Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas

7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas

1/17

CAPTULO14IDENTIDADESYECUACIONESTRIGONOMTRICAS

IdentidadesPITAGRICAS

A

s se denomina a las identidadesque resultan del teorema de Pitgo-ras y se obtienen del crculo unitario

mediante un tringulo rectngulo de hipo-tenusa 1 y catetos con longitudes sena ycosa.

Por defi nicin del teorema de Pitgoras:

(1)2=(sena)2+(cosa)2

1=sen2a+cos2a

A la cual se le denomina identidad funda-mental.

Defniciones de

ngulos del libro

Los elementos de Euclides

sen

cos

r = 1


2/17

Identidades trigonomtricas

Son igualdades en las que intervienen unciones trigonomtricas y es vlida para cualquier valor angular.

Obtencin de las identidades trigonomtricas bsicas

Para determinar las identidades se hace uso de las defniciones de las unciones trigonomtricas.

En el tringulo las unciones del ngulo a se defnen:

sen =a

ctan =

a

bcsc =

c

a

cos =b

cctg =

b

asec =

c

b

a

a

a

a

a

a

a

b

c

a

b

Al multiplicar una uncin directa por cada una de sus recprocas se obtiene:

(sen )(csc ) =a

c

c

a=

a c

c a= 1

(cos )(sec ) =b

c

c

b=

b c

c b= 1

(tan )(ctg ) =a

b

b

a=

a b

b a= 1

a

a a

a a

a

Por tanto, se deducen las identidades recprocas.

Identidades recprocas

(sen a)(csca) = 1 (cosa)(seca) = 1 (tan a) (ctg a) = 1

Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:

sen =1

csctan =

1

ctgcsc =

1

sen

cos =1

secctg =

1

tansec =

1

cos

aa

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

Identidades de cociente

Si se realiza el cociente de la uncin seno (sen a) por la uncin coseno (cos a), se obtiene la uncin tan a:

sen

cos=

a

a

a

cb

c

=a c

b c=

a

b= tan a

De manera anloga se obtiene la uncin cotangente (ctga),

a

a

cos

sen=

b

ca

c

=b c

a c=

b

a= ctg a

Por tanto:

aa

aa

aatan =

sen

cos; ctg =

cos

sen


3/17

Identidades pitagricas

En el tringulo se aplica el teorema de Pitgoras:

a a

aaaa

a2

+ b2

= c2

Se divide entre c2 a ambos miembros.

a2

c2+

b2

c2= 1 Se aplica la ley de los exponentes.

a

c

2

+b

c

2

=

= =

1 Los cocientes son equivalentes a las unciones sen y cos

(sen )2+ (cos )

21, por consiguiente sen

2+ cos

21

En orma semejante se obtienen las dems identidades pitagricas, entonces:

sen2

a + cos2

a = 1 ; tan2

a + 1 = sec2

a y 1 + ctg2

a = csc2

a

De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fn de obtener otras identidades:

sen2 + cos2 = 1 tan2 + 1 = sec2 1 + ctg2 = csc2

sen = 1 cos2 ( ) tan = sec2 1( ) ctg = csc2 1( )

cos = 1 sen2( ) sec = tan2 + 1( ) csc = ctg2 + 1( )

Demostracin de identidades trigonomtricas

Para realizar la demostracin de una identidad trigonomtrica se aplican procesos algebraicos como la actorizacin, las

operaciones entre racciones as como su simplifcacin, adems de las identidades trigonomtricas bsicas.

La aplicacin de estos procesos depende de la identidad en s; esto signifca que no existe un orden o procedimientoespecfco, debido a esta situacin sugerimos iniciar con el lado ms complejo o elaborado de la igualdad, con el fn

de llegar a demostrar el lado ms sencillo, como a continuacin se ejemplifca.

Demuestra la siguiente identidad: senx=cos x

ctgx

Demostracin

Se trabaja del segundo hacia el primer miembro, se sustituye ctg x= cosxsen x

y realiza el cociente correspondiente:

s S Sen x =cosx

ctg xsen x =

cosx

cosx

senx

sen x =sen x cos x

cosx

sen x sen x

Por tanto queda demostrada la identidad.

