2º problemas resueltos t 6 ley de gravitación universal

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FÍSICA 2º BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA TEMA 6: LEY DE GRAVITACIÓNUNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio r 1 = 108 km con un periodo de rotación T 1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r 1 = 108 km y la más alejada es r 2 = 1,8 · 10 8 km tal y como muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta 2? Para un objeto que recorre una órbita elíptica su distancia media al astro central coincide con el valor del semieje mayor de la elipse. De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es: Aplicando la tercera ley de Kepler: Y sustituyendo: Despejando el periodo de rotación del planeta 2 es: T 2 = 3,3 años. PROBLEMA 2 Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio. T = 365,25 días Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´on de la Tierra, se cumple que:
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  • 1. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA TEMA 6: LEY DE GRAVITACINUNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una rbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotacin T1 = 2 aos, mientras que el planeta 2 describe una rbita elptica cuya distancia ms prxima es r1 = 108 km y la ms alejada es r2 = 1,8 108 km tal y como muestra la figura. Cul es el periodo de rotacin del planeta 2? Para un objeto que recorre una rbita elptica su distancia media al astro central coincide con el valor del semieje mayor de la elipse. De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es: Aplicando la tercera ley de Kepler: Y sustituyendo: Despejando el periodo de rotacin del planeta 2 es: T2 = 3,3 aos. PROBLEMA 2 Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una rbita circular de 150 millones de kilmetros de radio. T = 365,25 das Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslacion de la Tierra, se cumple que:

2. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relacion con el periodo de traslacion, se tiene: El periodo es (tomando el ao como 365,25 das): T = 3,156 107 s Sustituyendo: PROBLEMA 3 La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Calcula lo que pesar en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa de 70 kg. Aplicando la ley de gravitacion universal en la superficie de la Luna, se tiene: Sustituyendo: PROBLEMA 4 Expresa en funcin del radio de la Tierra, a qu distancia de la misma un objeto que tiene una masa de 1 kg pesar 1 N. Aplicando la ley de gravitacin universal: Aplicando la relacin: se tiene: 3. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 5 Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el movimiento de rotacin de la Tierra sobre s misma y considerando a la rbita de la Tierra como circular. Datos: MT = 6 1024 kg; rrbita = 1,5 108 km La velocidad de traslacion de la Tierra alrededor del Sol es: Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la rbita de la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posicin y el vector velocidad de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la orbita del planeta, cuyo mdulo es: PROBLEMA 6 La Tierra en su perihelio est a una distancia de 147 millones de kilmetros del Sol y lleva una velocidad de 30,3 km/s. Cul es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista 152 millones de kilmetros del Sol? SOLUCIN La direccin de la fuerza con la que acta el Sol sobre la Tierra coincide con la direccin del vector de posicin de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular en el afelio es igual al momento angular en el perielio. Aplicando la definicin de momento angular y como el vector de posicin es perpendicular a la velocidad, se tiene: Sustituyendo: 4. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 4 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 7 Calcula el periodo de la estacin espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una rbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2 SOLUCIN El radio de la rbita es: r = RT + 400 km = 6370 103 + 400 103 = 6,77 106 m. Aplicando la segunda ley de Newton y considerando la rbita circular, se tiene: Como: Sustituyendo, se tiene que el periodo es: PROBLEMA 8 Un satlite artificial se dice que es geoestacionario si est siempre en la vertical de un cierto punto de la Tierra. A qu altura estn los satlites geoestacionarios? Cul es el momento angular respecto del centro de la Tierra de un satlite geoestacionario de 500 kg de masa? Datos: RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2 SOLUCIN Para que un satelite sea geoestacionario su periodo de revolucion tiene que ser el mismo que el de la Tierra: T = 24 h. Aplicando la segunda ley de Newton a la rbita, de radio r, y como se tiene: Despejando y operando: 5. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 5 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA queda: Sustituyendo y como T = 8,6 104 s, se tiene: La altura del satlite sobre la superficie de la Tierra es: La rbita geoestacionaria est situada sobre el ecuador, por lo que el momento angular del satlite es un vector perpendicular al plano del ecuador terrestre. La velocidad del satlite es: Como los vectores de posicin y velocidad del satlite son perpendiculares, su mdulo es: Para que una rbita sea estable debe pasar por el centro de la Tierra, ya que en caso contrario la direccin del vector fuerza y del vector de posicin del satlite respecto del centro de la rbita no son paralelos y el momento angular del satlite respecto del centro de la rbita no se conserva. Para que el satlite sea geoestacionario su periodo tiene que ser el mismo que el de la Tierra. Por Tanto, un satlite geoestacionario estn en la vertical de un punto del ecuador terrestre, no puede estar situado sobre la vecrtical de un punto de Espaa, ni de ningn lugar fuera de la lnea ecuatorial. 6. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 6 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 9 El periodo de rotacion de la Tierra alrededor del Sol es un ao y el radio de la rbita es 1,51011 m. Si Jpiter tiene un periodo de aproximadamente 12 aos, y si el radio de la rbita de Neptuno es de 4,51012 m, calcula: a) El radio de la rbita de Jpiter. b) El periodo del movimiento orbital de Neptuno. Datos T = 1 ao = 3,2107 s roT = 1,51011 m TJ = 12 aos = 3,8108 s roN = 4,51012 m SOLUCIN a) La 3a ley de Kepler dice que los cuadrados de los periodos T de revolucion de los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los radios R de las orbitas (aproximadamente circulares). Aplicando esto a la Tierra y a Jupiter: b) Aplicando la misma ley entre la Tierra y Neptuno: 7. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 7 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 10 La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula: a) La velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra. b) El correspondiente periodo de rotacion en dias. Datos RT = 6 400 km = 6,4106 m rorb = 60 RT = 3,8108 m G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 MT = 5,981024 kg Como la unica fuerza sobre la Luna que actua es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, la Luna describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleracin slo tiene componente normal aN, Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, b) Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U. 8. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 8 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 11 Se desea poner en orbita un satelite artificial a una altura de 300 km de la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital que se le ha de comunicar al satelite. b) El periodo de rotacion. Datos: G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 RT = 6,38106 m MT = 5,981024 kg Sol: a) vO = 7,73 km/s; b) T = 1,50 horas El radio de la orbita vale: Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, Suponiendo que el satelite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, la aceleracion solo tiene componente normal aN, Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, b) Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U. 9. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 9 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 12 Europa, satelite de Jpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el radio de la rbita que describe es de 6,7105 km y su periodo de 3 dias, 13 horas y 13 minutos, calcula: a) La velocidad de Europa relativa a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Datos. G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 SOLUCIN a) b) Como la unica fuerza que actua sobre Europa es la fuerza gravitatoria que ejerce JpiterSuponemos que Europa describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleracin slo tiene componente normal aN, Despejando la masa M de Jupiter: 10. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 10 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 13 La menor velocidad de giro de un satlite en la Tierra, conocida como primera velocidad csmica, es la que se obtendria para un radio orbital igual al radio terrestre RT. Calcula: a) La primera velocidad csmica. b) El periodo de revolucin correspondiente. Datos: G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 RT = 6,38106 m MT = 5,981024 kg SOLUCIN Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, El satlite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleracin slo tiene componente normal aN, Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, b) Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U. 11. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 11 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 14 Un satelite artificial con una masa de 200 kg se mueve en una rbita circular la 5107 m sobre la superficie terrestre. a) Qu fuerza gravitatoria acta sobre el satlite? b) Cual es el periodo de rotacin del satlite? Datos: g0 = 9,81 m/s2 RT = 6 370 km SOLUCIN a) El radio de la orbita vale: Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacin universal ni de la masa de la Tierra, habr que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo mg0 es igual a la fuerza gravitatoria Por tanto, sustituyendo G MT por g0 RT 2 , en la expresion de la fuerza, b) Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, El satelite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleracion solo tiene componente normal aN, 12. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 12 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 15 Un satlite artificial describe una rbita circular de radio 2 RT en torno a la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital. b) El peso del satelite en la rbita si en la superficie de la Tierra pesa 5 000 N Datos: RT = 6 400 km G = 6,671011 Nm2 kg-2 g0 = 9,8 m / s2 SOLUCIN a) Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, el satlite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleracin solo tiene componente normal aN, Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacion universal ni de la masa de la Tierra, habr que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo mg0 es igual a la fuerza gravitatoria b) La nica fuerza que actua sobre el satelite es su peso, o sea, la atraccin gravitatoria de la Tierra. Por la ley de Newton de la gravitacin universal En la superficie de la Tierra: En la rbita de radio r: Dividiendo 13. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 13 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 16 Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra (dentro de un satelite artificial) en una rbita situada a 10 000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital y el periodo de rotacin. b) El peso del astronauta en esa rbita. Datos: g0 = 9,80 m/s RT = 6 400 km SOLUCIN a) El radio de la orbita vale: Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacin universal ni de la masa de la Tierra, habr que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo mg0 es igual a la fuerza gravitatoria b) La nica fuerza que acta sobre el astronauta es su peso, o sea, la atraccin gravitatoria de la Tierra. Por la ley de Newton de la gravitacin universal, en la rbita de radio r: 14. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 14 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 17 Un satlite artificial de 100 kg describe rbitas circulares a una altura de 6 000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) El tiempo que tarda en dar una vuelta completa. b) El peso del satlite a esa altura. Datos: g0 = 9,80 m/s2 ; RT = 6 400 km SOLUCIN Despejando la velocidad: Y teniendo en cuenta su relacin con el periodo: queda que el periodo es: b) Sustituyendo G MT por g0 RT2 , en la expresin de la fuerza gravitatoria, (peso) 15. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 15 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 18 Un satlite artificial de 500 kg describe una rbita circular alrededor de la Tierra con un radio de 2104 km. Calcula: a) La velocidad orbital y el perodo. b) La energa mecnica y la potencial. c) Si por friccin se pierde algo de energa, qu le ocurre al radio y a la velocidad? Datos g0 = 9,8 ms-2 ; RT = 6 370 km SOLUCIN El periodo orbital del satlite es el del movimiento circular uniforme de velocidad 4,46103 m/s. Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U. b) La energa mecnica es la suma de las energas cinetica y potencial. La energa potencial viene dada por: Y la energa cintica La energa total ser: c) La energa mecnica se puede expresar en funcin del radio de la rbita. Ya vimos antes que Despejando y sustituyendo m vorb 2 en la expresin de la energa mecnica, quedara 16. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 16 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Si disminuye la energa mecnica, (es ms negativa), el radio de la rbita tambin se hace ms pequeno, por lo que el satlite se acerca a la superficie de la Tierra. La velocidad, por el contrario, aumentar, pues su relacin con el radio puede obtenerse de la ecuacion anterior: y cuanto mas pequeno es el radio de la orbita mas grande es su velocidad. PROBLEMA 19 Se desea poner en rbita un satlite de 1800 kg que gire a razn de 12,5 vueltas por da. Calcula: a) El periodo del satlite. b) La distancia del satlite a la superficie terrestre. c) La energa cinetica del satlite en esa rbita. Datos: G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 ; RT = 6 378 km; MT = 5,981024 kg SOLUCIN a) El periodo es la inversa de la frecuencia: La altura ser: c) La velocidad del satlite en su rbita ser: 17. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 17 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y la energa cintica PROBLEMA 20 Un satlite artificial con una masa de 200 kg se mueve en una rbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad constante de 10 800 km/h. Calcula: a) A que altura est situado? b) Haz un grafico indicando que fuerzas actuan sobre el satelite y calcula la energia total Datos: g0 = 9,8 m/s2 RT = 6 370 km La altura ser: b) La energa mecnica vendr dada por la expresin: sustituyendo datos: 18. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 18 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 21 Se desea poner en rbita un satlite geoestacionario de 25 kg. Calcula: a) El radio de la rbita. b) Las energas cinetica, potencial y total del satlite en la rbita. Datos. G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 MT = 5,981024 kg SOLUCIN despejando el radio de la rbita b) De la ecuacin de v2 en funcin del radio de la rbita, se puede escribir para la energa cintica La energa mecnica es la suma de cintica y potencial y por tanto: 19. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 19 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 22 Los satlites Meteosat son satlites geoestacionarios (situados sobre el ecuador terrestre y con periodo orbital de un da). Calcula: a) La altura a la que se encuentran, respecto a la superficie terrestre. b) La fuerza ejercida sobre el satlite. c) La energa mecnica. Datos: RT = 6,38 106 m; MT = 5,98 1024 kg; msat = 8 102 kg; G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 La fuerza que ejerce la Tierra sobre el satlite es gravitatoria El clculo de la energa cintica sera: La energa total ser la suma de las dos: 20. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 20 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 23 Un satlite artificial de 300 kg gira alrededor de la Tierra en una rbita circular de 36 378 km de radio. Calcula: a) La velocidad del satlite en la rbita. b) La energa total del satlite en la rbita. Datos: g0 = 9,80 m/s2 RT = 6 378 km SOLUCIN PROBLEMA 24 Se lanza un proyectil verticalmente desde la superficie de la Tierra, con una velocidad inicial de 3 km/s. Calcula: a) Qu altura mxima alcanzar? b) La velocidad orbital que habr que comunicarle a esa altura para que describa una rbita circular. Datos. G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 RT = 6 370 km MT = 5,981024 kg SOLUCIN a) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, la energia mecanica del proyectil en el suelo sera la misma que la que tendra en el punto de altura maxima. En una primera aproximacion, se supone que el valor de la gravedad se mantiene constante entre ambos puntos gh = g0. Entonces: 21. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 21 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Tomando como origen de energia potencial el suelo, Ep (suelo) = 0, y sabiendo que en la altura maxima la velocidad sera cero Pero si calculamos el valor de la aceleracin de la gravedad a esa altura, en la que vemos que: por lo tanto, hay que utilizar la expresion de la energa potencial gravitatoria referida al infinito. Si EP () = 0 b) Como la nica fuerza sobre del satlite que acta es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, 22. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 22 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 25 a) Calcular el radio que deberia tener la Tierra, conservando su masa, para que la velocidad de escape fuese igual que la de la luz, c = 300.000 kms-1 (!extrano agujero negro!) b) Ante un colapso de este tipo .variar el periodo de rotacin de la Luna alrededor de la Tierra? Datos: G = 6,6710-11 Nm2 kg-2 RT = 6 370 km MT = 5,981024 kg SOLUCIN a) Para conseguir que un cuerpo "escape" de la atraccin gravitatoria, deberemos comunicarle una energa que permita situarlo en un punto en el que no est sometido a dicha atraccin. Esto ocurre a una distancia "infinita" del centro de la Tierra y en la que se cumple que ET = 0. Aplicando el principio de conservacion de la energa mecnica a ambos puntos (superficie terrestre e infinito) resultara: Despejando R'T y sustituyendo: El radio de este extrano agujero negro coincide con su horizonte de sucesos. De alguna manera tiene sentido un radio tan pequeno, aunque no pueda existir. Los agujeros negros pueden formarse por el colapso gravitatorio de estrellas mucho mayores que el Sol, en las que, una vez agotado el combustible nuclear (hidrogeno) cuya proceso de fusion nuclear equilibra la fuerza gravitatoria, sta provoca un colapso gravitatorio total, pasando por la compresin de los electrones hasta el interior del ncleo y la desaparicion de masa en una singularidad. Los radios de los horizontes de sucesos de esos agujeros negros originados por las estrellas tienen algunos kilmetros, pero tambin la masa de las estrellas que los producen es 106 veces mayor que la de la Tierra. b) No, puesto que el periodo orbital de un satlite alrededor de un astro no depende del radio del astro que crea el campo gravitatorio, slo de su masa, y esta no vara. Como la nica fuerza sobre la Luna que acta es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la Luna, Como la velocidad en un movimiento circular uniforme de radio r (M.C.U.) es: 23. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 23 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA que no depende del radio de la tierra. 24. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 24 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PROBLEMA 26 Las relaciones entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna son: MT/ML= 79,63 y RT/RL = 3,66. a) Calcula la gravedad en la superficie de la Luna. b) Calcula la velocidad de un satelite girando alrededor de la Luna en una rbita circular de 2 300 km de radio. c) Dnde es mayor el periodo de un pendulo de longitud L, en la Tierra o en la Luna? Datos: g0 = 9,80 ms-2 ; RL = 1 700 km SOLUCIN a) El peso de un objeto cerca de la superficie de la Tierra es la fuerza con la que la Tierra lo atrae: Analogamente, el peso de un objeto cerca de la superficie de la Luna es la fuerza con la que la Luna lo atrae: Dividiendo la primera ecuacion entre la segunda, queda: b) Como la unica fuerza sobre el satelite a tener en cuenta es la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna, Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacion universal ni de la masa de la Luna, habra que tener en cuenta que en la superficie de la Luna, el peso de un cuerpo mgL es igual a la fuerza gravitatoria 25. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 25 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Por tanto, sustituyendo GML por gLRL 2 , en la expresin de la velocidad, v y sustituyendo los datos, c) El periodo T de un pendulo de longitud L en un lugar donde la gravedad sea g viene dado por la ecuacion: Dividiendo las expresiones correspondientes a la Tierra y a la Luna: PROBLEMA 27 Un satlite artificial de 64,5 kg gira alrededor de la Tierra en una rbita circular de radio R = 2,32 RT. Calcula: a) El periodo de rotacin del satlite. b) El peso del satlite en la rbita. Datos: g0 = 9,80 m/s2 RT = 6 370 km SOLUCIN Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacin universal ni de la masa de la Tierra, habr que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo mg0 es igual a la fuerza gravitatoria a) Como la nica fuerza que acta sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce a Tierra, Despejando la velocidad 26. FSICA 2 BACHILLERATO UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL PROBLEMAS RESUELTOS 26 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA que queda: b) Sustituyendo G MT por g0 RT2 , en la expresion de la fuerza gravitatoria, (peso)