DefinIcin de tringuloUntringuloes unpolgonodetres lados.Untringuloest determinado por:1.Tressegmentosde recta que se denominanlados.

2.Trespuntosno alineados que se llamanvrtices.

Losvrticesse escriben con letrasmaysculas.Losladosse escriben enminscula, con la mismas letras de los vrtices opuestos.Losngulosse escriben igual que losvrtices.

Propiedades de los tringulos1Unladode untringuloesmenorque lasumade losotros dosymayorque sudiferencia.a < b + ca > b - c

2Lasumade losngulos interioresde untringuloes igual a180.A + B + C =180

3El valor de unngulo exteriorde untringuloes igual a lasumade losdos interiores no adyacentes.=A + B=180 - C

4En untringuloamayor ladose oponemayor ngulo.

5Si un tringulo tienedos lados iguales, susngulos opuestostambin soniguales.Tringulos iguales1Dostringulossonigualescuando tieneniguales un lado y sus dos ngulos adyacentes.2Dostringulossonigualescuando tienendos lados iguales y el ngulo comprendido.3Dostringulossonigualescuando tienen lostres lados iguales.

Clases de tringulos segn sus ladosTringulo equiltero

Tres lados iguales.

Tringulo issceles

Dos lados iguales.

Tringulo escaleno

Tres lados desiguales

Clases de tringulos segn sus ngulosTringulo acutngulo

Tres ngulos agudos

Tringulo rectngulo

Un ngulo rectoEl lado mayor es la hipotenusa.Los lados menores son los catetos.

Tringulo obtusngulo

Un ngulo obtuso.Permetro de un triangulo

Tringulo EquilteroTringulo IsscelesTringulo Escaleno

rea de un tringulo

EjemploHallarelreadel siguientetringulo:

rea de un tringulo rectnguloEl rea de untringulo rectnguloes igual alproducto de los catetos partido por 2.

EjemploHallar elrea del tringulo rectngulocuyos catetos miden 3 y 4 cm.

SemipermetroElsemipermetro de un tringuloes igual a lasuma de sus lados partido por 2.Se denota con la letrap.

Frmula de HernLafrmula de Hernse utiliza para hallar elrea de un tringuloconociendo sustres lados.

EjemploHallar elrea del tringulocuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

Tringulo equilteroUntringulo equilterotiene los tres lados y ngulos iguales.

Permetro de un tringulo equiltero

EjemploCalcular elpermetro de un tringulo equilterode 10 cm de lado.P = 3 10 =30 cm

Altura de un tringulo equilteroAplicando el teorema de Pitgoras podemos calcular laaltura:

EjemploCalcular laaltura de un tringulo equilterode 10 cm de lado.

rea de un tringulo equiltero

EjerciciosCalcular elrea de un tringulo equilterode 10 cm de lado.

Elpermetrode untringulo equilteromide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm. Calcula elreadel tringulo.

P = 0.9 dm = 90 cml = 90 : 3 = 30 cmA = (30 25.95) : 2 =389.25 cm

Hallar el permetro y el rea del tringulo rectngulo:

P = 3 10 =30 cm

Apotema del tringulo equiltero

ElLado de un tringulo equiltero inscritoes:

Despejamos el radio y aplicamos el teorema de Pitgoras

EjemploCalcularlaapotemade untringulo equilterode 6 cm de lado.

Elementos notables del tringulo equiltero

En untringulo equilterocoinciden elortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.Elcentro de la circunferenciaes elbaricentroy laalturacoincide con lamediana, por tanto elradiode lacircunferencia circunscritaes igual ados tercios de la altura.

EjerciciosCalcular elreade untringulo equiltero inscrito en una circunferenciade radio 6 cm.

Dado untringulo equilterode 6 m de lado, hallar elreade uno de lossectoresdeterminado por lacircunferencia circunscritay por los radios que pasan por los vrtices.

Calcular elladode untringulo equilteroinscritoen unacircunferenciade 10 cm de radio.

