GUÍA DOCENTE

BACHILLERATO GENERAL UNIFICADO

ÁREA DE MATEMÁTICA

SEGUNDO CURSO - BLOQUE UNO

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ContenidoIntroducción del bloque de Números y Funciones 3

Verificación de prerrequisitos 4

Ejemplo didáctico para empezar el estudio de la función racional 20

Ejercicio para tarea. 24

Evaluación. 24

Proyecto: diseño de una caja 28

Recursos Web recomendados 29

Glosario de términos 29

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IntroduccióndelbloquedeNúmerosyFunciones El conjunto de los números reales es nuestro conjunto universo y es la base sobre la cual se desarrolla la gran pirámide que constituye el mundo matemático. Ahora bien, en la educación básica, los estudiantes desarrollan progresivamente la noción de número hasta llegar a tratar con el conjunto de números reales, sus operaciones básicas y propiedades. Los estudiantes deben profundizar el conocimiento de este conjunto utilizándolo en la resolución de problemas algebraicos. El concepto de función es, posiblemente, el más importante en Matemática; difícilmente, se puede representar un fenómeno sin el auxilio de este concepto. Los estudiantes parten y amplían el conocimiento previo de funciones, desarrollado en primero de bachillerato. Las destrezas adquiridas en el estudio del álgebra, la manipulación de expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones son cimientos que facilitan el estudio del concepto de función. Se integra lo anteriormente aprendido la noción de función, que incluye sus diversas representaciones (tabla, gráfica y ley de asignación), el estudio del dominio y el recorrido y el análisis de las variaciones. La solución de las ecuaciones debe comprenderse como el método para encontrar un cero o la imagen de una función. En el presente curso, se estudiarán diferentes clases de funciones tales como la función polinomial, racional y trigonométrica (llamadas elementales) y sus características, las mismas que nos permiten interpretar y conocer el mundo: comportamiento y evolución en la economía, predicciones y estimaciones, tiempos y velocidades, entre otros. Este bloque es fundamental para la preparación de los estudiantes hacia estudios universitarios.

En este curso los objetivos para este bloque son:

· Aplicar modelos de funciones polinomiales (lineales y cuadráticas), racionales, con radicales o trigonométricas en la resolución de problemas.

· Reconocer cuándo un problema puede ser modelado mediante una función lineal, cuadrática o trigonométrica.

· Comprender conceptos de dominio, de recorrido (rango) y de función mediante la utilización de tablas, gráficas, una ley de asignación y relaciones matemáticas (por ejem-plo, ecuaciones algebraicas).

· Determinar al conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones que contengan expresiones polinomiales, racionales, con radicales y trigonométricas; y reconocerlo como un subconjunto de los números reales.

· Determinar el comportamiento local y global de función (de una variable) polinomial, racional, con radicales, trigonométricas, o de una función definida a trozos o por casos mediante funciones de los tipos mencionados, a partir del análisis de su dominio, recorrido, monotonía, simetría, concavidad, extremos, asíntotas, intersecciones con los ejes y sus ceros.

· Operar (suma, resta, multiplicación, división, composición e inversión) con funciones (de una variable) polinomiales, racionales, con radicales, trigonométricas, o aquellas definidas por trozos o casos mediante funciones de los tipos mencionados.

· Utilizar las TIC con el objetivo: a) Graficar funciones polinomiales, racionales, con radicales y trigonométricas. b) Manipular el dominio y el recorrido (rango) para producir gráficas. c) Analizar las características geométricas de funciones polinomiales, con radicales y trigonométricas (intersecciones con los ejes, monotonía, extremos y asíntotas).

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Verificacióndeprerrequisitos

Antes de empezar el desarrollo de destrezas con criterios de desempeño es importante verificar los conocimientos previos y los prerrequisitos. Para esto, se puede elaborar una prueba de diagnóstico, una lista de cotejo a partir de la observación del desempeño del los estudiantes o formar grupos para emular el programa de televisión ¿Quién quiere ser millonario? Para lo cual se debe elaborar una batería suficiente de preguntas (esta estrategia también puede usarse al final de un proceso).

Para iniciar el estudio del bloque 1, se recomienda que desarrolle junto con sus alumnos las siguientes actividades, encaminadas a verificar y afirmar los conocimientos previos. Tome en cuenta que, en general, ningún aprendizaje puede desarrollarse sin una base previa de conocimientos. La nivelación de prerrequisitos garantiza un avance homogéneo de todo el grupo, es conveniente hacerlo al inicio del año escolar, ya que si no se lo hace aquí, a medida que avance el tiempo la diferencia de conocimientos entre unos y otros alumnos se incrementa.

Es importante mencionar que si el docente identifica debilidad en algunos tópicos tratados en el año anterior, puede crear nuevos ejercicios, tomando como base los que se proponen a continuación (se puede recurrir a un simple cambio de datos).

Solución

Reemplazamos el valor de las coordenadas de los puntos en la expresión dada 푓(푥) = 푚푥 −푛, así:

Con el punto (1, 8) se tiene 푓(1) = 8 ⇒ 8 = 푚 − 푛

Con el punto (-2, 3) se tiene푓(−2) = 3 ⇒ 3 = −2푚 − 푛

Restando las ecuaciones - se tiene5 = 3푚 ⇔ 푚 =

m en la ecuación 1 se tiene 8 = − 푛 ⇔ 푛 = −

Luego de este proceso se sugiere escribir la expresión completa de la función. Por último trazar en un plano cartesiano la representación gráfica de la misma. De este ejemplo se pueden generar una serie de ejercicios similares que permitan un repaso de la función lineal, sus elementos y características.

