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CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL II

NOTAS DE AULAS

ECONOMIA

Universidade de Sao Paulo

Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de Ribeirao

Preto

Departamento de Computacao e Matematica

Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

Sumario

1 Conjuntos em Rn 3

2 Introducao 8

3 Polinomio real com varias varıaveis reais 9

4 Conjuntos Convexos 15

5 Funcoes Convexas 16

6 Forma quadratica positiva ou negativa definida 20

7 Funcao Concava 227.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8 Funcoes reais de varias variaveis reais 258.1 CURVAS DE NIVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Limites 309.1 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10 Continuidade 35

11 Derivadas parciais 3611.1 Plano tangente ao grafico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

12 Elasticidade de Substituicao 44

13 Derivada Direcional 4513.1 REGRA DA CADEIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.2 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4813.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14 Derivadas parciais de ordem superior 51

15 Diferenciabilidade 52

16 Regra da Cadeia 5716.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

17 VETOR GRADIENTE 61

18 Relacoes entre gradiente e derivadas direcionais 6118.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6318.2 Gradiente e Curvas de Nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

SUMARIO 1

18.3 Gradiente e Superfıcies de Nıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

19 Derivacao de Funcoes Implıcitas 65

20 Teorema de Schwarz 69

21 Extremos de Funcao 7021.1 Extremo Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7121.2 Lembrete Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.3 Ponto Crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.4 Classificacao de Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

22 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 7822.1 Funcao Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.2 CONDICAO DE SEGUNDA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.3 Metodo de Lagrange na Dimensao Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8422.4 Condicao de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8722.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

23 Teorema da Funccao Inversa 9023.1 Teorema das Funcoes Impliıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.2 APLICACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

24 Referencias Bibliograficas 102

SUMARIO 2

Figura 1: Perereca

Figura 2: Kiwi

Figura 3: Kiwi

1 CONJUNTOS EM RN 3

Figura 4: Jaguatirica

Figura 5: Proximo Passo

Figura 6: Dar a Chave

1 Conjuntos em Rn

Seja R o conjunto dos numeros reais. Sabemos que R× R = R2, R× R× R = R3 e

n−vezes︷︸︸︷R× R× · · · × R = Rn = (x1, x2, · · · , xn), tal que xi ∈ R para i = 1, 2, · · · , n

1 CONJUNTOS EM RN 4

Figura 7: Proximo Passo

• Se u ∈ R2, entao u = (x, y).• Se u ∈ R3, entao u = (x, y, z).• Se u ∈ R4, entao u = (x, y, z, w).

Considere os pontos P = (a, b, z), Q = (x, y, z) e F = (a, y, z), ( veja representacao

1 CONJUNTOS EM RN 5

geometrica na Figura A).

-

6

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−

a

x

b

y

(x, y, z)

(a, b, z) (a, y, z)

oy

ox

oz

Figura A

Soma e Multiplicacao Por Numero Real em R3

• Dados u, v ∈ R3, se u = (x, y, z) e v = (a, b, c) entao a Soma de u por v e dada poru+ v = (x+ a, y + b, z + c).

• Se λ for um numero real a Multiplicacao a esquerda de um numero real por ue dada por λu = (λx, λy, λz).

Esta operacao Soma sobre conjunto R3 satisfaz

(i) (u+ v) + w = u+ (v + w); para todo u, v e w em R3.

(ii) u+ v = v + u; para todo u e v em R3.

(iii) Existe ⊙ = (0, 0, 0) ∈ R3 tal que ⊙+ u = u para todo u em R3.

(iii) Dado u em R3, existe −u = (−x,−y,−z) ∈ R3 tal que u+ (−u) = ⊙.

• Se λ for um numero real a Multiplicacao a esquerda de um numero real por ue dada por λu = (λx, λy, λz).

Esta operacao Multiplicacao sobre conjunto R3 juntamente com operacao de Soma

1 CONJUNTOS EM RN 6

satisfazem

Para cada u, e v ∈ R3 e α e β ∈ R tem-se

(a) α(βu) = (αβ)u.

(b) (α + β)u = αu+ βu.

(c) α(u+ v) = αu+ βv.

(d) 1u) = u.

Observacao 1. O conjunto R3 com estas operacoes de Soma e Multiplicacao e umEspaco Vetorial.

Dados P,Q ∈ R3, se P = (x, y, z) e Q = (a, b, c) a distancia entre P e Q e dada por

∥u∥ = ∥→

P −Q ∥, ou seja

dist(P,Q) = ∥u∥ =√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

Dado um numero real positivo r e um ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ E , considere conjunto Ede todos os pontos P = (x, y, z) ∈ R3 tais que a dintancia de P0 ate P e constante, digamosr > 0.

Figura 8: Esfera com Centro P0 = (0, 0, 0) e raio r

dist(P, P0) =√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r.

O conjunto E e conhecido como a Esfera de Centro P0 e Raio r.Vemos que, (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2.

Note que, se F : R3 → R for dada por F (x, y, z) = r2−[(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2] veremosfacilmente que E e o conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que F (x, y, z) = 0.

• Os pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que F (x, y, z) ≤ 0 formam o conjunto conhecido comoB(P0, r) (bola fechada de centro P0 e raio r).

1 CONJUNTOS EM RN 7

• Os pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que F (x, y, z) < 0 formam o conjunto conhecido comoB(P0, r) (bola aberta de centro P0 e raio r).

Figura 9: Intersecao de Esferas

Seja f : [a, b] → R funcao contınua e x um numero qualquer em [a, b].• O conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que y = f(x) e denominado grafico de f

denotado por G(f) (ver Figura 1).• O conjunto K formado pelos pontos (x, y) ∈ R2 tais que x ∈ [a, c], 0 < y < f(x), e

conjunto hachurado na Figura 1.

-oxO a c b

····· · ·· · · ·· · · · ·· · · · · ·· · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·

K

oy

(x, f(x))

x = b

6

Figura 1

Exercıcio 1. Tome o conjunto R2 e considere a distancia dist((x, y), (x0, y0)) = |x− x0|+|y − y0|. Faca um esboco grafico dos conjuntos

B0((x0, y0), δ) = (x, y) ∈ R2 tais que dist((x, y), (x0, y0)) = δ.B1((x0, y0), δ) = (x, y) ∈ R2 tais que dist((x, y), (x0, y0)) < δ.B2((x0, y0), δ) = (x, y) ∈ R2 tais que dist((x, y), (x0, y0)) ≤ δ.

2 INTRODUCAO 8

2 Introducao

. Diversos problemas em Matematica e nas aplicacoes conduzem a relacoes que expressam uma

variavel em termos de varias outras.

Exemplo 1. Suponha que tres firmas produzem o mesmo produto ou oferecem o mesmoservico a um mercado homogeneo. Seja t ≥ 0 o tempo e xi(t) a quantidade de bens produzidapela i-esima firma (i = 1, 2, 3) no intervalo [0, t]. Indicamos por Ci(xi) (i = 1, 2, 3) o custode producao da i-esima firma (i = 1, 2, 3). Se a i-esima firma vende tudo o que produz, oLUCRO da i-esima firma sera dado por

Li = xip− Ci(xi).

Veja que trata-se uma relacao que envolve duas variaveis independentes xi e p, a producaoe o preco e uma variavel dependente Li, isto e Li = Li(xi, p). O lucro total do consorcioformado pelas tres empresas sera dado por L = L1 + L2 + L3. Se x = x1 + x2 + x3 eC(x) = C1(x1) + C2(x2) + C3(x3) entao

L =3∑

i=1

Li = p3∑

i=1

xi −3∑

i=1

Ci(xi) isto e L(x, p) = px− C(x).

onde x e o nıvel de producao das tres empresas consorciadas.

Exemplo 2. (see [11]) Suponha que x e y sao as quantidades consumidas dos ”bens” B1

e B2 respectivamente. Se U medir o grau de satisfacao de um indivıduo em consumir os”bens” B1 e B2, ao fixarmos uma combinacao (x, y) consumida, diremos que U(x, y) e ograu de utilidade derivado da combinacao (x, y) consumida, assim sendo U(x, y) indica acombinacao que o consumidor prefere ou que lhe e preferıvel. Logicamente, para este consu-midor e considerada a hipotese de racionalidade de comportamtento, serao por ele preferidasou preferıveis as combinacoes (x, y) que lhe fornecem a maior satisfacao ou UTILIDADE.O interesse nesta formulacao se apresenta quando para cada combinacoes (x, y) preferıvel doponto de vista do consumidor, U(x, y) for um numero real. Neste caso diremos que U(x, y)e o NIVEL DE PREFERENCIA do consumidor pela CESTA (x, y).

2 Problema da Custo Otimo Para Transporte (see [?, 7])

O petroleo e prodizido em m diferentes plataformas de producao (Mexico, Venezuela,Russia, Iran, etc · · · ). Seja si a oferta de producao na i-esima plataforma. Ainda, o petroleo erequisitado em n diferentes mecados (Berlin, Sao Paulo, New York, · · · ). Seja dj a quantidadede petroleo demandada pelo j-esimo mercado . As quantidades totais do petroleo ofertadoe demandado sao respectivamente

S(s1, s2, · · · , sm) =m∑i=1

si e D(d1, d2, · · · , dn) =n∑

j=1

dj.

Nos assumimos que o total do petroleo ofertado e suficiente para satisfazer a demanda domerdaco. Isto e

3 POLINOMIO REAL COM VARIAS VARIAVEIS REAIS 9

m∑i=1

si ≥n∑

j=1

dj.

Seja cij o custo para transportar por navio, um barril de petroleo da i-esima plataforma parao j-esimo mercado. Seja xij o numero de barris transportado da i-esima plataforma para oj-esimo mecado consumidor. Entao o custo total do transporte por navio e dado por

C(x1j, x2j, · · · , xmj) =m∑i=1

n∑j=1

cijxij.

Problema Economico Deseja-se minimizar o custo total sujeito as retstricoes deoferta e demanda.

Restricoes I E

• A quantidade total transportada da i-esima plataforma nao pode exceder a quantidadeofertada por esta plataforma. Isto e

m∑i=1

xij ≤ si; para i = 1, 2, · · · , .

• A quantidade total transportada para o j-esimo mercado nao pode ser menor quedemandada pelo mercado j. Isto e

m∑i=1

xij ≥ di; para i = 1, 2, · · · , n.

• Todas as quantidades nao negitivas, isto e xij ≥ 0, para todo i = 1, 2, · · · ,m ej = 1, 2, · · · , n.

Veja que as relacoes de igualdade, dadas acima, que envolvem S, D e C tambem envolvemmais que tres variaveis livres se n e m forem maiores que tres.

• A formula do volume de um cilindro cicular reto, V = πR2H, expressa o volume Vem termos do raio da base R e da altura H.

• A lei dos gases ideais p = kT/V expressa a pressao em termos do volume e datemperatura; a temperatura em uma barra depende da posicoes e do instante; as vibracoestransversais de uma corda de instrumento musical (violao, violino etc,) tambem depende de2 variaveis: a posicoes e o instante.

3 Polinomio real com varias varıaveis reais

Como vimos, dados a, b, c, d ∈ R, o cojunto dos pontos do P = (x, y, z) do R3 que satisfazema equacao


ax+ by + cz + d = 0 (3.1)

e um plano. Se c = 0, α = −ac, β = −b

ce m = −d

c, resolvendo (3.1) em z teremos

z = F (x, y) = αx+ βy +m. (3.2)

Veja que em (3.2) pode ser escrita na forma matricial

z = F (x, y) =[α β

]1×2

·[xy

]2×1

+m. (3.3)

EXEMPLOS

1. Bankers Trust Company (see [7])

Nos anos sessenta o Bankers Trust Company desenvolveu um modelo complexo deProgramacao Linear para ajudar sua diretoria a atingir seus interesses atraves dasdecisoes de investimento. A ideia usada pode ser resumida como segue. Suponha queo banco tem 100.106 Unidades de Moeda (u.m) disponıveis para investimentos. Partedeste montante sera aplicada em Emprestimo (Loans L) e a outra parte do montanteem Seguros (Securities S). Emprestimos rendem altos juros. Seguros rendem baixosjuros mas tem a vantagem da Liquedez o que significa que o valor em especie pode serresgatado em curto espaco de tempo. Como exemplo, suponha que o dinheiro aplicadoem emprestimo rende 10%, mas o dinheiro aplicado em seguros rende 5%. Suponhamosque L, S ∈ R respresentam a quantidade de Moeda, em milhoes de u.m, aplicada emEmprestimo e Seguros, respectivamente. A razao de retorno e um polinomio degrau um dado por

R = p(L, S) = 0, 1L+ 0, 05S =[0, 1 0, 50

]·[LS

](3.4)

Restricoes

O Banco quer maximizar esta razao, mas sujeita a certas restricoes.

• Resticoes naturais

(i) L ≥ 0, S ≥ 0; L+ S ≤ 100

• Restricoes Sobre a Liquidez Por varias razoes o banco deseja reter pelo menos25% de seus fundos investidos, lıquido. Isto significa que

S ≥ 0, 25(L+ S), ou seja L− 3S ≤ 0.


• Restricao de Balanco de Emprestimo O banco tem alguns Grandes Clintes e naoquer desaponta-los em caso de necessidades especiais. Por esta razao, espera que estesclientes tomem emprestado uma quantia superior a 30.106 u.m. (L ≥ 30).

Veja que as relacao de igualdade, dada acima, que envolve R tambem envolve maisque duas variaveis livres.

2. Considere o Polinomio de grau 2 dada por P (x, y) = 4x2 + 3xy + 6y2. Note que opolinomio P (x, y) pode ser escrito na forma seguinte matricial

P (x, y) = [x y]

(4 3

232

6

)(xy

)Polinomio de Grau Dois Um polinomio de grau dois e uma funcao dada por

P (x, y) =[x y

]1×2

·[a b

2b2

c

]2×2

·[xy

]2×1

+[α β

]1×2

·[xy

]2×1

+m, (3.5)

na verdade

P (x, y) = ax2 + bxy + cy2 + αx+ βy +m.


