Gravitacin Universal

Gravitacin Universal

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AO DE LA INVERCION NACIONAL PARA EL DASARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA

Universidad nacional jose faustino sanchez carrionFACULTAD DE INGENIERIA AGRARIA, INDUSTRIA ALIMENTARIA Y AMBIENTAL

E. A. P: I.ng. Ambiental. TEMA: Gravitacin universal CURSO: Fsica I DOCENTE: Pedro CICLO: II INTEGRANTE : CSPEDES ROBLES, yersi maycol SOLORZANO CHAVEZ, Yotnan Ames GONZALES MORENO, Jesus Jhonatan MACARLPU CHJAVEZ, Erick Jean pool JUSTU NAUPAY, AlfredoHUACHO PER 2013

DEDICATORIAPara mi universidad y los docentes que da a da nos inculcan conocimiento.

INDICE Resumen4 Introduccin6 Historia de la gravitacin universal7 Leyes de Kepler ...8 Ley de la gravitacin de Newton10 Fuerza gravitacional y peso...13 Concepto de campo. Campo gravitatorio.14 Intensidad de un campo gravitatorio ..15 Estudio energtico de la interaccin gravitatoria .17 Energa potencial gravitatoria ..20 Distribucin de masas esfricas23 Problemas resueltos.26 Conclusiones.39 Bibliografa.40 Anexo.41

RESUMENLa ley de la gravitacin de Newton dice que dos cuerpos cualesquiera con masas m1 y m2, separadas por una distancia r, se atraen con fuerzas inversamente proporcional a r2. Tales fuerzas forman un par accin- reaccin y obedecen la tercera ley Newton. Si dos o ms cuerpos ejercen fuerzas gravitacionales sobe un cuerpo dado, la fuerza gravitacional total que acta sobre ese cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por los cuerpos.

El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional total ejercida sobre el por todos los dems cuerpos del universo. Cerca dela superficie dela tierra (masa mt y radio Rt), esto es en esencia igual a la tierra sola.

(Peso en la superficie de la tierra)

(Aceleracin de la tierra debida a la superficie terrestre)

La energa potencial gravitacional U de dos masas m y mt separadas por una distancia r es inversamente proporcional a r. la energa potencial nunca es positiva; es a cero solo cuando los cuerpos estn infinitamente distantes uno del otro.

Si un satlite se mueve en una rbita circular, la atraccin gravitacional de la tierra proporciona la aceleracin centrpeta. (Rapidez en rbita circular) (Periodo de una rbita)

Las tres leyes de Kepler describen caractersticas de las orbitas elpticas delos planetas alrededor del sol o de satlites alrededor de un planeta.

La interaccin gravitacional de cualquiera distribucin esfricamente simtrica de masa, en puntos afuera de la distribucin, es la misma que sera toda la masa concentrada en el centro.

Si una distribucin esfrica de masa sin rotacin, con masa total M, tiene un radio menor que su radio menor de schwarzschild, Rs, se clasifica como agujero negro. La interaccin gravitacional impide que cualquier cosa, incluida la luz, escape de una esfera con radio Rs. (radio de schwarzsschild)

INTRODUCCINLaley de gravitacin universales una ley fsica clsica que describe lainteraccin gravitatoriaentre distintos cuerpos con masa. sta fue presentada porIsaac Newton en su libroPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relacin cuantitativa (deducida empricamente de la observacin) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. As, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa nicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. Tambin se observa que dicha fuerza acta de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada nicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen nicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.

HISTORIATrabajos de Hooke y disputaCuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetneoRobert Hookeacus a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaa como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros das, no hay datos claros sobre si realmente Newton conoca los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton s hizo con otros autores a los que s agradeci los trabajos anteriores en los que bas sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke desuidea de la inversa cuadrado, Newton reiter que dicha idea en ningn caso era exclusivamente de l, sino que fueron varios autores en aquella poca que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflej en los agradecimientos de su publicacin.Relacin con las Leyes de KeplerLasLeyes de Keplereran una serie de tres leyes empricas que describan el movimiento de los planetas a travs de las observaciones existentes. Aunque stas describan dichos movimientos, los motivos de por qu stos eran as o qu los causaban permanecan desconocidas tanto para Kepler como para sus coetneos. Sin embargo, stas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulacin matemtica a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulacin de la ley de la Gravitacin Universal. En especial, a travs de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a laTercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las rbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que losplanetasms alejados del Sol tardan ms tiempo en dar una vuelta alrededor de ste (suaoes ms largo).

LEYES DE KEPLERLas leyes de Kepler fueron denunciadas por Johannes Kepler (principios siglo XVII) para describir matemticamente el movimiento de los planetas en sus rbitas alrededor del Sol. Se trata de tres leyes empricas, es decir, son resultado del descubrimiento de regularidades en una serie de datos empricos, concretamente en los datos de observacin de la posicin de los planetas realizados por Tycho Brahe. Todos los cuerpos en rbita alrededor de otro cuerpo cumplen las leyes, es decir, no solamente se pueden aplicar a los planetas del sistema solar sino a otros sistemas planetarios, estrellas orbitando a otras estrellas, satlites orbitando sobre planetas, etc. Aunque Kepler no enunci sus leyes en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue a continuacin.

Primera ley: ley de las rbitas. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo rbitas elpticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. El parmetro que da una idea del mayor o menor alejamiento de una elipse dada respecto de la circunferencia es la excentricidad (e). Para una elipse viene dada por la expresin

Donde b es el semieje menor de la elipse y a el semieje mayor. -En la circunferencia a = b, entonces e = 0 -En la elipse b < a, entonces 0 < e < 1

Las excentricidades de las rbitas de los planetas del sistema solar son:PlanetasPlanetas enanos

Mercurio 0,206 Venus 0,007 Tierra 0,017 Marte 0,093 Jpiter 0,048 Saturno 0,0541 Urano 0,047 Neptuno 0,009 Ceres 0,080 Plutn 0,249 Eris 0,442 Makemake 0,159 Haumea, ?

