Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f  en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
f(b) – f(a) b – aTm f[a, b] =
 
 
Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
a evolución en el tiem!o del n$mero de afiliados a la %e#uridad %ocial en Es!a&a entre '* + ' a se#uido un modelo similar al que se refle-a en la #r.fica, donde  x  re!resenta el tiem!o en a&os, siendo x  = * el a&o '*, + f(x) re!resenta el n$mero de afiliados ex!resado en millones"
El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre '* + '
es: f(19) – f(0) 19  = 0,1241
/ue !uede inter!retarse de la si#uiente manera: entre '* + ' el
n$mero de afiliados aumentó !or t0rmino medio, en unas '12***
!ersonas !or a&o"
 
 
de variación media cuando los intervalos considerados se acen cada ve6 m.s
!eque&os:  
h
)()( lim
0
%i el l5mite existe + es finito,
la derivada de f(x) en x = p es
Def : %e dice que f(x) es derivable en x = p si existe el si#uiente l5mite"
f '(p) = h→o lim
f(p+h) – f(p)
 7l acer que h → *, ocurrir. que
•   p 8 h tiende (se acerca) a p
•  / recorre la curva acerc.ndose a P
• a recta secante a la curva se
convierte en la recta tan#ente
• a inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tan#ente
%i la función f tiene derivada en el !unto p, la pendiente de la recta tangente a la #r.fica de la función f  en este !unto es la derivada de f  en p .
0
h→
a
f(a)
αt
αt
Entonces: •  Pendiente de la tangente: mt = f '(a)
•  Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)
t
Ecuación de la recta que !asa !or un !unto 7(a, b) + de !endiente m:
y – b = m (x – a)
 
Ecuación de la recta normal
9omo la tan#ente + la normal son !er!endiculares sus !endientes son inversas + cambiadas de si#no" Entonces:
 Pendiente de la tan#ente: mt = f (!)
 Ecuación de la recta tangente:
+ – f(!) = f (!) (x – a)
Ecuación de la normal: + – f(!) = [–';f (!)] (x – a)
 
derivable en el !unto a"
 
 
 
@na función es derivable en un punto si + sólo si es derivable !or la dereca +
!or la i6quierda + las derivadas laterales coinciden"
 
 
a derivada !or la i6quierda de la función f(x) en el !unto x = a es el l5mite, si
  existe, dado !or f (a –) =
h
h
)()( lim
*0
Teorema
( ) ( ) ( ) ( )
  f a h f a  f a h f a h
h
( ) ( ) lim ( ) ( ) lim   h h
 f a h f a  f a h f a h
h→ →
h→ →
+ = ( ) es contina en f x x a=
( ) es !e"i#a$le en f x x = a
 
Relación continuidad y derivabilidad
Ba+ funciones continuas en un !unto que no son derivables en ese !unto"
y  = |x  es continua en !" pero no es derivable en dic#o punto
 Puesto que las derivadas laterales en * son
diferentes la función no es derivable en dico
!unto"
= tg$
= tg %
•  Aerivada de f(x) = x1 en el !unto 1:
•  Aerivada de f(x) = x1 en el !unto C:
%e dice que la función derivada (o sim!lemente la derivada) de y  = x 1 es f (x) = 1 x  
%e llama función derivada de una función f(x) a la función f (x) que asocia a cada x  del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x , siem!re que exista"
Para obtener la derivada en x
f '(%) =
onsecuencias de la definición de derivada
• a función derivada no identifica totalmente a la función, !ues funciones que
se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada"
E-" f(x)= #(x) 8 D siendo D constante ⇒  f(x) = #(x)
(x)= #(x) 8 D siendo D una constante ⇒  (x) = #(x)
Feom0tricamente, indica que las funciones f(x) + (x) se obtienen mediante una
traslación de vector !aralelo al e-e G + módulo D ó D" Por ello las tan#entes a las
tres funciones son !aralelas"
Derivadas de operaciones con funciones
%ean f  + g dos funciones derivables en un !unto x  ∈ H + sea c  un n$mero real"
 