Se G(x, y) = ax2 + bxy + cy2 entao G tambem pode ser escrita na forma matricial esera dada por



G(x, y) =[x y

]1×2

·[a b

2b2

c

]2×2

·[xy

]2×1

. (3.6)

• Veja que as funcoes dadas em (3.3) e (3.6) sao polinomios de grau um e doisrespectivamente.

Caso da Dimensao Tres

Analogamente, o Polinomio Q(x, y, z) = 3x2 + 4y2 + 5xy − 3zy + 7xz − z2 pode serescrito na forma seguinte matricial:

Q(x, y, z) = [x y z]

3 52

72

52

4 −32

72

−32

−1

xyz

Suponha que Q(x, y, z) = a11x2+a12xy+a13xz+a23yz+a22y

2+a33z2. Entao na forma

matricial p sera dado por


Q(x, y, z) = [x y z]

a11a122

a132

a122

a22a232

a132

a232

a33

xyz

(3.7)

Veja que ao polinomio Q(x, y, z) em (3.7) esta assoiada um matriz real A, simetrica,de ordem tres. Na verdade em (3.7) podemos escrever ⟨u,Au⟩, onde ⟨·, ·⟩ e o produtoescalar

Exemplo 3. Considere o Polinomio de grau 2 dada por p(x, y) = 4x2+3xy+6y2. Dea forma matricial de p(x, y)

Resolucao Note que

p(x, y) = [x y]

(4 3

232

6

)(xy

)Exemplo 4. Considere o polinomio p(x, y, z) = 3x2 +4y2 +5xy− 3zy+7xz− z2. Dea forma seguinte matricial de p(x, y, z).

Resolucao Veja que

p(x, y, z) = [x y z]

3 52

72

52

4 −32

72

−32

−1

xyz

Note que se Q(x, y, z) dado por (3.7) pode ser escrita como ⟨(x, y, z);A(x, y, z)⟩ (pro-duto escalar), onde

A =

a11a122

a132

a122

a22a232

a132

a232

a33

e uma matriz simetrica.

Se u = (x, y) e v = (p, q), e F (u, v) = ⟨u;Bv⟩ onde

B =

(a bb c

)(matriz simetrica)

teremos


F (u, v) = ⟨u;Bv⟩ =[x y

]( a bb c

)[pq

]= ⟨(x, y); (au+ bv; cu+ bv)⟩

x(au+ bv) + y(cu+ bv) = (ax+ cy)u+ (cx+ by)v =⟨(

a bb c

)[xy

];

[pq

]⟩=

⟨Au; v⟩ = F (v, u).

Teorema 1. Seja V um espaco vetorial Euclidiano sobre K = R e T : V → V trans-formacao linear. Suponhamos que a matriz A = (aij) de T seja simetrica isto e(aij) = (aji) para i, j ∈ 1, 2, · · · , n. Vamos mostrar que se Q(u; v) = ⟨u;T (v)⟩,entao Q(u; v) = Q(v, u) = ⟨Tu; v⟩ para todo u, v ∈ V.

Prova Tomemos S = e1, e2, · · · , en base ortogonal de V. Como sabemos da AlgebraLinear

Te1 = a11e1 + a21e2 + · · ·+ an1en,T e2 = a12e1 + a22e2 + · · ·+ an2en...

......

...Tei = a1ie1 + a2ie2 + · · ·+ anien...

......

...Ten = a1ne1 + a2ne2 + · · ·+ annen

Como para cada i, j ∈ 1, 2, · · · , n, ⟨ei; ej⟩ = 0 se i = j e ⟨ei; ej⟩ = ⟨ej; ei⟩ = 0

⟨Tei; ej⟩ = ⟨a1ie1 + a2ie2 + · · ·+ anien; ej⟩ =

a1i⟨e1; ej⟩+ a2i⟨e2; ej⟩+ · · ·+ ani⟨en; ej⟩ = aij⟨ei; ej⟩

e

⟨ei;Tej⟩ = ⟨a1je1 + a2je2 + · · ·+ anjen; ei⟩ =

a1j⟨e1; ei⟩+ a2j⟨e2; ei⟩+ · · ·+ anj⟨en; ei⟩ = aji⟨ej; ei⟩.

Como aij = aji e ⟨ej; ei⟩ = ⟨ei; ej⟩ temos ⟨Tei; ej⟩ = ⟨ei;Tej⟩. Assim, se u, v ∈ V,

4 CONJUNTOS CONVEXOS 15

⟨u;T (v)⟩ =⟨ n∑

i=1

αiei;T( n∑

j=1

βjej

)⟩=

⟨ n∑i=1

αiei;n∑

j=1

βjT (ej)⟩=

n∑i=1

αi

n∑j=1

βj⟨ei;Tej⟩ =n∑

i=1

αi

n∑j=1

βj⟨T (ei); ej⟩ =

⟨ n∑i=1

αiT (ei);n∑

j=1

βjej

⟩= ⟨T (u); v⟩.

4 Conjuntos Convexos

Definicao 1. Dado V um espaco vetorial Euclidiano sobre K = R e u, v ∈ V os vetoresdados por

w(t) = tu+ (1− t)v com t ∈ [0, 1] (intervalo)

e um segmento de reta em V. O conjunto de todos os vetores w(t) para 0 ≤ t ≤ 1 edenominado combinacao convexa dos vetores u e v.

Teorema 2. Se V e um espaco vetorial Euclidiano e S = B(0, 1) e a bola de centrozero e raio um em V, entao S e um conjunto convexo.

Prova Sejam u, v ∈ S. Como sabemos,√⟨u;u⟩ = ∥u∥ ≤ 1;

√⟨v; v⟩ = ∥v∥ ≤ 1;

⟨u; v⟩ = ∥u∥∥v∥ cos(θ) da desigualdade de Schwarz ⟨u; v⟩ ≤ ∥u∥∥v∥,

onde θ e o angulo entre u e v. Seja t ∈ [0, 1] e w(t) = tu+ (1− t)v. Queremos mostrarque w(t) ∈ S para todo t ∈ [0, 1].

∥w(t)∥2 = ⟨w(t);w(t)⟩ = ⟨tu+ (1− t)v; tu+ (1− t)v⟩

= ⟨tu; tu⟩+ ⟨tu; (1− t)v⟩+ ⟨(1− t)v; tu⟩+ ⟨(1− t)v; (1− t)v⟩

= t2⟨u;u⟩+ t(1− t)⟨u; v⟩+ (1− t)t⟨u; v⟩+ (1− t)2⟨v; v⟩

= t2∥u∥2 + 2t(1− t)⟨u; v⟩+ (1− t)2∥v∥2

≤ t2∥u∥2 + 2t(1− t)∥u∥∥v|+ (1− t)2∥v∥2 = (t∥u∥+ (1− t)∥v∥)2 ≤ (t+ (1− t))2 = 1.

5 FUNCOES CONVEXAS 16

Portanto, w(t) ∈ S para todo t ∈ [0; 1].

Dado V Dado V um espaco vetorial Euclidiano sobre K = R e F ⊂ V definimos osconjuntos

Para cada λ ∈ K, λF = u ∈ V tal que existe v ∈ F e u = λv (Homotetia)

Para cada x ∈ V, x+ F = u ∈ V tal que existe v ∈ F e u = x+ v (Translacao )

Teorema 3. Seja V Dado V um espaco vetorial Euclidiano sobre K = R. Se F ⊂ Vfor um conjunto convexo, entao

a) Se λ ∈ K, entao λF e um conjunto convexo.

b) Se x ∈ V, entao x+ F e um conjunto convexo.

c) Se T : V linear→ V, entao T (F) e um conjunto convexo.

Prova

a) Sejam α ∈ K e u, v ∈ F . Entao αu ∈ αF e αv ∈ αF .

t(αu) + (1− t)(αv) = α[tu+ (1− t)v] ∈ αF .

b) Dado x ∈ V, sejam u, v ∈ x+ F . Entao existem u0 e v0 ∈ F tais que u = x+ u0e v = x+ v0.

tu+ (1− t)v = t(x+ u0) + (1− t)(x+ v0)

= tx+ (1− t)x+ tu0 + (1− t)v0

= x+ [tu0 + (1− t)v0] ∈ x+ F .

c) Sejam w, z ∈ T (F). Entao existem w0 ∈ F e z0 ∈ F tais que w = T (w0) ez0 = T (z).

tw + (1− t)z = tT (w0) + (1− t)T (z0) = T (tw0) + T ((1− t)z0)

T (tw0 + (1− t)z0) ∈ T (F).

5 Funcoes Convexas

Vamos primeiro considerar o caso das funcao f : R → R (funcao reais de umavariavel real).


Figura 12: Intersecao

Definicao 2. (ver [1]) Seja f : A ⊂ R → R,(A um intervalo). Dizemos que f econvexa se para todo a, b ∈ A e 0 ≤ t ≤ 1 tem-se

f(tb+ (1− t)a) ≤ tf(b) + (1− t)f(a). (5.8)

(a) Se a < b, entao a < tb + (1 − t)a < b para todo t ∈ [0, 1]. Veja quetb+(1−t)a = a+(b−a)t > a pois (b−a)t e nao negativo. Ainda tb+(1−t)a =b− b+ (1− t)a = b+ (1− t)(a− b). Mas (1− t)(a− b) e nao positivo, entaob+ (1− t)(a− b) < b.

(b) Dado x ∈ (a, b), pode-se escrever x = tb + (1 − t)a se tomarmos t =x− a

b− a

entao 1− t =b− x

b− a.

Observacao 2. Segue trivialmente de Definicao 2 que

f(x) ≤ x− a

b− af(b) +

b− x

b− af(a). (5.9)

E sufuciente fazer x = tb+ (1− t)a em (5.12).

Observacao 3. Dada f : A ⊂ R → R,(A um intervalo) convexa, se tomammos

t =1

2em (5.12) vemos que f

(u+ v

2

)≤ f(u) + f(v)

2para todo u, v ∈ A.

Exemplo 5. Seja f : [a; b] → R dada por f(x) = x2. Veja o grafico de f nafigura A. Mostre que f e convexa.

Resolucao Veja que

f(tb+ (1− t)a) = (tb+ (1− t)a)2 = t2b2(1− t)2a2 + 2t(1− t)ab

≤ t2b2(1− t)2a2 + t(1− t)(a2 + b2) = tb2 + (1− t)a2 = tf(b) + (1− t)f(a).


-oxO

bx

(x; f(x))

f(a) + f(b)−f(a)b−a

(x− a)

a

f(a)

f(b)

oy G(f)6

Figura A

Portanto, f e convexa.

Dada f : [a; b] → R funcao , considere a reta r que passa pelos pontos (a, f(a)) e

(b, f(b)) (ver Figura A). O coeficiente angular desta reta e dado porf(b)− f(a)

b− a.

Entao, e facil ver que, a reta r tem equacao geral dada por

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ver Figura A (5.10)

Exemplo 6. Considere f : [−1; 1] → R dada por f(x) = |x|. Mostre que f econvexa.

Resolucao Veja que f(tb + (1 − t)a) = |tb + (1 − t)a| ≤ |tb| + |(1 − t)a| =tf(b) + (1− t)f(b). Portanto, pela Definicao 2 f e convexa.

Exemplo 7. Considere f : R → R dada por f(x) = x2. Mostre que f e convexa.

Resolucao Dados a, b ∈ R sabemos que (a − b)2 ≥ 0. Isto nos mostra que(a− b)2 = a2 + b2 − 2ab ≥ 0. Assim, 2ab ≤ a2 + b2. Veja que

f(tb+ (1− t)a) = [tb+ (1− t)a]2 = t2b2 + (1− t)2a2 + t(1− t)(2ba)

≤ t2b2 + (1− t)2a2 + t(1− t)(a2 + b2) = t[t+ 1− t]b2 + (1− t)[1− t+ t]a2

= tf(b) + (1− t)f(b).

Portanto, pela Definicao 2 f e convexa.


Definicao 3. Dada f : [a; b] → R funcao , dizemos que grafico de G(f) temconcavidade voltada para cima em [a; b] se para cada x ∈ [a; b],

f(x) ≤ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ver Figura A (5.11)

Observacao 4. Veja que, de (5.12) segue que se x = tb+(1− t)a, f(x) ≤ tf(b)+

(1− t)f(a) = t(f(b)− f(a))+ f(a). Se x ∈ [a; b], entao 0 <x− a

b− a< 1. Tomando

t =x− a

b− ateremos f(x) ≤ x− a

b− a(f(b)− f(a))+ f(a) = f(a)+

f(b)− f(a)

b− a(x− a)

Mas como podemos ver na Figura A que se a ≤ x ≤ b o segmento de reta (a; f(a))

(b; f(b) contido na reta com equacao geral y = f(a)+f(b)− f(a)

b− a(x−a) esta acima

da curva (x; f(x)) que e o grafico da funcao f . Potanto as expressoes dadas em(5.12) e (5.11) sao equivalentes e assim G(f) ter concavidade voltada para cima,como na Definicao 3, e f ser convexa sao conceitos equavalentes.

Definicao 4. Seja V espaco vetorial sobre K = R, f : A ⊂ V → R. Dizemos quef e convexa se para todo a, b ∈ A e 0 < t < 1 tem-se

f(tb+ (1− t)a) ≤ tf(b) + (1− t)f(a). (5.12)

Definicao 5. Dados V espaco Euclidiano, F ⊂ V, conjunto convexo e f : F → R umafuncao. Dizemos que f e convexa se dados u, v ∈ F , 0 ≤ t ≤ 1,

f(tu+ (1− t)v) ≤ tf(u) + (1− t)f(v). (5.13)

Teorema 4. Dados V espaco Euclidiano, F ⊂ V, conjunto convexo e ϕ, ϕ1, ϕ2 : F → Rfuncoes convexas. Entao

a) a funcao ψ = ϕ1 + ϕ2 : F → R e convexa.

b) Se λ ≥ 0, a funcao λϕ : F → R e convexa.

c) Se T : V → V for uma transformacao linear, a funcao ϕ T : F → R e convexa.

