TEORÍA DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN GRAVITACIÓN

UNIVERSALUNIVERSAL

ÍNDICEÍNDICEINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

LEYES DE KEPLERLEYES DE KEPLER

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

FUERZAS CONSERVATIVAS.FUERZAS CONSERVATIVAS.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA.ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.CA.APLICACIONES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL AL MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.

Periodo de revolución y velocidad orbital.Velocidad de escape de un satélite.Lanzamiento de satélites. Energía y órbitas.Energía mecánica de un satélite.Cambio de órbita de un satélite.Satélites geoestacionarios

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Para Para NewtonNewton, , todos los movimientos todos los movimientos

que tienen lugar en el Universo están que tienen lugar en el Universo están regidos por las mismas leyes. regidos por las mismas leyes. Partiendo de esta hipótesis y Partiendo de esta hipótesis y apoyándose en las ideas de científicos apoyándose en las ideas de científicos como Ptolomeo, Copérnico, Brahe y como Ptolomeo, Copérnico, Brahe y Kepler, formuló la Kepler, formuló la Teoría de Teoría de Gravitación Universal.Gravitación Universal.

Ptolomeo: Ptolomeo: (100-170 d. C.) Defendió la (100-170 d. C.) Defendió la idea aristotélica de que la Tierra era idea aristotélica de que la Tierra era el centro del Universo. Todos los el centro del Universo. Todos los planetas, incluido el Sol, giraban planetas, incluido el Sol, giraban alrededor de ella. alrededor de ella. Teoría Teoría geocéntricageocéntrica..

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Nicolás Copérnico Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolla el (1473-1543) desarrolla el modelo modelo

heliocéntricoheliocéntrico. Según esta teoría, el Sol es el que está inmóvil y . Según esta teoría, el Sol es el que está inmóvil y todos los demás planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del todos los demás planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del Sol. Copérnico basó teoría en dos hipótesis:Sol. Copérnico basó teoría en dos hipótesis:- La revolución diaria de la Tierra alrededor de su eje.- La revolución diaria de la Tierra alrededor de su eje.- El movimiento anual de la Tierra alrededor del Sol.- El movimiento anual de la Tierra alrededor del Sol.Las ideas de Copérnico recibieron fuerte oposición, tanto de Las ideas de Copérnico recibieron fuerte oposición, tanto de carácter científico como eclesiástico. Hacía el año 1530 Copérnico carácter científico como eclesiástico. Hacía el año 1530 Copérnico publicó un resumen en el que explicaba su modelo astronómico y publicó un resumen en el que explicaba su modelo astronómico y en 1543 se imprime su libro en 1543 se imprime su libro De revolutionibus orbitum caelestiumDe revolutionibus orbitum caelestium

Tycho Brahe (1546-1601) es el primer astrónomo moderno que registró detalles precisos acerca de los movimientos planetarios. El sistema del Universo que presenta Tycho es una transición entre la teoría geocéntrica de Ptolomeo y la teoría heliocéntrica de Copérnico. En la teoría de Tycho, el Sol y la Luna giran alrededor de la Tierra inmóvil, mientras que Marte, Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno girarían alrededor del Sol. Trató de perfeccionar el sistema geocéntrico, situando la Tierra en el centro del Universo.

LEYES DE KEPLERLEYES DE KEPLER Kepler Kepler , en 1609, enuncia sus tres famosas leyes empíricas que , en 1609, enuncia sus tres famosas leyes empíricas que

rigen el movimiento de los astros.rigen el movimiento de los astros.1ª. Ley de las Órbitas.1ª. Ley de las Órbitas.

Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

2ª. Ley de las Áreas.2ª. Ley de las Áreas. El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es directamente proporcional al tiempo empleado en barrerla. es directamente proporcional al tiempo empleado en barrerla.

3ª. Ley de los Periodos.3ª. Ley de los Periodos.Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas órbitas.a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas órbitas.

TT1122 / r / r11

33 = T = T2222 / r / r22

33

LEY DE LA LEY DE LA GRAVITACIÓN GRAVITACIÓN UNIVERSAL.UNIVERSAL. A partir de la leyes enunciadas por Kepler, A partir de la leyes enunciadas por Kepler, Newton Newton dedujodedujo lala Ley de Ley de

la Gravitación Universal:la Gravitación Universal:““Dos cuerpos se atraen mutuamente con una fuerza Dos cuerpos se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.sus centros.””

