Matematica 51 - Guia 5 Derivadas

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1

Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue

hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor

intencin de ayudar. Esperamos que te sean tiles. Pods buscar todo el material,

responder tus dudas y mucho ms durante toda tu carrera en www.exapuni.com,

sumate!

Derivadas

Comenzamos con la unidad de derivadas, al principio probablemente te sientas

perdido, a medida que vayas viendo los ejercicios vas a ver que la lgica de resolucin

es similar y si te aprendes todas las reglas de derivacin no vas a tener ningn

problema. Te recomiendo que antes de ver la resolucin intentes resolver los

ejercicios por tu cuenta.

El primer tema que vamos a ver es derivada por definicin, no es ms que

aplicar una frmula que nos permite obtener la derivada de una funcin en un punto. La

formula es la siguiente:

( )

( ) ( )

Donde es la manera de expresar la derivada de la funcin y es el punto en el que

queremos obtener la derivada. Vamos a aplicar esto al primer ejercicio de la gua.

Gua 5 Derivadas Matemtica CBC

2014

Ejercicio 1. Hallar, utilizando


2

Aclaracin: Existen otras maneras de determinar la derivada por definicin (usando

otras formulas), utilizamos esta porque nos parece que es la ms sencilla.

a)

( ) ( )

Aplicamos la derivada por definicin (vamos a obtener la derivada en un punto, en este

caso el punto es )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

Por la tanto la derivada en el punto es . Es muy importante tener en cuenta que

la derivada de una funcin es la pendiente de la recta tangente a la funcin. En este

caso como estamos buscando la derivada de la funcin en un punto estamos obteniendo

la pendiente de la recta tangente a la funcin en ese punto.

Para que se entienda mejor dejamos un

grfico. La funcin curvada (verde) sera

nuestra funcin original y la funcin lineal

(azul) es la recta tangente a la funcin en

el punto .


3

La recta tangente tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Ya obtuvimos ( ) utilizando la derivada por definicin, nos falta determinar ( ).

( )

( )

Por lo tanto la recta tangente a la funcin en el punto es:

( )

(

) ( )

( )

Ahora graficamos:

b)

( ) ( )

Derivemos por definicin:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )


4

( )

( )

( )( )

( )

Ya tenemos la pendiente de la recta tangente a la funcin en el punto . Ahora

podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

c)

( )

( )


( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )


5

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

Ahora podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

d)

( )

( )


( )

( ) ( )


6

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Ahora podemos determinar la recta tangente:

( )( ) ( )

( )

Graficamos:

Las derivadas se pueden determinar como hicimos en el ejercicio anterior

utilizando la definicin, sin embargo, esa no es la nica forma. Podemos usar reglas que

permiten obtener las derivadas de una manera mucho ms sencilla. Vamos a ir

explicando las reglas a medida que resolvemos los ejercicios.

a)

Ejercicio 2. Hallar la derivada


7

( )

En este ejercicio vamos a ver la regla ms bsica para derivar. Cuando tenemos una

variable elevada a un exponente tenemos que colocar el exponente de la variable

multiplicando a la variable y restarle al exponente. Entonces en este caso la solucin

es:

( )

La regla se puede expresar de forma genrica de la siguiente manera:

Siendo ( ) , la derivada es ( ) .

b)

( )

Aplicando la regla que ya conocemos:

( )

c)

( )

Lo que vamos a hacer es expresar la funcin de otra manera para aplicar la regla de

los incisos anteriores:

( )

Ahora podemos aplicar la regla:

( )

d)

( )

En este caso tenemos tres trminos en nuestra funcin, la derivada se aplica a cada

uno por separado.

( )

Aclaraciones:


8

La derivada de es ya que el exponente de la variable es . Al restarle

nos queda lo que es igual a .

La derivada de una constante es siempre (es otra regla a tener en cuenta).

e)

( )

En este caso tenemos dos trminos en nuestra funcin, la derivada se aplica a cada

uno por separado. Para el trmino podemos aplicar la regla de los incisos anteriores

y para el tenemos que aplicar otra regla. La derivada del siempre es

y la derivada del es . No olvides esta regla que se usa mucho. Ahora

podemos resolver:

( )

f)

( )

Este inciso es similar al c. Vamos a expresar la funcin de otra manera:

( )

( )

Record que al multiplicar dos variables iguales se suman sus exponentes.