1

EjemplosEJEMPLOS


4/17

12. ctg x tan x =2cos

2x 1

sen x cos x

13. 2csc2y =

1

1 cos y+

1

1+ cos y

14.1

csca a

a a

+ ctg

= csc ctg

15. 3sen2x 9sen x? ctg x + 7cos2x 4cos x = (4cos x 1)(cos x 3)

16. cos2x +

tan2x

1+ sec x+ sen

2x = sec x

17. cos4x + sen2x + sen2x cos2x = 1

18.1 c b

b b

bbos

1+ cos

+1+ cos

1 cos

= 2csc

19. cos x(2sec x + tan x)(sec x 2tan x) = 2cos x 3tan x

20. 1 +sen x ctg 2x

1+ sen x= csc x

21. 2(sen6x + cos6x) 3(sen4x + cos4x) + 1 = 0

22. sen x(1 + ctg x) = cos3x(1 + tan x) + sen3x(1 + ctg x)

23. (csc x sen x)2

+ (sec x cos x)2

= tan2

x + ctg2

x 1

24.2 csc

2x

tan x 1 csc

2x + 1 = ctg x

25.tan x+ ctg x

csc x sen x = sec3x

26.cos x sec x

sen x csc x = sec x (sec

2x 1) sen x

27. sec3x =

sec3x secx tan2x

1 sen x( ) 1 + sen x( )

28. sen2x + tan

2x + cos

2x =

1

cos2x

29. sec2x + csc2x = (csc x sec x)2

30. sec2x; sen x csc x + sen x(sen x sec2x)

31. 1csc x+ ctg x 1ctg x csc x = 2sen x

32. 1 ctg x = csc2x 2ctg x( )

Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones


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Obtencin de las identidades trigonomtricasde la suma y la diferencia de ngulos

Considerando que OB BC , OC DC , se realiza una proyeccin de OD con el eje Xy OA AD , DE CE ,donde AE BC= , as como AB CE=

Para obtener sen ( + b)

b

a

a

XA B

CE

D

O

Y

sen (a + b) =AD

ODpero AD AE ED= + ;

entonces,

sen (a + b) =AE ED

OD

+ sen (a + b) =

AE

OD

ED

OD+

Para obtener las unciones trigonomtricas de los ngulos a y b

sen a =BC

OC=

AE

OC=

CE

CD(1) sen b =

CD

OD(3)

cos a =OB

OC=

ED

CD(2) cos b =

OC

OD(4)

Si se realiza el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:

(sen a)(cosb) = AEOC? OC

OD= AE

OD(5)

(sen b)(cos a) =CD

OD?

ED

CD=

ED

OD(6)

Al sumar (5) y (6):

(sena)( cosb) + (sen

b)( cosa) =AE

OD

ED

OD+ ;

Se obtiene sen (a + b), entonces:

sen (a + b) = (sena)(cosb) + (sen b)(cos a)

Para obtener cos (a + b)

cos (a + b) =OA

OD; pero OA OB AB= ;

entonces,

cos (a + b) = OB ABOD cos (a + b) = OB

ODABOD


6/17

Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:

(cosa)(cos b) =OB

OC?

OC

OD=

OB

OD (7)

(sen a)(senb) =

CE

CD?

CD

OD=

CE

OD=

AB

OD (8)

Al restar (8) de (7):

(cosa)(cosb) (sen a)(sen

b) =

OB

OD

AB

OD;

Se obtiene cos (a + b)

cos (a + b) = (cosa)(cosb) (sena)(senb)

Para obtener tan (a + b), se emplean identidades bsicas:

tan (a + b) =sen

cos

+( )+( )

; tan (a + b) =sen cos sen cos

cos cos sen

( )( ) + ( )( )( )( ) ( ))( )sen

Si se divide entre (cos a)(cos b)? 0, entonces,

tan (a + b) =

sen cos sen cos

cos cos

cos

( )( ) + ( )( )( )( )

