Ley de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación Universal

Copérnico logró brindar unadescripción simple ycorrecta donde considera alsol como centro delmovimiento

Kepler tomó enconsideración estas ideas ydescubrió sus leyes delmovimiento planetario

1.- Todos los planetas se mueven en órbitas elípticascon el sol en uno de sus puntos focales.

2.- El vector posición de cualquier planeta respecto alsol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales(ley de las áreas).

3.- El cuadrado del período orbital de cualquierplaneta es proporcional al cubo de las distanciaspromedio de los planetas al sol. (P2 = k r3 ).

De acuerdo a la segunda ley, se puede deducir que lafuerza asociada con la gravitación universal, es central, talque dicha fuerza actúa a lo largo de la línea que une los doscuerpos interactuantes, de masas m y m’ , varía con elcuadrado de la distancia que los separa, pudiéndoseexpresar como:

2

'

r

mmGF =

, donde G es la constante de gravitación universalG = 6, 67 x 10 –11 Nm2/Kg 2

Newton a fin de comprobar laecuación anterior hizo un cálculode la aceleración centrípeta de laluna respecto de la tierra, asítenemos:

Si la aceleración de la luna a la tierra(aceleración centrípeta) es proporcional a la leydel inverso del cuadrado de la distancia , rL esla distancia Luna-tierra y la aceleración que seejerce sobre un cuerpo por atracción de la

tierra es , donde Rr = radio de la tierra;empleando rL= 3,84 x 108 m y RT = 6,37 x 106 m.

21

Lr

21

rR

La razón existente la aceleración de la luna al a laaceleración del cuerpo atraído por la tierra, g, es:

1/1070,21075,21

1

2342

2

2

smxaxr

R

R

r

g

aL

L

T

T

LL −− =⇒=

=

=

Desde el punto de vista de la cinemática:El período orbital de la luna T = 27, 32 días = 2, 36 x 10 6 s.En un tiempo T la luna recorre una distancia 2π rL, luegosu aceleración centrípeta es:

2/1072,2

442

23

2

2

2

22

2

2

smxa

T

r

Tr

r

rT

r

r

va

L

L

L

L

L

L

LL

−=

==

==

RT

aL

rL

g

Tierra

Luna

v

Energía PotencialGravitacionalEnergía PotencialGravitacional

F

v

m’

OF

v

mO

A

Conociendo que la fuerza gravitacional es deltipo central y conservativa, supongamos lainteracción entre las masas m y m’, tal que m’ seencuentre en el origen y atraiga a m.

2''

)(

1'

20

'

2

2

r

mmGdr

r

mmGdG

r

FPero

ur

mmGF

r

r

mm

vaconservatifuerzaPara

−==⇒−=∂∂⇒

−∇=

−=

∫∫∞

( )∞→rr

mmG

'−=

Se asigna potencial cero para distanciasmuy grandes , luego el potencial delsistema de masas m y m’ es:

La energía cinética de dospartículas expresada en funciónde su masa reducida es

32

1 212vEk =

21

21

mm

mm

+=

luego su energía total es:

4'

2

1 212 r

mmGvE −=

Para el caso en que m’ >>m; entonces ∞→'m,

luego 5

'

'

'

'

'

m

m

m

m

mm

mm

≅+

=

reemplazando 5 en 4: 6'

2

1 2

r

mmGvmE −=

En el caso que la partícula semueva en órbita circular, lafuerza actuante sobre la masa es:

=

⇒==

2

2

2

2 '

2

1

2

1'

r

mmG

r

vm

r

mmG

r

vmFN

72

''2

'

,2

'21 2

r

mmGE

r

mmG

r

mmGEluego

r

mmGvm

−=⇒−=

=⇒

Analizando la ecuación 7, tenemos:

Si E<0.- Las órbitas son elípticas o cerradas, lo cual implicaque su energía cinética no es suficiente en ningún puntode la órbita para llevar a la partícula al infinito, si en la

ecuación 6 , ésta no puede ser satisfecha si E<

0.∞→r

mE

0E<0

Ek

r

r

mmG

'−=

m

EvvmEvvyr

2

2

1 2 =⇒=⇒=∞→ ∞∞∞

m

m’

Ek

E > 0E

φ

r

Si E>0.- La partícula puede llegar al infinito y tener Ek,en la ecuación 6 si

esto significa que si la partícula m está a una distanciamuy grande de m’ y se le arroja con velocidad v∞ óvelocidad de aproximación, entonces mientras m seaproxima a m’ su energía potencial disminuyeaumentando su Ek hasta el punto de máximaproximidad. Su trayectoria está formada por curvasabiertas (hipérbolas)

Si E = 0.- La partícula está en reposo en elinfinito, pues v∞ = 0, su órbita es unaparábola.

m

m’

E = 0

Ek

rEφ