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Ley de gravitación universal[editar ] Introducción

Todo objeto en el universo que posea masa ejerce una atracción gravitatoria sobrecualquier otro objeto con masa, independientemente de la distancia que los

separe. Según explica esta ley, mientras más masa posean los objetos, mayor será la fuerza de atracción, y paralelamente, mientras más cerca se encuentrenentre sí, será mayor esa fuerza, según una ley de la inversa del cuadrado.Considerando dos masas cuyo tamaño sea pequeño comparada con la distanciaque los separa, podemos resumir lo anterior en una ecuación o ley establece quela fuerza que ejerce un objeto dado con masa m1 sobre otro con masa m2 esdirectamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia que los separa, es decir:

(1)Donde

m1 y m2 son las masas de los dos cuerposd es la distancia que separa sus centros de gravedad y G es constante de gravitación universal.

En la formula se puede notar la inclusión de G, la constante de gravitaciónuniversal. Newton no conocía el valor de esta constante, sólo explicó que se tratade una constante universal, indicó que se trata de un número bastante pequeño, eindicó la unidad de medida que incluye. Sólo mucho tiempo después hubo lasposibilidades técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de lasconstantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición (véase experimento de la balanza de torsión) y en laactualidad, con técnicas de la mayor precisión posible se llegó a estos resultado.

||left}} Si se consideranexpresiones vectoriales, la fuerza gravitatoria del que ejerce el cuerpo 1 sobre elcuerpo 2 es el siguiente equivalente vectorial de la fórmula (1):

(2)

donde es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al delobjeto 2.Interpretando lo anterior, y guiándonos en la fórmula, esta ley establece quemientras más grandes sean las masas de sus cuerpos, mayor será la fuerza conque se atraigan, y que a mayor  distancia de separación menor será la fuerza deatracción. Es importante aclarar que la distancia entre los dos objetos se refiere ala distancia existente entre los centros de gravedad de cada uno de ellos, y queestas debe ser grande en comparación el tamaño de los cuerpos. Si el tamaño delos cuerpos no es descreciable en relación a la distancia que los separa la fórmula(2) no es exacta y debe ser substituida por:

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(3)Donde:

son los volumenes de los dos cuerpos.

son las densidades de los dos cuerpos.Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoriaentre ambos viene acotada por:

Donde son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en uninstante dado.

1. Introducción2. La manzana que cae

La gravedad se extiende por todo el universo, según Isaac Newton , que obtuvoesta idea cuando estaba sentado bajo un manzano . Newton entendía el concepto

de inercia de Galileo, sabía que en ausencia de fuerzas externas los objetos seconservan en movimiento o en línea recta con rapidez constante. También sabíaque todo cambio en la rapidez o dirección de un objeto se debe a la acción de unafuerza.Newton había estado reflexionando acerca del hecho de que la Luna no describeuna trayectoria recta , sino, gira alrededor de la Tierra y también que , unmovimiento circular es un movimiento acelerado, lo que implica la presencia deuna fuerza ; esta fuerza se desconocía .Newton tubo la perspicacia de comprender que la fuerza que actúa entre la Tierray la Luna es la misma fuerza que tira de todas la manzanas y de todas las cosas ala que llamó fuerza de gravedad.

3. La luna que cae

Este concepto proviene de Newton , que comparó la manzana que cae con laLuna . Se dio cuenta que si la Luna no cayese se movería en una trayectoria rectaalejándose de la Tierra . Su idea era que la Luna caía alrededor de la Tierra . Asíla Luna cae en el sentido de que , cae por debajo de línea recta , que describiría sisobre ella no se ejerciera fuerza alguna .Newton formuló la hipótesis de que la Luna no era sino un proyectil girandoalrededor de la tierra por acción de la gravedad . Newton comparó la bala de uncañón con la Luna ,que al ser disparada, formaba una trayectoria parabólica y si

se disparase con rapidez suficiente , la bala se movería sobre un círculo, es decir,en órbita .Su velocidad tangencial entre ( componente de velocidad paralela) es suficientepara garantizar el movimiento alrededor de la tierra. Esta idea para pasar dehipótesis a teoría científica tendría que ser probada, su prueba consistió encomprobar que la caída de la Luna por debajo de su trayectoria recta, estaba enproporción correcta , respecto a la caída de una manzana o de cualquier objetoque tenga superficie terrestre,.

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Newton pensaba que la masa de la Luna no afectaría su caída , del mismo modoque la masa no afecte en absoluto la aceleración de los objetos en caída libre,cerca de la superficie de la tierra. . Se sabe que la Luna estaba sesenta vecesmas lejos del centro de la tierra, que la de la superficie que una manzana en lasuperficie de la Tierra , la fuerza que hace caer a las manzanas de los árboles es

la misma que mantiene la Luna en su órbita.4. La tierra que caeDebido a su velocidad tangencial la Tierra cae constantemente hacia el Sol sinestrellarse . Los planetas caen continuamente hacia el sol describiendo órbitascerradas (debido a sus velocidades tangenciales y , si sus velocidadestangenciales se reducen a acero todos los planetas se irían contra el Sol.5. Ley de gravitacion universal de newtonNewton descubrió que la gravedad es universal, los cuerpos se atraen en la quesólo intervienen masa y distancia.La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demáscon una fuerza que es directamente proporcional a las masas.