( ) ccos sen sencos cos

( ) ( ) ( )( )( )

=

sen cos

cos cos

sen cos

cos

( )( )

( )( )+ ( )( )

( ) ccos

cos coscos cos

sen sen

( )

( )( )( )( )

( )( ))( )( )cos cos

;

tan (a + b) =

sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

( )

( )+

( )

( )

( )

( )1

( )

( )cos

=tan tan

tan tan

+ 1

Finalmente se deduce que:

tan ( + ) =tan +tan

1 tan tan

Para obtener las identidades trigonomtricas de la dierencia se emplean las identidades de los ngulos negativos en

uncin de ngulos positivos, es decir:

sen ( x) = sen (x) cos ( x) =cos (x) tan ( x) = tan (x)

Por tanto:

sen (a + b) = (sena)(cosb) + (sen

b)(cosa)

Se cambia b por b y se obtiene:

sen (a b) = (sen a)(cos(b)) + (sen (b))(cosa)

sen (a b) = (sena)(cos b) (sen b)(cosa)

De una manera semejante se realiza la dierencia para las dems unciones trigonomtricas y se obtiene:

cos (a b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)

tan ( ) =tan tan

1 +tan tan


7/17

Resumen de frmulas

Identidades trigonomtricas de la suma de ngulos:

sen (a + b) = (sena)(cosb) + (senb)(cosa)

cos (a + b) = (cosa)(cosb) (sena)(senb)

tan ( + ) =tan +tan

1 tan tan

Identidades trigonomtricas de la dierencia de ngulos:

sen (a b) = (sena)(cosb) (senb)(cosa)

cos (a b) = (cosa)(cosb) + (sena)(senb)

tan ( ) =tan tan

1 +tan tan

Valor de una funcin trigonomtrica para la suma y la diferencia de ngulosLos valores de las unciones trigonomtricas de ngulos notables se emplean para obtener el valor de una uncin

cuyo ngulo se pueda descomponer en una suma o dierencia.

Obtn el valor de sen

4 6+

.

Solucin

Al aplicar la identidad para el seno de la suma de ngulos, se determina que:

sen

4 6+

= sen

4cos

6+ cos

4sen

6=

2

2

3

2

2

2

1

2

+

=6

4

2

4+

=6 2

4

+

Calcula el valor exacto de tan (90 60).

Solucin

Se aplica la identidad de la tangente de la dierencia de ngulos y se obtiene:

tan (90 60) =tan tan

tan tan

90 60

1 90 60

+

La tan 90 no est defnida, por consiguiente, se multiplica la identidad tantan tan

tan tan( )a b

a b

a b =

+1por la unidad

expresada como 1 =ctg

ctg

a

a

tantan tan

tan tan

ctg

ctg( )a b

a b

a b

a =

+

1 aa

a a b a

a a b

=

+

tan ctg tan ctg

ctg tan tan ctgga

Por identidades tanactga= 1, entonces:

tantan ctg

ctg tan

tan ctg

c( )

(a b

b a

a b)

b a =

+

=1

1

1

ttg tana b+

Sustituyendo a= 90, b= 60 y posteriormente los valores de ctg 90 = 0 y tan60 3 = , se obtiene como resultado:

tan tan ctgctg tan

( )90 60 1 60 9090 60

1 = +

= (( )( )3 00 3

1 03

13

13

33+

= = = =. 33

22

1

EjemplosEJEMPLOS


8/17

Determina los valores de las siguientes funciones trigonomtricas y expresa los ngulos como suma o diferencia:

1. tan 105 3. csc 15 5. tan 255 7. tan 345 9. csc 255

2. cot75 4. sec 105 6. cos 285 8. sec 165 10. sen 165

11. Sicos = 4

5

con

2

y tan =2

3

con 0

2

, halla sen(a + b), cos(a + b)y tan(a + b).

12. Si tan a = 1con 3

2y sec b = 2con

3

22 , halla sen(a b), cos(a b)y tan(a b).

13. Si sec a = 3

2con

3

2y ctg b = 2 con 0

2

, halla las seis unciones trigonomtricas de (a + b)

y(a b).