Prova

a) Dados u, v ∈ F , 0 ≤ t ≤ 1, entao tu+ (1− t)v ∈ F e

ψ(tu+ (1− t)v) = ϕ1(tu+ (1− t)v) + ϕ2(tu+ (1− t)v)

≤ tϕ1(u) + (1− t)ϕ1(v) + tϕ2(u) + (1− t)ϕ2(v)

= t[ϕ1(u) + ϕ1(u)] + (1− t[)ϕ2(v) + ϕ2(v)]

= tψ(u) + (1− t)ψ(v).

Segue da Definicao 5 que ψ e uma funcao convexa.

6 FORMA QUADRATICA POSITIVA OU NEGATIVA DEFINIDA 20

b) Sejam u, v ∈ F , 0 ≤ t ≤ 1, entao tu+ (1− t)v ∈ F e

(λϕ)(tu+ (1− t)v) = λ[ϕ(tu+ (1− t)v)] ≤ λ[ϕ(u) + (1− t)ϕ(v)]

= t(λϕ)(u) + (1− t)(λϕ)(v).

Segue da Definicao 5 que λϕ e uma funcao convexa.

c) Sejam u, v ∈ F , 0 ≤ t ≤ 1, entao tu+ (1− t)v ∈ F e

(ϕ T )(tu+ (1− t)v) = ϕ(T (tu+ (1− t)v)) = ϕ(tT (u) + (1− t)T (v)))

≤ λ[tϕ(T (u)) + (1− t)ϕ(T (v))]

= t(ϕ T )(u) + (1− t)(ϕ T )(v).Segue da Definicao 5 que ϕ T e uma funcao convexa.

Observacao 5. Seja V = Rn, F ⊂ V convexo e f : F → R dada por f(x2, x2 · · · , xn) =x21 + x22 + · · · + x2n. Segue do Exemplo 7 que cada parcela que compoe a funcao f econvexa. Do Teorema 4 segue que soma de funcao convexas e uma funcao convexa.Portanto f e uma funcao convexa.

Observacao 6. Seja V = Rn, T : V linear→ V, F ⊂ V convexo e g : F → R dada porT (x2, x2 · · · , xn) = λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn, onde λi ≥ 0 para i ∈ 1, 2, · · · , n. Sejag : [a, b] ⊂ R → R dada por g(u) = eu. Do Calculo I sabemos que g e convexa. Seg T : F → R dada por g(T (x2, x2 · · · , xn)) = e(λ1x1+λ2x2+···+λnxn), do Teorema 4 segueque g T e uma funcao convexa. Portanto f e uma funcao convexa.

6 Forma quadratica positiva ou negativa definida

Definicao 6. Dada uma matriz real A = (aij)n×n simetrica (aij = aji), uma FormaQuadratica e uma funcao que a cada u = (x, y, z) ∈ R3 associa ⟨u,Au⟩ ∈ R.

Um Polinomio de Grau Tres Um polinomio de grau tres e uma funcao dada por

Q(x, y, z) = [x y z]

a11a122

a132

a122

a22a232

a132

a232

a33

xyz

+[α β γ

]·

xyz

+m,

Veja que um polinomio de grau tres e a soma de uma Forma Quadratica com um po-linomio de grau um.

Definicao 7. Dado u ∈ R3 (R2) e Q(u) = ⟨u,Au⟩ uma forma quadratica (ver definicao3.7), dizemos que

6 FORMA QUADRATICA POSITIVA OU NEGATIVA DEFINIDA 21

1. Q e Positiva Definida se Q(u) > 0 para todo u = 0.

2. Q e Nao Negativa Definida se Q(u) ≥ 0 para todo u = 0.

3. Q e Negativa Definida se Q(u) < 0 para todo u = 0.

4. Q e Nao Positiva Definida se Q(u) ≤ 0 para todo u = 0.

5. Q e Indefinida se existir u ∈ R3 ( R2), tal que Q(u) ≥ 0 e existir u ∈ R3 (R2), talque Q(u) ≤ 0.

Exemplo 8. Tome Q0(x, y) = x2 + y2.

Neste caso a matriz A2 associada a Forma Quadratica Q e dada por

A =

[1 00 1

]. ou seja Q0(x, y) = [x y]

[1 00 1

] [xy

]= ⟨(x, y), A(x, y)⟩.

Ve-se facilmente que se (x, y) ∈ R2 e (x, y) = 0, entao x2 + y2 > 0, Portanto, Q0(x, y) e umaforma quadratica Positiva Definida.

Exemplo 9. Tome Q1(x, y) = −x2 − y2.

Neste caso a matriz A2 associada a Forma Quadratica Q e dada por

A =

[−1 00 −1

]. ou seja Q1(x, y) = [x y]

[−1 00 −1

] [xy

]= ⟨(x, y), A(x, y)⟩.

Ve-se facilmente que se (x, y) ∈ R2 e (x, y) = 0, entao x2 + y2 < 0, Portanto, Q1(x, y) e umaforma quadratica Negativa Definida.

Criterio Para Decidir Sobre a Positividade da Forma Quadratica

Definicao 8. Dada A uma matriz real n × n, n ∈ 1, 2, 3. A Submatriz Principal Ak

de ordem k, com 0 ≤ k ≤ 3 e a matriz obtida de A suprimindo as ultimas n − k linhas en − k as ultimas colunas de A. O Determinante de Ak (det(Ak)) e denominado MenorPrincipal Lıder de ordem k de A.

Exemplo 10. Se

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, A2 =

(a11 a12a21 a22

), A1 = (a11).

e entao os Menores Principais Lıderes serao dados por

det(A) = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, det(A2) = det

(a11 a12a21 a22

), det(A1) = (a11).

7 FUNCAO CONCAVA 22

Teorema 5. Seja A uma matriz simetrica de ordem n para n ∈ 1, 2, 3. Entao

1. A Matriz A e positiva definida se e somente se todos os seus Menores PrincipaisLıderes forem positivos.

2. A Matriz A e Negativa definida se e somente se os seus Menores Principais Lıderesalternam sinal da seguinte forma det(A1) < 0, det(A2) > 0 e det(A) < 0.

3. A Forma Quadatica Q(u) = ⟨u,Au⟩ sera Positiva Nefinida se e somente se a MatrizA for Positiva Nefinida.

4. A Forma Quadatica Q(u) = ⟨u,Au⟩ sera Negativa Definida se e somente se a MatrizA for Negativa Definida.

Exemplo 11. Tome Q(x, y) = x2 + y2 (ver Exemplo 8).

Veja que a matrizA associada a Forma QuadraticaQ neste Exemplo e a Matriz Identidadede ordem dois, isto e

A =

[1 00 1

],

Como det(A) = 1 e det(A1) = det(1) = 1, todos os Menores Principais Lıderes saopositivos e portanto do Teorema 5 segue que A e positiva definida e assim, a forma quadaticaQ(x, y) e positiva definida.

Teorema 6. Dado V espaco vetorial Euclidiano, F ⊂ V conjunto convexo, A uma matrizsimetrica e f : F → R dada por f(u) = ⟨u,Au⟩. Entao f e convexa se a matriz A for NaoNegativa Definida (ver Deficao 7).

Observacao 7. Considere funcoes Q0 e Q1 dadas nos Exemplos 8 e 9, respectivamente.Veja que Q0 e uma Forma Quadratica Nao Negatica Definida e assim, segue do Teorema 6que Q0 e uma funcao convexa.

7 Funcao Concava

Definicao 9. Dado V espaco Euclidiano, F ⊂ V e g : → R. g e uma funcao Concava se−g for funcao convexa.

7 FUNCAO CONCAVA 23

7.1 Exercıcios

1. Faca um esboco de cada um dos conjuntos

a) F0 = (x, y), tal que x+ y ≤ 1 ⊂ R2. F0 e convexo?

b) F1 = (x, y), tal que x ≥ 0 e y ≥ 0 ⊂ R2. F1 e convexo?

c) F2 = (x, y), tal que − 1 ≤ x+ y ≤ 1 ⊂ R2. F2 e convexo?

c) F3 = (x, y), tal que x+ y ≥ 1, x− y ≥ 1 ⊂ R2. F3 e convexo?

d) F4 = (x, y), tal que x+ y ≥ 3, x− y ≤ 1 ⊂ R2. F3 e convexo?

d) F5 = (x, y), tal que ex ≥ 10, x ≥ 1 ⊂ R2. F3 e convexo?

e) Calcule Fi ∩ Fj para i, j ∈ 1, 2, 3, 4, i = j e verifique se ele e convexo?

2. Verifique se as matrizes abaixo sao Positivas, Negativas Definidas

A0 =

[2 −1

−1 1

], A1 =

[−3 44 −5

], A2 =

1 2 02 4 50 5 6

.Determine as Formas quadaticas associadas as matrizes aciama e verifique se elas saoPositivas Definidas.

3. Verifique se Q(x, y) = x2 − 4xy + 5y2 e positiva definida.

a) O domınio de Q e um conjunto convexo?

b) Verifique se Q e uma funcao concava ou se Q e convexa?

4. Verifique se f(x, y) = −3x2 + 2xy − y2 + 3x− 4y + 1 e funcao concava ou convexa.

5. Verifique se f(x, y, z) = −3x2+2xy+ z2− y2+ zy− yz+3x− 4y+1 e funcao concavaou convexa.

6. Verifique se Q(x, y) = x2 +6xy+3y2 e Negativa definida. Q e uma funcao concava ouse Q e convexa?

7. Verifique se Q(x, y) = x2 + 6xy + y2 + z2 + 3y2 + xy e Negativa definida. Q e umafuncao concava ou se Q e convexa?

8. Seja F = (x, y), tal que x ≥ 0 e y ≥ 0 ⊂ R2. Justifique por que g(x, y) = e(3x+4y)

e uma funcao convexa.

9. Seja F = (x, y, z), tal que x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 ⊂ R3. Justifique por queg(x, y) = e(3x+4y+7z) e uma funcao convexa.

10. Decondicoes sobre os numeros reais a, b e c para que Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 sejapositiva definida. Sugestao Fatore x na expressao de Q. Resp b2 − 4ac < 0. Pode-seafirmar que Q e convexa.

7 FUNCAO CONCAVA 24

11. Considere a forma quadratica Q(x, y, z) = x2 + 2y2 − 4xz − 4zy + 7z2. Verifique sepositividade de Q. Pode-se afirmar que Q e convexa. Resp. Positiva Definida.

12. Considere a forma quadratica Q(x, y, z) = x2 + y2 + 2xz + 4zy + 3z2. Verifique sepositividade de Q. Pode-se afirmar que Q e convexa. Resp. Nao e Positiva Definida.

13. Dados ϵ e δ numeros reais. De condicoes sobre ϵ e δ para que a matrix

A =

−6 −1 ϵ

−1 −1 δϵ δ −2

.(i) seja positiva definida.

(ii)seja negativa definida.

14. Sejam δ e ϵ numeros reais. Escreva a forma quadratica f(x, y, z) = −6x2−2y2−2xy+2ϵxz + 2δyz − 2z2 na forma matricial e de condicoes sobre δ e ϵ para que ela sejapositiva.

15. Sejam δ e ϵ numeros reais. Escreva a forma quadratica f(x, y, z) = 6x2 + 2y2 − 2xy +2ϵxz + 2δyz − 2z2 na forma matricial e de condicoes sobre δ e ϵ para que ela sejaNegativa. Resp. ϵ2 + δ2 − 2ϵδ + 10 > 0

8 FUNCOES REAIS DE VARIAS VARIAVEIS REAIS 25

8 Funcoes reais de varias variaveis reais

Definicao 10. Uma funcao de duas variaveis e uma correspondencia que a cada (x, y)em um subconjunto A ⊂ R2 associa um unico numero real z. Denotaremos como de costume,z = f(x, y) ou f : A→ R.

O conjunto A e chamado domınio de f , o conjunto de todos tais z e chamado imagemde f . O grafico de f e o conjunto (x, y, z)| z = f(x, y) com (x, y) ∈ A. Representando ografico de f em um sistema de coordenadas, obtemos uma superfıcie no espaco. Por exemplo,o grafico da funcao f(x, y) = x2 + y2 e o paraboloide

Figura 13: f(x, y) = x2 + y2

Para sermos precisos, ao definir uma funcoes de duas variaveis, devemos especificar o seudomınio A e a expressao que relaciona os elementos (x, y) do domınio e os elementos z =f(x, y). Entretanto, para simplificar a notacao, omitiremos sempre o domınio A, ficandoimplıcito que A e o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressao z = f(x, y)tenha significado.

Veja abaixo o grafico de algumas funcao f : R2 → R.

Figura 14: f(x, y) =√x2 + y2 Figura 15: f(x, y) = sen (x− y)


Figura 16: f(x, y) = sen (x+ y) Figura 17: f(x, y) =1

1 + x2 + y2

Figura 18: f(x, y) = (x− y)2

Figura 19:f(x, y) =x2−y2

8.1 CURVAS DE NIVEIS

Seja z = f(x, y) uma funcao de duas variaveis. As curvas no plano x y dadas pelas equacoesf(x, y) = k sao chamadas curvas de nıvel de f . As curvas de nıvel sao uteis para descrevero comportamento de f . Cada curva de nıvel e caracterizada pelo fato que a funcao f econstante em cada uma dessas curvas.

As curvas de nıvel sao uteis para se entender algumas questoes que se apresentam emnosso caminho.

• Vamos analizar as propriedades das funcoes lucro envolvidas no Exemplo 1.Domınio da Funcao Lucro Li

Fixe-se no Exemplo (1 i = 1). Note que as variaveis envolvidas sao xi Producao da firma1 e p o preco. Entao o Domınio de L1 e o conjunto

Dom(L1) = (x1, p) ∈ R2, tal que x1 ≥ 0 e p ≥ 0.