La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa suscentros de masa.6. Constante de la gravitacion universal ( g )La proporcionalidad de esta ley, podemos expresarla con una ecuaciónEl valor  de G nos dice que la fuerza de gravedad es una fuerza muy débil, lafuerza entre un individuo y la Tierra , se puede medir (peso) , pero también,depende de la distancia respecto al centro de la Tierra. Cuanto mas lejos de laTierra es menor el peso, por ser menor la gravedad.Gravedad y distancia. : ley del inverso del cuadradoSe da en casos en que el efecto de una fuente localizada se extiende de manerauniforme por todo el espacio, la luz ,radiación, el sonido, etc.,

Cuando una cantidad varía como el inverso del cuadrado de la distancia, a suorigen , decimos que se rige por una ley del inverso cuadrado; " cuanto mayor seala distancia a la de un objeto ,que se encuentra en el centro de la tierra ,menor será su peso , por tener poca gravedad ".Si un cuerpo pesa 1 N , en la superficie terrestre , el peso será de 0,25 cuando sealeja dos veces mas de la Tierra, porque la intensidad de la gravedad se reduce aun cuarto del valor que tiene en la superficie, cuando se aleja tres veces pesa sóloun noveno de su peso en la superficie.Gravitacion UniversalLa tierra se ha atraído a sí misma antes de solidificarse ( por ello su formaredonda) y también, los efectos de la rotación hacen que los cuerpos sean unpoco mas anchos por el Ecuador .Los planetas y el Sol tiran unos de otros, haciendo que giren y algunos se desvíende sus órbitas normales, esta desviación se conoce como perturbación . (p.ej.uranio, neptuno).Las perturbaciones de las estrellas dobles y las formas de las galaxias remotas,son prueba de que la ley de gravitación es válida , mas allá del sistema solar . Adistan cias mayores, la gravitación determina el destino de todo el Universo.La TEORIA actual mas aceptada del origen el Universo, dice que se formó a partir de una bola de fuego hace quince a veinte mil millones de años ( big bang) . La

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explosión puede continuar para siempre o puede detenerse, debido al efecto degravitación de toda la masa.El universo puede contraerse para volver a convertirse en una unidad, esto seríala gran implosión ( big crunch) y después, volver a explotar , formando un nuevoUniverso, (no sabemos si la explosión del Universo es cíclica o indefinida) .

Las teorías que han afectado la ciencia y la civilización son pocas, como la teoríade la gravedad de Newton .Las ideas de Newton dieron comienzo a la edad de la razón o ciclo de las luces.Formulaciones de reglas como F = G permitieron que otros fenómenos del mundopudiesen ser descritos por leyes simples .7.Interacción gravitacionalNewton descubrió que todos los objetos del Universo se atraen. En este resumenque corresponde al capítulo trece del título susodicho, se investiga el efecto de lagravedad en la superficie terrestre , océano, atmósfera, agujeros negros.8. Campo gravitacionalEs necesario conocer el concepto de campo magnético, que es un campo de

fuerza que rodea a un imán, éste a su vez, ejerce una fuerza a los objetos queestán a su lado , siempre y cuando sea una sustancia magnética.9. Campo gravitacional de la tierraLas líneas de campo representa el campo gravitacional que rodea a la Tierra, elcampo será intenso cuando las líneas de campo estén mas juntas y será débilcuando las líneas estén separadas.Un cohete es atraído por las Tierra o bien el cohete inter actúa con el campogravitacional de la Tierra , éstas son definiciones iguales.Si se conoce la masa y el radio de un planeta cualquiera , se puede calcular elvalor correspondiente de la gravedad, como es en el caso de la Tierra igual anueve coma ocho metros por segundo al cuadrado.

VALOR DE gLa gravedad  es una aceleración resultante de la suma vectorial de dosaceleraciones: por una parte, y de acuerdo a la ley de gravitación universal, laaceleración debida a la atracción mutua entre el planeta o satélite y el cuerpoconsiderado, y por otra parte la aceleración centrífuga debida a la rotación delplaneta o satélite. Se la designa con la letra "g", y es aproximadamente constanteen la superficie del planeta o satélite.En consecuencia, la gravedad va a depender de:

• la distancia hasta el centro del planeta o satélite, es decir, su altura;• de su latitud, ya que la intensidad y la dirección de la aceleración centrífuga

varía entre el ecuador y los polos: es máxima en el ecuador y nula en lospolos;

• y de la homogeneidad del planeta o satélite.Como es una aceleración, se mide en m/s2. Si el planeta es la Tierra, el valor de"g " al nivel del mar varía entre 9,789 m/s2 en el ecuador y 9,832 m/s2 en los polos.Se toma como valor promedio, denominada gravedad estándar , al valor g=9,80665 m/s2.Tiene relación con la fuerza que se conoce como  peso. El  peso es la fuerza conque es atraído cualquier objeto debido a la aceleración de la gravedad, que actúasobre la masa del objeto. De acuerdo a la segunda ley de Newton, tenemos que:

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En otros planetas o satélites, el peso de los objetos varía si la masa de losplanetas o satélites es diferente (mayor o menor) a la masa de la Tierra.

Los efectos de la gravedad son siempre atractivos, y la fuerza resultante secalcula respecto del centro de gravedad de ambos objetos (en el caso de la Tierra,el centro de gravedad es su centro de masas, al igual que en la mayoría de loscuerpos celestes de características homogéneas).La gravedad tiene un alcance teórico infinito, sin embargo, la fuerza es mayor silos objetos están cerca uno del otro, y mientras se van alejando dicha fuerzapierde intensidad. La pérdida de intensidad de esta fuerza es proporcional alcuadrado de la distancia que los separa. Por ejemplo, si se aleja un objeto de otroal doble de distancia, entonces la fuerza de gravedad será la cuarta parte.Se trata de una de las cuatro fuerzas fundamentales observadas en la naturaleza,siendo la responsable de los movimientos a gran escala que se observan en el

Universo: La órbita de la Luna alrededor de la Tierra, la órbita de los planetas alrededor del Sol, etcétera.El término «gravedad» se utiliza también para designar la intensidad del fenómenogravitatorio en la superficie de los planetas o satélites.

Albert Einstein demostró que la gravedad es un efecto de la geometría terrestreque deforma el espacio-tiempo.