Segunda ley: ley de las reas. Las reas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. El radio vector que une un planeta y el Sol barre reas iguales en tiempos igualesConsecuencia: la velocidad de un cuerpo en rbita no es constante, es mayor cuando se encuentra en el perihelio que cuando est en el afelio. Por tanto, cuando se considere constante la velocidad de un objeto en rbita movimiento circular uniforme se est haciendo una aproximacin si su rbita es elptica. Esta aproximacin ser tanto mejor cuanto menor sea la excentricidad de la rbita. Solamente en una rbita circular se puede considera como constante la velocidad orbital.

Tercera ley: ley de los periodos. Los cuadrados de los periodos de revolucin son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas rbitas Supongamos dos planetas, P1 y P2 que describen dos rbitas con periodos respectivos T1 y T2 (figura adjunta). Segn la tercera ley de Kepler se cumple que:

La principal consecuencia en el siglo XVII de esta ley es que permiti dar dimensiones al sistema solar. En efecto, si consideramos como 1 la distancia entre la Tierra y el Sol (1 unidad astronmica, aproximadamente igual a 150 millones de kilmetros, valor no conocido en el siglo XVII), dado que se conoce el periodo de revolucin de la Tierra, podemos conocer la distancia de cualquier planeta al Sol en unidades astronmicas sin ms que conocer el periodo de revolucin de dicho planeta, valor que se conoce de la observacin astronmica del mismo. Por ejemplo, si el periodo de revolucin aproximado del planeta Jpiter es de 11 aos y 315 das,

LEY DE LA GRAVITACIN DE NEWTON A partir de lo enunciado por Kepler, Isaac Newton dedujo la ley de la gravitacin universal. Se trata pues de una ley deductiva.

La ley de la gravitacin universal de Newton puede enunciarse: Toda partcula material atrae a cualquier otra partcula material con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Siendo m1 y m2 sus masas; r la distancia entre ellas y G una constante universal que recibe el nombre de constante de gravitacin.Su expresin en forma vectorial es:Siendo un vector unitario cuya direccin es la recta que une los centros de las dos partculas que se atraen y cuyo sentido va dirigido desde la partcula que origina la fuerza hacia fuera. Este sentido dado al vector unitario es El que explica la aparicin del signo negativo en la expresin vectorial ya que el sentido de la fuerza gravitatoria ser contrario al vector unitario que le corresponda. En la figura anterior se puede observar que las fuerzas gravitatorias que actan sobre cada una de las partculas son fuerzas de accin y reaccin (tercer principio de la Dinmica) y, por tanto, tienen el mismo valor, son de sentidos contrarios y sus lneas de accin coinciden con la recta que las une.

La constante de gravitacin G: Se trata de una constante universal, es decir, su valor es el mismo en cualquier parte del universo (conocido) e independiente del medio en el que se encuentren los cuerpos. Newton no determin el valor de esta constante ya que la formulacin de la ley tal como lo hizo difiere de la formulacin que se hace actualmente y que se est viendo aqu. El valor de G es

El sentido fsico de este valor: es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg situadas a una distancia de un metro.

Determinacin del valor GPara determinar el valor de la constante de gravitacin G, debemos medir la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas conocidas m1 y m2 a una distancia conocida como r. fuerza es muy pequea para cuerpos que caben en un laboratorio, pero puede medirse con un instrumento llamado balanza de torsin que Sir Henry Cavendish uso en 1798 para determinar G.

En la figura se muestra una versin moderna de la balanza de torsin. Varilla ligera y rgida con forma de T invertida es sostenida por una fibra vertical de cuarzo muy delgada. Dos esferas pequeas, de masa m1 se montan en los extremos de los brazos de la T. si colocamos dos esferas grandes pequeas, de masa m2 en las posiciones mostradas, las esferas de atraccin gravitacional hacen girar la Ta un ngulo pequeo. Para medir el ngulo, hacemos incidir un rayo de luz en un espejo sujeto ala T. el haz reflejado incide en una escala; al girar la T, la luz se mueve en escala.Despus de calibrar la balanza de Cavendish, podemos medir las fuerzas gravitacionales y as de terminar G. el valor aceptando actualmente (en unidades del SI) es:

Con tres cifras significativas . Dado que 1 N =1Kg.m/s2, las unidades de G tambin pueden expresarse (en unidades fundamentales del sistema internacional SI) como m3/ (Kg. s2).Las fuerzas gravitacionales se combinan vectorialmente. Si dos masas ejercen cada una fuerza sobre una tercera, la fuerza total que acta sobre esta es la resultante de las fuerzas individuales de las dos primeras.

Ejemplo 1. 3 bolas de billar de 0.300-kg se ponen sobre una mesa en las posiciones que muestra la figura. Calcule la fuerza gravitacional sobre m1 debida a las otras bolas.

M2

Fx=6.6710-110.09/0.09=6.6710-11Fy =6.6710-110.09/0.16=3.7510-110.500m0.400 m

FYF

FX

M3M10.300m

FUERZA GRAVITACIONAL Y PESO.

La fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos cerca de la superficie terrestre se defini como el peso del cuerpo, P = mg. Esta es la fuerza gravitacional FG entre el cuerpo de masa m y la Tierra de masa MT, separados una distancia entre sus centros r = RT + z, donde RT es el radio de la Tierra y z es la altura de m sobre el suelo. Igualando las expresiones de las fuerzas P y FG se obtiene:

Esta ecuacin permite calcular el valor de la aceleracin de gravedad g a cualquier altura z sobre la superficie, ya que se conoce G, la MT y el RT. De esta ecuacin se observa que g disminuye con la altura. En la tabla 9.1 se muestra la variacin de g con la latitud y con la altura z (en la Universidad de Concepcin, el gravmetro del Observatorio Geodsico Transportable Integrado, TIGO, ubicado all arriba en los cerros permite medir las variaciones de g en el noveno decimal, estas variaciones son principalmente por efecto de la atraccin gravitacional de la Luna).

Variacin de g con la latitud en z =0Variacin de g con la altura z en = 450

(0)g (m/s2)z(km)g(m/s2)

09.7803609.80616

109.7819519.803

209.7864159.791

309.79329109.775

409.80171209.745

459.80616309.708

509.810711009.598

609.8171910007.33

709.8236850003.08

809.83016100001.49

909.83208o

La aceleracin de gravedad g tambin vara con la latitud debido a que la Tierra no es una esfera, es un elipsoide achatado levemente en los polos, de manera que el radio ecuatorial es 21 km mayor que el radio polar, valor pequeo comparado con el radio medio de la Tierra de 6367.47 km. La Tierra no es un cuerpo rgido, tiene un comportamiento plstico. Por efecto de la rotacin terrestre, la aceleracin centrpeta disminuye desde el ecuador, donde es mxima, hacia los polos, donde se anula, produciendo una mayor fuerza centrpeta en zonas ecuatoriales, que estira a la Tierra hacia afuera ms que en zonas polares, por eso la Tierra es achatada en los polos. Esto tiene como consecuencia que la aceleracin de gravedad no apunte directamente hacia el centro de la Tierra, sino que est levemente desviada de la direccin vertical. La desviacin mxima que tiene g de la vertical es de 1140 a 45 de latitud, y la variacin del valor de g en superficie es menos que 0.5 %, por lo que se puede considerar constante.

CONCEPTO DE CAMPO GRAVITATORIO.Las fuerzas se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios. Si nos centramos en si los cuerpos que interaccionan se tocan o no podemos clasificarlas en: Fuerzas de contacto. Son fuerzas que estn aplicadas directamente sobre los cuerpos cuyo movimiento se estudia. Por ejemplo cuando empujamos una mesa. Fuerzas a distancia. Generalmente son fuerzas a las que se ven sometidas las partculas por accin de otra partcula. La fuerza gravitatoria es una fuerza a distancia. Estas fuerzas quedan determinadas en funcin de la distancia que separa los centros de gravedad de las partculas implicadas.

Dentro del grupo de las fuerzas (interacciones) a distancia tenemos, por ejemplo, la interaccin gravitatoria, la interaccin elctrica y la interaccin magntica. Desde un punto de vista clsico, para poder explicar la interaccin a distancia entre dos partculas se introduce el concepto de campo, utilizado por primera vez por Michael Faraday (1791-1867). Campo: Es la regin del espacio en cuyos puntos se presentan o pueden apreciarse algunas propiedades fsicas.Estas propiedades fsicas pueden tener carcter escalar o vectorial. Campos escalares. La presin atmosfrica, la temperatura, por ejemplo, son magnitudes escalares que pueden definir campos escalares, es decir, regiones del espacio donde dichas propiedades slo dependen de la posicin del punto y del tiempo. As, por ejemplo, un mapa de isobaras representa las regiones del campo donde la presin tiene el mismo valor. Campos vectoriales. Tambin llamados campos de fuerzas. Son, por ejemplo, los campos gravitatorios, elctricos o magnticos. Una partcula en presencia de un campo gravitatorio se ve afectada por una fuerza gravitatoria, una carga elctrica en presencia de un campo elctrico se ver afectada por una fuerza elctrica.La magnitud fsica que define un campo vectorial es la intensidad del campo (gravitatorio, elctrico, magntico)

Campo gravitatorio. Se dice que existe un campo gravitatorio en una regin del espacio si una masa colocada en un punto de esa regin experimenta una fuerza gravitatoria. Toda partcula con masa genera un campo gravitatorio a su alrededor, es la zona de influencia de la fuerza gravitatoria que puede generar sobre otra partcula. Si cada masa genera su propio campo gravitatorio qu partcula est inmersa en el campo de cul? En general, la partcula que genera el campo es la de mayor masa, por eso decimos que los cuerpos sobre la Tierra se encuentran inmersos en el campo gravitatorio terrestre, o que la Luna gira alrededor de la Tierra porque aquella se encuentra en el mismo campo. As, tambin decimos que la Tierra se encuentra en el campo gravitatorio solar, que afecta a todos los planetas que giran a su alrededor. Este campo gravitatorio solar tambin afecta de algn modo a los satlites de los planetas, pero al ser su intensidad inferior al campo gravitatorio planetario, se dice que cada satlite est afectado por el campo gravitatorio de su planeta.

INTENSIDAD DE UN CAMPO GRAVITATORIOLas magnitudes que caracterizan un campo gravitatorio son: Intensidad del campo gravitatorio, define un campo gravitatorio vectorial. Potencial del campo gravitatorio, define un campo gravitatorio escalar.

La primera (intensidad de campo) est relacionada con la fuerza que el campo puede ejercer sobre una masa. La segunda (potencial del campo) est relacionada con el trabajo que dicha fuerza puede realizar. Veremos aqu cmo se define y utiliza la intensidad de campo gravitatorio. Situacin de partida: como se ha dicho est relacionada con la fuerza que el campo puede ejercer sobre una masa situada en un punto determinado del campo. Supongamos la situacin general representada en la figura adjunta. Al ser M mayor, decimos que m se encuentra inmersa en el campo gravitatorio generado por M.