Figura 20:

Figura 21: Curvas deNıveis

Uma curva de nıvel e o conjunto dos valores (x1, p) ∈ Dom(L1) para os quais L1(x1, p) econstante. Isto nos da todos os valores deproducao e preco que a firma 1 pode escolher paraque seu lucro seja constante. Por este motivo uma curva de nıvel para funcao lucro edenominada curva de lucro constante.

z

x

y

6

-

CURVA DE INDIFERENCA

• Vamos analizar as propriedades das funcoes lucro envolvidas no Exemplo 2.Domınio da Funcao Utilidade UNote que as variaveis envolvidas sao x e y quantidades de produto B1 e B2, respctivamente,

consumidas. Entao o Domınio de L1 e o conjunto


Dom(U) = (x, y) ∈ R2, tal que x ≥ 0 e y ≥ 0.Uma curva de nıvel e o conjunto dos valores (x, y) ∈ Dom(U) para os quais U(x, y) econstante. Mas, U mede o grau de satisfacao de um indivıduo em consumir os ”bens” B1 eB2.Entao, ao fixarmos uma combinacao (x, y) consumida, U(x, y) nos da o grau de utilidadederivado da combinacao (x, y) consumida, assim sendo U(x, y) indica a combinacao que oconsumidor prefere ou que lhe e preferıvel. Uma curva de nıvel para funcao Utilidade U ,representa todos os pontos (x, y) no domınio de (Dom(U)) da funcao U para os quais oconsumidor sente a mesma satisfacao em consumir, por este motivo uma curva de nıvel dafuncao U e denominada curva de indiferenca.

• As curvas de nıvel sao amplamente empregadas na confeccao de mapas topograficosde terrenos acidentados. Elas tambem sao usadas nos mapas meteorologicos: neste caso, afuncao f e a pressao atmosferica e as curvas de nıvel sao as isobaricas.

Exemplo 12. Seja f(x, y) =

√2 y − x

x2 y − y2. Esbocar o domınio de f . Calcular, quando for

possıvel, f(1, 5), f(2, 5) e f(5, 1).

Para que a expressao que defina f tenha significado, devemos ter y ≥ x/2, y = 0, y = x2, eportanto, o domınio e A = (x, y)| y ≥ x/2, y = 0, y = x2. Temos f(1, 5) = 0, f(2, 5) =−√8/5, o ponto (5, 1) nao pertence ao domınio de f .

· · · · · · · · · · · · · · ·

6

-

As definicoes sao analogas para funcoes de 3 variaveis. A unica diferenca aqui e que nao epossıvel vizualizar o grafico de uma funcoes de 3 variaveis.Exemplo 13. Esbocar as curvas de nıvel dafuncao f(x, y) = 4− x2 − y2.

De 4 − x2 − y2 = k, temos x2 + y2 = 4 − k.Portanto, se k = 4, a curva de nıvel e o ponto(0, 0) e, para todo k < 4, as curvas de nıvelsao circunferencias centradas na origem deraio

√4− k. A figura ao lado mostra algu-

mas cuvas de nıvel de f .


Exemplo 14. Esbocar as curvas de nıvel dafuncao f(x, y) = y2 − x2.

A curva de nıvel y2 − x2 = 0 e o par de retasy = ±x; para k = 0, as curvas y2−x2 = k saohiperboles. A figura ao lado mostra algumascuvas de nıvel de f .

@@

@@@

@@@@@

• O conceito correspondente para funcoes de 3 variaveis e o de superfıcie de nıvel,que sao os graficos de equacoes f(x, y, z) = k. Quando f(x, y, z) representa a temperatura,as superfıcies de nıvel sao chamadas isotermas; se f(x, y, z) representa o potencial, assuperfıcies de nıvel sao chamadas equipotenciais.

Figura 22: Cobb-Douglas

• Veja qque acima temos o grafico e as curvas de nıveis da funcao f(x, y) = x0.4y0.6.

No estudo de funcoes de varias variaveis, vamos usar uma nomenclatura especial paraconjuntos, que definimos a seguir. Embora estes conceitos estejam aqui enunciados apenaspara subconjuntos do plano, tudo se aplica a conjuntos no espaco.

Lembremos que a distancia entre os pontos P = (x, y), P0 = (x0, y0) do plano e dada pord(P, P0) =

√(x− x0)2 + (y − y0)2

Uma vizinhanca (ou, mais precisamente, vizinhanca de raio r) de um ponto P0 = (x0, y0)e o conjunto P | d(P, P0) < r, ou seja, o conjunto dos pontos do cırculo de centro P0 e deraio r > 0, que nao estao sobre a circunferencia de centro P0 e raio r.

Um ponto P0 e dito um ponto interior do conjunto A se existir uma vizinhanca de P0

inteiramente contida em A isto significa que P esta completamente cercado por pontos de A.Um ponto P1 e dito um ponto de acumulacoes do conjunto A quando toda vizinhancade P1 contem (ao menos) um ponto de A distinto de P1; isto significa que existem pontos de

9 LIMITES 30

A arbitrariamente proximos de P . Na figura abaixo, A e o conjunto dos pontos dentro dacurva. O ponto marcado com • e interior a A, o ponto marcado com ⋆ nao e interior; ambossao pontos de acumulacao de A.

•

⋆A

Um conjunto A e dito aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. O com-plementar de um conjunto aberto e dito fechado. As palavras aberto e fechado nao tem,em Matematica sentido de exclusao como na linguagem habitual (um conjunto pode nao seraberto nem fechado, o espaco R2 e, ao mesmo tempo, aberto e fechado).

Um conjunto aberto A e chamado uma regiao se dois pontos quaisquer de A podem serligados por uma linha poligonal inteiramente contida em A.Temos definicoes analogas para subconjuntos do espaco. A partir da definicoes da distanciade pontos no espaco: se P = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0), entao

d(P, P0) =√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2,

obtemos todos os demais conceitos (vizinhanca, ponto interior, etc) introduzidos acima.

9 Limites

Seja z = f(x, y) uma funcoes definida em uma regiao A, e seja P0 um ponto de acumulacaode A. A nocoes intuitiva de limite e que em pontos P proximos de P0, os valores de f(P )ficam proximos de um numero bem determinado L. Assim, se f(x, y) = 5x2 − 6xy − 3y2, eintuitivamente claro que quando P se aproxima de (2, 1), o valor de f(x, y) aproxima-se de 5.

Da mesma maneira, vemos intuitivamente que o valor de g(x, y) = cos 7x2−5xyx2+1

aproxima-sede 1 quando (x, y) aproxima-se de (5,7).

De um modo geral, nao e facil intuir o valor L para o qual f(P ) esta tendendo, quandoP → P0; na verdade, e bom nao confiar muito na intuicao, pois ela pode falhar. Uma primeiratentativa para descobrir L e ver o que acontece com f(P ), quando P (x, y) aproxima-se deP0(x0, y0) ao longo de retas passando por P0. Com isto, transformamos o problema nocalculo do limite de uma funcoes de uma variavel (pois, ao fazermos y = y0 + k(x − x0),estaremos considerando a funcoes de 1 variavel gk(x) = f(x, y0 + k(x − x0))) e, neste caso,estaremos tentando descobrir o candidato a limite L. Antes de mais nada, deve ficar claro queeste procedimento nao garante que f(P ) esteja se aproximando de alguma coisa: ele apenasindica o candidato ao limite (quando todas as gk(x) tendem ao mesmo valor limite), ou ainformacoes que f nao tem limite nesse ponto (quando diferentes valores de k implicam emdiferentes limites das funcoes gk). Vejamos alguns exemplos:

9 LIMITES 31

Definicao 11. Seja f : A ⊂ Rn → R uma funcao (n = 2 ou 3) e seja P0 um pontode acumulacao de A. Dizemos que f tem limite L quando P tende a P0, e indicamoslim

P→P0

f(P ) = L, se, para cada numero ε > 0, podemos achar um numero δ > 0 tal que

dist(F (P ), L) = |f(P ) − f(P0)| < ε, sempre que 0 < dist(P, P0) < δ e P ∈ A (nestadefinicao, a desigualdade 0 < d(P, P0) significa P = P0, ou seja, estamos interessados nosvalores de f numa vizinhanca de P0, mas nao nos importamos com o seu valor em P0).

Exemplo 15. Mostrar que lim(x,y)→(1,3)

(2x+ 5y) = 17.

ResolucaoTemos

|2x+ 5y − 17| = |2(x− 1) + 5(y − 3)| ≤ 2|x− 1|+ 5|y − 3|

Agora notemos que, chamando P = (x, y), P0 = (1, 3), obtemos

|x− 1| =√(x− 1)2 ≤

√(x− 1)2 + (y − 3)2 = d(P, P0)

|y − 5| =√

(y − 5)2 ≤√(x− 1)2 + (y − 3)2 = d(P, P0)

de modo que |f(x, y)− 17| ≤ 7d(P, P0).Logo, dado ε > 0, basta tomar δ = ε/7 que teremos |f(x, y) − 17| < 7 (δ/7) = ε, para

todo P com d(P, P0) < δ. Segue da Definicao 11 que lim(x,y)→(1,3)

(2x+ 5y) = 17.

Exemplo 16. Mostrar que h(x, y) = x2 + y2 − xy → 0, quando (x, y) → (0, 0).

Resolucao• Lembremos que para qualquer x, y ∈ R temos (x− y)2 ≥ 0. Isto implica que

xy ≤ 1

2(x2 + y2) =

1

2dist((x, y); (0, 0)).

Veja que para qualquer (x, y) ∈ R2 temos

dist(h(x, y), 0) = |x2 + y2 − xy| ≤ |x2 + y2|+ |xy|

≤ |x2 + y2|+ 1

2(x2 + y2) =

3

2dist((x, y); (0, 0)).

(9.14)

Entao, dado ϵ > 0 tome δ =2

3ϵ. Se (x, y) ∈ R2 for tal que dist((x, y); (0, 0)) < δ,

dist(h(x, y), 0) ≤ 3

2dist((x, y); (0, 0)) <

3

2δ =

3

2

2

3ϵ = ϵ. (9.15)

Portanto, Segue da Definicao 11 que lim(x,y)→(0,0)

h(x, y) = 0.

Exemplo 17. Verificar se a funcoes f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2aproxima-se de algum limite quando

(x, y) tende a (0,0).

9 LIMITES 32

ResolucaoNotemos que, quando (x, y) tende a (0, 0), ambos, numerador e denominador, tendem azero, de modo que nao e imediato adivinhar o candidato a limite. Analisemos o que acontecequando (x, y) → (0, 0) ao longo de algumas retas passando pela origem:(a) (x, y) → (0, 0) ao longo da reta y = 0:neste caso, f(x, 0) = x2

x2 = 1 → 1(b)(x, y) → (0, 0) ao longo da reta x = 0:

neste caso, f(x, 0) = −y2

y2= −1 → −1.

Com isto vemos que f(x, y) nao se aproxima de nenhum limitequando (x, y) → (0, 0), pois podemos tomar pontos da forma

6

?-

(x, 0) arbitrariamente proximos de (0,0), nos quais f vale 1, e tambem podemos tomar pontosda forma (0, y), nos quais f vale -1. Assim, nao e razoavel pensar que f tenha limite, quando(x, y) → (0, 0).

Exemplo 18. Verificar se a funcoes g(x, y) =x2y

x4 + y2aproxima-se de algum limite quando

(x, y) tende a (0,0).

ResolucaoComo no exemplo acima, nao e facil adivinhar o candidato ao limite.Fazendo (x, y) → 0 ao longo das retas y = mx, m = 0, obtemos:

g(x,mx) =mx3

x4 +m2x2=

mx

x2 +m2→ 0,

o que nos leva a crer que g(P ) → 0 quando P → 0. Entretanto, seanalisarmos os valores de g(P ) sobre a parabola y = x2, obtemos

g(x, x2) =x4

x4 + x4=

1

2→ 1

2, 6

?-

I

R@@@

U

donde vemos que g(x, y) nao tende a um limite quando (x, y) → 0.Depois de dois exemplos com resposta negativa, vejamos um caso em que a funcoes tende

a um limite:

Exemplo 19. Mostrar que h(x, y) =x2y

x2 + y2→ 0, quando (x, y) → (0, 0).

ResolucaoVemos que, ao longo das retas passando pela origem, h(x, y) tende a 0, o que nos indica,como antes, que o candidato a limite e 0, mas, como vimos, isto nao basta. Mas, notemosque, para esta funcao, podemos escrever

h(x, y) =x2

x2 + y2y

e que, quaisquer que sejam (x, y),x2

x2 + y2e um numero entre 0 e 1, e portanto, |h(x, y)| ≤ |y|,

como e claro que |y| vai tornar-se arbitrariamente pequeno quando (x, y) estiver proximo de

9 LIMITES 33

(0, 0), segue-se que |h(x, y)| ficara arbitrariamente pequeno, ou seja, tendera a 0.

Este exemplo e significativo, no sentido que o procedimento nele adotado sera utilizadona maioria dos casos que estudaremos aqui. Passemos agora ao enunciado da da definicoesde limite, que e essencialmente o mesmo que para o caso de funcoes de uma variavel.

9.1 Propriedades de Limite

Como no caso de funcoes de uma variavel, temos as seguintes propriedades:

1. O limite, caso exista, e unico.

2. Se limP→P0

f(P ) = L e limP→P0

g(P ) =M , entao :

limP→P0

f(P ) + g(P ) = L+M e limP→P0

f(P ) g(P ) = LM

e, se alem disso, M = 0, entao limP→P0

f(P )

g(P )=

L

M

3. Suponhamos que f, g e h satisfacam:

(i) f(P ) ≤ g(P ) ≤ h(P ) ∀P ∈ A

(ii) limP→P0

f(P ) = limP→P0

h(P ) = L

Entao limP→P0

g(P ) = L.