Encuentra los valores de 푚 y 푛 para que la función 푓(푥) = 푚푥 − 푛 pase por los puntos de coordenadas (1, 8) y (-2, 3).

1 2

1

2

2

5

Un malabarista sobre un monociclo, lanza una pelota verticalmente hacia arriba en el aire. La altura, a metros de la pelota por encima del suelo después de t segundos se puede representar por la expresión

a = 2 + 9t – 3t2, t ³ 0

1) Encuentra la altura inicial de la pelota por encima del suelo (es decir, su altura en el instante en que se libera la pelota)

2) Demuestre que la altura de la pelota después de un segundo es de 8 metros. 3) En un momento (tiempo t) posterior, la pelota de nuevo se encuentra a una altura de 8

metros:

(a) Escriba una ecuación que t (el tiempo) debe satisfacer cuando el balón está a una altura de 8 metros. (b) Resuelve la ecuación algebraica.

Solución:

(1) Para encontrar la altura inicial de la pelota, se asume que t = 0 s, es decir, en este instante la pelota está a punto de salir de las manos del malabarista. Entonces,

reemplazamos esta información en la expresión a = 2 + 9t – 3t2

a = 2 + 9 × 0 – 3 × 02 = 2

a = 2 m

Esto significa que antes de ser liberada la pelota, está se encuentra a una altura de 2 m respecto del piso.

(2) Igual que en el caso anterior, reemplazamos t=1 en la expresión

a = 2 + 9t – 3t2

a = 2 + 9 × 1 – 3 × 12 = 10

a = 8 m

Con esto se ratifica que cuando ha transcurrido un segundo, la pelota se encuentra a 8 metros del piso.

(3) Ahora la información que se tiene es la altura y reemplazando este dato en la expresión a = 2 + 9t – 3t2 se tiene:

(a) a = 8 m � 8 = 2 + 9t – 3t2

La expresión encontrada es una ecuación de segundo grado cuya variable es el tiempo. Resolviendo se tiene

(b) 3t2 – 9t + 6 = 0

� 3(t2 – 3t + 2) = 0 � (t – 2)(t – 1) = 0

� t = 2 s, o t =1s.

Esto nos indica que la pelota está a una altura de 8 metros para dos instantes, una al subir (t =1s) y otra al bajar (t = 2 s).

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El boceto muestra parte de la gráfica de la curva y = a (x – h)2 + k, donde a, h, k Î .

(a) El vértice esta en el punto (3, 1). Reconozca en él los valores de h y de k. (b) Si conocemos que el punto P tiene por coordenadas (5, 9). Muestre que el

valor de a = 2. (c) A partir de los literales anteriores muestre que la ecuación de la curva se

puede escribir como y = 2x2 – 12x + 19.

Solución

(a) Puesto que las coordenadas del vértice son (h,k) y las coordenadas indicadas (3,1)

tenemos que h=3, k=1.

(b) Reemplazamos los valores de h, k en la expresión y = a (x – h)2 + k, tenemos

y = a (x –3)2 + 1, luego las coordenadas del punto (5,9) 9=a (5-3)2+1 9=4a+1 a=2 Con esto queda verificado que a=2 conocidos el vértice y el punto (5,9).

(c) En la expresión y = a (x – h)2 + k reemplazamos los valores de a=2, h=3y y=9

y = 2 (x – 3)2 + 1 desarrollando el cuadrado de la diferencia se tiene que

y = 2 (x2 - 6x + 9) + 1 reduciendo términos, nos queda

y = 2 x2 - 12x + 19.

Así se demuestra que la ecuación de la curva representada es y = 2 x2 - 12x + 19.

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Considerando la siguiente función 푓(푥) = 3푥 − 6푥 + 7. (a) Exprese 푓(푥) en la forma 푎(푥 − ℎ) + 푘, donde 푎,ℎ, 푘 ∈ ℤ . (b) Para el gráfico de푓(푥) escriba:

à Las coordenadas del vértice. à La ecuación del eje de simetría.

(c) Encuentre las coordenadas de la intersección con el eje vertical. (d) Realice el gráfico de 푓(푥), mostrando claramente el vértice, los puntos de corte con los

ejes coordenados y la representación del eje de simetría.

Solución

(a) Escribimos la función 푓(푥) = 3푥 − 6푥 + 7 de la forma 푓(푥) = 푎(푥 − ℎ) + 푘 completando el trinomio cuadrado perfecto. En la expresión dada, extraemos el factor común 3 푓(푥) = 3(푥 − 2푥 + 7/3) Completamos el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos del paréntesis. Para ello, añadimos un cero conveniente (en este caso 1 − 1) 푓(푥) = 3(푥 − 2푥 + 1 − 1 + 7/3) los tres primeros términos (푥 − 2푥 + 1) forman el trinomio buscado 푓(푥) = 3((푥 − 1) − 1 + 7/3) reduciendo términos se tiene 푓(푥) = 3((푥 − 1) + 4/3) operando se concluye que 푓(푥) = 3(푥 − 1) + 4

(b) De lo anterior se deduce que las coordenadas del vértice son (1,4) y la ecuación del eje de

simetría es x=4, esta ecuación se la puede determinar con usando la fórmula 푥 = .

