2o

2 i = 4p

29e79.1o i

para k = 1 tenemos, 4p

29e( 158.2o

2 +360o )

2 i = 4p

29e259.1o i

que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 0.438+ 2.278i , −0.438−2.278i .

Observación

Cuando se calculan raíces cuadradas de un número complejo es suficiente con calcularla raíz principal y la otra será el negativo de la primera raíz.

Esta observación se puede verificar si realizamos las gráficas correspondientes a las n−raícesde un número complejo.

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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Real

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Im

(a) Raíces cuadradas

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Real

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Im

(b) Raíces cúbicas

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Real

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Im

(c) Raíces cuartas

Figura 1.4. Raíces de la unidad, los puntos rojos indican la posición de las raíces n−ésimas del número1 para n =,2,3,4.

Actividad complementaria 1.5

Encontrar todas las raíces de (1−2i )2.

1.5.3 Potencias fraccionarias

Sii reunimos estas dos operaciones (potencia y raíz de un número complejo), obtendríamosuna fórmula para elevar un número complejo a cualquier potencia racional de la manera si-guiente:

zn/m =(

z1/m)n =(

r 1/me(θ+2kπ)

m i)n

= r n/me(θ+2kπ)

m ni ,

por lo que podemos definir la potencia racional de un número complejo como sigue.

Definición 1.7 Potencias racionales

La potencia racional de un número complejo está dada por la fórmula

zn/m = r n/me(θ+2kπ)

m ni para k = 0,1. . .m −1

Ejemplo 1.19 Potencias fraccionarias

Encontrar todas las potencias fraccionarias de (2−4i )5/2

Solución .Convertimos el número 2−4i a su forma exponencial, para esto tenemos que r =

p20 y

θ = 63.43o es decir,p

20e63.43o i , luego Usando la fórmula 1.7 y recordando que 2π= 360o ,las raíces son:

para k = 0 tenemos,p

205/2

e

(

63.43o+360o

2

)

5i =p

205/2

e1058.58o i

para k = 1 tenemos,p

205/2

e( 3π

2 +2π)

3 i = 2e7π6 i

z1 = 39.3754+15.4411i y z2 =−39.3754−15.4411i .

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1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.

1.6 Logaritmo de un número complejo.La función logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial compleja, de lamisma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex .Entonces, siguiendo esta idea, podemos definir el logaritmo complejo como

Definición 1.8 Logaritmos

El logaritmo de un número complejo z, diferente de cero, es otro número complejo w ,de forma que se cumple la igualdad ew = z, y se denota como Log z.

El siguiente resultado nos proporciona información sobre la existencia de tales números com-plejos.

Teorema 1.1

Dado un número complejo z 6= 0, existe otro número complejo w tal que ew = z. Un valorpara w se obtiene con la fórmula

Log z = ln |z|+ iθ = lnr + iθ,

sin embargo, existen muchos otros valores que se obtienes mediante la ecuación

Log z = lnr + iθ+2nπi ,

donde n es un número entero distinto de cero.

Demostración .Dado que e lnr+iθ = e lnr e iθ = r e iθ = z, se observa que w = lnr + iθ es una solución de laecuación ew = z. Por otro lado, si w1 es otra solución de la ecuación, entonces ew = ew1 ,pero esta ecuación es cierta sólo si w −w1 = 2nπi .

Como consecuencia del teorema 1.1, debemos estructurar la definición 1.8, en la siguiente for-ma.

Definición 1.9 Logaritmo principal

Sea z 6= 0 un número complejo dado, entonces el logaritmo principal de z está dado porla fórmula

Log z = lnr + iθ, (1.9)

mientras que una rama secundaria del logaritmo se obtiene con

Log z = lnr + iθ+2nπi , (1.10)

Observación

La expresión Log 0 no está bien definida, pues no existe ningún número complejow que satisfaga ew = 0.

Para cada número complejo z 6= 0, la parte imaginaria del logaritmo principal, seconsidera está contenida en el intervalo (−π,π].

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1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.

Ejemplo 1.20 Logaritmo de un número

Dado el número z = 5, calcular el logaritmo principal y dos ramas de este logaritmo.

Solución .Como r = 5 y θ = 0 El logaritmo principal de acuerdo a la ecuación (1.9) es

Log 5 = ln5 = 1.6094,

mientras que para encontrar dos ramas secundarias usamos la fórmula (1.10) y conside-ramos n = 1,2 para obtener

w1 = ln5+2πi = 1.6094+6.2831i y también w2 = ln5+4πi = 1.6094+12.57i .

Ejemplo 1.21 Logaritmo principal

Dado el número z =−3i , calcular el logaritmo principal.

Solución .o quEl valor absoluto |z| = 3, mientras que el argumento θ =−π

2 , por lo que el logaritmoprincipal es Log (−3i ) = ln3− π

2 i .

En lo sucesivo, si no se especifica de que logaritmo se trata, se entenderá que se refiere al loga-ritmo principal.

Ejemplo 1.22 Logaritmo de un producto de números complejos

Calcular el logaritmo de z = (1+4i )2(1− i ).

Solución .Primero realizamos las operaciones algebraicas, con lo que obtenemos z =−7+23i en-seguida calculamos el valor de r =

p578 y del argumento θ = −1.2753+π = 1.8662, por

lo tanto Log (z) = lnp

578+1.8662i = 3.17979+1.86624i

Las propiedades de los logaritmos reales no se cumplen en los logaritmos complejos, por ejem-plo

Log (−i ) =−πi

2.

Por otro lado

Log (i )+Log (−1) =πi

2+πi ,

es decir,Log (z1z2) 6= Log z1 +Log z2

Observación

Nótese que en la parte derecha de la segunda ecuación πi2 +πi = 3

2πi no se le debe sumarun múltiplo entero de 2π pues se trata de la parte imaginaria de un número complejo yno del argumento de dicho número.

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1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.

1.7 Ecuaciones polinomiales complejasLas ecuaciones polinomiales con números complejos, se clasifican de la misma manera quecon los números reales, es decir el grado de la ecuación esta determinado por el exponente demayor valor numérico presente en la ecuación. Al igual que en el caso de los números reales, esposible resolver ecuaciones con una o más incógnitas. De hecho, las técnicas para resolverlasson las mismas.

1.7.1 Ecuaciones de primer grado

Considerando que un número complejo z = x + y i , la ecuación general de primer grado connúmeros complejos tiene la forma:

ax +by + c = 0, (1.11)

donde a,b,c ∈C, y al menos una de las dos a o b distinta de cero.Para resolver este tipo de ecuaciones podemos proceder como cualquiera de los dos siguientesmétodos:

Método de resolución de ecuaciones complejas de primer grado

1) Llevando la ecuación (1.11) a la forma d z +ex + f y + g = 0.

a) Desarrollar la ecuación completamente mediante operaciones algebraicas.

b) Factorizar un término d x +d yi de la ecuación y sustituirlo por d z para que la

ecuación quede en la forma d z +ex + f y + g = 0.

c) Despejar z completamente y realizar las operaciones de simplificación del nu-

mero complejo que resulta.

2) Formando un sistema de ecuaciones.

a) Escribir las ecuaciones que se forman al igualar todos los términos reales de

la parte derecha con los términos reales de la parte izquierda, y haciendo lo

mismo con los términos imaginarios.

b) Resolver el sistema de ecuaciones que se forma para las variables x, y .

Ejemplo 1.23 Ecuación de primer grado

Resolver para z la ecuación (1+3i )− z − (4+3i ) = (1−2i )− (5+3i )

Solución .Notemos que la ecuación ya tiene la forma d z + ex + f y + g = 0 por lo que basta condespejar z, pasando al lado derecho todos los términos que no la contengan

−z = (1−2i )− (5+3i )− (1+3i )+ (4+3i )

luego, simplificando

−z = 1−2i −5−3i −1−3i +4+3i =−1−5i

finalmente, multiplicando por −1, tenemos la solución z = 1+5i .

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1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.

Ejemplo 1.24 Ecuación de primer grado

Resolver la ecuación 2(x + y i )−4(x + y i ) = 2+3i

Solución .Desarrollando la ecuación y después igualando las partes real e imaginaria, obtenemosel sistema

{

−4x −2y = 2,2x −4y = 3.

La solución de este sistema es x = −110 y y = −4

5 , que son la parte real e imaginaria respec-tivamente, por lo que la solución es z =− 1

10 −45 i .

Actividad complementaria 1.6

Resolver la ecuación 3(x + y i )−4xi = 2y −6+ (x + y i )i por los dos métodos propuestosanteriormente.

1.7.2 Ecuaciones de segundo grado

Una de las ventajas que posee usar números complejos y no reales, es el hecho de que las ecua-ciones cuadráticas con discriminante negativo siempre tienen solución. De esta manera, si te-nemos la ecuación cuadrática az2 +bz + c = 0, donde a,b,c son constantes complejas, a 6= 0 yz ∈ C, ésta posee dos raíces que pueden ser reales o imaginarias y que se obtiene al igual queen los reales por la bien conocida fórmula general:

z =−b ±

pb2 −4ac

2a(1.12)

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadrática complejas.

Ejemplo 1.25 Ecuación de segundo grado

Resolver la ecuación z2 −4z +8i = 0

Solución .Usando la fórmula general con a = 1, b =−4, c = 8i tenemos

z =4±

(−4)2 −4(1)(8i )

2(1)=

4±p

16−32i

2=

4±4p

1−2i

2= 2±2

p1−2i

enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontra-mos que la raíz

p1−2i =−1.272+0.786i por lo que las soluciones son z =−0.544+1.57i

y z = 4.54−1.57.

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1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.

Ejemplo 1.26 Ecuación de segundo grado

Resolver la ecuación 2z2 + (2− i )z +5 = 0

Solución .Usando la fórmula general con a = 2, b = 2− i , c = 5 tenemos

z =(2− i )±

(2− i )2 −4(2)(5)

2(2)=

(2− i )±p

3−4i −40

4=

(2− i )±4p−37−4i

4

enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontra-mos que la raíz

p37−4i = 0.328−6.091i por lo que las soluciones son

z1 =(2− i )+4(0.328−6.091i )

4=

(2− i )+1.312 −24.364i

4=

3.312 −25.364i

4= 0.83−6.34i

y también

z2 =(2− i )−4(0.328−6.091i )

4=

(2− i )−1.312 +24.364i

4=

0.688 +23.364i

4= 0.17+5.84i

1.7.3 Polinomios de grado superior

Para el caso de polinomios de grado superior, no existe una fórmula predeterminada a fin deresolver las ecuaciones correspondientes, por lo que debemos recurrir a nuestro ingenio y laherramienta matemática que conocemos para encontrar sus soluciones.

Ejemplo 1.27 Una ecuación de cuarto grado

Resolver la ecuación z4 +1 = 0.

Solución .Al despejar z de la ecuación, obtenemos z = 4

p−1; es decir, debemos extraer las raíces

cuartas del número w = −1. Expresando este número en forma exponencial, tenemosque w = eπi y usando la fórmula de la definición 1.6 para raíces complejas, obtenemos

1. para k = 0 tenemos, eπ4 i

2. para k = 1 tenemos, e(

π+2π4

)

i = e3π4 i

3. para k = 2 tenemos, e(

π+4π4

)

i = e5π4 i

4. para k = 3 tenemos, e(

π+6π4

)

i = e7π4 i

al convertir a su forma cartesiana nos da las raíces:

1. w1 =p

22 +

p2

2 i

2. w2 =−p

22 +

p2

2 i

3. w3 −p

22 −

p2

2 i

4. w4 =p

22 −

p2

2 i

Page 36: Álgebra Lineal - webooks

21

1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

Ejemplo 1.28 Ecuación cúbica con coeficientes enteros

Resolver la ecuación z3 +2z2 + z +2 = 0.

Solución .Factorizamos la parte izquierda de la ecuación

z3 +2z2 + z +2 = z2(z +2)+ (z +2) = (z +2)(z2 +1)

por lo que la ecuación queda (z +2)(z2 +1) = 0 e igualando cada factor a cero

{

z1 =−2,z2,3 =

p−1.

al calcular la raíz de −1 tenemos la solución z1 =−2, z2 = i , z3 =−i .

1.8 Evaluaciones sumativas1.8.1 Ejercicios

1.• Realiza las operaciones indicadas en las siguientes expresiones.

a.• 2(1+3i )− 32 (−2+ i ).

b.• (3−2i )3i + (4+ i )(−2− i ).c.• (2+2i )2 −4(−5i ).

d.• 3+i2−i +

11+i .

e.• (−2) 2+3i1+i + (2− i )2.

f.• −2i3+i −

2i3−i .

2.• Comprobar que los números complejos z = 1± i satisfacen la ecuación z2 −2z +2 = 0.

3.• Efectuar las operaciones indicadas en cada caso y expresar el resultado en forma rectan-gular.

a.• i (1− ip

3)(p

3+ i ).b.• 5i

2+i .c.• (−1+ i )7.d.• (1+ i

p3)−10.

4.• Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma rectangular.

a.•(2+i

1−i +2−i1+i + i

)2. b.•

( 2+i3+4i −

2i3−4i

)2.

5.• Dados los números complejos z1 = 2−3i , z2 =−4i , z3 =−2 y z4 =−1+ i , calcular:

a.• z1 + z2 +Re(z4).Im(z1).b.• z3

z4− (z3)3 + (z2)2.

c.• z1z4z2

6.• Dados los números complejos z1 = 2− 2i ; z2 = −3i ; z3 = −2; z4 = −p

3− i , efectuar lasoperaciones indicadas y escribir el resultado en forma polar.

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22

mero

sC

om

ple

jos

1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

a.• (z1)16(z4)2.b.• z2

(z1)3 .c.• z1z2z3.d.• z1

z4.

7.• Encontrar todas las raíces de la expresión indicada en cada inciso, expresar el resultadoen forma cartesiana.

a.• 3p

4−4i .b.• 4

p64i .

c.• 5p−1+ i .

d.• 4p

256.

8.• Encuentra todas las raíces de (1+ i )72 en la forma rectangular.

9.• Resuelve los siguientes problemas que incluyen números complejos.

a.• Hallar dos números tales que su sumasea 6 y su producto 18.

b.• Encontrar una ecuación polinomialque tenga por raíces −3, 2+ i y 2− i .

10.• Resolver la ecuación planteada en cada inciso.

a.• (2+3i )z +2i = 3−4i . b.• 2i z + 2i1−i = 4i .

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232 Matrices y Determinantes

Competencia específica a desarrollar

Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemasmediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las mate-máticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizarel determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de unamatriz.

Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales enel área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matrizinversa y regla de Cramer.

Actividades de Aprendizaje

Consensar en una lluvia de ideas el concepto de matriz y compararlo con una definiciónmatemática.

Identificar cuándo dos matrices son conformables para la adición de matrices.

Calcular la de suma de matrices.

Identificar cuándo dos matrices son conformables para la multiplicación de matrices.

Calcular el producto una matriz por un escalar y entre matrices.

Enunciar y ejemplificar las propiedades de las operaciones en matrices.

Investigar la definición de tipos de matrices cuadradas. Por ejemplo triangular superiore inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, in-volutiva, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, or-togonal.

Utilizar operaciones elementales por renglón para reducir una matriz a su forma de es-calonada.

Determinar el rango de matrices cuadradas.

Identificar matrices con inversa utilizando el concepto de rango.

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24

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2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.

Calcular la inversa de matrices utilizando el método forma escalonada reducida por ren-glones.

Definir el determinante de una matriz de 2×2.

Definir el concepto de menor y cofactor de una matriz.

Calcular menores y cofactores de una matriz..

Calcular determinantes de matrices de n ×n.

Graficar las ecuaciones de un sistema de de dos ecuaciones con dos incógnitas en unmismo plano e identificar el tipo de solución según la gráfica.

Clasificar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogé-neos.

Utilizar un graficador para visualizar geométricamente y así interpretar las soluciones desistemas de ecuaciones lineales.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos propuestos.

2.1 Definición de matriz, notación y ordenEl análisis de muchas situaciones en matemáticas, economía e ingeniería conduce al estudiode disposiciones o arreglos rectangulares de números, por lo que es importante conocer susconceptos básicos.

Definición 2.1 Forma de una matriz

Una matriz A de m ×n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m ren-glones y n columnas.

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

donde cada elemento ai j se conoce como entrada o componente de la matriz A.

Observación

En cuanto a la notación matricial, debemos tomar en cuenta lo siguiente:

En matrices siempre se indica primero el renglón y luego la columna; así, la notaciónpara una matriz A de 2 renglones por cuatro columnas es A2×4 o matriz A de orden2×4.

Para describir el elemento que está en la posición de cruce del segundo renglón conla tercer columna escribimos a23.

El orden de una matriz se refiere a la cantidad de renglones y columnas que contiene, con locual podemos establecer la siguiente relación de comparación entre matrices.

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25

2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.

Definición 2.2 Orden de una matriz

Dos matrices A y B son iguales si son del mismo tamaño (mismo orden) y sus entradascorrespondientes son iguales.

Ejemplo 2.1 Clasificación de matrices

Sean las matrices A =(

1 2 34 5 6

)

, B =

1 2 34 5 67 8 9

, C =

6 54 32 1

Con base en la notación matricial, podemos deducir lo siguiente;

El orden de la matriz A es 2×3, El orden de la matriz B es 3×3, El orden de la matrizC es 3×2.

Las matrices A, B y C no son semejantes entre si, pues tienen distinto orden.

Algunos elementos específicos son: a21 = 4, b13 = 3 y c22 = 3.

2.1.1 Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene

Como podemos apreciar una matriz o arreglo de números puede contener cualquier cantidadde renglones y/o columnas, de donde podríamos destacar las siguientes:

En el caso que la matriz contenga un solo renglón y una sola columna, esta matriz seidentifica con un número real.

Si la matriz tiene un (una) solo (sola) renglón (columna) y 2 o más columnas (renglones),se le conoce como matriz renglón (columna) y se identifica con los vectores.

A las matrices que contienen la misma cantidad de renglones que columnas se les conocecomo matrices cuadradas, y su notación es An×n siendo A una matriz cuadrada de ordenn.

Dentro de las matrices cuadradas, tenemos distintos tipos ellas de acuerdo la cantidad de cerosque contengan y a la forma en que estén situados. Comenzaremos por la definición más básicadentro de las matrices. Para ello consideremos que la diagonal principal de una matriz dada,son los elementos donde el renglón es igual a la columna; es decir, se trata de los elementosai j , en el caso de que la matriz sea A.

Definición 2.3 Matriz escalar

Es la matriz que tiene solo una entrada; es decir, tiene un renglón y una columna.

Observación

Esta matriz puede ser la que consta únicamente del cero, pues en realidad la matriz es-calar representa a los números reales.

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2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.

Definición 2.4 Matriz identidad

Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Identidad si los elementos de la diagonalprincipal son unos y cualquier otra entrada es cero.

Ésta es una de las matrices más importantes, debido a su sencillez y porque aparece en todaslas operaciones matriciales, generalmente la denotamos con la letra mayúscula I .

La matriz Identidad recibe este nombre debido a que cuando se multiplica con cualquier otramatriz dada, el resultado es esa misma matriz dada (lo mismo que pasa con el 1 de los númerosreales).

Una generalización de la matriz Identidad es la siguiente

Definición 2.5 Matriz diagonal

Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Diagonal si los elementos de la diagonalprincipal son los únicos que pueden ser distintos de cero.

Las matrices de este tipo son muy interesantes, pues existe un grupo importante de matricesque son semejantes a una matriz diagonal (es decir se pueden transformar mediante operacio-nes elementales1 en una matriz diagonal).

Una matriz que se puede transformar en una matriz diagonal mediante operaciones elemen-tales, se conoce como matriz diagonalizable.

Definición 2.6 Matriz triangular

Una matriz cuadrada se llama matriz triangular superior (inferior) si todas sus compo-nentes abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.

Algunas de las características principales de este tipo de matrices son:

1.- Toda matriz cuadrada se puede factorizar como producto de dos matrices triangulares, unasuperior y la otra inferior.

2.- Para calcular su determinante 2, basta con multiplicar los elementos de la diagonal princi-pal.

3.- Toda matriz se puede transformar en una matriz triangular triangular superior o inferiormediante operaciones elementales.

A continuación se muestran las matrices descritas para el caso 3×3.

(a)(a) M. Escalar

1 0 00 1 00 0 1

(b) M. Identi-dad

a 0 00 b 00 0 c

(c) M. Diagonal

a 0 0b c 0d e f

(d) M. T. Infe-rior

a b c0 d e0 0 f

(e) M. T. Superior

Figura 2.1. Clasificación de matrices.

1En la sección 2.3 se estudiarán estas operaciones2Se aborda en la sección 2.4

Page 42: Álgebra Lineal - webooks

27

2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

2.2 Operaciones con matricesLas matrices, al igual que los números reales, pueden sumarse, multiplicarse y también des-componerse de varias formas; ésto las convierte en un concepto clave en el álgebra lineal. Sinembargo, para realizar estas operaciones, debemos tomar en cuenta el orden de las matrices aoperar, pues no siempre es posible realizar estas operaciones.

2.2.1 Suma de matrices.

Para sumar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden; así, definimos la sumade matrices como a continuación se describe.

Definición 2.7 Suma de matrices

Sean A, B dos matrices de orden m ×n. Definimos la suma de A con B como la ma-triz C de orden m ×n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de lasmatrices A y B .

Observación

La resta de matrices no está definida como tal; sin embargo, se realiza cuando apa-recen números reales negativos en las entradas de las matrices (la operación selleva a cabo de acuerdo a las propiedades de los números reales).

La suma entre matrices no está definida si no son del mismo orden; es decir, si notienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas.

Ejemplo 2.2 Suma de matrices

Sean A =

2 4 −6 74 3 2 1−4 3 −5 5

, B =

0 1 6 −22 3 4 3−2 1 4 4

y C =

0 84 −2−2 −1

.

Observemos que

1. A+B =

2+0 4+1 −6+6 7−24+2 3+3 2+4 1+3−4−2 3+1 −5+4 5+4

=

2 5 0 56 6 6 4−6 4 −1 9

2. La suma A+C y B +C no está definida, pues las matrices no son del mismo orden.

Observación

Del ejemplo anterior se puede ver claramente que A+B = B + A.

En general, dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades en la sumamatricial:

Conmutatividad: en este caso tenemos A+B = B + A.

Asociatividad: es decir, se cumple A+ (B +C ) = (A+B)+C .

Existencia del elemento neutro aditivo: existe una matriz neutra denotada con 0, tal que A +0 = A para cualquier matriz A, donde los elementos de la matriz 0 son todos igual a cero.

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2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

Existencia del elemento inverso aditivo: dada una matriz A existe una matriz D tal que A +D = 0; esta matriz es D =−A.

2.2.2 Multiplicación de matrices

Dentro de las multiplicaciones matriciales tenemos definidos dos tipos: el producto de un es-calar (número) por una matriz y el producto de dos matrices.

Definición 2.8 Multiplicación de una matriz por un escalar

Si A es una matriz de m ×n y si r es un escalar, entonces la matriz r A está dada por:

r A =

r a11 r a12 . . . r a1n

r a21 r a22 . . . r a2n...

......

r am1 r am2 . . . r amn

Es decir, se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar. Sin importar el orden yforma de la matriz, siempre es posible realizar esta operación.

Por el contrario, para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de laprimera matriz sea igual al número de renglones de la segunda.

Definición 2.9 Producto de dos matrices

Sea A una matriz de orden m×n y sea B una matriz de orden n×p. Entonces el productode A por B es una matriz C de orden m × p en donde, para obtener el elemento ci j ,debemos multiplicar en la forma

ci j =n∑

r=1ai r br j

Es decir, la entrada i j de AB es la suma de productos donde un factor es una entrada delrenglón i de la matriz A y otro factor es una entrada de la columna j de la matriz B, lo quese denomina producto punto del renglón i de A con la columna j de B .

Observación

La multiplicación de Am×n por Bp×q solo es posible si n = p.

Si se multiplica una matriz de orden n ×m con otra de orden m × q el resultadoserá una matriz de orden n ×q .

Para obtener las entradas de la matriz que resulta en el producto matricial A B , semultiplica un renglón de la primera matriz por una columna de la segunda. De es-te modo, si queremos obtener la entrada (AB)11, se multiplica el primer renglónde A por la primera columna de B y si se quiere obtener la entrada (AB)23 se mul-tiplicará el segundo renglón de A por la tercera columna de B .

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29

2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

Ejemplo 2.3 Producto de dos matrices

Sean A =(

2 0 34 1 5

)

y B =

2 5 03 6 6−6 4 −1

dos matrices. Entonces,

A B =(

4+0−18 10+0+12 0+0−38+3−30 20+6+20 0+6−5

)

=(

−14 22 −3−19 46 1

)

Obsérvese que no es posible efectuar el producto B A ya que B tiene 3 columnas yA solo dos renglones.

