Matematica 51 - Guia 2 Funciones

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1

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Funciones

a)

Observando el grfico se puede ver que la altura (h) mxima es de 4000 m. El avin vol

15 minutos a esa altura.

b)

Tard 25 minutos en llegar a la altura.

c)

Se encontraba en la altura mxima, 4000 m.

d)

Estuvo dos veces a esa altura.

e)

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Gua 2 Matemtica CBC

2014

Ej. 1) Un avin, desde que

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0 min - 10 min El avin subi

10 min 20 min Altura constante

20 min 30 min El avin subi

30 min 40 min Altura constante

40 min 50 min El avin baj *

50 min 60 min El avin baj

* El avin bajo la mayor parte del tiempo. Los ltimos minutos mantuvo una altura

constante. En base al grfico no se puede determinar cuantos minutos fueron

exactamente.

f)

El avin vol 3 veces a altura constante.

En el ejercicio no aparece ninguna funcin, sin embargo les comentamos que el vuelo

del avin se puede representar mediante una funcin. Esta funcin estara definida

por dos variables. La altura y el tiempo. Expresamos esto en forma de funcin:

( )

En donde es el tiempo y es la altura. Esto significa que la altura del avin vara en

funcin del tiempo transcurrido. El vuelo del avin se representa con una funcin

conocida como funcin por partes.

Ahora entramos de lleno en funciones, resolvamos los ejercicios planteados:

a) La funcin presentada es: ( )

( ) se obtiene a partir de los valores que se le asignan a

Remplazamos con los valores que nos da el enunciado:

( ) ( ) ( )

( )

Ej. 2)


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Vamos a graficar la funcin:

Graficando la funcin podemos ver la

relacin que existe entre las variables e ( ). Esta es una funcin cuadrtica (se le

da este nombre debido a que la variable se encuentra elevada al cuadrado), la misma

como pueden apreciar en el grfico se grfica con forma de parbola. Tener esto en

cuenta facilita graficar la funcin y realizar un anlisis de la misma.

b) Ahora vamos a completar la tabla con la nueva funcin, esta funcin es conocida como

funcin polinmica, la veremos en profundidad ms adelante. Ahora limitmonos a

completar la tabla como nos pide el ejercicio.

Ya que estamos graficamos la funcin:

( )


El dominio de una funcin son los valores de que la funcin puede tomar. Vamos a

resolver los ejercicios y explicar los diferentes casos:

a)

( )

En esta funcin el denominador debe ser diferente de , esto se debe a que no existe la

divisin por (al decir no existe nos referimos a que no produce resultado alguno, es una

indeterminacin matemtica)

Por lo tanto resolvemos:

Con esto concluimos que debe ser diferente de , ya que cuando la funcin no

est definida.

El dominio se escribe de la siguiente manera:

( ( )) . Esto significa que la funcin puede tomar como valor cualquier

nmero real ( ) excepto el nmero .

b)

Ej. 3) Hallar el dominio de f


( )

De esta funcin sabemos que no existe la raz cuadrada de los nmeros negativos (esto es

cierto si utilizamos el conjunto de los reales, en el conjunto de nmeros imaginarios si

existe solucin, sin embargo esto no es importante para resolver este ejercicio)

Resolvemos:

Tenemos una inecuacin que dice que el valor de debe ser mayor a para que existe

solucin. Por lo tanto el dominio de la funcin es:

( ( ))

c)

( )

Este ejercicio es similar al del punto a.

| |

| |

En este caso no puede tomar dos valores, representamos esto de otra manera:

( ( ))

d)

( )

Este ejercicio se resuelve al igual que punto a y c, debe ser diferente de . Por lo tanto:

( ( ))


Ahora nos toca graficar funciones, esto lo hacemos dndole valores a y as obtenemos

valores de ( ( ))

a)

( )

( )

b)

( )

( )

Ej. 4) Graficar la funcin


c)

( )

( )

d)

( )

( )


a)

Las funciones lineales tienen la forma ( )

Donde es la pendiente de la funcin y es la ordenada al origen.

Al tener tan solo dos puntos de cualquier funcin lineal podemos obtener la pendiente y

la ordenada al origen por medio de las matemticas.

Resolvemos:

i)

{ ( ) ( )

De la primera ecuacin obtenemos

Reemplazamos en la segunda ecuacin la variable :

( )

Reemplazando en la primera ecuacin obtenemos:

Ej. 5)


Por lo tanto la funcin queda definida como:

( )

ii)

{ ( ) ( )




(

) ( )


( )

iii)

{ ( ) ( )

Reorganizamos la primer ecuacin:

( )

Reemplazamos en la segunda ecuacin:

( )


Reemplazamos en la primer ecuacin:

( )


( )

b y c)

i) El inciso b se resuelve de la misma manera que el inciso a. Nos dan dos puntos al igual

que antes, la diferencia es que ahora estn escritos como un par ordenado. Donde el

primer punto corresponde a la variable y el segundo punto corresponde a la variable .

Utilizamos el mismo procedimiento de resolucin que en el punto anterior, este inciso

incluye al c ya que en el mismo se pide la pendiente y la ordenada al origen (valores que

necesitamos para representar la funcin matemticamente)

i)

{ ( ) ( )

Reordenamos la primera ecuacin en funcin de :

( )

Reemplazamos b en la segunda ecuacin:

( )

Obtenemos el valor de b:



( )

ii)

{ ( ) ( )



( )


(

)


( )

iii)

{ ( ) ( )




( )


(

)


( )

En este ejercicio en vez de darnos dos puntos nos dan la pendiente de la funcin y un

punto. Nos falta obtener la ordenada al origen para determinar la funcin.

Resolvemos:

a)

( )

Donde

( )

Nos dan el punto ( )

( )


( )

b)

( )

Ej. 6) Hallar la ecuacin de


Donde

( )


( )


( )

c)

( )

Donde

( ) ( )


( )( )


( )

d)

( )

Donde

( ) (

)


(

) ( )



( ) (

)

e)

( )

Donde

( )


( )


( )

f)

( )

Donde

( )


( )


( )

a)

A partir del grafico podemos obtener dos puntos:

Ej. 7) Hallar las ecuaciones


( )

( )

Y a partir de ac resolvemos como en el ejercicio 5.

{ ( )

( )

Reorganizamos la primera ecuacin:

Y reemplazamos en la segunda ecuacin:

( )

( )


( )

b)

En esta funcin no es necesario realizar un anlisis analtico. Sabemos que sin importar el

valor de el valor de siempre ser .