( )

Y ahora aplicamos la regla que ya conocemos:

( )

g)

( )

En este ejercicio necesitamos una regla nueva, la derivada de es

. Vamos a usar

esta regla para resolver:

( )


9

h)

( )

En este caso no podemos usar las reglas que ya conocemos lamentablemente, sino que

se usa una regla conocida como la derivada de un producto. La misma se expresa

genricamente de la siguiente manera ( ) y como ayuda memoria se

puede usar la frase: la derivada del primero por el segundo sin derivar ms ( ) el

primero sin derivar por la derivada del segundo. Veamos qu pasa con la derivada:

( )

Record que la derivada del es .

i)

( )

En este inciso tenemos que usar la derivada de un producto y tambin tenemos que

tener en cuenta que la derivada de es . Es un caso muy particular en la que la

derivada de la funcin es la misma funcin. Resolvamos:

( )

El segundo termino cambia de signo porque la derivada del es .

j)

( ) ( )

Usamos la derivada de un producto. El primer trmino en este caso es ( ) y el

segundo . Tomamos a ( ) como un nico termino, tambin podramos distribuir

multiplicando pero el resultado ser el mismo.

( ) ( )

k)

( ) ( )

Muy similar al ejercicio anterior:

( ) ( ) ( )

l)


10

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

m)

( )

En este ejercicio es necesario aplicar una nueva regla conocida como la regla de un

cociente. Se expresa de la siguiente forma genricamente:

( ( )

( ))

( ) ( ) ( ) ( )

( )

La frase para recordarla es: la derivada del primero por el segundo sin derivar menos

el primero sin derivar por la derivada del segundo, todo, sobre el segundo al

cuadrado.

Apliquemos la nueva regla al ejercicio:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

Ordenamos el resultado para que quede ms agradable a la vista pero no es necesario.

n)

( )

Es similar al ejercicio anterior, control bien este tipo de ejercicios que es muy fcil

equivocarse al derivar al hacer tantas cuentas. Prest especial atencin a los signos de

los trminos.

Derivemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

o)

( )

( ) ( )

( )


11

p)

( )

( ) ( )

( )

q)

( )

( ) ( ) ( )

( )

r)

( )

( )

( )

( )

( )

a)

La ecuacin de la recta tangente en un punto tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Siendo ( ) la funcin y el punto en el que se quiere obtener la recta tangente. Es

importante recordar que la derivada de una funcin nos da como resultado la

pendiente de la recta tangente a la misma (lo vimos en el ejercicio 1). Teniendo en

cuenta esto ya podemos resolver:

( )

Vamos a obtener los valores que necesitamos para determinar la recta tangente:

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 3. Hallar la ecuacin


12

( )

( )

( )

( )

Por lo tanto la recta tangente en el punto es:

( )

b)

( )

Calculemos:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )


( )

c)

( )

Calculemos:

( ) ( )

( )

( )



13

( )

Tener en cuenta que al derivar pusimos como resultado , esto corresponde a

una regla conocida como derivacin en cadena y lo vamos a ver en profundidad en el

siguiente ejercicio (un caso similar si quers verlo directamente es el del inciso i del

ejercicio 4)

d)

( )

Calculemos:

( )

( )

Reescribimos la ecuacin para obtener la derivada

( )

( )

( ) ( )

( )


( )

Ejercicio 4. Hallar la derivada


14

En este ejercicio vamos a utilizar las reglas que venimos usando pero teniendo

en cuenta una regla conocida como la regla de la cadena. La explicacin es bastante

tcnica, tiene que ver con dependencia entre variables. Pensamos que lo mejor es verlo

en los ejercicios explicando como la aplicamos detalladamente. La regla es intuitiva,

veamos qu pasa con los ejercicios.

a)

( ) ( )

La idea de la regla de la cadena es derivar de afuera hacia adentro e ir multiplicando

los resultados. En una frase suena medio raro. En este ejercicio tenemos un trmino

elevado a la cuarta. Record que cuando una variable se encuentra elevada a un

exponente se multiplica la variable por el exponente y se eleva la variable al exponente

menos uno. Expresado matemticamente: Si ( ) , la derivada es ( ) .

Lo que vamos a hacer es aplicar esta lgica para resolver, veamos como lo aplicamos:

( ) . Notar que aplicamos una regla que ya conocamos y consideramos que el

trmino es la variable. Sin embargo el ejercicio no termina as, luego de la

derivacin que acabamos de aplicar tenemos que derivar el trmino y la

derivada multiplicarla por el resultado de la primera derivacin que realizamos.

Veamos el ejercicio entonces:

( ) ( )

( ) ( )

Notar que el es la derivada de y lo colocamos multiplicando.

b)

( )

Expresamos la funcin de otra manera para derivar de forma ms simple:

( ) ( )

Y ahora la derivada es similar al inciso anterior:

( )

( )

( )

Notar que el es la derivada de y lo colocamos multiplicando.


15

c)

( ) (

)


( ) ( )

Derivamos:

( ) ( ) ( )

d)

( ) ( )

Recordar que la derivada del ( ) es ( ). Resolvamos:

( ) ( )( )

e)

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))

f)

( ) ( )

Recordar que la derivada de es

.