Observación

En el ejemplo se puede apreciar que no es lo mismo multiplicar A B que B A, porlo que en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad de conmutati-vidad.

Cuando se multiplican dos matrices A y B normalmente A B 6= B A, aunque enocasiones si se cumple la igualdad.

En general dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades bajo la operaciónde multiplicación:

Asociatividad: es decir se cumple A(BC ) = (AB)C .

Existencia del elemento neutro mutiplicativo: es decir A I = A donde I es la matriz identidad.

Distributividad: como no es conmutativa debemos considerar

1. Distributividad por la derecha: es decir (A+B)C = A C +B C

2. Distributividad por la izquierda: es decir C (A+B) =C A+C B

Observación

Elevar una matriz al cuadrado A2 es multiplicar A A y no elevar cada elemento de A alcuadrado.

Ejemplo 2.4 Operaciones con matrices

Sea A =

2 0 −11 1 25 −2 3

, encontrar A2 +2A y verificar que es lo mismo que A(A+2I ).

Solución .

A2 + 2A =

−1 2 −513 −3 723 −8 0

+ 2

2 0 −11 1 25 −2 3

=

3 2 −715 −1 1133 −12 6

, por

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2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

otro lado A(A + 2I ) =

2 0 −11 1 25 −2 3

2 0 −11 1 25 −2 3

+2

1 0 00 1 00 0 1

=

2 0 −11 1 25 −2 3

4 0 −11 3 25 −2 5

=

3 2 −715 −1 1133 −12 6

.

Observación

En el ejemplo anterior, al factorizar A2 + 2A = A(A + 2I ) se agregó la matriz identidadI3×3; esto no afecta a la igualdad y es necesario hacerlo para que esté bien definida laoperación, pues la expresión A+2 no tiene sentido.

2.2.3 Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones

Cuando hacemos operaciones con matrices pueden suceder cosas raras; por ejemplo, que almultiplicar dos matrices distintas de cero, el resultado sea la matriz cero. Todavía más com-plicado es que, al elevar una matriz distinta de cero a una potencia entera, tengamos comoresultado la matriz cero. Este tipo de matrices reciben un nombre especial.

Definición 2.10 Matriz nilpotente

Una matriz A es nilpotente si existe un entero k tal que Ak = 0. Si An 6= 0 para 1 < n < k,decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado k.

Por ejemplo para la matriz A =

0 1 −10 0 20 0 0

se puede verificar, después de hacer los cálculos,

que A3 = 0; decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado 3.

Definición 2.11 Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz Am×n , que se escribe como At , es la matriz de n ×m ob-tenida al intercambiar los renglones por las columnas en la matriz A. Tomando ésto enconsideración, tenemos lo que a continuación describimos.

1. Una matriz A se dice que es simétrica si At = A,

2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si At =−A.

Definición 2.12 Simetría de matrices

Sea Am×n , una matriz de n×m. Una clasificación de las matrices usando la matriz trans-puesta, es la siguiente.

1. Una matriz A se dice que es simétrica si At = A,

2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si At =−A.

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31

2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

Observación

Una matriz puede ser simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.

Ejemplo 2.5 Simetría de matrices

Sean A =

0 4 −3−4 0 2

3 −2 0

, B =

−1 1 51 1 −25 −2 3

C =

2 0 −1 21 1 2 15 −2 3 2

. Escribir la

transpuesta de cada matriz dada e identificar si dichas matrices dadas son simétricas,antisimétricas o ninguna de ellas.

Solución .

At =

0 −4 34 0 −2

−3 2 0

, es antisimétrica; B t =

−1 1 51 1 −25 −2 3

, es simétrica; C t =

2 1 50 1 −2

−1 2 32 1 2

, no es ninguna de las dos.

Otro tipo de matrices muy importante, por las operaciones que se pueden efectuar con ellas,son las matrices elementales; éstas se obtienen a partir de una única operación elemental dematrices sobre la matriz identidad. Las matrices que se obtienen de esta forma se clasifican en:matriz elemental por escalamiento, matriz elemental por eliminación y matriz elemental porpermutación, de acuerdo a lo siguiente,

Definición 2.13 Matriz elemental por escalamiento

Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por escalamiento Ee ,esuna matriz que se obtiene al multiplicar un renglón de la matriz I por un escalar.

Las matrices obtenidas por escalamiento tienen la siguiente forma (en el caso de tamaño 3×3):

r 0 00 1 00 0 1

, que se obtiene al multiplicar un real r por el primer renglón.

1 0 00 r 00 0 1

, que se obtiene al multiplicar un real r por el segundo renglón.

1 0 00 1 00 0 r

, que se obtiene al multiplicar un real r por el tercer renglón.

Definición 2.14 Matriz elemental por permutación

Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por permutación Ep ,esuna matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de la matriz I .

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2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

Las matrices obtenidas por permutación, son las siguientes

0 1 01 0 00 0 1

, que se obtiene al intercambiar el primer renglón con el segundo.

0 0 10 1 01 0 0

, que se obtiene al intercambiar el primer renglón con tercero.

1 0 00 0 10 1 0

, que se obtiene al intercambiar el segundo renglón con el tercero.

Definición 2.15 Matriz elemental por eliminación

Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por eliminación Eel , seobtiene al sumarle a un renglón, un múltiplo de uno o varios renglones.

Algunas de las matrices obtenidas por eliminación, se muestran enseguida

1 0 0a 1 00 0 1

, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resulta-

do sumarlo en el segundo renglón.

1 0 00 1 0a 0 1

, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resulta-

do sumarlo en el tercer renglón.

1 0 00 1 0a b 1

, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por a, el segundo renglón

por el escalar b y los resultados sumarlos en el tercer renglón.

La multiplicación de una matriz arbitraria por una matriz elemental se conoce como operaciónelemental y produce como resultado en la matriz A cualquiera de los siguientes efectos:

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33

2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.

Efectos de la multiplicación por matrices elementales

Consideremos una matriz arbitraria A de tamaño n ×n y matrices elementales del mismo

orden.

1) Intercambio de filas. Cuando se multiplica alguna matriz elemental de permutación

Ep por la matriz A.

2) Intercambio de columnas. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de

permutación Ep .

3) Multiplicación de una línea por una constante distinta de cero. Cuando se multi-

plica alguna matriz elemental de escalamiento Ee por A.

4) Multiplicación de una columna por una constante distinta de cero. Cuando se

multiplica la matriz A por alguna matriz elemental de escalamiento.

5) Sustitución de un renglón por él mismo, más un múltiplo de otro(s) renglón(es).

Cuando se multiplica alguna matriz elemental de eliminación Eel por A.

6) Sustitución de una o varias columnas por ellas mismas más un múltiplo de

otra. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de eliminación Eel .

Veamos el comportamiento de las matrices al operar con matrices elementales.

Ejemplo 2.6 Efecto número 6 de multiplicación por matrices elementales

Multiplicar la matriz A =

2 1 1−1 5 −2

4 0 3

con la matriz elemental por eliminación Eel =

1 0 00 1 02 −3 1

y comentar los cambios que sufre la matriz A.

Solución .

AEel =

2 1 1−1 5 −2

4 0 3

1 0 00 1 02 −3 1

=

4 −2 1−5 11 −210 −9 3

Observemos que la primera columna de la matriz AEel es igual a 2 veces la tercera co-lumna mas la primera de la matriz A, mientras que la segunda columna se obtiene mul-tiplicando por −3 la tercera columna y sumándola con la segunda de A. Estas multipli-caciones tienen que ver con los valores de las entradas Eel3,1 = 2 y Eel3,2 = −3 que nosproporcionan.

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2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.

Ejemplo 2.7 Efecto número 3 de multiplicación por matrices elementales

Multiplicar la matriz elemental por escalamiento Ee =

1 0 00 −3 00 0 1

con la matriz A =

1 −2 31 1 −45 −3 3

y comentar los cambios que sufre la matriz A.

Solución .

Ee A =

1 0 00 −3 00 0 1

1 −2 31 1 −45 −3 3

=

1 −2 3−3 −3 12

5 −3 3

En este caso unicamente el segundo renglón sufre cambio y consiste en multiplicarlo por−3. Esto porque la matriz de escalamiento Ee el −3 en el segundo renglón en su diagonalprincipal.

Observación

Decimos que una matriz B es equivalente a una matriz A, es decir, B ∼ A si se puedeobtener B a partir de A, usando una secuencia finita de operaciones elementales.

2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidasUna matriz equivalente que resulta muy útil en la solución de problemas asociados a matrices,es la llamada matriz escalonada.

Definición 2.16 Matriz escalonada

Se dice que una matriz es escalonada, cuando satisface:

El primer elemento no nulo de cada fila es un 1.

Si hay filas cuyos elementos son todos cero, están situados en la parte inferior dela matriz.

El primer 1 de cada fila está a la derecha de los primeros 1’s correspondientes afilas superiores.

Definición 2.17 Matriz escalonada reducida

Si además de los requisitos anteriores, se satisface que el primer elemento no nulo deun renglón es el único elemento distinto de cero de la columna donde se encuentra,entonces decimos que la matriz es escalonada reducida.

Observación

La forma escalonada de una matriz, no tiene porque ser única, pero si lo es su formaescalonada reducida.

Page 50: Álgebra Lineal - webooks

35

2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.

Algunos ejemplos de matrices escalonadas, son las siguientes:

A =

1 0 20 1 10 0 1

B =

1 4 30 1 20 0 0

C =

1 3 50 0 10 0 0

Por otro lado, ejemplos de matrices escalonadas reducidas son los siguientes:

D =

1 0 00 1 00 0 1

E =

1 0 30 1 00 0 0

F =

1 0 00 0 10 0 0

Observación

La propiedad más importante que posee una matriz escalonada reducida es que, si éstarepresenta una matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, las solucionesse pueden encontrar por simple inspección visual.

2.3.1 Método de Gauss

El método de Gauss consiste en encontrar una matriz escalonada equivalente a una matriz da-da, mediante la aplicación de operaciones elementales (multiplicación por matrices elemen-tales).Ejemplificaremos el método de Gauss con la matriz

A =

2 1 −4 21 2 2 12 2 −1 1

Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento sele conoce como pivote).

Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón, sin em-bargo será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para obte-ner

1 2 2 12 1 −4 22 2 −1 1

Paso 2 Debemos hacer cero los elementos que están por debajo del pivote; esto lo hacemoscambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.

En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglóndos, menos dos veces el renglón uno, denotado por R ′

2 = R2−2R1,para el nuevo renglón tres hacemos R ′

3 = R3 −2R1.

1 2 2 10 −3 −8 00 −2 −5 −1

Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (a22) sea igual a 1, (esteserá nuestro nuevo pivote).

Para esto el nuevo renglón 2 será R ′2 = −R2 +R3, es decir tene-

mos

1 2 2 10 1 3 −10 −2 −5 −1

Paso 4 Se hacen cero los elementos que están por debajo del pivote.

En este caso debemos hacer cero el último elemento de la se-gunda columna y ésto lo logramos con la operación R ′

3 = R3 +2R2

1 2 2 10 1 3 −10 0 1 −3

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36

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2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.

Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de 1’s, y los elementos pordebajo de esta diagonal sean igual a 0.

En este ejemplo ya hemos acabado pues ya se cumple este pa-so.

1 2 2 10 1 3 −10 0 1 −3

Observación

1. Las operaciones para hacer cero un elemento deben ser entre el renglón que sequiere modificar y el que contiene al pivote, y deben tener este orden: R ′

n = Rn +cRp , donde Rp es el renglón pivote; si no se sigue este formato, se corre el riesgo dealterar los elementos ya modificados.

2. Si la matriz es cuadrada, este método nos lleva a obtener una matriz triangularsuperior.

Ejemplo 2.8 Método de Gauss

Considerar la matriz A =

2 8 −24 6 68 3 −1

, reducirla a una matriz triangular superior por el

método de Gauss, con unos en la diagonal principal.

Solución .

Realizando la operación R ′1 =

1

2R1 para tener un 1 como primer elemento de la diagonal

A ≈

1 4 −14 6 68 3 −1

enseguida para hacer ceros bajo el primer elemento de la diagonal realizamos las opera-ciones R ′

2 =−4R1 +R2 y R ′3 =−8R1 +R2

A ≈

1 4 −10 −10 100 −29 7

Ahora hacemos R ′2 =−

1

10R2 para tener un 1 como segundo elemento de la diagonal

A ≈

1 4 −10 1 −10 −29 7

debemos hacer cero el elemento por debajo del 1 que acabamos de obtener, para estohacemos R ′

3 = 29R2 +R3

A ≈

1 4 −10 1 −10 0 −22

Page 52: Álgebra Lineal - webooks

37

2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.

finalmente con R ′3 =−

1

22R3 se tiene el último 1 de la diagonal principal

A ≈

1 4 −10 1 −10 0 1

2.3.2 Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una generalización del proceso de Gauss, y consiste en encontrarla matriz escalonada reducida de una matriz dada.Veamos los pasos a seguir de acuerdo con este método. Consideremos la misma matriz

A =

2 1 −4 21 2 2 12 2 −1 1

Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento sele conoce como pivote).

Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón; sin em-bargo, será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para ob-tener

1 2 2 12 1 −4 22 2 −1 1

Paso 2 Debemos hacer cero los elementos que están por debajo del pivote, esto lo hacemoscambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.

En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglóndos, menos dos veces el renglón uno, denotado por R ′

2 = R2−2R1;para el nuevo renglón tres hacemos R ′

3 = R3 −2R1.

1 2 2 10 −3 −8 00 −2 −5 −1

Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (a22) sea igual a 1, (esteserá nuestro nuevo pivote).

Para ésto, el nuevo renglón 2 será R ′2 =−R2 +R3; es decir, tene-

mos

1 2 2 10 1 3 −10 −2 −5 −1

Paso 4 Se hacen cero los elementos que están por debajo y por arriba del pivote.

Para hacer cero el elemento del primer renglón usamos la reglaR ′

1 = R1 −2R2 y para el de la fila 3 R ′3 = R3 +2R2.

1 0 −4 30 1 3 −10 0 1 −3

Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de 1’s, y los elementos pordebajo de esta diagonal sea cero.

Observemos que ya hay un 1 en la tercer posición de la dia-gonal, por lo que solo resta hacer ceros los elementos superio-res de éste. Para esto hagamos R ′

1 = R1 + 4R3 y también R ′2 =

R2 −3R3.

1 0 0 −90 1 0 80 0 1 −3

Observación

Si la matriz es cuadrada, este método nos lleva a obtener la matriz identidad.

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38

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2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.

Ejemplo 2.9 Método de Gauss-Jordan

Sea B =

3 −6 −2 41 −4 2 29 5 −1 1

, reducirla a su forma escalonada reducida.

Solución .Intercambiamos renglones 1 y 2, para obtener un 1 como primer elemento de la diagonal

B ≈

1 −4 2 23 −6 −2 49 5 −1 1

enseguida para hacer ceros bajo el primer elemento de la diagonal realizamos las opera-ciones R ′

2 =−3R1 +R2 y R ′3 =−9R1 +R2

B ≈

1 −4 2 20 6 −8 −20 41 −19 −17

Ahora hacemos R ′2 = 7R2 −R3 para tener un 1 como segundo elemento de la diagonal

B ≈

1 −4 2 20 1 −37 −30 41 −19 −17

debemos hacer cero el elemento por debajo del 1 que acabamos de obtener, para estohacemos R ′

3 =−41R2 +R3

B ≈

1 −4 2 20 1 −37 −30 0 1498 106

finalmente con R ′3 =−

1

1498R3 se tiene el último 1 de la diagonal principal

B ≈

1 −4 2 20 1 −37 −30 0 1 749

53

2.4 Determinante de una matrizEn sus inicios, el determinante fue propuesto para mostrar la unicidad de solución para unsistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 como una regla para laresolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma de resolver este tipo dedeterminante es la siguiente:

det

(

a11 a12

a21 a22

)

=

a11 a12

a21 a22

= a11a22 −a12a21

Page 54: Álgebra Lineal - webooks

39

2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.

Para calcular el determinante que corresponde a una matriz cuadrada A de orden n > 2, intro-duciremos primero lo que se conoce como menor complementario relativo al elemento ai j deel determinante.

Definición 2.18 Menor complementario

Sea A una matriz cuadrada de orden n y D su determinante correspondiente. Sea Mi j eldeterminante de orden n −1 obtenido de D , eliminando el renglón i y la columna j . AMi j se le conoce como el menor complementario i j de D .

Por ejemplo, dado un determinante D de orden 5, si queremos obtener el menor M23, debemoseliminar el renglón 2 y la columna 3 de D para formar el nuevo determinante

D =

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

a51 a52 a53 a54 a55

así obtenemos el menor complementario

M23 =

a11 a12 a14 a15

a31 a32 a34 a35

a41 a42 a44 a45

a51 a52 a54 a55

mientras que para el menor M14 se elimina el renglón 1, columna 4 para que quede,

M14 =

a21 a22 a23 a25

a31 a32 a33 a35

a41 a42 a43 a45

a51 a52 a53 a55

Observación

El objetivo de calcular los menores, es ir reduciendo el determinante de forma recursivahasta llegar a obtener determinantes de orden 2.

Necesitamos también de la siguiente definición que nos proporciona el signo que debemosponer a cada menor complementario.

Definición 2.19 Cofactores

Sea A una matriz cuadrada de orden n, el cofactor i j de A, denotado por Ai j , está dadopor

Ai j = (−1)i+ j (Mi j ).

Observación

La primera parte de la fórmula del cofactor sólo nos proporciona el signo. Si la suma i + jes un número par, entonces el cofactor es Ai j = Mi j ; si la suma es un número impar,entonces Ai j =−Mi j .

Page 55: Álgebra Lineal - webooks

40

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2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.

Ejemplo 2.10 Cálculo de cofactores

Calcular los cofactores de la matriz A =

3 5 82 −1 01 3 4

.

Solución .Aplicando la fórmula de la definición 2.19, tenemos:

A11 =(

−1 03 4

)

, A12 =−(

2 01 4

)

, A13 =(

2 −11 3

)

,

A21 =−(

5 83 4

)

, A22 =(

3 81 4

)

, A23 =−(

3 51 3

)

,

A31 =(

5 8−1 0

)

, A32 =−(

3 82 0

)

, A33 =(

3 52 −1

)

.

Estamos ahora ante la posibilidad de enunciar el teorema de Laplace, que nos servirá para re-solver cualquier determinante de orden n > 2 (su demostración se realiza haciendo inducciónmatemática sobre la dimensión de los determinantes).

Teorema 2.1 Laplace

Sea A una matriz cuadrada de orden n×n. Entonces el determinante de A, denotado pordet A o |A|, está dado por

det A =n∑

k=1a1k A1k = a11 A11 +a12 A12 +·· ·+a1n A1n

Observación

En el teorema se define el determinante mediante cofactores calculados sobre el primerrenglón de la matriz A; sin embargo, se puede elegir cualquier renglón o columna.

Observación

Para resolver un determinante, se elige un renglón (o columna), se calculan los cofac-tores correspondientes para cada elemento de este renglón (o columna) y se multiplicael determinante de cada menor por el elemento de la matriz al que está asociado; final-mente, el resultado será la suma de estos resultados.

Ejemplo 2.11 Cálculo de determinantes

Sea A =

3 5 24 0 3

−1 2 4

. Calcular su determinante usando el teorema de Laplace (desa-

rrollo por menores).

Solución .Si trabajamos con el segundo renglón, el determinante esta definido por det A =−4A21+

Page 56: Álgebra Lineal - webooks

41

2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.

0A22 −3A23 es decir

−4

(

5 22 4

)

+0

(

3 2−1 4

)

−3

(

3 5−1 2

)

=−4(20−4)−3(6+5) =−64−33 =−97

.

Observación

Es aconsejable escoger el renglón o columna de la matriz que tenga más ceros, así sereducirá el trabajo.

Tomando como base la observación anterior, podemos afirmar que el determinante de unamatriz triangular (superior o inferior) es igual a la multiplicación de los elementos de su diago-nal.

Ejemplo 2.12

[ Cálculo de determinantes]Calcular el determinante de A =

3 5 80 −1 00 0 4

.

Solución .Si trabajamos con el tercer renglón, el determinante esta definido por det A = 0A31 +0A32 −3A33 es decir

0

(

5 8−1 0

)

+0

(

3 80 0

)

−3

(

3 50 −1

)

= 4(−3−0) =−12

resultado que se puede obtener multiplicando los números de la diagonal principal.

Dados las matrices A y B de orden n×n, se cumplen las siguientes propiedades para sus deter-minantes:

D1 det AB = (det A)(det B); es decir, el determinante de un producto de matrices es el pro-ducto de los determinantes de dichas matrices.

D2 Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante.

D3 Si cualquier renglón o columna de una matriz A está compuesto de ceros, entonces det A =0.

D4 Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A = 0.

D5 Si un renglón (columna) de A es combinación lineal de otros renglones (columnas) enton-ces det A = 0.

D6 Si el renglón i o la columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces el determinantede esta nueva matriz es igual a c(det A).

D7 El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efectode multiplicar el det A por −1.

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42

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2.4 Determinante de una matriz Álgebra lineal.

D8 Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) a otro renglón (columna) el deter-minante no cambia.

Observación

El determinante de una suma de matrices, no siempre es igual a la suma de sus determi-nantes.

Ejemplo 2.13 Propiedades de los determinantes

Hacer uso de las propiedades anteriores para calcular el determinante de

B =

1 3 0 2−2 0 3 0

0 1 0 63 0 4 0

.

Solución .Comenzamos realizando el método de Gauss-Jordan para hacer ceros debajo del primeruno, por lo que hacemos R ′

2 = 2R1 +R2 y R ′4 = −3R1 +R4, esto no cambia el valor del

determinante según la propiedad D8, así

B ≈

1 3 0 20 6 3 40 1 0 60 −9 4 −6

luego, consideramos la primer columna para trabajar por menores así

det B = 1

6 3 41 0 6

−9 4 −6

=−1

(

3 44 −6

)

−6

(

6 3−9 4

)

=−(−18−16)−6(24+27) =−272

Ejemplo 2.14 Propiedades de los determinantes

Calcular el determinante de B =

1 3 −2 20 −1 1 −32 1 1 23 2 1 4

.

Solución .Como la primer columna es la suma de la segunda y tercer columna, entonces por lapropiedad D5 tenemos que det B = 0.

Una forma de simplificar el cálculo de un determinante es usar los métodos de reducción deGauss o Gauss-Jordan ya que por las propiedades D7 y D8, el resultado se ve afectado a lo máspor un signo.

Page 58: Álgebra Lineal - webooks

43

2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.

Ejemplo 2.15 Propiedades de los determinantes

Dada la matriz B =

1 3 5 20 −1 3 42 1 9 63 2 4 8

, calcular det (3B).

Solución .Recordemos que det (3B) 6= 3det B . De hecho, considerando la propiedad D6, por cadarenglón que tenga la matriz B debe multiplicarse por 3 a det B , en este caso el orden deB es 4; en consecuencia det (3B) = 34 det B . Por otro lado det B = 160; así, tenemos quedet (3B) = 34(160) = 12,960.

2.5 Inversa de una matrizDado que no puede definirse la división entre matrices, nos interesa averiguar si existe unaalternativa; puesto que necesitaremos despejar éstas al resolver ecuaciones matriciales. Paramatrices que reúnen ciertas características, tal alternativa existe y consiste en hallar la matrizinversa de la matriz dada.

Definición 2.20 Matriz inversa

Sean A y B dos matrices de n ×n. Suponga que

AB = B A = I

entonces a B se le llama matriz inversa de A y se denota como A−1. Si una matriz tieneinversa, se dice que es una matriz invertible.

Una clasificación que surge a consecuencia de que unas matrices tienen inversa y otras no, esla siguiente:

Si una matriz tiene inversa, se dice que es una matriz no singular.

Las matrices cuadradas que no poseen inversa se llaman matrices singulares.

Para saber si una matriz tiene inversa, tenemos el siguiente resultado

Proposición 2.1

Una matriz A es invertible si y solo si det A 6= 0.

Ejemplo 2.16 Matriz inversa

Determinar si la matriz B =

2 2 5 11 1 6 −3

−1 2 −3 32 4 2 6

es invertible.

Solución .

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44

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2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.

Para calcular el determinante de B observemos que C3 = 2C1 +C2 −C4; por lo tantodet B = 0, y en consecuencia la matriz no es invertible.