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Isaac Newton fue el primero en darse cuenta que la fuerza que hace que losobjetos caigan con aceleración constante en la Tierra (gravedad terrestre) y lafuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas es de la mismanaturaleza; esta idea le llevó a formular la primera teoría general de la gravitación,la universalidad del fenómeno, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis 

Principia Mathematica.La teoría de la relatividad general, hace un análisis diferente de la interaccióngravitatoria. De acuerdo con esta teoría puede entenderse como un efectogeométrico de la materia sobre el espacio-tiempo. Cuando una cierta cantidad demateria ocupa una región del espacio-tiempo, ésta provoca que el espacio-tiempose deforme. Visto así, la fuerza gravitatoria no es ya una misteriosa "fuerza queatrae" sino el efecto que produce la deformación del espacio-tiempo, de geometría no euclídea, sobre el movimiento de los cuerpos. Dado que todos los objetos(según esta teoría) se mueven en el espacio-tiempo, al deformarse este espacio,parte de esa velocidad será desviada produciéndose aceleración en una dirección,que es la denominada fuerza de gravedad.

CALCULO DE GLa experiencia de CavendishLa masa de la Tierra se puede determinar una vez que se conoce el valor de laconstante G.

En primer lugar, la fuerza de atracción de unadistribución esférica de masa de radio R y masa M 

 

sobre una partícula de masa m situada fuera de laesfera, es equivalente al de una partícula cuya masasea la de la esfera situada en su centro.

 Aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m que cae libremente,sabiendo que su aceleración de caída, en las proximidades de la superficie de laTierra es g .

Como el radioR 

de la Tierra es conocido yg 

también puede ser medido mediantevarias experiencias, una de las más simples es la medida del tiempo t que tardaen caer un cuerpo una determinada altura h, h=gt 2/2.Si la aceleración de la gravedad medida es g =9.8 m/s2 y el radio de la Tierra,supuesta esférica es R =6.37·106 m tenemos que la masa de la Tierra es

Podemos calcular también la densidad media de la Tierra dividiendo la masa M 

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entre el volumen de una esfera de radio R , resultando ρ=5506.5 kg/m3=5.5 g/cm3.Para “pesar la Tierra” necesitamos determinar el valor de G, mediante unaexperiencia similar a la efectuada por Cavendish.

La balanza de gravitación es un instrumento muy sensible que permite demostrar 

la atracción entre dos masas y determinar el valor de la constante G.

El péndulo de torsión consta de un hilo de

 

torsión cuya constante K es del orden 10-8

N·m. Por su extremo inferior sujeta a unavarilla horizontal de masa despreciableque tiene dos pequeñas esferas de m=20g de masa cada una y de 7.5 mm de radio.La distancia del hilo de torsión al centro de

cada una de las esferas es d =50 mm.

El péndulo oscila con un periodo de aproximadamente, 10 minutos.Estas pequeñas esferas son atraídas por dos esferas fijas de M =1.5 kg de masa yde 32 mm de radio.Para determinar la constante G, mediante la balanza de gravitación es necesariomedir la posición inicial y la final de equilibrio y el movimiento oscilatorioamortiguado entre estas dos posiciones. El ángulo entre estas posiciones deequilibrio es una medida de la fuerza de atracción. Para medir el ángulo, se

dispone de un haz LASER que incide sobre un espejo cóncavo. La oscilación delpéndulo, se observa indirectamente mediante el movimiento de la marca luminosaproducida por el rayo reflejado en una regla graduada situada a L=4.425 m dedistancia.Posición inicial de equilibrio

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En la posición inicial de equilibrio, debidoa la fuerza de atracción de las dos esferas

grandes sobre las pequeñas, el péndulogira un ángulo –α /2. El ángulo que formael rayo incidente y reflejado es α . La reglamarca la posición x 0 =0. 

Oscilaciones del pénduloUna vez que el péndulo se mantiene estable en la posición inicial de equilibrio, lasesferas grandes se mueven rápidamente a la posición diametralmente opuesta. El

péndulo empieza a oscilar con un periodo

donde 2md 2 es el momento de inercia de la varilla de masas despreciable y de lasdos esferas consideradas como masas puntuales, y K es la constante de torsióndel hilo.

Se mide el periodo P  de las oscilaciones tal como se muestra en la figura, eltiempo que trascurre entre dos máximos de la amplitud.La constante de amortiguamiento es pequeña, de modo que el péndulo osciladurante bastante tiempo antes de alcanzar la posición final de equilibrioPosición final de equilibrio

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La fuerza de atracción entre la esferagrande y la pequeña es

El momento del par de fuerzas debido a la atracción entre las esferas, respecto deleje de oscilación, hace que el péndulo gire un ángulo α /2. El ángulo que forma el

rayo incidente y reflejado es α . La regla marca la posición x f .2Fd =Kα /2

La posición  x f  de la marca luminosa sobre la regla distante L del espejo cóncavoes

ya que α es un ángulo pequeño

Despejamos la constante G

Ejemplo:• El periodo del péndulo es el intervalo de tiempo entre dos máximos, en la

gráfica x-t de la oscilación, P =10.8 min=648 s• Posición final de equilibrio en la regla, x f =17.3 cm• Distancia del espejo de la balanza de torsión a la regla, L=4.425 m• Masa de la esfera grande, M =1.5 kg• Distancia entre los centros de la esfera grande y de la esfera peqeña en la

posición de equilibrio es b=0.047 m

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• Distancia de la pequeña esfera al eje de oscilación d =0.05 m

 ActividadesEl programa interactivo, genera aleatoriamente, un valor de la constante K  detorsión dentro de ciertos límites.Se pulsa el botón titulado InicioEl péndulo de torsión se sitúa en la posición inicial de equilibrioSe pulsa el botón titulado EmpiezaLas esferas grandes se sitúan en posición diametralmente opuestaEl péndulo de torsión comienza a oscilar, hasta que al cabo de un cierto tiempomedido en minutos, se para en la posición final de equilibrio.Se mide el periodo P de la oscilación y la posición  x f  final de equilibrio. Se calculala constante G de la ley de la Gravitación Universal. 

