TRIANGULO ESFERICO

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Geometría Esférica aplicada a la geodesia

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  • > DEFINICIONES

  • Griegos: Estudiaron la relacin entre un arco de circunferencia y longitud de cuerda.Medida de ngulos en grados, minutos y segundosHiparco de Nicea Padre de la Trigonometra

    Melaneo de Alejandra: Primero en definir tringulos esfricos en Tratado de Sphoirica.

    Claudio Tolomeo:13 libros Almagestro, tratado de astronoma.

    rabes:Aplicaciones astronmicas o nuticas.Nasir Al-Din publica primer tratado sobre trigonometra plana y esfrica independiente de la astronoma.

  • Francois Vite:Incorpor el tringulo polar a la trigonometra esfrica.

    John Napier:Reglas para resolver tringulos esfricos.Propiedades para resolver tringulos esfricos oblicuos.

    Euler:Demostr que las propiedades bsicas de la trigonometra eran producto de la aritmtica de los nmeros complejos.

  • La localizacin de objetos en la bveda celeste exige que se establezcan un adecuado sistema de referencia.Sistema de coordenadas esfricas3 parmetros:r : distancia al origen de coordenadaa : ngulo que indica la direccin del punto respecto al origenb : ngulo que indica la direccin del punto respecto al origen

  • SistemaPlano fundamentalEje fundamentalCoord. ascendenteCoord. declinanteCoordenadas geogrficasPlano ecuatorial de la TierraEje Norte-Sur geogrficosLongitud GeogrficaLatitud geogrficaCoordenadas horizontales uAltazimutalesPlano del horizonte del observadorEje Zenit-NadirAzimutAlturaCoordenadas horarias o ecuatoriales localesPlano ecuatorial de la TierraEje Norte-Sur celestesAngulo horarioDeclinacinCoordenadas ecuatorialesPlano ecuatorial de la TierraEje Norte-Sur celestesAscensin rectaDeclinacinCoordenadas EclpticasPlano de la EclpticaEje Norte-Sur eclpticosLongitud eclpticaLatitud eclpticaCoordenadas GalcticasPlano de simetra de la galaxiaEje Norte-Sur galcticosLongitud galcticaLatitud galctica

  • CRCULO MXIMODivide a la esfera en dos hemisferios iguales.Dos puntos a los largo del crculo mximo sobre la esfera recibe elnombre de ORTODROMA.

    Distancia ortodrmica: menor distancia entre dos puntos mximos deLa esfera.

  • CRCULO MENORCrculo determinado por un plano que corta a la esfera, excepto en elcentro.

    SUPERFICIE DE LA ESFERALugar geomtrico donde dos punto de la esfera equidistan a un puntointerior (centro).

  • MEDIDA DE UN NGULO ESFRICO

    I, N: tangentesH, S: prolongaciones de los puntos B y C del tringulo esfrico.

  • CLASIFICACIN DE TRINGULOS ESFRICOS

    En cuanto a sus ladosEscaleno: tres lados diferentesIssceles: dos lados iguales y un lado diferenteEquiltero: tres lados iguales

    En cuanto a los ngulosAcutngulo: tres ngulos agudosRectngulo: un ngulo rectoBirretngulo: dos ngulos rectosTrirretngulo: tres ngulos rectosObtusngulo: tres ngulos obtusos

  • En cuanto al valor de los ladosRetiltero: un lado igual a 90Birretiltero: dos lados igual a 90Trirretiltero: tres lados igual a 90

  • Como, (por ser opuestos por el vrtice) tenemos: Por tanto:

  • Teorema:En un tringulo esfrico, la suma de la medida de los lados es siempre menor que 2r.Se prolongan los lados AB y AC hasta la antpoda de A; como CB es geodsica, se verifica: .

  • Teorema En un tringulo esfrico, los ngulos interiores suman ms de 180

    DemostracinPrimero se construye un triedro suplementario, para ello se necesitalos tres planos del triedro de nuestro tringulo esfrico.

    Los arcos de circunferencia a, b y c tendrn unas longitudes de:

  • Y los segmentos que determinan A`, B` y C`:

    Por lo tanto:

    Del mismo modo:b + b`= r ; c + c`= rTomando las tres identidades obtenidas y sumndolas, se tiene:

  • Como:

    Sustituyendo:

  • En un tringulo esfrico un lado es menos a la suma de sus otros dos lados y mayor a su diferencia.

    El lado mayor del tringulo esfrico se opone al mayor ngulo.Si a es mximo, entonces A es mximoSi b es mximo, entonces B es mximoSi c es mximo, entonces C es mximo

  • Todo ngulo de un tringulo esfrico aumentado en 180 es mayorque la suma de los otros dos.

    El permetro de un tringulo esfrico es siempre menor que la circunferencia mxima.a + b + c < 360

  • *Considerando la Tierra esfrica, calcular la distancia entre Florianpolis y Mosc.

    Datos: Florianpolis Latitud: 64 58` 30`` S Longitud: 48 34` 16`` WMosc: Latitud: 55 45` 00`` N Longitud: 37 37` 00`` E

    1 Milla = 1`= 1.852 metros.

    f = 90 + lat Mosc f = 90 + 55 45` f = 145 45`

  • f = 145 45`00``Sm = 64 58` 30`` Sps= distancia que buscamosPS= vrtice polo sur (90)

    Aplicando la frmula de los 4 Elemento o coseno:

    cos ps = cos m * cos f + sen m * sen f * cos PScos ps = cos (6458`30``) * cos (14545`) + sen (6458`30``) * sen (14545`) * cos (90)cos ps = -0,349656688ps = 11027`58,74``

    La distancia de Florianpolis a Mosc es:ps = 11027`58.74`` x 60 x 1.852ps = 12.275.017m = 12.275 km.

  • Trigonometra esfricaLa Tierra puede ser modelada en una esferaPosicionamiento bajo un sistema de referencia inercial (ICRS) (ITRS)Posicionamiento geogrfico y azimut asociado a los astros.Imprecisiones asociadas al modelo esfricoCoordenadas esfricasCirculo mximo Latitud y longitud astronmica, paralelos y meridianos.Distancia mnima entre dos puntos (ortodrmica)Lnea de azimut constante (loxodrmica)Esfera celeste

  • Triangulo esfricoTriangulo sobre la superficie esfrica limitado por 3 arcos de circunferencia mxima. (menores a 180)

  • Tringulos esfricos polaresCada lado de un triangulo esfrico es suplementario de un lado de su triangulo polarLadosEl lado mayor es menor que la suma de los otros dos.El lado menor es mayor que la diferencia de los otros dos.ngulosEl lado mayor se opone al ngulo mayorA la dos iguales se oponen ngulos iguales180
  • Grupos de formulas de bessel

  • Grupos de formulas de Bessel

  • Ejemplo de resolucin de un triangulo esfrico

  • Teorema de las tangentes de los ngulos medios-formula de los marineros (3 lados, 1 Angulo, aplicado a lados)

  • Instrumentos de navegacinCuando no hay Tierra a la vista, los marinos se guan por las estrellas. Eloctante (izquierda) y los sextantes (derecha) permiten medir la alturaaparente de un cuerpo celeste para determinar la posicin de un barco. Eloctante dispone de un arco de 45, mientras que la escala del sextanteabarca 60.

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