TRIGONOMETRÍAIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

PROF. WALTER FAILOC

RECORDANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Propiedades Sen . csc = 1Cos . sec = 1Tg . ctg = 1

* Si + = 90ºSen = cos Sec = csc tg = ctg

Identidades por división:𝑡𝑔𝛼=

𝑠𝑒𝑛𝛼cos𝛼

𝑐𝑡𝑔𝛼=𝑐𝑜𝑠𝛼sen𝛼

Identidades Pitagóricas :𝑠𝑒𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1𝑠𝑒𝑐2𝛼−𝑡𝑔2𝛼=1𝑐𝑠𝑐2𝛼−𝑐𝑡𝑔2𝛼=1

sen2x + 3sen2x + 3cos2x + 5(1 + tg2x) + 7 tg2x

sen2x + 3 + 5 + 5tg2x + 7 tg2x

sen2x + 12tg2x + 8 = a sen2x + btg2x + c

Entonces : a = 1, b = 12 y c = 8

Luego: a + b + c = 21

Por distribución

𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥

+𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑠𝑒𝑛4 𝑥+𝑐𝑜𝑠4 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2𝑥

¿1−2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

¿1

𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛2𝑥− 2𝑐𝑜𝑠

2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

= sec2x . csc2x – 2 = sec2x . csc2x – a

Entonces: a = 2

Pero: 𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1Elevando al cuadrado:𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥+2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥=1𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑐𝑜𝑠 4𝑥=1−2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑏( 1𝑐𝑜𝑠2𝑥

−1)( 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 −1)( 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +1)𝑏( 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 )(𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 )(𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )(𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )( 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑏( 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )( 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 )

𝑏( 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 )𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑐𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔𝑥 )

= 1

𝑏=𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 =

𝑐𝑜𝑠𝑥 .𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑏=𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 .𝑐𝑜𝑠𝑥

b = ctg x . Cos x

1 – cos2x + 4cosx = 4

Cos2x – 4cosx + 3 = 0acomodando

Sea: cos x = a

a2 – 4a + 3 = 0Entonces:

(por aspa simple)a - 3a - 1

(a – 3)(a – 1) = 0Entonces: a = 3 y a = 1

Como: a = cos x

cos x = 3

cos x = 1

No es posible

Respuesta

Sea tg x + ctg x = aElevando al cuadrado

(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 )2=𝑎2

Tg2x + ctg2x + 2tgx.ctgx = a2 Por dato igual a 7

7 + 2 = a2

Igual a 1 por propiedad

Entonces a = 3

Entonces: tg x + ctg x = 3

Elevando al cubo:(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 )3=33

tg3x + ctg3x + 3tgx.ctgx(tg x + ctg x) = 27

tg3x + ctg3x + 3. 1(3) = 27

1 3

tg3x + ctg3x = 18