Otra forma de medir G 

Una partícula de masa M d

un movimiento circular de con velocidad angular consUn péndulo está hecho largo hilo inextensible de lodel que cuelga una partímasa m, está inicialmenteposición de equilibrio. La fuatracción entre las dos pahace que la partícula de mamueva describiendo una traen forma de espiral cua

cumple una determinada co

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:

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La fuerza F1 restauradora, que se produce cuando el péndudesviado un pequeño ángulo θ  con respecto de la posiequilibrio. La componente tangencial del peso vale mg ·senθ , tse indica en la parte derecha de la figura. Si el ángulo θ es ppodemos escribir F 1≈ mg ·senθ=mgr/l Las componentes de esta fuerza sonF 1x =-F 1· x/r =-mgx/l F 1y =-F 1·y/r =-mgy/l 

La fuerza F2 de atracción entre la partícula de masa m y la partmasa M, tiene por módulo

Las componentes de esta fuerza son

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La ecuación del movimiento de la partícula de masa m esma x =F 1x +F 2x 

may =F 1y +F 2y 

Si consideramos que el desplazamiento r del péndulo respecposición de equilibrio es pequeño frente al radio R de la partmasa M , las componentes F 2x y F 2y se expresarán

Las ecuaciones del movimiento se escriben en forma de ediferencial

o bien

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de sorden con las condiciones iniciales t =0, x =0, y =0, dx/dt =0, dy/decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula

• Solución de la primera ecuación diferencialLa solución particular de la primera ecuación diferencial es x 1=KIntroduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinvalor de la constante K .

La solución completa de la ecuación diferencial es x=x 1+A·senω0 t+B·cosω0 t Las condiciones iniciales t =0,  x =0, dx/dt =0 determinan los valas constantes A y B.

• Solución de la segunda ecuación diferencialLa solución particular de la segunda ecuación diferen

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y1=K ·senωt Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinvalor de la constante K .

La solución completa de la ecuación diferencial esy=y 1+A·senω0 t+ B·cosω0 t Las condiciones iniciales t =0, y =0, dy/dt =0 determinan los valas constantes A y B.

Caso particular Cuando ω≈ω0  tenemos para la solución de la primera ediferencial

La solución de la primera ecuación diferencial se convierte en

Para la solución de la segunda ecuación diferencial

La solución de la segunda ecuación diferencial se convierte en

La distancia r de la partícula de masa m al origen es

La distancia r se incrementa proporcionalmente al tiempo t , la pdescribe una espiral que parte del origen.Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modofrecuencia

coincida con gran aproximación con la velocidad angular  ω de de la partícula de masa M . ActividadesSe introduce

• La masa M  de la partícula en kg, que describe el movcircular, en el control de edición titulado Masa

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• El radio R de la circunferencia que describe en cm, en ede edición titulado Radio, el valor introducido debercomprendido entre 6 y 10 cm.

• La velocidad angular de rotación ω, en rad/s, en el coedición titulado V. angular 

• La longitud del péndulo se ha fijado en el valor  l =1.2 mSe pulsa el botón titulado Nuevo, y a continuación, de pulsbotón titulado Empieza.Observamos el movimiento circular de la partícula de maspéndulo estará prácticamente inmóvil en el origen. En la parte izquierda del applet, se indica el instante t en segundos, y la dedel péndulo (distancia al origen) r en mm.Introducimos el tiempo t en medido en horas en el control detitulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza.

• En el control área de texto situado a la izquierda, se guadatos del tiempo t en horas y de la desviación r en mm.

•

Se observa el movimiento del péndulo en dicho insposteriores.Volvemos a introducir otro tiempo medido en horas en el coedición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empiezsucesivamente.Cuando tengamos suficientes resultados “experimentales” pulsbotón titulado Gráfica.Para empezar otra experiencia, con otros datos de la masa M ,R  y la velocidad angular de rotación ω, se pulsa el botón Nuevo.Podemos cambiar la escala de observación, activando alguno

botones de radio titulados dm,  cm y mm. En la primera escobservamos el movimiento circular de la partícula de masa Motras escalas está muy alejada del origen y desaparece de la del applet.El péndulo no se desviará apenas de su posición de equilibriodistinto de ω0 , tal como podemos comprobar en el applet y capartir de las ecuaciones del movimiento.Ejemplo:

• Sea la masa M =50 kg de la partícula que describe el movcircular de radio R =8 cm=0.08 m

• La longitud del péndulo es l =1.2 m•

La aceleración de la gravedad g =9.8 m/s2

• La constante de la gravitación universal es G=6N2m2/kg2

La frecuencia

se diferencia muy poco de la frecuencia angular de oscilacpéndulo, debido a que el segundo término que contiene la cons

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es muy pequeño.Introducimos la velocidad angular de rotación ω=3 rad/s. calcue y en el instante t =1hora=3600 s

Lo mismo ocurre para y . El péndulo no se desvía apenas delincluso después de un tiempo muy grande.La desviación se incrementa apreciablemente cuando ω≈ω0 =2.al cabo de una hora la desviación del péndulo es

Que podemos observar activando el botón de radio titulado mmSe debe procurar introducir un tiempo t que no sea lo suficiengrande como para que deje de cumplirse la condición de que rla que nos hemos basado para obtener una expresión sim

describa aproximadamente el movimiento del péndulo.Comprobar que cuando ω≈ω0 la desviación r • Es proporcional a la masa M • Es inversamente proporcional al cuadrado del radio R

partícula de masa M que describe la trayectoria circular.• Es proporcional al tiempo t .

En la experiencia simulada, se obtendrá el valor de G a parmedida de pendiente de la recta

Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se traza una línea re

dibujan una serie de puntos de color rojo que represenresultados “experimentales”.• en el eje vertical, se representa la desviación del pénd

mm,• en el eje horizontal, el tiempo transcurrido t en horas.