(c) Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de la función con el eje vertical, es suficiente reemplazar el valor de x=0 en la expresión f(x). Con esto se obtiene el punto (0,7)

(d) En el siguiente gráfico se observa el vértice de coordenadas (1,4); el punto de corte con el eje vertical de coordenadas (0,7) y el eje de simetría de ecuación x=1.

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Nota: El gráfico puede aprovecharse para indicar los intervalos de monotonía, la simetría, paridad, el uso del discriminante para evidenciar que no hay cortes de la gráfica con el eje horizontal, entre otras características.

Para el gráfico que se muestra a continuación, realice el en diferentes diagramas cartesianos, los gráficos de

1. y=f(x+2)2. y=f(x)-2 3. ½y=f(x)

Solución Sugerencia: Con el propósito de que las traslaciones y homotecias sean más fáciles de interpretar, se sugiere considerar algunos puntos relevantes de la gráfica para realizar en sus coordenadas la transformación que sugiere cada ejercicio.

1. La expresión y=f(x+2) advierte una traslación horizontal en virtud de que la variable x está afectada por la constante 2. Para ello hay que tomar en cuenta que, el eje de las abscisas se desplaza 2 unidades a la derecha, o lo que es lo mismo, la gráfica se desplaza 2 unidades a la izquierda, así:

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2. La expresión y=f(x)+2 advierte una traslación vertical en virtud de que la variable y (f(x)) está afectada por la constante 2. El gráfico de esta función, es el mismo gráfico de la función f(x), pero desplazada 2 unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas tal como se muestra en la gráfica

3. Se puede notar que la expresión ½ y=f(x), es equivalente a y = 2 f(x), lo que advierte una homotecia (contracción). En donde cada valor de f(x) debe ser duplicado para obtener 2f(x). Note que la intersección con el eje horizontal permanece invariable, no se presenta ninguna alteración después de la transformación, esto se debe a que el valor de la coordenada y de ese punto es igual a cero (0=2)

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En este mismo sentido se sugiere trabajar las siguientes transformaciones, con la gráfica propuesta en el ejercicio que se acaba de desarrollar o con una propuesta por usted. 푦 = 푓(푥), 푦 = 푓 , 푦 = −푓(푥) y 푦 = 푓(−푥) , entre otras. En el mismo sistema de ejes cartesianos representa gráficamente 푓(푥) = 5푥 + 2 y 푔(푥) = 3푥 . A continuación, encuentre la solución a los siguientes conjuntos:

(1) {푥:푓(푥) = 푔(푥)}. (2) {푥: 3푥 ≤ 5푥 + 2}

Solución Para graficar las funciones 푓(푥) = 5푥 + 2 y 푔(푥) = 3푥 , se puede realizar una tabla de valores y representarlos en un sistema cartesiano en una hoja de papel milimetrado (escoger una escala adecuada), también se puede usar una calculadora gráfica o un software y se obtendrá el siguiente dibujo:

(1) Con base en la observación de la gráfica podemos dar una solución aproximada al pedido

{푥:푓(푥) = 푔(푥)}, conjunto formado por cada elemento del dominio de las funciones 푓(푥) y 푔(푥) que cumple la condición de tener el mismo valor en la ordenada correspondiente. {-¼, 2}. O a su vez dar solución al sistema de ecuaciones de las dos funciones y encontrar los valores para los cuales se cumple la igualdad. Para ello, igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación cuadrática, Así: 푓(푥) = 5푥 + 2푔(푥) = 3푥

푓(푥) = 푔(푥)

5푥 + 2 = 3푥 ; 0 = 3푥 − 5푥 − 2; 푥 = 2;푥 = −

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Estos valores 푥 = 2y 푥 = − , son los valores para los cuales se cumple la condición 푓(푥) = 푔(푥). En este momento es posible señalar en la gráfica los puntos correspondientes y anotar sus coordenadas.

(2) Para resolver este ejercicio, buscamos los valores de x que cumplen la desigualdad 푔(푥) ≤

푓(푥) en el gráfico anterior

Como se observa, 3푥 ≤ 5푥 + 2se cumple cuando la parábola está debajo de la recta. Esto sucede en el intervalo marcado de rojo en el eje de las x. Para determinar exactamente el intervalo de solución, desarrollamos la desigualdad 3푥 ≤ 5푥 + 2. 3푥 ≤ 5푥 + 2, 3푥 − 5푥 − 2 ≤ 0, Propiedad de monotonía (푥 − 2) 푥 + ≤ 0. Completación del cuadrado Podemos resolver la desigualdad por los siguientes métodos:

· Primer método.- El producto (푥 − 2) 푥 + ≤ 0, requiere que los factores sean de distinto signo para que se cumpla la proposición, para ello tenemos dos casos: i) El primer factor negativo y el segundo positivo, así

푥 − 2 ≤ 0 푥 +13

> 0

푥 ≤ 2 푥 > −13

Gráficamente se expresa

Juntando las dos soluciones, buscamos su intersección

−13

푥 > −

2

푥 ≤ 2

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La gráfica nos muestra claramente que la solución para el primer caso es 푥 ∈ − , 2

ii) El primer factor positivo y el segundo negativo, así

푥 − 2 ≥ 0 푥 +13

< 0

푥 ≥ 2 푥 < −13

Gráficamente se expresa

Juntando las dos soluciones, buscamos su intersección

La gráfica nos muestra claramente que no existe solución, en este caso 푥 ∈ ∅

Uniendo las respuestas de de i) y ii) tenemos que la solución para la desigualdad (푥 − 2) 푥 + ≤ 0 son todos los 푥 ∈ − , 2 .

