TRIANGULO ESFERICO

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Geometría Esférica aplicada a la geodesia

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Griegos: Estudiaron la relación entre un arco de circunferencia y longitud de cuerda.Medida de ángulos en grados, minutos y segundosHiparco de Nicea “Padre de la Trigonometría”

Melaneo de Alejandría: Primero en definir triángulos esféricos en Tratado de Sphoirica.

Claudio Tolomeo:13 libros “Almagestro”, tratado de astronomía.

Árabes:Aplicaciones astronómicas o náuticas.Nasir Al-Din publica primer tratado sobre trigonometría plana y esférica independiente de la astronomía.

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Francois Viète:Incorporó el triángulo polar a la trigonometría esférica.

John Napier:Reglas para resolver triángulos esféricos.Propiedades para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Euler:Demostró que las propiedades básicas de la trigonometría

eran producto de la aritmética de los números complejos.

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La localización de objetos en la bóveda celeste exige que se establezcan un adecuado sistema de referencia.

Sistema de coordenadas esféricas3 parámetros:r : distancia al origen de coordenadaa : ángulo que indica la dirección del punto respecto al origenb : ángulo que indica la dirección del punto respecto al origen

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Sistema

Plano fundamental

Eje fundamental

Coord. ascendente

Coord. declinante

Coordenadas geográficas

Plano ecuatorial de la Tierra

Eje Norte-Sur geográficos

Longitud Geográfica

Latitud geográfica

Coordenadashorizontales u

Altazimutales

Plano del horizonte del observador

Eje Zenit-Nadir Azimut Altura

Coordenadas horarias o ecuatoriales locales

Plano ecuatorial de la Tierra

Eje Norte-Sur celestes

Angulo horario Declinación

Coordenadas ecuatoriales

Plano ecuatorial de la Tierra

Eje Norte-Sur celestes

Ascensión recta Declinación

Coordenadas Eclípticas

Plano de la Eclíptica

Eje Norte-Sur eclípticos

Longitud eclíptica

Latitud eclíptica

Coordenadas Galácticas

Plano de simetría de la galaxia

Eje Norte-Sur galácticos

Longitud galáctica

Latitud galáctica

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CÍRCULO MÁXIMODivide a la esfera en dos hemisferios iguales.Dos puntos a los largo del círculo máximo sobre la esfera

recibe elnombre de ORTODROMA.

Distancia ortodrómica: menor distancia entre dos puntos máximos de

La esfera.

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CÍRCULO MENORCírculo determinado por un plano que corta a la esfera,

excepto en elcentro.

SUPERFICIE DE LA ESFERALugar geométrico donde dos punto de la esfera equidistan a

un puntointerior (centro).

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MEDIDA DE UN ÁNGULO ESFÉRICO

I, N: tangentesH, S: prolongaciones de los puntos B y C del triángulo

esférico.

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CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

- En cuanto a sus ladosEscaleno: tres lados diferentesIsósceles: dos lados iguales y un lado diferenteEquilátero: tres lados iguales

- En cuanto a los ángulosAcutángulo: tres ángulos agudosRectángulo: un ángulo rectoBirretángulo: dos ángulos rectosTrirretángulo: tres ángulos rectosObtusángulo: tres ángulos obtusos

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- En cuanto al valor de los ladosRetilátero: un lado igual a 90ºBirretilátero: dos lados igual a 90ºTrirretilátero: tres lados igual a 90º

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2

2

2

4360

'

4360

'

4360

'

rC

ABCABC

rB

CABABC

rA

BCAABC

242

1'''' rBCACABABCABC

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Como CABBCA '''

2222 24360

4360

4360

rABCrC

ABCrB

ABCrA

ABC

, (por ser opuestos por el vértice) tenemos:

22 24360

2 rrCBA

ABC

222360

rrCBA

ABC

2

180

180r

CBAABC

21180

rCBA

ABC

Por tanto:

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Teorema:En un triángulo esférico, la suma de la medida de los lados es

siempre menor que 2πr.Se prolongan los lados AB y AC

hasta la antípoda de A; como CB es geodésica, se verifica:

A

B

C

A’ CABABC ''

rACAABAACABCABABCACAB 2''''

RBCACAB 2

.