2.5.1 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Recordemos que en la definición (2.19) se introdujo la forma de calcular el cofactor relativo aun elemento ai j llamado Ai j para una matriz A de orden n. Si calculamos el cofactor para cadauno de los elementos de la matriz A obtenemos lo que se conoce como matriz de cofactoresde A y es de la forma

B =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n...

......

An1 An2 · · · Ann

. (2.1)

También en la definición (2.11) se vio que la transpuesta de una matriz consiste en intercambiarrenglones por columnas; con ayuda de este concepto definimos lo siguiente

Definición 2.21 Matriz adjunta

Sea A una matriz de n ×n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces la adjunta de Aes la transpuesta de la matriz B de n ×n; es decir:

ad j A = B t =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2...

......

A1n A2n · · · Ann

.

Así, la matriz inversa se puede calcular utilizando el teorema mostrado a continuación.

Teorema 2.2

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si det A 6= 0 y además

A−1 =1

det Aad j A.

Otro resultado útil para el calculo de un determinante es el siguiente.

Teorema 2.3 teo-determinanteDeMatrizInversa

Si A es invertible, entonces det A 6= 0 y

det A−1 =1

det A.

En el siguiente ejemplo veremos el método para calcular la inversa de una matriz usando elteorema 2.2.

Page 60: Álgebra Lineal - webooks

45

2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.

Ejemplo 2.17 Inversa de una matriz

Verificar si la matriz A =

2 5 03 6 6

−6 4 −1

tiene inversa, en caso afirmativo calcular su

inversa.

Solución .Primero calculamos el determinante de la matriz A

2 5 03 6 6

−6 4 −1

= 2

6 64 −1

−5

3 6−6 −1

= 2(−30)−5(33) =−225

luego la matriz de cofactores dada en la ecuación (2.1) y su transpuesta que es la adjuntade A.

B =

−30 −33 485 −2 −38

30 −12 −3

ad j A = B t =

−30 5 30−33 −2 −12

48 −38 −3

finalmente la inversa

A−1 =1

det Aad j A =

1

−225ad j A =

2/15 −1/45 −2/1511/75 2/225 4/75

−16/75 38/225 1/75

2.5.2 Inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan

Se puede calcular la inversa de una matriz por medio de operaciones elementales; es decir,intercambiando renglones, multiplicando un renglón por un escalar y mediante la suma demúltiplos de renglones.

A este método se le conoce como método de Gauss-Jordan y consiste en lo siguiente.

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46

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2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.

Método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz

Consideremos una matriz invertible, de orden n A =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2...

......

a1n a2n · · · ann

P.1) Se le agrega la matriz identidad de orden n para formar una matriz de orden n ×2n,

a ésta matriz se le conoce como matriz aumentada

a11 a21 · · · an1 1 0 · · · 0a12 a22 · · · an2 0 1 · · · 0

......

......

......

a1n a2n · · · ann 0 0 · · · 1

P.2) Se lleva la matriz A hasta una matriz diagonal mediante el algoritmo de Gauss-Jordan

(ver sección 2.3.2), afectando todo el renglón.

1 0 · · · 0 b11 b21 · · · bn1

0 1 · · · 0 b12 b22 · · · bn2...

......

......

...

0 0 · · · 1 b1n b2n · · · bnn

P.3) La matriz que queda en la parte derecha de la matriz aumentada que resulta después

del proceso, será la inversa de la matriz A.

A−1 =

b11 b21 · · · bn1

b12 b22 · · · bn2...

......

b1n b2n · · · bnn

Veamos la forma de calcular la inversa usando el método de Gauss-Jordan

Ejemplo 2.18 Inversa de una matriz

Calcular la inversa de la matriz. B =(

−2 19 7

)

.

Solución .De acuerdo al proceso anterior

Paso 1 Escribimos la matriz aumentada,

(

−2 1 1 09 7 0 1

)

Paso 2 Realizamos el método de Gauss-Jordan, haciendo R ′1 =−1

2 R1

(

1 −12 −1

2 09 7 0 1

)

Page 62: Álgebra Lineal - webooks

47

2.5 Inversa de una matriz Álgebra lineal.

luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R ′2 =−9R1 +R2

(

1 −12 −1

2 00 23

292 1

)

multiplicamos el segundo renglón por 223

(

1 −12 −1

2 00 1 9

232

23

)

para tener cero arriba del segundo elemento de la diagonal hacemos R ′1 =

12 R2+R1

(

1 0 − 723

123

0 1 923

223

)

Paso 3 Finalmente, la inversa es B−1 =(

− 723

123

923

223

)

.

Ejemplo 2.19 Inversa de una matriz

Calcular la inversa de la matriz. B =

2 4 30 1 −13 5 7

Solución .Siguiendo los pasos del método descrito

Paso 1 Escribimos la matriz aumentada,

2 4 3 1 0 00 1 −1 0 1 03 5 7 0 0 1

Paso 2 Realizamos el método de Gauss-Jordan para obtener la matriz identidad

1 0 0 4 −13/3 −7/30 1 0 −1 5/3 2/30 0 1 −1 2/3 2/3

Paso 3 Finalmente, la inversa es:

B−1 =

4 −13/3 −7/3−1 5/3 2/3−1 2/3 2/3

Page 63: Álgebra Lineal - webooks

48

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2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

2.6 Sistemas de ecuaciones linealesConsideremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas xi , i = 1, . . .n talesque:

a11x1 +a12x2 + . . . a1n xn = b1,a21x1 +a22x2 + . . . a2n xn = b2,

...an1x1 +an2x2 + . . . ann xn = bn ,

(2.2)

donde ai j ,bi son números reales.Es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales anterior usando matrices. Para ello debe-mos construir las matrices que se requieren de manera adecuada, pues debemos garantizarque se pueda realizar la multiplicación matricial.Si con los coeficientes ai j formamos la matriz de orden n ×n:

A =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2...

......

a1n a2n · · · ann

,

que denominaremos matriz de coeficientes del sistema, y con las incógnitas xi y los términosindependientes bi formamos las matrices de orden n ×1:

x =

x1

x2...

xn

,

b =

b1

b2...

bn

;

denominados vector de incógnitas y vector de términos independientes , respectivamente, po-demos escribir entonces el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir:

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2...

......

a1n a2n · · · ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

.

Una solución del sistema consiste en un conjunto de valores para las variables xi tal que dichosvalores satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Dependiendo de los valores de lasconstantes ai j el sistema puede no tener solución, tener solución única o tener una cantidadinfinita de soluciones; para identificar el tipo de soluciones nos ayudaremos de los determi-nantes.

Definición 2.22 Determinante de un sistema de ecuaciones

El determinante principal de un sistema de ecuaciones lineales, está formado por loscoeficientes de las variables en ese mismo orden, es decir el determinante principal del

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49

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

sistema (2.2) es

∆=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

Teorema 2.4

Un sistema de ecuaciones con coeficientes en los números reales, cumple una de lassiguientes afirmaciones

Tiene solución única si y solo si ∆ 6= 0,

No tiene solución o tiene una cantidad infinita de soluciones si y solo si ∆= 0.

Si se cumple la condición ∆ = 0, ésto indica que hay un renglón que es combinación lineal deotro u otros; es decir, hay más incógnitas que ecuaciones. Si esta misma relación la cumple elvector de términos independientes, entonces el sistema tendrá una cantidad infinita de solu-ciones; si el vector de términos independientes no la cumple, el sistema no tiene solución.

Ejemplo 2.20 Un sistema sin solución

Indique que tipo de solución tiene el sistema

3x +2y − z = 4−x +10y −7z = 22x −4y +3z = 5.

Solución .

El determinante principal es

3 2 −1−1 10 −7

2 −4 3

, observemos que el segundo renglón es

igual a el primero menos dos veces el segundo (R2 = R1 − 2R3), por lo que el determi-nante es igual a cero. También notemos que en el vector de términos independientes delsistema no se cumple esta relación, es decir, 2 6= 4−2(5). Podemos concluir que el sistemano tiene solución.

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2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

Ejemplo 2.21 Un sistema con solución única

Indique qué tipo de solución tiene el sistema

x +2y −3z = −42x + y + z = 7

3x −4y + z = −2.

Solución .

∆=

1 2 −32 1 13 −4 1

= 1

1 1−4 1

−2

2 13 1

−3

2 13 −4

= (1+4)−2(2−3)−3(−8−3) =

5−2(−1)−3(−11) = 5+2+33 = 40. Como el determinante es distinto de cero, entonces,el sistema tiene solución única.

2.6.1 Interpretación geométrica

Para analizar lo que representa geométricamente un sistema de ecuaciones, debemos separardicho análisis en casos, considerando la dimensión del mismo. Mostraremos los casos de 2 y 3dimensiones.

Dos dimensiones. En los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, cada una de las ecua-ciones representa una línea recta. De acuerdo al tipo de solución que tenga el sistema,podemos distinguir los siguientes casos:

a) Si el sistema tiene solución única, entonces las rectas no son paralelas y se interceptanen un solo punto.

b) Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas son paralelas.

c) Si el sistema tiene soluciones infinitas, decimos que las rectas coinciden o que estáuna encima de la otra.

E2

E1

Solución

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

(a) Solución única

E1

E2

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

(b) Sin solución

E1

E2

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

(c) Infinidad de soluciones

Figura 2.2. Tipos de soluciones representadas en el plano

Tres dimensiones. Para el caso de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, cada una de lasecuaciones representa un plano en el espacio. Nuevamente, de acuerdo al tipo de solu-ción que se tenga, podemos distinguir los siguientes casos:

a) Los tres planos se interceptan en un solo punto, entonces el sistema tiene soluciónúnica.

b) Los tres planos se interceptan en una misma recta, entonces cada punto sobre la rectaes solución y el sistema tiene infinidad de soluciones.

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51

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

c) Los tres planos coinciden, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

d) Dos de los planos coinciden y se interceptan con el tercero en una recta, entonces larecta es solución del sistema y tiene infinidad de soluciones.

e) Al menos dos de los planos son paralelos, entonces el sistema no tiene solución.

f ) Dos de los planos coinciden en una recta L, el tercer plano es paralelo a L y no lacontiene, entonces el sistema no tiene solución.

(a) Solución única (b) Infinidad de soluciones (c) Infinidad de soluciones

(d) Infinidad de soluciones (e) Sin solución (f) Sin solución

Figura 2.3. Tipos de solución gráficos en el espacio

Dentro del contexto de sistemas de ecuaciones se maneja la siguiente nomenclatura.

Definición 2.23 Clasificación de sistemas de ecuaciones

Dado un sistema de ecuaciones lineales n−dimensional;

Se dice que el sistema es inconsistente si no tiene solución.

Se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.

Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero.

Observación

Es imposible que un sistema de ecuaciones homogéneo no tenga solución, pues xi = 0siempre es solución; por lo que, si su determinante principal es distinto de cero, el siste-ma tendrá solución única y será xi = 0; en caso contrario tendrá infinidad de soluciones.

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2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

2.6.2 Solución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices y determinantes

Existen diferentes formas de encontrar la solución a sistemas de ecuaciones lineales. Aquí abor-daremos únicamente tres, que son las más comunes: eliminación Gaussiana, de Gauss-Jordany regla de Cramer. Para esto definiremos antes otro tipo de matriz relacionada con el sistema.

Definición 2.24 Matriz correspondiente a un sistema de ecuaciones

Dado el sistema de ecuaciones (2.2), se conoce como matriz aumentada a la matriz quese obtiene al agregar a la matriz de coeficientes el vector de términos independientes delsistema, en la forma:

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

......

...an1 an2 . . . ann bn

Eliminación Gaussiana

Como ya se vió en la sección 2.3.1, el método de Gauss permite transformar la matriz de coefi-cientes en una matriz reducida equivalente; es decir, que conserva las propiedades matriciales.

Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación Gaussiana, se realizan los siguientespasos:

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

1) Se escribe la matriz aumentada correspondiente del sistema que se quiere resolver.

2) Se transforma la matriz aumentada hasta obtener una matriz triangular superior (con-

siderando la matriz de coeficientes); donde cada operación que se efectúe a un ren-

glón, se hace incluyendo el correspondiente elemento de la columna aumentada.

3) Una vez que se obtiene la matriz triangular superior, se reescribe el sistema con sus

nuevos coeficientes.

4) Se resuelve el nuevo sistema por métodos algebraicos (los valores obtenidos al re-

solver este nuevo sistema, serán los valores solución del sistema original).

Ejemplo 2.22 Método de Gauss

Resolver el sistema

2x +4y +6z = 184x +5y −6z = 243x + y −2z = 4.

, mediante eliminación Gaussiana.

Solución .Escribimos la matriz aumentada

2 4 6 184 5 −6 243 1 −2 4

Page 68: Álgebra Lineal - webooks

53

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

luego haciendo R ′1 =

12 R1

1 2 3 94 5 −6 243 1 −2 4

luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R ′2 =−4R1 +R2 y R ′

3 =−3R1 +R3

1 2 3 90 −3 −18 −120 −5 −11 −23

multiplicamos el segundo renglón por −13

1 2 3 90 1 6 40 −5 −11 −23

para tener cero abajo del segundo elemento de la diagonal hacemos R ′3 = 5R2 +R3

1 2 3 90 1 6 40 0 19 −3

ahora reescribimos el sistema de ecuaciones nuevamente

x +2y +3z = 9y +6z = 4

19z =−3.

y resolvemos de abajo hacia arriba, para obtener x =− 819 , y = 94

19 , z = −319 .

Eliminación de Gauss-Jordan

Este método es similar al anterior, solo que ahora se reduce la matriz de coeficientes, hastallevarla a una matriz identidad, la solución se obtiene directamente.Si en algún paso del método detectamos dos renglones iguales, entonces el sistema o no tie-ne solución o tiene una cantidad infinita de soluciones, para identificar que tipo de soluciónobservamos que:

El sistema no tiene solución si los renglones son iguales unicamente en la parte de lamatriz no aumentada.

El sistema tendrá cantidad infinita de soluciones si los renglones son iguales tanto en lamatriz de coeficientes como en la parte aumentada.

Ejemplo 2.23 Solución de un sistema por el método de Gauss-Jordan

Resolver el sistema

2x +4y +6z = 184x +5y −6z = 242x + y −12z = 6.

, mediante el método de Gauss-Jordan.

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2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

Solución .Escribimos la matriz aumentada

2 4 6 184 5 −6 242 1 −12 6

luego haciendo R ′1 =

12 R1

1 2 3 94 5 −6 242 1 −12 6

luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R ′2 =−4R1 +R2 y R ′

3 =−2R1 +R3

1 2 3 90 −3 −18 −120 −3 −18 −12

Notemos que los renglones 2 y 3 son iguales, tanto en los coeficientes como en los resul-tados por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

Ejemplo 2.24 Solución de un sistema por el método de Gauss-Jordan

Resolver el sistema

2x +4y +6z = 184x +5y −6z = 242x + y −12z = 2.

, mediante el método de Gauss-Jordan.

Solución .Escribimos la matriz aumentada

2 4 6 184 5 −6 242 1 −12 2

luego haciendo R ′1 =

12 R1

1 2 3 94 5 −6 242 1 −12 2

luego para tener cero, bajo el 1 de la diagonal hacemos R ′2 =−4R1 +R2 y R ′

3 =−2R1 +R3

1 2 3 90 −3 −18 −120 −3 −18 −16

Notemos que los renglones 2 y 3 son iguales, pero únicamente en la parte de la matriz noaumentada por lo que el sistema no tiene solución.

Page 70: Álgebra Lineal - webooks

55

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

Regla de Cramer

Para resolver un sistema de ecuaciones mediante regla de Cramer se realizan los siguientespasos;

Método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones

1) Escribimos el determinante principal, es decir el formado por los coeficientes y se

resuelve , si éste es cero el sistema no tiene solución o tiene una cantidad infinita de

soluciones, si es distinta de cero continuamos.

2) Se construyen los determinantes ∆xi que consisten en sustituir la columna de coe-

ficientes de la incógnita xi por la columna de soluciones, sin modificar la posición

donde se encuentra.

3) Se usa la siguiente fórmula para encontrar los valores de las incógnitas xi =∆xi∆

.

Ejemplo 2.25 Solución de un sistema por el método de Cramer

Resolver el sistema

2x +4y +2z = 8x −3z = 42x +3y + z = 2

, mediante regla de Cramer.

Solución .Se escribe y resuelve el determinante principal

∆=

2 4 21 0 −32 3 1

=−

4 23 1

+3

2 42 3

=−(4−6)+3(6−8) = 2−6 =−4

Luego de acuerdo a el paso 2, escribimos y resolvemos ∆x , ∆y , ∆y ,

∆x =

8 4 24 0 −32 3 1

= 56, ∆y =

2 8 21 4 −32 2 1

=−48, ∆z =

2 4 81 0 42 3 2

= 24

Finalmente x =∆

∆x= 56

−4 =−14, y =∆

∆y= −48

−4 = 12, z =∆

∆z= 24

−4 =−6

Si el determinante principal es igual a cero, entonces el sistema o no tiene solución o tieneuna cantidad infinita de soluciones, para saber en que situación estamos, debemos analizar eldeterminante principal y detectar cual renglón es combinación lineal de los otros y verificar silas soluciones cumplen esa misma regla de la combinación lineal, en caso de que no la cumplael sistema no tiene solución.

Ejemplo 2.26 Método de Cramer para un sistema sin solución

Resolver el sistema

x +3y +2z = 2x + y −3z = 1−2y −5z = 2

, mediante regla de Cramer.

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2.6 Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra lineal.

Solución .Se escribe y resuelve el determinante principal

∆=

1 3 21 1 −30 −2 −5

= 2

1 21 −3

−5

1 31 1

= 2(−3−2)−5(1−3) =−10+10 = 0

Por lo que debemos analizar el determinante, y podremos observar que el tercer renglónes combinación lineal de los dos primeros, es decir R3 = −R1 +R2, sin embargo en lacolumna de soluciones del sistema no se cumple esta relación, por lo que el sistema notiene solución.

Observación

Cuando un sistema tiene infinidad de soluciones, para encontrar una debemos quitar elrenglón que es combinación lineal de los otros y resolver el sistema por métodos alge-braicos.

Ejemplo 2.27 Método de Cramer para un sistema con infinidad de soluciones

Resolver el sistema

x +3y +2z = 2x + y −3z = 1−2y −5z =−1

, mediante regla de Cramer.

Solución .Se escribe y resuelve el determinante principal

∆=

1 3 21 1 −30 −2 −5

= 2

1 21 −3

−5

1 31 1

= 2(−3−2)−5(1−3) =−10+10 = 0

Al analizar el determinante, podremos observar que el tercer renglón es combinaciónlineal de los dos primeros, es decir R3 =−R1 +R2, esta relación se cumple también en lacolumna de soluciones, por lo que concluimos que el sistema tiene una cantidad infinitade soluciones.Para encontrar una solución escribimos el sistema

{

x +3y +2z = 2x + y −3z = 1

cuya solución general es y = 811 − 5x

11 y z = 2x11 − 1

11 , al darle el valor a x = 0 obtenemosy = 8

11 y z =− 111 , que es una solución del sistema original.

Page 72: Álgebra Lineal - webooks

57

2.7 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

2.7 Evaluaciones sumativas2.7.1 Ejercicios

1.• Dadas las matrices

A =

1 −1 23 1 40 −2 5

, B =

5 4 4−2 2 4

3 2 −1

, C =

6 32 −51 3

, D =

(

1 −1 34 3 −2

)

realizar las siguientes operaciones, o en su caso indicar porque no se pueden llevar a cabo.

a.• A+B .b.• 3A−2C .c.• AC +BC .d.• A2 − AB

e.• C A−B .

f.• 3A+ 12 B +C D

g.• D A+D

2.• Calcular la inversa de la matriz dada en cada inciso usando método de Gauss-Jordan, oen su caso indicar si no es invertible.

a.• A =

5 −1 23 1 30 −2 5

.

b.• B =

2 4 4−2 −1 4

3 2 −1

.

c.• C =(

6 32 −5

)

.

d.• D =(

1 −14 3

)

.

e.• F =

1 0 1−2 −1 −3

3 4 7

3.• Clasifica las siguientes matrices, como singular o no singular, en caso de que la matrizdada sea no singular, calcular su inversa por el método de la adjunta.

a.• A =

1 −1 23 1 40 −2 5

.

b.• B =

4 −1 4−2 2 4

1 −2 −1

.

c.• C =

2 −1 21 0 33 −1 5

d.• D =

3 3 24 −1 −10 2 2

4.• Calcular el valor de los siguientes determinantes.

a.• A =

3 −1 2 14 3 1 −2

−1 0 2 36 2 5 2

.

b.• B =

2 0 0 00 0 3 00 −1 0 00 0 0 4

.

c.• C =

1 −1 2 0 03 1 4 0 02 −1 5 0 00 0 0 2 30 0 0 −1 4

.

d.• D =

2 5 −6 8 00 1 −7 6 00 0 0 4 00 2 1 5 14 −1 5 3 0

Page 73: Álgebra Lineal - webooks

58

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2.7 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

5.• Encontrar el determinante de la matriz B =

1 −sen(x) 1cos(x) 1 −cos(x)

1 sen(x) 1

.

6.• Sean A y B matrices de orden 7, tales que det (A) = 3 y det (B) = 2. Calcular det [(2A−1)(3B−1)].

7.• En los siguientes sistemas, encontrar: todas sus soluciones, su única solución o indicar queno tiene solución.

a.•{

x −3y = 4−4x +2y = 6

.

b.•{

2x −8y = 5−3x +12y = 8

.

c.•{

−4x − y = 2−2x + y =−3

.

d.•

x −3y +2z = 52x −3y +4z = 4

x −2z = 1

.

e.•

x +y +2z = 411x −13y +3z = 1

5x −y −2z = 2

.

f.•

4x +2y −2z = 43y +3z = 2

−4x −5y −z = 7

.

g.•

2x +3y −2z = 43y +3z = 2

−4x −5y = 4

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593 Espacios Vectoriales

Competencia específica a desarrollar

Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza yhace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediantelas propiedades de adición y multiplicación por un escalar.Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la di-mensión del espacio correspondiente.

Actividades de Aprendizaje

Comprender el concepto de espacio vectorial.

Ejemplificar conjuntos de vectores que cumplan con los diez axiomas de espacio vecto-rial.

Establecer analogías entre los espacios y subespacios vectoriales con la notación de con-juntos y subconjuntos.

Identificar si un conjunto de vectores son o no subespacios vectoriales de un espaciovectorial.

Escribir vectores como combinación lineal de otros.

Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.

Utilizar los conceptos de matrices y determinantes para determinar la independencialineal de un conjunto de vectores.

Identificar cuándo es que un conjunto genera un espacio vectorial.

Determinar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial.

Graficar el espacio de solución de un sistema de ecuaciones lineales y establecer la rela-ción entre la gráfica y la dimensión del espacio de solución.

Encontrar la matriz de cambio de la base canónica a otra base y la matriz de cambio deuna base no canónica a otra cualquiera.

Comprobar la ortonormalidad de una base.

Utilizar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Page 75: Álgebra Lineal - webooks

60

Esp

acio

sV

ecto

riale

s

3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.

3.1 Definición de espacio vectorial y sus propieda-

desSupongamos que tenemos un conjunto de elementosV con ciertas características específicas, ydefinimos una operación entre estos elementos a la que le llamamos suma (+), y otra operaciónentre los elementos del conjunto y un campo que en nuestro curso será el de los números realesa la que se le denominará producto escalar (·).

Observación

Tomemos en cuenta que estas operaciones dependen de los objetos con los cuales este-mos trabajando y que no necesariamente son las operaciones de suma y producto queconocemos de los números reales.

Nos interesan aquellos conjuntos en los cuales una vez definidas sus operaciones, cumplencon las siguientes propiedades o axiomas:

1. Cerradura bajo la suma. Si v1, v2 ∈V entonces v1 + v2 ∈V .

2. Conmutatividad de la suma. Si dos elementos v1, v2 ∈V entonces v1 + v2 = v2 + v1.

3. Asociatividad de la suma. Para todo elemento v1, v2, v3 ∈V se cumple que (v1+v2)+v3 =v1 + (v2 + v3)

4. Existencia del elemento neutro. Existe un elemento 0V ∈ V tal que para todo v ∈ V , v +0V = 0V + v = v

5. Existencia del elemento inverso aditivo. Si un elemento v ∈V , entonces existe otro ele-mento denominado −v ∈V tal que v + (−v) = 0V .