Segundo método.- Para resolver el producto (푥 − 2) 푥 + ≤ 0,

Primero.- buscamos los valores que anulan cada factor, estos son 푥 = 2 y 푥 = − y ubicamos en la recta numérica

Segundo.- Identificamos los intervalos que estos valores determinan.

· −∞, −

· − , 2

· ]2, +∞[ Tercero.- Evaluamos la desigualdad tomando un valor representativo en cada uno de los intervalos, así:

−13

2

2 −

13

푥 ≤ − 푥 > 2

−13

− ≤ 푥 ≤ 2

2

2

푥 ≥ 2

−13

푥 < −

13

· Tomando el valor x=-1 del intervalo −∞, − tenemos

(−1 − 2) −1 +13

≤ 0

(−3) −23

≤ 0

2 ≤ 0 La última expresión es una proposición falsa, es decir ningún valor del intervalo −∞, −

cumple con la desigualdad 푥 ∉ −∞, − .

· Tomando el valor x=0 del intervalo − , 2 tenemos

(0 − 2) 0 +13

≤ 0

(−2)13

≤ 0

−23≤ 0

La última expresión es una proposición verdadera, es decir todos los valores del intervalo − , 2 cumple con la desigualdad 푥 ∈ − , 2 .

· Tomando el valor x=3 del intervalo]2, +∞[ tenemos

(3 − 2) 3 +13

≤ 0

(1)103

≤ 0 103≤ 0

· La última expresión es una proposición falsa, es decir ningún valor del intervalo ]2, +∞[ cumple con la desigualdad (푥 ∉ ]2, +∞[) .

Como se puede ver, la solución para la desigualdad (푥 − 2) 푥 + ≤ 0 son todos los 푥 ∈

− , 2 . Nota.- Pregunte a sus estudiantes ¿Por qué es suficiente evaluar un solo valor del intervalo? Proponga ejercicios donde se deba analizar los extremos de ciertos intervalos. Uniendo las respuestas de de i) y ii) tenemos que la solución para la desigualdad (푥 − 2) 푥 + ≤ 0 son todos los 푥 ∈ − , 2 .

Dada la función 푓(푥) =푥 − 2,푠푖푥 < 0

(푥 − 1) − 3푘,푠푖푥 ≥ 0

(a) Encuentra los valores de 푘 para que 푓(푥) sea continua para los valores de 푥 . (b) Usando el valor de 푘 que encontraste en el literal anterior, realiza un esquema del gráfico de 푓(푥), mostrando con claridad los puntos de intersección con los ejes

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Solución (a) Encuentra los valores de 푘 para que 푓(푥) sea continua para los valores de 푥 . Al graficar f(x), sin considerar el término -3k obtenemos:

La idea intuitiva de continuidad de una función en un intervalo se puede interpretar como la posibilidad de trazar su representación gráfica sin necesidad de levantar la mano. Luego, como se puede ver en la gráfica anterior la función no es continua. Para que la función sea continua cuando x=0, f(0) debe producir el mismo valor al evaluar la recta y la parábola: Una posibilidad es que la recta se desplace hasta empalmar con la parábola, otra es que las dos se desplacen hasta encontrarse y por último, el desplazamiento de la porción de parábola hasta empalmar con la recta. En nuestro caso, el enunciado del ejercicio establece que el desplazamiento vertical (-3k) lo realiza la parábola. La gráfica, nos muestra que el desplazamiento corresponde a 3 unidades hacia abajo. Con esto, la función se convertiría en continua. Entonces para calcular el valor de k, igualamos el desplazamiento -3 con el parámetro -3k (-3k = -3), de donde k=1. (b) Usando el valor de 푘 que encontraste en el literal anterior, realiza un esquema del gráfico de 푓(푥), mostrando con claridad los puntos de intersección con los ejes Puesto que el valor de k=1, la función se escribe como

푓(푥) =푥 − 2,푠푖푥 < 0(푥 − 1) − 3,푠푖푥 ≥ 0

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Usando un software o con una tabla de datos, la gráfica queda como sigue:

Para encontrar el corte con el eje vertical, damos el valor de 0 para x en cualquiera de las dos funciones y obtenemos que y = -2

Para el corte con el eje x, damos el valor de cero a y en la segunda ecuación (el corte con el eje x está dado por la porción de parábola)

0 = (푥 − 1) − 3,

de aquí obtenemos que 푥 = 1 + √3

Luego, los puntos de corte con los ejes son (0,−2) y (1 + √3, 0). En la ciudad de Otavalo, Doña Lalita establece una pequeña empresa de confecciones deportivas, su empresa fabrica y vende una determinada cantidad 풕 de ternos deportivos (calentadores) por mes.

Si el costo, 퐶 (en dólares), que implica la producción de 풕 ternos deportivos por mes esta dado por la expresión 퐶(푡) = 10푡 + 15000,donde 푡 ∈ [0, 2000].

La expresión que muestra los ingresos de la empresa, I (en dólares), con base en la venta de 푡 ternos por mes, es 퐼(푡) = − 푡 + 80푡, donde 푡 ∈ [0, 2000]

· En un mismo plano cartesiano represente gráficamente, con precisión, las funciones de costo e ingresos de la empresa.