4. Se existe limP→P0

f(P ), entao f e limitada em uma vizinhanca de P0 (isto e, existem

constantes K > 0, r > 0 tais que |f(P )| ≤ K, para todo P ∈ A com 0 < d(P, P0) < r).

5. Sejam f : A ⊂ R2 → R e g : I → R, com f(A) ⊂ I; suponhamos que limP→P0

f(P ) = l ∈ I

e que g seja contınua. Entaolim

P→P0

g[f(P )] = g( limP→P0

f(P )) = g(l)

As demonstracoes dessas propriedades segue os mesmos passos daquela feita para funcoesde uma variavel. Demonstremos 3.

Mostremos antes o seguinte caso particular de 3: suponhamos que f e g satisfacam:(a) 0 ≤ f(P ) ≤ g(P ) ∀P ∈ A e (b) lim

P→P0

g(P ) = 0. Entao limP→P0

f(P ) = 0.

Seja ε > 0. Como limP→P0

g(P ) = 0, sabemos que e possıvel achar um numero δ > 0 tal que

|g(P )| < ε sempre que 0 < d(P, P0) < δ , P ∈ A. Por (i) temos, 0 ≤ f(P ) ≤ g(P ) ∀P ∈ A,segue-se que 0 < d(P, P0) < δ implica |f(P )| < ε, ou seja lim

P→P0

f(P ) = 0. Isto mostra 3.

9 LIMITES 34

Para mostrar 4, basta notar que f(P ) ≤ g(P ) ≤ h(P ) ∀P ∈ A implica que 0 ≤ g(P ) −f(P ) ≤ h(P ) − f(P ) ∀P ∈ A; e desde que lim

P→P0

[h(P ) − f(P )] = 0, segue-se de (3) que

limP→P0

[g(P )− f(P )] = 0, ou seja, limP→P0

g(P ) = L.

Analisemos agora alguns limites fazendo uso destas propriedades.

Exemplo 20. lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2= 0.

Notemos que 0 ≤ x2 ≤ x2 + y2, o que implica 0 ≤ x2

x2 + y2≤ 1, e portanto

0 ≤∣∣∣ x2 y

x2 + y2

∣∣∣ = x2

x2 + y2y ≤ |y|

e, como lim(x,y)→(0,0)

|y| = 0, temos limx2 y

x2 + y2= 0.

Exercıcio 2. Mostre que lim(x,y)→(0,0)

xy

(x2 + y2)1/2= 0.

Exemplo 21. lim(x,y)→(0,0)

cos

(x2y2

x2 + y2

)= 1.

Como cos e uma funcoes contınua e lim(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y2= 0, pela propriedade 6 temos

lim(x,y)→(0,0)

cos

(x2y2

x2 + y2

)= cos

(lim

(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y2

)= cos 0 = 1

Exemplo 22. Mostrar que lim(x,y)→(0,0)

xy sen

(x2y

x3 + y4

)+ cos

(x2y2

x2 + y2

)= 1

Temos∣∣∣xy sen (

x2yx3+y4

)∣∣∣ ≤ |xy|. Como lim(x,y)→(0,0)

|xy| = 0, pela propriedade 4 temos

lim(x,y)→(0,0)

xy sen

(x2y

x3 + y4

)= 0.

Usando essa igualdade e o exemplo anterior, temos

lim(x,y)→(0,0)

xy sen

(x2y

x3 + y4

)+ cos

(x2y2

x2 + y2

)= 1

Exemplo 23. Mostrar que a funcoes f(x, y) =xy − 2x− y + 2

x2 + y2 − 2x− 4y + 5nao tem limite quando

(x, y) → (1, 2).

10 CONTINUIDADE 35

Notemos que, definindo u = x− 1, v = y − 2, podemos escrever

xy − 2x− y + 2 = x(y − 2)− (y − 2) = (x− 1)(y − 2) = uv,x2 + y2 − 2x− 4y + 5 = (x− 1)2 + (y − 2)2 = u2 + v2 .

Portanto,xy − 2x− y + 2

x2 + y2 − 2x− 4y + 5=

uv

u2 + v2. Agora, como

(x, y) → (1, 2) se, e somente se, (u, v) → (0, 0)

e comouv

u2 + v2nao tem limite quando (u, v) → (0, 0), segue-se que a funcao f(x, y) nao tem

limite quando (x, y) → (1, 2).

9.2 Exercıcios

1. Use a Definicao 11 e mostre que lim(x,y)→(1,1)

3x− 2y = 1


4x− 5y = 3.


x2 − y2 = 0.


x2 + y2 = 2.

5. Mostrar que a funcoes f(x, y) =x3y

x6 + y2nao tem limite quando (x, y) → (0, 0) (su-

gestao: faca (x, y) → (0, 0) ao longo da curva y = x3).

10 Continuidade

Uma funcoes f : A ⊂ R2 → R e dita contınua em P0 ∈ A quando limP→P0

f(P ) = f(P0).

Dizemos que uma funcoes e contınua em um conjunto B ⊂ A quando ela e contınua emtodo ponto de B.

Exemplo 24. A funcoes f(x, y) =

x2y

x2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)e contınua na origem.

De fato, pelo exemplo 20 acima, temos lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= 0 = f(0, 0).

PROPRIEDADES:

(a) Se f, g : A ⊂ R2 → R forem contınuas em P0 ∈ A, entao f + g e fg sao contınuas emP0; se, alem disso, g(P0) = 0, entao f/g e contınua em P0.

11 DERIVADAS PARCIAIS 36

(b) Sejam f : A ⊂ R2 → R contınua em P0 ∈ A e g : I → R, com f(A) ⊂ I contınua emu0 = f(P0). Entao g f : A→ R e contınua em P0.

(c) Se f for contınua em um conjunto fechado e limitado F , entao f assume seus valoresmaximo e mınimo em F , isto e, existem P0 , P1 ∈ F tais que f(P0) ≤ f(P ) ≤ f(P1),para todo P ∈ F .

Exemplo 25. Toda funcoes polinomial P (x, y) =n∑

j=0

m∑k=0

aj kxjyk e contınua em R2

De fato, P (x, y) e uma combinacoes linear de monomios, e cada monomio e uma funcoescontınua, por ser o produto de potencias de x e y.

Exemplo 26. Toda funcoes racional f(x, y) =P (x, y)

Q(x, y)e contınua em todos os pontos do

conjunto (x, y) ∈ R2 : Q(x, y) = 0 por ser quociente de duas funcoes contınuas (polino-miais) e o denominador nao se anula.

Exemplo 27. A funcoes h(x, y) =

cos

(x2y

x2+y2

), se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)e contınua na ori-

gem.

De fato, h e a composta da funcoes cosseno com a funcoes

f(x, y) =

x2y

x2+y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)do exemplo 3 acima.

Exemplo 28. A funcoes h(x, y) =√

9− x2 − y2 e contınua no cırculo D = (x, y) :x2 + y2 ≤ 9. De fato h e a composta da funcoes f(x, y) = 9− x2 − y2 (que e contınua emR2) com a funcoes g(u) =

√u, que e contınua para u ≥ 0. A funcoes composta h = g f

esta portanto definida em todos os pontos de seu domınio, que e D.

11 Derivadas parciais

Definicao 12. Seja z = f(x, y) uma funcoes de duas variaveis definida em uma vizinhancade P0 = (x0, y0). Fixando a variavel y em y = y0, obtemos uma funcoes da variavel xapenas: z = g(x) = f(x, y0). A derivada da funcoes g em x = x0, caso exista, e cha-mada derivada parcial de f em relacoes a x em P0, e denotada por um dos sımbolosfx(P0), zx(P0),

∂f∂x(P0), fx(x0, y0), etc. Assim,

fx(P0) =∂

∂xf(x, y0)

]x=x0

= limh→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h

De modo analogo definimos a derivada parcial em relacoes a y em P0, fy(P0):

fy(P0) =∂

∂yf(x0, y)

]y=y0

= limh→0

f(x0, y + h)− f(x0, y0)

h


Figura 23: ((x, y), f(x, y))

Como no caso de funcoes reais de duas variaveis, as derivadas parciais sao taxas devariacoes de f nas direcoes dos eixos x e y, as derivadas parciais tem o mesmo significadogeometrico que a derivada de funcoes real de uma variavel.

Quando fixamos a variavel y = y0, estamos considerando a curva Cy0 = (x, y, z) tal que z =f(x, y0), y = y0, a qual e a interseccao do plano πy0 , cuja equacao geral e dada pory = y0, com a superfıcie S = (x, y, z) tal que z = f(x, y) = G(f). O numero fx(P0) =∂∂yf(x, y0)

]x=x0

e o coeficiente angular da reta tangente a curva Cy0 no ponto (P0, f(P0)) onde

P0 = (x0, y0). Esta reta, que e a reta r, tambem e tangente a superfıcie S no ponto (P0, f(P0))(veja a figura abaixo). Note que a reta r, (ver figura abaixo), e a reta tangente a curva Cy0que situa-se na interseccao do plano πy0 com o grafico de f no ponto (x0; y0, f(x0, y0)).


s

r

P0

z 6

y-

x

Analogamente, quando fixamos a variavel x = x0, estamos considerando a curva Cx0 =(x, y, z) tal que z = f(x0, y), x = x0, que e a interseccao do plano πx0 , cuja equacaogeral e dada por x = x0, com a superfıcie S = (x, y, z) tal que z = f(x, y) = G(f). O

numero fy(P0) = ∂∂yf(x0, y)

]y=y0

e o coeficiente angular da reta tangente a curva Cx0 no

ponto (P0, f(P0)). Esta reta, que e a reta s, tambem e tangente a superfıcie S no ponto(P0, f(P0))(veja a figura acima). Note que a reta s e a reta tangente a curva Cx0 que situa-se na interseccao do plano πx0 cuja equacao geral e x = x0, com o grafico de f no ponto(x0; y0, f(x0, y0)).

11.1 Plano tangente ao grafico de f

Veja que nas duas Figura acima, o plano π que contem as retas r e s, contem duas retas quetangenciam o G(f) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Ainda,

1. Como a curva Cx0 = (x, y, z) tal que z = f(x, y), x = x0, e a interseccao do planoπx0 , cuja equacao geral e dada por x = x0, com a superfıcie S = G(f), ela pode descritapor Cx0 = (x0, y, f(x0, y) com y ∈ R. Entao, temos uma curva parametrizada por(x(t); y(t); z(t)) = (x0, y0 + t, z0 + f(x0, t)) onde t ∈ R e z0 = f(x0, y0) cujo vetortangente a curva Cx0 no ponto (x(t0); y(t0); z(t0)) = (x0, y0, f(x0, y0)) que e o vetor

diretor da reta r e dado por vr = x(t)ı + y(t)ȷ + z(t)k = 0ı + j +∂f(x0, y0))

∂yk, Assim,

a reta r tem equacoes parametricas dada por


r :

x(t) = x0y(t) = y0 + t

z(t) = z0 +∂f(x0, y0))

∂yt

t ∈ R

2. Como a curva Cy0 = (x, y, z) tal que z = f(x, y), y = y0, e a interseccao do planoπy0 , cuja equacao geral e dada por y = y0, com a superfıcie S = G(f), ela pode descritapor Cy0 = (x, y0, f(x, y0) com x ∈ R. Entao, temos uma curva parametrizada por(x(t); y(t); z(t)) = (x0 + t, y0, z0 + f(t, y0)) onde t ∈ R e z0 = f(x0, y0) cujo vetortangente a curva Cx0 no ponto (x(t0); y(t0); z(t0)) = (x0, y0, f(x0, y0)) que e o vetor

diretor da reta s e dado por vs = x(t)ı + y(t)ȷ + z(t)k = ı + 0j +∂f(x0, y0))

∂xk, Assim,

a reta s tem equacoes parametricas dada por

s :

x(t) = x0 + ty(t) = y0

z(t) = z0 +∂f(x0, y0))

∂xt

t ∈ R

3. O plano π tangente ao G(f) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e o plano que contem as duasretas r e t, assim um vetor normal n ao plano π e dado pelo produto vetorial de vr evs. Entao podemos tomar

n = vr ∧ vs = det

ı j k

1 0∂f(x0, y0)

∂y

0 1∂f(x0, y0)

∂x

= −∂f(x0, y0)

∂xı− ∂f(x0, y0)

∂yȷ + k

a equacao geral do plano π e dada por

∂f(x0, y0)

∂x(x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y(y − y0)− z + f(x0, y0) = 0.


Tente visualizar a ideia geometrica acima na figura abaixo:

x

-y

6z

Exemplo 29. Dada f(x, y) = 9− x2 − y2, e P0 = (2, 2, 1) encontre

1. a reta tangente a curva Cy0 = (x, y, z) tal que z = f(x, y), y = y0 em P0 = (2, 2, 1).

2. a reta tangente a curva Cx0 = (x, y, z) tal que z = f(x, y), x = x0 em P0 = (2, 2, 1).

3. a equacao geral do plano π que contem as retas r e s dos dois ıtens anteriores.

Resolucao

1. Note que a curva Cx0 pode ser parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) = (x0, y0 + t, z0 +f(t, y0)) para t ∈ R, ou seja (x(t), y(t), z(t)) = (2, t, 5− t2). O vetor tangente a Cx0 em

P0 e dado por vt = x(t0)ı + y(t0)ȷ + z(t0)k = 0ı + ȷ− 4k. Entao a reta t tem equacoesparametricas dadas por

t :

x(t) = 2y(t) = 2 + tz(t) = 1− 4t

t ∈ R

2. Note que a curva Cy0 pode ser parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) = (x0 + t, y0, z0 +f(t, y0)) para t ∈ R, ou seja (x(t), y(t), z(t)) = (t, 2, 5− t2). O vetor tangente a Cy0 em

P0 e dado por vs = x(t0)ı + y(t0)ȷ + z(t0)k = ı + 0ȷ− 4k. Entao a reta s tem equacoesparametricas dadas por


s :

x(t) = 2 + ty(t) = 2z(t) = 1− 4t

t ∈ R

3. O plano π que contem as duas retas tem como vetor normal n = vt ∧ vs. Entao

n = det

ı j k1 0 −40 1 −4

= 4ı + 4ȷ + k

Agora e facil ver que

π : 4(x− 2) + 4(y − 2)− z + 1 = 0.

x

z

y

6

-

Exemplo 30. Calcular as derivadas parciais de f(x, y) = x2+3xy+y2 no ponto P0 = (2, 1).Calcule ∂f

∂xf(x0, y0) e

∂f∂yf(x0, y0).