Si introducimos los datos• La masa M =50 kg de la partícula que describe el mov

circular • Su radio R =8 cm=0.08 m• Velocidad angular ω=2.8577 rad/s

Pulsamos el botón titulado Nuevo, cambiamos varias veces el v

tiempo t pulsando el botón titulado Empieza y finalmente, pulsbotón titulado Gráfica. Observamos la representación gráficadatos "experimentales" y de la recta. Anotamos el valorpendiente 0.328. mm/h. Con este dato calculamos G.

 

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TRES LEYES DE KEPPLER

¿Qué son? las leyes de Kepler, ¿qué significan?, y ¿porqué? son importantes. 

Las leyes fueron formuladas entre 1609 y 1619, y son (como normalmente seenuncian):

Los planetas se mueve alrededor del Sol en elipses, estando el Sol en un focoLa línea que conecta a Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos

iguales. El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo (tercera

potencia) de la distancia media desde el Sol(o dicho de otra manera--desde el "semieje mayor" de la elipse, la mitad de la

suma de la distancia mayor y menor desde el Sol).

Las leyes de Kepler  fueron enunciadas por  Johannes Kepler  para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.

 Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes senumeran como sigue:

• Primera Ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Soldescribiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.

• Segunda Ley (1609): El radio vector  que une el planeta y el Sol barre áreasiguales en tiempos iguales.

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•

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular , es decir,cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor quecuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, elmomento angular  L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y sudistancia al centro del Sol.

• Tercera Ley (1618): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es

directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor a de laórbita elíptica.

donde, T  es el periodo orbital, a la distancia media del planeta con el Sol y K  laconstante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutuainfluencia gravitatoria como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler 

Kepler dedujo sus leyes a partir de observaciones astronómicas precisasobtenidas por  Tycho Brahe y, aunque sabía que explicaban el movimientoplanetario observado, no entendía las razones de este comportamiento. Lapresentación de Kepler incorporaba una gran cantidad de detalles e inclusoespeculaciones metafísicas. Fue Isaac Newton quien extrajo de los escritos de

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Kepler la formulación matemática precisa de las leyes. Newton fue capaz derelacionar estas leyes con sus propios descubrimientos, dando un sentido físicoconcreto a leyes empíricas. El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo asu formulación de la ley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler es:

donde, T  es el periodo orbital, r  el semieje mayor de la órbita, M es la masa delcuerpo central y G una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema deunidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

¿Cuáles son las leyes de Kepler?

Estas leyes han tenido una significación especial en el estudio de los astros, yaque permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas,para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe(1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727),

fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley deGravitación Universal.

1) La primera de estas leyes puede enunciarse de la siguiente manera:

Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en uno de sus focos.

Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (esdecir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre lasposiciones extremas de un planeta son mínimas (9). La Tierra, por ejemplo, en su

mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máximalejanía no supera los 152 millones de km.

2) La segunda ley, puede expresarse como:

Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta( radiovector  )son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.

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Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; estoindica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astrosiendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (10). Por ejemplo, la Tierraviaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.

3) La tercera ley, finalmente, dice que:El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo dela distancia media del planeta al Sol.

La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de ladistancia al Sol.

Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciableen comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros

de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmentedenominada tercera ley de Kepler generalizada.

Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera leyclásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a ladel Sol.

3. Resume los pasos que dio Kepler en su investigación de los planetashasta llegar a formular sus leyes.

Estudió las observaciones del planeta Marte hechas por Tycho Brahe, llegando a

deducir la forma de su órbita. Después de innumerables tanteos y de interminablescálculos realizados durante muchos años, llegó a deducir sus famosas tres leyes,que revolucionaron la astronomía.

Kepler razona que si el "alma motriz" del Sol mantiene el movimiento del planetaen su órbita, al aumentar la distancia al Sol la velocidad debe de disminuir. Parallegar a esa deducción, asume el valor de desechar el círculo como forma de lastrayectorias planetarias, rompiendo en ello con un prejuicio geométrico dos vecesmilenario. Encontró, después de una larga serie de cálculos que para las ápsidesde la órbita de Marte (perihelio y afelio) la velocidad es inversamente proporcionala la distancia al Sol; concluye que el radio vector que une el Sol y Marte barre

áreas iguales en tiempos iguales. Se plasma así el descubrimiento de la segundaley del movimiento planetario. Luego Kepler toma observaciones de Marteseparadas y en ella puede distinguir que las posiciones del planeta concordabancon una elipse en uno de cuyos focos estaba colocado el Sol. Para llegar a esaconclusión, analiza durante un año marciano 687 días (período sideral de Marte) elmovimiento orbital del planeta y encuentra que la órbita de éste es simétrica conrespecto a la línea de las ápsides, pero el diámetro en sentido perpendicular a ellaes menor que la distancia entre el perihelio y el afelio; la órbita es ovalada. Conello, encuentra que una elipse de pequeña excentricidad, con el Sol en uno de los

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focos, satisface las observaciones y también la ley de las áreas. La primera leyde Kepler estaba descubierta.

Estudiando el problema del movimiento del planeta Marte, Kepler llegó a laconclusión de que su órbita debía ser algún tipo de óvalo, y de inmediato demostró

que la más simple de las curvas en forma de óvalo, la elipse, satisfacía lasobservaciones del mejor modo posible siempre que se asumiese que el Sol estabaen uno de sus focos. También se dio cuenta de que el planeta se movía másrápido cuando estaba más cerca del Sol y más lento cuando estaba más alejado,de tal modo que la superficie descrita (barrida) por la línea recta que conecta alSol con Marte es siempre proporcional al tiempo. De ese modo llegó a formular su segunda ley.

Sin embargo, las dos leyes, publicadas en l609 en la «Astronomía Nova», nosatisficieron a su descubridor, convencido de que debía existir una simple relaciónentre los tiempos de revolución y las distancias de los planetas. Con la voluntad y

constancia que siempre deben primar en el espíritu de un científico investigador buscó esa ley que, en su opinión, debía garantizar la intrínseca armonía deluniverso. Adoptó un centenar de suposiciones y las rechazó después deinterminables cálculos; continuó durante nueve años la ardua tarea, sin tablaslogarítmicas, sin máquinas de calcular, sin otra ayuda que su incansable actitudque dominaba su condición de hombre de ciencia, hasta el día en que,obedeciendo a una súbita inspiración, formuló la hipótesis que se convertiría ensu tercera ley, encadenando con una relación constante los cubos de lossemiejes de las órbitas y los cuadrados de los tiempos que emplean los planetaspara recorrerlas.