La fuerza de atraccin entre las dos masas es, en mdulo,

Segn la segunda ley de Newton, la masa m sometida a una fuerza tiene una aceleracin

Esta aceleracin se ha interpretado de varias formas: - Si M es muy grande respecto de m y r es pequeo (por ejemplo, un cuerpo sobre la superficie de un planeta). Entonces la aceleracin es la de la gravedad, que se ha venido expresando como g. - Si M es muy grande respecto de m y r es grande (por ejemplo un planeta alrededor del Sol o un satlite alrededor de un planeta). Entonces la aceleracin es centrpeta, resultado de la fuerza central que el cuerpo M est ejerciendo sobre el cuerpo m.

En realidad las dos formas son una misma, se denomina intensidad de campo gravitatorio (g) que ejerce la masa M en un punto situado a una distancia r de su centro de masa a

Si M es la masa de la Tierra entonces decimos que g representa la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una distancia r de su centro de masas. Si M es la masa del Sol entonces decimos que g representa la intensidad del campo gravitatorio solar a una distancia r de su centro de masas. Si M es la masa de la Luna entonces decimos que g representa la intensidad del campo gravitatorio lunar a una distancia r de su centro de masas.

La intensidad de campo gravitatorio de una masa M en un punto representa la fuerza que experimentara la unidad de masa colocada en dicho punto. Su unidad en el S.I. es, por tanto, Nkg1, o tambin ms-2.

Consideraciones a tener en cuenta:

La intensidad del campo gravitatorio en un punto viene determinada por la aceleracin que experimenta un objeto colocado en dicho punto. Esta aceleracin es independiente de la masa del objeto. Depende de la masa que crea el campo y la distancia del punto considerado. La direccin de la intensidad del campo (aceleracin gravitatoria) es la que pasa por el centro de masa del cuerpo que crea el campo y el punto del espacio donde se est considerando el valor del campo. El sentido de la intensidad del campo (aceleracin gravitatoria) es hacia el centro de masas que crea el campo. Por tanto, segn el criterio establecido en pg. 7 para definir el vector unitario, su expresin vectorial ser:

Es claro que si sustituimos M por la masa de la Tierra (5,98. 1024 kg) y r por el radio terrestre (6,38.106 m), obtenemos para g un valor conocido:

Principio de superposicin. Una regin del espacio puede estar bajo la influencia no de un campo gravitatorio sino de varios. Cuando hay ms de una masa generando un campo gravitatorio se aplica el principio de superposicin: el campo gravitatorio ser el resultado de la suma vectorial de los campos generados por cada una de las masas. Para n masas generando un campo gravitatorio,

ESTUDIO ENERGTICO DE LA INTERACCIN GRAVITATORIALa interaccin gravitatoria tambin se puede describir en trminos energticos, teniendo en cuenta los conceptos de fuerza conservativa y de energa potencial. Una de las formas de transmitir la energa desde un cuerpo a otro cuerpo es mediante una fuerza de interaccin. Esta fuerza de interaccin provoca en el cuerpo sobre el que se ejerce un desplazamiento y, por tanto, produce un trabajo. Este trabajo es la energa transmitida. Centrmonos en el caso que nos ocupa, la interaccin gravitatoria. Supongamos que se lanza un objeto hacia arriba. El objeto alcanza una altura mxima y luego cae. Vamos a calcular el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria, que est actuando sobre el cuerpo continuamente. En estas consideraciones se est despreciando cualquier resistencia del aire al movimiento. En la figura adjunta, a es el punto de partida, situado a una altura ya respecto de la superficie, b es el punto ms alto que alcanza el objeto, situado a una altura yb. Vamos a determinar el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria (peso) mientras el cuerpo sube y cuando el cuerpo baja. Cuerpo subiendo:

Cuerpo bajando:

Hacer notar que en los dos casos r es (yb-ya) ya que es el mdulo del desplazamiento (siempre positivo). El trabajo total ser:

Como vemos, el trabajo realizado a travs de una lnea cerrada (trayectoria cerrada que empieza y termina en el mismo punto) es cero.

Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por dicha fuerza a travs de una lnea cerrada es nulo o, lo que es lo mismo, el trabajo realizado entre por dicha fuerza entre dos puntos siempre es el mismo independientemente del camino seguido.La fuerza que interviene para mover un cuerpo desde A hasta B por los caminos 1, 2 3 es conservativa si:

Adems, por ejemplo,

La fuerza gravitatoria y la fuerza elstica son fuerzas conservativas. Tambin es conservativa la fuerza elctrica. La fuerza de rozamiento no es conservativa (es una fuerza que siempre se opone al movimiento y, por tanto, siempre formar un ngulo de 180 con el desplazamiento). Tampoco es conservativa la fuerza magntica.

Energa potencial asociada a una fuerza conservativa La energa potencial es una magnitud caracterstica de las fuerzas conservativas. Se representa por U o por Ep. La variacin de la energa potencial viene definida por el llamado Teorema de la Energa Potencial. En general, el trabajo realizado por una fuerza conservativa (F) cuando desplaza su punto de aplicacin desde la posicin 1 hasta la posicin 2 viene dado por:

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variacin de la energa potencial del cuerpo sobre el que acta, tomando como minuendo la energa potencial del punto de partida.Consideraciones: La expresin anterior solo puede utilizarse si F es conservativa. En el ejemplo anterior de un cuerpo lanzado verticalmente desde un punto del campo gravitatorio, no se ha integrado la expresin del trabajo porque se considera que la variacin en altura es pequea y la intensidad del campo gravitatorio permanece prcticamente constante. Aplicamos el teorema a dicho ejemplo. Primero cuando el cuerpo sube:

Como yb > ya, entonces,

Cuando el trabajo que realiza una fuerza conservativa es negativo, para mover el cuerpo desde el punto a hasta el punto b hay que realizar un trabajo en contra del campo gravitatorio (el cuerpo no va a subir solo). Es un trabajo que debemos realizar nosotros, cuyo valor ser igual al que realiza la fuerza conservativa pero cambiado de signo. Cuando el cuerpo cae,

Como yb > ya, entonces,Cuando el trabajo que realiza una fuerza conservativa es positivo, para mover el cuerpo desde el punto b hasta el punto a, el trabajo lo realiza el campo gravitatorio.