Esto lo expresamos de la siguiente forma:

( )

c)

En este ltimo inciso tambin tenemos dos puntos:

( )

( )

{ ( ) ( )

Reordenamos la primera ecuacin:



( )


( )

Para determinar en qu punto interceptan dos ecuaciones hay que igualarlas en funcin

de una de sus variables (tambin podra ser por medio de una constante pero es lo menos

comn). Explicaremos esto mejor a medida que resolvemos el ejercicio.

a)

Tenemos dos ecuaciones:

( ) y ( )

Las dos se representan en funcin de las variables e , lo que estamos tratando de

determinar es en qu valor de las funciones tienen el mismo valor de . Sabiendo que

buscamos que su valor de sea el mismo despejamos las funciones en funcin de esta

variable. En este ejercicio las funciones ya se encuentran despejadas. Vamos a resolver:

Por lo tanto cuando la variable toma el valor , las funciones comparten el mismo valor

en . Vamos a confirmar esto grficamente para que sea ms clara la explicacin:

Ej. 8) Hallar el punto de


En el grfico vemos que cuando , las funciones interceptan.

b)

( )

y ( )

Igualamos las ecuaciones:

Obtenemos tambin el valor de reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones.

( )

( )

( )

Punto de interseccin = ( )

c)

En este caso tenemos que obtener la funcin ( ), en realidad la funcin est dada pero

no se representa matemticamente. La representamos matemticamente:

( )

Igualamos ambas ecuaciones:



( ) ( )

( )

d)

En este ejercicio tenemos que obtener antes que nada la funcin ( ), en este caso

tenemos un punto (el origen de coordenadas, es decir ( )) y la pendiente de la

funcin.

Sabemos que tiene la forma:

( )

( )( )

Por lo tanto:

( )


Ahora igualamos ambas funciones:


( ) ( )

( )

En este ejercicio vamos a trabajar con inecuaciones, es similar al ejercicio anterior pero en

este caso en vez de querer saber en qu punto existe interseccin lo que buscamos es

para que valores de , la imagen de la funcin ( ) es menor o igual a la imagen de ( ).

Vamos a resolver:

i)

Esto significa que se cumple que ( ) ( ) cuando .

Vamos a ver qu es lo que pasa grficamente para que quede ms claro el ejercicio:

Ej. 9)


Vamos a escribir el resultado de la manera en la que lo plantea el enunciado que es la

manera correcta de expresarlo matemticamente:

ii)

Resolvemos de la misma manera que en el inciso anterior:

iii)

Tenemos que obtener la funcin , nos dan dos puntos para lograr esto:

( )

( )

{ ( )

( )


Y ahora reemplazamos en la segunda ecuacin:


( )

Reemplazamos en la primera ecuacin para obtener :

( )


( )

Y ahora podemos realizar los que nos pide el ejercicio:

b)

En este punto nos piden los grficos de las funciones y el conjunto , el inciso i se

encuentra en el ejercicio, agregamos los grficos faltantes:

ii)

iii)


Nos piden el valor de la pendiente ( ) y nos dan la funcin sin la misma. A su vez tenemos

un punto ( ).

Por lo tanto reemplazamos el punto en la ecuacin y obtenemos la variable faltante:

( )

( )


( )

Ahora nos piden que determinemos en qu puntos la funcin corta a los ejes

coordenados. Para saber esto hacemos lo siguiente:

Cuando la funcin corta al eje coordenado su valor en es igual a , por lo tanto:

Cuando la funcin corta al eje coordenado su valor en es igual a , por lo tanto:

( ) ( )

Ej. 10) Sea ( )


( )

Hacemos el grafico para que quede ms claro.

El conjunto de negatividad de una funcin corresponde a los valores de la variable para

los que la imagen (variable ) tiene un valor negativo. El enunciado plantea que la funcin

comienza a tener una imagen negativa cuando , para que esto sea as la nica

posibilidad es que en este valor de la funcin intercepta con el eje coordenado de , lo

que tambin nos dice que . Por lo tanto ahora sabemos que la funcin pasa por el

punto ( ), teniendo ahora dos puntos podemos determinar la forma matemtica

de la funcin.

{ ( ) ( )

Como solemos hacer reordenamos la primera funcin:

Reemplazamos en la segunda funcin:

( )

Ahora reemplazamos en la primera funcin para obtener la ordenada a la origen:

( )


Ej. 11) Encontrar la funcin


( )

Y ahora podemos obtener ( )

( ) ( )

( )

En este ejercicio tenemos que analizar el enunciado para obtener la funcin.

a)

El enunciado plantea que existe un cargo fijo, el cargo fijo no est atado a ninguna

variable, por lo tanto lo expresamos como constante. A si vez sabemos que existe un gasto

asociado a cada KWH consumido. La cantidad de KWH consumidos es variable y por lo

tanto lo vamos a representar como tal. Lo que queremos obtener es el precio en funcin

de los KWH consumidos. A partir del anlisis realizado y de los datos del enunciado

escribimos la funcin:

( )

Ahora la representacin grafica.

b)

( ) ( )

( )

Debe pagar $31.

c)

Ej. 12) La boleta mensual


Consumi 750 KWH.

Este ejercicio es similar al anterior, procedemos a resolverlo.

TUNGO lo representamos con la funcin ( ) y TONGO con la funcin ( ).

( )

( )

a)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

b)

( )

El cliente del plan TUNGO habl minutos

( )

Ej. 13) Una empresa de


El cliente del plan TONGO habl minutos

c)

Para determinar lo que pide este inciso tenemos que igualar los planes en funcin del

precio y as obtener los minutos en los que ambos planes cuestan lo mismo.

Cuando se hablan minutos los dos planes tienen el mismo costo.

Al hablar minutos los dos planes cuestan lo mismo. Ahora hay que determinar que

pasa al hablar ms de 30 minutos y menos de minutos. En realidad esto lo vimos en el

inciso a, el plan TUNGO tiene un mayor costo al hablar menos de 30 minutos pero el costo

es menor pasando este nmero.

La mejor manera de demostrar esto es por medio de un grfico:

Notar que el plan TONGO se vuelve ms caro que el TUNGO al hablar ms de minutos.

Ahora comenzamos con otro tipo de funciones, las funciones cuadrticas, que si bien

explicamos un poco al respecto en el ejercicio , hay ms cosas para saber de estas

funciones. Lo vamos a ir viendo en los ejercicios.

a)

Las funciones cuadrticas tienen la forma:

Ej. 14) Hallar el vrtice de la


( )

Para obtener el vrtice de la parbola aplicamos la siguiente relacin:

Antes que nada vamos a obtener el vrtice:

( )

Tenemos el valor de donde se encuentra el vrtice, para obtener el valor de

simplemente reemplazamos en la funcin.