( )

( )

g)

( ) ( )


( ) ( ( ))

( )

( ( ))

( ( ))

h)


16

( ) ( )


( ) ( )

( )

( ) ( )

i)

( )

Recordar que la derivada de es .

( ) ( )

j)

( ) ( ( ))

( ) ( ( )) ( )

k)

( ) ( )

Tener en cuenta que en el exponente tenemos que aplicar la derivada del producto.

( ) ( )( ( ) ( ))

l)

( ) ( )

( )

( ( ) )

m)

( ) (

)

Tener en cuenta que al derivar al argumento del logaritmo se aplica la derivada del

cociente.


17

( )

( ( )

( ) )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

n)

( ) (

)

Tener en cuenta que hay que aplicar la derivada del producto en principio y despus

aplicar la regla de la cadena en cada uno de los trminos.

( ) (

)

(

) ( )

( ) ( ( ) ( )

( ) ) (

) ( )

Medio complicado este ejercicio, miralo con cuidado. Cualquier duda pods consultar

en el foro de Exapuni.

o)

( ) ( )

( ) ( ) (

) ( )

p)

( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( )

q)

( ) (

)


18

Lo expresamos de otra manera

( ) ( )

Tenemos que aplicar la derivada de la regla del producto:

( ) ( )

( )

r)

( )

Lo expresamos de otra manera

( )

Derivamos:

( )

( )

Ahora tenemos que calcular la recta tangente teniendo en cuenta la regla de la

cadena para derivar.

a)

La ecuacin de la recta tangente es ( )( ) ( ).

Determinemos ( ):

( )

En los ejercicios anteriores utilizamos la posibilidad de expresar la raz como potencia

para resolver la derivada. Podemos tener en cuenta una regla para simplificar la

derivada de las races. La derivada de es .

Apliquemos entonces la derivada (no olvidar la regla de la cadena):

( )

( )

Ahora utilizamos ya que tenemos que calcular la recta tangente para el punto



19

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Ahora calculemos ( ):

( ) ( ) )

Ya tenemos todos los valores que necesitamos para escribir completa la ecuacin de la

recta tangente:

( )( ) ( )

( )

b)

( ) ( )

Determinamos ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ( ))

Determinamos ( )

( ) ( ( ))

Por lo tanto la recta tangente es:

( )( ) ( )

( )

c)

( ) ( )

Determinamos ( )


20

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ( ) )

( )

( )

Determinamos ( )

( ) (( ) ( ) )


( )( ) ( )

( )

( )

d)

( )

Determinamos ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ( ) ) ( )( )

( ( ) )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

Determinamos ( )

( ) ( )

( )



21

( )( ) ( )

( )

a)

Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una funcin se obtiene derivando la

funcin.

( )

( )

Tenemos que determinar para que valores de la pendiente es .

( )

( )

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos que las races son

y

.

Cuando la funcin toma esos valores la pendiente de la recta tangente es .

Nos piden los puntos, nosotros hasta ahora solo tenemos los valores de . Vamos a

obtener los puntos:

( ) ( )

(

) ( (

)

)

(

) ( (

) ) ( )

Debido a que no existe el logaritmo natural de un nmero negativo en los nmeros

reales tenemos que descartar el valor de

.

(

) ( (

)

) ( )

Ejercicio 6.


22

Por lo tanto (

)

b)

Es similar al inciso anterior. Tenemos que obtener la pendiente de la recta tangente,

para eso derivamos la funcin:

( )

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es en el punto deseado (esto lo

sabemos mirando la ecuacin de la recta tangente)

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos los valores deseados son

y .

Nos piden un punto, vamos a obtener dos puntos:

(

) (

)

(

)

(

)

Por lo tanto (

)

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto ( )

Tenemos que verificar ambos puntos con la recta tangente que nos da el enunciado:

Chequeamos en la recta tangente :

No cumple!

Veamos ahora que pasa con :


23

El punto cumple!

c)

Para este ejercicio es muy importante tener en cuenta una propiedad, cuando dos

rectas son paralelas su pendiente es necesariamente la misma. Teniendo en cuenta

esto el ejercicio se resuelve igual que los incisos anteriores.

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es

( )

Aplicamos la formula resolvente y obtenemos que las races son y .

Tenemos que obtener los puntos:

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto ( )


24

Vamos a determinar la recta, recordar que la recta tangente es paralela a la recta

por lo tanto tienen la misma pendiente ( ).

( )

La ecuacin es

( ) ( ) ( )

Por lo tanto ( )

( )

La ecuacin es

La lgica de resolucin es similar a la del ejercicio anterior. Primero vamos a

derivar la funcin ( ).

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ) )

( ) ( )

Tenemos la pendiente de la recta tangente:

Para que se cumpla debe ser igual a .

A su vez tambin sabemos que el punto en el punto tanto la funcin como la recta

tangente tienen la misma imagen.