Teorema de las fuerzas vivas En mecnica del slido rgido, el trabajo realizado por una fuerza al desplazarse su punto de aplicacin entre dos posiciones es igual al incremento que experimenta la energa cintica del cuerpo sobre la que acta:

Diferencias entre el teorema de energa potencial y el teorema de las fuerzas vivas: el teorema de la energa potencial slo es vlido para fuerzas conservativas, mientras que el teorema de las fuerzas vivas es vlido para todo tipo de fuerzas, conservativas y no conservativas.Por ejemplo, el teorema de las fuerzas vivas puede aplicarse aunque existan fuerzas disipativas, como la fuerza de rozamiento. As, se puede utilizar para calcular el trabajo que realizan los frenos de un coche en una frenada (sin embargo, en el caso de la cada de un cuerpo se ha dicho desde el principio que se desprecia la resistencia del aire).

ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIALa fuerza gravitatoria es conservativa. Por consiguiente lleva asociada una energa potencial cuya expresin ser deducida en este apartado, as como un anlisis de las consecuencias de aplicacin de dicha expresin.Demostracin dela formula:

Situacin de partida: dos masas cualesquiera M1 y m2 (M1 >> m2). La masa m2 se encuentra inmersa en el campo gravitatorio que genera M1 en un punto P, situado a una distancia r del centro de M1, y se mueve desde dicho punto hasta el infinito (es decir, se aleja del campo gravitatorio de M1).

Se puede tratar, por ejemplo, de un lanzamiento vertical de una masa en un planeta, o de una salida de rbita de un satlite.

Clculo del trabajo que realiza la fuerza la fuerza gravitatoria en este desplazamiento.

Aqu es la fuerza gravitatoria que se establece en m2 y que es ejercida por M1. Por otra parte, es el vector desplazamiento con origen en P y extremo en el infinito. Es una fuerza variable que depende de la distancia que hay entre las masas. Esta circunstancia impide un clculo del trabajo con la expresin anterior, hay que recurrir a calcular dicho trabajo (dW) en desplazamientos infinitesimales:

Y sumar (integral) todos los trabajos calculados al final:

La expresin anterior representa la energa potencial gravitatoria de m2 en un punto cualquiera P del campo gravitatorio creado por M1.

Qu representa dicha energa potencial gravitatoria? Es el trabajo necesario para llevar, en presencia de M1, la masa m2 desde el punto donde se encuentra hasta el infinito. La energa potencial no se puede conocer de forma absoluta. Slo se puede conocer la diferencia de energa potencial, pero al poner el punto final en el infinito se asume que en dicho punto la energa potencial es cero.

Valoracin del signo EP.Como vemos la energa potencial es negativa, es decir, el trabajo necesario para alejar una masa de la influencia de otra lo debemos hacer nosotros en contra del campo. Dado que se ha calculado el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria, el que tericamente debemos hacer nosotros al aplicar una fuerza sobre m2 es el mismo pero cambiado de signo. Si la posicin final no es el infinito sino que es otra cualquiera.

Aplicando el teorema de la energa potencial y sustituyendo sta por la expresin recin encontrada

Pueden darse dos posibilidades: 1) rA < rB, situacin dibujada anteriormente que corresponde a un alejamiento de las dos masas. En estas condiciones,

Es decir, el trabajo necesario para alejar una masa de la influencia de otra lo debemos hacer nosotros en contra del campo. Dado que se ha calculado el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria, el que tericamente debemos hacer nosotros al aplicar una fuerza sobre m2 es el mismo pero cambiado de signo.2) rA < rB, situacin que corresponde a un acercamiento entre las dos masas. En estas condiciones

Es decir, el trabajo necesario para acercar una masa a otra lo realiza el campo gravitatorio.

Energa potencial terrestre y su relacin con la expresin Ep = mgh. Hemos visto que la energa potencial gravitatoria de una masa m2 debido a la interaccin gravitatoria con otra masa M1 viene dada por la expresin:

Donde r es la distancia entre los centros de masa de M1 y m2. Tambin hemos visto que su valor representa el trabajo que hay que realizar para mover m2 desde su posicin hasta el infinito.Si M1 representa la masa de la Tierra todo lo dicho es vlido y entonces Ep representa la energa potencial gravitatoria terrestre. En esta situacin se pueden hacer algunas consideraciones:1. r como mnimo vale el radio de la Tierra, RT. Si m2 se encuentra en la superficie de la Tierra,

Este valor es negativo, distinto de cero. Cambiado de signo representa el trabajo que debemos realizar en contra del campo gravitatorio terrestre para desplazar m2 desde la superficie de la Tierra hasta el infinito.2. Cuando m2 se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, su energa potencial ser

Este valor tambin es negativo, menos negativo que el caso anterior. Cambiado de signo representa el trabajo que debemos realizar en contra del campo gravitatorio terrestre para desplazar m2 desde una altura h de la Tierra hasta el infinito.Cundo se puede utilizar entonces la expresin Ep = mgh? Por qu si utilizamos la expresin Ep = mgh la energa potencial es cero en la superficie de la Tierra contradiciendo lo que se ha mencionado anteriormente?

