Sistema de Medida Angular Razones TrigonométricasIdentidades Trigonométricas

SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR

La trigonometría es parte de matemática.

Etimológicamente, la palabra trigonométricas proviene

delas palabras griegas gonos (ángulo), trío (tres) y

metrom (medida), de lo que puede deducir que trata de

la medida de los triángulos.

La medida de las distancias largas ha sido uno

de los problemas que el hombre ha buscado resolver

con ayuda de la matemática. La geometría ha resuelto

en parte este problema. El aporte de la trigonometría ha

sido fundamental en la resolución del problema sobre la

medición de distancia, por que ha establecido una

relación entre el ángulo y la longitud.

Aparte de la medición de distancia, las

funciones trigonométricas han logrado modelar una

serie de fenómenos de carácter periódico, como la

corriente eléctrica, los latidos del corazón, la vibraciones

del sonido, de las ondas sísmicas, la luz etc.

ÁNGULO TRIGONOMETRICO

El ángulo trigonométrico se genera por la

rotación de un rayo alrededor de su origen (llamado

vértice) desde una posición inicial (llamado lado inicial)

hasta una posición final (llamado lado final)

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

La medición de un ángulo requiere de otro

ángulo como unidad de medida. La unidad de medida

angular se ha establecido principalmente con dos

criterios dividiendo el ángulo de una vuelta en partes

iguales y utilizando la relación del arco con el radio de

la circunferencia.

A continuación veremos tres sistema de

medición angular.

1.- SISTEMA SEXAGESIMAL:

Denominado también Sistema Ingles, este

sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene

al dividir al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales,

a esta unidad se llama Grado Sexagesimal cuya

medida se representa así 1o

Equivalencias:

1 vuelta < > 360°

1° < > 60' < > 3600 "

1' < > 60"

2.- SISTEMA CENTESIMAL

Denominado también Sistema Francés este

sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene

al dividir al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales,

a esta unidad se le llama Grado Centesimal cuya

medida se representa así 1g

Equivalencias:

1 vuelta < > 400 g.

1 g. < > 100m. < > 10,000 s

1 m < > 100 s.

3.- SISTEMA RADIAL

Denominado también Sistema Circular o

también Sistema Internacional este sistema tiene

como unidad a un ángulo cuyo vértice esta en el centro

de una circunferencia y que subtiende a un arco cuya

longitud es igual al radio de dicha circunferencia.

270

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR - RAZONES TRIGONOMÉTRICASIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO X

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de :

Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas. Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia y sus diversas

aplicaciones. Determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonometrica. Clasificar las identidades fundamentales. Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta

B

AO

LADO FINAL

LADO INICIAL

ORIGEN

A esta unida se llama RADIAN cuya medida se

representa así 1 rad.

1 vuelta = 2 rad.

CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICIÓN ANGULAR

Sea el ángulo AOB cuyas medidas en grado

sexagesimal es S o, en grado centesimal es Cg y en

radianes, R rad. Debemos encontrar una relación entre

ellos.

S : # de grados sexagesimales

C : # de grados centesimales

R : # de radianes

RELACIONES PARTICULARES:

m = # de minutos sexagesimales

n = # de minutos centesimales

p = # de segundos sexagesimales

q = # de segundos centesimales

LONGITUD DEL ARCO :

En el numero de radianes que mide un ángulo central es

igual al cociente de la longitud del arco que subtiende

entre el radio de la circunferencia que lo contiene.

Numero de Radianes =

Si representamos con el número de radianes que

mide el ángulo central tenemos.

L = longitud del arco

R = Longitud del radio

= Medida del ángulo central en radianes

NUMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA Y LONGITUD

DE ARCO

Una rueda en rotación barre arcos cuyas

longitudes depende del número de vueltas que da la

rueda y la longitud del radio.

A continuación analizaremos tres situaciones

distintas.

1.- Rotación de una rueda sobre el plano:

En cada vuelta barre la longitud de la circunferencia (2

R) en n vueltas barre 2 Rn. Luego

n = numero de vueltas que da la rueda al

desplazarse

L = longitud del arco barrido por la rueda

R = radio de la rueda

271

α R

R = 1 radian

A

O

B

SO = C g = R rad

α R

RL =

R

L = 2Rn

L = 2RnL = 2Rn R2

Ln

π

2.- Rotación de una rueda sobre una superficie

circular cóncava

3.- Rotación de una rueda sobre una superficie

circular convexa

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

A la porción sombreada de la figura ,se le denomina

sector circular

Si el es el ángulo central expresado en radianes, de

una circunferencia de radio r y si “S “denota el área de

un sector circular subtendido por entonces:

RAZON TRIGONOMETRICA

Es el cociente que se obtiene al dividir las longitudes de

dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto

a un ángulo agudo.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL

TRIANGULO RECTÁNGULO ( R T )

En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90o y los

otros dos ángulos agudos a su lado mayor se llama

hipotenusa y a los lados menores se le llama catetos

Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las

razones trigonometrías de se define:

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO

COMPLEMETARIOS.