REA DE UN TRINGULO ISSCELESANUNCIOS

Elreade untringulo issceles, como en todotringulo, ser un medio de la base (b) por sualtura. En eltringulo isscelesse calcula mediante la siguiente frmula:

Cmo se obtiene?El rea deltringulo isscelesse obtiene como el producto de la base (el ladob) por laaltura(h) dividido por dos (Nota:por qu el rea de un tringulo es un medio del producto de la base por la altura?).

sta se puede calcular a partir delteorema de Pitgoras. Los ladosa,b/2yhforman untringulo rectngulo. Los costadosb/2yhson loscatetosyalahipotenusa.Laalturahcorrespondiente a la base se obtiene por los siguientes clculos:

Laaltura(h) ser:

Se aplica que elreaes un medio del producto de labase(b) por laaltura(h):

Y se llega a lafrmuladelreadeltringulo issceles.Ejemplo

Se requiere calcular elreade untringulo issceles. Se conocen sus lados: hay dos lados iguales dea=3cm y un lado diferente deb=2cm.Cul es surea?Se calcula sta mediante la frmula anterior, multiplicando la base por la altura:

Elreade estetringulo issceleses de2,83cm2.

REA DE UN TRINGULO ESCALENOANUNCIOS

Elreadeltringulo escalenopuede calcularse mediante lafrmula de Hernsi se conocen todos sus costados (a,byc).

Tambin se podra calcular si se conoce un costado (b) y laaltura(h) asociada a dicho costado.

Por ltimo, porprocedimientos trigonomtricostambin puede hacerse el clculo delreade untringulo escaleno, siempre que se conozcantres elementos del tringulo, siendo, al menos, uno de ellos un lado.Ejemplo

Sea untringulo escalenode costados conocidos, siendo stosa=2cm,b=4cm yc=3cm.Cul es surea? sta se calcula mediante lafrmula de hern. Antes de todo calcularemos el semipermetros:

Sabiendo el semipermetro, aplicamos lafrmula de hern:

Y se obtiene que sureaes2,9cm2.

TRINGULO RECTNGULOANUNCIOSTweet

Eltringulo rectnguloes unpolgonode tres lados que tieneuno de sus ngulos recto(=90).Los dos ngulos menores ( y ) suman 90.Loselementos de un tringulo rectnguloson: los dos costados contiguos al ngulo recto,ayb(cada uno de ellos es uncateto), y el lado mayorc, opuesto al ngulo recto, que es lahipotenusa.

Tipos de tringulo rectnguloHay dostipos de tringulo rectngulo, segn los dosngulos gudos:

Tringulo rectngulo issceles: tiene unngulo recto(90) ydos ngulos de 45. Los doscatetosson iguales.

Tringulo rectngulo escaleno: tiene todos losngulos diferentes(siendo uno de ellos de 90). Los lados tambin son diferentes.

Altura del tringulo rectngulo

Lasalturasdeltringulo rectnguloasociadas a loscatetos(ayb) son elcatetoopuesto. Por lo tanto, ha=b y hb=a.Para calcular la altura asociada al ladoc(lahipotenusa) se recurre alteorema de la altura.

Laalturah(o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados deltringulo rectngulo.

rea de un tringulo rectnguloEltringulo rectngulotiene un ngulo recto (90), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Sureaes la mitad del producto de los dos lados que forman el ngulo recto (catetosayb).

Permetro de un tringulo rectnguloElpermetro de un tringulo rectnguloes la suma de los tres costados.

Eltringulo rectngulocumple elteorema de Pitgoras, por lo que lahipotenusa(c) se puede expresar a partir de loscatetos(ayb).

Teorema de Pitgoras

Elteorema de Pitgorasrelaciona la longitud de loscatetosy lahipotenusa. Enuncia que:

Todos lostringulos rectnguloscumplen que lahipotenusaal cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ngulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Teorema de la alturaElteorema de la alturarelaciona la altura (h) del tringulo y loscatetosde dostringulossemejantes al principalABC, al trazar la alturahsobre lahipotenusa, enunciando lo siguiente:En todotringulo rectngulo, la altura (h) relativa a lahipotenusaes lamedia geomtricade las dos proyecciones de loscatetossobre lahipotenusa(nym).

Teorema del catetoElteorema del catetorelaciona los segmentos proyectados por loscatetossobre lahipotenusacon cada uno de loscatetos.

En todotringulo rectngulo, uncateto(aob) es lamedia geomtricaentre lahipotenusa(c) y la proyeccin de esecatetosobre ella (nom).