Volvamos a la siguiente situacin: un cuerpo se lanza desde un punto ra hasta otro punto rb:

Si ra es la superficie de la Tierra,

Como , la expresin es aproximadamente igual a . Entonces la variacin de energa potencial en esta cada es

Por otra parte, si hacemos Epa = 0 ya que al encontrarse en la superficie de la Tierra su altura sobre esta es cero,

Entonces podemos asimilar la energa potencial a una cierta altura sobre la superficie como

La expresin Ep = mgh slo es vlida, por tanto, cuando pues en estas condiciones la intensidad del campo gravitatorio, g, se mantiene prcticamente constante.

Distribuciones esfricas de masa

Hemos usado, sin demostrarla, la afirmacin de que la interaccin gravitacional entre dos distribuciones de masa esfricamente simtricas es la misma que sera si la masa de cada una estuviera concentrada en su centro. Ya estamos en condiciones de demostrar esto. Newton busco varios aos una demostracin, y aplazo la publicacin dela ley dela gravitacin hasta que la encontr.

He aqu lo que haremos. En vez de comenzar con dos masas esfricamente simtricas, atacaremos el problema ms sencillo de una masa puntual m que interacta con un caso esfrico delgado con masa total M. demostraremos que, si m esta fuera dela esfera, la energa potencial asociada a esta interaccin gravitacional es la que sera si M estuviera concentrada en el centro dela esfera. Segn la ecuacin la fuerza es la derivada negativa de la energa potencial, as que la fuerza que acta sobre m es la misma que para una masa puntual M. toda distribucin esfricamente simtrica de masa puede considerarse formada por muchos cascos esfricos concntricos, as que nuestro resultado ser vlido para cualquier M esfricamente simtrica.

Comenzamos por considerar un anillo en la superficie del casco, centrado en la lnea del centro del casco a m. hacemos esto porque todas las partculas dela anillo estn a la misma distancia s dela masa puntual m. por la ecuacin, la energa potencial dela interaccin entre la tierra (masa mt) y una masa puntual m separada una distancia r es . Cambiando la notacin en esta expresin, vemos que, en la situacin de la energa potencial de interacion entre m y una partcula de masa del anillo est dado por

Para calcular la energa de interaccin entre m y el anillo entero de masa , sumamos esta expresin de Ui para todas las partculas del anillo. Llamamos a esta energa potencial dU, y vemos que(a) Para calcular los efectos gravitacionales afuera de un casco esfrico, puede considerarse que toda la masa M esta concentra en el centro.(b) la distancia s es la hipotenusa del tringulo rectngulo con catetos .

Para continuar, necesitamos conocer la masa del anillo, que podemos calclar con un poco de geometra. El radio del casco es R, asi que, en trminos del angulo , el radio del anillo es . La anchura del anillo es ,y su rea dA es aproximadamente su anchura multiplicada por su circunferencia:

la relacin entre la masa del anillo y la masa total M del casco es la misma que hay entre el rea dA del anillo y el rea total del caso:

Ahora despegamos dM y sustituimos el resultado en la ecuacin para obtener la energa potencial de interaccin entre la masa puntual m y el anillo:

La energa potencial total de interaccin entre la masa puntual m y el casco M es la integral de la ecuacin (12) para toda la esfera, desde = 0 hasta = y desde hasta . Para realizar la integracin, debemos expresar el integrando en trminos de s necesitamos otro poco de geometra. en la figura (b) es evidente que s es la hipotenusa de un tringulo rectngulo con catetos y , as que por teorema de Pitgoras:

Diferenciamos ambos miembros:

Ahora dividimos esto entre y sutituimos el resultado e ecuacin (9

Ahora podemos integrar la ecuacin, recordando q s varia de :

Por ltimo, tenemos:

(Masa puntual m afuera de un casco esfrico M)

Esto es igual a la energa potencial de dos masas puntuales m y M a una distancia r, as que hemos demostrado que la energa potencial gravitacional del casco esfrico M y la masa puntual m a cualquier distancia r es la misma que sera si fueran masas puntuales. Dado que la fuerza est dada por la fuerza es la misma.Cualquiera distribucin esfricamente simtrica de masa puede considerarse cmo una combinacin de cascos esfricos concntricos. Por ejemplo el principio de superposicin de las fuerzas, lo que es vlido para un casco es vlido para la combinacin. Por tanto, hemos demostrado la mitad de lo que nos propusimos, que la interaccin gravitacional entre una distribucin esfricamente simtrica de masa y una masa puntual es la misma que sera si toda la masa de la distribucin estuviera concentrada en su centro. La otra mitad consiste en demostrar que dos distribuciones esfricamente simtricas de masa interactan como si fuera puntos. Esto es ms difcil. Las fuerzas que los dos cuerpos ejercen entre si son un par accin-reaccin, y obedecen la tercera ley de newton. Por tanto, hemos demostrado que la fuerza que m ejerce sobre la esfera M es la que ejercera si M fuera un punto. Si ahora sustituimos M por una distribucin esfricamente simtrica de masa centrada en la posicin de m, la fuerza gravitacional que acta sobre cualquier parte de M es la misma que antes, y lo mismo que cumple para la fuerza total. Esto completa la demostracin.

PROBLEMAS RESUELTOS

Calcula la masa de la Tierra a partir del peso de los cuerpos en su superficie. El radio de la Tierra es de 6380 kilmetros.Solucin:El peso de un cuerpo de masa m situado en la superficie del planeta es la fuerza con que la Tierra lo atrae. En mdulo su valor es, segn la ley de gravitacin universal

Donde es la masa de la Tierra y es el radio del planeta.Por otra parte, podemos aplicar la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que la aceleracin de cada de los cuerpos en la superficie de la Tierra es g.