6. Cerradura bajo el producto. Si tenemos v ∈V y k es un número real, entonces kv ∈V

7. Distributividad sobre los elementos de V . Si v1, v2 ∈ V y k es un número real, entoncesk(v1 + v2) = kv1 +kv2

8. Distributividad sobre los elementos reales. Si v ∈ V además k1,k2 son números reales,entonces (k1 +k2)v = k1v +k2v

9. Asociatividad del producto. Si v ∈V y k1,k2 son escalares entonces k1(k2v) = (k1k2)v

10. Existencia del neutro de los reales. Para cada vector v ∈ V existe un elemento 1 ∈ R talque 1 v = v .

Observación

Para evitar confusiones, siempre que nos refiramos al vector cero de un espacio vectorialV lo denotaremos como 0V .

Tomando en cuenta las propiedades anteriores asi como las operaciones con que se verifican,estamos en condiciones de enunciar la siguiente definición.

Page 76: Álgebra Lineal - webooks

61

3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.

Definición 3.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en este caso, el de los números reales) es unconjunto V no vacío, dotado de las operaciones de suma y producto por un escalar, quecumple las diez propiedades anteriores.

Observación

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los números reales se lesconoce como escalares, las operaciones de suma y multiplicación dependen del espaciovectorial, no siempre son las operaciones aditivas y de producto que conocemos de losnúmeros reales.

Para nuestro caso la propiedad 10 se cumple directamente, pues estamos trabajando dentrode los números reales y con operaciones previamente establecidas, en donde se define al 1 ∈R

como el neutro multiplicativo; en caso de cambiar las operaciones, debemos revisar que secumpla ésta propiedad.

Pasos necesarios para verificar las 10 propiedades de un espacio vectorial

1) realizar una simulación geométrica de la forma que tiene el espacio vectorial.

2) Identificar claramente los elementos que componen al espacio vectorial, y determinar

la forma que tiene un elemento en su forma general.

3) tener muy claro como es la operación de suma entre sus elementos y el producto

por un escalar, cuando no se menciona nada en el ejercicio se supone que son las

operaciones que se realizan normalmente entre esos elementos, aunque también se

pueden definir al momento de plantear el problema.

Ejemplo 3.1 El espacio vectorial trivial

Verificar que el conjunto formado por el número cero V = {0}, con la suma y productodefinidas en los números reales, es un espacio vectorial.

Solución .El único elemento de este conjunto es el cero real (0V = 0), veamos que cumple las nuevepropiedades:

1. El único elemento es cero y éste cumple que 0V +0V = 0V ∈V . X

2. Es claro que 0V +0V = 0V +0V . X

3. Para el elemento 0V ∈V se cumple que (0V +0V )+0V = 0V + (0V +0V ). X

4. El elemento neutro o cero de este conjunto es el propio 0V ∈V . X

5. El inverso aditivo del 0V es el propio 0V . X

6. Para cualquier real k, es claro que k ·0V = 0V . X

7. Claramente se cumple que k(0V +0V ) = k ·0V +k ·0V . X

8. Nuevamente tenemos la igualdad obvia (k1 +k2)0V = k1 ·0V +k2 ·0V .X

Page 77: Álgebra Lineal - webooks

62

Esp

acio

sV

ecto

riale

s

3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.

9. De igual forma k1(k2 ·0V ) = (k1k2)0V . X

Por lo tanto, se trata de un espacio vectorial.

El vector cero de cada conjunto forma por si solo un espacio vectorial, conocido como espaciovectorial trivial por su sencillez, y es el único con una cantidad finita de elementos que mane-jaremos en este curso.

Ejemplo 3.2 Espacio vectorial, constituido por una recta en R2

Mostrar que el conjunto de puntos en R2 que están en una recta L que pasa por el origen,constituyen un espacio vectorial, con las operaciones de suma y producto definidas paracoordenadas cartesianas.

Solución .La ecuación de una recta que pasa por el origen es y = cx donde c es una constantearbitraria pero que queda fija una vez elegida. Entonces los elementos de este conjuntotienen la forma (x,cx); además veamos que cumple las 9 propiedades

1. Tomemos dos elementos (x1,cx1) y (x2,cx2). Al realizar la suma tenemos ((x1 +x2),c(x1 +x2)) ∈V . X

2. Dados dos vectores (x1,cx1) y (x2,cx2) tenemos que (x1,cx1) + (x2,cx2) = ((x1 +x2),c(x1 +x2)) = ((x2 +x1),c(x2 +x1)) = (x2,cx2)+ (x1,cx1) X

3. Sean (x1,cx1), (x2,cx2) y (x3,cx3) ∈ L, entonces [(x1,cx1)+ (x2,cx2)]+ (x3,cx3) =((x2 +x1 +x3),c(x2 +x1 +x3)) = (x1,cx1)+ [(x2,cx2)+ (x3,cx3)]. X

4. El elemento neutro es 0V = (0,0) ∈V . X

5. El inverso aditivo de un elemento (x,cx) es (−x,−cx) ∈ L. X

6. Notemos que k(x,cx) = (kx,c(kx)) ∈ L. X

7. Claramente se cumple que k((x1,cx1)+ (x2,cx2)) = k(x1,cx1)+k(x2,cx2). X

8. Nuevamente tenemos la igualdad (k +k2)(x,cx) = k · (x,cx)+k2 · (x,cx).X

9. De igual forma k1(k2(v,cv)) = (k1k2)(v,cv). X

Por lo tanto, es un espacio vectorial.

Observación

El conjunto de puntos en R2 que están en una recta que no pasa por el origen, no cons-tituyen un espacio vectorial, pues no contiene al vector cero.

Para nuestro siguiente ejemplo, recordemos que cualquier polinomio tiene la forma

P (x) = an xn +an−1xn−1 + ...+a1x +a0

y el grado del polinomio es igual a m, siempre y cuando m sea el mayor exponente de todos lostérminos del polinomio y además am 6= 0.

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63

3.1 Definición de un espacio vectorial Álgebra lineal.

Ejemplo 3.3 Un conjunto que no es espacio vectorial

Mostrar que el conjunto de P3 = {ax3 +bx2 + cx +d}, compuesto por los polinomios degrado exactamente igual a 3 con coeficientes reales, no es un espacio vectorial con lasoperaciones definidas para funciones.

Solución .No contiene al vector cero, pues no es de grado tres, con esto es suficiente, aunque tam-bién se puede ver que si se toman dos polinomios de grado tres, la suma no necesaria-mente es de grado tres.

Se puede comprobar que si a éste conjunto, P3, se le permite que contenga a los polinomios degrado menor o igual a 3, entonces si es un espacio vectorial.

Ejemplo 3.4 Espacio vectorial, constituido por funciones continuas

Determinar si el conjunto de funciones f : R→ R continuas, con las operaciones defini-das para funciones, es un espacio vectorial.

Solución .Recordemos que una función continua es aquella que no contiene ningún punto de dis-continuidad, es decir que no tiene divisiones entre cero ou operaciones que no se pue-den definir, dentro del intervalo de definición.

1. Si f (x), g (x) son funciones continuas, entonces f (x)+ g (x) sigue siendo una fun-ción continua pues al sumar no se agrega ningún punto de discontinuidad. X

2. Si f (x), g (x) son funciones continuas, entonces por la definición de suma de fun-ciones, es claro que f (x)+ g (x) = g (x)+ f (x). X

3. Sean f (x), g (x),h(x) funciones continuas, entonces podemos asociar [ f (x) +(g (x)]+h(x) = ( f + g )(x)+h(x) = ( f + g +h)(x) = f (x)+ (g +h)(x) = f (x)+ [g (x)+h(x)]. X

4. El elemento neutro o cero de este conjunto es la función constante f (x) = 0. X

5. El inverso aditivo de una función f (x) es − f (x). X

6. Si k es un real y f (x) es una función continua, entonces k f (x) sigue siendo unafunción continua pues al multiplicar no se agrega ningún punto de discontinui-dad. X

7. Sean k1,k2 elementos reales y f (x) es una función continua, entonces (k1 +k2) f (x) = k1 f (x)+k2 f (x). X

8. Sean k un número real y f (x), g (x) funciones continuas, entonces por linealidadde las funciones k( f (x)+ g (x)) = k f (x)+kg (x). X

9. Sean k1,k2 elementos reales y f(x) es una función continua, entonces por propie-dades de los reales (k1k2) f (x) = k1(k2 f (x)). X

Por lo tanto, es un espacio vectorial.

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3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.

El conjunto de matrices de orden n×M constituyen un espacio vectorial, sin embargo cuandose imponen algunas condiciones en la forma de los elementos que la componen, éstas puedendejar de ser espacios vectoriales.

Ejemplo 3.5 Otro conjunto que no es espacio vectorial

Determinar si el conjunto formado por todas las matrices de orden 3×2, donde el ele-mento cuya posición se encuentra en el renglón 2 columna 2 es un número racional, ycon las operaciones definidas para matrices, forman un espacio vectorial.

Solución .Llamemos Mr al conjunto de matrices que cumplen esta característica:

1. Se cumple, pues al sumar dos matrices de 3×2, el resultado sigue siendo una matrizde 3×2, además la suma de racionales sigue siendo racional. X

2. Se sabe que la suma de matrices es conmutativa, por lo que se cumple directamen-te. X

3. Sean M1, M2, M3 tres matrices de 3×2 que pertenecen a Mr , nuevamente las pro-piedades de matrices nos dicen que podemos asociar la suma de distintas formasy el resultado es el mismo. X

4. El elemento neutro o cero es la matriz de orden 3×2 formada por puros ceros, esparte del conjunto de matrices Mr , pues el cero es número racional. X

5. El inverso aditivo de una matriz M es ?M , notemos que si r es racional, entonces?r también es racional. X

6. Esta propiedad falla pues si tenemos una matriz M de 3×2 con número racionalen la posición renglón 2 columna 2 y k es un irracional, entonces kM puede nocontener un racional en la posición indicada.

Por lo tanto no es espacio vectorial

3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus pro-

piedades

Definición 3.2 Subespacios

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es, en si, unespacio vectorial bajo las operaciones de suma y producto por un escalar definidas paraV ; entonces se dice que H es un subespacio de V .

La ventaja de trabajar con subespacios vectoriales es que no es necesario verificar las diez pro-piedades de espacios vectoriales, como lo muestra el siguiente teorema.

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3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.

Teorema 3.1

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V, si se cum-plen las tres reglas de cerradura:

1. Si h1,h2 ∈ H entonces h1 +h2 ∈ H .

2. Si h ∈ H entonces kh ∈ H para todo escalar k.

Demostración .Por hipótesis (1), para cualquier dos vectores h1,h2 ∈ H , se tiene que h1 +h2 ∈ H . ComoH es un subconjunto de V entonces hereda las propiedades 2 y 3, la propiedad cuatrose verifica si tomamos k =−1 y usamos la hipótesis (2) en la siguiente forma, si tenemosh ∈ H entonces kh = −h ∈ H es decir el inverso de h pertenece a H , para la propiedad4 se obtiene el elemento neutro al tomar k = 0 y usando nuevamente la hipótesis (2),finalmente las propiedades 7,8,9,10 se heredan del espacio vectorial V .

Ejemplo 3.6 El subespacio formado por una recta

Mostrar que los puntos sobre la recta x = y forman un subespacio vectorial de R2.

Solución .Los elementos de este conjunto son todos los puntos de R

2 de la forma (x, x), ahora

1. Sean (x1, x1) y (x2, x2) elementos de la recta, entonces (x1, x1) + (x2, x2) = (x1 +x2, x1 +x2) que claramente pertenece a la recta.

2. Por otro lado si k es un real, entonces k(x, x) = (kx,kx) que también pertenece a larecta.

En consecuencia la recta x = y es un subespacio vectorial y espacio por si mismo.

Ejemplo 3.7 Una recta en el espacio que no es subespacio vectorial

Sea H = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2+4t , y = 1−2t , z = t } ⊂ R

3. Determinar si H es subespaciovectorial de R

3.

Solución .Observemos que los elementos de H son de la forma (2+4t ,1−2t , t ), con t ∈R, sin embar-go en este caso H no es un subespacio vectorial pues no se cumple la segunda condición,por ejemplo si tenemos k = 0 y (6,−1,1) ∈ H , entonces k(6,−1,1) = (0,0,0) ∉ H .

Actividad complementaria 3.1

Verificar si P = {(x, y, z) ∈R3 : 2x +4y +2z = 0} ∈R

3 es un subespacio vectorial de R3.

Observación

Al igual que en para las lineas rectas, todo plano que contenga al origen, constituye unespacio vectorial.

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3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.

Llamamos subespacios impropios de un espacio vectorial V , al mismo V y al subespacio for-mado únicamente por el vector cero H = {0}.

3.2.1 Intersección de subespacios vectoriales

Recordemos de la teoría de conjuntos que la intersección de dos conjuntos A y B esta compues-ta por todos los elementos que están en ambos conjuntos, es decir que pertenece al el conjuntoA y también al conjunto B , el símbolo usado para identificar una intersección de conjuntos es∩, matemáticamente tenemos:

x ∈ A∩B ⇔ x ∈ A y x ∈ B

Definición 3.3 Subespacios

Sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V , definimos la inter-sección de subespacios vectoriales H1 ∩H2 como el conjunto {v ∈V : v ∈ H1, v ∈ H2}; esdecir, los elementos que pertenecen a ambos subespacios.

Observación

Cualesquiera 2 subespacios tienen al menos un vector común, éste elemento es el vectorcero.

Proposición 3.1

La intersección de 2 subespacios de V , siempre es otro subespacio de V .

Demostración .Sean H1 y H2 dos subespacios de V , si la intersección es el espacio formado unicamentepor el elemento cero, es claro que será un subespacio vectorial, si no es el caso, probare-mos que H1 ∩H2 es un subespacio de V en la siguiente forma:

1. sean h,n ∈ h1∩H2, es decir están en H1 y H2 ésto significa que h+n ∈ H1 y tambiénh +n ∈ H2 por lo tanto h +n ∈ H1 ∩H2.

2. Sea k ∈ R, como h ∈ H1 ∩ H2, entonces h ∈ H1 y h ∈ H2 por lo tanto kh ∈ H1 ykh ∈ H2 pero esto implica que kh ∈ H1 ∩H2.

Observación

Una forma para encontrar el subespacio formado por la intersección es escribir el ele-mento general de cada subespacio e igualar coordenadas correspondientes par formarun sistema de ecuaciones que al resolverlo nos dará información sobre la intersección.

Ejemplo 3.8 intersección de subespacios

Sean H = {(x, y, z) : x = −1+ t , y = 2−2t , z = 1− t } y P = {(x, y, z) : 2x −3y +8z = 0} dossubespacios de R

3, encontrar el subespacio formado por su intersección.

Solución .H es una recta en el espacio y sus elementos tienen la forma (−1+ t ,2−2t ,1− t ), mien-

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3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.

tras P representa un plano, y su elemento general se escribe como

(

x, y,−2x +3y

8

)

.

Al igualar coordenada a coordenadatenemos el sistema

−1+ t = x2−2t = y

1− t =−2x +3y

8

Que reescribiendo queda

x − t = −1y +2t = 2

3y −2x +8t = 8

El cual tiene una cantidad infinita de soluciones, por lo tanto H ⊂ P tal y como lo muestrala gráfica y en consecuencia la intersección es H .

Definición 3.4 Subespacios distintos

Decimos que dos subespacios H1, H2 son disjuntos, si el único elemento que pertenecea su intersección es el vector cero.

Ejemplo 3.9 Dos subespacios con intersección trivial

Sean H = {(x, y) : x = 2y} y P = {(x, y) : 2x −3y = 0} dos subespacios de R2, encontrar el

subespacio formado por su intersección.

Solución .H y P son rectas en el plano cuyos elementos generales son (x1, 1

2 x1) y (x2, 23 x2) respecti-

vamente. Al igualar coordenada a coordenada tenemos el sistema

{

x1 = x212 x1 = 2

3 x2

cuya única solución es x1 = 0 y x2 = 0 por lo que la intersección es el vector (0,0).

3.2.2 Suma de subespacios vectoriales

Aun cuando en teoría de conjuntos la unión e intersección de conjuntos van de la mano, enespacios vectoriales no sucede lo mismo, de hecho la unión de dos subespacios vectorialesno tiene por qué ser un subespacio vectorial, para obtener subespacios vectoriales a partir depegar subespacios necesitamos una operación alternativa, que nos permita reunir subespaciosde manera que se mantenga la estructura de subespacio vectorial. Esta operación la definimosde la siguiente forma.

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3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades Álgebra lineal.

Definición 3.5 Suma de subespacios

Dados H1, H2 dos subespacios de un espacio vectorial V . La suma de subespacios vec-toriales se define como

H1 +H2 = {v ∈V : v = h1 +h2 donde h1 ∈ H1,h2 ∈ H2}

donde la operación de suma es la definida para V .

Podemos generalizar esta idea de suma a cualquier cantidad de subespacios vectoriales en lasiguiente forma:

Definición 3.6 Suma general de subespacios

Dados H1, H2, . . . Hn subespacios de un espacio vectorial V . La suma de subespacios vec-toriales se define como

n∑

i=1Hi = H1 +H2 + . . .+Hn = {v ∈V : v =

n∑

i=1hi donde hi ∈ Hi

donde hi ∈ Hi y la operación de suma es la definida para V .

El vector suma, esta compuesto por la suma de vectores, cada uno de los cuales pertenece auno de los subespacios de V , para encontrar este subespacio debemos describir el elementogeneral de cada subespacio y realizar la suma parra enseguida determinar el dominio de lanueva expresión, éste formara al subespacio suma.

Ejemplo 3.10 Suma de dos rectas en el plano

Considera los subespacios H1 = {(x, y) ∈R2 : x−2y = 0} y H2 = {(x, y) ∈R

2 : 2x+3y = 0} deR

2, encontrar el subespacio formado por su suma.

Solución .Notemos que H1 es una recta que pasa por el origen con elementos de la forma (x1, 1

2 x1),mientras que el elemento general de H2 se escribe como (x2,−2

3 x2), así al realizar la sumatenemos (x1+x2, 1

2 x1− 32 x2) que representa a todos los puntos de R

2, por lo que el espaciovectorial H1 +H2 =R

2.

Observación

Es importante que al momento de sumar los elementos generales de cada subespacio losdenotemos con variables distintas, pues en caso contrario no estaríamos encontrandotodos los elementos que corresponden a la suma.

Actividad complementaria 3.2

Considera los subespacios H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = t , y = 2t , z = 3t } y H2 = {(x, y, z) ∈ R

3 :4x −5y +2z = 0} de R

3, encontrar:

1. El subespacio formado por su intersección.

2. El subespacio formado por su suma.

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3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.

Existe un nombre especial para la suma de subespacios , cuando tenemos dos subespaciosvectoriales cuya intersección es el elemento neutro del espacio vectorial, como a continuaciónse describe.

Definición 3.7 Suma directa de subespacios

Sea V un espacio vectorial y sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de V . Se define lasuma directa de subespacios como V = H1 ⊕H2 si se cumple que V = H1 +H2 y ademásH1 ∩H2 = 0

En caso de que la suma directa H1 +H2 sea todo el espacio V , decimos que H1 y H2 son suple-mentarios.

Ejemplo 3.11 Suma directa de un plano y una recta en el espacio

Considerando los subespacios H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2 − 2t , y = 3 − 3t , z = 1 − t } y

H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y = 0} de R

3, encontrar el subespacio formado por su suma ycomprobar que es una suma directa.

Solución .H1 es una recta en el espacio y sus elementos tienen la forma (2−2t ,3−3t ,1−t ), mientrasP representa un plano, y su elemento general se escribe como (x, 1

2 x, z). Al sumar estoselementos tenemos (t + x,1− 3t + 1

2 x,1+ t + z) que nos genera todo R3 pues tenemos

3 grados de libertad es decir se puede escoger libremente tres variables. Por otro ladocuando igualamos coordenada a coordenada tenemos el sistema

2−2t = x3−3t = 1

2 x1− t = z

Que reescribiendo queda

x +2t = 212 x +3t = 3

z + t = 1

El cual tiene como solución x = 0, z = 0 y t = 1 pero recordemos que t es un parámetropara la ecuación de la linea recta por lo que al sustituirlo obtenemos y = 0 es decir laintersección es el vector (0,0,0) y en consecuencia se trata de una suma directa.

3.3 Dependencia e independencia lineal

Definición 3.8 Combinación lineal

Dado un conjunto de vectores v1, v2 . . . vn , se conoce como combinación lineal de ellosa cualquier vector v obtenido mediante la fórmula

v = k1v1 +k2v2 +·· ·+kn vn ,

donde k1,k2 . . .kn son escalares reales, llamados coeficientes de la combinación lineal.

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3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.

Los coeficientes de la combinación lineal son únicos, y para encontrarlos, basta con resolver elsistema de ecuaciones lineales, que se forma a partir de la igualdad que aparece en la definiciónde combinación lineal.

Ejemplo 3.12 Un vector como combinación lineal de otros

Mostrar que en R3 el vector (−7,7,7) es una combinación lineal de (−1,2,4), (5,−3,1) y

(2,1,0).

Solución .Escribimos (−7,7,7) = k1(−1,2,4)+ k2(5,−3,1)+ k3(2,1,0), desarrollando esta igualdadobtenemos el sistema

−k1 +5k2 +2k3 = −72k1 −3k2 +k3 = 7

4k1 +k2 = 7

La solución de este sistema es k1 = 2,k2 = −1. Finalmente escribimos (−7,7,7) =2(−1,2,4)−1(5,−3,1)+0(2,1,0).

El hecho de escribir un vector como combinación lineal de otros es muy importante pues nospermite simplificar muchos cálculos, en particular podemos definir lo siguiente

Definición 3.9 Conjunto generador

Dado un espacio vectorial V , se dice que los vectores v1, v2, . . . vn ∈V forman un conjun-to generador de V , si cualquier vector en V se puede escribir como una combinaciónlineal de ellos. Es decir, para todo v ∈V existen escalares a1, a2, . . . an tales que

v = a1v1 + . . .+an vn .

Es claro que los conjuntos de vectores {(1,0), (0,1)} y {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} generan a R2 y

R3 respectivamente. Sin embargo hay muchos más conjuntos de vectores que pueden generar

estos espacios.Para saber si un conjunto de vectores es generador de un espacio vectorial V , basta con escribirun elemento general del espacio como combinación lineal de los vectores y verificar que estébien definido para todos sus valores.

Observación

Decir que una operación esta bien definida, significa que podemos realizar tal operaciónpara todos los valores de la variable, por ejemplo la función 1

x no esta bien definida paralos reales, pues no podemos evaluar en x = 0.

Ejemplo 3.13 Un conjunto generador de R3

Mostrar que el conjunto de vectores {(2,3,1), (−1,2,0), (4,3,1)} genera a R3.

Solución .Expresamos un vector general de R

3 como combinación lineal de estos vectores; es decir,(x, y, z) = k1(2,3,1)+ k2(−1,2,0)+ k3(4,3,1). Luego formamos el sistema de ecuacioneslineales y lo resolvemos, para obtener los valores k1 =

11z−2x−y4 , k2 =

y−3z2 y k3 =

2x+y−7z4 .

Finalmente, como k1,k2,k3 están definidas para todo x, y, z, decimos que el conjunto de

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3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.

vectores genera todo R3.

Ejemplo 3.14 Conjunto generador del espacio de polinomios de grado 3

Mostrar que los monomios 1, x, x2, x3 generan el espacio vectorial de polinomios de gra-do menor o igual a 3.

Solución .Sea P = ax3 +bx2 + cx +d un polinomio general de grado menor o igual a 3, para escri-birlo como combinación lineal de los vectores simplemente hay que multiplicar por laconstante correspondiente cada término.

Algo muy importante dentro de las operaciones vectoriales es que, cuando trabajamos convectores, estos deben ser independientes unos de otros; en caso contrario, solo estaríamos tra-bajando mucho sin obtener resultados nuevos.

Para saber cuando dos vectores o más son independientes unos de otros, tenemos la siguientedefinición.

Definición 3.10 Dependencia lineal

Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . . vn es linealmente dependiente si cumple cual-quiera de las siguientes afirmaciones:

1. Al menos uno de ellos es combinación lineal de los otros.

2. El vector cero se puede expresar como combinación lineal de todos ellos con coe-ficientes no todos iguales a cero.

Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente, se dice que es linealmenteindependiente.

En otras palabras, decimos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si laecuación

0V = k1v1 +k2v2 + . . .kn vn

implica que todos los ki sean igual a cero.

Ejemplo 3.15 Dos vectores linealmente independientes

Mostrar que los vectores u = (1,2,4), v = (2,5,−3) son linealmente independientes en R3.

Solución .Escribimos (0,0,0) = a(1,2,4)+b(2,5,−3), al igualar cada coordenada obtenemos el sis-tema

0 = a +2b0 = 2a +5b0 = 4a −3b

cuya única solución es a = b = 0, y por la definición de dependencia

lineal parte 2, los vectores son linealmente independientes

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3.3 Dependencia e independencia lineal Álgebra lineal.