· ¿Cuál es el mínimo costo involucrado? · ¿Por qué hay un costo involucrado cuando no se producen ternos deportivos? · ¿Cuál es el ingreso máximo? · En tu gráfico, identifica los puntos de quiebre o equilibrio (puntos en donde 퐶(푡) = 퐼(푡)). · ¿Qué ganancia obtiene la empresa al fabricar y vender 600 ternos deportivos? · Encuentra una expresión en términos de 푡 para la Ganancia G (en dólares), que la empresa

obtiene por la venta de su producto. · ¿Cuál es la ganancia máxima que la empresa aspira obtener? · ¿Cuántos ternos deportivos se deberían vender para alcanzar esa máxima ganancia? · ¿Para qué valores de 풕 la empresa obtiene ganancias? · ¿Para qué valores de 풕 la empresa obtiene perdidas? · Identifique con claridad las regiones de ganancias y de perdidas en el gráfico realizado.

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· En un mismo plano cartesiano represente, gráficamente con precisión, las funciones de costo e

ingresos.

Para realizar la representación gráfica determina una escala adecuada (por ejemplo 1:200 y 1:5000) · ¿Cuál es el mínimo costo involucrado?

El costo mínimo involucrado en la producción de los calentadores se obtiene cuando no se producen ternos. Reemplazando푡 = 0 en la expresión del Costo 퐶(푡) = 10푡 + 15000. Tenemos 퐶(0) = 10(0) + 15000, así 퐶(0) = 15000 dólares. Es decir, el costo mínimo involucrado en la producción de los calentadores es de 15 000 dólares. · ¿Por qué hay un costo involucrado cuando no se producen ternos deportivos?

Aquí la respuesta es libre, aunque debe ir en torno a que siempre están presentes costos relacionados con el proceso de constitución de un negocio o empresa, maquinaria, arriendo de local, tarifa básica de luz, agua y teléfono, entre otros. Estos valores permanecen constantes, sin importar el nivel de actividad que tiene la empresa en un intervalo de tiempo. Aclarar que todo costo que esté en función de las unidades producidas, se denominan costos variables de producción.

· ¿Cuál es el ingreso máximo? Siendo la función de ingresos I(푡) una función cuadrática, conocemos que ésta tiene su valor máximo o mínimo en el vértice de la parábola, según sea el caso. Para ello debemos encontrar la ecuación del eje de simetría, valor que coincide con la abscisa del vértice. Su fórmula es 푥 = − ,

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que adaptada a nuestra situación nos da 푡 = − , entonces el eje de simetría tiene por

ecuación: 푡 =1 000, luego, reemplazando este valor en la función de ingresos se tiene:

I(1000) = −1

25(1000) + 80(1000); I(1000) = −40000 + 80000;

I(1000) =40 000 Así, el ingreso máximo que puede alcanzar la microempresa corresponde a 40 000 dólares.

· En tu gráfico, identifica los puntos de quiebre o equilibrio (puntos donde 퐶(푡) = 퐼(푡)).

Los puntos de equilibrio se muestran como A y B en el gráfico, corresponden a los puntos donde los ingresos que obtiene la empresa igualan a costos de producción.

· ¿Qué ganancia obtiene la empresa al fabricar y vender 600 ternos deportivos? Las ganancias son posibles de determinar con base en el cálculo de los costos de producción y de los ingresos obtenidos por la venta de los mismos. Basta con restar estos valores para conocer las ganancias de la empresa. Calcula los valores indicados, cuando 푡 = 600 ternos deportivos:

Costo de producción Ingresos

퐶(푡) = 10푡 + 15000 퐼(푡) = −1

25푡 + 80푡

퐶(600) = 10(600) + 15000 퐼(600) = −1

25(600) + 80(600)

퐶(600) = 6000 + 15000 퐼(600) = −1

25(360000) + 48000

퐶(600) = 21000푑ó푙푎푟푒푠 퐼(600) = −14400 + 48000

퐼(600) = 33600푑ó푙푎푟푒푠 Entonces, las ganancias de la empresa al producir 660 calentadores son de:

33600 − 21000 = 12600푑ó푙푎푟푒푠

· Encuentra una expresión en términos de 푡 para la Ganancia 퐺 (en dólares), que la empresa obtiene por la venta de su producto. Con similar razonamiento al del punto anterior, se tiene que la ganancia 퐺(푡) se obtiene restando las funciones de ingresos y costo, así:

퐺(푡) = 퐼(푡) − 퐶(푡)

퐺(푡) = −1

25푡 + 80푡 − [10푡 + 15000]

퐺(푡) = −1

25푡 + 80푡 − 10푡 − 15000

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Es decir, para obtener el valor correspondiente a las ganancias por producir y vender un 풕 determinado número de ternos deportivos basta con reemplazar ese valor en la expresión 퐺(푡) = − 푡 + 70푡 − 15000. En realidad esta expresión determina las ganancias o las pérdidas en función del número de unidades producidas

· ¿Cuál es la ganancia máxima que la empresa aspira obtener? Para esto necesitamos encontrar el máximo valor que alcanza la función hallada en el apartado anterior. Trazando la grafica de color azul, en el mismo sistema cartesiano, observa la representación que se obtiene:

Del esquema se puede determinar que la gráfica que representa a la función 퐺(푡) es una parábola por lo que su valor máximo se encuentra en el vértice de la misma. Para ello debemos encontrar la ecuación del eje de simetría, valor que coincide con la abscisa del vértice. Su fórmula es 푥 = − , que adaptada a nuestra situación nos da 푡 = − , entonces el eje de simetría

tiene por ecuación: 푡 =875, luego, reemplazando este valor en la función de ganancias se tiene:

퐺(875) = −1

25(875) + 70(875) − 15000; 퐺(875) = −30625 + 612500 − 15000;

푮(875) = 15625 Así, la ganancia máxima que puede aspirar la microempresa corresponde a 15625 dólares.