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Teorema En un triángulo esférico, los ángulos interiores suman más de

180º

DemostraciónPrimero se construye un triedro suplementario, para ello se

necesitalos tres planos del triedro de nuestro triángulo esférico.

Los arcos de circunferencia a, b y c tendrán unas longitudes de:

B’

c

A

B

A’

c’

C

C’

.360

2;

360

2;

360

2 rCc

rBb

rAa

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Y los segmentos que determinan A`, B` y C`:

Por lo tanto:

Del mismo modo:b + b`= πr ; c + c`= πr

Tomando las tres identidades obtenidas y sumándolas, se tiene:

.

360

2180;

360

2180;

360

2180 rCc

rBb

rAa

r

rArrArArAaa

360

221802

360

2180

360

2

cbarcbacrc

brb

ara

3

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Como:

Sustituyendo:

rcba 20 rcbar 230 rcbar 3

540180

3360

2

3360

2

360

2

360

2

CBA

rCBAr

r

rrCrBrA

r

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- En un triángulo esférico un lado es menos a la suma de sus otros dos lados y mayor a su diferencia.

- El lado mayor del triángulo esférico se opone al mayor ángulo.Si a es máximo, entonces A es máximoSi b es máximo, entonces B es máximoSi c es máximo, entonces C es máximo

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- Todo ángulo de un triángulo esférico aumentado en 180º es mayorque la suma de los otros dos.

- El perímetro de un triángulo esférico es siempre menor que la circunferencia máxima.

a + b + c < 360º

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*Considerando la Tierra esférica, calcular la distancia entre Florianópolis y Moscú.

Datos: Florianópolis Latitud: 64º 58` 30`` S

Longitud: 48º 34` 16`` WMoscú: Latitud: 55º 45` 00`` N

Longitud: 37º 37` 00`` E

1 Milla = 1`= 1.852 metros.

f = 90º + lat Moscú f = 90º + 55º 45` f = 145º 45`

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f = 145º 45`00``Sm = 64º 58` 30`` Sps= distancia que buscamosPS= vértice polo sur (90º)

Aplicando la fórmula de los 4 Elemento o coseno:

cos ps = cos m * cos f + sen m * sen f * cos PScos ps = cos (64º58`30``) * cos (145º45`) + sen (64º58`30``) * sen

(145º45`) * cos (90º)cos ps = -0,349656688ps = 110º27`58,74``

La distancia de Florianópolis a Moscú es:ps = 110º27`58.74`` x 60 x 1.852ps = 12.275.017m = 12.275 km.

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Trigonometría esférica• La Tierra puede ser modelada en una esfera• Posicionamiento bajo un sistema de referencia inercial (ICRS)

(ITRS)• Posicionamiento geográfico y azimut asociado a los astros.• Imprecisiones asociadas al modelo esférico

Coordenadas esféricas• Circulo máximo • Latitud y longitud astronómica, paralelos y meridianos.• Distancia mínima entre dos puntos (ortodrómica)• Línea de azimut constante (loxodrómica)• Esfera celeste

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Triangulo esférico

• Triangulo sobre la superficie esférica limitado por 3 arcos de circunferencia máxima. (menores a 180º)

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Triángulos esféricos polares• Cada lado de un triangulo esférico es

suplementario de un lado de su triangulo polar Lados

• El lado mayor es menor que la suma de los otros dos.

• El lado menor es mayor que la diferencia de los otros dos.

ángulos• El lado mayor se opone al ángulo mayor• A la dos iguales se oponen ángulos iguales• 180º<A+B+C<540º• 180º+A>B+C• a+b+c<360º

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Grupos de formulas de bessel

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Grupos de formulas de Bessel

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Ejemplo de resolución de un triangulo esférico

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Teorema de las tangentes de los ángulos medios-formula de los marineros (3 lados, 1 Angulo, aplicado a lados)

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AutoCAD Drawing

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Instrumentos de navegaciónCuando no hay Tierra a la vista, los marinos se guían por las estrellas. Eloctante (izquierda) y los sextantes (derecha) permiten medir la alturaaparente de un cuerpo celeste para determinar la posición de un barco. Eloctante dispone de un arco de 45°, mientras que la escala del sextanteabarca 60°.

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