( )

( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto el vrtice es ( )

La imagen corresponde a los valores de que la funcin puede tomar, vamos a graficar

para que esto resulte ms simple de entender.

En la funcin se ve claramente que la imagen corresponde al intervalo ), esto

significa que la funcin puede tomar valores de mayores a o el valor . Esto tambin

se puede deducir analticamente. Cuando el termino de la funcin cuadrtica es positivo

(como en este caso) la funcin es cncava hacia abajo (se la llama cncava por la forma

del grfico), en cambio cuando el trmino es negativo la funcin es cncava hacia arriba

(es el caso del inciso c). Esto nos permite determinar rpidamente la imagen ya que


tenemos el vrtice y la forma de la funcin. Si te quedan dudas te sugerimos consultar en

Exapuni.

Ya determinamos el vrtice, en base al vrtice y el trmino determinamos la imagen y

ahora vamos a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La lgica es

bastante similar, bien se puede mirar el grafico donde se nota que la funcin tiene un

intervalo de decrecimiento en el intervalo ( ) y un intervalo de crecimiento en el

intervalo ( ), o se puede tambin realizar un anlisis analtico (puede que estos

trminos te resulten complicados en este momento, no te preocupes, despus vas a ver

que siempre se resuelve de la misma forma, esto se debe a que las funciones cuadrticas

siempre tienen el mismo comportamiento).

Analticamente podemos llegar a la misma conclusin analizando de la siguiente manera:

Cuando el valor de se hace ms grande y el valor de disminuye nos encontramos con

un intervalo de decrecimiento (tener en cuenta que 2 es ms chico que -1, recalcamos

esto porque a veces se presenta confusin).

Cuando el valor de se hace ms grande y el valor de tambin aumenta nos

encontramos con un intervalo de crecimiento.

Sin embargo te recomendamos que grafiques la funcin en vez de realizar este anlisis

porque es posible que te confundas.

Terminamos el inciso . Vamos a resolver los siguientes sin tanta explicacin! Cualquier

duda te invitamos a consultar en Exapuni.

b)

Reescribimos la ecuacin:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( )

( )

El vrtice es por lo tanto ( )

Graficamos la funcin:

La situacin es similar a la anterior, la imagen de la funcin es:

( ( )) ( ) ( )

Notar que escribimos la imagen de manera diferente al ejercicio anterior, esta es la

manera correcta de escribir la imagen ya que la misma es un intervalo (en el parcial les

recomendamos escribirla de esta forma).

Ahora en base al grafico ponemos el intervalo de decrecimiento:

( )

Y el de crecimiento:

( )

c)

( )

( )

( ) ( )


( ) ( )

( )



Notar que la funcin es cncava hacia arriba, recordar que esto se puede determinar por

el signo de .

( ( )) ( ) ( )

Ahora en base al grafico ponemos el intervalo de decrecimiento:

( )

Y el de crecimiento:

( )

d)

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )




( ( )) ( ) ( )

( )

( )

e)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

El vrtice es por lo tanto (

)



( ( )) ( ) ( )

(

)

(

)

f)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )




( ( )) ( ) ( )

( )

( )

g)

( )

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

)


)



( ( )) { ( ) ( )

}

(

)

(

)

h)

( )

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

)


)



( ( )) { ( ) ( )

}

(

)

(

)

Vamos a resolver este ejercicio determinando el vrtice de las funciones y utilizando el

componente para determinar si es cncava hacia arriba y hacia abajo. La lgica para

determinar la imagen ser la misma que la aplicada en el ejercicio anterior.

i)

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )



Ej. 15) Asociar cada funcin


( ( )) { ( ) ( ) }

ii)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )




( ( )) { ( ) ( ) }

iii)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )



( ( )) { ( ) ( ) }

iv)

( )

( )

( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( )

( )



( ( )) { ( ) ( ) }

Ahora nos piden algo diferente, los ceros de la funcin son los valores de en los que la

imagen es igual a ( ). Por lo tanto hay que igualar la funcin a y as determinamos

los ceros o races. El conjunto de positividad y negatividad son los conjuntos en los que la

funcin tiene una imagen positiva y una imagen negativa respectivamente. Ahora vamos a

ver esto mejor en el ejercicio.

a)

Primero vamos a obtener los ceros analticamente:

( ) ( )( )

( )( )

Para que la expresin de la derecha sea igual a , hay dos opciones, o bien ( ) es o

( ) es . Esto se debe a que el cero multiplicado por cualquier nmero da cero como

resultado. Resolvemos entonces:

Ej. 16) Hallar los ceros, el


Notar que si la variable toma el valor la imagen es . Por lo tanto esos son los

ceros de la funcin.

Ahora sabemos qu puntos la funcin corta al eje coordenado de . Recordemos que si la

imagen es mayor a nos encontramos en el conjunto de positividad y viceversa. Al

conocer donde se corta con el eje podemos evaluar que pasa a la derecha y a la

izquierda de ese valor para determinar la situacin de la funcin y as determinar los

conjuntos solicitados.

Veamos que pasa en los siguientes puntos:

( ) ( )( )

( )

Cuando la imagen es negativa, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al

conjunto de negatividad.

( ) ( )( )

( )

Cuando la imagen es positiva, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al

conjunto de positividad.

( ) ( )( )

( )



Por lo tanto:

( ) ( )

( )

Vamos a graficar para corroborar:


b)

( ) ( )

Primero obtenemos los ceros:

( )

( )

( )

| |

Hay dos posibilidades:

Por lo tanto los ceros son y .

Analizamos que pasa a la izquierda y derecha de los ceros:

( ) ( )

( )



( ) ( )

( )

Cuando la imagen es positiva, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al conjunto

de positividad.

( ) ( )


( )



Por lo tanto:

( ) ( )

( )

c)

( )

En este caso los ceros no salen de manera tan directa como en los dos incisos anteriores,

para obtenerlos hay que aplicar una formula conocida como formula resolvente

(seguramente la records de la secundaria).

( ) ( ) ( )( )

( )

Por lo tanto los ceros de la funcin son y .

( ) ( ) ( )

( )


( )



(

) (

)

(

)

(

)

(

)

Cuando

la imagen es negativa, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al conjunto

de negatividad.

( ) ( ) ( )

( )

( )



( )

( ) ( )

d)

( )

( ) ( ) ( )( )

( )


Por lo tanto los ceros de la funcin son

y .