CO - RAZONES

Dado el triángulo rectángulo ACB

272

R R

r r

Rrr

α

SAOB =

cC

B

A

α

bβ

ac

o90βαβ CscαSen

a

cβ Csc

a

cα Sec

o90βαβCtan αTan

ba

βCtan

ab

αTan

o90βαβ CosαSen

c

bβ Cos

c

bαSen

C

B

A

α

bβ

acC

RAZONES TRIGONOMETRICAS

INVERSAS (Recíproca)

Una razón trigonométricas es inversa o reciproca de otra

si sus valores son uno el inverso del otro Aplicando esta

definición en el ABC se obtiene los siguientes

resultados:

RAZONES TRIGONOMETRICAS

DE ÁNGULOS NOTABLES

Para Calcular las razones trigonométricas de ángulos

notables, citaremos tres triángulos notables.

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Todo ángulo trigonométrico tiene tres elementos:

LI = Lado Inicial, V = Vértice

LF = Lado Final

Observación:

Si el sentido es horario el signo del ángulo es

negativo.

Si el sentido es antihorario, el signo del ángulo

es positivo.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sea un ángulo trigonométrico en posición normal , (x;

y) un punto de su lado final y r (r > 0) el radio vector

de dicho punto, entonces las Razones Trigonometrías

de , se definen como sigue:

SIGNOS DE LA RAZONES

TRIGONOMETRICAS

Desde que las razones trigonometrías depende de dos

cantidades: abcisa, ordenada y / o radio vector ,

reconocemos que la R.T tienen un signo que viene dado

por la combinación de los signos que posean las

cantidades de las que ellas dependa. Es oportuno

sintetizar todas estas combinaciones posibles en los

273

30o 60o 45o 37o 53o

Sen

Cos

Tan 1

Ctan 1

Sec 2

Csc 2

LF

V LI

x

y

r

(x,y)

siguientes esquemas lo mismo que se constituyen en

una regla práctica.

Así se concluye que :

a) En el IC todas las R.T son positivas

b) En el IIC sólo son positivas el seno y la

cosecante.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS

NEGATIVOS

Sen (- ) = - Sen

Cos (- ) = Cos

Tg (- ) = - Tg

Ctg (- ) = - Ctg

Sec (- ) = Sec

Csc (- ) = - Csc

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS

CUADRANTALE

REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL

PRIMER CUADRANTE

r : ángulo de referencia del I cuadrante

: ángulo a reducir

Fórmula General

RT = RT r

Casos:

a) Si IIC r = 180º -

b) Si IIIC r = - 180º

c) Si IV C r = 360º -

Rt ( ) = Rt entonces:

Rt (180º ) = Rt

Rt (2 ) = Rt entonces :

Rt(360º )= Rt

Rt (/2 ) = Co-Rt entonces :

Rt(90º ) = Co-Rt

Rt = Co-Rt entonces :

Rt (270º ) = Co-Rt

: ángulo agudo

Cuando > 360°

360º = n x 360º A

n : # de vueltas

A : ángulo buscado

Si A > 90° o / 2 se reduce al 1er cuadrante utilizando

cualquiera de los casos.

Nota :

El signo depende del cuadrante en que se ubica la RT.

inicial

Ejemplo:

Sen 570º = Sen 210º 210º IIIC

r = 210º – 180º = 30º

Signo = Sen está en el III C (-)

IDENTIDADES

La columna vertebral de la trigonometría la constituyen

las identidades trigonométricas sin las cuales seria

materialmente imposible reducir o simplificar todas las

fórmulas trigonométricas en especial las de ángulo

compuestos, ángulos múltiples etc.

IDENTIDAD:

Una identidad de dos expresiones matemáticas que al

asignar cualquier valor real a sus variables siempre se

obtiene una igualdad numérica.

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA:

Designamos con este nombre a aquella igualdad entre

Razones trigonométricas que se verifican para todo

valor admitido de su variable angular.