Observación

Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n > m; es decir,

el conjunto será dependiente si existen más vectores que la dimensión del espacio.

Ejemplo 3.16 Cuatro vectores en R3

Determinar si los vectores u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (0,0,1), z = (1,1,0) son linealmenteindependientes o dependientes en R

3.

Solución .Como la dimensión del espacio es 3 y tenemos 4 vectores entonces por la observación ??los vectores son linealmente dependientes.

Algunas propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes son las si-guientes:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vec-tores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyotambién lo es.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto quelo contenga.

4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.

5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si algún vector es múltiplo de otro.

6. Geométricamente, dos vectores son linealmente independientes si no tienen la mismadirección.

Actividad complementaria 3.3

Determine si los vectores u = (1,−2,3,4,2), v = (2,−2,0,1,3), w = (0,1,7,−1,−3) y z =(3,−6,9,12,6) son linealmente independientes.

Proposición 3.2

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si el determinante formado porellos es diferente de cero.

Observación

La proposición 3.2 es muy útil, pues simplifica mucho la tarea a la hora de saber si elconjunto de vectores es linealmente independiente; sin embargo, sólo funciona cuandoel determinante que se forma es cuadrado.

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3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.

Ejemplo 3.17 Dependencia lineal con vectores matriciales

Determinar si los vectores u =(

1 31 4

)

, v =(

−2 35 1

)

, w =(

2 −3−1 −2

)

, z =(

3 −12 −1

)

son

linealmente independientes.

Solución .Debemos formar el determinante considerando cada matriz como una columna o ren-glón del determinante, realizándolo en un orden específico.

1 3 1 4−2 3 5 12 −3 −1 −23 −1 2 −1

Como este determinante es igual a −47, por la proposición ?? sabemos que los vectoresson linealmente independientes.

3.4 Base y dimensión de un espacio vectorialLa dimensión de un espacio vectorial, proporciona una idea de cuántos parámetros se necesi-tan para localizar con toda precisión un punto en ese espacio; por ejemplo, para localizar unpunto en el plano se necesitan 2 coordenadas, mientras que en R

3 se deben indicar 3 coorde-nadas. Esa cantidad coincide con el número máximo de vectores linealmente independientesque puede tener un espacio vectorial.

Definición 3.11 Dimensión de un espacio

La dimensión de un espacio vectorial V es igual al máximo número de vectores lineal-mente independientes de dicho espacio y se denota como di mV .

La dimensión de un espacio vectorial, también coincide con el mínimo número de vectoresque forman un conjunto generador para todo el espacio.

Ejemplo 3.18 Dimensión del conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3

Mostrar que la dimensión de P3, que es igual al conjunto de polinomios de grado menoro igual a 3, es 4.

Solución .En el ejmplo ?? se mostró que los vectores 1, x, x2 y x3 generan a P3 por lo que la dimen-sión de P3 es igual a cuatro.

Algunas dimensiones de espacios vectoriales conocidos son las siguientes:

La dimensión de cualquier espacio vectorial trivial es 0.

La dimensión del espacio vectorial formado con los puntos de una línea recta que pasapor el origen es 1, no importa si está definida en el plano o en el espacio.

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3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.

La dimensión de Rn = n para n ≥ 0.

La dimensión de los espacios vectoriales Pn que contienen a los polinomios de gradomenor o igual a n, es n +1.

La dimensión de los espacios vectoriales conformados por matrices de orden n ×n esigual a n2.

Un resultado útil para saber cuando estamos generando un espacio, está expresado en la si-guiente

Proposición 3.3 propo:espaciogenerado

Un conjunto de vectores genera un espacio vectorial, si contiene la misma cantidad devectores linealmente independientes que la dimensión del espacio.

Ejemplo 3.19 Cuatro vectores generadores de R3

Determinar si el conjunto de vectores {(1,2,4), (3,2,−1), (1,1,1), (0,1,3)} generan a R3

Solución .Es claro que los cuatro vectores son linealmente dependientes pues la dimensión delespacio es 3, sin embargo si tomamos los vectores {(1,2,4), (3,2,−1), (1,1,1)} estos son li-nealmente independientes pues su determinante es distinto de cero, como son tres vec-tores en un espacio de dimensión 3, concluimos que el conjunto si genera a R

3.

Veamos ahora la relación entre conjunto de vectores linealmente independientes y las bases deun espacio vectorial.

Definición 3.12 Base de un espacio vectorial

Un conjunto finito de vectores {v1, v2, . . . vn} es una base para un espacio vectorial V , siel conjunto {v1, v2, . . . vn} es linealmente independiente y genera a todo V .

Observación

Si se conoce la dimensión del espacio vectorial, entonces para probar que un conjunto devectores es una base, basta con verificar que dicho conjunto tiene la misma cantidad devectores que la dimensión del espacio y que es un conjunto linealmente independiente.

Cada espacio vectorial puede contener una cantidad infinita de bases, pero hay una en particu-lar que se conoce como base canónica o estándar, esto debido a la sencillez con que se puederepresentar un elemento del espacio en términos de esta base.

Algunas de las bases estándar mas conocidas son:

El conjunto de vectores {(1,0), (0,1)}, que forman la base canónica de R2.

El conjunto de vectores {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, que forman la base canónica de R3.

El conjunto de vectores {1, x, x2, . . . xn}, que forman la base canónica de Pn .

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3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial Álgebra lineal.

Ejemplo 3.20 Algunas bases de R3

Determinar cual o cuales de los siguientes vectores

U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)},V = {(2,−1,0), (2,3,1), (0,−1,4)},W = {(2,−1,0), (2,3,1), (0,4,1)}

forman una base para el espacio vectorial R3.

Solución .El conjunto de vectores U es una base, de hecho es la base canónica, al formar el deter-minante con los elementos de V y W respectivamente tenemos

det V =

2 −1 02 3 10 −1 4

= 34 det W =

2 −1 02 3 10 −1 4

= 0

por lo que los vectores de V son linealmente independientes y generan una base, mien-tras que W no forma una base..

Ejemplo 3.21 Una base para un plano en el espacio

Probar que el conjunto P = {(x, y, z) ∈R3 : 2x−y+3z = 0} es un espacio vectorial y encon-

trar una base para este espacio.

Solución .El conjunto P representa un plano en el espacio que pasa por el origen por lo que es es-pacio vectorial y además tiene dimensión 2, por lo que necesitamos dos vectores lineal-mente independientes que pertenezcan al plano, estos pueden ser {(1,2,0), (−1,1,1)}.

Ejemplo 3.22 Un espacio vectorial de dimensión 3

Determinar si el conjunto U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : z = 2x +3y} es un espacio vectorial; en

caso serlo, encontrar una base para este espacio.

Solución .Los elementos de U son de la forma (x, y,2x +3y, w) como es un subespacio de R

4 bastacon probar las dos condiciones de subespacios:

1. Sean (x1, y1,2x1 + 3y1, w1) y (x2, y2,2x2 + 3y2, w2), entonces la suma (x1 + x2, y1 +y2,2(x1 +x2)+3(y1 + y2), w1 +w2) tiene la misma forma por lo que pertenece a U .

2. Dado k y (x, y,2x+3y, w), tenemos que k(x, y,2x+3y, w) = (kx,k y,2kx+3k y,kw) ∈U .

por lo tanto es un espacio vectorial, como la dimensión de U es tres, necesitamos tresvectores linealmente independientes, estos pueden ser (1,1,5,0), (0,1,3,−1), (0,0,0,1) yaque ninguno se puede escribir como combinación lineal de los otros.

Page 91: Álgebra Lineal - webooks

76

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3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

3.5 Cambio de baseLas coordenadas o componentes de cualquier vector, es decir, los coeficientes de la combina-ción lineal que genera dicho vector, están referidas a una base (la base estándar). En ocasiones,para simplificar nuestro trabajo, nos interesa escribir los vectores en términos de una base dis-tinta; es importante entonces conocer como se expresa un vector en términos de una basearbitraria.

3.5.1 Cambio de la base canónica a otra base

Comenzaremos por estudiar la forma de escribir cualquier vector en términos de una basearbitraria, partiendo de la base canónica.

Definición 3.13 Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2 . . . vn}. Para cadavector v ∈V , existen escalares k1,k2, . . .kn tales que

v = k1v1 +k2v2 + . . .+kn vn . (3.1)

El vector cuyas componentes son los coeficientes de v , denotado por [v]B , se llama vec-tor de coordenadas (vector coordenado) de V con respecto a B; es decir,

[v]B =

k1

k2...

kn

La ecuación 3.1 nos permite encontrar las componentes de un vector, expresado en términosde una base arbitraria, a partir de su expresión en la base canónica.

Ejemplo 3.23 Un vector escrito en términos de una base dada

Dada la base B = {(1,0,−1), (−1,1,0), (1,1,1)} de R3 y el vector v = (2,3,1)

1. Escribir el vector v en términos de la base B; es decir, obtener [v]B .

2. Calcular el vector w , si [w]B = (−2,1,4).

Solución .De acuerdo a la definición

1. Debemos escribir v como combinación lineal de la base B, es decir, (2,3,1) =k1(1,0,−1)+k2(−1,1,0)+k3(1,1,1) y resolver el sistema formado

2 = k1 −k2 +k3

3 = k2 +k3

1 = −k1 +k3

cuya solución es k1 = 1, k2 = 1, k3 = 2, por lo tanto [v]B = (1,1,2).

2. Escribimos el vector w = (x, y, z) como combinación lineal de la base B, es decir,(x, y, z) = k1(1,0,−1)+k2(−1,1,0)+k3(1,1,1) donde ki corresponden a las coorde-nadas del vector [w]B , es decir

(x, y, z) =−2(1,0,−1)+ (−1,1,0)+4(1,1,1)

Page 92: Álgebra Lineal - webooks

77

3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

igualando las coordenadas obtenemos X =−2−1+4 = 1, y = 1+4 = 5 y z = 2+4 = 6por lo que w = (1,5,6).

Observación

Todo vector se representa en términos de una base; si no se indica la base utiliza-da, se considera que se está usando la base canónica y escribimos entonces el vectorv = (x, y, z) ∈ R

3 en vez de [v]B = (x, y, z), donde B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es la basecanónica.

Observación

En Rn cualquier base esta representada por lo que conocemos como ejes coordenados

para saber como ubicarlos simplemente debemos graficar cada vector de la base toman-do en cuenta la base canónica.

Para ubicar un vector de coordenadas en el plano o el espacio, procedemos de igual forma quecomo lo hacemos para la base canónica, es decir, se ubica las componentes del vector en cadaeje (vector de la base) y luego se trazan paralelas al otro eje.Por ejemplo, supongamos que tenemos el vector v = (5,5) ∈ R

2 y queremos expresarlo en tér-minos de la base B = {(2,3), (1,−1)}; después de realizar los cálculos correspondientes, encon-tramos que [v]B = (2,1). Si realizamos la gráfica de cada uno, obtenemos

H5, 5L

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

(a) Vector expresado en términos de la ba-se canónica

1

1

2

v2v1

2

3

-1

-2

-3

-1

(2, 1)

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

(b) Vector expresado en términos de la ba-se B = {(2,3), (1,−1)}

Figura 3.1. Representación de un vector en términos de bases distintas.

Notemos que las unidades de medición en la base B son de distinta longitud; ésto se debe aque la magnitud de los vectores de esta base es distinta de 1.

Ejemplo 3.24 Un vector escrito en términos de una base dada

Escribir el vector v = (−1,1) en términos de la base B = {(1,−1), (−1,2)} de R2 y graficar

este vector en las dos bases.

Solución .Debemos escribir v como combinación lineal de la base B, es decir, (−1,1) = k1(1,−1)+k2(−1,2) y resolver el sistema formado

{

−1 = k1 − k2

1 =−k1 +2k2

Page 93: Álgebra Lineal - webooks

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3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

cuya solución es k1 =−1 y k2 = 0, por lo tanto [v]B = (1,0). Las gráficas correspondientesson:

(-1, 1)

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

1

1

-1

-1 v1

v2

(1, 0)

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3.5.2 Cambio de bases en general

Para realizar un cambio de bases en general, es necesario calcular una matriz que nos permitarealizar este cambio, esto lo hacemos de la manera que a continuación describimos.

Definición 3.14 Matriz de transición

Sea V un espacio vectorial, B1 = {u1,u2, . . .un} y B2 = {v1, v2, . . . vn} dos bases de V . Re-cibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2,la matriz de dimensiones n ×n, que por columnas es

P =(

[u1]B2 [u2]B2 · · · [un]B2

)

,

donde cada vector [ui ]B2 se calcula con la ecuación 3.1.

La columna i−ésima está constituida por las coordenadas en la base B2, del vector ui de labase B1.Para calcular las componentes de un vector en términos de la base B2 a partir de la base B1,tenemos la siguiente

Proposición 3.4 pro.cambiodebase

Sea P la matriz de transición de una base B1 a otra base B2 de un espacio vectorial V .Entonces:

∀v ∈V se tiene que [v]B2 = P · [v]B1 .

P es invertible y su inversa, P−1, es la matriz de transición de la base B2 a la baseB1.

Ejemplo 3.25 Un vector escrito en términos de dos bases

Tomemos la base B1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} y sea B2 = {(1,0,2), (3,−1,0), (0,1,−2)},verificar que B2 es una base para R

3 y escribir [v]B1 = (1,−2,4) en términos de B2.

Solución .Si calculamos el determinante formado por los vectores de B2, observamos que

1 3 00 −1 12 0 −2

= 8

Page 94: Álgebra Lineal - webooks

79

3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

como es distinto de cero, entonces B2 es una base. Ahora, para obtener la matriz detransición de B1 a B2, calculamos primero sus vectores; esto es

(1,0,0) = a1(1,0,2)+a2(3,−1,0)+a3(0,1,−2)

de aquí a1 = 1/4, a2 = 1/4, a3 = 1/4, para el segundo vector de B1

(0,1,0) = b1(1,0,2)+b2(3,−1,0)+b3(0,1,−2)

de aquí b1 = 3/4,b2 =−1/4,b3 = 3/4 y para el tercero

(0,0,1) = c1(1,0,2)+ c2(3,−1,0)+ c3(0,1,−2)

de aquí c1 = 3/8,c2 =−1/8,c3 =−1/8, entonces la matriz de transición es

P =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

1/4 3/4 3/81/4 −1/4 −1/81/4 3/4 −1/8

=

1

8

2 6 32 −2 −12 6 −1

y por la proposición ?? el vector pedido es

[v]B2 = P · [v]B1 =1

8

2 6 32 −2 −12 6 −1

1−24

=

1

8

22

−14

.

Como la base B1 es la base canónica, podríamos calcular [v]B2 con la ecuación 3.1; es decir,escribimos

(1,−2,4) = d1(1,0,2)+d2(3,−1,0)+d3(0,1,−2),

y resolviendo este sistema tenemos que d1 = 1/4,d2 = 1/4,d3 = −7/4, con estos valores pode-mos escribir finalmente

[v]B2 =

1/41/4−7/4

=

1

8

22

−14

.

3.5.3 Bases ortonormales

En esta sección veremos que dada cualquier base, siempre es posible transformarla de maneraque sus vectores sean perpendiculares entre si y de longitud unitaria. Comencemos por definireste tipo de conjuntos vectoriales.

Definición 3.15 Vectores ortonormales

Se dice que un conjunto de vectores S = {u1,u2, . . .uk } es un conjunto ortonormal sicumple las siguientes dos condiciones;

1. ui ·u j = 0 para todo i 6= j

2. ui ·ui = 1.

con i , j = 1, . . .k. Si sólo se satisface la primera condición, se dice que el conjunto esortogonal.

Page 95: Álgebra Lineal - webooks

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3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

Para hacer que los vectores sean ortogonales, recordemos de cálculo vectorial que un vector use proyecta sobre otro vector v mediante la siguiente fórmula:

pr oyv (u) =v ·u

|v |2v

Ahora, si escogemos el vector w = u − v ·u|v |2 v , entonces v y w son ortogonales, como lo ilustra la

gráfica

u w=u-proyvHuL

proyvHuL

v

Figura 3.2. Vector de proyección.

Bajo esta idea se construye el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt; éste es unalgoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes deun espacio vectorial, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespaciovectorial.

El método para ortonormalizar un conjunto de vectores lo describimos a continuación

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Consideremos un conjunto de vectores S = {v1, v2 . . . vn} linealmente independientes de un

espacio vectorial V .

P.1) Elección del primer vector unitario. Tomamos el vector v1 y lo dividimos entre su

magnitud para hacerlo unitario; al resultado lo llamaremos u1, es decir, u1 = v1|v1| .

P.2) Elección del segundo vector unitario. Proyectamos el vector v2 sobre u1, para

obtener

v ′2 = v2 −

v2 ·u1

|u1|2u1 = v2 − (v2 ·u1)u1 ésto último se debe a que |u1| = 1.

Tomamos el vector v ′2 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario, al re-

sultado lo llamaremos u2, es decir u2 =v ′

2|v ′

2|.

P.3) Elección del k+1 vector unitario. Supongamos que se han construido los vectores

{u1,u2 . . .uk } y que forman un conjunto ortonormal. Para construir uk+1 tenemos

v ′k+1 = vk+1 − (vk+1 ·u1)u1 − (vk+1 ·u2)u2 − . . .− (vk+1 ·uk )uk

Finalmente uk+1 =v ′

k+1

|v ′k+1|

.

Page 96: Álgebra Lineal - webooks

81

3.5 Ortonormalización Álgebra lineal.

Ejemplo 3.26 Construcción de una base ortonormal

Construir una base ortonormal para R3, comenzando con la base {v1, v2, v3} =

110

,

011

,

101

.

Solución .Podemos comenzar con cualquier vector, pero procederemos en el orden dado.

P.1) Tomamos el vector v1 y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario

u1 =(1,1,0)

p12 +12 +o2

=(

1p

2,

1p

2,0

)

.

P.2) Proyectamos el vector v2 sobre u1, para obtener

v ′2 =

011

011

·

1p2

1p2

0

1p2

1p2

0

=

011

1p

2

1p2

1p2

0

=

−12

121

y luego dividiendo entre su magnitud

u2 =(−1

2 , 12 ,1)

14 +

14 +1

=(

−1p

6,

1p

6,

2p

6

)

P.3) Para construir el tercer vector tenemos

v ′3 =

101

101

·

1p2

1p2

0

1p2

1p2

0

101

·

− 1p6

1p6

2p6

− 1p6

1p6

2p6

=

=

101

1p

2

1p2

1p2

0

1p

6

− 1p6

1p6

2p6

=

101

12120

−16

1613

=

23−2

323

y dividiendo entre su magnitud

u3 =(2

3 ,−23 , 2

3

)

49 +

49 +

49

=(

1p

3,−

1p

3,

1p

3

)

.

Por lo que la base ortonormal correspondiente es

1/p

21/p

20

,

−1/p

61/p

62/p

6

,

1/p

3−1/

p3

1/p

3

Page 97: Álgebra Lineal - webooks

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3.6 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

3.6 Evaluaciones sumativas3.6.1 Ejercicios

1.• Indicar cuales de las propiedades 1,3,4,5,6,7 de espacios vectoriales fallan en los siguien-tes conjuntos.

a.• El conjunto de los números enteros.

b.• El conjunto de los números racionales.

c.• El conjunto de los números reales.

d.• El conjunto de matrices diagonales de 3×3.

e.• El conjunto de todas las lineas rectas horizontales en el plano.

f.• El conjunto de todos los círculos centrados en el origen, de radio r ≥ 0, con la suma yproducto de funciones.

g.• El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3 de la forma ax3+bx2+cx+d , cona < 0.

h.• El conjunto V = {2}.

i.• V = {x ∈R : x ∈ (−2,2)}.

j.• El conjunto de matrices de 2×2 que tienen la forma

(

0 ab 1

)

.

k.• El conjunto de matrices simétricas de 3×3.

2.• Determina si el subconjunto H del espacio vectorial V , es un subespacio vectorial.

a.• H = {(x, y) : −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 1};V =R2.

b.• H = {(x,−x) : x ∈R}; V =R2.

c.• H = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}, V =R2.

d.• H es el conjunto de matrices de la forma

a a +b a + cb d ec f g

; V es el espacio vectorial

formado por las matrices de 3×3.

3.• Determine si el conjunto de vectores genera al espacio dado.

a.• H = (1,2), (3,4) el espacio es R2.

b.• H = (1,1), (2,2), (3,5) el espacio es R2.

c.• H = (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1) el espacio es R3.

d.• H = 1−x,3−x2 el espacio es el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2.

4.• Escribe el vector (1,−1,2) en términos de la base dada.

a.•

100

,

001

,

111

. b.•

213

,

−145

,

3−2−4

.

5.• Dadas las bases B1 ={(

21

)

,

(

−12

)}

y B2 ={(

−11

)

,

(

32

)}

:

a.• Encontrar la matriz de transición de B1 a B2.

b.• Dado el vector [v]B1 = (3,3), encontrar [v]B2 .

6.• Dadas las bases B1 =

013

,

142

,

30

−4

y B2 =

11

−1

,

−11

−1

,

00

−4

:

a.• Encontrar la matriz de transición de B1 a B2.

Page 98: Álgebra Lineal - webooks

83

3.6 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

b.• Dado el vector [v]B1 = (2,3,−1), encontrar [v]B2 .c.• Dado el vector [u]B2 = (0,2,0), encontrar [u]B1 .

7.• Determine si los siguientes conjuntos son linealmente dependientes o independientes.

a.• A ={(

1 23 6

)

,

(

−1 3−1 1

)

,

(

2 −10 1

)

,

(

1 44 9

)}

b.• B =

134

,

−1−1

2

,

202

c.• C =

012

,

−1−4−3

,

24

−2

8.• En los siguientes incisos, encontrar una base ortonormal para el espacio dado.

a.•

312

,

−167

,

3−24

.b.• H = {(x, y, z) : 2x − y − z = 0}

Page 99: Álgebra Lineal - webooks
Page 100: Álgebra Lineal - webooks

854 Transformaciones Lineales

Competencia específica a desarrollarAplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una ma-triz de reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Actividades de Aprendizaje

Establecer una analogía entre la relación de convertir un vector de materias primas mul-tiplicadas por una matriz de transformación a un vector de productos con la definiciónde transformación lineal.

Identificar cuándo una transformación es una transformación lineal.

Definir y obtener el núcleo y la imagen de una transformación lineal, así como la dimen-sión del núcleo y de la imagen.

Representar una transformación lineal como una matriz.

Encontrar matrices de transformación.

Resolver aplicaciones de transformaciones lineales de reflexión, dilatación, contraccióny rotación.

4.1 Definición y propiedades de una transformación

linealEn esta sección introduciremos, recordando el concepto de función, la definición de una trans-formación lineal, abordaremos también las nociones básicas de estas funciones vectoriales.

Definición 4.1 Transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T : V → W , es unafunción que asigna a cada vector v ∈ V un vector único T (v) ∈ W y que satisface paracada u, v ∈V y cada escalar k ∈R:

1. T (u + v) = Tu +T v .

2. T (kv) = kT (v).

Page 101: Álgebra Lineal - webooks

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4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.

Observación

La diferencia entre transformaciones lineales y funciones reales radica en que, en lasfunciones la regla de asociación está definida entre conjuntos normalmente de númerosreales, mientras que las transformaciones lineales relacionan cualquier espacio vecto-rial.

Ejemplo 4.1 Transformación lineal de T : R2 →R3

Determinar si la transformación T : R2 →R3, donde T

(

xy

)

=

x + yx − y3y

es lineal.

Solución .Debemos comprobar las dos propiedades de la definición:

1. Sean U = (x1, y1) y V = (x2, y2) dos vectores de R2, entonces

T

[(

x1

y1

)

+(

x2

y2

)]

= T

[(

x1 +x2

y1 + y2

)]

=

(x1 +x2)+ (y1 + y2)(x1 +x2)− (y1 + y2)

3(y1 + y2)

si reagrupamos algebraicamente y regresamos la transformación tenemos

(x1 + y1)+ (x2 + y2)(x1 − y1)+ (x2 − y2)

3(y1)+3(y2)

=

(x1 + y1)(x1 − y1)

3(y1)

+

(x2 + y2)(x2 − y2)

3(y2)

= T

(

x1

y1

)

+T

(

x2

y2

)

por lo que se cumple la primera condición.

2. Consideremos k un número real y u = (x, y) un vector arbitrario de R2

T

[

k

(

xy

)]

= T

(

kxk y

)

=

kx +k ykx −k y3k y

Nuevamente realizando álgebra y regresando la transformación

kx +k ykx −k y3k y

= k

x + yx − y3y

= kT

(

xy

)

por lo que se cumple la segunda condición.