Las leyes de Kepler, una danza celestial

Kepler (1571-1630) encontró que los movimientos de los planetas se rigen por leyes matemáticas. Este uso de las matemáticas para describir fenómenosnaturales fue muy novedoso en su época. La primera ley de Kepler establece quelos planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. Laelipse es el lugar geométrico en el plano que cumple la condición de que la suma

de la distancia de uno de los dos focos a cualquier punto de la elipse y la distanciade ese mismo punto de la elipse al otro foco es siempre la misma cantidad. Esdecir, cumple que l1+l2 (ver diagrama 1) es siempre constante.

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Diagrama 1. La primera ley de Kepler: los planetas describen órbitas elípticasestando el Sol en uno de sus focos.

La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de laelipse en tiempos iguales. Esta ley de áreas equivale a que la velocidad angular DE UN PLANETA varía en su movimiento alrededor del Sol. Es decir, que cuandoel planeta está más alejado del Sol (afelio), su velocidad es menor que cuandoestá más cerca de él (perihelio). Las regiones coloreadas en anaranjado y verde(de igual área) son barridas en tiempos iguales (ver diagrama 2). En el mismotiempo, en la región verde, el planeta debe recorrer un arco de elipse de mayor longitud, por lo que debe ir más rápido.

Diagrama 2. La segunda ley de Kepler: los planetas barren áreas iguales de la

elipse en tiempos iguales.

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo de revolución deun planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse. Su ecuación seescribe como:P2=R3

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Donde P, el periodo, es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol; R es la distancia entre el centro de la elipse y el extremo más alejado de latrayectoria que describe la elipse (llamado semieje mayor).

Diagrama 3. La tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de revolución de unplaneta es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse.

Esta última ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol consu distancia media al Sol. Así que conociendo una de estas dos cantidades, esposible conocer la otra.

En la siguiente tabla se muestran las distancias de los planetas al Sol (medidas enUnidades Astronómicas) y su periodo (medido en años terrestres). Una Unidad

 Astronómica es la distancia media de la Tierra al Sol, que es en promedio de unos150 millones de kilómetros.

Planeta Periodo Distancia media del SolMercurio 0.24 0.837Venus 0.61 0.723Tierra 1 1Marte 1.87 1.52Júpiter 11.82 5.2Saturno 29.47 9.54Urano 84 19.18Neptuno 164.81 30.06

Plutón 247.69 39.44

Tabla 1. Relación periodo-distancia y la tercera ley de Kepler 

La tercera ley de Kepler puede comprobarse con los datos de cualquier planeta.Por ejemplo, para Urano, un planeta aún desconocido en el tiempo de Kepler, sepuede comprobar que P es el periodo de Urano al sustituirlo por 84, pues en la

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fórmula P2=R3, al elevar 84 al cuadrado y sacarle raíz cúbica al resultadoobtenemos la distancia media a la que se encuentra del Sol: 842=7056, R =19.183(semieje mayor de la órbita elíptica de Urano). Las leyes de Kepler fueronconfirmadas y explicadas por científicos posteriores y se siguen utilizando paracualquier sistema orbital que involucre dos cuerpos, incluidos los modernos

satélites artificiales en órbita alrededor de la Tierra.CONCERVACION DEL IMPETU ANGULAR

EN GALAXIAS

No se encontró nada

MOVIMIENTO DE PLANETA Y SATELITES

(NATURALES Y ARTIFICIALES)

LOS VIAJES ESPACIALES:Los viajes espaciales difieren de los habituales desplazamientos sobre lasuperficie terrestre por un detalle fundamental: estos últimos se efectúan bajo laacción de la fuerza de gravedad terrestre cuyo valor es siempre el mismo.Este concepto se aclara recordando que los movimientos de un tren, un auto, unabicicleta o un avión se realizan siempre a idéntica distancia del centro de la Tierra,salvo muy pequeñas variaciones que carecen de importancia. Sondesplazamientos cuya dirección forma ángulo recto con el radio del planeta y, por consiguiente, la fuerza de atracción gravitacional que sufren es permanentementeidéntica.

En un viaje espacial, la dirección del movimiento forma con el radio de la Tierra unángulo distinto del recto. Si se asciende verticalmente para alcanzar grandesalturas (varios cientos de kilómetros) el valor del ángulo será cero, puesto que elvehículo se aleja en la dirección de uno de los radios.Claro está que para que esto sea posible se debe vencer la fuerza de atracciónterrestre. Véase, por ejemplo, lo que ocurre con los cuerpos que llegan a la Tierradesde el espacio:cuando chocan con la superficie, la velocidad que traen essimilar a la que tendrían si provinieran de una distancia infinita. Esa mismavelocidad adquirida por el objeto que se precipita, pero aplicada en sentidocontrario, es la que necesita un cuerpo para vencer la fuerza de gravedad,

escapar de la atracción del planeta y desplazarse hasta una distanciateóricamente infinita. Esta velocidad se denomina velocidad de escape ovelocidad parabólica.

Viajes a la Luna y a los planetas

Un vehículo espacial que desde la Tierra se dirige a la Luna, o mejor dicho, haciael punto del cielo donde la hallará, no necesita mantener su velocidad de escapede 11,2 km/s durante todo el trayecto. Mientras más se aleja del lugar del

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lanzamiento, la atracción gravitacional terrestre se debilita, de manera tal que lavelocidad necesaria para vencerla va disminuyendo a medida que prosigue el viajey, consecuentemente, la atracción de la Luna aumenta cuando el vehículo se leaproxima. Por este doble proceso —debilitamiento de la atracción terrestre por una parte, y aumento del campo de atracción gravitacional de la Luna, por la otra

— se alcanza un punto en que ambas fuerzas se igualan, punto que se encuentraa unos 38 000 kilómetros de la Luna. Si el vehículo lo sobrepasa, cae dentro de laatracción lunar.