Demuestra las siguientes identidades:

14. sen x sen x sen x ( ) +

2

1 2 2cos x cos x [ ]

15. cos x cos x 3

2

+

( )

2 2

sen x cos x

+ + +

2 sen x

16. cos x sen x co

2

+( )

ss x cos x sen x

23+( ) + +

+ ccos x

17.

sen

sec

cos

csc

3

2 2

+

1

18. tan sen sen

3

2( ) +

( ) 1 2 cos

19. sen sen cos cos cos 2[ ] +( ) + +2

[[ ] 2

2

20.sec

csc

sen

cos

( )

+

++( )

2

1

+( ) tan

21. csc ycos y

tan ysen y

( ) +

+( )+( )

22.

csc x

cos x

tan x

2

2

+

(( ) +( )sen x

sec x csc x 1

23. sen x cos x 22

2

+( ) +

+

44 2

2

4cos x

csc x

( )

24. sen sencos

+ +( ) + ( )+ +( ) + cos

tan

( )

EJERCICIO 44


9/17

25. sen sen sen sen sen +( ) ( ) +( ) ssen ( )

26. tan tan

4

4

+

+

2

2 2sen cos

27. 43

2

4arc tan arc tan

+

1

5

28. sen sen 1 11

5 2

2

5

29. cos cos se12

13

33

65

1 1 nn13

5

30. sect

t

ctg t t + >1

211 0, 0

31. arc sent

arc cost

tarc tan

tt

1

1

1

1

1, 0

2

2

2+

+

>

32. sent

tsen

tsen t

++

+ ( ) >1

2

1

2

1

1

1

11 , 0

33. sent

t

sen

t

sent

t

t

+

+

+

1 1 1

1

1

1

1

1

, 1

34. arc tan s arc sent

tarc t

12

+ aan

s t

sts t

1, 0 y 0

+

> >

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

Funciones trigonomtricas del ngulo doble

Estas unciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ngulos, como se muestra a continuacin:

Seno del ngulo doble sen (2a)

Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a + b) donde b = a

Entonces:

sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)

sen (2a) = (sen a)(cos a) + (sen a)(cos a)

sen (2a) = 2 (sen a)(cosa)

Coseno del ngulo doble cos (2a)

Para obtener cos (2a) se emplea la identidad cos (a + b) donde b = a

Entonces:

cos (a + b) = (cos a)(cos b) (sen a)(sen b)

cos (2a) = (cos a)(cos a) (sen a)(sen a)

cos (2a) =cos2a sen2a (con el empleo de identidades trigonomtricas bsicas)

cos (2a) = 1 2 sen2a

cos (2a) = 2 cos2a 1


10/17

Tangente del ngulo doble tan (2a)Para obtener tan (2a) se emplea la identidad tan (a + b) donde b = a

Entonces:

tan (a + b) =tan tan

tan tan

+ 1

tan (2a) =tan tan

tan tan

+

1

tan (2a) =2

1 2tan

tan

=3o

sEJEMPLOS


11/17

Al racionalizar el denominador:

tanv

2

=

1 1

1 1

( ) ( )+( ) ( )

cos cos

cos cos

=

1

1

2

2

( )

cos

cos

=

12

2

( )cossen

=

1 cossen

Por tanto:

tanv

2 =1

1

cos

cos

v

v+=

1 cos

sen

v

v


12/17

1. Utiliza las identidades del ngulo mitad para obtener las unciones trigonomtricas de los ngulos

8,

3

8,

5

8y

7

8 .

2. Obtn las unciones trigonomtricas de (2a)y

2

, si se sabe que csc a = 4para

2 .

3. Si se sabe que tan b = 125

, para 32, halla las unciones trigonomtricas de (2b)y

2 .

4. Dada la uncin trigonomtrica cos v =5

8donde

3

22 , encuentra las unciones trigonomtricas de

(2v)y

2

.

5. Obtn las unciones trigonomtricas de(2a)y

2

si se sabe que: sec a =

7

2para

2 .