La constante de proporcionalidad, G, tiene un valor de 6,67 . 10 La constante de proporcionalidad, G, tiene un valor de 6,67 . 10 -11-11 NmNm22kgkg-2-2

G es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg cada una cuando G es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg cada una cuando están situadas a 1 m de distancia. están situadas a 1 m de distancia.

El valor de G fue calculado experimentalmente por H. Cavendish en El valor de G fue calculado experimentalmente por H. Cavendish en 1798 mediante una balanza de torsión.1798 mediante una balanza de torsión.

221

r

mmGF

LEY DE LA LEY DE LA GRAVITACIÓN GRAVITACIÓN UNIVERSAL.UNIVERSAL. El peso de los cuerpos es un caso particular de la Ley de El peso de los cuerpos es un caso particular de la Ley de

Gravitación Universal. Gravitación Universal.

La fuerza con que la Tierra atrae a una masa es:La fuerza con que la Tierra atrae a una masa es:

Esta fuerza recibe el nombre de Esta fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo peso del cuerpo que, como que, como sabemos, viene dado por la expresión sabemos, viene dado por la expresión

de donde se deduce que la expresión de de donde se deduce que la expresión de

la intensidad del campo gravitatorio terrestre.la intensidad del campo gravitatorio terrestre.

2r

MmGF

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MGg

Naturaleza central de la Naturaleza central de la fuerza gravitatoriafuerza gravitatoria

La fuerza que actúa sobre un cuerpo se denomina central La fuerza que actúa sobre un cuerpo se denomina central cuando está continuamente dirigida hacía un mismo cuando está continuamente dirigida hacía un mismo punto y el valor depende exclusivamente de la distancia punto y el valor depende exclusivamente de la distancia desde el cuerpo hasta dicho punto.desde el cuerpo hasta dicho punto.

Momento de la fuerza Momento de la fuerza gravitatoriagravitatoria

Momento angularMomento angular

Conservación del Conservación del momento angularmomento angular

Consecuencias de la Consecuencias de la conservación del momento conservación del momento angularangular

FUERZAS FUERZAS CONSERVATIVAS.CONSERVATIVAS.

““Una fuerza es conservativa si el trabajo total Una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre un cuerpo, cuando éste describe realizado sobre un cuerpo, cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero”. una trayectoria cerrada, es cero”.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa no El trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende del camino seguido, y si depende de las depende del camino seguido, y si depende de las posiciones inicial y final.posiciones inicial y final.

Ejemplos de fuerzas conservativas: Ejemplos de fuerzas conservativas:

La fuerza recuperadora de un muelle F = - KxLa fuerza recuperadora de un muelle F = - Kx

La fuerza gravitatoria F = G M m/ rLa fuerza gravitatoria F = G M m/ r22

La energía potencial es una magnitud característica La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas conservativas, cuya disminución de las fuerzas conservativas, cuya disminución mide el trabajo realizado por este tipo de fuerzas. mide el trabajo realizado por este tipo de fuerzas. La energía potencial se representa por U o Ep.La energía potencial se representa por U o Ep.

La fuerza gravitatoria es conservativa. Por La fuerza gravitatoria es conservativa. Por consiguiente, lleva asociada una energía consiguiente, lleva asociada una energía potencial.potencial.

ENERGÍA POTENCIAL ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.GRAVITATORIA.

La energía potencial se obtiene de integral la La energía potencial se obtiene de integral la fuerza gravitatoria en función de la fuerza gravitatoria en función de la distancia. distancia.

La expresión simboliza la energía potencial La expresión simboliza la energía potencial gravitatoria porque representa el trabajo gravitatoria porque representa el trabajo realizado por una fuerza conservativarealizado por una fuerza conservativa

- A cada posición relativa de dos masas corresponde A cada posición relativa de dos masas corresponde una energía potencial.una energía potencial.

- En el infinito la energía potencial es nula.En el infinito la energía potencial es nula.- La energía potencial gravitatoria es siempre negativa. La energía potencial gravitatoria es siempre negativa.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía potencial. igual a la disminución de la energía potencial.