· ¿Cuántos ternos deportivos se deberían vender para alcanzar esa ganancia máxima?

Del análisis del gráfico y del proceso anterior se determina que la ganancia máxima se obtiene al confeccionar 875 ternos deportivos, es decir 푡 = 875.

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· ¿Para qué valores de 푡 (número de ternos deportivos confeccionados) la empresa obtiene ganancias?

En la gráfica es evidente que parte de la representación de 퐺(푡) está sobre el eje horizontal (es positiva) y otras partes están por debajo de este eje (es negativa). Luego, existen ganancia para los valores de 푡 comprendidos ente las abscisas de los puntos A y B, es decir entre los ceros de la función 퐺(푡), puesto que todos los valores de ese intervalo dan como resultado valores positivos para las ordenadas de la función, así:

Analíticamente, encontramos los ceros de la función suponiendo que 퐺(푡) = 0

0 = −1

25푡 + 70푡 − 15000

Al multiplicar a la ecuación por el factor (−25) queda 0 = 푡 − 70(25) + 15000(25) Operando los productos 0 = 푡 − 1750 + 375000 Y factorizando el trinomio 0 = (푡 − 250)(푡 − 1500)Luego, los ceros de la función 퐺(푥) son los valores 푡 = 250 y 푡 = 1500

De lo anterior se determina que 푮(풕) > 0 cuando ퟐퟓퟎ < 푡 < 1500 Es decir, la empresa obtiene ganancias cuando se producen entre 251 y 1499 trajes deportivos (aclarar que t es elemento de los enteros, porque no se puede producir fracciones de unidad de ternos).

· ¿Para qué valores de 푡 la empresa obtiene perdidas? Con base en el análisis anterior y la observación de la gráfica, se determina que la empresa tiene perdidas si

푮(풕) < 0, es decir cuando ퟎ < 푡 < ퟐퟓퟎ y ퟏퟓퟎퟎ < 푡 < ퟐퟎퟎퟎ

Esto es, la empresa obtiene perdidas cuando se producen entre 0 y 249 trajes deportivos o entre 1501 y 2000 trajes deportivos.

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Identifique con claridad las regiones de ganancias y de perdidas en el gráfico realizado.

Las pérdidas se muestran en color rojizo (donde los costos superan a los ingresos) y las ganancias en color gris (donde los ingresos superan los costos). En este punto se pueden comparar las características de las zonas identificadas en rojo y gris con las características de la gráfica de ganancia de color azul. Notas:

o Con el propósito de facilitar la representación gráfica, se ha considerado el dominio de las funciones como subconjunto de los números reales (variable continua) cuando en realidad son subconjunto de los números enteros.

o Se puede trabajar con algunos elementos de economía como: costos fijos, costos variables, depreciación y valores marginales entre otros.

Ejemplo didáctico para empezar el estudio de la función racional

Para generar oportunidades de aprendizaje, es necesario partir de situaciones problema, estas permiten verificar prerrequisitos y desarrollar adecuadamente las destrezas con criterios de desempeño. A continuación, se plantea una situación problema para entrar en el estudio del campo de las funciones racionales. Un joyero necesita construir una placa rectangular de 10,8 cm2. La labor del joyero consiste en poner adornos en los cuatro lados de la placa. Para ello, decide usar material de tipo A con un

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costo de 2 dólares por cada centímetro para los dos lados de mayor longitud y material de tipo B con un costo de 3 dólares por cada centímetro para los lados de menor longitud. El problema que tiene que resolver el joyero es utilizar la menor cantidad de material para que el costo se reduzca al mínimo. Primero comprendemos el problema y lo modelamos con una expresión algebraica. Una buena idea es empezar dibujando la situación: x y y x Podemos llamar x a la longitud de mayor distancia y y a la otra longitud. En vista de que se quiere minimizar el costo, la tarea es buscar una expresión que nos determine el costo. Esto depende claramente de cuánto material se use en los lados de mayor longitud y cuánto material se use en los lados de menor longitud. El material para el lado de mayor longitud cuesta 3 dólares el centímetro, por lo que el costo total para este lado es de 3x. De igual manera, el material para el lado de menor longitud es de 2 dólares, por tanto el costo total será de 2y. Así, el costo total del material usado está dado por la siguiente función de costo:

퐶 = 2푥 + 2푥 + 3푦 + 3푦 퐶 = 4푥 + 6푦 (1) Por otro lado, sabemos que el área de la placa se expresa como 10,8 = 푥푦 (2) Con esta expresión, podemos formular una variable (푦) en función de otra (푥), todo esto con el fin de tener el costo en función de una sola variable. Despejando 푦 de (2) resulta 푦 = , (3) Al sustituir (3) en (1) obtenemos

퐶 = 4푥 + 610,8푥

퐶 = 4푥 +64,8푥

퐶 = , (4) Realice las siguientes preguntas a sus estudiantes: ¿qué representa la expresión encontrada?, ¿cómo encontrar lo que buscamos con la expresión encontrada? Para la primera pregunta, resalte el hecho de que la expresión encontrada es una función, y para responder a la segunda pregunta oriente a sus estudiantes en la asignación de valores a x para encontrar el costo C a partir de la ubicación de estos valores en una tabla de datos.