6. Si sen 2

= 3 56

+ y 2

, determina sen a, cos ay tan a.

7. Si cos2b =

15

17y

3

2, encuentra las unciones trigonomtricas de by

2.

8. Si sen1

4 =

10 50 10 5

20

+, determina las unciones trigonomtricas de asi 0

2

.

9. Si csc 1

4= 6

3 6y 0

2 , halla las unciones trigonomtricas de by

2.

10. Si ctg

2= 3y

3

22 , halla las unciones trigonomtricas dev,2v y4v.

Demuestra las siguientes identidades:

11.2

1 2

2

+=

cossec

12. cos x sen x sen x 2 2 1 4[ ] = ( )2

13. cos 8x+ cos 4x= 2cos 2x 4sen2 3xcos 2x

14. sen x sen x sen x cos x 4 6 2 5+ = ( )

15. ctgsen

cos

1 2

2

4

=

+

16. cos sen cos cos8 81

42 3 4 = +( )

17. 21

4

2

secsen cos

=

+( )+ 2sen

18. cos 12 cos 24 cos 48 cos 96 = 1

16

19.2

22

3 3

cos x sen x cos x

cos x sen x = sen x cos xsen x

+( ) +

EJERCICIO 45


13/17

20.1

1

12

2

2

2+=

+

sen

tan

tan

1

2 +

ctg

2

21. 22 2 2 2

cosy

seny

seny

cosy

cos x co

+

= ss x y cos x y+( ) + ( )

22. sen x y sen x sen y cos x y+( ) = +( )2 2

23. 42

2

2 2 2csc cos ctg tan

=

24. 32

2

2

2

cos sen cos sen

+

= + +2 1cos sen

25. 1 34

26 6 2sen x cos x sen x + =


Identidades trigonomtricas para transformar un producto en suma o resta

De las identidades:sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con

+ sen (x y) = (sen x) (cos y) (sen y) (cos x)

sen (x + y) + sen (x y) = 2 (sen x)(cos y)

Al despejar,

(sen x) (cos y) =1

2sen x y sen x y+( ) + ( )

De orma semejante se obtiene:

(cos x) (sen y) =1

2sen x y sen x y+( ) ( )

De las identidades:

cos (x + y) = (cos x) (cos y) (sen x) (sen y) se realiza la suma con

+ cos (x y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y)

cos (x + y) + cos (x y) = 2 (cos x)(cos y)

Al despejar,

(cos x) (cos y) =1

2cos x y cos x y+( ) + ( )

De la misma manera se obtiene:

(sen x) (sen y) = +( ) ( ) 1

2 cos x y cos x y


14/17

Demuestra las siguientes igualdades:

1.1

sec 30 csc120 =

3

4

2.

sen 75 cos 45

sen 225 cos 75 = 2 3

3.cos 35 sen 10 + cos 10 sen 35

cos 20 cos 10 sen 20 sen 10=

6

3

4.tan

6tan

5

12+ tan

12tan

5

12

1 tan

6

tan

12

= 2 + 3

5. sen x cos x + cos 3x sen x =1

2sen 4x

6. cos x+6

sen x6

=1

2sen 2x

3

2

7.

sen2 3

2x cos

2x

2

cos 2 x( )cos23

2x sen

2

2x

= sec x

8. cos x[cos 2x 2sen2x] = cos 3x

9. tan x+3

tan3

x =2 cos 2x+ 1

2 cos 2x 1

10. sen(10 + x) cos (20 x) + cos(80 x)sen(70 + x) = sen(2x 10)

11. sen2

9+x cos

1

18+x sen

5

18x cos

4

9x =

1

2

12.

sen2

x

csc 2x

senx

csc3

2+ 2x

= sen 3x

13. cos 2x + 2[sen x cos y + cos x sen y] sen(x y) = cos 2y

14. sen2

x sen3

2x cos x( ) = cos3x

p p p p

p p

p p

pp

p pp

p p

p p p p

p

p

pp p

EJERCICIO 47



15/17

Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonomtricasen un producto

Dados los ngulosxyy, tales que

x+y = a ; xy = b

Al resolver el sistema de ecuaciones paraxyy se obtienen los siguientes resultados:

x= +

2; y =

2

Estos valores angulares se sustituyen en la identidad:

(sen x) (cos y) =1

2sen x y sen x y+( ) + ( )

Y el resultado es:

sen cos +

2 2=

1

2sen sen +[ ]

Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:

sen a + sen b = 2sena + b a b

2

cos

2

De la misma manera se obtiene:

sen a sen b = 2cosa + b a b

a + b a b

a + b a b

2

sen2

cos a + cos b = 2cos2

cos2

cos a cos b = 2 2

sensen 2

Eecta lo siguiente: sen

2 sen

6

Solucin

Al aplicar la transormacin de dierencia de senos a productos, se obtiene:

sen

2 sen

6= 2 cos

2 6

2

+

sen

2 6

2

; simplifcando

sen

2 sen

6= 2 cos

3

sen

6

sen 2

sen 6

= 21

2

1

2

= 1

2

1

EjemplosEJEMPLOS


16/17

Demuestra las siguientes igualdades:

1. cos cos5

12

11

12p p+ =

2

2

2. sen sensen sen

40 2040 20

+

= 33

10ctg

3.sen sen

sen sen

p p

p p6

5

185

18 6

+

=

tan

tan

2

9

18

p

p

4. cos (x ) + cos (x + ) = 2 cos x

5. sen 2x + sen 4x sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x

6. sen x sen 2x + sen 3x sen 4x = 4senx

2cos

5

2

xcos x

7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos5

2

xcos x cos

x

2

8. tan x =sen x sen x

cos x cos x

5 3

5 3

+

9.1 2

3

2

sen x

sen x sen x=

1

2csc x

10.cos x y cos x y

sen x y sen x y

+( ) ( )+( ) ( )

= tan x

11.1

2 3senx sen x sen x + +

=1

4

3

2 2

cscx

x secx

sec

12.1

4cos a b c cos a b c cos a b c cos a b c+ +( ) + + ( ) + +( ) + (( ) = cos a cos b cos c

EJERCICIO 49

Ecuaciones trigonomtricas

Una ecuacin trigonomtrica es una expresin que tiene como incgnita valores angulares bajo los signos de unciones

trigonomtricas.

Al resolver una ecuacin trigonomtrica se debe encontrar el o los valores que satisacen dicha ecuacin, esto es,

que en una ecuacin trigonomtrica no siempre existe una solucin nica, en ocasiones existen varias, las cuales se

expresan como conjunto solucin.


EJERCICIO 50


17/17

Resuelve las siguientes ecuaciones, tales que 0 x 360.

1. sen x = senp

2

x

16. 2sen x + csc x = 3

2. cos x + 2 sen x = 2 17. sen x ctg x sen x = 0

3. 2 cos p4

x = 1 18. 2cos3x + cos2x 2cos x 1 = 0

4. csc x = sec x 19. 4cos x 2 = 2 tan x ctg x sec x

5. 2 cos x tan x 1 = 0 20. tan5x 9 tan x = 0

6. 4 cos2x = 3 4 cos x 21.1

3 02ctg x

tanx

+ =

7. 3 cos2

x + sen2

x = 3 22. sen x sec x sen x sec x + =2 2

8. 2 sen2x + sen x = 0 23. 2 3 2 3 2 2( ) + ( ) =sen x cos x

9. cos x + 9 sen2x = 1 24. 2 +( ) +( ) =5 1 2 5 2 2cos x sen x

10. csc2x = 2 cot2x 25. sec x(2sen x + 1) 2(2sen x+ 1) = 0

11. sen x tan x + 1 = sen x + tan x 26.3

0tanx

secx

cos x =

12. 2cos2x + 3sen x = 0 27. 2 2 3cos x sen x =

13. sen x cos x = 0 28. 5sen2x + cos2 x = 2

14. 3cos2x sen2x = 0 29.5

5 3 0csc x

cos x =

15. cos x 3 sen x = 0 30. cos2x + cos x = sen2x

EJERCICIO 50


Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas

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