•  7dem.s se tiene:  
(C)
He#la de la multi!licación !or constante:
(I)
%i + son diferenciables en entonces + son diferenciables en +:
(J)
(K)
()
()
 
 
as derivadas de las seis funciones tri#onom0tricas son:
  ('')
*angentes #ori+ontales: Encuentre los !untos de
Aonde la recta tan#ente es ori6ontal"
%ol" En un !unto sobre la #r.fica de donde la tan#ente es ori6ontal
Aebemos tener a derivada de es + las soluciones de o son + " 7s5, los
!untos son +
,!- .ecta normal en un punto P sobre una #rafica es una recta !er!endicular
a la
Hecta tan#ente en P"
 
%ol" Puesto que , sabemos que en Por tanto, la !endiente de la recta normal
es el ne#ativo reci!roco de la !endiente de la recta tan#ente es , Por la forma
!untoL!endiente de la ecuación de la recta, entonces una ecuación de la recta
normal es:
 o bien
 
 
 
a !rimera derivada es:
9alculando la !rimera derivada:
Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
%e define la com!osición de una función con otra función , + se denota !or a la nueva función dada !or "  
a función (x) = (1x – ')1 es la com!osición de dos funciones: f(x) = 1x–' + #(t) = t1 
t1 = (1x–')1 x 1x–' = t
H H f 
E/emplo:
 
.egla de la cadena: si la función es diferenciable en + la función es diferenciable en entonces la com!osición +:
(g0f)'(a) = g'(f(a)) - f '(a)
E/emplo:
 
.egla de potencias para funciones
%i n es cualquier numero real + es diferenciable en x, entonces:
('2)
('I)
'I"Aiferencie
%i es una función diferenciable, entonces:
('J)
  ('K)
'K" Aiferencie
'" Aiferencie
'" Aiferencie
Derivada de la función inversa
• %e denomina función inversa de una función f  a una nueva función, denotada !or  f  –', cu+o dominio es el recorrido de f, tal que f  –'(f(x)) = x "
• Para que esta función est0 bien definida es necesario que f  cum!la: x' ≠ x1 ⇒ f(x') ≠ f(x1)
as #r.ficas de f + f  –' son sim0tricas res!ecto a la bisectri6 del !rimer cuadrante"
f(x)
 
 
 
 x 
 
 
−
− =
 
(')
(1*)
(1')
En las formulas debe tenerse mientras que en las formulas en debe ser "
Aerivada del seno inverso
 
 
''" Aiferencie
Aerivada de funciones ex!onenciales
 
 
 
%i es una función diferenciable, entonces
He#la de la cadena
Aiferencie
ean
O
3amos a calcular la derivada de a !artir de la función ex!onencial
a derivada de es
1 ( )( ) ( )( )  f g x g f x x= =o o
( ) ( ) ln( ) x f x e g x x= =
1
1
1   ( ) ( )
3amos a calcular la derivada de 
@sando la definición de derivada:
a derivada de sen (x) es
9os (x)
sen( ) x
lim h
3amos a calcular la derivada de
 
/
1 ( )( ) ( )( )  f g x g f x x= =o o
1
1
1   ( ) ( )
2
1
 
3amos a calcular la derivada de
/ ean
1 ( )( ) ( )( )  f g x g f x x= =o o
1
1
1   ( ) ( )
 x ′   =
2
1
 
at f (a) - dx
El diferencial de una función en un !unto x  = a es el incremento de la tan#ente al !asar del !unto x  = a al !unto x  = a 8 h
Tan#ente a la curva en (a, f(a)): su !endiente es mt = f (a) = t# at
Para valores de h = x = dx !eque&os + ≈ f (a) - x
Por tanto: + ≈ d+ = f (a) - dx
G !ara un x  cualquiera:  
d+ = f (x) - dx
"na apro#imación geométrica al concepto de diferencial
• %u!on#amos un cuadrado de lado x , al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h" %u su!erficie se incrementar. en:
f = (x 8 )1 – x1 = 1x 8 1
• %i h es mu+ !eque&o, h1 es muco m.s !eque&o"
• Entonces:   1x = 1x dx es el diferencial de la función
f(x) = x1 + se ve que f ≈ 1x dx = f (x) dx  
 