Resolucao • Note que

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0, z0h

=(x0 + h)2 + 3(x0 + h)y0 + y20 − (x20 + 3x0y0 + y20)

h=

x20 + 2x0h+ h2 + 3x0y0 + 3y0h− (x20 + 3x0y0)

h=h(2x0 + 3y0 + h)

h= 2x0 + 3y0 + h.

Portanto,

limh→0

=f(x0 + h, y0)− f(x0, y0

h= lim

h→02x0 + 3y0 + h = 2x0 + 3y0 =

∂f

∂xf(x0, y0).


Faca (x0, y0) = (2, 1) e obtemos∂f

∂xf(2, 1) = 7 . Note que podemos utilizar as regras de

derivacao que conhecıamos do Calculo I ou seja

fx(P0) =∂

∂x(x2 + 3x+ 1)

]x=2

= 2x+ 3]x=2

= 7

• Note que

f(x0, y0 + k)− f(x0, y0, z0k

=x20 + 3x0(y0 + k) + (y0 + k)2 − (x20 + 3x0y0 + y20)

k=

3x0y0 + 3y0k + y20 + 2y0k + k2 − (y20 + 3x0y0)

k=k(2y0 + 3x0 + k)

k= 2y0 + 3x0 + k.

Portanto,

limk→0

=f(x0, y0 + k)− f(x0, y0

k= lim

k→02y0 + 3x0 + k = 2y0 + 3x0 =

∂f

∂xf(x0, y0).

Faca (x0, y0) = (2, 1) e obtemos∂f

∂xf(2, 1) = 8 . Note que podemos utilizar as regras de

derivacao que conhecıamos do Calculo I ou seja

fy(P0) =∂

∂y(4 + 6y + y2)

]y=1

= 6 + 2y]y=1

= 8

Exemplo 31. Seja Q = f(K;L) uma funcao de producao que relaciona o produto Q asquantidades dos insumos de capital K e de mao de obra L. Suponhamos que atualmente aempresa esta usando K0 unidades de capital e L0 unidades de trabalho para produzir Q0 =f(K0;L0) unidades de produto.

Interpretacao da Derivada Parcial A derivada parcial∂f

∂K(K0;L0) e a taxa de va-

riacao do produto em relacao capital, mantendo L fixado e igual a L0. Utilizando a definicaode limite vemos que se o capital crescer ∆K unidades, entao o produto crescera

∆Q ≡ ∂f

∂K(K0;L0)∆K. (11.16)

Exemplo 32. Seja Q = f(K;L) = 4K34L

14 e uma funcao de producao COBB-DOUGLAS

. Ela relaciona o produto Q as quantidades dos insumos de capital K e de mao de obra L.Suponhamos que atualmente a empresa esta usando K0 = 104 unidades de capital e L0 = 625

unidades de trabalho para produzir Q0 = 4K340 L

140 = 20.000 unidades de produto.

Imterpretacao da Derivada Parcial Ao calcularmos a derivada parcial veremos que

∂Q

∂K(K;L) = 4L

143

4K− 1

4 = 3L14K− 1

4 . (11.17)


Ainda,

∂Q

∂L(K;L) = 4K

341

4L− 3

4 = K34L− 3

4 . (11.18)

A quantidade (11.17) calculada no ponto (K0;L0) = (144; 625) nos da

∂Q

∂K(104; 625) =

3.(625)14

104)14 =

15

10

= 1, 5.

Podemos ler o numero 1.5 acima do seguinte modo. Se L for mantida constante e K foraumentada por ∆K, entao Q, a producao sera aumentada em aproximadamente 1.5. Paraum aumento de 10 unidades de K (capital) usamos (11.17) e a definicao de limite paraestimar valor de Q (producao ) em (K0;L0), ou seja

Q(K0;L0) = 20.000 + (1.5).10 = 20.015, (11.19)

que e uma boa aproximacao para Q(10.010; 625) = 20.014, 998 . . . , o valor do produto, exatoate a terceira casa decimal. Veja que a segunda parcela em (11.19) corresponde a quantidade∆Q em (11.16). Analogamente, por

∂Q

∂L(104; 625) =

(104)34

62534

=103

53= 8. (11.20)

E facil ver que uma diminuicao de 2 (duas unidades) em L deveria induzir uma diminuicaode 2.8 = 16 unidade em Q (note que usamos aqui (11.16) e (11.20). Consequentemente,estimamos Q(10.010; 625) em

Q(K0;L0) = 20.000 + 8.(−2) = 19.984, (11.21)

que e uma boa aproximacao para Q(10.010; 623) = 19.983, 981 . . . , o valor do produto,exato ate a terceira casa decimal. Veja que a segunda parcela em (11.21) correspondente aquantidade ∆Q em (11.16).

Exercıcio 3. Um Problema de Uma Firma Com dois Produtos Consideremos ocaso em que uma firma produz dois produtos sob condicoes de competicao pura. Neste casoo preco de ambas as mercadorias sao exogenamente dados, a e b respectivamente. Assim, afuncao receita da firma sera

R(u, v) = au+ bv,

onde u representa o nıvel de producao da mercadoria cujo o preco e a e v representa o nıvelde producao da mercadoria cujo o preco e b. Quanto a funcao custo da firma, suporemosque ela seja dada por

C(u, v) = 2u2 + uv + 2v2.

a: Use a definicao de derivada parcial e calcule∂R

∂u(1, 2)

∂R

∂v(2, 1);

∂R

∂u(u; v) e

∂R

∂u(v;u).

b: Use a definicao de derivada parcial e calcule∂C

∂u(1, 2)

∂C

∂v(2, 1);

∂C

∂u(u; v) e

∂C

∂u(v;u).

12 ELASTICIDADE DE SUBSTITUICAO 44

As derivadas parciais de funcoes de 3 ou mais variaveis sao definidas de modoanalogo.

Definicao 13. Seja f : Aab⊂ R3 → R se P0 = (x0, y0, z0) ∈ A; calculamos ∂f

∂zf(x0, y0z0)

fixando x e y e derivando-se em relacoes a z a funcoes obtida.

fz(P0) =∂

∂zf(x0, y0, z0) = lim

l→0

f(x0, y0, z0 + l)− f(x0, y0, z0)

l

Exemplo 33. Calcular as derivadas parciais de f(x, y, z) = xyz. Tome P0 = (x0, y0, z0) ecalcule ∂f

∂zf(x0, y0z0)

Resolucao Note que

f(x0, y0, z0 + l)− f(x0, y0, z0l

=x0.y0.(z0 + l)− x0.y0.z0

l=

x0.y0.z0 + x0.y0.l − x0.y0.z0l

=x0.y0.l

l= x0.y0.

Portanto,

liml→0

=f(x0, y0, z0 + l)− f(x0, y0, z0

l= x0.y0 =

∂f

∂zf(x0, y0z0).

12 Elasticidade de Substituicao

Se Y = F (L,K) a funcao de producao que representa a quantidade maxima de produto quepode ser obtido da combinacao da quantidade maxima de trabalho L e de capital K entao

ϵK =∂F

∂K(K,L) · K

Ye a elasticidade do produto Y em relacao fator marginal de variacao

do capital∂F

∂K(K,L). Analogamente, ϵL =

∂F

∂K(K,L) · L

Ye a elasticidade do produto Y em

relacao fator marginal de variacao do trabalho∂F

∂L(K,L).

Definicao 14. Considere as quatidadesk

ler

w, onde

r

w=

α

1− α

(kl

)m−1

. A elasticidade de

substituicao do fator de intensidadek

lem reacao ao fator de retorno

r

we a porcentagem de

mudanca relativa no fator de intensidadek

lem resposta a 1% de mudanca no fator relativo

de retornor

w.

Seja y = F (k, l) = z(αkm + (1− α)lm)1m , onde m ≤ 1. Entao

13 DERIVADA DIRECIONAL 45

∂F

∂k(k, l) = z

1

m(αkm + (1− α)lm)

1m−1 ·mαkm−1 = z(αkm + (1− α)lm)

1m−1 · αkm−1 = r

∂F

∂l(k, l) = z

1

m(αkm + (1− α)lm)

1m−1 ·m(1− α)lm−1

= z(αkm + (1− α)lm)1m−1 ·m(1− α)lm−1 = w

Mas ϵk =∂F

∂k(k, l) · k

ye a elasticidade do fator k em relacao a y e ϵl =

∂F

∂k(k, l) · l

ye a

elasticidade do fator l em relacao a y.

13 Derivada Direcional

Em muitas situacoes, e conveniente conhecer a taxa de variacoes de uma funcoes em umadirecoes que nao e a dos eixos.

Sejam f : D ⊂ R2 → R, P0 ∈ D e u = α i + β j um vetor unitario (entao α2 + β2 = 1).A derivada direcional de f no ponto P0, na direcoes de u, denotada por Duf(P0) ou∂f

∂u(P0), e definida por

∂f

∂u(P0) = lim

h→0

f(x0 + hα, y0 + hβ)− f(x0, y0)

h

Figura 24: Derivada Direcional

se o limite existir. A derivada direcional e a taxa de variacao de f na direcao (e sentido) dovetor u.

Como no caso das derivadas parciais, a derivada direcional e essencialmente o calculo daderivada de uma funcao de uma variavel. De fato, definindo a funcao de uma variavel

w(t) = f(x0 + t α, y0 + t β),


temos∂f

∂u(P0) = w′(0).

Exemplo 34. Calcular a derivada direcional de f(x, y) = x2 − 2xy no ponto P0(3, 2) na

direcoes do vetor u =1

2i−

√3

2j.

Em primeiro lugar, notemos que u e unitario.

∂f

∂u(3, 2) = lim

h→0

f(3 + 12h, 2−

√32h)− f(3, 2)

h

= limh→0

(3 + 12h)2 − 2(3 + 1

2h)(2−

√32h) + 3

h

= limh→0

9 + 3h+ 14h2 − 12 + (3

√3− 2)h+

√34h2) + 3

h

= limh→0

(1 + 3√3)h+ (

√34+ 1

4)h2

h= 1 + 3

√3

Calculemos de outro modo: chamemos

w(t) = (3 +t

2)2 − 2(3 +

1

2t)(2− t

√3

2)

temos

w′(t) = (3 +t

2)− (2− t

√3

2) + (3 +

t

2)√3

donde w′(0) = 1 + 3√3. Logo,

∂f

∂u(3, 2) = 1 + 3

√3

Exemplo 35. Calcular a derivada direcional de f(x, y) = x2 − 2x y no ponto P0 = (3, 2) nadirecoes do vetor v = i+ j.

Como o vetor v nao e unitario (de fato, ∥v∥ =√2), tomamos seu versor u =

√22

v =√22(i+j),

e calculamos∂f

∂u(P0).

∂f

∂u(P0) = lim

h→0

f(3 +√22h, 2 +

√22h)− f(3, 2)

h

= limh→0

(3 +√22h)2 − 2(3 +

√22h)(2 +

√22h) + 3

h

= limh→0

9 + 3√2 h+ 1

2h2 − 12− 5

√2 h− h2 + 3

h

= limh→0

−2√2 h− 1

2h2

h= −2

√2

Exemplo 36. Calcular as derivadas direcionais da funcoes

f(x, y) =

x2y

x2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

no ponto P0 = (0, 0). Em que direcoes ela e maxima?


Tomemos um vetor unitario u = (α, β) (assim α2 + β2 = 1). Entao

∂f

∂u(0, 0) = lim

t→0

f(t α, t β)− f(0, 0)

t= lim

t→0

t3 α2 β

(t2 α2 + t2β2) t= α2 β = (1− β2) β

Calculemos o valor maximo da funcao g(β) = (1−β2) β = β−β3. Temos g′(β) = 1−3 β2,de modo que os pontos crıticos de g sao β = ±1/

√3: e facil ver que o ponto de maximo e

β = 1/√3 e portanto o valor maximo de g e g(1/

√3) = 2/3

√3. Logo, a derivada direcional

de f e maxima na direcao u = (√2/3, 1/

√3).

13.1 REGRA DA CADEIA

Dadas g : [a; b] ⊂ R → R e f : Aab⊂ R2 → R funcao tais que Im(f) ⊂ Dm(g) (a imagem da

f esta contida no domıno]io da g). Neste caso podemos calcular g f : Aab⊂ R2 → R que

sera dada por g(f(x; y)).

Exemplo 37. Calcular as derivadas parciais de h(x, y) = ln(x2 + y2); para (x, y) = (; 0).

Note que se g : (0,∞) → R for dada por g(z) = z; e f : R2 − (0, 0) → R for dada porf(x, y) = x2 + y2, entao g f(x, y) = g(f(x, y)) = ln(x2 + y2); ou seja h(x, y) = g(f(x; y)).

Teorema 7. Dadas g : [a; b] ⊂ R → R e f : Aab⊂ R2 → R funcao tais que Im(f) ⊂ Dm(g).

Suponha que g e derivavel e que f tem as derivadas parciais. Entao se h : A → R for dadapor h(x; y) = g(f(x; y)), h tem derivadas parciais e

(a)∂h(x, y)

∂x= g′(f(x, y))

∂f(x, y)

∂x

(b)∂h(x, y)

∂y= g′(f(x, y))

∂f(x, y)

∂y.