Las Identidades trigonométricas par un mejor estudio, se

clasifican en cuatro grupos

Identidades fundamentales

Identidades de Arco Compuesto

Identidades de Arco Múltiple ( doble, mitad y triple )

identidades de la suma o diferencia de seno y

coseno a producto y viceversa ( transformaciones

trigonométricas)

274

(rad) 0 y 2 / 2 3 / 2

(grados) 0o y 360o 90o 180o 270o

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tan 0 0

Ctan 0 0

Sec 1 -1

Csc 1 -1

(+) Sen -Csc

(+) Tan - Cotan (+) Cos- Sec

(+) Todas

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonométricas es una igualdad que

involucra expresiones trigonometrías. La cual se verifica

par todos los valores admisibles de las variables entre

ellas tenemos:

IDENTIDADES RECÍPROCAS:

IDENTIDADES DE COCIENTE :

IDENTIDADES PITAGÓRICAS :

IDENTIDADES AUXILIARES:

Conociendo las identidades fundamentales y mediante

el uso de identidades algebraicas se demuestran las

siguientes identidades:

Sen4 x + Cos4 x 1 - 2 Sen2 x . Cos2 x

Sen6 x + Cos6 x 1 - 3 Sen2 x . Cos2 x

Sec2 x + Csc2 x = Sec2 x .Csc2 x

( Senx Cosx)2 = 1 2Senx.Cosx

Tan2 x – Sen2 x = Tan2 x .Sen2 x

Cot2x – Cos2 x = Cot2x.Cos2 x

TIPO DE PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES

FUNDAMENTALES

Se podrá indicar la siguiente clasificación:

I.- Demostración de identidades:

1. Se debe conocer las identidades

fundamentales , es decir las identidades reciprocas , de

cociente y pitagóricas

2. Si uno de los lados de la identidad parece más

complejo que el otro. Intente simplificar el lado mas

complejo y transformarlo, paso a paso, hasta que se vea

exactamente como el otro de la identidad. Este paso

podría ser mas sencillo si escribe de nuevo todas las

expresiones trigonometricas en términos de seno y

coseno.

Ejemplo 1 :

Demuestre la siguiente identidad:

Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

Resolución:

Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

= Secx.Cscx

= Secx.Cscx

= Secx.Cscx

Secx.Cscx = Secx.Cscx

II.- Problemas de simplificación o reducción:

Significa , simplificar la expresión a su mínima expresión

con ayuda de las identidades fundamentales y las

auxiliares

Ejemplo 1 :

Reducir la expresión:

M= (RCosx)2 +( RSenx.Cosy)2+(Rsenx.Seny)2

Resolución:

Factorizando: (Rsenx)2

M = (RCosx)2+ (RSenx)2(Sen2x + Cos2 x)

M = (RCosx)2+ (RSenx)2(1)

M= R2 (Sen2x + Cos2 x)

M = R2

III.- Problemas con condición:

Para este tipo de problemas la expresión que se pide

calcular depende de la condición, por tanto se

recomienda poner la expresión que se pide calcular en

términos de la condición ó viceversa. También, si fuese

275

Sen x. Csc x = 1Cos x . Sec x = 1Tan x . Ctan x = 1

Tan x =

Ctan x =

Sen2 x + Cos2 x = 11 + Tg2 x = Sec2 x1 + Ctg2 x = Csc2 x

posible, se puede calcular el valor de una razón

trigonométrica de la condición y utilizarlo en la expresión

que se pide calcular.

Ejemplo 1:

Si Sec x + Tan x = 2

Calcular el valor de Sec x

Resolución:

De la identidad pitagórica

Sec2 x = 1 + Tan2 x

Sec2 x – Tan2 x = 1

(Secx+ Tanx)( Secx- Tanx) = 1

2 (Secx- Tanx ) = 1

Secx – Tanx = 1 / 2

Sec x + Tan x = 2

2Sec x = 5 / 2

Sec x = 5 / 4

III.- Problemas de la eliminación de la variable

angular:

Dadas las condiciones de la variable angular se

puede eliminar efectuando operaciones algebraicas con

las condiciones, de modo que conduzca a la eliminación

de la variable angular.