Ejercicio 7. Sea ( )


25

( )

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos:

Ahora podemos obtener el valor de :

( ) ( )

Primero derivamos:

( )

( )

Usamos el punto

( )

( ) ( ( ) )

( )

( )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente es igual a .



26

( )

Si la recta tangente es horizontal la pendiente tiene que ser necesariamente .

Al ser horizontal la recta la variable no aparece. Un ejemplo para que quede ms

claro sera . Graficamos (notar que la recta es horizontal):

( )

Derivamos:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Usamos el punto

( ) ( )

( ( ) )

( )

( )

( )

Sabemos que la pendiente es igual a .

( )



27

En este ejercicio nos piden que calculemos la derivada primera, la derivada

segunda y la derivada tercera. Hasta ahora venimos calculando nicamente la derivada

primera, sin embargo calcular la derivada segunda no es ms que derivar la derivada

primera y lo mismo sucede con la derivada tercera. Vamos a verlo en los ejercicios.

a)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Derivamos ( ) para obtener la derivada segunda ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

Derivamos ( ) para obtener la derivada tercera ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

b)

( )

( )

( )

( )

( )

c)

( )

( ) ( )

Ejercicio 10. Calcular


28

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

d)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Las derivadas pueden ser utilizadas para representar situaciones fsicas. No

olvidar que la matemtica intenta representar a la realidad y expresarla a travs de

modelos para comprenderla mejor. En este tipo de ejercicios hay que tener en cuenta

que si tengo la ecuacin de desplazamiento de un mvil, la derivada primera nos da

informacin de la velocidad y la derivada segunda de la aceleracin. Teniendo en

cuenta esta introduccin podemos resolver.

Ejercicio 11.


29

a)

Derivamos para poder expresar la ecuacin en funcin de la velocidad:

( )

( )

Vemos que sucede en :

( ) ( )

La velocidad es por lo tanto .

b)

( )

Primero obtenemos la velocidad

( )

Queremos el instante ( ) en el que la derivada se anula:

| |

Solo tiene sentido .

Ya tenemos el instante en el que queremos determinar la aceleracin. Obtenemos la

derivada segunda:

( )

Reemplazamos .


30

( )

La aceleracin es entonces .

Tener en cuenta que la unidad de medida para la posicin es el ( ) la unidad de

la velocidad es ( ) y la aceleracin ( ). No

vamos a entrar en detalle porque es un tema de fsica, sin embargo si pones esas

unidades para los resultados no vas a tener problema.

a)

Derivamos para poder expresar las ecuaciones en funcin de la velocidad:

( )

( )

Sabemos que en el instante tienen la misma velocidad, entonces:

( ) ( )

( ) ( )

Igualamos:

Ahora nos queda calcular , sabemos que en el instante los mviles se encuentran

en la misma posicin.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos:

Ejercicio 12.


31

b)

La posicin y la velocidad en las obtuvimos en el inciso anterior.

Velocidad =

Posicin =

Recordar que los dos mviles en el instante tienen la misma velocidad y la misma

posicin.

Nos queda determinar la aceleracin para cada mvil en el instante , para eso

necesitamos determinar la derivada segunda:

( )

( )

Veamos que pasa en :

( ) ( )

La aceleracin del mvil A en es de .

( )

La aceleracin del mvil B en es de .

Una de las utilidades de las derivadas es que nos permiten determinar los

puntos crticos de la funcin, estos puntos crticos pueden ser los mximos o mnimos

que la funcin puede alcanzar. En este ejercicio la informacin la obtenemos del

grfico, en los prximos vamos a tener que obtener la informacin analticamente.

Resolvamos:

a)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen mirando el grfico.

IC: ( ) ( )

ID:( )

Ejercicio 13. Sea


32

b)

Los mximos y mnimos locales tambin se obtienen del grfico. Cuando la

funcin alcanza un mximo local (o relativo) y cuando la funcin alcanza un

mnimo local (o relativo). Tener en cuenta que estos son mximos y mnimos relativos

(locales), tambin existen los mximos y mnimos absolutos pero no podemos saber si

la funcin los tiene ya que no la conocemos.

Es importante saber que cuando hay un cambio de crecimiento en una funcin

nos encontramos en presencia de un mximo. Vamos a resolver:

a)

( )

Para determinar los extremos vamos a igualar la derivada primera a .

( )

es un posible extremo, sin embargo para que lo sea es necesario que el

crecimiento de la funcin cambie. Vamos a graficar:

Efectivamente el crecimiento cambia y en el grfico se puede apreciar que la funcin

en tiene un mnimo. Es un mnimo absoluto.

