Guia Segmentos Notables y Puntos Singulares Triangulo

Guía sobre segmentos Notables Contenido: Triángulos

Guía sobre Triángulos: Segmentos Notables Y Puntos singulares

Autor : Manuel Galaz PérezDescripción

Las acciones que se presentan en esta guía, tienen como propósito que explores las propiedades de los segmentos notables de un triángulo: Medianas, Simetrales, Bisectrices, Transversales de Gravedad y Alturas. En los últimos cuatro, su respectiva intersección producen los puntos singulares, los que también presentan ciertas propiedades. A continuación, realizarás éstas construcciones e investigarás sobre dichas propiedades, a través de un procesador geométrico.

Recursos

Software Cabri Geometre II Plus. Guía de uso: Un geómetra virtual llamado

Cabri. Guía sobre triángulos: Segmentos notables y

puntos singulares..

Acciones Técnicas

Activando el área de trabajo de Cabri Geometre.

Para activar el software, realiza los siguientes pasos:

Figura 1

1. Desde Windows, activa el botón “Inicio”.2. Luego, selecciona la opción

“Programas”.3. Ahora, activa la carpeta “Cabri

Geometre II Plus”.4. Finalmente, activa el software Cabri. O en el escritorio hacer doble clic sobre el icono

De esta forma, activas el área de trabajo.

1


Algunas consideraciones importantes.

Cada vez que necesites un archivo nuevo, el cual representa una hoja de trabajo en blanco, activa las siguientes opciones:

Del menú “Archivo”, activa con un clic la opción “Nuevo” o como alternativa las teclas Control y N.

Para guardar o grabar archivos de trabajo, realiza las siguientes acciones:

1. Del menú “ Archivo”, activa la opción “Guardar” como se observa en la Figura 2.

2. En la ventana de diálogo “Guardar un archivo”, debes seleccionar la unidad y lugar donde guardarás tu trabajo.

Figura 2

Para realizar las acciones de las guías de aprendizaje, utilizando simultáneamente los botones de la barra de herramientas de Cabri, apóyate de la “Guía de uso: Un geómetra virtual llamado Cabri” .

Para saber que acciones has realizado y, además, no perderse en la guía, marca con una X sobre un pequeño rectángulo ( ) ubicado al final de cada acción.

2


La Mediana y sus propiedades.

Dibuja un triángulo.

Figura 3

1. Para ello, con un clic del mouse activa el botón “Líneas” y luego otro clic sobre “Triángulo”.

2. Ahora, haz un clic para dibujar el vértice A, luego otro clic para el vértice B y finalmente el vértice C, como se muestra en la figura 4.

De esa forma, dibujas el triángulo ABC.

Figura 4

Figura 4

Asignando una letra a cada vértice del triángulo.

1. Activa el botón “Texto y símbolo”. 2. Luego, activa la opción “Nombrar”. 3. Ahora, posiciona el indicador del mouse sobre el vértice que se rotulará A, como

lo muestra la figura 4. 4. Haz un clic cuando aparezca el comentario “Este punto”. 5. En la caja de texto activada, digita A. 6. Repite desde la acción 4 para rotular el vértice B y C del triángulo.

Bien, ya has dibujado el triángulo ABC.

3

(1)


Dibujar los puntos medios P, Q y R, para luego construir las medianas , y y .

Primero, dibujarás los puntos P, Q y R:

1. Activa el botón “Construcciones” y con un clic selecciona “Punto medio”.

2. Haz un clic sobre el vértice A. 3. Haz un clic el vértice C. 4. Rotula el punto con la letra P, como

lo muestra la figura 5. 5. Repite las acciones anteriores con

los vértices C y B.6. Rotula este nuevo punto Q. 7. Finalmente, dibuja el punto R .

Figura 5

Ya tienes los puntos medios P, Q y R, como se observa en la Figura 5.

Figura 7

Figura 6

Ahora, construirás las medianas , y .