Por lo tanto es transformación lineal.

Observación

Para probar que una transformación es lineal es indispensable realizar la prueba con ele-mentos generales, para probar que no es basta con exhibir un caso particular en dondefalle alguna propiedad.

Page 102: Álgebra Lineal - webooks

87

4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.

Ejemplo 4.2 Una transformación que no es lineal

Determinar si la transformación T : R2 →R3, donde T

(

xy

)

=

x + yx − y −23y2

es lineal.

Solución .Veamos que la propiedad 2 falla, para esto consideremos el vector v = (2,1) y k = 2

T

[

2

(

21

)]

= T

(

42

)

=

4+24−2−23(2)2

=

6012

por otro lado

2

[

T

(

21

)]

= 2

3−1

3

=

6−2

6

como no son iguales, entonces podemos concluir que no se cumple la segunda condi-ción y por lo tanto no es transformación lineal.

Actividad complementaria 4.1

Determinar si la transformación T : R2 →R2, donde T

(

xy

)

=(

y2

)

es lineal.

A continuación mostramos algunas de las transformaciones lineales más relevantes.

La transformación cero: T : V →W , donde para todo v ∈V , T (v) = 0W .

La transformación identidad: T : V →V tal que para cada v ∈V se tiene T (v) = v .

La transformación de reflexión: T : R2 →R2 con T

(

x

y

)

=(

−x

y

)

.

La transformación de rotación: T : R2 →R2 tal que T

(

x

y

)

=(

x cosθ− y senθ

x senθ+ y cosθ

)

.

La transformación diferencial: tal que para cada f ∈C 1(R,R), es decir para cada funciónf continua y derivable T ( f ) = f ′.

Ejemplo 4.3 Linealidad de la trasformación de rotación

Mostrar que la matriz de rotación es lineal.

Solución .

la matriz de transformación está dada por T

(

x

y

)

=(

x cosθ− y senθ

x senθ+ y cosθ

)

.

Page 103: Álgebra Lineal - webooks

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Tra

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nes

Lin

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4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal Álgebra lineal.

1. Sean U = (x1, y1) y V = (x2, y2) dos vectores de R2, entonces

T

[(

x1

y1

)

+(

x2

y2

)]

= T

[(

x1 +x2

y1 + y2

)]

=(

(x1 +x2)cosθ− (y1 + y2)senθ

(x1 +x2)senθ+ (y1 + y2)cosθ

)

si reagrupamos algebraicamente y regresamos la transformación tenemos

(

x1 cosθ− y1 senθ

x1 senθ+ y1 cosθ

)

+(

x2 cosθ− y2 senθ

x2 senθ+ y2 cosθ

)

= T

(

x1

y1

)

+T

(

x2

y2

)

por lo que se cumple la primera condición.

2. Ahora consideremos k un número real y u = (x, y) un vector arbitrario de R2

T

[

k

(

xy

)]

= T

(

kxk y

)

=(

kx cosθ−k y senθ

kx senθ+k y cosθ

)

Nuevamente realizando álgebra y regresando la transformación

k

(

x cosθ− y senθ

x senθ+ y cosθ

)

= kT

(

xy

)

por lo que se cumple la segunda condición.

Por lo tanto es transformación lineal.

Como su nombre lo indica, esta trasformación nos permite rotar vectores un cierto ángulo(determinado por el valor de θ).

Actividad complementaria 4.2

Mostrar que la transformación diferencial es lineal.

Proposición 4.1

En una transformación lineal T : V → W , el vector cero del espacio V siempre esta aso-ciado con el vector cero de W , esto es: T (0V ) = 0W .

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son similares a las funciones entre con-juntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de las funciones: inyectivi-dad, suprayectividad y biyectividad. Para esto recordemos del cálculo diferencial que

Una función es inyectiva o función 1 a 1, si cada elemento distinto del dominio estarelacionado con uno diferente del codominio.

Una función es suprayectiva si todos los elementos del codominio están relacionados.

Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres par-ticulares, como se puede observar en la siguiente definición.

Page 104: Álgebra Lineal - webooks

89

4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

Definición 4.2 Clasificación de transformaciones lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V →W una transformación lineal. Se diceque:

1. T es un monomorfismo si T es inyectiva.

2. T es un epimorfismo si T es suprayectiva.

3. T es un isomorfismo si T es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mis-mo.

Definición 4.3 Transformaciones de un espacio sobre si mismo

Sea V un espacio vectorial. Una transformación lineal T : V → V se llama un endomor-fismo de V . Si T es un endomorfismo que es, además, un isomorfismo, entonces se diceque es un automorfismo.

4.2 Núcleo e imagen de una transformación linealDada una transformación lineal T : V → W , podemos encontrar un subespacio de V determi-nado por la transformación lineal al cual se le conoce como el núcleo de la transformación ynos proporciona información sobre la cantidad de vectores presentes en V que, mediante latransformación lineal, se relacionan con un solo elemento de W . En particular, conocer estesubespacio nos permitirá determinar si T es un monomorfismo.

Definición 4.4 Núcleo de una transformación

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V →W una transformación lineal, entoncesel núcleo de T , denotado por nu T , esta dado por nu T = {v ∈V : T (v) = 0W }.

Geométricamente el núcleo de una transformación lo podemos representar como:

W V

T

Núcleo de T

0w

w1 v8

v7

v6

v5

v4

v3

v2

v1

W7

w3

0v

Figura 4.1. Núcleo de una transformación

Page 105: Álgebra Lineal - webooks

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4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

Ejemplo 4.4 Algunos elementos del núcleo

Verificar si los vectores (2,3,−2), (1,−1,1) y (−2,2,−2) pertenecen al núcleo de T : R3 →R2

tal que T

xyz

=

(

x − zy + z

)

.

Solución .Aplicando la transformación a cada vector tenemos

T

23−2

=

(

41

)

, T

1−11

=

(

00

)

, T

−22−2

=

(

00

)

por lo que los vectores (1,−1,1) y (−2,2,−2) pertenecen al núcleo de T .

Para hallar el núcleo de una transformación lineal, se toma un vector arbitrario en el dominioy se le aplica la transformación lineal, enseguida se iguala a cero el resultado y se resuelve elsistema formado. La solución de este sistema nos dará un conjunto de vectores linealmenteindependientes {v1, v2, . . . vn} que, se puede probar, generan al núcleo de la transformación;por lo que podemos escribir

nuT = g en{v1, v2, . . . vn}

Proposición 4.2

La dimensión del núcleo está determinada por la cantidad de vectores linealmente inde-pendientes que contiene el conjunto generador del núcleo.

Ejemplo 4.5 Una transformación con núcleo trivial

Hallar el núcleo de la transformación lineal T : R2 →R3 tal que T

(

x

y

)

=

x + yxy

.

Solución .Al igualar cada componente del vector resultado a cero obtenemos el sistema

x + y = 0x = 0

y = 0

cuya solución es x = 0, y = 0, es decir nuT = (0,0).

Ejemplo 4.6 Transformación con infinidad de elementos en su núcleo

Encontrar el núcleo de la transformación lineal diferencial tal que f ∈C 1(R,R), T ( f ) = f ′

Solución .

Page 106: Álgebra Lineal - webooks

91

4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

Dado que la derivada de una función es igual a cero si y sólo si la función es constante,entonces el núcleo de la transformación consiste en el conjunto de todas las funcionesconstantes.

Proposición 4.3

Sea T : V → W una transformación lineal, entonces T es un monomorfismo si y sólo sinuT = {0v }.

Demostración .⇒) Supongamos que existe un elemento v 6= 0v tal que v ∈ nuT , entonces T (v) = 0w ;pero sabemos que T (v 0) = 0w , es decir, tenemos dos elementos del dominio asociadoscon uno del codominio, esto significa que no es monomorfismo, lo cual contradice lahipótesis.⇐) Para ver que T es monomorfismo sabiendo que nuT = {0v }, tomemos dos elementosw1 = T (v1) y w2 = T (v2) en W , y probemos que si w1 = w2, entonces v1 = v2. Así, sitenemos w1 = w2, significa que T (v1) = T (v2); es decir, T (v1)−T (v2) = 0w . Por tratarsede una transformación lineal, ésto último lo podemos escribir como T (v1 − v2) = 0w .Además, como por hipótesis el único elemento de V que tiene asignado al 0w es el 0v , sedebe cumplir que v1 − v2 = 0v , es decir, v1 = v2.

Ejemplo 4.7 Una transformación que no es isomorfismo

Usar la proposición 4.3 para determinar si la transformación T : R3 → R

2 tal que

T

xyz

=

(

x + y − zz −x

)

es o no, un isomorfismo.

Solución .

Si igualamos a cero la transformación, obtenemos el sistema

{

x + y − z = 0z −x = 0

, que al resol-

ver indica que x = z y y = 0, por lo que el nuT 6= {0}. Por la proposición ??, la transforma-ción no es monomorfismo y por lo tanto tampoco un isomorfismo.

La imagen de una transformación lineal se define de la misma forma en como definimos laimagen de una función.

Definición 4.5 Imagen de una transformación

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V →W una transformación lineal, entoncesla imagen de T , denotada por i m T , se define como i m T = {w ∈ W : w = T (v) paraalguna v ∈V }

La imagen de una transformación lineal T : V → W , está formada por todos los elementos delespacio vectorial W que están relacionados con algún vector de V mediante dicha transforma-ción.

Para saber si un vector pertenece a la imagen necesitamos encontrar un vector (x, y, z) tal queal aplicarle la transformación nos de como resultado el vector que queremos verificar, ésto lohacemos igualando la transformación a nuestro vector y resolviendo el sistema que se forma.

Page 107: Álgebra Lineal - webooks

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4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

En caso de que el sistema no tenga solución significa que el vector no pertenece a la imagen dela transformación.

Ejemplo 4.8 Determinar si un elemento pertenece a la imagen

Verificar si los vectores (2,−2), (−2,5) y (−3,0) pertenecen a la imagen de T : R3 → R2 tal

que T

xyz

=

(

x − zy + z

)

.

Solución .Igualando la transformación a el vector (2,−2), tenemos

{

x − z = 2y + z =−2

cuya solución esta dada por las ecuaciones x = 2+z, y =−2−z, es decir al escoger un va-lor para z tenemos una terna (x, y, z) que mediante la transformación va al vector (2,−2),por lo que este vector pertenece a la imagen de T .Para los vectores (−2,5) y (−3,0) realizamos el mismo procedimiento

{

x − z =−2y + z = 5

y

{

x − z =−3y + z = 0

cuyas soluciones sonx = −2+ z, y = 5− z y cuya solución esta dada por las ecuacionesx =−3+ z, y =−z respectivamente, por lo que ambos pertenecen a la imagen de T .

Para encontrar una base de la imagen de una transformación T : Rm →Rn , aplicamos la trans-

formación y enseguida igualamos el vector que resulta a un vector arbitrario (x1, x2, . . . xn) den-tro del codominio; luego, al tratar de resolver el sistema asociado, debemos encontrar la rela-ción que existe entre las coordenadas de este vector, con la finalidad de que tenga solución,con esto sabremos a cuántas xi le podemos asignar valores arbitrarios y cuáles dependerán delos valores asignados.Una vez hecho lo anterior, expresamos el vector (x1, x2, . . . xn) como combinación lineal de tan-tos vectores como valores arbitrarios se pueden asignar. Por ejemplo, si al resolver el sistemallegamos a que se pueden asignar valores para las coordenadas x1, x2, xn , entonces expresaría-mos el vector como

x1

x2...

xn

= x1

k1

k2...

kn

+x2

h1

h2...

hn

+xn

i1

i2...

in

donde los ki ,hi , ii son valores numéricos que deben cumplir con la igualdad. Finalmente, laimagen de T será el espacio vectorial generado por estos vectores, que escribimos en la forma

i mT = g en

k1

k2...

kn

,

h1

h2...

hn

,

i1

i2...

in

.

Page 108: Álgebra Lineal - webooks

93

4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

Ejemplo 4.9 Dimensión de la imagen de una transformación

Determinar la imagen de la transformación lineal T : R3 → R

3 tal que

T

xyz

=

2x +5y + z8x +12y +6z−4x −2y −4z

.

Solución .Igualando el vector generado por la transformación T a un vector arbitrario, digamos(a,b,c) ∈R

3, tenemos

2x +5y + z8x +12y +6z−4x −2y −4z

=

abc

Al tratar de resolver este sistema, se observa que tiene solución si y solo si −2a+b+c = 0,es decir, si y solo si a = b+c

2 . Finalmente, escribiendo el vector (a,b,c) como combinaciónlineal de dos vectores con coeficientes b,c obtenemos

abc

= b

1/210

+ c

1/201

por lo tanto la imagen es

i m T = g en

1/210

,

1/201

y la dimensión de la imagen es igual a 2.

Ejemplo 4.10 Dimensión de la imagen de una transformación

Encontrar la imagen de la transformación T : R3 →R3 tal que T

xyz

=

x + y − zz0

.

Solución .Al resolver el sistema asociado observamos que tiene solución si y solo si c = 0, por loque para a,b tenemos libertad de escoger sus valores y entonces expresamos el vector(a,b,c) como

abc

= a

100

+b

010

,

por lo tanto la imagen de la transformación T es

i m T = g en

100

,

010

y la dimensión de la imagen es igual a 2.

Page 109: Álgebra Lineal - webooks

94

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4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Álgebra lineal.

Proposición 4.4

La imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio.

Demostración .Sea T : V →W una transformación lineal, veamos que el conjunto T (V ) ⊂W cumple lastres propiedades para ser subespacio vectorial

1. Como T es una transformación lineal, se tiene que T (0v ) = 0w , esto significa que0w ∈ T (V ).

2. Sean T (v1) y T (v2) elementos de la imagen de T . Como T es transformación linealse tiene que T (v1)+T (v2) = T (v1 + v2) ∈ T (V ).

3. Dado que T es transformación para cualquier r ∈ R y t (v) ∈ T (V ) se tiene quer T (v) = T (r v) ∈ T (V ).

por lo tanto, la imagen es subespacio vectorial del codominio.

Una relación importante que tienen los espacios vectoriales del dominio, el núcleo y la imagende una transformación con respecto a sus dimensiones, se establece en la siguiente proposi-ción.

Proposición 4.5

El núcleo y la imagen de una transformación lineal T : V → W son subespacios vecto-riales de V y W respectivamente; además, la dimensión de V es igual a la suma de ladimensión del núcleo y la dimensión de la imagen, es decir:

di mV = di m(nuT )+di m(i mT ) (4.1)

Ejemplo 4.11 Aplicación de la proposición sobre la dimensión

Sea T : M22 → M22 tal que para cualquier matriz A de 2 × 2 tenemos T (A) = AB con

B =(

1 2−5 1

)

. Hallar el núcleo y la imagen usando la proposición 4.5

Solución .Si aplicamos la transformación lineal para una matriz A general, tenemos

T (A) = T

[(

a bc d

)]

=(

a bc d

)(

1 2−5 1

)

=(

a −5b 2a +bc −5d 2c +d

)

al igualar a cero,nos da el sistema

a −5b = 02a +b = 0c −5d = 02c +d = 0

que al resolverlo obtenemos a = b = c = d = 0 por lo que el nuT = {0} es decir, tiene di-mensión cero y haciendo uso de la ecuación 4.1, tenemos que la dimensión de la imagenes 4 o sea todo M22.

Page 110: Álgebra Lineal - webooks

95

4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.

4.3 Representación matricial de una transformación

linealEn esta sección vamos a ver que para toda transformación lineal T : V →W , existe una matrizAT asociada a la transformación lineal de tal manera que T (v) = Av para toda v ∈V .

Definición 4.6 Matriz de transformación

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente, y sea T :V →W una transformación lineal, entonces existe una matriz AT de orden m×n llamadamatriz de transformación o representación matricial de T que satisface T (v) = (AT )vpara toda v ∈V .

La matriz AT se obtiene evaluando la transformación lineal T sobre la base canónica y colo-cando el resultado de cada vector como columna de la matriz AT .

Ejemplo 4.12 Matriz de transformación para una proyección

Encontrar la matriz de transformación correspondiente a la proyección de un vector en

R3 sobre el plano X Y , es decir, la transformación T : R3 →R

2 tal que T

xyz

=

(

xy

)

.

Solución .Al aplicar la transformación a cada uno de los elementos de la base canónica R

3 se tiene

T

100

=

(

10

)

, T

010

=

(

01

)

, T

001

=

(

00

)

por lo que al escribir como columna cada resultado obtenemos la matriz de transforma-ción

AT =(

1 0 00 1 0

)

.

La representación matricial de una transformación lineal, nos permite obtener una base dela imagen, pues ésta estará formada por todos los vectores linealmente independientes quegeneran dicha imagen.

Ejemplo 4.13 Relación de la matriz de transformación con el núcleo e imagen

Hallar la representación matricial de la transformación lineal T : R3 →R4 tal que

T

xyz

=

x − yy + z

2x − y − z−x + y +2z

;

además, encontrar su núcleo e imagen.

Solución .

Page 111: Álgebra Lineal - webooks

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4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.

Al aplicar la transformación a cada uno de los elementos de la base canónica R3 se tiene

T

100

=

102−1

, T

010

=

−11−11

, T

001

=

01−12

.

La matriz de transformación es

AT =

1 −1 00 1 12 −1 −1

−1 1 2

.

Claramente se observa que los tres vectores columna son linealmente independientes,por lo que la dimensión de la imagen es 3; tomando estos vectores de AT , tenemos que

i mT = g en

102

−1

,

−11

−11

,

01

−12

.

Además, considerando que el dominio de esta transformación tiene dimensión 3, por laproposición 4.5 el núcleo tiene dimensión cero y por lo tanto solo contiene al elementocero.

Una forma fácil de saber cuantos vectores linealmente independientes contiene una matriz,es reducirla a su forma escalonada mediante el proceso de Gauss; ésto nos dará una formacuadrada de la matriz (eliminando columnas o filas de ceros) y mediante su determinante esposible saber si son dependientes o independientes. Por ejemplo, al reducir la matriz anteriorobtenemos

AT =

1 −1 00 1 10 0 10 0 0

,

cuyo determinante de la parte cuadrada es igual a 1 y en consecuencia los 3 vectores contenidosen la matriz son linealmente independientes.

Ejemplo 4.14 Matriz asociada a transformaciones polinomiales

Sea T : P2 → P3 definida como T (P (x)) = xP (x), donde P (x) es un polinomio de grado 2,encontrar AT y determinar el núcleo y la imagen de T .

Solución .Recordemos que la base canónica de P2 es {1, x, x2} = {0x2+0x+1,0x2+x+0, x2+0x+0}.Aplicando la transformación lineal sobre esta base, se tiene que

T (1+0x +0x2) = x(1+0x +0x2) = 0+x +0x2 +0x3,

T (0+x +0x2) = x(0+x +0x2) = 0+0x +x2 +0x3,

T (0+0x +x2) = x(0+0x +x2) = 0+0x +0x2 +x3.

Page 112: Álgebra Lineal - webooks

97

4.3 Representación matricial de una transformación lineal Álgebra lineal.

Poniendo los coeficientes de cada resultado como vector columna, formamos la matrizasociada

AT =

0 0 01 0 00 1 00 0 1

,

que ya está escalonada y tiene dimensión 3; por lo tanto, i mT = g en{x, x2, x3}. Final-mente, por la proposición 4.5, la dimensión del núcleo es igual a cero.

Actividad complementaria 4.3

Sea T : R3 →R3 tal que T =

xyz

=

2x − y +3z4x −2y +6z

−6x +3y −9z

. Encontrar núcleo e imagen de T .

Ayuda:

1. Construir la matriz de transformación y escalonarla por método de Gauss-Jordan.

2. Encontrar el único vector linealmente independiente para concluir que i mT =

g en

24

−6

.

3. Igualar a cero el vector generado por la transformación lineal y resolver el sistemaasociado para encontrar los dos vectores linealmente independientes que generan

al núcleo, por ejemplo pueden ser nuT =

151

,

031

.

Hasta este momento, hemos construimos matrices de transformaciones lineales usando la ba-se canónica para los espacios vectoriales. Sin embargo, podríamos preguntarnos: ¿qué pasarási tomamos una base diferente?, ¿la matriz seguirá siendo la misma? El siguiente resultado nosproporciona la respuesta; sin embargo, su demostración y aplicación no forman parte de estecurso, de manera que únicamente mostraremos el siguiente teorema.

Teorema 4.1

Sea V un espacio vectorial de dimensión n y W un espacio de dimensión m, sea T :V → W una transformación lineal. Sea B1 = {v1, v2, . . . vn} una base para V y sea B2 ={w1, w2, . . . wm} una base para W . Entonces existe una matriz única AT de mxn tal que

[T (x)]B2 = AT ([x]B1 ).

Este teorema nos indica que cada vez que tomemos bases diferentes, para los espacios vec-toriales de una transformación lineal tendremos una representación matricial diferente, sinembargo cualquiera de estas matrices será similar a las otras.

Observación

Recuerda que dos matrices A,B son similares si existe otra matriz no singular P tal queA = P−1BP .

Page 113: Álgebra Lineal - webooks

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4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformacio-

nes linealesConsidérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto Γ en el plano puede conside-rarse como un conjunto de puntos. Cada punto P tiene coordenadas (x, y), de manera que elobjeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nuevaposición, puede considerarse como un nuevo objeto Γ

′, cuyos puntos coordenados P ′ puedenobtenerse a partir de los puntos originales P mediante la aplicación de una transformacióngeométrica.

Proposición 4.6

Sea T : R2 → R2 una trasformación lineal con representación matricial AT , entonces si

AT es invertible, T se puede escribir como una sucesión de una o más trasformacionesespeciales llamadas expansiones, compresiones, reflexiones, cortes y rotaciones.

Recordemos que al multiplicar un vector por un escalar c > 1, el resultado será un vector cveces más grande que el vector original, si solo multiplicamos una componente entonces elvector crecerá solamente en la dirección correspondiente a esa componente, con esta idea enmente podemos definir

Definición 4.7 Expansión sobre el eje X

Una expansión a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 → R2 que mul-

tiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante |c| > 1 y se representa

como:

T

(

x

y

)

=(

cx

y

)

Si aplicamos la transformación para expandir sobre el eje X en la base canónica de R2, tenemos

que

T

(

1

0

)

=(

c

0

)

y T

(

0

1

)

=(

0

1

)

por lo que la matriz de transformación para realizar una expansión en el eje X es

AT =(

c 00 1

)

.

Observación

Por expansión sobre el eje X debemos entender que el efecto no es estirar la figura hori-zontalmente hacia los dos lados, sino multiplicar por c cada una de las coordenadas enx.

Ejemplo 4.15 Expandir tres veces una figura sobre el eje X

Encontrar la matriz de transformación para expandir 3 veces el eje X y aplicarlo al cua-drado definido por los puntos (1,1), (3,1), (3,3) y (1,3).

Solución .

Page 114: Álgebra Lineal - webooks

99

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

La matriz correspondiente es

AT =(

3 00 1

)

Al aplicarla a cada vector tenemos

(

3 00 1

)(

1

1

)

=(

3

1

)

,

(

3 00 1

)(

3

1

)

=(

9

1

) (

3 00 1

)(

3

3

)

=(

9

3

)

,

(

3 00 1

)(

1

3

)

=(

3

3

)

.

Geométricamente la transformación es:

2 4 6 8 10-1

1

2

3

4

2 4 6 8 10-1

1

2

3

4

Al igual que con el eje X podemos expandir el eje Y en la siguiente forma.

Definición 4.8 Expansión sobre el eje Y

Una expansión a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 → R2 que mul-

tiplica a la coordenada y de un vector en R2 por una constante |c| > 1 y se representa

como:

T

(

x

y

)

=(

x

c y

)

.

Si aplicamos la transformación para expandir sobre el eje Y en la base canónica de R2, tenemos

que

T

(

1

0

)

=(

1

0

)

y T

(

0

1

)

=(

0

c

)

por lo que la matriz de transformación para realizar una expansión en el eje Y es

AT =(

1 00 c

)

.

Observación

Por expansión sobre el eje X debemos entender que el efecto no es estirar la figura hori-zontalmente hacia los dos lados, sino multiplicar por c cada una de las coordenadas enx.

Ejemplo 4.16 Expandir una figura sobre el eje Y

Hallar la matriz de transformación para expandir -1.5 veces el eje Y y aplicarlo al círculode radio 2 centrado en el origen.

Solución .