Como ambas fuerzas son iguales,

Despejando la masa de la Tierra

Calcula la masa del Sol a partir del periodo de traslacin de la Tierra. Distancia entre la Tierra y el Sol, 149 millones de kilmetros.La fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es, segn la ley de la gravitacin universal (en mdulo)

Donde es la masa de la Tierra, es la masa del Sol y R es la distancia entre la Tierra y el Sol.Por otra parte, el movimiento de la Tierra alrededor de Sol es un movimiento circular resultado de una fuerza central o centrpeta cuya expresin es segn la segunda ley de Newton

Donde la aceleracin centrpeta es

En esta expresin v representa la velocidad en de la Tierra en rbita alrededor del Sol. Suponiendo, como venimos haciendo, que se trata de un movimiento circular uniforme,Por tanto,

Como ambas fuerzas son iguales

Despejando la masa del Sol,

Este procedimiento se puede utilizar para calcular la masa de cualquier planeta con satlites sin ms que conocer su periodo de revolucin de alguno de esos satlites alrededor del planeta (dato que se obtiene de la observacin). En tres vrtices de un cuadrado de 5 m de lado se disponen sendas masas de 12 Kg. Determinar el campo gravitatorio en el cuarto vrtice. Qu fuerza experimentar una masa de 4 kg situada en dicho vrtice. Sistema de referencia tiene su origen donde se encuentra la masa 1. Diagonal del cuadrado:

Determinacin del mdulo de las intensidades del campo gravitatorio creado por cada masa en el vrtice del cuadrado:

Se descompone de la siguiente manera

Expresamos ahora las intensidades de campo gravitatorio en funcin de los vectores unitarios cartesianos,

La intensidad de campo gravitatorio total en el vrtice del cuadrado ser, segn el principio de superposicin,

Su mdulo ser:

En cuanto a la fuerza gravitatoria que experimentara una masa de 4 kg situada en dicho vrtice,

Cuyo mdulo es,

Calcula la intensidad de campo gravitatorio que crean dos masas, M y m, en un punto P, en los cuatro casos representados en la figura. En todos ellos las intensidades de los campos creados por M y m tienen en P como mdulo 5 y 20 N/kg, respectivamente.

Datos: gM = 5 N/kg gm = 20 N/kgSistema de referencia en todos los casos tiene como origen el punto P.a) Expresin vectorial de las dos intensidades de campo gravitatorio en el punto P:

Una masa de un kilogramo situada en el punto P est sometida a una fuerza de 15 N en la direccin que une ambas masas y cuyo sentido va hacia la masa m.b) Idntico al apartado a)

c) Expresin vectorial de las dos intensidades de campo gravitatorio en el punto P:

Una masa de un kilogramo situada en el punto P est sometida a una fuerza de 20,6 N en direccin y el sentido mostrado en la figura.d) Expresin vectorial de las dos intensidades de campo gravitatorio en el punto P:

Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la Luna. Explique por qu los tiempos de cada seran distintos y calcule su relacin.MT = 81 ML; RT = (11/3) RLLa cada de un cuerpo en la superficie de la Tierra (desde una altura pequea que no implique una variacin detectable de la intensidad del campo gravitatorio terrestre) es un movimiento rectilneo uniformemente acelerado cuya ecuacin del movimiento es:

Donde es la posicin del mvil en el instante, medido desde la superficie del planeta, es la altura desde la que se deja caer (velocidad inicial nula), es la aceleracin de la gravedad terrestre, es decir, la intensidad del campo gravitatorio terrestre en su superficie (su valor es negativo pues el vector intensidad de campo tiene sentido contrario al tomado como positivo).En la Luna la expresin es la misma pero cambiando la intensidad del campo gravitatorio por el lunar:

Para poder comparar ambas expresiones debemos, con los datos que nos dan, expresar la intensidad del campo gravitatorio lunar en funcin de la intensidad del campo gravitatorio terrestre,

En ambos casos, tanto en la Tierra como en la Luna la posicin final del cuerpo es el suelo, es decir,

Un satlite de 300 kg describe una rbita circular alrededor de la Tierra a una altura igual al radio terrestre. Calcular:a) la rapidez orbital del satlite, b) su perodo de revolucin, c) la fuerza gravitacional sobre el satlite,d) comparar su peso en la rbita con su peso en la superficie de la Tierra.

Solucion: a) El satlite de masa mS, se mantiene en rbita por la accin de la fuerza gravitacional, que acta como fuerza centrpeta, es decir FG = FC, entonces se igualan las expresiones de ambas fuerzas:

Como r = 2RT, reemplazando

b) El satlite completa una vuelta en torno a la Tierra a la altura de 2RT movindose con la rapidez anterior, entonces:

c) La fuerza gravitacional en la rbita corresponde al peso del satlite en ese lugar, se calcula como sigue:

d) Para hacer esta comparacin, calculamos su peso en tierra.

Calcular la energa total para un satlite de masa m, que se mueve en una rbita circular con rapidez tangencial constante v, a una altura r desde el centro de la TierraSolucin:La energa total del satlite es la suma de la energa cintica ms la potencial, que es constante, reemplazando los valores correspondientes de cada energa, se tiene:

Pero se debe calcular la v del satlite, como la rbita es circular aplicando la segunda ley de Newton al satlite de masa m, considerando que la fuerza gravitacional es la fuerza centrpeta necesaria para mantener al satlite en rbita,

Reemplazando en la energa total E, queda:

Se observa que la energa total es negativa en el caso de rbitas circulares. Generalizando este resultado al sistema solar, la energa total del sistema Solplaneta es una constante del movimiento.

Calcular la masa del Sol a partir del hecho de que el periodo de traslacin de la Tierra en torno al Sol es un ao y la distancia de la Tierra al Sol es 1,496x1011 m.Solucin: Usando la tercera ley de Kepler, despejando MS, se obtiene:

Reemplazando los valores numricos, con T = 1 ao = 3.156x107s:

Advierta que el Sol tiene 333000 veces ms masa que la Tierra.