( ) ( ) ( )

( )

( )

Cuando la imagen es negativa, por lo tanto el conjunto (

) pertenece al


( ) ( ) ( )

( )

Cuando la imagen es positiva, por lo tanto el conjunto (

) pertenece al


( ) ( ) ( )

( )

( )



(

)

(

) ( )

e)


( )

( ) ( ) ( )( )

( )


( ) ( )

( )



( ) ( )

( )



( ) ( )

( )



( )


( ) ( )

f)

( )

( ) ( )

Reescribimos haciendo factor comn para obtener ms fcilmente las races (nos

evitamos la formula resolvente).

Los ceros de la funcin entonces son y .

( ) ( ) ( )

( )

( )



( ) ( ) ( )

( )

( )

Cuando la imagen es negativa, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al conjunto

de negatividad.

( ) ( ) ( )

( )

( )




( )

( ) ( )

i)

( )

( ) ( )


( ) ( ) ( )

( )

( )



( ) ( ) ( )

( )


de negatividad.

( ) ( ) ( )

( )

( )



( )

Ej. 17) Asociar cada funcin


( ) ( )

ii)

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

Los ceros de la funcin entonces son y .

( ) ( ) ( )

( )



( ) ( ) ( )

( )


de negatividad.

( ) ( ) ( )


( )



( )

( ) ( )

iii)

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

En este caso no podemos avanzar ms ya que no existe la raz cuadrada de un nmero

negativo (en los reales). Esto nos indica que la funcin no tiene ceros (o sea, no existe

ningn valor de la variable que tenga como imagen el ). Sugerimos dos maneras para

obtener el conjunto de negatividad que pide el enunciado.

1) Como sabemos que la funcin es cncava hacia abajo (debido a que el trmino es

negativo) podemos deducir automticamente que la funcin se encuentra completamente

debajo del eje (ya que no tienen ningn 0). Si estuviese sobre el eje siendo cncava

hacia abajo necesariamente tendra que tener un cero y ya demostramos analticamente

que la funcin no tiene ceros.

2) Suponiendo que no tenemos en cuenta la concavidad de la funcin reemplazamos

cualquier nmero en la variable y nos va a dar la imagen. Ya que no existen ceros la

imagen tiene que ser siempre negativa o siempre positiva, al no haber ceros no hay

cambio de signo.

Probemos entonces reemplazando el valor en la funcin.

( ) ( )

( )


El resultado es negativo. Esto se repite para cualquier valor de necesariamente por lo

que explicamos previamente.

Por lo tanto:

iv)

( )

( ) ( )

Existen dos posibilidades:


( ) ( ) ( )

( )

( )



( ) ( ) ( )

( )

( )

Cuando la imagen es positiva, por lo tanto el conjunto ( ) pertenece al conjunto

de positividad.

( ) ( ) ( )

( )

( )




( )

( ) ( )

v)

( )

( ) ( ) ( )( )

( )


( ) ( ) ( )

( )



( ) ( ) ( )

( )




( ) ( ) ( )

( )



( )

( ) ( )

Para obtener los puntos de interseccin de dos funciones tenemos que igualar sus

imgenes. Esto ya lo hicimos en la seccin de funciones lineales.

a)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

Ej. 18) Hallar los puntos de


Por lo tanto las funciones interceptan cuando y

Tenemos que tambin obtener los valores de , reemplazamos los valores de en

cualquiera de las dos ecuaciones:

( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto uno de los puntos es ( )

( ) ( )

( )

Y el otro punto es ( )

Graficamos:

b)

( ) ( )


( ) ( ) ( )( )

( )

No existe la raz de un nmero negativo, por lo tanto no existe punto de interseccin.

Vemos que pasa grficamente:

c)

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )



El valor de de ambos puntos ya lo tenemos, es . Esto se ve ms claro en el grfico:

d)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )



Tenemos que tambin obtener los valores de , reemplazamos los valores de en

cualquiera de las dos ecuaciones:

( ) ( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto uno de los puntos es ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Y el otro punto es ( )

Graficamos:

e)

( ) ( )


En este caso las funciones interceptan nicamente en un punto.

Obtenemos el valor de reemplazando en ( )

( ) ( ) ( )

( )

El punto de interseccin por lo tanto es ( )

Graficamos:

f)

Nos dan dos puntos para obtener la funcin lineal ( ):

( )

( )

{ ( ) ( )



( )

Reemplazamos en la primera ecuacin:


( )


( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

No existe la raz de un nmero negativo, por lo tanto no existe punto de interseccin.

Vemos que pasa grficamente:

a)

Sabemos que las funciones cuadrticas tienen la forma:

( ) y que el vrtice tiene una relacin con esta forma:

Ej. 19) Hallar la funcin


Resolvemos:

Ahora tenemos establecida una relacin entre las variables y . Reemplazamos en la

ecuacin inicial:

( )

Adems tenemos dos puntos, el del vrtice y el que nos informan, con esto podemos

armar dos ecuaciones:

{ ( ) ( )

( ) ( )

Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas.

Despejamos la primera ecuacin:

Y ahora reemplazamos la variable en la segunda ecuacin:

( ) ( )

( ) ( )

Como sabemos que automticamente obtenemos el valor de

( )

Nos queda solo el valor de que lo obtenemos reemplazando cualquiera de los puntos del

enunciado en nuestra ecuacin inicial ya conociendo los valores de y .

( )


( ) ( )

Por lo tanto la funcin cuadrtica es:

( )

b)

Es similar al ejercicio anterior, al saber que el conjunto de positividad es ( ) sabemos

que la funcin tiene los ceros y . Ya de esta manera tenemos dos puntos. A su

vez tambin podemos obtener un tercer punto, sabemos que el vrtice se encuentra en

. Esto lo sabemos porque el ejercicio nos da la imagen. El mximo valor que alcanza

en es el . Debido a la simetra de las funciones cuadrticas sabemos que cuando la

funcin toma el valor (el vrtice) el valor de . Cuando terminemos el ejercicio

graficamos la funcin para que entiendas mejor.

Ahora tenemos 3 puntos y 3 incgnitas. Por lo tanto vamos a poder resolver el sistema:

( )

{ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

De la primera ecuacin obtenemos que directamente.

Por lo tanto nos queda la siguiente situacin:

{ ( ) ( )

( ) ( )



( ) ( )( )



(

)


( )

Y la graficamos:

c)

Al darnos el intervalo de crecimiento nos estn diciendo que el vrtice se encuentra en

. Adems nos dicen la imagen y entonces sabemos que el valor en del vrtice es

. Ahora el ejercicio es similar al inciso a.

( )

Resolvemos:

Ahora tenemos establecida una relacin entre las variables y . Reemplazamos en la

ecuacin inicial:


( )

Tenemos dos puntos, el del vrtice y el que nos informan, armamos dos ecuaciones:

{ ( ) ( )

( ) ( )

Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas.