Page 115: Álgebra Lineal - webooks

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4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

La matriz correspondiente es

AT =(

1 00 −1.5

)

Consideremos los puntos (−2,0), (0,−2), (2,0) y (0,2) que corresponden al círculo pedidoy apliquemos la transformación

(

1 00 −1.5

)(

−2

0

)

=(

−2

0

)

,

(

1 00 −1.5

)(

0

−2

)

=(

0

3

)

,

(

1 00 −1.5

)(

2

0

)

=(

2

0

)

,

(

1 00 −1.5

)(

0

2

)

=(

0

−3

)

.

Geométricamente la transformación es:

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Ahora al multiplicar un vector por un escalar |c| < 1, el resultado será un vector c veces máspequeño que el vector original,

Definición 4.9 Contracción sobre el eje X

Una contracción a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 → R2 que mul-

tiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante |c| < 1 y se representa

como:

T

(

x

y

)

=(

cx

y

)

Si aplicamos la transformación para contraer sobre el eje X en la base canónica de R2, tenemos

que

T

(

1

0

)

=(

c

0

)

y T

(

0

1

)

=(

0

1

)

por lo que la matriz de transformación para realizar una contracción en el eje X es

AT =(

c 00 1

)

.

Para contraer un objeto sobre el eje Y definimos.

Definición 4.10 Contracción sobre el eje Y

Una contracción a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 → R2 que mul-

tiplica a la coordenada y de un vector en R2 por una constante |c| < 1 y se representa

Page 116: Álgebra Lineal - webooks

101

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

como:

T

(

x

y

)

=(

x

c y

)

.

La matriz de transformación para realizar una contracción en el eje Y es

AT =(

1 00 c

)

.

Ejemplo 4.17 Recortar a la mitad una figura sobre el eje X

Hallar la matriz de transformación para contraer 0.5 veces el eje X y aplicarlo al triángulorectángulo con vértices (0,0), (−2,0) y (−2,2).

Solución .La matriz correspondiente es

AT =(

0.5 00 1

)

Aplicando la matriz de transformación

(

0.5 00 1

)(

0

0

)

=(

0

0

)

,

(

0.5 00 1

)(

−2

0

)

=(

−1

0

)

,

(

0.5 00 1

)(

−2

2

)

=(

−1

2

)

,

Geométricamente la transformación es:

-3 -2 -1 1

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1

-1

1

2

3

Cuando se multiplica el vector por un escalar negativo en particular por −1, éste cambia dedirección, si solo se multiplica una componente, entonces se produce un efecto de reflexiónsobre el eje que corresponde a la componente que se está multiplicando.

Definición 4.11 Reflexión sobre rectas

Una reflexión es una transformación lineal T : R2 →R2 que desplaza de forma simétrica

los puntos del plano respecto a un eje fijo. Existen 3 tipos de reflexiones de transforma-ciones lineales

T

(

x

y

)

=(

x

−y

)

, refleja a un vector respecto al eje X .

Page 117: Álgebra Lineal - webooks

102

Tra

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Lin

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s

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

T

(

x

y

)

=(

−x

y

)

, refleja a un vector respecto al eje Y .

T

(

x

y

)

=(

y

x

)

, refleja a un vector respecto a la recta x = y .

Al aplicar la transformación sobre la base canónica de R2 obtenemos las siguientes matrices:

(

1 00 −1

)

, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto al

eje X .

(

−1 00 1

)

, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto al

eje Y .

(

0 11 0

)

, que es la matriz de transformación correspondiente a la reflexión respecto a la

recta x = y .

Ejemplo 4.18 Reflexión sobre la recta x = y

Reflejar respecto a la recta x = y la figura descrita por los siguientes puntos, (−4,−1),(−4,−3), (−6,−3), (−3,−6), (0,−3), (−2,−3), (−2,−1) y (−4,−1).

Solución .Aplicando la matriz de transformación para reflejar sobre la recta x = y

1.

(

0 11 0

)(

−4

−1

)

=(

−1

−4

)

2.

(

0 11 0

)(

−4

−3

)

=(

−3

−4

)

3.

(

0 11 0

)(

−6

−3

)

=(

−3

−6

)

4.

(

0 11 0

)(

−3

−6

)

=(

−6

−3

)

5.

(

0 11 0

)(

0

−3

)

=(

−3

0

)

6.

(

0 11 0

)(

−2

−3

)

=(

−3

−2

)

7.

(

0 11 0

)(

−2

−1

)

=(

−1

−2

)

8.

(

0 11 0

)(

−4

−1

)

=(

−1

−4

)

Geométricamente la transformación es:

Page 118: Álgebra Lineal - webooks

103

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

-6 -4 -2 2

-6

-4

-2

2

-6 -4 -2 2

-6

-4

-2

2

Si ahora, en vez de multiplicar las componentes de un vector le sumamos una cantidad escalarvariable, obtenemos algunas deformaciones interesantes, en particular tenemos los siguientes.

Definición 4.12 Corte sobre el eje X

Un corte a lo largo del eje X es una transformación lineal T : R2 →R2 tal que

T

(

x

y

)

=(

x + c y

y

)

donde c es una constante que puede ser positiva o negativa.

La matriz de transformación que se obtiene al aplicar la trasformación lineal sobre la base ca-nónica es:

AT =(

1 c0 1

)

Ejemplo 4.19 Corte sobre el eje X

Encontrar la matriz de transformación para realizar un corte sobre el eje X con la cons-tante c = 2 y aplicarlo al cuadrado definido por los puntos (1,1), (3,1), (3,3) y (1,3).

Solución .Aplicando la matriz de transformación para reflejar sobre la recta x = y

1.

(

1 20 1

)(

1

1

)

=(

3

1

)

2.

(

1 20 1

)(

3

1

)

=(

5

1

)

3.

(

1 20 1

)(

3

3

)

=(

9

3

)

4.

(

1 20 1

)(

1

3

)

=(

7

3

)

Geométricamente la transformación es:

2 4 6 8

-1

1

2

3

4

5

6

2 4 6 8

-1

1

2

3

4

5

6

Page 119: Álgebra Lineal - webooks

104

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s

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

Definición 4.13 Corte sobre el eje Y

Un corte a lo largo del eje Y es una transformación lineal T : R2 →R2 tal que

T

(

x

y

)

=(

x

y + cx

)

donde c es una constante que puede ser positiva o negativa.

La matriz de transformación que se obtiene al aplicar la trasformación lineal sobre la base ca-nónica es:

AT =(

1 0c 1

)

Es posible también hallar una transformación lineal que gira θ grados a un punto P con res-pecto al origen. Esto lo hacemos haciendo uso de coordenadas polares; es decir, si tenemos elpunto (x, y) expresado en términos de coordenadas polares como

{

x = r cosφy = r senφ

(4.2)

y queremos girarlo un ángulo de θ grados con respecto al origen, las nuevas coordenadas (x ′, y ′)serían

{

x ′ = r cos(φ+θ)y ′ = r sen(φ+θ)

(4.3)

pero, mediante identidades trigonométricas tenemos

{

r cos(φ+θ) = r (cosθcosφ− senθ senφ) = x cosθ− y senθ

r sen(φ+θ) = r (senθcosφ+cosθ senφ) = x senθ+ y cosθ

}

. (4.4)

Escribiendo la ecuación 4.3 en forma matricial y con la ayuda de la identidad 4.4, tenemos:

(

x ′

y ′

)

=(

cosθ −senθ

senθ cosθ

)(

xy

)

lo cual nos conduce a la siguiente definición.

Definición 4.14 Rotación de objetos

Una rotación respecto al origen es una transformación lineal T : R2 →R2 tal que

T

(

x

y

)

=(

x cosθ− y senθ

x senθ+ y cosθ

)

donde θ es el ángulo que se pretende girar.

La matriz de transformación asociada a una rotación es la siguiente

AT =(

cosθ −senθ

senθ cosθ

)

Page 120: Álgebra Lineal - webooks

105

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

Ejemplo 4.20 Giro de un rectángulo

Girar 70 grados el rectángulo con vértices (1,2), (2,2), (1,−3), (2,−3) y representarlo grá-ficamente.

Solución .

Solución .Aplicando la matriz de transformación a cada vector

1.

(

cos70o −sen70o

sen70o cos70o

)(

1

2

)

=(

cos70o −2sen70o

sen70o +2cos70o

)

=(

−1.537

1.623

)

2.

(

cos70o −sen70o

sen70o cos70o

)(

2

2

)

=(

2cos70o −2sen70o

2sen70o +2cos70o

)

=(

−1.195

2.563

)

3.

(

cos70o −sen70o

sen70o cos70o

)(

1

−3

)

=(

cos70o +3sen70o

sen70o −3cos70o

)

=(

3.161

−0.086

)

4.

(

cos70o −sen70o

sen70o cos70o

)(

2

−3

)

=(

2cos70o +3sen70o

2sen70o −3cos70o

)

=(

3.503

0.853

)

Geométricamente la transformación es:

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Actividad complementaria 4.4

Determinar cuáles serán las nuevas coordenadas del punto (3,2) al girarlo 35o .

La transformación de traslación no puede expresarse mediante una matriz de 2× 2. Sin em-bargo, cierto artificio permite introducir una matriz de 3×3 que efectúa la transformación detraslación. Si se representa el par ordenado (x, y) de un punto P por medio de la tríada (x, y,1),la matriz de traslación sería

AT =

1 0 c0 1 d0 0 1

,

donde las constantes c y d son los valores que se traslada el objeto en el eje X y Y respectiva-mente.

Page 121: Álgebra Lineal - webooks

106

Tra

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4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

Toda matriz de transformación de 2×2 la podemos escribir como una matriz de 3×3 agregán-dole una columna y renglón de ceros excepto en la posición donde se cruzan que lleva un 1,por ejemplo.

La matriz de expansión

(

c 00 1

)

se puede escribir como

c 0 00 1 00 0 1

.

La matriz de reflexión

(

1 00 −1

)

se puede escribir como

1 0 00 −1 00 0 1

.

También el vector columna

(

xy

)

se puede escribir como

xy1

.

Con estos pequeños cambios, podemos trabajar todas las transformaciones geométricas sinproblemas, entendiendo que si esta incluida una traslación, trabajaremos solamente con ma-trices de 3×3; si no hay traslaciones podemos trabajar en el plano, es decir, simplemente conmatrices de 2×2 .

Ejemplo 4.21 Trasladar un círculo

Trasladar el círculo de radio 1 centrado en el origen, 5 unidades en el eje X y −3 unidadessobre el eje Y .

Solución .

La matriz de transformación es

1 0 50 1 −30 0 1

. La aplicamos a algunos puntos específicos

del círculo; por ejemplo, a los puntos (1,0,1), (0,1,1), (−1,0,1), (0,−1,1), para obtener lasnuevas coordenadas de dichos puntos.

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

Es posible construir otras transformaciones geométricas de coordenadas más complejas a par-tir de las transformaciones básicas descritas anteriormente. Transformaciones tales como larotación con respecto a un punto distinto del origen o la reflexión con relación a líneas que nosean los ejes pueden construirse a partir de las transformaciones básicas.

Por ejemplo si tenemos las siguientes transformaciones:

1. Un corte a lo largo del eje X representado por la matriz

(

1 20 1

)

.

2. Una expansión a lo largo del eje Y representado por

(

1 00 2

)

.

Page 122: Álgebra Lineal - webooks

107

4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales Álgebra lineal.

3. Una reflexión a lo largo del eje X representado por la matriz

(

1 00 −1

)

.

4. Un corte respecto del eje Y representado por

(

1 03 1

)

.

La matriz que representa todas estas transformaciones aplicadas una seguida de otra, se obtie-ne multiplicando las matrices dadas, pero acomodándolas de izquierda a derecha, comenzan-do por la última transformación y terminado con la primera; es decir,

(

1 03 1

)(

1 00 −1

)(

1 00 2

)(

1 20 1

)

=(

1 23 4

)

A este proceso se le conoce como concatenación de matrices y nos permite simplificar nuestrotrabajo al juntar dos operaciones o más en una sola. Por ejemplo para ampliar una imagenc veces debemos expandir sobre el eje X y también sobre el eje Y ésta cantidad de veces, siconcatenamos estas dos matrices, obtenemos

(

1 00 c

)(

c 00 1

)

=(

c 00 c

)

que representa la matriz de transformación para ampliar (si c > 1)o reducir (si c < 1) un objeto.

Ejemplo 4.22 Encontrar una matriz de rotación fuera del origen

Describa la transformación que gira θ grados con respecto a un centro fijo de rotación(h,k) un punto (x, y) y úsela para rotar 20o el punto (3,4) respecto al punto (1,1).

Solución .Se determina la transformación en tres pasos:

Trasladar de manera que el centro de rotación (h,k) se encuentre en el origen.

Efectuar una rotación de θ grados con respecto al origen.

Trasladar de nuevo el origen a (h,k).

Observación

Cuando se quiere que un punto del objeto a mover se quede fijo es necesario trasladarlopara que que esté ubicado en el origen.

Ejemplo 4.23 Ampliar una figura con un punto fijo

Amplifíquese el triángulo con vértices A(0,0), B(1,1) y C (5,2) al doble de su tamaño man-teniendo fijo el vértice C (5,2).

Solución .Se determina la transformación en tres pasos:

Trasladar de manera que el punto C (5,2) se encuentre en el origen.

Efectuar una expansión tanto en el eje X como en el eje Y de 2 unidades.

Page 123: Álgebra Lineal - webooks

108

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s

4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

Trasladar de nuevo el origen a (5,2).

La matriz de transformación es

1 0 50 1 −30 0 1

que al aplicarla sobre los vértices del trián-

gulo nos da las nuevas coordenadas, gráficamente tenemos:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

4.5 Evaluaciones sumativas4.5.1 Ejercicios

1.• En los siguientes ejercicios determine si la transformación dada es lineal, en caso negativoindique que propiedad falla.

a.• T

(

x

y

)

=(

x

0

)

.

b.• T

(

x

y

)

= x y .

c.• T

(

x

y

)

=(

1

y

)

.

d.• T

(

x

y

)

=(

x + y

x − y

)

.

e.• T (A) = AB donde B =(

−2 31 −1

)

y A una matriz cualquiera de 3×2.

f.• T ( f (x)) =∫

f (x)d x donde f (x) es una función integrable.

g.• T

xyz

=

3x −5y2x −2zx + y2

.

2.• Sea T : R3 → R3 una transformación lineal tal que T

101

=

1−13

, T

210

=

021

y T

1−11

=

3−12

, encontrar T

−1−23

.

3.• Sea T : R3 → P2 una transformación lineal tal que T

111

= 1−2x + x2, T

200

= 3+ x − x2 y

Page 124: Álgebra Lineal - webooks

109

4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

T

045

= 2+3x +3x2, encontrar T

2−31

.

4.• Sea T : C→ C tal que T (z) = (2+4i )z +a, determine el valor de a para que T sea transfor-mación lineal.

5.• Encuentra el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones.

a.• T

(

x

y

)

=(

x

0

)

.

b.• T

(

x

y

)

= x + y .

c.• T

(

x

y

)

=(

3x +2y

−x − 23 y

)

.

d.• T

(

x

y

)

=(

x + y

x − y

)

.

e.• T (A) = AB donde B =(

−2 31 −1

)

y A una matriz cualquiera de 3×2.

f.• T ( f (x)) =∫

f (x)d x donde f (x) es una función integrable.

6.• Una transformación lineal T : R2 → R3 aplica los vectores base de la siguiente manera,

T (i ) = (1,0,1) y T ( j ) = (−1,0,1). Calcular T (2i − 3 j ) y determinar la dimensión del núcleo eimagen de T .

7.• Considérese T : C → C. Definir T (z) = z, donde z es el complejo conjugado del númerocomplejo z. Demuestre que T es una transformación lineal, hállense una base para el núcleode T y una base para la imagen de T .

8.• Encuentra la representación matricial de las siguientes transformaciones.

a.• T : R2 →R2 tal que T

(

x

y

)

=(

x −2y

−x + y

)

.

b.• T : R3 →R2 tal que T

xyz

=

(

x − y + z−2x +2y −2z

)

.

c.• T : R3 →R3 tal que T

xyz

=

x − y +2z3x + y +4z

−3x +6y +3z

.

d.• T : P2 → P3 tal que T (p(x)) = p(x)(x +1).

9.• Realiza las siguientes transformaciones geométricas y bosqueja la región obtenida al apli-car dicha transformación.

a.• Una expansión de dos unidades a lo largo del eje Y , sobre el rectángulo definido por(0,0), (5,0), (5,2), (0,2).

b.• Corte a lo largo del eje Y con c =−1/2 en el rectángulo (−6,−1), (2,−1), (2,2), (−6,2).

c.• Reflexión a lo largo de la recta x = y en el rectángulo (−2,−1), (2,−1), (2,2), (−2,2).

10.• Escribe la matriz de transformación que se necesita para cambiar el círculo de radio 2centrado en el origen por una elipse de eje mayor igual a 8 unidades sobre X y eje menor de 2unidades en Y y que además este centrada en (2,3).

Page 125: Álgebra Lineal - webooks

110

Tra

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rmacio

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Lin

eale

s

4.5 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.

11.• Escribir la matriz de reflexión para cualquier punto P (x, y) con respecto a la recta y =2x +1 y usarla para hacer la reflexión del punto (2,1).

12.• Realice la reflexión del polígono en forma de diamante cuyos vértices están en A(−1,0),B(0,−2), C (1,0) y D(0,2) con respecto a; a) la recta horizontal y = 1; b) la recta vertical x = 2.

Page 126: Álgebra Lineal - webooks

111A Fórmulas de geometría

A.1 Figuras geométricas 2D

Nombre Figura Perímetro Área

Circunferencia r 2πr πr 2.

Rectángulo

a

b 2a +2b a b.

Triángulo hc

a

b a +b + ca h

2.

Trapecio ha

B

b

2a +b +B(B +b)h

2.

Page 127: Álgebra Lineal - webooks

112

rmu

las

de

geo

metría

A.2 Figuras geométricas 3D Álgebra lineal.

Pentágonoa

L

5L5L a

2.

Polígono regular de n la-dos

a

L

Área = nLa2

Perímetro = nL

n Ln L a

2.

a=apotema h= altura r=radio

A.2 Figuras geométricas 3D

Nombre Figura Superficie Volumen

Esfera 4πr 2 4

3πr 3.

Cubo 6L2 L3.

Paralelepípedo 2(AB +BC + AC ) ABC .

Cilindro cerrado 2πr (h + r ) AB h.

Page 128: Álgebra Lineal - webooks

113

A.3 Geometría plana Álgebra lineal.

Cono circular recto ce-rrado

πr (g +h)1

3AB h.

g=generatriz h= altura AB = Área de la base r=radio

A.3 Geometría planaLa pendiente de una línea recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:

m =y2 − y1

x2 −x1.

La ecuación de una línea recta:

• Que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es y − y1 =y2 − y1

x2 −x1(x −x1).

• Que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m es y − y1 = m(x −x1).

• Que intersecta al eje Y en el punto (0,b) y tiene pendiente m es y = mx +b.

La ecuación de una parábola:

• Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h +p,k) es (y −k)2 = 4p(x −h).

• Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h,k +p) es (x −h)2 = 4p(y −k).

• En forma general es ax2 +bx y + c y2 +d x + e y + f = 0, donde se debe cumplir queb2 −4ac = 0 y además los coeficientes a, c no se anulen simultáneamente.

La ecuación de una circunferencia:

• Con vértice en el punto (h,k) y radio r es (x −h)2 + (y −k)2 = r 2.

• En forma general es x2 +bx y + y2 +d x +e y + f = 0.

El ángulo entre dos rectas en el plano es tanθ = m2−m11+m1m2

.

La distancia entre dos puntos P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2) está dada por:

d =√

(x2 −x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Page 129: Álgebra Lineal - webooks
Page 130: Álgebra Lineal - webooks

115B Fórmulas de trigonometría

Identidades trigonométricas fundamentales

1. 1+ tan2(x) = sec2(x)

2. 1+cot2(x) = csc2(x)

3. 1−cos2(x) = sen2(x)

4. csc(x) = 1sen(x)

5. sec(x) = 1cos(x)

6. cot(x) = 1tan(x)

7. tan(x) = sen(x)cos(x)

8. cot(x) = cos(x)sen(x)

Identidades de sumas y restas de ángulos

1. sen(x + y) = sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)

2. sen(x − y) = sen(x)cos(y)−cos(x)sen(y)

3. cos(x + y) = cos(x)cos(y)− sen(x)sen(y)

4. sen(x − y) = cos(x)cos(y)+ sen(x)sen(y)

5. tan(x + y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y)

6. tan(x − y) = tan(x)−tan(y)1+tan(x) tan(y)

Identidades del doble y mitad de un ángulo

1. sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

2. cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) = 2cos2(x)−1

3. tan(2x) = 2tan(x)1−tan2(x)

4. sen x2 =±

1−cos x2

5. cos x2 =±

1+cos x2

Identidades de productos de funciones

1. sen2(x) = 12 (1−cos(2x))

Page 131: Álgebra Lineal - webooks

116

rmu

las

de

trigo

no

metría

Álgebra lineal.

2. cos2(x) = 12 (1+cos(2x))

3. sen(x)cos(x) = 12 sen(2x)

4. sen(x)sen(y) = 12 (cos(x − y)−cos(x + y))

5. sen(x)cos(y) = 12 (sen(x − y)+ sen(x + y))

6. cos(x)cos(y) = 12 (cos(x − y)+cos(x + y))

Propiedades de las funciones trigonométricas

1. La función sen x es impar, se cumple que sen(−x) =−sen(x).

2. La función cos x es par, se cumple que cos(−x) = cos(x).

3. La función tan x es impar, se cumple que tan(−x) =− tan(x).

4. La función cot x es impar, se cumple que tan(−x) =− tan(x).

5. El cos x es el complemento del sen x, es decir sen(π2 −x) = cos(x).

6. El sen x es el complemento del cos x, es decir cos(π2 −x) = sen(x).

7. La tan x es el complemento de la cot x, es decir tan(π2 −x) = cot(x).

8. La cot x es el complemento de la tan x, es decir cot(π2 −x) = tan(x).

Funciones trigonométricas para triángulos rectángulos

1. sen A =c.o.

h=

a

c

2. cos A =c.a.

h=

b

c

3. tan A =c.o.

c.a.=

a

b

4. cot A =c.a.

c.o.=

b

a

5. sec A =h

c.a.=

c

b

6. csc A =h

c.o.=

c

a

A

B

b

a

c

donde h es la hipotenusa, c.o. es el cateto opuesto y c.a. el cateto adyacente.Además el teorema de pitágoras establece que:

c2 = a2 +b2

Funciones trigonométricas para triángulos oblicuángulos

1. Ley de senos:

a

sen A=

b

senB=

c

senC

2. Ley de cosenos:

c2 = a2 +b2 −2a b cosC

3. Ley de tangentes:

a +b

a −b=

t an( A+B

2

)

t an( A−B

2

)

A

c

b

B

a

C

Page 132: Álgebra Lineal - webooks

117C Fórmulas de derivadas

Consideremos que c es una constante y u, v, w son funciones de la variable x.

1. dd x (c) = 0

2. dd x (x) = 1

3. dd x (u + v −w) = d

d x (u)+ dd x (v)− d

d x (w)

4. dd x (cv) = c d

d x (v)

5. dd x (uv) = u d

d x (v)+ v dd x (u)

6. dd x (vn) = nvn−1 d

d x (v)

7. dd x (xn) = nxn−1

8. dd x ( n

pv) =

d vd x

nnp

vn−1

9. dd x ( u

v ) = v dd x (u)−u d

d x (v)v2

10. dd x ( u

c ) =d

d x (u)c

11. dd x |x| =

x|x| = sg n(x), (x 6= 0)

12. dd x (ln v) = 1

vd

d x (v)

13. dd x (log v) = loge

vd

d x (v)

14. dd x (av ) = av ln a d

d x (v)

15. dd x (ev ) = ev d

d x (v)

16. dd x (uv ) = uv

(

d vd x ln |u|+ v d

d x lnu)

17. dd x (xx ) = xx (1+ ln x)

18. dd x (sen v) = cos v d

d x (v)

19. dd x (cos v) =−sen v d

d x (v)

20. dd x (tan v) = sec2 v d

d x (v)

21. dd x (cot v) =−csc2 v d

d x (v)

22. dd x (sec v) = sec v tan v d

d x (v)

23. dd x (csc v) =−csc v cot v d

d x (v)

24. dd x (arcsin v) =

dd x (v)p

1−v2

25. dd x (arccos v) =−

dd x (v)p

1−v2

26. dd x (arctan v) =

dd x (v)1+v2

27. dd x (arccotv) =−

dd x (v)1+v2

28. dd x (arcsecv) =

dd x (v)

vp

v2−1

29. dd x (arccscv) =−

dd x (v)

vp

v2−1

30. dd x senh x = coth x = ex+e−x

2

31. dd x cosh x = senh x = ex−e−x

2

32. dd x tanh x = sech2x

33. dd x sechx =− tanh x(sechx)

34. dd x cschx =−coth x(cschx)

35. dd x cothx =−csch2x

36. dd x argsenh x = 1p

x2+1

37. dd x argcosh x = 1p

x2−1

38. dd x argtanh x = 1

1−x2

39. dd x arg sechx = −1

|x|p

1−x2

40. dd x argcschx = −1

|x|p

1+x2

41. dd x argcoth x =− 1

x2−1

Page 133: Álgebra Lineal - webooks

118

rmu

las

de

deriv

ad

as

Álgebra lineal.