- Cuando dos cuerpos se aproximan, la energía Cuando dos cuerpos se aproximan, la energía potencial del sistema disminuye y si se separan la potencial del sistema disminuye y si se separan la energía potencial aumenta.energía potencial aumenta.

La unidad es el julio.La unidad es el julio.

r

MmGEP

ENERGÍA POTENCIAL ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.GRAVITATORIA.

Energía asociada a un sistema formado por la Tierra y Energía asociada a un sistema formado por la Tierra y un cuerpo cualquieraun cuerpo cualquiera

Cuando un cuerpo se encuentra a una Cuando un cuerpo se encuentra a una distancia del distancia del centro de la Tierracentro de la Tierra posee Ep. posee Ep.

Donde R es el radio de la Tierra y h la altura a la que se Donde R es el radio de la Tierra y h la altura a la que se encuentra el cuerpo.encuentra el cuerpo.

Si R >>> h la expresión de la energía potencial queda Si R >>> h la expresión de la energía potencial queda de esta manera:de esta manera:

hR

MmGEP

mghEP

ENERGÍA POTENCIAL ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.GRAVITATORIA.

Para aplicar correctamente la fórmula anterior Para aplicar correctamente la fórmula anterior hay que tener en cuenta:hay que tener en cuenta:

- Que representa variaciones de energía Que representa variaciones de energía potencial. Es necesario establece un nivel de potencial. Es necesario establece un nivel de referencia.referencia.

- La energía potencial se mide en julios, en el La energía potencial se mide en julios, en el SI. Y para la gravedad se toma g = 9,8 m/sSI. Y para la gravedad se toma g = 9,8 m/s22

- La variación de energía potencial entre dos La variación de energía potencial entre dos puntos puede ser positiva o negativa.puntos puede ser positiva o negativa.

- Solamente es válida para desplazamientos Solamente es válida para desplazamientos pequeños comparados con el radio terrestre.pequeños comparados con el radio terrestre.

mghEP

ENERGÍA POTENCIAL ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICAELÁSTICA

La energía potencial elástica es propia de los La energía potencial elástica es propia de los cuerpos elásticos. Todo cuerpo elástico almacena cuerpos elásticos. Todo cuerpo elástico almacena energía cuando experimenta alguna deformación.energía cuando experimenta alguna deformación.

Indica el trabajo necesario para deformar los cuerpos Indica el trabajo necesario para deformar los cuerpos venciendo una fuerza recuperadora conservativa.venciendo una fuerza recuperadora conservativa.

La integral de la fuerza elástica ( F = - kx ) para una La integral de la fuerza elástica ( F = - kx ) para una distancia cualquiera da la energía potencial elástica.distancia cualquiera da la energía potencial elástica.

La constante k indica el grado de elasticidad, recibe el La constante k indica el grado de elasticidad, recibe el nombre de constante elástica y se mide en N/m.nombre de constante elástica y se mide en N/m.

La energía potencial elástica es siempre positiva. Es La energía potencial elástica es siempre positiva. Es decir, un resorte siempre almacena energía, tanto si decir, un resorte siempre almacena energía, tanto si se alarga como si se comprime.se alarga como si se comprime.

2

2

1kxEe

CONSERVACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.ENERGÍA MECÁNICA.

FUERZAS CONSERVATIVASFUERZAS CONSERVATIVAS ““Si sobre un cuerpo solamente actúan fuerzas Si sobre un cuerpo solamente actúan fuerzas

conservativas, como gravitatorias y elásticas, la conservativas, como gravitatorias y elásticas, la energía mecánica del sistema permanece constante.” energía mecánica del sistema permanece constante.” Es el principio de conservación de la energía Es el principio de conservación de la energía mecánica.mecánica.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS.FUERZAS NO CONSERVATIVAS. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es

igual a la variación de la energía mecánica.igual a la variación de la energía mecánica.

PCm EEE

1,2, mmr EEW

MOVIMIENTO DE SATÉLITES MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.Y PLANETAS.

La ley de Gravitación Universal permite determinar aspectos de los La ley de Gravitación Universal permite determinar aspectos de los movimientos de los cuerpos celestes, como velocidad orbital, movimientos de los cuerpos celestes, como velocidad orbital, periodo de revolución, energía de un satélite y la masa de un periodo de revolución, energía de un satélite y la masa de un planeta.planeta.