Exemplo 38. Calcular as derivadas parciais de h(x, y) = ln(1 + x2 + y2).

Vemos que se g : (0,∞) → R fo dada por g(z) = ln z e f : A → R, for dada por f(x, y) =1 + x2 + y2 onde A = R2, teremos Im(f) ⊂ Dm(g) e h(x, y) = g(f(x; y)) = ln(1 + x2 + y2).

Como g e derivavel e g′(z) =1

z. Entao g′(f(x, y)) =

1

1 + x2 + y2, Ainda, f tem a derivadas

parciais, ou seja,∂f(x, y)

∂x= 2x e

∂f(x, y)

∂y= 2y. Agora, o Teorema 7a nos assegura que

∂h(x, y)

∂x= g′(1 + x2 + y2)

∂f(x, y)

∂x=

2x

1 + x2 + y2

Analogamente, o Teorema 7b nos assegura que


∂h(x, y)

∂y= g′(1 + x2 + y2)

∂f(x, y)

∂y=

2y

1 + x2 + y2.

Exercıcio 4. (a) Calcule as derivadas parciais de h(x, y) = cos (xy).(b) Calcule as derivadas parciais de h(x, y) = sen (x2 + y2).(c) Calcule as derivadas parciais de h(x, y) =

√1− (x2 + y2).

(d) Calcule as derivadas parciais de h(x, y) = 3√1− (x2 + y2)

Respostas

(a) ∂h∂x

= −ysen (yx), ∂h∂y

= −xsen (yx), (b) ∂h∂x

= 2x cos(x2 + y2), ∂h∂y

= 2y cos(x2 + y2),

(c) ∂h∂x

= −x√1−(x2+y2)

∂h∂y

= −y√1−(x2+y2)

, (d) ∂h∂x

= −2x3√

3[1−(x2+y2)]2, ∂h

∂y= −2y

3√

3[1−(x2+y2)]2.

13.2 Matriz Jacobiana

Definicao 15. Dada f : Aab⊂ R2 → R uma funcao com derivadas parciais de primeira

ordem. Chama-se Matriz Jacobiana de f em um ponto P = (x, y) =∈ A seguinte matriz:

J(F (p))1×2 =[ ∂f

∂x(x, y)

∂f

∂y(x, y)

]1×2

Exemplo 39. Tome f(x, y) = x2 + xy2. Calcule a Matriz Jacobiana de f em um pontoP = (x, y)

Resolucao Note que∂f

∂x(x, y) = 2x+y2 e

∂f

∂y(x, y) = 2xy. Portanto, a Matriz Jacobiana

de f em um ponto P = (x, y) e dada por

J(F (p))1×2 =[2x+ y 2xy

]1×2

.

Definicao 16. Dada f : Aab⊂ R3 → R uma funcao com derivadas parciais de primeira ordem.

Chama-se Matriz Jacobiana de f em um ponto P = (x, y, z) ∈ A seguinte matriz:

J(F (p))1×3 =[ ∂f

∂x(x, y, z)

∂f

∂y(x, y, z)

∂f

∂y(x, y, z)

]1×3

Exemplo 40. Tome f(x, y) = x2 + xy2 + z3y. Calcule a Matriz Jacobiana de f em umponto P = (x, y, z)


∂x(x, y, z) = 2x + y2,

∂f

∂y(x, y, z) = 2xy + z3 e

∂f

∂x(x, y, z) = 3z2y .

Portanto, a Matriz Jacobiana de f em um ponto P = (x, y) e dada por

J(F (p))1×3 =[2x+ y 2xy + z3 3z2y

]1×2

.


Definicao 17. Se f : Ωab⊂ Rn → Rp Q ∈ Rn, Q = (x1, x2, · · · xn) entao,

f(Q) = (f1(Q), f2(Q), · · · fm(Q)), (13.22)

onde, para cada i ∈ 1, 2, · · · , n, fi : Ωab⊂ Rn → R.

Dizemos que f : Ωab⊂ Rn → Rp e derivavel em Ω se para todo i ∈ 1, 2, · · · , n, fi : Ω

ab⊂

Rn → R for derivavel. A Matriz Jacobiana de f J(f(Q)) euma matriz com p linhas e ncolunas e sera dada por

J(f(Q)) =

∂f1(Q)

∂x1

∂f1(Q)

∂x2· · · ∂f1(Q)

∂xn∂f2(Q)

∂x1

∂f2(Q)

∂x2· · · ∂f2(Q)

∂xn...

......

...∂fp(Q)

∂x1

∂fp(Q)

∂x2· · · ∂fp(Q)

∂xn

p×n

(13.23)

Funcoes Homogeneas

Definicao 18. Uma funcao f(x, y, z) ∈ R e uma funcao Homogenea de grau k se paraqualquer numero real positivo t

f(tx, ty, tz) = tkf(x, y, z). (13.24)

As funcoes Homogeneas sao uteis para os Economistas porque, entre outras coisaselas permitem que alguns mecanismos naturais em Economia tenham uma interpretacaorazoavelmente simples. Veja que, se f for a funcao de producao de uma firma, entao f seraHomogenea de grau um, isto e

f(tx, ty, tz) = tf(x, y, z),

para qualquer t positivo e qualquer cesta de mercadorias (x, y, z). Note que, se tomarmost = 2, a Equacao (13.24) diz que, se a firma duplicar cada insumo ((2x, 2y, 2z)), o prudutotambem sera duplicado (f(2x, 2y, 2z) = 2f(x, y, z)). Se tomarmos t = 3, a Equacao (13.24)diz que, se a firma triplicar cada insumo ((3x, 3y, 3z)), o pruduto tambem sera triplicado(f(2x, 2y, 2z) = 3f(x, y, z)). Diz-se que a firma exibe retornos constante de escala.Suponha que a funcao de producao seja homogenea de grau k > 1. Observe que se a firmaduplicasse a quantidade de cada insumo, seu seria multiplicado por um fator 2k. Veja ascontas a seguir

f(2x, 2y, 2z)grau k= 2kf(x, y, z).

13.3 Exercıcios

1. Considere a Transformacao Linear T : R2 → R dada por T (x, y) = 2x+ 4y. Calcule aMatriz Jacobiana de T . Compare com a Matriz da Transformacao Linear T .


2. Considere a Transformacao Linear T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (2x+4y−z, x−3y+2z). Calcule a Matriz Jacobiana de T . Compare com a Matriz da TransformacaoLinear T .

3. Considere a Transformacao Linear T : R3 → R4 dada por T (x, y, z) = (2x+4y−z; x−3y + 2z;x+ 4y − 3z; 2x+ 3y + z). Calcule a Matriz Jacobiana de T . Compare com aMatriz da Transformacao Linear T .

4. Considere a funcao nao linear f : R2 → R3 dada por T (x, y) = (2x2y; 2xy2;xy2; 2xy23 ).

Calcule a Matriz Jacobiana de f(x, y). Se P0 = (−1, 1) Calcule J(F (P0)).

5. Considere a funcao nao linear f : R3 → R4 dada por f(x, y, z) = (2x2 + 4yz; 3x −3y2z; xy2z; 2xy

23 z). Calcule a Matriz Jacobiana de f(x, y, z). Se P0 = (−1, 1, 2) Calcule

J(F (P0)).

6. Considere a funcao nao linear f : R4 → R2 dada por f(x, y, z, w) = (2x2 + w2x +4yz; 3xw − 3y2z). Calcule a Matriz Jacobiana de f(x, y, z, w). Se P0 = (−1, 1, 2)Calcule J(F (P0)).

7. a: Tome a foncao de producao de Coob-Douglas (Charles Coob e Paul Douglas)

q = f(x, y, z) = Ax12y

13 z

16 . Veja que esta funcoes e homogenea de grau k = 5

6.

Mostre que as derivadas parciais de f tambem sao homogeneas, e encontre o grau dehomogeneidade das derivadas parciais de f .

b: Tome a foncao de producao de Coob-Douglas q = f(x, y, z) = Axαyβzσ

onde α, β e σ sao contantes positivas. Veja que esta funcao e homogenea de grauk = α + β + σ. Encontre o grau de homogeneidade das suas derivadas parciais de f

8. Se f(x, y, z) for homogenea de grau r e tiver derivadas parciais de primeira ordem,mostre que cada uma de suas derivadas parciais e uma funcao homogenea de graur − 1.

x2∂2f

∂x2+ 2xy

∂2f

∂y2+ z2

∂2f

∂z2r(r − 1) = f(x, y, z).

9. Calcule as derivads de primeira ordem das funcoes abaixo: (a) f(x, y) =√x2 + y2

(b) f(x, y) = e(x−y)[y2 − 2x2], (c) g(x, y, z) = x2 + xy − z + y2 + z2, (d)f(x, y) = 4x2 + 3xy + y2 + 12x + 2y + 1, (e) g(x, y, z) = x2 + xy − z4 + y2 + 2z2,(f) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2)

10. a Dada y(u, v) = y(t) = uv onde u = g(t) e v = h(t). Calcule yu(u, v) =∂y

∂v(u, v);

yv(u, v) =∂y

∂v(u, v). Calcule y(t).

b Dada y(u, v) = y(t) = ln (uv) onde u = g(t) e v = h(t). Calcule yu(u, v) =∂y

∂v(u, v);

yv(u, v) =∂y

∂v(u, v). Calcule y(t). Resp. y(t) =

g(t)f ′(t) + f(t)g′(t))

g(t)f(t).

14 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 51

c Dada y(u, v) = y(t) = ln (u+ v) onde w = g(t) e v = h(t). Calcule yu(u, v) =∂y

∂v(u, v); yv(u, v) =

∂y

∂v(u, v). Calcule y(t). Resp. y(t) =

1

u+ v(f ′(t) + g′(t)).

11. a Dada g(x, y, z) =x2

y+

2z2

x. Calcule k tal que g(kx, ky, kz) = kg(x, y, z). Calcule

gx(x, y, z), gy(x, y, z), gz(x, y, z).

b Dada h(x, y, z) = 2x2+3xy−z2. Calcule h(kx, ky, kz). Resp. k2h(x, y, z). Dizemosque g e Homogenea de grau 2. Calcule os pontos crıticos de h.

14 Derivadas parciais de ordem superior

Se a funcao z = f(x, y) tem derivadas parciais em todo ponto de um conjunto aberto B,entao ficam definidas as funcoes:

fx : B → R e fy : B → R(x, y) 7→ fx(x, y) (x, y) 7→ fy(x, y)

Estas novas funcoes, por sua vez, podem ter derivadas parciais em relacao a x ou a y, quechamamos derivadas parciais de segunda ordem de f e denotamos por

(fx)x = fxx =∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2

(fx)y = fxy =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

(fy)x = fyx =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y

(fy)y = fyy =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y∂y

Exemplo 41. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da funcao z(x, y) = ln(x2 +y2). Mostrar que ln(x2 + y2) satisfaz a equacao de Laplace zxx + zyy = 0.

zx(P ) =∂z

∂x(P ) =

2 x

x2 + y2, zy(P )

∂z

∂y(P ) =

2 y

x2 + y2, zxx(P ) =

∂2f

∂x2(P ) =

y2 − x2

x2 + y2,

zxy(P ) =∂2f

∂y∂x=

2x y

x2 + y2, zyy(P ) =

∂2f

∂y2(P )(P ) =

x2 − y2

x2 + y2

Dessas igualdades, vemos facilmente que zxx + zyy = 0.A matriz

H(f(P )) =

∂2f

∂x2(P )

∂2f

∂y∂x(P )

∂2f

∂z∂x(P )

∂2f

∂x∂y(P )

∂2f

∂y2(P )

∂2f

∂z∂y(P )

∂2f

∂x∂z(P )

∂2f

∂y∂z(P )

∂2f

∂z2(P )

(14.25)

15 DIFERENCIABILIDADE 52

e denominada Matriz Hessiana de f de P .

Exemplo 42. Mostrar que a funcao w(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2 satisfaz a equacao deLaplace wxx + wyy + wzz = 0.

Temos

wx =−x

(x2 + y2 + z2)−3/2, zy =

−y(x2 + y2 + z2)−3/2

, wz =−z

(x2 + y2 + z2)−3/2

wxx =2x2 − y2 − z2

(x2 + y2 + z2)−5/2wyy =

2 y2 − x2 − z2

(x2 + y2 + z2)−5/2wzz =

2 z2 − x2 − y2

(x2 + y2 + z2)−5/2

Somando as derivadas acima, temos wxx + wyy + wzz = 0.

Um fato que sera importante em consideracoes teoricas e:Teorema de Schwarz Suponhamos que f tem derivadas parciais de segunda ordem contınuasem uma vizinhanca de Po e que elas sejam contınuas em P0. Entao fyx(P0) = fxy(P0).

Analogamente definimos derivadas parciais de ordem superior fxxx, fxxy, fxyy, fxxyy, etc.