IC: ( )

ID: ( )

Ejercicio 14. Estudiar los intervalos


33

Nota: Se puede determinar el crecimiento y decrecimiento de una funcin

analticamente reemplazando valores cercanos a los ceros obtenidos en la derivada de

la funcin (nosotros graficamos para acelerar la resolucin). Si no records como se

hace pods verlo en la gua 2. No olvids que tens que usar la derivada primera para

analizar el cambio de crecimiento y no la funcin directamente.

b)

( )

Derivemos la funcin y la igualamos a .

( )

es un posible extremo. Graficamos:

Efectivamente el crecimiento cambia y en el grfico se puede apreciar que la funcin

en tiene un mximo. Es un mximo absoluto.

Por lo tanto los intervalos son:

IC: ( )

ID: ( )

c)

( )


( )


34

( )

Una raz es , nos falta obtener las races de . Las mismas son

y .

Veamos el grfico:

Por lo tanto la funcin alcanza un mximo en y alcanza mnimos en y .

d)

( )


( )

Utilizando la resolvente obtenemos dos valores y . Veamos el grfico:

Por lo tanto la funcin alcanza un mximo en y un mnimo en .

e)

( )



35

( )

( )

Utilizando la resolvente obtenemos tres valores , y . Veamos el

grfico:

Notar que solo hay cambio de crecimiento en los valores y . Esos son los

extremos relativos. En no hay cambio de crecimiento as que no es extremo.

Concluimos entonces que la funcin alcanza un mximo en y un mnimo en

.

f)

( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )( )

( ) ( )( )

( )

Por medio de Ruffini obtenemos , y . Veamos el grfico:


36

Notar que solo hay cambio de crecimiento en los valores y . Esos son los

extremos relativos. En no hay cambio de crecimiento as que no es extremo.

Concluimos entonces que la funcin alcanza un mximo en y un mnimo en .

a)

( )

Primero determinamos el dominio, debe ser diferente a .

Por lo tanto el dominio es ( ( ))

Ahora veamos qu pasa con la derivada primera.

( ) ( )

( )

Igualamos a .

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 15. Estudiar los intervalos


37

Obtenemos dos valores y . Veamos qu pasa en esos valores por medio de

un grfico:

En el grfico se puede ver que en ambos valores hay cambio de crecimiento. Por lo

tanto la funcin alcanza un mnimo en y un mximo en . Por la forma de la

funcin no se llega a apreciar bien el cambio de crecimiento, dejamos la funcin

acotada en el intervalo ( ) para que se vea mejor el cambio de crecimiento:

IC: ( ) ( )

ID: ( ) ( )

Analicemos si hay asntotas, primero vertical:

Ahora horizontal:


38

( )

No hay asntota horizontal.

b)

( )

Primero determinamos el dominio, debe ser diferente a . No existe ningn

valor de que haga que el denominador sea nulo



( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

| |


39

En el grfico se puede ver que en ambos valores hay cambio de crecimiento. Por lo

tanto la funcin alcanza un mnimo en y un mximo en .

IC: ( ) ( )

ID: ( )

Analicemos si hay asntotas, sabemos que no hay asntota vertical porque no hay

restricciones de dominio. Veamos si hay asntota horizontal.

( )

Por lo tanto hay una asntota horizontal en .

c)

( )

( )

Primero determinamos el dominio, ( ) debe ser diferente a .

( )



( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )


40

( )

Obtenemos tres valores , y . Veamos qu pasa en esos valores por

medio de un grfico:

Hay un cambio de crecimiento en . Por lo tanto en la funcin alcanza un

mnimo.

En el grfico no se llega a apreciar lo que pasa en . Vamos a verlo analticamente:

( )

(

)

No hay cambio de crecimiento, por lo tanto no hay extremo.

A su vez no puede ser un extremo ya que el valor no pertence al dominio. Tene

en cuenta esto porque en este ejercicio si intentas utilizar valores cercanos al para

ver si hay cambio de crecimiento podes llegar a tener signos diferentes y llegar a

pensar que se trata de un extremo. Pero no lo es, e incluso vamos a ver que es una

asntota vertical.

( )

Por lo tanto es una asntota vertical. Veamos si hay asntota horizontal:

( )

(

)


41

No hay asntota horizontal. Nos faltan los intervalos de crecimiento y decrecimiento,

los obtenemos en base al grafico:

IC: ( ) ( )

ID: ( )

d)

( )




( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Al igualar a cero obtenemos una inconsistencia:

( )

Esto significa que no existen soluciones, por lo tanto la funcin no tiene extremos.

Veamos el grfico.


42

IC:

ID: ( ) ( )

Ahora veamos las asntotas:

Por lo tanto es una asntota vertical.

(

)

(

)

Por lo tanto es una asntota horizontal.

e)

( ) ( )


Por lo tanto el dominio es ( ( )) {

}



43

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a :

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

Obtenemos dos valores y . Veamos qu pasa en esos valores por medio

de un grfico:

Se puede ver en el grfico que en el valor la funcin alcanza un mnimo local y

en alcanza un mximo local.