A – Periodo de revolución y velocidad orbitalA – Periodo de revolución y velocidad orbitalPara que un satélite gire en una órbita debe estar Para que un satélite gire en una órbita debe estar sometido a una fuerza centrípeta y esta fuerza sometido a una fuerza centrípeta y esta fuerza centrípeta la suministra la atracción gravitatoria se centrípeta la suministra la atracción gravitatoria se igualan la fuerza gravitatoria y la centrípeta:igualan la fuerza gravitatoria y la centrípeta:

rr = R = RTT + h + h

Velocidad orbital Velocidad orbital

Periodo de revoluciónPeriodo de revolución

r

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mMG T

2

2

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3

22

MOVIMIENTO DE SATÉLITES MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.Y PLANETAS.

B – Velocidad de escape de un coheteB – Velocidad de escape de un cohete..Para conseguir que un cohete lanzado desde la Para conseguir que un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio de ésta, habrá que comunicarle una gran velocidad.de ésta, habrá que comunicarle una gran velocidad.

Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima de Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima de lanzamiento de un cohete para que éste pueda lanzamiento de un cohete para que éste pueda escapar de la atracción terrestreescapar de la atracción terrestre

Aplicando el principio de conservación de la energía Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica se obtiene la velocidad de lanzamiento mecánica se obtiene la velocidad de lanzamiento para que el cohete abandone el campo gravitatorio para que el cohete abandone el campo gravitatorio que coincide con la velocidad de escapeque coincide con la velocidad de escape

ToT

Te

T

Te Rg

R

GMv

R

mMGmv 2

20

2

1 2

VELOCIDAD DE ESCAPEVELOCIDAD DE ESCAPE La velocidad de escape es independiente de la masa La velocidad de escape es independiente de la masa

del objeto.del objeto.

Si la velocidad de lanzamiento es mayor que la Si la velocidad de lanzamiento es mayor que la velocidad de escape, la energía mecánica es mayor que velocidad de escape, la energía mecánica es mayor que cero, y el cohete llegará a una distancia infinita.cero, y el cohete llegará a una distancia infinita.

Si la velocidad de lanzamiento es menor que la Si la velocidad de lanzamiento es menor que la velocidad de escape, el cuerpo quedará ligado al velocidad de escape, el cuerpo quedará ligado al campo gravitatorio.campo gravitatorio.

La velocidad de escape depende de la posición del La velocidad de escape depende de la posición del punto de lanzamiento. punto de lanzamiento.

MOVIMIENTO DE MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.SATÉLITES Y PLANETAS.

C - Lanzamiento de satélites. Energía y C - Lanzamiento de satélites. Energía y órbitas.órbitas.

El lanzamiento del primer satélite fue en El lanzamiento del primer satélite fue en 1957.1957.

La velocidad orbital de un satélite se deduce La velocidad orbital de un satélite se deduce de igualar la fuerza gravitatoria y la de igualar la fuerza gravitatoria y la centrípeta. centrípeta.

El tipo deEl tipo de órbita depende de la velocidad de órbita depende de la velocidad de lanzamientolanzamiento

D - Energía de un satélite en una D - Energía de un satélite en una órbita.órbita.

La energía que tiene un satélite en órbita es La energía que tiene un satélite en órbita es la energía mecánica (cinética + potencial)la energía mecánica (cinética + potencial)

hR

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2

1

MOVIMIENTO DE MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS.SATÉLITES Y PLANETAS. E - Cambio de órbita de un satélite.E - Cambio de órbita de un satélite.

Hay que suministrar energía a un satélite Hay que suministrar energía a un satélite para pasar de una órbita inicial a otra final.para pasar de una órbita inicial a otra final.

F - Satélites geoestacionarios.F - Satélites geoestacionarios.

Se llaman así porque siempre están sobre Se llaman así porque siempre están sobre el mismo punto de la superficie de la Tierra. el mismo punto de la superficie de la Tierra. Coincide el periodo de la órbita con el periodo Coincide el periodo de la órbita con el periodo de revolución de la Tierrade revolución de la Tierra

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