Para lograr que el impacto con la superficie de la Luna sea más suave, a navedebe cruzar la línea de separación entre las dos fuerzas gravitacionales a lamínima velocidad posible, porque de no ser así el choque resultará más violento.El impacto en la Luna, en una caída libre, se produciría a la velocidad de escape—que en la misma es de 2,4 km/s— más la velocidad de la Luna en su órbita.

El proyecto de un viaje a la Luna con un vehículo espacial y su regreso posterior a

la Tierra, contempla, como mínimo, cuatro maniobras principales:a. salida de la Tierra;b. disminución de la velocidad al cruzar la línea de equilibrio;c. salida de la Luna;d. disminución de la velocidad cuando, de regreso a la Tierra, cruza la línea deequilibrio.

Una vez lanzado desde la Tierra, el vehículo espacial se mueve a lo largo de unaórbita determinada, que es el resultado de todas las fuerzas exteriores que actúansobre él. Intervienen la fuerza de atracción de la Tierra, de la Luna y del Sol, peroinfluyen también otros efectos, como la resistencia de la atmósfera terrestre al

moverse la nave cerca de la Tierra, la presión de la radiación originada en el Sol,etcétera.

De esta manera, y para comprender el desarrollo de las investigacionesespaciales, es necesario estudiar cómo se realiza el movimiento orbital de unanave espacial. Para ello, y con el objeto de simplificar el problema, se analiza acontinuación el movimiento de una de ellas bajo la influencia de un cuerpo celeste.Movimiento en una órbita

Consideraciones Físicas

Sea un cuerpo de masa m que se traslada alrededor de otro de masa M, y talesque m es considerablemente menor que M. Si el cuerpo M ocupa uno de los focosde la elipse descripta por  m, y a es el semieje mayor de la órbita de éste, suvelocidad de traslación V está dada por:

V2= G. (M + m).(2/r – 1/a) [1]  donde G es la constante de gravitación 6,67 x 10-8 cm3/g s2. La fórmula [1] seconoce como ecuación de la energía.

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La distancia r  entre ambas masas se denomina radio vector y toma un valor distinto en cada punto de la elipse. En estas circunstancias, el cuerpo de masa mes un satélite del cuerpo de masa M, como es el caso de la Luna respecto de laTierra, o de un planeta como la Tierra en relación con el Sol.

 

Orbita elipitica descripta por un satelite de masa m y velocidad v Para una órbita cerrada (un círculo o una elipse), el semieje mayor a debe ser positivo y finito. Para una órbita parabólica resulta a =oo (infinito) para una órbitahiperbólica a es negativo.Si la órbita es parabólica, los cuerpos se alejan uno del

otro, y reemplazando en [1] 1/a , resulta:V 2  p=G . (M+m).2/r   [2]

 que se denomina, también, velocidad de escape. Para la velocidad en una órbita circular donde: a=r  V 2 

c =G . (M+m).1/r  [3] Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3) se tiene: V 2 

 p=G . (M+m).2/r  -------=------------------ V 2 

c =G . (M+m).1/r 

Se tiene V 2 

 p

------------- = 2 V 2 

c 

Osea:

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V 2  p=2. V 2 

c 

 Si se conoce el valor de la velocidad circular y0 para una determinada órbita, sepuede obtener fácilmente la velocidad parabólica o de escape, Vp, para la misma

órbita.Velocidad en una órbita elíptica.

Si un cuerpo, como es por ejemplo cualquiera de los satélites artificiales que giranalrededor de la Tierra, se mueve sobre una órbita elíptica de acuerdo con lafórmula [11, alcanza su máxima velocidad en el perigeo, y la mínima, en elapogeo.

Si la masa m del satélite es muy pequeña con respecto a la masa M del planeta,que es el caso más común, se puede despreciar m, de donde (véase fórmula [1]):

V2= G. M (2/r – 1/a) donde G. M es el producto de dos constantes, o sea otra constante k que para elcaso de la Tierra vale: K=G.M T =4,OX 1020 cm3 /s2 

pues G = 6,67 x 10-8 cm3/ g s2 y M T= 6 x 1027 g.Cuando el satélite se desplaza desde el perigeo hacia el apogeo, el radio vector  r aumenta de valor y, de acuerdo con a fórmula [4], la velocidad orbital V disminuye.

En cambio, Cuando se traslada desde el apogeo hacia el perigeo, la distancia r disminuye y, entonces, la velocidad V aumenta. Luego, conocido el valor del radiovector r en un punto cualquiera de una órbita de semieje mayor a, se puede deter-minar fácilmente su velocidad en esa posición de la órbita.

Un caso particular de la elipse es la circunferencia, pues en ésta el radio vector r es siempre igual al semieje mayor a, y resulta r = a = R siendo R el radio de lacircunferencia. En este caso:V 2 

c  =K/R 

 En la parábola, en cambio, el semieje mayor es infinito, o sea 1/a=0 ; y comoademás r = R, distancia al centro de la Tierra, se tiene:

V2P = 2. K / R

Velocidad parabólica o de escape. Como ya señalamos, para alejarse de la Tierra cumpliendo una travesía espacial,un vehículo debe vencer la fuerza de atracción de la Tierra, y ello se puede lograr acelerándolo hasta una determinada velocidad. Según la ley de atracción

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universal, la fuerza gravitacional de la Tierra varía con la distancia, y por lo tantotambién varía la velocidad de alejamiento necesaria. Esa velocidad depende de lamasa del cuerpo de donde parte el vehículo y de la distancia al centro del mismo(planeta o satélite). El cálculo de la velocidad de escape o velocidad parabólicadesde un cuerpo de masa M se efectúa por medio de: 