( ) ( )


( )

Nos queda solo el valor de que lo obtenemos reemplazando cualquiera de los puntos del

enunciado en nuestra ecuacin inicial ya conociendo los valores de y .

( )

( ) ( )


( )

Este ejercicio es similar al inciso b del ejercicio anterior. Vamos a tener 3 puntos y a partir

de los mismos hay que obtener la funcin cuadrtica.

Ej. 20) Sea ( )


El enunciado nos dice que ( ) y ( ), por lo tanto obtenemos los ceros de f( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

Ahora tenemos 3 puntos. Resolvamos el sistema de ecuaciones que se genera:

{ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Igualamos las primeras dos ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )

Ahora en la segunda y tercera ecuacin aplicamos sustitucin, primero despejamos la

segunda ecuacin en funcin de .

Reemplazamos en la tercera ecuacin:


( ) ( )

Ahora tenemos un nuevo sistema de ecuaciones con dos incgnitas y dos ecuaciones:

{

Despejamos en la primera ecuacin:


( )

Ya teniendo podemos conocer :

( )

Tan solo nos queda obtener , reemplazamos y en cualquiera de las ecuaciones del

primer sistema de ecuaciones:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

Y finalmente llegamos a la ecuacin cuadrtica buscada:

( )

a)

Ej. 21) Un artesano confecciona


En base al enunciado podemos determinar que el costo de un cuadro se obtiene de la

siguiente forma:

Vamos a expresar la altura en funcin del precio.

Agregando tambin los costos a la funcin nos queda lo siguiente:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Si tenemos 10 cm de altura:

( ) ( ) ( )

( )

( )

El costo es de $140.

b)

( )


( ) ( ) ( )( )

( )

Nos quedamos con ya que no tiene sentido una altura negativa.

Por lo tanto las dimensiones del cuadro son:

Altura = 15 cm

Base = 30 cm

Vamos a suponer que el constructor tiene que utilizar los metros de los que dispone.

Notar que tenemos dos ecuaciones sabiendo que la ventana es un rectngulo:

{

Vamos a despejar la segunda ecuacin:

( )

Ej. 22) Un constructor debe


Reemplazamos en la primera ecuacin:

( )

Tenemos el rea expresada en funcin de la altura. Ahora vamos a cambiar la variable

por la variable para trabajar ms cmodos:

( )

Ya podemos resolver.

a)

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

b)

( )


( ) ( )( )

( )

Tenemos dos resultados posibles para la altura:

y

El enunciado nos pide la base as que vamos a calcularla:

c)


( ) ( )( )

( )

No existe la raz de un nmero negativo (en los nmeros reales), por lo tanto no es posible

construir una ventana con de rea.

a)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

b)

( )

| |

Ej. 23) El precio en pesos


El radio de la torta es de , ya que el radio no puede ser negativo.

Llegamos a las funciones polinmicas, antes que nada te contamos que una funcin

cuadrtica no es ms que una funcin polinmica de grado 2. Vamos a conocerlas mejor

en los ejercicios.

a)

( )

Tenemos una funcin de grado 4 y nos piden que obtengamos los ceros (los puntos donde

el grfico de corta al eje ). Record que cuando queramos obtener los ceros de una

funcin cuadrtica usbamos la formula resolvente. Lamentablemente solo podemos

aplicar la formula resolvente cuando la funcin es de grado 2. As que vamos a tener que

hacer algo nuevo llamado Ruffini.

Primero vamos a hacer factor comn:

( )

( ) ( )

Nota que aplicando factor comn estamos simplificando la situacin. Para que la imagen

sea ( ) el termino debe ser igual a , o el termino debe

ser igual a .

Por lo tanto ya tenemos uno de los ceros .

Ahora tenemos una funcin de grado tres. Tampoco podemos utilizar la formula

resolvente. As que es hora de que apliquemos Ruffini. Ruffini no es ms que un

procedimiento para obtener las races de una funcin. Es bastante mecnico y tiene que

ver mucho con un sistema de prueba y error (en muchos casos, en este caso como vamos

a ver el enunciado nos facilita las cosas).

El enunciado nos dice que hay un cero en (nos dan un valor en el que la imagen

es igual a ). Vamos a aprovechar esta informacin para aplicar Ruffini (podran no darnos

esta informacin y que tengamos que hacer prueba y error con el mtodo hasta obtener

un cero).

Ej. 24) Dada ( )


Te recomendamos que hagas una tabla de la siguiente forma:

Los trminos , , y son los coeficientes de la funcin polinmica. En este caso

pusimos 4 letras porque hay 4 trminos. No hay lmite pero mientras ms trminos ms se

complica (por eso hay que tratar de simplificar lo ms posible la funcin antes de aplicar

Ruffini). La raz que en este caso nos la da el enunciado es el cero (raz y cero son

sinnimos). Finalmente la es el resultado y cuando al aplicar el mtodo de Ruffini el

resultado es estamos frente a una raz de la funcin polinmica. Procedamos a resolver

todo esto que estamos diciendo!

Vamos a ir creando nuevas tablas explicando el paso a paso.

Siempre se comienza de la misma forma, se baja el nmero de la primera columna.

Lo que hicimos ahora es multiplicar la raz por el nmero de la primera columna y pusimos

el resultado en la segunda columna.

Ahora simplemente sumamos los trminos de la segunda columna. ( ) . A

partir de ac el procedimiento es siempre el mismo.


El resultado es . Por lo tanto confirmamos que nos encontramos ante una raz.

Bueno ahora que hacemos con esto no??

Lo interesante de Ruffini es que ahora podemos expresar la funcin polinmica de grado 3

como una multiplicacin de una funcin polinmica de grado 2 por una funcin de grado

1.

Toda la informacin que necesitamos est en la tabla!

( )( )

Este es el resultado, si probas multiplicando lo que se encuentra a la derecha del igual vas

a ver que llegs a lo que se encuentra a la izquierda del igual.

Para expresarlo de esta nueva manera tens que multiplicar la raz expresada de la forma

( ). Por qu de esta manera? Sabemos que es uno de los ceros. Not que si

reemplazas en el valor el resultado es . Esta es la manera de expresar un cero

(sera algo similar a lo que hacemos cuando aplicamos factor comn, record que al

principio aplicamos factor comn de y nos qued la sola, de esa manera ya sabamos

que es un cero de la funcin)

Ahora nos queda explicar cmo llegamos al trmino . Fjate que son los

valores que tiene la tabla en la ltima fila. Tomamos el primer valor y lo ponemos

acompaado por una con un grado menos a la funcin de la que partimos. En este caso

de grado 2.

Ahora nuestra funcin tiene la siguiente forma:

( ) ( ) ( )


Esta funcin es igual que la del enunciado pero expresa de otra forma para poder obtener

los ceros.