IC: (

)(

)

ID: ( ) ( )

Analicemos las asntotas:

( )

( )

( )

Por lo tanto

es una asntota vertical.


44

( )

(

)

(

)

Por lo tanto no existe asntota horizontal.

f)

( )




( ) ( )

( )

Igualamos a .

( )

( )

Obtenemos dos valores y

. Veamos qu pasa en esos valores por medio de

un grfico:


45

Hay un cambio de crecimiento en

. Por lo tanto en

la funcin alcanza un

mnimo.

En el grfico no se llega a apreciar lo que pasa en . Vamos a verlo analticamente:

( )

( )

No hay cambio de crecimiento, por lo tanto no hay extremo.

IC: (

)

ID: ( ) (

)

Veamos las asntotas:


(

)

Por lo tanto no existen asntotas horizontales.

g)

( )



46

No existe ningn valor de que haga que el denominador se anule, por lo tanto el

dominio es ( ( ))


( ) ( ) ( )( )

( )

Igualamos a .

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

| |

Grafiquemos:

Hay cambio de crecimiento en y . Por lo tanto es un mximo y

es un mnimo.

Analicemos si hay asntota horizontal. Sabemos que no hay asntota vertical ya que el

dominio son todos los reales. Veamos si hay asntota horizontal:


47

(

)


h)

( ) ( )


No existe ningn valor de que haga que el denominador se anule, por lo tanto el

dominio es ( ( ))


( ) ( ) ( )

Igualamos a .

( ) ( )

( )

Grafiquemos:

En hay cambio de crecimiento por lo tanto la funcin alcanza un mximo en .

Analicemos si hay asntota horizontal, sabemos que no hay asntota vertical por que el

dominio son todos los reales:


48


i)

( )


| |

Hacemos la derivada primera:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

Obtenemos dos valores y . Veamos qu pasa en esos valores por medio de

un grfico:


49

Debido a que hay cambio de crecimiento en y estamos en presencia de

extremos. es un mnimo local y es un mximo local.

IC: ( ) ( )

ID: ( ) ( ) ( )

Determinemos las asntotas:

Por lo tanto hay una asntota en .

Por lo tanto hay una asntota en .

j)

( )

Determinemos el dominio:

( )


Derivemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )


50

Se puede ver que hay un cambio de crecimiento en

, por lo tanto

es un

mnimo.

IC: (

) ( )

ID: ( ) (

)

Calculemos asntotas:

( )( )

( )

( )( )

( )


( )( )

( )


51

( )( )

(

)


Ahora veamos si hay asntota horizontal:

(

)

(

)

k)

( )


( )


Derivemos:

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

Grafiquemos para ver qu pasa en estos puntos:


52

Hay cambio de crecimiento, por lo tanto

es un mximo local y un mnimo

local.

IC: ( ) (

) ( )

ID: (

) ( )

Calculemos asntotas:

( )


( )

Por lo tanto tambin es una asntota vertical.

Ahora determinemos si hay asntota horizontal:

(

)

(

)


l)


53

( )


( )( )


Derivamos:

( ) ( ) ( )

( )

Igualamos a :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Debido a que no existe la raz cuadrada de un nmero negativo en los reales no hay

extremos. Grafiquemos:

IC:

ID: ( ) ( ) ( )

Veamos si hay asntotas:


54

( )

( )

Por lo tanto hay una asntota vertical en .

( )

( )

Por lo tanto tambin hay una asntota vertical en .

Veamos si hay asntotas horizontales:

(

)


a)

( )

Primero determinemos el dominio, expresemos de otra manera:

( )

No existe por lo tanto no se anula para ningn valor de . El dominio son todos

los reales.

Ahora determinemos los extremos derivando e igualando a :

( )

(

)

(

)

Ejercicio 16. Hallar el dominio


55

La primera ecuacin no tiene solucin, solo resolvemos la segunda:

Por lo tanto hay un posible extremo en .

Veamos si hay cambio de crecimiento:

Probamos en :

( )

(

)

( ) ( )

(

)

( )

Probamos en :

( )

(

)

( ) ( )

(

)

( )

Hay cambio de crecimiento, por lo tanto es un extremo. Debido a que el

crecimiento cambia de decreciente a creciente es un mnimo.

b)

( )

Primero determinemos el dominio, expresemos de otra manera:

( )


56

No existe ningn valor de que anule el denominador, por lo tanto el dominio son todos

los reales.

Derivemos e igualemos a :

( ) ( )

( )

( )

( )

La segunda ecuacin no tiene solucin, resolvemos:

Veamos que sucede con el crecimiento para estos valores:

( )

( )

Hay cambio de crecimiento, como el crecimiento cambia de decreciente a creciente

es un mnimo.

( )

( )

Hay cambio de crecimiento, como el crecimiento cambia de creciente a decreciente

es un mximo.

c)

( )

El dominio de la funcin son todos los reales, no hay restricciones.