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

Lasidentidades trigonomtricasson ecuaciones que contienen funciones trigonomtricas.Razones trigonomtricas

Senode :

Cosenode :

Tangentede :

Razones trigonomtricas inversas

Cosecantede :

Secantede :

Cotangentede :

Relacin entre razones trigonomtricas

Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que est el ngulo.Relaciones trigonomtricas bsicasIdentidad fundamental de la trigonometra

Relacin entre el seno, coseno y tangente

Relacin trigonomtrica entre la tangente y la secante

Relacin trigonomtrica entre la cosecante y la cotangente

ngulos complementariosSenodelngulo complementario:

Cosenodelngulo complementario:

Tangentedelngulo complementario:

Cosecantedelngulo complementario:

Secantedelngulo complementario:

Cotangentedelngulo complementario:

ngulos suplementariosSenodelngulo suplementario:

Cosenodelngulo suplementario:

Tangentedelngulo suplementario:

Cosecantedelngulo suplementario:

Secantedelngulo suplementario:

Cotangentedelngulo suplementario:

ngulos conjugadosSenodelngulo conjugado:

Cosenodelngulo conjugado:

Tangentedelngulo conjugado:

Cosecantedelngulo conjugado:

Secantedelngulo conjugado:

Cotangentedelngulo conjugado:

ngulos opuestosSenodelngulo opuesto:

Cosenodelngulo opuesto:

Tangentedelngulo opuesto:

Cosecantedelngulo opuesto:

Secantedelngulo opuesto:

Cotangentedelngulo opuesto:

ngulos que difieren 90Senodelngulo que difiere 90:

Cosenodelngulo que difiere 90:

Tangentedelngulo que difiere 90:

Cosecantedelngulo que difiere 90:

Secantedelngulo que difiere 90:

Cotangentedelngulo que difiere 90:

ngulos que difieren 180Senodelngulo que difiere 180:

Cosenodelngulo que difiere 180:

Tangentedelngulo que difiere 180:

Cosecantedelngulo que difiere 180:

Secantedelngulo que difiere 180:

Cotangentedelngulo que difiere 180:

Transformaciones de razones trigonomtricasSuma en producto

Producto en suma

Razones trigonomtricas del ngulo sumaSenodelngulo suma:

Cosenodelngulo suma:

Tangentedelngulo suma:

Razones trigonomtricas del ngulo restaSenodelngulo resta:

Cosenodelngulo resta:

Tangentedelngulo resta:

Razones trigonomtricas del ngulo dobleSenodelngulo doble:

Cosenodelngulo doble:

Tangentedelngulo doble:

Razones trigonomtricas del ngulo mitadSenodelngulo mitad:

Cosenodelngulo mitad:

Tangentedelngulo mitad:

Razones trigonomtricas del ngulo tripleSenodelngulo triple:

Cosenodelngulo triple:

Tangentedelngulo triple:

Teorema del senoElteorema del senorelaciona proporcionalmente los lados y los ngulos de untringulo. ste enuncia que:Cadacostadode untringulo(a,byc) es directamenteproporcionalalsenodelngulo opuesto(A,ByC).

La razn entre un lado y elsenodel ngulo opuesto es igual al dimetro (el doble del radio, 2R) de lacircunferencia(L) en la que se circunscribe eltringulo.Es decir, todas lasrazonesentre cadalado(a,byc) y elsenodelngulo opuesto(A,ByC) sondirectamente proporcionalesy dicha proporcin es2R.

Teorema del cosenoElteorema del cosenorelaciona un lado deltringulocon los otros dos y el ngulo que forman stos. El teorema enuncia que:El cuadrado de unlado(a,boc) cualquiera de untringuloesiguala la suma de los cuadrados de los doslados restantesmenos el doble del producto de ellos por elcosenodel ngulo (A,BoC) que forman.

Elteorema del cosenoes una generalizacin delteorema de Pitgoraspara cualquiertringulo.De hecho, si el nguloAfuese recto (90), sucosenoseria cero, quedando:a2= b2+c2. Si el nguloAfuese obtuso, es decir >90, entonces el coseno sera negativo.Teorema de la tangenteElteorema de la tangenterelaciona las longitudes de dos lados de untringulocon lastangentesde los dos ngulos opuestos a stos. ste enuncia que:

La razn entre la suma de dos lados (a,boc) de untringuloy su resta es igual a la razn entre latangentede la media de los dos ngulos opuestos a dichos lados y latangentede la mitad de la diferencia de stos.

teorema de PitgorasEn un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitgoras:1Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusaEjemplo:Los catetos de un tringulo rectngulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. Cunto mide la hipotenusa?

2Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro catetoEjemplo:La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. Cunto mide otro cateto?

3Conociendo sus lados, averiguar si es rectnguloPara que sea rectngulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.Ejemplo:Determinar si el tringulo es rectngulo.