LCE Clase3

2.1.2. La Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

Las seales transitorias pueden verse como seales peridicas con un

perido infinito. As es posible desarrollar un anlisis en frecuencia para

seales transitorias a partir de de las series de Fourier para seales

peridicas. Una seal x(t) peridica o no, puede representarse en el

intervalo (-Tp/2,Tp /2) mediante:

Reconociendo que F0=1/Tp es el incremento en frecuencia entre armnicas

sucesivas, definimos F=F0 y escribimos las ecuaciones anteriores como:

k

tkFj

k

T

T

tkFj

k

ectx

dtetxFc

p

p

0

0

2

2

2

2

0

BUAP


Si ahora hacemos que el perido Tp tienda al infinito, el incremento entre

armnicas F tiende a un diferencial de frecuencia dF, la variable discreta kF0 tiende a la variable continua F y los coeficientes de Fourier

normalizados tienden a una funcin continua que definimos

como X(F). Con esto, las frmulas de las series de Fourier pueden

aproximarse con las siguientes integrales infinitas:

FeF

ctx

dtetxF

F

F

c

k

tkFjk

T

T

tkFjk

p

p

0

0

2

2

2

2

Fck

BUAP


X(F) al igual que los coeficientes de las series de Fourier puede verse como

una representacin equivalente de x(t) . Las relaciones anteriores entonces

representan un par de transformaciones reversibles que se conocen

respectivamente por la transformada y transformada inversa de Fourier.

Estas se representan por:

Adicionalmente, la relacin entre una seal x(t) y su transformada de

Fourier X(F) tambin se representa mediante:

dFeFXtx

dtetxFX

Ftj

Ftj

2

2

FXtx

txFX

1

FXtx

BUAP


En funcin de la frecuencia angular , la transformada y

transformada inversa de Fourier son:

Las integrales infinitas de la transformada de Fourier convergen si la seal

x(t) cumple con las condiciones de Dirichlet. Esencialmente estas

requieren que:

a) La seal x(t) tenga un nmero finito de discontinuidades

b) La seal x(t) tenga un nmero finito de mximos y mnimos

c) La seal x(t) sea absolutamente integrable, esto es:

F2

deXtx

dtetxX

tj

tj

2

1

dttx

BUAP


Una condicin ms dbil es que la seal tenga energa finita, esto es:

Aunque las condiciones de Dirichlet son suficientes para garantizar la

existencia de la transformada, no son necesarias; esto quiere decir que hay

seales que tienen una transformada de fourier y no satisfacen estas

condiciones.

Por ejemplo, la seal:

Satisface la condicin de poseer energa finita, pero no es absolutamente

integrable. Esta seal tiene una transformada de Fourier:

dttx2

t

ttx

2

2sen

10

11

F

FFX

BUAP


Propiedades de Simetra de la Transformada de Fourier. Si

a)

b)

c)

d) Si la funcin en el tiempo tiene simetra par entonces

X(F) es puramente real.

e) Si la funcin en el tiempo es asimetrica entonces X(F)

es puramente imaginaria.

f) Si x(t) es una funcin real la transformada es simtrica par X(-F) =

X*(F)

g) Si x(t) es una funcin real y par la transformada tambin lo ser.

h) Si x(t) es una funcin real e impar la transformada X(F) es imaginaria e

impar.

Todas estas propiedades se resumen como sigue:

FXtx

FXtx FXtx **

FXtx ** txtx *

txtx *

BUAP


Par

Impar

Par

Impar

Impar

Par

Impar

Par

Real

Imaginaria

Seal Espectro

Real

Imaginaria

Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia

BUAP


Comprobacin de las propiedades de simetra b) y d)

Propiedad b). La transformada de Fourier de x*(t) es:

Propiedad d). Si , entonces:

FXdtetxdtetxtx tFjFtj

*

*

22**

txtx *

dtetbjdtetadtetxFX

dtetbjdtetadtetxFX

FtjFtjFtj

FtjFtjFtj

22

*

2

222

*

BUAP

BUAP


0

anterior ecuacin laen

requiere se

*

donde

*

que para porque Esto

2

22

dtetb

dtetadteta

tbtb

tata

tjbtatx

tjbtatx

tjbtatx

txtx

Ftj

FtjtFj


Densidad Espectral de Energa de Seales Transitorias

Suponga una seal de energa finita x(t) con transformada de Fourier X(F).

Su energa est dada por:

Esta integral puede expresarse en trminos de X(F) como sigue:

dttxEx

2

dFFXdFFXFXdFdtetxFXE

dtdFeFXtxdttxtxdttxE

Ftj

x

Ftj

x

2*2*

2**2

BUAP


Por lo tanto, podemos concluir que:

Que se conoce como el teorema de la energa o la relacin de Parseval

para seales transitorias de energa finita. Este resultado expresa la

conservacin de la energa en ambos dominios.

El espectro X(F) de la seal es en general un valor complejo. En

consecuencia se puede expresar en su forma polar como sigue:

Donde | X(F) | es la magnitud del espectro y es la fase del espectro.

Por otro lado la cantidad:

representa la distribucin de energa en la seal como una funcin de la

frecuencia y se conoce como la densidad espectral de energa.

dFFXdttx22

FjeFXFX

F

2FXFSXX

BUAP


La integral de SXX(F) sobre todas las frecuencias da la energa total en la

seal, es decir:

De aqu se observa que el espectro de densidad de energa no contiene

ninguna informacin relacionada con la fase de la seal, SXX(F) es

puramente real y no-negativo por lo que resulta imposible reconstruir la

seal a travs de el.Por lo tanto se tiene que:

Teoremas y Propiedades de la Transformada de Fourier

En esta seccin considere dos seales x(t) y y(t) y sus respectivas

transformadas de Fourier:

dFFSFF

F

XX1

1

FSFS XXXX

y FYtyFXtx

BUAP


a) Linealidad

b) Dualidad

c) Corrimiento, Multiplicacin por exponencial.

d) Escalamiento

FbYFaXtbytax

FxtX

porque

222

0

2

2

0

eFXdueuxdteatx

FFXetx

eFXatx

FajauFj

-

Ftj

-

tF-j

Fa-j

1

aFXa

atx

BUAP


e) Teorema de modulacin: Translacin en la frecuencia

Tarea 3: Probar el teorema de modulacin.

000

000

2

12sen

2

12cos

FFXFFXj

tFtx

FFXFFXtFtx

-B 0 B

|X(F)|

|X(F+F0)| |X(F-F0)|

-F0-B -F0 -F0+B F0-B F0 F0+B

BUAP


Pares de Transformadas tiles

a) Pulso rectangular

b) Funcin sinc

c) Pulso triangular

d) Pulso Gaussiano

e) Exponencial asimtrico

f) Exponencial simtrico

Ejercicios: Serie 3

sinc FtP

sinc FPt

sinc2 Ft

22 Ft ee

2

1

Fjatue at

2

222 Fa

ae

ta

BUAP

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