$á#imos y m%nimos relativos
@na función f(x) tiene un m3nimo (m4ximo) relativo en x  = a si existe un intervalo abierto (a – h, a 8 h), h * , en el que f( x)> f(a) (f(x)?f(a)) !ara todo x !erteneciente al intervalo"
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo relativo  en el !unto m(C, L')" 5o tiene m4ximos relativos"
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo absoluto  en su dominio, H, en el !unto m(C, L')" 5o tiene m4ximo absoluto en su dominio-
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo absoluto en el intervalo 6," 78" en el punto (7" !)- En ese mismo intervalo tiene un m4ximo absoluto en el punto (," 9)-
• a función + = x1 – Jx 8 no tiene m4ximos ni m3nimos en el intervalo (" ;)-
•  m(%, 31) , ;
 
Derivada en un punto má#imo o m%nimo &Interpretación geométrica'
%ea f(x) una función definida en el intervalo (a, b)" %i la función alcan6a un m.ximo o m5nimo en un !unto c  ∈ (a, b) + es derivable en 0l, entonces f (c) = *
%i la función es constante entonces f (c) = *
%i 7 es m.ximo, la tan#ente en x  = c  es ori6ontal" %u
!endiente es *
%i 7 es m5nimo, la tan#ente en x  = c es ori6ontal" %u
!endiente es *
f '(c) = !
f '(c) = !
f '(c) = !
Teorema de Rolle( Interpretación geométrica
<i una función y  = f(x) cumple ue: •  Es continua en el intervalo cerrado 6a" b8- •  Es derivable en su interior (a" b)- •  f(a) = f(b)-
Entonces existe al menos un punto c  ∈ (a" b) tal ue f '(c) = !-
Feom0tricamente este teorema ex!resa que una función que cum!la las i!ótesis anteriores va a tener, al menos, un !unto (c , f(c)) en el que la tan#ente es ori6ontal"
a
f(a)
b
f(b)
• Demostración:
• f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x ≤ M.
•   ∃ x! ∈ [a,b] ∋ f(x!=M. ∃ x" ∈ [a,b] ∋ f(x"=m.
• #i m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x = M (la funci$n es constante => f%(x = &
• #ino, m ' M => por lo menos uno de los puntos, x! o x", corresponde al
interior del interalo, a (a,b, por e)emplo m= f(x "   => (a,b se comporta
como un entorno de x". #e cumple *ue ∀ x ∈ (a,b f(x" ≤ f(x por lo
*ue f presenta un mínimo relatio en x " . (!
• f es deriable por +ip$tesis. ("
• e ! y ", por la condici$n necesaria para la existencia de mínimos relatios f%(x"=& como *ueríamos demostrar
 
Teorema del valor medio o de )agrange( Interpretación geométrica
%i una función y  = f(x) cum!le que: •  Es continua [a, b]" •  Es derivable (a, b)"
Entonces existe al menos un !unto c  ∈ (a, b) tal que:   f(b) – f(a) = (b – a) f (c)" Es decir: f( c) =
• >eomtricamente: si una función que cum!le las i!ótesis anteriores va a a tener al menos un !unto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante ue pasa por los puntos (a" f(a)) y (b" f(b))-
• ?nal3ticamente: si una función cum!le las i!ótesis anteriores, en al#$n !unto c  ∈(a,b) la ra6ón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) ; (b – a), es i#ual a la derivada en dico !unto"
c
ab
• # es continua en [a,b] !or ser suma de funciones continuas"
# es derivable en (a,b) !or ser suma de funciones derivables"
• /ueremos que #(a) sea i#ual a #(b) !ara a!licar el teorema de Holle
= f(a) 8 a = f(b) 8 b = f(a) L f(b) = b – a = (b L a)
•   = !or el teorema de Holle, existe c ∈ (a,b) tal #(c) = *
 