A partir de esta funcin ya sabemos que tenemos un cero en y en . Nos

queda una funcin cuadrtica que la podemos desarmar con la formula resolvente

(tambin podramos hacerlo con Ruffini pero aplicar la formula resolvente es ms rpido

ya que nos evitamos el probar cual es la raz)

( ) ( ) ( )( )

( )

Ya tenemos todos los ceros, para finalizar escribimos como quedo la funcin:

( ) ( ) (

) ( )

Donde los ceros son:


Ojal haya quedado claro, cualquier duda consulta en Exapuni.

b)

( )

Reescribimos aplicando factor comn:

( ) ( )

Hay que ordenar la ecuacin para aplicar Ruffini sin errores, ten en cuenta que hay que

respetar los grados (tienen que ir de mayor a menor).

( ) ( )

Ya sabemos que es uno de los ceros.

Aplicando Ruffini a la segunda parte, ahora lo hacemos directamente en una nica tabla:

Reescribimos:

( ) ( )( )

Y ahora nos queda aplicar la formula resolvente a la funcin de grado 2.

( ) ( ) ( )( )

( )


La funcin nos queda:

( ) ( )( )( )

Y los ceros son:

Fjate que uno de los ceros se repite, por lo tanto hay 3 ceros en este caso.

Con lo que aprendimos en el ejercicio anterior podemos resolver estos puntos fcilmente.

a)

Tenemos 3 ceros y sabemos que la funcin es de grado 3.

Primero escribimos la funcin.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

Probamos reemplazando el valor que nos da el enunciado:

Ej. 25) Sea una funcin


( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Como ves el resultado no es 16 como nos pide el enunciado. Esto se debe a que

generamos una funcin polinmica cualquiera que tiene los 3 ceros solicitados por

enunciado. Pero existen infinitas funciones polinmicas de grado 3 que tienen esos ceros.

Para tener una funcin que tenga esos ceros y que adems cumpla la condicin que no

est cumpliendo lo que tenemos que hacer es multiplicar el polinomio por una constante

conocida como el coeficiente principal del polinomio ( ).

( ) ( )

Si el polinomio cumple todas las condiciones solicitadas por el enunciado, tiene los

ceros que solicita y ( ) .

Por lo tanto la funcin solicitada por enunciado es:

( ) ( )

( )

b)

Resolvemos igual que antes

( ) ( )

(( ) ( ) ( ) )

( )

( )


( ) ( )

( )



Este ejercicio es similar al anterior.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

Utilizamos el valor ( ) para obtener :

( ) ( )

(( ) ( ) ( ) )

( )

( )


( ) ( )( )

( )

a)

Sabemos que existe un cero cuando hay cambio de signo en la imagen de una funcin

(existe un teorema que afirma esto conocido como el teorema de Bolzano). No vamos a

entrar en mucho detalle. Lo nico importante es si para el valor de y es un

nmero positivo ( ) y para el valor de y es negativo ( ) nos

encontramos en presencia de un cero. No sabemos bien cul es el cero pero sabemos que

en ese intervalo hay un cero (ya que tuvo que pasar por el eje la funcin para cambiar

de signo).

Existen dos ceros en esta funcin y los intervalos son:

( )

( )

La amplitud de los intervalos es (como solicita el enunciado).

b)

Ej. 27) Sea una


i) El signo sabemos que es positivo utilizando la lgica explicada en el inciso a.

ii) Hay un cambio de signo (antes del cero el signo es positivo y luego es negativo)

iii) No podemos saber que sucede ya que no conocemos la funcin. No es posible afirmar

esto (podra tener ms ceros la funcin y no estar vindolos)

iv) Pasa lo mismo que en iii.

v) Podemos afirmar que el signo es positivo.

vi) Hay cambio de signo dos veces en el intervalo.

c)

No nos piden una ecuacin, simplemente se pide un esbozo de la funcin de la forma que

tendra que tener para cumplir con las condiciones solicitadas.

a)

No podemos determinar cul es la funcin ya que no nos dicen cual es el grado de la

misma. Vamos a tener que usar la informacin que nos dan para obtener los intervalos.

Sabemos que hay ceros en y en . Sabemos que a la izquierda del el signo es

negativo hasta el ya que no hay otros ceros.

Comenzamos entonces diciendo que el intervalo de negatividad incluye el intervalo

( ).

Ej. 28) Hallar los intervalos


Luego del primer cero el signo tambin es negativo, por lo tanto el intervalo ( )

pertenece al intervalo de negatividad.

Finalmente luego del segundo cero la funcin es positiva y sabemos que no existen ms

ceros. Por lo tanto el intervalo ( ) pertenece al intervalo de positividad.

( ) ( )

( )

b)

Vamos a poner directamente los intervalos ya que es similar al inciso anterior.

( ) ( )

( ) ( )

a)

( ) ( )( )( )

Hay un cero si la imagen es cero, esto sucede en tres casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Ej. 29) Hallar los ceros


Vemos que pasa cerca de los ceros para obtener los intervalos.

Si

( ) ( ( ) )( ( ) )(( ) )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

Al ser negativo sabemos que el intervalo (

) pertenece al conjunto de negatividad.

Si

( ) ( ( ) )( ( ) )(( ) )

( ) ( )( )( )

( )

Al ser positivo sabemos que el intervalo (

) pertenece al conjunto de positividad.

Si

(

) ( (

) ) ( (

) ) ((

) )

(

) ( ) (

) (

)

(

) ( ) (

) (

)

(

)

Al ser negativo sabemos que el intervalo ( ) pertenece al conjunto de negatividad.

Si

( ) ( ( ) )( ( ) )(( ) )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )


( )

Al ser positivo sabemos que el intervalo ( ) pertenece al conjunto de positividad.

(

) ( )

(

) ( )

b)

( ) ( )

Caso 1:

Caso 2:

El procedimiento es el mismo que el ejercicio anterior, te ponemos los resultados y

chequea que te de lo mismo.

{

}

( ) (

) (

)

c)

( ) ( )( )

Caso 1:


Caso 2:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

d)

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

Caso 1:


Caso 2:

( ) ( )( )

( )

Caso 3:

| |


{

}

( ) (

) (

)

(

) ( ) (

)

e)

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

Caso 1:

Caso 2:

( ) ( )( )

( )


Caso 3:

No existe valor de que cumpla la condicin. Por lo tanto a partir de este trmino no se

pueden deducir ceros.