1. Activa el botón “Líneas” y con un clic selecciona “Segmento”.

2. Ahora, haz un clic en los puntos P y Q, respectivamente.

3. Luego, un clic en el punto Q y otro en R.

4. Finalmente, dibuja la mediana .

Ya tienes las medianas , y , como se observa en la Figura 6.

En busca de las propiedades de las medianas.

Para visualizar estas propiedades,

4


explorarás la relación de las medidas de los segmentos que se señalan a continuación:

1. Activa el botón “Medida” y con un clic selecciona “Distancia y longitud”.

2. Ahora, haz un clic sobre ,. 3. Luego, un clic sobre el vértice A y

otro sobre el vértice B.

De esa manera, puedes observar la medida del segmento y la del lado AB del triángulo ABC.

Figura 7

A continuación, completa la siguiente tabla:

1. Activa el botón “Manipulación” y con un clic selecciona “Apuntador”. 2. Ubica el indicador del mouse sobre el vértice A. 3. Mantén presionado el botón izquierdo del mouse y mueve ese punto. 4. Completa la tabla con cada movimiento que realices.

Medida de Medida de

12

5

11

30

¿Qué relación observas entre la mediana y el lado ?______________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Presenta las medidas de los segmentos y .

5


6. Presenta las medidas de los lados AC y BC del triángulo ABC. 7. Completa la siguiente tabla:

Medida de Medida de

12

5

11

30

Medida de Medida de

12

5

11

30

¿Qué relación observas entre una mediana y el lado de un triángulo?______________________________________________________________________________________________________________________________________

En busca de otra propiedad de las medianas.

1. Activa el botón “Lineas” y con un clic selecciona “Semirrecta”. 2. Haz un clic en el punto P y luego en Q.

Midiendo algunos ángulos involucrados en la construcción.

1. Activa el botón “Medidas” y con un clic selecciona “Medida de angulo”. 2. Para conocer la medida de , haz un clic en los puntos Q, P y R

respectivamente. 3. Ahora, presenta la medida de . 4. Completa la siguiente tabla, con las medidas de los ángulos que obtengas al

mover el punto B.

6


Figura 8

m( ) m( ) m( ) + m( )

Entonces, la mediana y el lado son : _____________________________

Luego, se puede conjeturar que cada mediana es: __________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué propiedad permite afirmar esta conjetura?__________________________________________________________________________________________________________________________

Sobre los triángulos allí construidos, puedes señalar algunas propiedad que se observe entre ellos? Explícalo: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La Simetral y su propiedad.

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Figura 9

1. Del botón “Lineas” y con un clic selecciona “Triángulo”.

2. Dibuja el triángulo FGH, como se muestra en la figura 9.

3. Rotula los vértices F, G y H como se muestra en la figura 9.

Ya has construido el triángulo.

Determina los puntos medios de los lados del ∆FGH:

1. Activa el botón “Construcciones” y con un clic selecciona “Punto medio”. 2. Haz un clic sobre el vértice F al momento de aparecer el comentario “Punto

medio de este punto” y luego otro clic sobre el vértice H al aparecer “y este punto”.

3. Este nuevo punto, rotúlalo R. 4. Determina el punto medio del lado FG y rotúlalo P. 5. Ahora, determina el punto medio del lado GH y rotúlalo Q.

Traza las simetrales por los puntos medios construidos.

1. Activa el botón “Construcciones” y con un clic selecciona “Recta perpendicular”.

2. Haz un clic sobre el punto P, luego sobre R y Q respectivamente.

Estas rectas se interceptan en un punto llamado circuncentro.

Figura 10

1. Activa el botón “Puntos” y con un clic selecciona “Punto(s) de intersección”.

2. Haz un clic sobre el punto de intersección de las tres simetrales.

3. Rotula este punto I.

El resultado de esta construcción se observa en la figura 10.

En busca de la propiedad de las simetrales.

1. Activa el botón “Lineas” y con un clic selecciona “Segmento”. 2. Traza un segmento con los puntos F e I. Asi obtienes .