V 2 P = G. M. 2/R  

donde R es la distancia desde la superficie al centro del planeta o satélite. Para elcaso de la Tierra, donde R radio de la Tierra 6,3 x 108 cm, resulta:

V 2 P  = 2.K /R= 2 x 4 X 10 20 cm31s2 = 1.27 x 1012cm2/s2 R 6,3x108cm

  V P = (raíz cuadrada de 1.27 x 1012 cm2/s2)V P = 1.12 x 106 cm/sV P = 11.2 km/s=40.320 km/hora

 A 5000 km. de altura sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape

disminuye a:V 2 

P   = 8x 1020cm3 /s2 /11,3 x 106cm = 7,1 x 1011 cm2 /s2

 de donde: Vp= 8,4 km/s = 30.240 km/horaEn este caso se considera R = 6300 km + 5000 km.

En la tabla siguiente se presentan las velocidades de escape para la Luna, losplanetas y el Sol. 

VELOCIDAD DE ESCAPE PARA ASTROS DEL SISTEMA SOLAR

Velocidad VelocidadCUERPO de escape CUERPO de escape

(km/s) (km/s)

Luna 2,4 Saturno 35,4Mercurio 4,3 Urano 21,6Venus 10,3 Neptuno 22,8Tierra 11,2 Plutón ¿?Marte  5,0 Sol 620,0

Júpiter 59,5

En resumen: la velocidad de escape es la necesaria para que la órbita del vehículoresulte una parábola y por lo tanto, el tiempo necesario para regresar al punto departida resulte infinito.Órbitas de los satélites terrestres artificiales

La colocación de un satélite en órbita consiste en elevarlo a una cierta altura sobrela superficie de la Tierra (mayor de 100 km) y luego darle una dirección yvelocidad determinadas. En esas condiciones si se establece el perigeo de la

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órbita a esa altura, las dimensiones de la órbita y su excentricidad dependerán dela velocidad que adquiera el satélite, todo lo cual resulta de:

  V2Per  = K(2/rp – 1/a) 

Como el foco de la elipse estará en el centro de la Tierra, la introducción de un

satélite en órbita significa que r  p  es un valor constante (distancia del perigeo alcentro de la Tierra). De esa manera, un aumento de Vper determina el correlativoaumento del semieje mayor a de la órbita (ver fórmula [5]).

Órbitas de los vehículos espaciales enviados a Marte y a Venus

Para que un vehículo espacial lanzado desde la Tierra pueda llegar a Marte, debe

describir una trayectoria elíptica cuyo perihelio se hallará en un punto próximo a laposición que ocupa la Tierra en el momento del lanzamiento. La velocidad delvehículo deberá ser algo mayor que la velocidad de traslación de la Tierra.

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Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra haciaMarte

El semieje mayor de la órbita elíptica descripta por ese vehículo se calcula así:

(ar + am )/2  

fórmula donde ar  es el semieje mayor de la órbita de la Tierra, e igual a 1 UA; y am

es el semieje de la órbita de Marte, e igual a 1,52 UA. En consecuencia, el semiejede la órbita del vehículo espacial tendrá este valor:

a= (1 + 1.52)/2=1.26 UA

Consecuentemente, el afelio de la órbita se encontrará en las cercanías de Marte.

La velocidad que se debe imprimir al vehículo puede ser calculada con la fórmula[1], pues se conoce el semieje mayor de su órbita y la longitud del radio vector  r,igual a 1 UA. Como la masa del Sol M = 2 x 1033 g, y la constante de gravitación G= 6,67 x 10B cm3/g s2, resulta:

 V 2 = 1,34 x 1020 m3 /s2 (2/r – 1/a)= 1/ 1.5 x 10 11 m/UA

donde se ha despreciado la masa m del vehículo espacial por su pequeñez conrespecto al Sol. En esta fórmula se divide por el número de metros que hay en unaunidad astronómica.Efectuando el cálculo resulta:

V2 = 1.34 x 1020 / 1.5 x 1011 (2-1/1.26)=10.7 x 108

V=3.27 x 104 m/s= 32.7 km/s 

Por comparación, la velocidad de la Tierra en su órbita es de:

V2= 8.9x 108 (2— 1) = 8.9x108 m2 /s2

V=2.96X 104m/s=29,6 km/Smenor que la velocidad necesaria para llegar a Marte.

El tiempo que emplea el vehículo espacial en su viaje a Marte, es decir para llegar desde el perihelio al afelio, se calcula de acuerdo cor la tercera ley de Kepler,pues:

P a3/2 =(1.26)3/2=1.41 años 

Éste es el tiempo que emplea para recorrer toda la órbita. Para ir del perihelio alafelio invierte la mitad de ese tiempo, o sea 0,70 años=8½ meses. Por supuesto,el viaje debe ser planeado de tal manera que cuando el vehículo alcance su afelio,Marte debe encontrarse también en ese punto.

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Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra hacia

Venus

El viaje de regreso desde Marte hacia la Tierra es similar a la trayectoria quecumplirá un vehículo espacial enviado desde la Tierra hacia un planeta interior,como por ejemplo hacia Venus. En este caso será el afelio el que estará muypróximo a la Tierra y el perihelio coincidirá con Venus. Luego el semieje mayor dela órbita del navío espacial será:a= (aT + a Y)2=(1+0.72)/2=0.86 UAFuente consultada: Astronomía Elemental de A.Feinstein

FUENTE: http://feinstein.com.ar/LasleyesdeKepler.html

http://www.educar.org/cecc/biografi/b-j_kepler.htm

Instrucciones de servicio. Balanza de gravitación, 332 101, Leybold DidacticGMBH

Sheppard D. Using one pendulum and a rotating mass to measure theUniversal Gravitational Constant. Am. J. Phys. 38 (1970), pp. 380

http://www.monografias.com/trabajos5/graviuni/graviuni.shtml