Las Matemáticas:Las Matemáticas:

Herramienta fundamental Herramienta fundamental en el Análisis Económicoen el Análisis Económico

Profesor: Max Garza Valle

Alumno: Manuel Vélez Gallardo

ITESM Noviembre 2005

AntecedentesAntecedentes

Economía como ciencia: siglo XVIIIEconomía como ciencia: siglo XVIII

Aplicación matemática: fines de siglo XIXAplicación matemática: fines de siglo XIX

Apéndices matemáticos: Libros de Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc.Economía del Bienestar, etc.

Usos específicosUsos específicos

Funciones Lineales y No LinealesFunciones Lineales y No Lineales Cálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e Integral Interpretación de Gráficas. Diagramas de Interpretación de Gráficas. Diagramas de

Dispersión. Dispersión. ElasticidadesElasticidades Relaciones de productividad, rendimientos Relaciones de productividad, rendimientos

y costos.y costos. Utilidad, Producción y Mercados.Utilidad, Producción y Mercados. Multiplicador de LagrangeMultiplicador de Lagrange MatricesMatrices

FuncionesFunciones

Desde antes del siglo XX y en el XXI, Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente oferta con la variable independiente en el eje Y.en el eje Y.

P

Q

En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.

Pendiente de una RectaPendiente de una RectaP = 12 + (-1/2)q; m= -1/2

Y = a + mx; en Economía

P = 12 + (-1)q; m = -1 la pendiente =-1 ó -1/2Para la Oferta (roja) = 1

P

Q12

12

P

Q12

6

12

12

XXYY

XY

m

Pendiente en una CurvaPendiente en una Curva

En este caso, para encontrar la En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta.la pendiente de la recta.P

Q50

10

b

La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.

Posibilidades de ProducciónPosibilidades de Producción

De acuerdo con la Ley de De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David RicardoCrecientes de David Ricardo

A

B1 2 3 4 5

200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A.

Costo de Oportunidad

ElasticidadesElasticidades

Usando el término de pendiente podemos Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de comprender los conceptos de elasticidad de la demanda.la demanda.

P

Q60

12

Elasticidad Precio-Demanda

Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.

QP

PQ

PP

QQ

QP

PQ

Ed

%%

ElasticidadesElasticidades

Para P = 12; la EPara P = 12; la Edd = ∞…¿Por qué? = ∞…¿Por qué?

Para P = 6; la EPara P = 6; la Edd = -1 …¿Por qué? = -1 …¿Por qué?

Para P = 0; la EPara P = 0; la Edd = 0 …¿Por qué? = 0 …¿Por qué?

P

Q60B

12A

Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de Ed) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞∞, y ∞∞*®=∞∞

Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=00, y 0®=0

ElasticidadesElasticidades

De igual manera la economía se interesa De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).(elasticidad ingreso).

x

y

y

xxy Q

P

PQ

E

QI

IQ

EI

ProducciónProducción

En economía se analiza el tema de En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable rendimientos de un factor variable (Trabajo L).(Trabajo L).–CrecientesCrecientes–ConstantesConstantes–DecrecientesDecrecientes

ProducciónProducción

Q = 80L + 240LQ = 80L + 240L2 2 – 4L– 4L33

Q = unidades producidasQ = unidades producidas

L = cantidad de trabajoL = cantidad de trabajo

En todo proceso productivo de corto plazo, En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos rendimientos marginales y absolutos decrecientes.decrecientes.

ProducciónProducción

Todo proceso productivo se caracteriza por Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos:revelar tres etapas de rendimientos:– Rendimientos Crecientes: La producción Rendimientos Crecientes: La producción

aumenta en mayor proporción que el aumenta en mayor proporción que el trabajo. El trabajo. El ∆Q > ∆L ∆Q > ∆L

– Rendimientos Constantes: El Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L ∆Q = ∆L – Rendimientos Decrecientes: El Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L∆Q < ∆L

Entonces se utiliza el cálculo diferencial y Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos: puntos máximos:

ProducciónProducción

PMg = PMg = ∆Q/∆L =∆Q/∆L = dQ / dL dQ / dL PMe = Q/LPMe = Q/L

Usando estos dos conceptos que Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con funciones gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y después que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos.puntos máximos.