8


3. Traza un segmento con los puntos G e I. Asi obtienes . 4. Traza un segmento con los puntos Q e I. Asi obtienes . 5. Activa el botón “Atributos” y con un clic selecciona “Punteado”. 6. Haz un clic sobre , luego sobre y respectivamente.

Veamos que relación existe entre los vértices y el punto I.

1. Activa el botón “Medida” y con un clic selecciona “Distancia o longitud”. 2. Haz un clic sobre , luego sobre y respectivamente. 3. Mueve en dos ocasiones uno de los vértices del triángulo y por cada movimiento,

registra las medidas de los segmentos en la siguiente tabla:

m( ) m( ) m( )

Observando las medidas obtenidas, se puede afirmar que los segmentos son: ______________________________________________________________

Entonces, puedes trazar una circunferencia que contenga los vértices de ∆FGH. Inténtalo utilizando la opción “circulo”.

1. Mueve los vértices del triángulo y observa lo que ocurre.

Entonces, los vértices de ∆FGH _________________________________________

La Bisectriz y su propiedad.




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Figura 11


Ya has construido el triángulo.

Determina las bisectrices del ∆FGH:

1. Activa el botón “Construcciones” y con un clic selecciona “Bisectriz”. 2. Haz un clic sobre el vértice F, luego G y H respectivamente. 3. Repite la acción anterior con los vértices G, H y F, en ese orden. 4. Traza la tercera bisectriz.

Estas semirectas se interceptan en un punto llamado Incentro.


2. Haz un clic sobre el punto de intersección de las tres simetrales. 3. Rotula este punto I.


Figura 12

En busca de la propiedad de las bisectrices.


2. Haz un clic sobre el punto I, y luego sobre .

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3. Rotula M al punto de intersección en . 4. Activa el botón “Atributos” y con un clic selecciona “Punteado”. 5. Haz un clic sobre la recta IM. 6. Traza un recta perpendicular que pase por el punto I y . 7. Rotula N al punto de intersección en . 8. Traza un recta perpendicular que pase por el punto I y . 9. Rotula O al punto de intersección en .

Veamos que relación existe entre estos nuevos puntos e I.

4. Activa el botón “Medida” y con un clic selecciona “Distancia o longitud”. 5. Haz un clic sobre , luego sobre y respectivamente. 6. Mueve en dos ocasiones uno de los vértices del triángulo y por cada movimiento,


m( ) m( ) m( )

Observando las medidas obtenidas, se puede afirmar que los segmentos son: ______________________________________________________________

Entonces, puedes trazar una circunferencia que contenga a los puntos M, N y O de ∆FGH. Inténtalo utilizando la opción “circulo”.

2. Mueve los vértices del triángulo y observa lo que ocurre.

Entonces, el ∆FGH es_________________________________________

Transversal de gravedad y su propiedad.




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Figura 13


Determina los puntos medios de los lados del ∆FGH:

1. Activa el botón “Construcciones” y con un clic selecciona “Punto medio”. 2. Haz un clic sobre el vértice F al momento de aparecer el comentario “Punto

medio de este punto” y luego otro clic sobre el vértice H al aparecer “y este punto”.

3. Este nuevo punto, rotúlalo R. 4. Determina el punto medio del lado y rotúlalo P. 5. Ahora, determina el punto medio del lado y rotúlalo Q.

Traza las transversales de gravedad.

3. Activa el botón “Lineas” y con un clic selecciona “Semirrecta”. 4. Haz un clic sobre el vértice F y el punto Q respectivamente. 5. Haz un clic sobre el vértice G y el punto R respectivamente. 6. Traza la última transversal de gravedad.

Estas rectas se interceptan en un punto llamado Baricentro.


2. Haz un clic sobre el punto de intersección de las tres transversales de gravedad.

3. Rotula este punto B.


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Figura 14

En busca de la propiedad de las transversales de gravedad.