Ejemplo 1:

Eliminar el ángulo “ “ a partir de :

Sen + Cos = a …….. ( I )

Sen . Cos = b ………( II )

Resolución:

Elevando al cuadrado (I)

(Sen + Cos )2 = a2

Sen2 + Cos2 +2 Sen . Cos =a2

1 + 2 Sen . Cos = a2

de la (II) obtenemos : 1 + 2 b = aFUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO

COMPUESTOS

Empezaremos nuestro estudio analizando las funciones

trigonométricas seno , coseno , tangente y cotangente

de la adición y la sustracción de dos números o arcos

dirigido :

FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA

DE DOS ÁNGULOS

FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA

DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS :

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA

DE TRES ÁNGULOS :

Notación

S( + + ) = SCC + SCC + SCC - S

S S

C( + + ) = SCC - CSS - CSS -

CSS

IDENTIDADES AUXILIARES

Si : + + = 90° se cumple :

Tan . Tan + Tan . Tan + Tan . Tan = 1

Cot + Cot + Cot = Cot . Cot . Cot

Sen2 + Sen2 + Sen2 = 1 – 2Sen . Sen. Sen

Cos2 + Cos2 + Cos2 = 2 (1+Sen . Sen. Sen)

Si : + + = 180° se cumple :

Tan + Tan + Tan = Tan . Tan . Tan

Cot . Cot + Cot . Cot + Cot . Cot = 1

276

Sen ( + ) = Sen Cos + Cos Sen Cos ( + ) = Cos Cos - Sen Sen

Tan ( + ) =

Ctan ( + ) =

Sen( - ) = Sen Cos – Cos Sen Cos( - ) = Cos Cos + Sen Sen

Tan( - ) =

Ctan( - ) =

Sen( + ) Sen ( - ) = Sen2 - Sen2 Cos( + ) Cos ( - ) = Cos2 - Sen2

Tan + Tan =

Tan - Tan =

Cot + Cot =

Cot - Cot =

Tan + Tan + Tan(+) . Tan Tan = Tan(+)

Tan(+)-Tan - Tan = Tan(+ ) . Tan . Tan

Tan

Cot

Sen2 + Sen2 - Sen2 = 2 Sen . Sen. Sen

Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1- 2Cos .Cos . Cos

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO

DUPLO :

Asumiendo que x es el ángulo simple , su doble

será 2x ; bien lo que buscamos ahora es expresar

una función trigonometría de un ángulo doble

( 2x )en términos de funciones trigonometrías del

ángulo simple ( x ) .

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

IDENTIDADES ADICIONALES :

1+Tan2x 2 Tan x

2x

1 – Tan2 xIDENTIDADES PARA “ DEGRADAR”

IDENTIDADES AUXILIARES

IDENTIDADES DE ARCO MITAD :

Ahora intentaremos expresar una función de un ángulo

mitad ( ) en términos de un ángulo simple ( x ) .

ángulo simple ( x ) .

Nota : La eliminación del valor absoluto depende del cuadrante al cual pertenece x/2.

IDENDIDADES ADICIONALES :

IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE:

A continuación trataremos de expresar una función

trigonométricas de un ángulo triple (3x ) en términos de

su ángulo simple ( x )

IDENTIDADES ADICIONALES

277

Sen 2x = 2Sen x . Cos xCos 2x = Cos2 x – Sen2 xCos 2x = 1 – 2Sen2xCos 2x = 2Cos2x - 1

Tan 2x =

Sen 2x =

Cos 2x =

Cot x + Tan x = 2Csc 2xCot x - Tan x = 2Cot 2x

1 + Sec 2x =

Sen 3x = 3Sen x – 4Sen3 xCos 3x = 4Cos3x – 3Cos x

Tan 3x =

4 Sen3 x = 3 Sen x – Sen 3x

Sen 3x = Sen x (2Cos2x+1)

4 Cos3 x = 3 Cos x + Cos 3x

Cos 3x = Cosx( 2Cos2x –1 )

4 Senx .Sen (60°-x) .Sen (60°+x) = Sen3x

4 Cosx .Cos (60°-x) .Cos (60°+ x) = Cos3x

Tanx .Tan (60°-x) .Tan (60°+ x) = Tan 3x

2 Sen2 x = 1 – Cos2 x2 Cos2 x = 1 + Cos2 x8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x

EJERCICOS DE RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

Un ángulo mide (6 n)g y su complemento mide

(12 n + 3)° ¿Cuánto mide el suplemento de dicho

ángulo en radianes?

SOLUCION

1-

2-

Suplemento del ángulo

PROBLEMA Nº 02

En la expresión algebraica :

simplificar y dar respuesta en términos de sec

SOLUCION

Respuesta

EJERCICIOS

PROBLEMA Nº 01

Simplificar : R =

a) b) 1 c) 2 d) e)

PROBLEMA Nº 02

Sabiendo que: sen (60 - ) = . Calcular:

F = Sen 3

a) b) c) d) e)

PROBLEMA Nº 03

Si : tg (45 – x) = 4 Calcular tg2x

a) b) c) d) e)

278

¡APRENDIENDO A RESOLVER ………………………………………… RESOLVIENDO!