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Organice grupos de tres a cinco estudiantes para que elaboren una tabla de datos y expongan la solución encontrada. También pida a sus alumnos que en una hoja de papel milimetrado representen en un plano cartesiano los puntos obtenidos y que tracen la tendencia de la curva. Con una calculadora gráfica o un software muestre a los estudiantes el resultado para que estos puedan comparar con sus trabajos realizados.

Una vez obtenida la gráfica, se debe reflexionar que la expresión algebraica corresponde a una función racional. Puesto que se trata de una función, podemos determinar el dominio y su recorrido. Identificado el dominio y el recorrido, en base a los datos de la gráfica, indique que el gráfico obtenido anteriormente corresponde al de una función racional. Luego explique que solo una parte de la gráfica analizada representa el problema del joyero, ya que el dominio para la situación es únicamente para x>0 (lo que busca el joyero es reducir el costo), con lo cual, la gráfica correspondiente al problema se expresa

Indique que, con esta gráfica, ya podemos dar una respuesta aproximada, en este caso la respuesta puede ser x=5. Esto significa que el largo del rectángulo es de 5 cm, reemplazando este valor en la expresión (3) se tiene que y=2,16 cm. Esto implica que la cantidad de material gastado es de 10 cm del material de tipo A (por los dos lados de 5 cm) y 4,32 cm del material de tipo B (por los dos lados de 2,16 cm).

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Ahora reemplazamos estos valores en la expresión de costos y tenemos 퐶 = 4(5) + 6(2,16) 퐶 = 4(5) + 6(2,16) 퐶 = 32,96 Esto significa que al joyero le cuesta 32,96 dólares adornar la placa. Una vez resuelta la situación de aprendizaje, se debe conducir a la conceptualización del conocimiento adquiridos. y para ello se pueden usar varias estrategias. En este caso, usaremos un mentefacto conceptual. El mentefacto conceptual es un organizador mental que permite identificar con claridad la red conceptual de conocimientos y sus relaciones jerárquicas, es decir, identificar el tópico que se ha trabajado en el aula y ubicarlo en relación a otro tópico de mayor jerarquía en el que este se enmarca (supraordenada), señalar las características esenciales del tópico en cuestión (isoordenada), reconocer las posibles subclasificaciones del tópico tratado (infraordenada), para así evitar la confusión con otros tópicos de su misma clase (exclusión). El siguiente esquema resume lo expuesto Antes de realizar el mentefacto correspondiente a la función racional, haga preguntas que guíen a sus estudiantes a determinar las siguientes proposiciones: P1: Las funciones racionales son un tipo de funciones. P2: Las funciones racionales son funciones de la forma f(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios distintos de cero. P3. Las funciones racionales en su forma algebraica pueden estar expresadas como 푓(푥) = ( )

( )표푓(푥) = 푚푥 + 푏 + ( )

( )

P4: Las funciones racionales no son fracciones.

Concepto Isoordenada

Infraordenada

Exclusión

Supraordenada

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Ordenando en el mentefacto tenemos

Ejercicio para tarea. Molde para queso.- Graficar y representar con una función racional la situación en la que un hojalatero tiene que construir un molde de forma cilíndrica para elaborar quesos, sabiendo que el volumen del molde debe ser de dos decímetros cúbicos. Refugio para animales.- Se ha estudiado que para una cierta cantidad de animales rescatados de un desastre natural, se necesita 1000 metros cuadrados de

superficie. Para ello se dispone dentro de una hacienda un terreno a orillas de un río y de 5000 dólares para el cerramiento, se ha decidido que el refugio debe tener forma de rectángulo (como se muestra en la imagen), se conoce que cada metro de cerca instalado en el lado paralelo al rio cuesta 10 dólares y cada metro de cerca instalado en los otros dos lados es de 6 dólares. Encuentre las expresiones algebraicas que describen la situación y resuelva el sistema encontrado e interprete la solución (se sugiere graficar en el mismo

plano cartesiano la función racional y la recta 1000 = 푥푦; 5000 = 10푦 + 6푥) Recipiente para miel.- Determinar las medidas óptimas para envasar un litro de miel (1 dm3) para esto se han pensado en dos tipos de recipientes, un paralelepípedo de base cuadrada y un cilindro.

Evaluación. Antes de sugerir estrategias de evaluación, se debe aclarar que, según Roger Standaert, toda evaluación tiene 4 fases: recopilar, evaluar, decidir y reportar. También indica que si el objetivo es guiar u orientar al estudiante, se trata de una evaluación formativa, en cambio, si el propósito de la evaluación es reunir datos para emitir un certificado o diploma, se trata de una evaluación sumativa. Observemos las similitudes y las diferencias que propone Roger Standaert:

푓(푥) =푃(푥)푄(푥)

f x mx b r xQ x

( ) ( )( )

= + +

Función racional

Las funciones racionales son funciones de la forma f(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios distintos de cero.

Fracción

Funciones

1000 m2 Río x

y

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26

Para elaborar una evaluación, sea esta formativa o sumativa, es importante considerar cómo hacer preguntas, para ello veamos la siguiente clasificación tomado del libro Aprender a Enseñar de Roger Standaert.