1. Activa el botón “Medida” y con un clic selecciona “Distancia o longitud”. 2. Haz un clic sobre R y B, luego sobre G y B respectivamente. 3. Mueve en tres ocasiones el vértice G del triángulo y en cada movimiento,


m( ) m( ) Calcula m( ) / m( )

¿Qué relación se observa entre estos segmentos? : ______________________________________________________________

Completa las siguientes tablas

m( ) m( ) Calcula m( )/ m( )

m( ) m( ) Calcula m( )/m( )

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Entonces, el Baricentro cumple con __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Altura y su propiedad.


Figura 15



3. Rotula los vértices con las letras A, B y C como se muestra en la figura 15.

Determina las alturas del ∆FGH:


2. Haz un clic sobre el vértice A y luego sobre . 3. Este nuevo punto, rotúlalo R. 4. Traza la altura con origen en B y que intercepte el lado y rotúlalo la

intersección P. 5. Traza la altura con origen en C y que intercepte el lado y rotúlalo la

intersección Q.

Estas rectas se interceptan en un punto llamado Ortocentro.


2. Haz un clic sobre el punto de intersección de las tres transversales de gravedad.

3. Rotula este punto O.


14


Figura 16

En busca de la propiedad de las alturas.

1. Activa el botón “Manipulación” y con un clic selecciona “Apuntador”. 2. Mueve el vértice A, y observa lo que ocurre con el punto O. 3. Mueve el vértice B, y observa lo que ocurre con el punto O.

Entonces, el punto O cumple ______________________________________________________________________________________________________________

Construcción de un triángulo

Construir un triángulo ABC, conocidos sus tres lados.

1. En un archivo nuevo, del botón

15


Figura 17

Figura 18

“Texto y símbolo”,activa la opción “Número”.

2. En la parte superior izquierda del área de trabajo, haz un clic, luego digita el número 6.

3. Del botón “Líneas”,activa la opción “vector”.

4. Haz un clic al costado derecho del número 6, mueve el mouse dibujando una línea horizontal y haz otro clic. Así dibujas un vector similar al de la Figura 17.

5. Del botón “Construcciones”, activa la opción “Transferencia de medidas” .

6. Haz un clic sobre el número 6 y luego sobre el vector. Así defines otro punto a una distancia 6 unidades.

7. Del botón “Líneas”, activa la opción “Segmentos” y une estos puntos.

8. Repite las acciones de 1 a la 7 para construir segmentos de 4 y 5 unidades.

9. Etiqueta cada segmento con las letras a, b y c como lo muestra la Figura 18.

Para iniciar la construcción, transferirás la medida del segmento c a una semirrecta:

1. Del botón “Líneas”,activa la opción “Semirrecta”. Luego, dibuja una semirrecta con origen en A.

2. Del botón “Construcciones”, activa la opción “Compás”.

3. Luego, haz un clic en los puntos extremos del segmento c y después un clic en el punto A de la semirrecta.

Figura 19

Para visualizar el punto B generado por la circunferencia al intersectar la semirrecta.

1. Dibuja el punto de intersección con la opción “Punto(s) de intersección”.

2. Del botón “Texto y

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Figura 20 símbolo”,activa la opción “Nombrar”. Después, asigna la letra B al punto de intersección de ambas figuras.

3. Del botón “Atributos”,activa la opción “Ocultar/Nombrar” para hacer un clic sobre la circunferencia para así ocultarla.

Dibuja el punto C, generado por la intersección de dos circunferencias de radios de medidas igual a y b respectivamente:

1. Del botón “Construcciones”,activa la opción “Compás”. Luego, haz un clic en cada extremo del segmento b.

2. Haz un clic en el punto A. 3. Repite las acciones anteriores con el

segmento a y el punto B. 4. Etiqueta C al punto de intersección de

ambas circunferencias ubicado sobre la semirrecta como se muestra e la Figura 21. Figura 21

Construye un triángulo ABC :

Figura 22

1. Oculta ambas circunferencias y la semirrecta.

2. Del botón “Líneas”, activa la opción “Polígono”.

3. Haz un clic sobre los puntos A, B y C.

Así has construido un triángulo ABC conocidos sus tres lados.