Derivemos e igualemos a :


57

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

La segunda ecuacin no tiene solucin. Resolvemos el resto:

Veamos que sucede en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

(

) (

)

( ) (

)

( )( )

(

)

Hay cambio de signo, por lo tanto es un mnimo. Ahora veamos que pasa en

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

No hay cambio de signo, por lo tanto no es un extremo.

d)

( ) ( )

Primero determinamos el dominio:

( ( ))

Ahora derivamos e igualamos a cero para determinar los extremos:


58

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( )

( )

Veamos que sucede en

:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un mximo en

.

Veamos que sucede en :

( ) ( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un mnimo en .

e)

( ) ( )


( ( ))


59

Ahora derivamos e igualamos a cero para determinar los extremos:

( )

( )

No existen soluciones, por lo tanto no hay extremos en la funcin.

f)

( ) ( )


( ( ))

Derivamos e igualamos a :

( )

( )

Veamos que sucede en este valor:

( )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un mximo en .

g)


60

( )

El dominio de la funcin son todos los reales, no hay restricciones.


( ) ( )

( )

En la primera ecuacin no existe solucin, resolvemos la segunda:

| |

Veamos que sucede para estos valores:

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto existe un mnimo en .

( ) ( ) ( )( ( ) )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto existe un mximo en .

h)

( ) ( )



61

( ( ))


( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Veamos si es un extremo:

(

) (

)

(

)

( ) ( )

Hay cambio de signo, por lo tanto

es un mnimo.

a)

( ) ( )


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 17. Hallar los intervalos


62

Adems se obtienen los resultados:

Ya tenemos los extremos. (Recordar la gua 4 para obtener los resultados)

Graficamos:

En , y la funcin alcanza mnimos.

En

y

la funcin alcanza mximos.

IC: (

) (

)

ID: (

) (

)

b)

( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )


63

( )

(

)

Adems se obtienen los resultados:

Ya tenemos los extremos. (Recordar la gua 4 para obtener los resultados)

Graficamos:

En

y

la funcin alcanza mnimos.

En

y

la funcin alcanza mximos.

ID: (

) (

) (

)

IC: (

) (

)

c)

( ) ( )

( )


( ) ( ) ( )

( )


64

( )

Tener en cuenta que ( ) ( ) , es una identidad trigonomtrica.

La igualdad no se cumple, por lo tanto no hay extremos. Graficamos:

d)

( )

( )


( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Tambin se obtiene el resultado:


65

En

la funcin alcanza un mnimo.

En

la funcin alcanza un mximo.

ID: (

) (

)

IC: (

) (

)

a)

( ) ( )

Tenemos que derivar e igualar a .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Nos dicen que el punto crtico es en .

Ejercicio 18. Sea


66

b)

Veamos que pasa con :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Graficamos:

En la funcin alcanza un mnimo.

En la funcin alcanza un mximo.

Veamos que pasa con :


67

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Graficamos:

( )


( ) ( )

( )



68

En el primer caso no existe solucin.

Nos dan el valor de .

( )

Tenemos ya la funcin completa:

( )

Ahora obtenemos los extremos derivando e igualando a .

( ) ( )

( )

En el primer caso no existe solucin. Resolvemos el segundo caso:

Graficamos:


69

En la funcin alcanza un mnimo.

En la funcin alcanza un mximo.

Comenzamos con un nuevo tipo de ejercicio, se conocen como ejercicios de

optimizacin. La idea de los ejercicios es obtener los mximos y mnimos ya que los

mismos se corresponden a valores en los determinada situacin (planteada por el

enunciado) es optima. Comencemos a resolver:

a)

( )

( )

Para ver cual alcanza la mayor concentracin necesitamos determinar los mximos de

las funciones y ver cual es mayor.

( )

( )

En el primer caso no hay solucin.

( )

( )

En el primer caso no hay solucin.

( )

Ejercicio 20. Las funciones


70

La primera solucin no tiene sentido debido a que la droga no ha sido administrada. Por

lo tanto nos queda la segunda:

Veamos la concentracin:

En ( ) la mayor concentracin se alcanza en . La concentracin es:

( )

En ( ) la mayor concentracin se alcanza en . La concentracin es:

( )

Por lo tanto alcanza la mayor concentracin.

b) La respuesta se obtiene del anlisis que ya hicimos. La que tarda menos tiempo en

alcanzar la mayor concentracin es . La alcanza en la primera hora.

Tenemos que determinar el permetro mnimo, es por eso que vamos a armar

una funcin en base al permetro. Sabemos que el permetro es la suma de todos los

lados del rectngulo.

( )

Nos dan el dato del rea, sabemos que el rea de un rectngulo es igual a la base ( )

por la altura ( ).