( ) ( )

( ) ( )

f)

( )

| |

| |

| |

| |

| |

| |

{ }

( ) ( )


( )

g)

( )

( )

( )

h)

( ) ( )( )

Caso 1:

( ) ( ) ( )( )

( )


Caso 1:

( ) ( )( )

( )


( ) ( )

( ) ( )

Tenemos la funcin ( ) y nos dan intervalos. Si hay cambio de signo

dentro del intervalo entonces existe un cero. Probemos:

a)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un cero en el intervalo ( )

b)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )


c)

Ej. 30) Sea ( )


( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )


En el ejercicio anterior nos fuimos acercando cada vez ms al cero. Cuando no se pueden

encontrar ceros con mtodos analticos como los que vimos en esta gua (Formula

resolvente, Ruffini) se utilizan otros mtodos conocidos como mtodos numricos. Existen

varios que permiten esto, nosotros vamos a usar el mtodo de la biseccin para

aproximarnos. La idea de este mtodo es ir dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionar

el intervalo que tiene la raz. Este mtodo tiene un error que responde a la siguiente

frmula:

| |

En donde es la cantidad de iteraciones que vamos a realizar. Como nos piden que el

error sea menor a

es necesario realizar un total de 5 iteraciones ya que .

Procedamos a resolver:

a)

( )

El intervalo es ( ), vamos a dividirlo en 2, nos quedan dos intervalos ( ) y ( ).

Vamos a determinar en cual est la raz y vamos a seguir trabajando con ese intervalo.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

Ej. 31) Aproximar con error


( )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un cero en el intervalo ( ). Dividimos este

intervalo en ( ) y ( ). Tener en cuenta que esta es la segunda iteracin

(cada divisin es una iteracin).

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )


intervalo en ( ) y ( ). Esta es la tercera iteracin.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )


intervalo en ( ) y ( ). Esta es la cuarta iteracin. Notar que cada vez

nos acercamos ms al cero.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )


( )

( )


intervalo en ( ) y ( ). Esta es la quinta iteracin y la ltima.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Hay cambio de signo, por lo tanto hay un cero en el intervalo ( ).

Notar que acotamos mucho la posicin del cero. Y tenemos un error de

como nos pide

el enunciado.

b)

( )

El intervalo es el ( )

Comenzamos dividendo el intervalo en ( ) y ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

En el intervalo ( ) no hay cero, as que el cero debera estar en el intervalo ( ).

Vamos a chequear que esto sea correcto.


( ) ( ) ( )

( )

( )

Efectivamente hay un cero en el intervalo ( ). Vamos a dividir este intervalo en

( ) y ( ). Probemos tomando el segundo intervalo aprovechando que ya

tenemos el valor de ( ).

( ) ( ) ( )

( )

( )

No hay cambio de signo, por lo tanto la raz esta en el intervalo ( ). Dividimos este

intervalo en ( ) y ( ). Esta es nuestra tercera iteracin. Vamos a tomar

el segundo intervalo.

( ) ( ) ( )

( )

( )

Hay cambio de signo en el intervalo ( ). Sigamos con la cuarta iteracin

dividiendo el intervalo en ( ) y ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Hay cambio de signo en el intervalo ( ). Dividimos el intervalo en

( ) y ( ) para hacer la ltima iteracin.

( ) ( ) ( )

( )

( )

Hay cambio de singo en el intervalo ( ) por lo tanto hay un cero en ese

intervalo y tenemos un error menor a

.


Funciones - Ejercicios Surtidos

a) Nos dan la funcin ( ) y tenemos que obtener la funcin ( ) para encontrar el

punto de interseccin.

{ ( )

( )



( )

( )


( )

( )

Para obtener la interseccin entre las funciones las igualamos.

( ) ( ) (Tener en cuenta que para hacer esto hay que despejar en funcin de )

Reemplazamos en cualquiera de las dos funciones:

( )

( )

Ej. 1) Hallar el punto de


( )

El punto de interseccin es ( )

Graficamos:

b)

( ) ( )

El punto de interseccin es (

)

Graficamos:

Ej. 2) Sea ( ) ( )


( ) ( )

Reemplazamos el punto que nos dan:

( )

Ahora tenemos la ecuacin completa:

( ) ( )

( )

Tenemos que ver donde se encuentra el cero para poder determinar el conjunto de

positividad.

Ahora vamos a analizar que pasa cerca del cero .

( ) ( )

( )

( )

A la derecha del cero la funcin es positiva y como sabemos que la funcin es lineal a la

izquierda del cero la funcin es negativa.

( )

Primero tenemos que obtener la funcin ( )

{ ( )

( )


Ej. 3) Sea la funcin lineal



( )


( )

( )

Ahora nos piden todos los valores de para los que la imagen de ( ) es menor que la

imagen de ( ). Escribimos la relacin y resolvemos:

( ) ( )

El intervalo en el que se cumple la condicin es entonces: (

)

Nos dan una funcin y dos puntos (uno hay que obtenerlo a partir de una funcin), a su

vez tenemos que obtener la distancia entre esos dos puntos. Para lograrlo usamos la

siguiente frmula:

Suponiendo que los puntos son: ( ) y ( ) la frmula es:

( ) ( )

Vamos a obtener el punto que nos falta, el enunciado dice que el punto es parte de la

funcin ( ) cuando la ordenada es . El eje de las ordenadas es el eje , por lo tanto al

decirnos esto el enunciado nos est dando el valor de . Nos falta obtener el valor de .

Ej. 4) Sea ( )


( )

Ya tenemos los dos puntos, vamos a obtener la distancia entre ambos:

( )

( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

Por lo tanto la distancia entre y es

Nos dan el punto y tenemos que obtener el punto que es la interseccin de dos

funciones, de la funcin ( ) tenemos dos puntos, vamos a obtenerla:

{ ( )

( )


Vamos a obtener la pendiente ( ) reemplazando en la segunda ecuacin:

( )

( )

Por lo tanto ( )

Vamos a obtener la interseccin entre las funciones:

( ) ( )

Ej. 5) Sea ( ) y


Reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones el valor de

( ) ( )

( )

Ya tenemos los dos puntos, vamos a obtener la distancia:

( )

( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

Por lo tanto la distancia entre y es

a)

Nos dan las races de la ecuacin cuadrtica, que multiplicando las races por un escalar

podemos obtener la funcin cuadrtica (forma cannica de las funciones cuadrticas)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Ahora utilizamos el punto que nos dan para obtener :

(( ) ( ) )

( )



( )

( )


( ) ( )( )

( )

b)

Este inciso es similar al anterior

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Al darnos la imagen tenemos el vrtice de la funcin cuadrtica. Sabemos que el vrtice se

encuentra en el medio de los dos ceros y el valor de lo obtenemos por medio de la

imagen. El vrtice por lo tanto es: ( )

El vrtice es uno de los puntos de la funcin, reemplazamos para obtener el valor de .