ProducciónProducción Q = 20L + 60LQ = 20L + 60L2 2 – L– L33

PMe = 20 + 60L – LPMe = 20 + 60L – L22

PMg = 20 + 120L – 3LPMg = 20 + 120L – 3L22

El PMg es máximo cuando su derivada = El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; 0; 120 – 6L = 0; L = 20.L = 20.

El PMe es máximo cuando su derivada es El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1)L = 30. (fin de etapa 1)

Q es máxima cuando Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa).es el fin de la segunda etapa).

Para L > 40; los rendimientos de la Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional.decrecientes. Es ineficiente o irracional.

Teoría de la DemandaTeoría de la Demanda

Utilidad Total = Utilidad Total = U = U = ff(x,y)(x,y) = 20= 20 Utilidad Marginal de X, UMgX = Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Q∆U/∆Qxx

Utilidad Marginal de Y, UMgY = Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Q∆U/∆Qyy

Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional.utilidad que brinda una unidad adicional.

Curvas de IndiferenciaCurvas de Indiferencia

U = 20

U = 40

U = 60

U = 80

X

Y

El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular).

A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.

OptimizaciónOptimización

El consumidor maximiza su utilidad El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto.igual a su recta de presupuesto.

Ingreso = XPIngreso = XPx x + YP+ YPyy

Ejemplo: Ejemplo: I = 240; PI = 240; Px x = 40; P= 40; Py y = 20= 20

X = I/PX = I/Pxx; Y = I/P; Y = I/Pyy

Recta de PresupuestoRecta de Presupuesto El consumidor puede maximizar el El consumidor puede maximizar el

nivel de utilidad, en cualquier punto nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto.de su recta de presupuesto.

I/py

I/px

YY

X

OptimizaciónOptimización

El consumidor maximiza su utilidad El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia.de una curva de indiferencia.

La TMSLa TMSxyxy = UMgX / UMgY = UMgX / UMgY

La pendiente de la recta es: PLa pendiente de la recta es: Pxx/P/Pyy

Optimización: UMgX / UMgY = POptimización: UMgX / UMgY = Pxx/P/Pyy

(pendiente de las (pendiente de las curvas)curvas)

Optimización de la UtilidadOptimización de la Utilidad

U = 20

U = 40

U = 60

U = 80

X

Y

Optimización de la UtilidadOptimización de la Utilidad

El consumidor siempre desea El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad.le restringen su nivel d utilidad.

TMSxy = UMx/UMy = Px/pyTMSxy = UMx/UMy = Px/py

Multiplicadores LagrangeMultiplicadores Lagrange

Los multiplicadores Lagrange son muy Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción.utilidad y de producción.

0)(

0)()(

0)()(

)()(

rKwLQ

rKKLF

KQ

wLKLF

LQ

gastorKwLKLFQL

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.

Optimización de UtilidadOptimización de Utilidad

De manera similar podemos maximizar De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange:una función de utilidad usando Lagrange:

0)(

0)()(

0)()(

)()(

IngyPyxPxU

PyYXYF

YU

PxXXYF

XU

IngyPyxPxXYFUL

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.

Matrices y Álgebra LinealMatrices y Álgebra Lineal

Es muy utilizado el sistema de Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o existencia de convexidad o concavidad en las funciones de concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización.suficiencia en la optimización.

ConclusionesConclusiones

Las Matemáticas son fundamentales Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud.economía con rapidez y exactitud.

La competitividad y habilidad de todo La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos mayor conocimiento de métodos cuantitativos.cuantitativos.

ConclusionesConclusiones

Se necesita de habilidad y cierta imaginación para Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos.solución de problemas económicos.

Se facilita la comprensión de un modelo Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones matemáticas, la lógica y representaciones gráficas.gráficas.

Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente.lógica y eficiente.

Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.y usarlas siempre que sea necesario.