Un satlite de masa MS se mueve en una rbita elptica alrededor de la Tierra. Las distancias mnima y mxima al satlite desde la Tierra reciben el nombre de perihelio (rp en la figura) y afelio (indicado por ra).Si la velocidad del satlite en rp es vp, cul es su velocidad en ra.?Solucin: El momento angular del satlite en relacin con la Tierra es MSrv.En los puntos ra y rp, v es perpendicular a r. En consecuencia la magnitud del momento angular en estos puntos es La = MSvara y Lp = MSvprp. Debido a que el momento angular es constante, vemos que:

En el dispositivo de la figura, el muelle tiene una constante elstica K = 1000 N/m y el coeficiente de rozamiento de la masa m2 con la superficie de la mesa vale 0,1. Si, inicialmente, el muelle se encuentra en reposo, calcula la ecuacin que proporciona el alargamiento mximo.

Inicio El sistema parte del reposo (vo = 0) y, segn el enunciado, el muelle no est estirado (x = 0). Con estos datos podemos establecer que inicialmente la energa mecnica del sistema es la energa potencial correspondiente a la altura (ho) a la que se encuentre la masa m1, es decir,

Final La energa potencial de la masa m1 es la que hace moverse al sistema, que empieza a acelerar y el muelle a estirarse hasta que el sistema se detiene (v = 0) con un estiramiento mximo del muelle (x). En estas condiciones la energa mecnica del sistema corresponde a la energa potencial de m1 debido a la nueva altura a la que se encuentre (h) y energa potencial elstica del muelle, es decir,

Por tanto,

Ya que la variacin en altura de m1 es igual al alargamiento que se produce en el muelle, pero su valor es negativo porque h < ho.Entre el instante inicial y el final interviene una fuerza no conservativa (fuerza de rozamiento), por tanto,

Donde Wnc es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, es decir,

Donde la distancia que recorre m2 en horizontal es igual al alargamiento que se produce en el muelle.Igualando la variacin de energa mecnica con el trabajo no conservativo:

Solucin:

Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por una ladera de 30 de inclinacin respecto a la horizontal. a) Explique las transformaciones energticas durante el desplazamiento del trineo suponiendo que no existe rozamiento y determine, para un desplazamiento de 20 m, la variacin de sus energas cintica y potencial, as como la velocidad del cuerpo. b) Explique, sin necesidad de clculos, cules de los resultados del apartado a) se modificaran y cules no, si existiera rozamiento.

a) En la figura se representa la situacin inicial y final, los datos que da el problema y el origen de alturas.En la situacin inicial el cuerpo est en reposo, luego no posee energa cintica (Eco = 0). En dicha situacin el cuerpo se encuentra a una cierta altura sobre el origen de alturas y posee, por tanto, energa potencial gravitatoria cuyo valor es,

La energa mecnica del cuerpo en esta situacin inicial ser:

En la situacin final el cuerpo ha llegado al origen de alturas, ha perdido la energa potencial (Ep = 0) que tena en la situacin inicial transformndose esta en energa cintica, es decir,

La energa mecnica del cuerpo en esta situacin final ser:

Como el cuerpo cae sin rozamiento, no existen fuerzas disipativas y, por tanto, se cumple el principio de conservacin de la energa mecnica,

Despejando v

Donde h=20 sen30=10 m. Por tanto

En cuanto a las variaciones de energa potencial y energa cintica,

b) Si existiera rozamiento, una fuerza disipativa, el principio de conservacin de la energa mecnica toma la forma

Donde Wnc es el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. Este trabajo es energa que se pierde en forma de calor, es decir, la energa potencial inicial del cuerpo no se transforma completamente en energa cintica cuando llega al final del plano sino que parte de esta energa se ha disipado en forma de calor por el rozamiento entre el cuerpo y el suelo del plano. Segn este razonamiento, la energa potencial inicial no cambia pero si la energa cintica en la situacin final, que disminuye respecto del valor calculado. La disminucin de esta energa cintica ser el valor del trabajo no conservativo.

Conclusiones En conclusin, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeos, en ausencia de friccin, caen a la tierra con la misma aceleracin. La aceleracin gravitacional produce sobre los cuerpos con cada libre un movimiento uniformemente variado, por lo que su velocidad aumenta en forma constante, mientras que la aceleracin permanece constante. La aceleracin de la gravedad siempre est dirigida hacia abajo y se acostumbra representarla con la letra g, y para fines prcticos se les da un valor de:g = 9.8 m/s2 (Sistema Internacional)g = 32 pies/s2 (Sistema Ingls) La fuerza potencial gravitatorio solo existe cuando el trabajo se realiza en una determinada altura para q pueda actuar la gravedad. Newton estableci con la Ley de gravitacin universal, que existe una fuerza de atraccin que acta entre todos los cuerpos del universo. Adems logr observar que la fuerza gravitatoria depende de la masa de los cuerpos y la distancia entre ellos. Las leyes de Kepler establecen que Los planetas describen una rbita elptica y el Sol est sobre uno de los focos de la elipse. La lnea que une al Sol con el planeta, barre reas iguales en tiempos iguales El cuadrado del perodo de revolucin de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol El cuerpo que tiene mayor masa, es mayor el campo gravitacional que genera.

Bibliografa

FISICA UNIVERSITARIA dcimo primera edicin- volumen IFRANCIS W. SEARSMARK W. ZEMANSYHUGHD.YOUNGCarnegie mellon university

FISICA GENERAL COLECCIN GOIIng. Juan Goi Galarza

COLECCIN RACSOFlix Aucallanchi Velsquez

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Anexo