Clase 18 Matematica Cpech - Relacion & Funciones (OliverClases)

7/28/2019 Clase 18 Matematica Cpech - Relacion & Funciones (OliverClases)

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lgebra 2010

Clase 18: Relaciones y funciones

Propiedad Intelectual CpechPPTCANMTALA04018V1


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APRENDIZAJES ESPERADOS

Definir relacin y funcin, estableciendo lasdiferencias entre un concepto y otro.

Determinar si una relacin es funcin.

Determinar el Dominio y Recorrido de una funcin.

Determinar si una funcin es inyectiva, epiyectivao biyectiva.

Representar informacin cuantitativa a travs degrficos y esquemas.

Propiedad Intelectual Cpech


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Contenidos

1.Nociones de teora de conjuntos

2. Relaciones

3. Funciones3.1 Definicin

3.2 Evaluacin de funciones

3.4 Clasificacin:

_ Funcin Biyectiva

2.1 Definicin2.2 Dominio y Recorrido

_ Funcin Inyectiva

_ Funcin Epiyectiva

1.1 Definiciones1.2 Producto Cartesiano

3.3 Dominio y recorrido de una funcin



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1. Nociones de Conjuntos 1.1. Definiciones

Conjunto: Es una coleccin de objetos bien definidos,considerados como una sola unidad.

Pertenencia ( ) : Si un objeto p es elemento de unconjunto C, entonces p pertenece a C y su notacin es: p C.Si p no pertenece a C, se denota: p C

Conjunto vaco (): Es aquel conjunto que no poseeelementos. Tambin se denota como: { }

Subconjunto ( ): Un conjunto A es subconjunto de otroconjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, sontambin elementos de B.



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1.2. Producto CartesianoDados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A B )

est formado por cada uno de los pares ordenados donde elprimer elemento pertenece a A y el segundo a B :

A x B = { (a,b) / a A y b B }

Ejemplo:

Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

(Puedes encontrar mayor informacin sobre conjuntos en tu libro, pginas: 114 a 117)



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2. Relaciones 2.1. Definicin:

Ejemplo:Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relacin de A en B tal que:

R = { (a,b) A x B / b es mltiplo de a}

A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

entonces:


Una relacin R de un conjunto A a un conjunto B(R: A B) , es un subconjunto del producto cartesiano entreA y B ( A x B ), determinado por una, o ms condiciones.


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El par (2,4) pertenece a la relacin R , ya que 4 es mltiplo de 2.Los pares (2,6) y (3,6), tambin estn relacionados, ya que6 es mltiplo de 2 y de 3.

(2,4) R 2 R 4

Notacin:

R (2) = 4

(2,6) R 2 R 6 R (2) = 6

(3,6) R 3 R 6 R (3) = 6



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Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos.

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

2

3

7

4

5

6

A BR

Conj. de partida. Conj. de llegada(Codominio)Pre-imgenes {2,3} Imgenes {4,6}

De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:

2 es pre - imagen de 4 y de 6, y 4 es imagen de 2



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3. Funciones

Una funcin f es una relacin, tal que todo elemento delconjunto de partida tiene imagen, y sta es nica .

3.1. Definicin

Ejemplos:1 . Determine si la siguiente relacin R es funcin:

ab

c

de

f

A BR

La relacin R NO es funcin, porque c tiene dos imgenes.

R (c) = e

R (c) = f


Dom f = A Ningn elemento del dominio tiene ms de una imagen.


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2 . Determine si la siguiente relacin R es funcin:

3

5

4

6

7

9

A B

R

R es funcin, ya que cada elemento del conjunto de partidatiene imagen y sta es nica.

f (3) = 6

f (5) = 6

f (4) = 7

Adems: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

35

4

67

9

f A B



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Sea f una funcin, definida en los reales como:

3.2. Evaluacin de funciones

f(x) = 2x + 3.

a) f (1) =

Determinar:IR IR

f

b) f (3) =

c) f (7) =

d) f (12) =

= 24 + 3= 27

Ejemplo 1:

1

37

12

x5

917

27

f(x)21 + 3 = 5

23 + 3 = 9

27 + 3 = 17

212 + 3



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24 + 3 3(20 + 3)2(-1) + 3

f (4) - 3f (0)f (-1)

=

8 + 3 3(3)

1

2

11 9

=

=

=


e) Para f(x) = 2x + 3 , determinar


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Representacin grfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es funcin afn, Dom(f)= IR y Rec(f)= IR

3.3. Dominio y Recorrido



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Ejemplo 1:

Sea

Es siempre posible calcular este cuociente?

Como la divisin por 0 no est definida, x 1 debe ser distintode 0, es decir: x 1 .

Luego, Dom(f) = IR {1}

Respuesta:

IR IR

f

2

1-1

f(x)

2

3-1

x

1


f(x)= 2 x 1


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Ejemplo 2:

Dom(f) = [ - 2, + [

Por qu?

Sea f(x) = x + 2

Como la divisin por 0 no est definida, x 3 debe ser distintode 0, es decir: x 3 .

Luego, Dom(f) = IR {3}

Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.

y(x 3)=x

yx 3y=xyx x=3y

x(y 1)=3y Luego, Rec(f) = IR {1}


y= x x 3 x=3y

y 1

Ejemplo 3:

f(x)= x x 3


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Indicar si los siguientes grficos corresponden a funciones,determinando el dominio y recorrido de aquellos que

representen una funcin.

Ejemplo 4:

Dom(f) = [-2,5 , 5]

Rec(f) = [-1,8 , 3,2]

Dom(f) = IR

Rec(f) = {2}

y = 2



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Dom(f) = IR

Rec(f) = ]- , 4]

No es funcin

x = 3



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3.4. ClasificacinFuncin inyectiva (uno a uno):

Una funcin es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, esimagen de exactamente un nico elemento del dominio.

2

3

7

4

5

6

Bf

A

1 . Determine si la siguiente funcin es inyectiva:

f NO es funcin inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3 .

Ejemplo:

Dom(f) = A

Rec(f) = {5,6}



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2

3

7

B

f

A

4

5

6

9

2 . Determine si la siguiente funcin es inyectiva:

f es funcin inyectiva, ya que cada elemento del recorrido esimagen de un nico elemento del dominio.

Dom(f) = A

Rec(f) = {4, 5, 6}



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Funcin epiyectiva (sobreyectiva):Una funcin es epiyectiva o sobreyectiva si todos loselementos del conjunto de llegada (codominio), son imagen dealgn elemento del conjunto de partida, es decir, el recorridoes igual al conjunto de llegada.

Ejemplos:f 1

67

A B

9

35

f 1 es funcin epiyectiva, ya que cada elemento de B (codominio),es imagen de un elemento de A. (f 1 no es inyectiva).

Dom( f 1) = A

Rec( f 1) = {6,7} = B



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64

16

A B

28

-2

f 2

f 2 NO es epiyectiva, ya que existe un elemento en B (6) que noes imagen de ningn elemento de A. (f 2 no es inyectiva).

Dom( f 2) = A

Rec( f 2) = {4, 16} B



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Funcin biyectiva:

Una funcin es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Ejemplos:

47

-4

A B

58

-3

f

f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Dom( f ) = ARec( f ) = {4, 7, -4} = B



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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la pgina 113 a la 124 .



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Equipo Editorial: Patricia ValdsOlga OrchardPablo Espinosa

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