A continuación se señala para cada tipo de pregunta un ejemplo:

· Pregunta abierta de respuesta corta: ¿De cuántas formas se puede expresar una función racional en su forma algebraica?

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· Pregunta abierta, largas o extensas. Encuentra el dominio de la función f(x)= 3/(x+2) y elabora un gráfico. ¿Qué semejanzas existen entre la función racional y la función cuadrática? · Preguntas cerradas pre-codificadas. En este tipo de preguntas se distinguen las de

verdadero y falso y las de opción múltiple.

La función racional f(x)=x/(x+1) no está determinada para x=0 verdadero/falso La función racional f(x)=x/(x+1) no está definida para x=-1 verdadero/falso ¿Para qué valores, la función racional f(x)=3/(x2-1) no está definida? a) 2 y -2 b) 1 y -1 c) 0 y -1 d) 0 y 1

· Preguntas no-precodificadas.

Busca la característica que corresponde a cada una de las funciones y escribe la letra correspondiente sobre la línea de puntos Funciones……… a) característica

Lineal…………… b) parábola Cuadrática………….. c) pendiente Valor absoluto………. d) asíntota Racional……………….. e) dominio

f) recorrido g) híbrida (por partes o a trozos)

Escribe la función a la que corresponda las siguientes expresiones

¨ f(x)=x/2 ¨ f(x)=x2/x ¨ f(x)=x/x2 ¨ f(x)=(x2+2)/7

Para la participación en clase y para la elaboración de trabajos en grupo o de investigación, se

puede usar una rúbrica como la que se indica:

Evaluación criterial de Participación en clase

10-9

· Participación pertinente, activa, lidera la discusión. · Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. · Viene preparado a la clase con los textos leídos, con apuntes, preguntas, interrogantes,

observaciones, propuestas, ejemplos. Se refiere a las lecturas con una visión crítica, demostrando análisis y reflexión.

· Presenta una actitud positiva, escucha y respeta la opinión de sus compañeros/profesora. Demuestra mentalidad abierta, fomenta un buen clima de aprendizaje.

· Llega puntualmente.

A Lineal B Cuadrática C Racional

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8-6

· Participación oportuna, aporta buenos elementos. · Demuestra conocimientos generales del tema. · Casi siempre viene preparado a clases, con los textos leídos, con apuntes, preguntas y

ejemplos. Se refiere a las lecturas de vez en cuando. · Presta atención a los distintos participantes, y en general contribuye a fomentar un

buen clima de aprendizaje. · Ha sido impuntual pocas veces.

5-3

· Participación limitada. · Demuestra conocimientos mínimos del tema. · Pocas veces viene preparado a clases. · En general no presta atención a los distintos participantes, interrumpe en ocasiones y

no suele contribuir a fomentar un buen clima de aprendizaje. · Ha sido impuntual constantemente.

< 2

· Participación casi nula, o no lo hace de manera lógica. · NO se refiere a las lecturas. · No viene preparado a clases. · No presta atención a los distintos participantes, interrumpe y distrae. No contribuye a

fomentar un buen clima de aprendizaje. · Ha sido impuntual constantemente.

Rúbrica para Exposición de trabajos

Evaluación criterial Exposición de

trabajos 5 4- 3 < 2

Investigación/ Preparación para la exposición

Vino preparado para la exposición, realizó investigación extra previa relevante (más allá del texto) Menciona ejemplos concretos para fundamentar sus comentarios

Vino preparado para la exposición con el tema leído solo en el texto

No vino preparado para la exposición, no leyó sobre el tema

Proyecto: diseño de una caja

El proyecto consiste en diseñar una caja sin tapa de base cuadrada de 32 dm3.

Consignas:

· Elaborar una maqueta con una escala adecuada.

· Explicar el proceso de elaboración.

· Utilizar la mínima cantidad de material.

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Evaluación criterial Proyecto

5

4- 3

< 3

Elaborar una maqueta con una escala adecuada.

Elabora la maqueta y usa una escala adecuada.

Elabora la maqueta y no usa una escala adecuada.

Elabora una maqueta sin escala.

Explicar el proceso de elaboración.

Explica todo el proceso de construcción utilizando toda la terminología matemática.

Explica todo el proceso de construcción, pero no utiliza toda la terminología matemática.

Explica todo el proceso de construcción sin usar la terminología matemática.

Utilizar la mínima cantidad de material.

Utiliza la mínima cantidad de material y argumenta su respuesta.

Utiliza la mínima cantidad de material y no argumenta su respuesta.

No utiliza la mínima cantidad de material.

Nota: Al inicio de toda tarea, se deberá señalar y explicar a los estudiantes los criterios con los cuales serán evaluados.

Recursos Web recomendados http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_lineal/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuacion_segundo_grado/ Ecu_seg1.htm#1 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_line ales_interpretacion/Sistemas_lineales.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inec uaciones/Inecuaciones.htm http://www.sectormatematica.cl/funciones.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos/apl2gr.htm http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasA/4quincena10/index_10.htm http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones1/index4_8.htm

Glosario de términos Racional.- Esta palabra pertenece o proviene de la palabra razón, y razón en matemática es el resultado de una división. Dominio.-Es el conjunto de todos los valores del conjunto de salida que tiene una imagen en el conjunto de llegada. Recorrido.- Es el conjunto de todas las imágenes de una función.