Teorema del valor medio o de )agrange: Demostración
<i una función y  = f(x) cumple ue: Es continua 6a" b8" y es derivable (a" b)- Entonces existe al menos un punto c  ∈ (a" b) tal ue
f(b) – f(a) = (b – a) & f '(c)-
ab
− −
= )()(
− −=−= )()(
)('
 
Demostración: #ea +(x = f(x - /(x
• !.  + es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].
• ".  + es deriable en (a,b por ser suma de funciones deriables en (a,b.
• 0.  1ueremos *ue +(a=+(b para aplicar el teorema de 2olle.
f(a-/(a=f(b-/(b, (/(a3/(b=f(b3f(a
e !," y 0 por el teorema de 2olle ∃ c ∈(a,b tal *ue +%(c = &.
• +%(x=f%(x-/%(x +%(c=f%(c-/%(c=& f%(c4/%(c = 3
Teorema de auc*y o del valor medio generali+ado
  )('
)('
)()(
)()(
− −
=
onsecuencias del teorema del valor medio &I'
• %i f(x) cum!le las i!ótesis del teorema de a#ran#e en [a, b]:
f(a) = f(b) 8 (b – a) - f (c) con c ∈ (a, b)"
• %i b = a 8 , entonces c  = a 8 θ con θ ∈ (*, ')"
c
a 8 a 8 θ
%i f(x) es continua en [a – , a 8 ] + derivable en su interior entonces: f(a 8 ) = f(a) 8 f (a 8 θ) con θ ∈ (*, ')"
 
onsecuencias del teorema del valor medio &II'  
%i una función f(x) tiene derivada nula en todos los !untos de un intervalo abierto, es constante en dico intervalo"
9aracteri6ación de las funciones constantes
•  f(x) es derivable en (a, b)" •  f(x) tiene derivada nula en (a, b)"
En consecuencia: f(x) = D en (a, b)"
•  7unque f(x) tiene derivada nula en los !untos de (a, b) en los que es derivable (en c  no es derivable)"
• o es constante en (a, b)"
 
onsecuencias del teorema del valor medio &III)
 
.elación entre funciones con igual derivada 
• En el intervalo (*, 1Π) las f i(x) son derivables + tienen i#ual derivada" • Entonces se diferencian en una constante, lo que si#nifica que cada una se obtiene
de la otra traslad.ndola !aralelamente al e-e UG"
 
Regla de ),-.pital &I'
Este teorema es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –, 8∞, –∞O"
@na a!roximación #eom0trica al teorema: 
4ndeterminación del ti!o  0
Entonces, si existe
=se verifica que:
Regla de ),-.pital &II'
∞ ∞
Entonces, si existe
=se verifica que:
Regla de ),-.pital &III'
Este !rocedimiento es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –, 8∞, –∞O
%u!on#amos que emos de calcular:   x→
 
Podemos convertir esa ex!resión en una *;* o en una ∞;∞
[ ]
u xu xu x
Regla de ),-.pital &I/'
Este !rocedimiento es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –, 8∞, –∞O
= x→ lim 6f(x)
Supongamos que hemos de calcular:   x→u lim [f(x)g(x)7
8 e este lmite es in!ete"mina!o !e calie"a !e los tipos 1  
0  00
*e !on!e = x→ lim 6f (x)
g(x) 7, po" se" la fncin loa"itmo contina
 8 po" las p"opie!a!es !e los loa"itmos = x→ lim 6(x)   f(x)7
:ste lmite es in!ete"mina!o 0 se pe!e calcla" po" ';<pital ea s #alo" 
 Ten!"emos = ⇒  = e M
';<pital ';<pital
2  
3.–  

[
f(x) ? f(x8), ∀(x, x8) + *
f(x) f(x8), ∀(x, x8) + *
 
Derivadas y curvatura: concavidad
as !endientes de las tan#entes aumentan ⇒ f es creciente ⇒  su derivada que es f W
debe ser fX(x) * ⇒ función concava
[
[
[
t# a'  t# a1 ⇒ f (x') f (x1)
as !endientes de las tan#entes disminu+en ⇒ f es decreciente ⇒ su derivada que es
 
fC > 0
fC(a) = 0