Además si z(u) depende de u y a su vez u(x) depende de x, entonces la regla de la cadena nosdice que

d z

d x=

d z

du

du

d x.

Page 134: Álgebra Lineal - webooks

119D Fórmulas de integrales

Considerar que k es una constante y que v(x), u(x) son funciones que dependen de la variablex.

Integrales básicas.

1.∫

d x = x + c.

2.∫

k d x = k∫

d x = kx + c.

3.∫

(u + v −w)d x =∫

u d x +∫

v d x −∫

w d x + c.

4.∫

xnd x = xn+1

n+1 + c, n 6= −1.

5.∫ 1

x d x = ln x + c.

6.∫

ex d x = ex + c.

7.∫

ax d x = ax

ln a + c.

Integrales que contienen a +bx

8.∫

(a +bx)nd x = (a+bx)n+1

b(n+1) + c, n 6= −1.

9.∫ d x

a+bx = 1b ln |a +bx|+ c.

10.∫ xd x

a+bx = 1b2 [a +bx −a ln(a +bx)]+ c.

11.∫ xd x

(a+bx)2 = 1b2 [ a

a+bx + ln(a +bx)]+ c.

12.∫ x2d x

a+bx = 1b3 [ 1

2 (a +bx)2 −2a(a +bx)+a2 ln(a +bx)]+ c.

13.∫ x2d x

(a+bx)2 = 1b3

[

a +bx − a2

a+bx −2a ln(a +bx)]

+ c.

14.∫ xd x

(a+bx)3 = 1b2

[

− 1a+bx + a

2(a+bx)2

]

+ c.

15.∫ d x

x(a+bx) =− 1a ln( a+bx

x )+ c.

16.∫ d x

x2(a+bx) =− 1ax +

b

a2ln( a+bx

x )+ c.

Page 135: Álgebra Lineal - webooks

120

rmu

las

de

inte

gra

les

Álgebra lineal.

17.∫ d x

x(a+bx)2 =1

a(a +bx)− 1

a2 ln( a+bxx )+ c.

18.∫

xp

a +bx d x = 2(3bx−2a)(a+bx)32

15b2 + c.

19.∫

x2p

a +bx d x = 2(8a2−12abx+15b2x2)(a+bx)32

105b3 + c.

20.∫ xp

a+bxd x = 2(bx−2a)

pa+bx

3b2 + c.

21.∫ x2

pa+bx

d x = 2(8a2−4abx+3b2x2)p

a+bx15b3 + c.

22.∫ d x

xp

a+bxd x =

1p

aln

(pa+bx−

pap

a+bx+p

a

)

+ c, para a > 0.

23.∫ d x

xp

a+bxd x =

2p−a

arctan√

a+bx−a + c, para a < 0.

24.∫

pa+bx

x d x = 2p

a +bx +a∫ d x

xp

a+bx+ c.

Integrales que contienen ±a2 ±x2

25.∫p

a2 −x2d x = x2

pa2 −x2 + a2

2 arcsin xa + c

26.∫

(a2 −x2)n/2d x = x(a2−x2)n/2

n+1 + na2

n+1

(a2 −x2)n2 −1d x n 6= −1

27.∫

x(a2 −x2)n/2d x =−(a2 −x2)

n2 +1

n +2+ c n 6= −2

28.∫ 1p

a2−x2d x = arcsen x

a + c

29.∫ 1

a2−x2 d x = 12a ln | a+x

x−a |+ c

30.∫ 1

b2x2−a2 d x = 12ab ln( bx−a

bx+a )+ c

31.∫p

x2 ±a2d x = x2

px2 ±a2 ± a2

2 ln(x +p

x2 ±a2)+ c

32.∫ 1p

x2±a2d x = ln(x +

px2 ±a2)+ c

33.∫ 1

a2+b2x2 d x = 1ab arctan bx

a + c

34.∫

pa2−x2

x d x =p

a2 −x2 −a ln( a+p

a2−x2

x )+ c

35.∫

px2+a2

x d x =p

x2 +a2 −a ln( a+p

x2+a2

x )+ c

36.∫

x(a2 −x2)n/2d x =− (a2−x2)n2 +1

n+2 + c

37.∫

x2(a2 −x2)n/2d x =− x(a2−x2)n2 +1

n+3 + a2

n+3

(a2 −x2)n/2d x

38.∫ 1p

a2 −x2d x = arcsen

( xa

)

+ c

39.∫ 1

xp

a2 −x2d x =− 1

a ln(

a+p

a2−x2

x

)

+ c

Page 136: Álgebra Lineal - webooks

121

Álgebra lineal.

40.∫ xp

a2 −x2d x =−

pa2 −x2 + c

41.∫ x2

pa2 −x2

d x =− x2

pa2 −x2 + a2

2 ar csen( x

a

)

+ c

Integrales trigonométricas

42.∫

sen xd x =−cos x + c

43.∫

cos xd x = sen x + c

44.∫

tan xd x = ln |sec x|+ c

45.∫

cot xd x = ln |sen x|+ c

46.∫

sec xd x = ln |sec x + tan x|+ c

47.∫

csc xd x = ln |csc x −cot x|+ c

48.∫

sen2 x d x = 12 x − 1

4 sen2x + c

49.∫

cos2 mx d x = 12 x + 1

4 sen2x + c

50.∫

tan2 x d x = tan x −x + c

51.∫

cot2 x d x = cot x −x + c

52.∫

sec2 x d x = tan x + c

53.∫

csc2 x d x =−cot x + c

54.∫

senn x d x =− senn−1 x cos xn + n−1

n

senn−2 x d x

55.∫

cosn xd x = cosn−1 x sen xn + n−1

n

cosn−2 x d x

56.∫

tann xd x = tann−1 xn−1 −

tann−2 x d x

57.∫

cotn x d x = cotn−1 xn−1 −

cotn−2 x d x

58.∫

secn x d x = tan x secn−2 xn−1 + n−2

n−1

secn−2 x d x

59.∫

cscn x d x = cot x cscn−2 xn−2 + n−2

n−1

cscn−2 x d x

60.∫

senn x cos x d x = senn+1 xn+1 + c

61.∫

cosn x sen x d x =− cosn+1 xn+1 + c

62.∫

sen x cos x d x =−12 cos2 x + c

63.∫

sec x tan x d x = sec x + c

64.∫

csc x cot x d x =−csc x + c

Integrales trigonométricas inversas

Page 137: Álgebra Lineal - webooks

122

rmu

las

de

inte

gra

les

Álgebra lineal.

65.∫

arcsen x d x = x arcsen x +p

1−x2 + c

66.∫

arccos x d x = x arccos x −p

1−x2 + c

67.∫

arctan x d x = x arctan x − ln(p

1+x2)+ c

68.∫

arc cotx d x = x arc cotx + ln(p

1+x2)+ c

69.∫

arc secx d x = x arc secx − ln(x +p

x2 −1)+ c

70.∫

arc cscx d x = x arc cscx + ln(x +p

x2 −1)+ c

Integrales trigonométricas hiperbólicas

71.∫

senh x d x = cosh x + c

72.∫

cosh x d x = senh x + c

73.∫

tanh x d x = ln(cosh x)+ c

74.∫

coth x d x = ln(senh x)+ c

75.∫

sechx d x = arctan(senh x)+ c

76.∫

cschx d x = ln(tanh x2 )+ c

Page 138: Álgebra Lineal - webooks

123E Fórmulas de cálculo vectorial

El vector ~a que une los puntos P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2), está definido por:

~a =< (x2 −x1), (y2 − y1), (z2 − z1) >= (x2 −x1)ı + (y2 − y1) + (z2 − z1)k.

La magnitud de un vector ~a = a1 i +a2 j +a3k es |~a| =√

a21 +a2

2 +a23.

Dados dos vectores ~a = a1 i +a2 j +a3k y~b = b1 i +b2 j +b3k:

1. El producto punto ~a ·~b = a1b1 +a2b2 +a3b3.

2. El producto cruz ~a ×~b =

i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

= (a2b3 − a3b2)i − (a1b3 − a3b1) j + (a1b2 −

a2b1)k.

Ecuación de la recta que pasa por el punto P0 = (x0, y0, z0) y tiene vector de dirección~v = aı +b + ck.

1. Forma paramétrica

x = x0 +aty = y0 +btz = z0 + ct

.

2. Forma simétrica x−x0a = y−y0

b = z−z0c

Los cosenos directores para el punto P0(x0, y0, z0) cuyo vector de posición es ~P0 = x0 ı +y0 + z0k son:

cosk =x0

|P0|cosβ=

y0

|P0|cosγ=

z0

|P0|.

donde α, β, γ denotan los ángulos que forma el vector ~P0 con la parte positiva de los ejes

X , Y , Z respectivamente y |P0| =√

x20 + y2

0 + z20

La ecuación del plano que pasa por un punto P0(x0, y0, z0) y tiene vector normal ~n =aı +b + ck es:

ax +by + cz +d = 0

donde d =−(ax0 +by0 + cz0).

Page 139: Álgebra Lineal - webooks

124

rmu

las

de

cálc

ulo

vecto

rial

Álgebra lineal.

La distancia de un punto P0(x0, y0, z0) al plano ax +by + cz +d = 0 es:

D =|ax0 +by0 + cz0 +d |

pa2 +b2 + c2

El ángulo θ entre dos vectores ~a y~b es:

1. Usando producto punto; cosθ =~a ·~b|~a||~b|

.

2. Usando producto cruz; senθ =|~a ×~b||~a||~b|

.

Cambio de coordenadas

1. Coordenadas polares

{

x = r cosθy = r senθ

o

{

r =√

x2 + y2

θ = arctan( y

x

) .

2. Coordenadas cilíndricas

x = r cosθy = r senθ

z = z

o

r =√

x2 + y2

θ = arctan( y

x

)

z = z

.

3. Coordenadas esféricas

x = r senθcosφy = r senθ senφ

z = r cosθ

o

r =√

x2 + y2 + z2

φ= arctan( y

x

)

θ = cos−1(

zx2+y2+z2

)

.

El operador nabl a se define como ∇= i ∂∂x + j ∂

∂y + k ∂∂z .

Sean ~F (t ) = F1 i +F2 j +F3k y f (x, y, z) funciones con derivadas parciales, entonces:

1. El gradiente de f (x, y, z) es g r ad( f ) =∇ f = ∂ f∂x i + ∂ f

∂y j + ∂ f∂z k.

2. La divergencia de ~F (t ) es di v~F =∇·~F = ∂F1∂x + ∂F2

∂y + ∂F3∂z .

3. El rotacional de ~F (t ) es r ot~F = ∇×~F =

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

4. El laplaciano de f (x, y, z) es = ∆ f =∇2 f = ∇· (∇ f ) = ∂2 f∂x2 +

∂2 f∂y2 + ∂2z

∂z2 .

Page 140: Álgebra Lineal - webooks

125F Respuesta a ejercicios propuestos

Respuestas

Sección 1.8

1. a. 5+ 92 i .

b. −1+3i .

c. 28i .

d. 32 +

i2 .

e. −2−5i . −65 i .

f. −65 i .

2. Al sustituir z = 1+i en la ecuación, obtenemos (1+i )2−2(1+i )+2 = 1+2i+i 2−2−2i+2 = 0,lo que comprueba que es ese número complejo es una solución de dicha ecuación. Hacer lomismo para el otro valor de z.

3. a. i (1− ip

3)(p

3+ i ) = i (p

3+ i −3i +p

3) =p

3 i −1+3+p

3 i = 2+2p

3 i .

b. Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, tenemos el resultado10i+5

4+1 = 1+2i .

c. Expresando en su forma exponencial, obtenemos (−1+ i )7 =(p

2e3π4 i

)7; elevando a la

potencia indicada resulta 27/2e21π

4 i . Luego, regresando a la forma rectangular obtenemos el re-sultado −8−8i .

d. Expresando (1+p

3 i )−10 en su forma exponencial nos da(

2eπ3 i

)−10. Luego, elevando a la

potencia y regresando a su forma rectangular logramos obtener el resultado − 12048 +

p3

2048 i .

4. a. Resolviendo la parte interior de la expresión se obtiene [1+ i ]2 y el resultado final queda2i .

b. Resolviendo la parte interior de la expresión tenemos que[18

25 −11i25

]2y el resultado final

queda 203625 −

396i625 .

5. a. 2+2i .

b. −7− i .

Page 141: Álgebra Lineal - webooks

126

Resp

uesta

sd

ela

secció

n1.8

Respuestas de la sección 2.7 Álgebra lineal.

c. −20−4i .

6. a. 226(cos 1π+ i sen 13π).

b. 3p

232 (cos 1

4π+ i sen 14π).

c. 12p

2(cos 14π+ i sen 1

4π).

d.p

82 (cos 7

12π+ i sen 712π).

7. a. w1 = 1.72−10.46i ; w2 =−0.46+1.72i ; w3 =−1.26−1.26i .

b. w1 = 2.61+1.08i ; w2 =−1.08+2.61i ; w3 =−2.61−1.08i ; w4 = 1.08−2.61i .

c. w1 = 0.95+0.48i ; w2 =−0.17+1.06i ; w3 =−1.06+0.17i ; w4 =−0.49−0.95i ; w5 =0.76−0.76i .

d. w1 = 4; w2 = 4i ; w3 =−4; w4 =−4i .

8. La forma exponencial de esta expresión es(p

2eiπ4

)7/2. Aplicando la fórmula para elevar a

una potencia fraccionaria, obtenemos las raíces −3.1075+1.2872i y 3.1075−1.2872i .

9. a. Consideremos el sistema

{

p +q = 6p q = 18

que, resolviéndolo, genera los números pedidos,

3−3i , 3+3i .

b. Como −3, 2+i y 2−i son raíces de la ecuación, escribimos (z−(−3))(z−(2+i ))(z−(2−i ))y multiplicando, obtenemos una de las ecuaciones que es z3 − z2 −7x +15 = 0.

10. a. −1213 −

2113 i .

b. 32 −

12 i .

Sección 2.7

1. a. A+B =

6 3 61 3 83 0 4

.

b. No se puede resolver pues las matrices A y C no son del mismo tamaño.

c. AC +BC =

48 2120 1222 21

.

d. A2 − AB =

−15 −12 10−19 −32 18−25 −18 30

.

e. No se puede realizar el producto C A.

f. 3A+ 12 B +C D =

472 2 20

−10 −13 30292 3 23

2

.

g. D A+D =(

−1 −9 1617 6 8

)

.

Page 142: Álgebra Lineal - webooks

127

Respuestas de la sección 2.7 Álgebra lineal.

2. a. A−1 =

1158

158 − 5

58

−1558

2558 − 9

58

− 329

529

429

.

b. B−1 =

− 722

611

1011

511 − 7

11 − 811

− 122

411

311

.

c. C−1 =(

536

112

118 −1

6

)

.

d. D−1 =(

37

17

−47

17

)

.

e. F No tiene inversa.

3. a. Matriz no singular, A−1 =

1316

116 −3

8

−1516

516

18

−38

18

14

.

b. Matriz no singular, B−1 =

15 − 3

10 −25

115 − 4

15 −45

115

730

15

.

c. Matriz singular.

d. Matriz no singular, D−1 =

0 14

18

1 −34 −11

8

−1 34

158

.

4. a. |A| = 0.

b. |B | = 24.

c. |C | = 66.

d. |D| = −480.

5. El determinante |B | = 4sen(x)cos(x).

6. Por la propiedad D1 de los determinantes det [(2A−1)(3B−1)] = det (2A−1)det (3B−1) lue-go por la propiedad D6 y como son matrices de orden 7, obtenemos 27det (A−1)37det (B−1)finalmente usando el teorema ?? tenemos que el determinante es igual a 66.

7. a. x =−135 , y =−11

5 .

b. No tiene solución.

c. x = 16 , y = 8

3 .

d. Cantidad de soluciones infinita, que se pueden obtener con y =−2, z =− x2 − 1

2 .

e. x = 1, y = 1, z = 1.

f. No tiene solución.

g. x =−143 , y = 44

15 , z =−3415 .

Page 143: Álgebra Lineal - webooks

128

Resp

uesta

sd

ela

secció

n3.6

Respuestas de la sección 3.6 Álgebra lineal.

Sección 3.6

1. a. Falla la propiedad 6, no puede ser espacio vectorial.

b. Falla la propiedad 6, no puede ser espacio vectorial.

c. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.

d. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.

e. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial.

f. Fallan las propiedades 1, 4 y 6, no puede ser espacio vectorial.

g. Falla la propiedad inverso, no tiene elemento neutro, no es espacio vectorial.

h. Falla propiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no hay elemento neutro,no es espacio vectorial.

i. Este conjunto esta formado por los puntos del intervalo que va desde −2 hasta 2. Falla lapropiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no es espacio vectorial.

j. Falla propiedad de cerradura bajo la suma y la multiplicación, no hay elemento neutro,no es espacio vectorial.

k. No falla ninguna propiedad, de hecho se puede comprobar que es un espacio vectorial,ver definición (2.11), para recordar una matriz simétrica.

2. a. Este conjunto representa los puntos que se encuentran en el cuadrado centrado en elorigen de longitud 2, no es cerrado bajo la suma y multiplicación no es subespacio vectorial.

b. Si es subespacio vectorial, H representa a los puntos sobre la recta que pasa por el origeny tiene un ángulo de −45o .

c. Este conjunto representa los puntos dentro del disco centrado en el origen de radio 1. Noes subespacio pues no es cerrado bajo la suma.

d. Es subespacio vectorial.

3. a. Si genera a R2. Probar que son linealmente independientes y ayudarse con la proposición

??.

b. Si genera a R2, pues tenemos dos vectores linealmente independientes entre ellos.

c. Tenemos 3 vectores que son linealmente independientes (probarlo) por lo tanto generana R

3.

d. No genera a P2, pues los vectores son linealmente dependientes (probarlo) y además ladimensión del espacio es 3.

4. a. (2,3,−1). Escribir el vector (1,−1,2) como combinación lineal de la base y resolver elsistema.

b.(37

31 ,−2931 ,−24

31

)

.

5. a. La matriz de transición es P =(

−1/5 8/53/5 1/5

)

.

b. [v]B2 = ( 215 , 12

5 ).

Page 144: Álgebra Lineal - webooks

129

Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.

6. a. La matriz de transición es P =

1/2 5/2 3/21/2 3/2 −3/2−1 −3/2 1

.

b. [v]B2 = (7,7,−15/2).

c. La matriz inversa es P−1 =

− 313 −19

132413

413

813 − 6

133

13 − 713

213

luego [v]B1 =(

−3813 , 16

13 ,−1413

)

.

7. a. Son linealmente dependientes.

b. Son linealmente independientes.

c. Son linealmente dependientes.

8. a.

3p141p14

27

,

−13√

52562

67p12810

32√

26405

,

−√

5183

− 23p915

19p915

b. Primero observemos que el conjunto H está formado por los puntos que forman el planodado por la ecuación 2x − y − z = 0, luego encontrar 2 vectores linealmente independientes yfinalmente realizar el proceso de ortonormalización.

Sección 4.5

1. a. Si es transformación.

b. No es transformación, fallan ambas propiedades.

c. No es transformación, falla la suma en la primera coordenada.

d. Si es transformación.

e. Si es transformación.

f. Si es transformación.

g. No es transformación, falla la suma de transformaciones en la tercera coordenada.

2. T

−1−23

=

3−77

. Escribir

−1−23

como combinación lineal de

101

,

210

y

1−11

y aplicar la

transformación lineal.

3. T

2−31

=

41

2+

121

2x −

35

2x2. Escribir

2−31

como combinación lineal de

111

,

200

y

045

y

aplicar la transformación lineal.

4. a = 0. Si aplicamos la transformación al vector cero se debe cumplir que T (0+0i ) = 0.

5. a. El núcleo está generado por el vector (0, y), la imagen se representa por vectores de laforma (x,0).

b. El núcleo está generado por el vector (x,−x), la imagen es todo R.

Page 145: Álgebra Lineal - webooks

130

Resp

uesta

sd

ela

secció

n4.5

Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.

c. El núcleo está generado por el vector (x,−32 x), la imagen es todo R.

d. El núcleo contiene únicamente a el vector (0,0), la imagen es R6.

e. El núcleo es la matriz

(

0 00 0

)

, la imagen es R2.

f. El núcleo es la función f (x) = 0, la imagen consta de todas las funciones que tienen anti-derivada.

6. T (2i −3 j ) = (5,0,−1), di m(NuT ) = 0 y di m(i mT ) = 2. Para obtener la dimensión del nú-cleo se toma un vector arbitrario (a,b) y se escribe como combinación lineal de la base, luegose aplica la transformación lineal y se iguala a cero, para la dimensión de la imagen usamos laproposición 4.5.

7. NuT = {0 + 0i } y por lo tanto di m(NuT ) = 0, i mT = {(1,0), (0, i )}. Ver que cumple lasdos condiciones de transformación lineal, luego recordemos que el núcleo está definido co-mo {(x, y) ∈ C : x − yi = 0 + 0i } y esto solo es posible si x = 0, y = 0, por la proposición 4.5di m(i mT ) = 2 es decir todo C.

8. a. AT =(

1 −2−1 1

)

.

b. AT =(

1 −1 1−2 2 −2

)

.

c. AT =

1 −1 23 1 4−3 6 3

.

d. AT =

1 0 01 1 00 1 10 0 1

9. a.

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

b.

-6 -4 -2 2

-2

-1

1

2

3

4

5

-6 -4 -2 2

-2

-1

1

2

3

4

5

Page 146: Álgebra Lineal - webooks

131

Respuestas de la sección 4.5 Álgebra lineal.

c.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

10. Se debe realizar los siguientes pasos:

1. Una expansión de 2 unidades sobre el eje X .

2. Una compresión a la mitad sobre el eje Y ,

3. Trasladar la elipse hacia el punto (2,3).

11. Primero se busca el punto de intersección de la recta con el eje Y que es (0,1) y el ángulode inclinación de la recta θ = 63.430, luego se debe realizar los siguientes pasos:

1. Trasladar (0,1) al origen.

2. Rotar −63.43 grados de manera que la recta se alinee con el eje X .

3. Efectuar una reflexión de espejo con respecto al eje X .

4. Girar de nuevo 63.43 grados.

5. Trasladar el origen de nuevo al punto (0,1).

Finalmente la matriz de reflexión quedará como

−0.599862 0.800104 −0.8001040.800104 0.599862 0.400138

0. 0. 1.

y apli-

cándola al vector (2,1) se obtiene el punto (−1.199,2.60).

12. Realizando los pasos del ejercicio anterior tenemos;

a) Las coordenadas nuevas son A′(−1,4), B ′(0,6), C ′(1,4), D ′(0,2).

b) A′(5,0), B ′(4,−2), C ′(3,0), D ′(4,2). En este caso no es necesario rotar pues se puede haceruna reflexión sobre el eje Y .

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133Bibliografía

[1] Stanley I. Grossman, Algebra Lineal, Mc. Graw Hill, quinta edición (2008).

[2] Ruel V. Churchill, James Ward Brown, Variable compleja y Aplicaciones, Mc. Graw Hill(2006).

[3] Tom M. Apostol, Mathematical Análisis, Segunda edición, Pearson Education Asia Limitedand China Machine

[4] Ron Larson, Fundamentos de álgebra lineal, séptima edición, Cengage Learning, (2015).

[5] Ben Noble, James W. Daniel, Álgebra lineal aplicada, tercera edición, PRENTICE-HALL HIS-PANOAMERICANA, S.A., (1989).

[6] Lay, David C, Álgebra lineal y sus aplicaciones, tercera edición, Pearson Educación, 2006.

[7] Anton, Howard, Introducción al álgebra lineal, cuarta edición, Limusa, 2008.

[8] Gerber, Harvey, Álgebra lineal, Iberoamericana, 1992.

[9] Williams, Gareth, Álgebra lineal con aplicaciones, cuarta edición, McGraw-Hill, 2007.

[10] Solar González, Eduardo, Apuntes de álgebra lineal, tercera edición, Limusa, 2006.

[11] Kolman, Bernard, Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab, octava edición, Pearson Edu-cación, 2006.

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