Ejercicio 21. Hallar las


71

Reemplazamos en la funcin:

( ) (

)

( )

Derivamos e igualamos a .

( )

Solo tiene sentido ya que la altura no puede ser negativa.

Ya tenemos la altura, ahora nos falta la base:

La altura es de 8 y la base de 8 para que el permetro sea mnimo.

b)

Tenemos que recordar Pitgoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado de

los catetos.

La hipotenusa es la diagonal, es la que necesitamos que sea mnima. Escribimos la

funcin:

( )


72

Recordar que tenemos el dato del rea:


( ) (

)

( )

Derivamos e igualamos a .

( )

( (

) )

( (

) )

(

)

Solo tiene sentido ya que la altura no puede ser negativa.

Ya tenemos la altura, ahora nos falta la base:


73

La altura es de 8 y la base de 8 para que la diagonal sea mnima.

Nos dan el dato y nos piden que el producto sea mximo. Escribimos la

funcin:

( )

Expresamos el dato del enunciado en funcin de .


( )

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos los dos sumandos positivos:

y

La funcin de la cual hay que obtener el mnimo es la siguiente:

( ) (

)


( )

Ejercicio 22. Descomponer

Ejercicio 23. Hallar el menor


74

Veamos para qu nmeros se alcanza el valor mnimo.

Si :

( ) (

)

Si :

( ) (

)

Tenemos dos puntos y hay que obtener la mnima distancia entre ambos:

( ) y ( )

Recordar la formula de distancia entre dos puntos:

( ) ( )

Siendo ( ) y ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )


( )

( )

Ejercicio 24. Hallar el punto


75

( )

Por lo tanto:

( )

( ( ) )

( )

Nos dan el dato y nos piden que la suma de los cuadrados sea mnima.

Escribimos la funcin:

( )

Expresamos en funcin de :

Ya podemos armar la funcin:

( )

( ) ( )

( )

( )


( )

Ya tenemos los nmeros:

Ejercicio 25. Hallar dos nmeros


76

( )


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

El primer caso no tiene sentido porque el frmaco no fue inyectado. Graficamos:

Por lo tanto la funcin alcanza un mximo en

. A partir de ese momento la

concentracin disminuye.

Es similar al ejercicio :

Ejercicio 26. La concentracin

Ejercicio 27. Hallar el punto


77

( )

( )

Tenemos ambos puntos, vamos a obtener la mnima distancia:

( ) ( )

Siendo ( ) y ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )


( )

( )

( )

Ya tenemos el punto:

( )

( )

( )

Vamos a graficar el ejercicio:

Ejercicio 28. Un terreno


78

Nos dicen que el alambre a usar es de metros. La cerca tiene que rodear todo el

rectngulo y adems dividir los terrenos. Expresamos lo dicho en una ecuacin:

Tenemos que obtener el rea mxima.

( )

Expresamos la primera ecuacin en funcin de :

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos la altura , nos falta obtener la base:

( )

Ejercicio 29. Un constructor


79

Buscamos que la abertura sea mxima, lo que es lo mismo que buscar que el rea sea

mxima:

( )

( ) ( )

( )


( )

Ya tenemos la altura , calculamos la base.

( )

( )


( )

( )

( ( ))

( )

( )

La temperatura mxima se alcanza a las 3 horas.

Ahora veamos la temperatura:

( )

( )

Ejercicio 30. Un constructor


80

( )

( )

( )

Ejercicios surtidos

Recordar que la recta tangente tiene la siguiente forma:

( )( ) ( )

Tenemos que obtener ( ) y ( ). Donde .

( )

( )

( )

Obtenemos ( ):

( )

Obtenemos ( ). Donde .

( )

Con los datos que obtuvimos ya tenemos la recta tangente:

( ) ( )

Nos dan la pendiente de la recta tangente, tenemos que obtener :

( ) ( )

( )




81

( )

Sabemos que :

( ( ) )

Ya podemos obtener la ecuacin de la recta tangente:

( )( ) ( )

( ) ( )

Tenemos que obtener ( ) y ( ):

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( )

( )

( )

La recta tangente es por lo tanto es:

( )

( )

Derivamos para obtener la pendiente:

( )

Tenemos la recta tangente:



82

Obtenemos dos posibles resultados y .

Vamos a obtener los valores de para esos valores y ver si verifican en la recta

tangente del enunciado:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ahora veamos si verifican:

Probamos con ( ):

( )

Se verifica.

Probamos con ( ):

( )

No verifica.

Usamos la funcin de la recta tangente:

( )( ) ( )

( ) ( )

Primero obtenemos ( ), donde .

( ) ( )

( )

Ejercicio 4. Hallar


83

( )

Ahora buscamos ( ):

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )

( ( ) )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Ya podemos obtener la recta tangente:

( )

Derivadas

Matematica 51 - Guia 5 Derivadas

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