(( ) ( ) )

( )

( )

Por lo tanto:

( ) ( )

( )

c)

En este caso nos estn dando tres puntos para obtener la funcin cuadrtica:


{ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Restamos las dos primeras ecuaciones (esto se conoce como reduccin, consiste en restar

las ecuaciones para desaparecer una de las incgnitas, si no quers aplicar este mtodo

tambin podes resolverlo por medio de sustitucin):

( ) ( )

( ) ( )

Aplicamos la misma lgica en las ecuaciones 2 y 3.

( ) ( )

( ) ( )

Vamos a despejar la primera ecuacin en funcin de :

Reemplazamos en la segunda ecuacin obtenida anteriormente:

( )

Sabiendo que

(

)

Y finalmente obtenemos :


( ) ( )

(

) ( ) ( )( )

(

) ( )( )


( )

d)

En este caso nos dan el vertice, conociendo el vertice tenemos la relacin que existe entre

y .

Recordar que el eje es el eje de las abscisas.

( )

( ) ( )

( )

{ ( ) ( )

( ) ( )

Restamos las dos ecuaciones para eliminar :

( ) ( )

( ) ( )


Reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener :

( )( ) ( )( )

( ) ( )

Adems podemos obtener por la ecuacin del vrtice:

( )


( )

Obtenemos el vrtice de la funcin cuadrtica:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Conociendo el vrtice ahora podemos obtener la funcin lineal que pasa por los dos

puntos:

Ej. 7) Sean ( ) y


{ ( ) ( )

Restamos las ecuaciones:

( ) ( )

Obtenemos reemplazando en la primera ecuacin:

( )

( )( )

Por lo tanto la funcin lineal es:

( )

Tenemos que obtener los dos puntos para poder calcular la distancia. Primero vamos a

obtener . Sabemos que cuando una funcin corta al eje el valor de es cero. Por lo

tanto:

Entonces ( )

Ahora tenemos que obtener el vrtice de la funcin cuadrtica:

( )

( )

Ej. 8) Sean el punto


( ) ( ) ( )

( )

( )

Por lo tanto ( )

Ahora vamos a obtener la distancia:

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

Por lo tanto la distancia entre los dos puntos es .

Para resolver este ejercicio tenemos que usar Ruffini ya que nos dan una raz:

Sabemos que al ser una raz entonces debe ser igual a .

Por lo tanto la funcin cuadrtica:

Ej. 9) Dada ( )


( )

Para obtener la imagen vamos a obtener el vrtice la funcin cuadrtica.

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Sabemos que cuando es negativo la funcin es concava haca abajo. Por lo tanto la

imagen es:

( ( )) { ( ) ( )

}

Usamos la relacin del vrtice con y :

Ej. 10) Sean ( ) ...


( )

Nos falta el valor de .

Sabemos la distancia entre los ceros y sabemos dnde est el vrtice. Debido a que la

funcin cuadrtica es simtrica podemos deducir la posicin de los ceros. Si a

le

sumamos

(la mitad de la distancia de los ceros) obtenemos el cero de la derecha del

vrtice , si le restamos

obtenemos el cero de la izquierda del vrtice .

Usando cualquiera de los dos ceros obtenemos el valor de reemplazando en la funcin:

( )

( )

( ) ( ) ( )


( )

Sabemos que cuando ambas funciones tienen la misma imagen. Vamos a resolver:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Ej. 11) Dadas ( )


Ahora sabemos que ( ) , nos piden todos los puntos de interseccin

entre ambas funciones. Ya sabemos que es un punto de interseccin (por

enunciado), vamos a buscar si hay ms de uno.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

Por lo tanto los puntos donde interceptan ambos grficos son: y

.

Este ejercicio se resuelve aplicando Ruffini.

a)

( )

Ej. 12) Se sabe que el grafico


( ) ( )

Sabemos que es un cero.

Por lo tanto: ( ) ( )( )

Ahora aplicamos la formula resolvente sobre el trmino

( ) ( ) ( )( )

( )

)

Por lo tanto los ceros de la funcin son ,

, y

b)

( )

( ) (

) (

)

Recorda que los intervalos se obtienen reemplazando valores en la funcin y probando

que sucede.

Ej. 13) Sea ( ) ...


a)

( )

( ) ( )

Sabemos que es un cero.

Por lo tanto: ( ) ( )( )

Ahora aplicamos la formula resolvente sobre el trmino

( ) ( ) ( )( )

( )

Por lo tanto los ceros de la funcin son , , y


b)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Primero obtenemos la funcin utilizando los dos puntos:

{ ( )

( )

Despejamos en la primera ecuacin:

Sustituimos en la segunda ecuacin:

( )

( )

Ahora obtenemos :

( )

La funcin es ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Conocemos la relacin entre e por medio de la funcin, vamos a reemplazar:

( ) ( )

Ej. 14) Sea ( ) la funcin


( ) ( )

( ) ( )

| |

Tenemos los dos valores de , reemplazando en la funcin obtenemos los valores de .

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Por lo tanto las puntos son ( ) y ( )

Primero obtenemos la funcin lineal:

{ ( ) ( )


( )

Reemplazamos en la segunda:

( )

Ej. 15) Sea ( ) la funcin


( )

Ahora tenemos que obtener el conjunto :

( )

( )

Para que se cumpla la inecuacin tanto denominador como numerador deben tener el

mismo signo, por lo tanto:

Record que se interpreta como interseccin y como unin. De la primera

interseccin se obtiene el conjunto (

) y en la segunda interseccin no existe

interseccin. Por lo tanto la solucin es:

(

)

Este ejercicio es muy similar al anterior, primero obtenemos la funcin lineal ( ):

{ ( ) ( )

Ej. 16) Sean la funcin lineal


De la segunda ecuacin obtenemos que . Reemplazamos en la primera

ecuacin:

( )

( )

( )

Ahora tenemos que obtener el conjunto :

( ) ( )

( )( )

Para que se cumpla la inecuacin ambos trminos deben tener el mismo signo, por lo

tanto:

De la primera interseccin se obtiene el conjunto y en la segunda interseccin no

existe interseccin. Por lo tanto la solucin es:

Terminamos por hoy! Esta gua fue hecha gratis para toda la comunidad de Exapuni.

Agradezco muchsimo la difusin y el boca en boca. Este material fue hecho a pulmn.

Esta gua fue hecha con la mejor intencin, con la mayor profesionalidad posible y como

un aporte til para la comunidad. Si encontrs algn detalle, pods dejarnos tus

comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al mximo!

Matematica 51 - Guia 2 Funciones

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