Construir un triángulo ABC, conocidos dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

1. Dibuja dos segmentos de medidas b=2 y c=4 en la parte superior del área de trabajo.

2. Del botón “Texto y símbolo”, activa la opción “Número” . 3. A continuación de los segmentos, ingresa la medida de un ángulo, para este

caso 36.

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Figura 23

4. Dibuja un segmento. 5. Del botón “Transformaciones”,

activa la opción “Rotación”. 6. Haz un clic sobre el segmento, al

mostrar el comentario “Rotación de este segmento”.

7. Luego, otro clic en el punto extremo derecho al presentar el comentario “alrededor de este centro”.

8. Un clic en la medida del ángulo, 36.

Para iniciar la construcción con las figuras anteriores, copia el segmento c:

1. Del botón “Líneas”,activa la opción “Semirrecta”. Luego, dibuja una semirrecta horizontal con origen en A.

2. Del botón “Construcciones”, activa la opción “Compás”.

3. Luego, haz un clic en cada uno de los puntos extremos del segmento c y después un clic en el punto A de la semirrecta.

4. Etiqueta el nuevo punto de intersección con la letra B, como se observa en la Figura 24.

Figura 24

Figura 25

Para copiar el ángulo:

1. Construye una circunferencia con centro en A y radio de medida igual a la de uno de los lados del ángulo 36°. Como se muestra en la Figura 25.

2. Etiqueta C a este punto. 3. Construye una circunferencia con centro en

C y radio de medida igual a la distancia entre los puntos extremos de los lados del ángulo de 36°.

4. Etiqueta este punto con la letra D y ocultas las circunferencias y la semirrecta.

Copia el segmento b:

1. Traza una semirrecta con origen en

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Figura 26

A y que pase por D. 2. Copia el segmento b sobre la

semirrecta , marcando el punto de intersección C,como se muestra en la Figura 26

3. Oculta las circunferencias y semirrecta, y con la opción “Polígono” dibuja el triángulo formado por los vértices A, B y C.

Así, has construido un triángulo conocidos sus dos lados y el ángulo que conforman estos últimos.

Figura 27

Usa la opción “Distancia y longitud” para comprobar que las medidas de los lados del triángulo corresponden a la de los segmentos b y c.Desigualdad del triángulo

Las acciones se realizarán a continuación, permitirán determinar que propiedad permite construir un triángulo en base a tres segmentos dados. Para ello, recurre a las acciones indicadas en la sección “Construcción de un triángulo, conocidos sus tres lados”.

Construir un triángulo ABC, cuyos lados son de medidas 4, 5 y 8.

1. Construye el triángulo según las acciones de la sección “Construcción de un triángulo, conocidos sus tres lados”.

2. Completa la siguiente tabla con las medidas respectivas.

m( ) m( ) m( ) m( ) + m( ) m( ) + m( ) m( ) + m( )

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3. Usando los valores anteriores completa la siguiente tabla, ingresando los símbolos >, < o =.

m( ) m( ) m( )

m( ) + m( )

m( ) + m( )

m( ) + m( )

Construir un triángulo ABC, cuyos lados son de medidas 4, 3 y 8.

1. Construye el triángulo según las acciones de la sección “Construcción de un triángulo, conocidos sus tres lados”.

2. Completa la siguiente tabla con las medidas respectivas.

m( ) m( ) m( ) m( ) + m( ) m( ) + m( ) m( ) + m( )

3. Usando los valores anteriores completa la siguiente tabla, ingresando los símbolos >, < o =.

m( ) m( ) m( )

m( ) + m( )

m( ) + m( )

m( ) + m( )

Según lo observado en las acciones anteriores, cuál es la relación que deben cumplir tres lados para construir un triangulo:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Desafíos sobre triángulos

Los siguientes desafíos tienen el propósito de aplicar las propiedades vistas en las acciones anteriores.

Construir la recta de Euler de un triángulo.

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Dado un triángulo ABC, construir sus alturas, sus simetrales y Transversales de gravedad. Observar los que ocurre al unir los puntos singulares al unirlos con una recta.

Figura 28

Construir las bisectrices de ángulos exteriores del Triángulo

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