15 Diferenciabilidade

As derivadas parciais descrevem bem as propriedades de f nas direcoes dos eixos coordena-dos. No entando, elas nao dao qualquer informacao fora desses eixos. A simples existenciadas derivadas parciais em um ponto nao garante sequer que a funcoes seja contınua nesseponto. Por exemplo, vimos que a funcoes

f(x, y) =

xy

x2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

tem derivadas parciais em (0, 0), mas nao e contınua nesse ponto. Na proxima secao

apresentamos o conceito de diferenciabilidade, tem as boas propriedades da nocao de

diferenciabilidade vistas para funcoes de uma variavel.Lembremos que, para uma funcao de uma variavel real, y = f(x), a existencia da derivada

em um ponto x0, ou seja, a existencia do limite

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

equivale dizer que, numa vizinhanca do ponto (x0, f(x0)), o grafico de f e aproximado pelareta tangente

ytg = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

no sentido que, quando x aproxima-se de x0, a distancia entre os pontos (x, f(x)) e (x, ytg),a qual e igual a |f(x) − f(x0) − f ′(x0)(x − x0)|, vai se tornando cada vez menor, quandocomparada com |x− x0|, ou seja,

limx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)

x− x0= 0 (15.26)


Denotando

r(h) =f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)k

h,

podemos reescrever (15.26) como segue:f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + (x− x0)r(x− x0)

limx→x0

r(x− x0) = 0

Utilizaremos estas consideracoes para definir diferenciabilidade para uma funcoes de duasvariaveis, z = f(x, y) em um ponto P0 = (x0, y0). Em primeiro lugar, notemos que o graficode z = f(x, y) e uma superfıcie no espaco, e portanto e natural procurarmos um plano paratangenciar tal superfıcie; tal plano tera uma equacoes da forma

z = ax+ by + c. (15.27)

Vejamos como devem ser os coeficientes a, b, c para que o plano (15.27) seja tangente aografico de f no ponto Q0 = (P0, f(P0)). Como o ponto Q0 pertence ao plano, devemos terc = f(P0)− ax0 − by0, de modo que (15.27) assume a forma

z = f(P0) + a(x− x0) + b(y − y0)

A condicoes de tal plano ser tangente ao grafico de f implica, em particular, que a retaz = f(P0) + a(x− x0)y = y0

seja tangente a curva z = f(x, y)y = y0

donde obtemos a = fx(P0). De modo analogo, segue-se que b = fy(P0). Logo, o candidato aplano tangente devera ter por equacoes

z = f(P0) + fx(P0)(x− x0) + fy(P0)(y − y0).

Em vista destas consideracoes, parece natural definir a diferenciabilidade como segue:

Definicao 19. Dizemos que a funcoes z = f(x, y) e diferenciavel em P0 = (x0, y0) sepudermos escrever

f(x0 + h, y0 + k) = f(P0) + hfx(P0) + kfy(P0) + hr1(h, k) + kr2(h, k)

em quelim

(h,k)→0r1(h, k) = lim

(h,k)→0r2(h, k) = 0


A expressao fx(P0)∆x + fy(P0)∆y e chamada diferencial de f em P0 relativa aosacrescimos ∆x, ∆y, e denotada por df(P0), ou simplesmente dz. Como, para a funcoesz = x, temos fx = 1 e fy = 0, e portanto, dz = ∆x, e costumeiro denotar ∆x = dx. Domesmo modo, denotamos ∆y = dy, e escrevemos

dz = fx(P0)dx+ fy(P0)dy.

A definicoes de diferenciabilidade expressa o fato que, para |∆x|, |∆y| pequenos, a diferencialconstitui uma boa aproximacoes para o valor f(x0 +∆x, y0 +∆y); expressa tambem o fatoque, em uma vizinhanca do ponto (x0, y0, f(x0, y0)), o grafico de f aproxima-se do plano deequacoes

z = f(P0) + fx(P0)(x− x0) + fy(P0)(y − y0)

que sera chamado plano tangente ao grafico de f em P0. A reta cujas equacoesparametricas sao

x = x0 + fx(P0)ty = y0 + fy(P0)t t ∈ Rz = z0 − t

e a reta normal ao grafico de f em P0.

Exemplo 43. (a) Mostrar que a funcoes f(x, y) = xy e diferenciavel no ponto P0 = (2, 5).(b) e dar a equacao do plano tangente ao grafico nesse ponto. Mais geralmente, mostrar queela e diferenciavel em qualquer P0 = (x0, y0)

Temos fx(x, y) = y e fy(x, y) = x. Como f(2, 5) = 10, fx(2, 5) = 5, fy(2, 5) = 2,definindo r1(h, k) = k, temos lim

(h,k)→(0,0)r1(h, k) = 0 e podemos escrever

f(2 + h, 5 + k) = 10 + 5h+ 2 k + h k = f(2, 5) + fx(2, 5)hfy(2, 5) k + h r1(h, k)

Logo, f e diferenciavel no ponto P0 = (2, 5). Uma equacao geral do plano tangente ez − 10 = 5 (x− 2) + 2 (y − 5), ou

5x+ 2 y − z = 10 .

Mais geralmente, temos

f(x0 + h, y0 + k) = (x0 + h)(y0 + k) = x0y0 + y0h+ x0k + hk

que cumpre a definicoes acima, com r1(h, k) = k e r2 = 0. Note que tambem poderıamos terescolhido r1 = 0 e r2(h, k) = h. O plano tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0) tem porequacoes z − x0y0 = y0(x− x0) + x0(y − y0).

Exemplo 44. Mostrar que a funcao f(x, y) =

x2 y2

x2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)e diferenciavel

em (0, 0).


E claro que f(0, 0) = 0. Um calculo simples mostra que fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. Deno-tando

r(x, y) =x y2

x2 + y2,

podemos entao escrever

f(x, y) =x2 y2

x2 + y2= f(0, 0) + x fx(0, 0) + y fy(0, 0) + x r(x, y) .

comlim

(x,y)→(0,0)r(x, y) = 0.

Logo, f e diferenciavel em (0, 0).

Exemplo 45. Usando diferenciais, calcular um valor aproximado para (2.0002)3(0.9999).

Consideremos a funcoes z = f(x, y) = x3y, o ponto P0 = (2, 1) e os incrementos ∆x = 0.0002

e ∆y = −0.0001. Temos f(2, 1) = 8, fx(2, 1) = 3x2y∣∣∣(2,1)

= 12, fy = x3∣∣∣(2,1)

= 4, donde

dz = 12∆x+ 4∆y = 0.0024− 0.0004 = 0.002. Assim

f(2.0002, 0.9999) ≈ f(2, 1) + dz = 8 + 0.002 = 8.002.

Exemplo 46. Usando diferenciais, calcular um valor aproximado da quantidade de materialusado para se contruir um vaso em forma de cilindro circular reto de raio interno R = 30cm, altura H = 20 cm, e espessura e = 0.5 cm.

A formula do volume de um cilindro e V (R,H) = πR2H, de modo que VR(R,H) = 2πRHe VH(R,H) = πR2. Portanto,

∆V ≈ VR∆R + VH∆H = 2πRH∆R + πR2∆H = 1050 π cm3

O conceito de diferenciabilidade que demos acima garante boas propriedades da funcao f .A primeira propriedade importante e

Teorema 8. Se f e diferenciavel em P0 = (x0 , y0), entao f e contınua em P0.

Demonstracao: Como f e diferenciavel em P0, podemos escrever

f(x0 + h , y0 + k) = f(P0) + fx(P0)h+ fy(P0) k + h r1(h, k) + k r2(h, k) (15.28)

comlim

(h,k)→(0,0)r1(h, k) = lim

(h,k)→(0,0)r2(h, k) = 0.

Fazendo (h, k) → (0, 0) em (15.28), temos

lim(h,k)→(0,0)

f(x0 + h , y0 + k) = f(P0),

ou seja, f e contınua em P0.


Geralmente e trabalhoso analisar a diferenciabilidade de uma funcoes diretamente a partirda definicao. Existe um criterio que permite facilmente concluir a diferenciabilidade, dadopelo teorema abaixo. Para obter este fato, usaremos o teorema da media para funcoes deuma variavel, cujo enunciado e:Lema (Teorema do Valor Medio) Se g : [a, b] → R e uma funcao contınua no intervalo[a, b] e diferenciavel no intervalo aberto (a, b), entao existe c ∈ (a, b) tal que g(b) − g(a) =g′(c)(b− a).

Teorema 9. Sejam f : A ⊂ R2 → R, e P0 ∈ A. Suponhamos que f seja contınua em umavizinhanca V de P0, suas derivadas fx(P ), fy(P ) existam em todos os pontos de V e sejamcontınuas em P0. Entao f e diferenciavel em P0.

Demonstracao: Escrevemos ∆ z = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0 , y0) e entao

∆ z = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0 , y0 +∆y) + f(x0 , y0 +∆y)− f(x0 , y0)

Pelo Teorema do Valor Medio, existem s , t, com e 0 ≤ s , t ≤ 1 tais que

f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0 , y0 +∆y) = fx(x0 + t∆x , y0 +∆y)∆x+f(x0 , y0 +∆y)− f(x0 , y0) = fy(x0 , y0 + s∆y)∆y

Portanto,

∆ z = fx(x0 + t∆x , y0 +∆y)∆x+ fy(x0 , y0 + s∆y)∆y= fx(x0 , y0)∆x+ fy(x0 , y0)∆y + (∆x)[fx(x0 + t∆x , y0 +∆y)− fx(x0 , y0)]+

+(∆y)fy(x0 , y0 + s∆y)− fy(x0 , y0)].(15.29)

Denotandor1(∆x,∆y) = [fx(x0 + t∆x , y0 +∆y)− fx(x0 , y0)]r2(∆x,∆y) = fy(x0 , y0 + s∆y)− fy(x0 , y0)],

a continuidade das derivadas parciais fx e fy em P0, implica que

lim r1(∆x,∆y) = lim r2(∆x,∆y) = 0. (15.30)

As relacoes (15.29) e (15.30) mostram que f e diferenciavel em P0 .

Exemplo 47. Seja f(x, y) = x2 + y2. Entao fx(x, y) = 2x e fy(x, y) = 2y sao funcoescontınuas em R2. Pelo teorema acima, f e diferenciavel em qualquer P ∈ R2.

Exemplo 48. Seja f(x, y) =n∑

j=0

m∑k=0

ajkxjyk uma funcoes polinomial. Entao suas derivadas

parciais

fx(x, y) =n∑

j=0

m∑k=0

jajkxj−1yk e fy(x, y) =

n∑j=0

m∑k=0

ajkkxjyk−1

sao funcoes contınuas em R2 (pois sao funcoes polinomiais). Portanto, f e diferenciavel emqualquer P ∈ R2.

16 REGRA DA CADEIA 57

16 Regra da Cadeia

Sejam f : D ⊂ R2 → R e g, h : I ⊂ R → R tais que (g(t), h(t)) ∈ D ∀t ∈ I. Entao podemosdefinir a funcoes composta

F : I → R por F (t) = f(g(t), h(t)), t ∈ I.

6z

f-

x

y

f(t0)f

g

g(t0) •P0

:

t0

I

6

-

Teorema 10. (Regra da Cadeia) Suponhamos f diferenciavel em P0, e g, h diferenciaveisem t0. Entao F e diferenciavel em t0 e vale a relacoes

F ′(t0) = fx(P0)g′(t0) + fy(P0)h

′(t0) (16.31)

ou, usando a outra notacoes

dF

dt(t0) =

∂f

∂x(P0)

dg

dt(t0) +

∂f

∂y(P0)

dh

dt(t0).

Prova: Como f e diferenciavel em P0, podemos escrever

∆f = fx(P0)∆x+ fy(P0)∆y +∆x r1(∆x,∆y) + ∆y r2(∆x,∆y)

comlim r1(∆x,∆y) = lim r2(∆x,∆y) = 0.

Tomando ∆x = ∆g = g(t0+∆t)− g(t0) e ∆y = ∆h = h(t0+∆t)−h(t0), e fazendo ∆t→ 0,temos

F ′(t0) = lim∆t→0∆f

∆t= fx(P0) lim

∆t→0

∆g

∆t︸︷︷︸g′(t0)

+fy(P0) lim∆t→0

∆h

∆t︸︷︷︸h′(t0)

+

+ lim∆t→0

∆g

∆tr1(∆x,∆y)︸︷︷︸

g′(t0)·0=0

+ lim∆t→0

∆h

∆tr2(∆x,∆y)︸︷︷︸

g′(t0)·0=0

= fx(P0) g′(t0) + fy(P0)h

′(t0)


Exemplo 49. Calcular a derivada da composta das funcoes z = f(x, y) = x2 y − 3x2 +y2, x = et, y = sen t.

Temos∂z

∂x= 2 x y − 6x

∂z

∂y= x2 + 2 y

x′(t) = et e y′(t) = cos t. Pela regra da cadeia, a derivada da funcao z(t) = f(x(t), y(t)) e

z′(t) =[(2x y − 6 x) x′ + (x2 + 2 y) y′

]x = et

y = sen t

=

= 2 e2 t sen t− 6 e2 t + e2 t cos t+ 2 sen t cos t

Note que z′(t) pode ser calculada diretamente usando tecnicas do Calculo I. De fato, como

z(t) = e2 tsen t− 3 e2 t + sen 2 t

temosz′(t) = 2 e2 tsen t+ e2 t cos t− 6 e2 t + 2sen t cos t .

A regra da cadeia (16.31) tambem vale para derivadas parciais. Se z = f(x, y), x =g(s, t), y = h(s, t) e fixarmos uma variavel, recaımos no caso acima:

∂z

∂s=∂z

∂x

∂x

∂s+∂z

∂y

∂y

∂s∂z

∂t=∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t

Exemplo 50. Sejam z = f(x, y) = 2x2 + y2, x = r cos θ, y = r sen θ e G(r, θ) =f(r cos θ, r sen θ) Calcular as derivadas parciais Gr e Gθ.

Temos fx = 4 x, fy = 2 y, xr = cos θ, xθ = −r sen θ, yr = sen θ, yθ = r cos θ. Portanto

∂G

∂r=∂G

∂x

∂x

∂r+∂G

∂y

∂y

∂r= 4 x cos θ + 2 y sen θ = 4 r cos2 θ + 2 r sen 2θ

∂G

∂θ=∂G

∂x

∂x

∂θ+∂G

∂y

∂y

∂θ= −4x r sen θ + 2 y r cos θ = −4 r2 sen θ cos θ + 2 r2 sen θ cos θ

= −2 r2 sen θ cos θ

Tambem neste caso podemos calcular a composta

G(r, θ) = 2 r2 cos2 θ + r2 sen 2 θ

e obter diretamente as derivadas parciais.

Exemplo 51. Sejam f , g : R → R funcoes de classe C2 e c uma constante. Mostrar quea funcao v(x, t) = f(x + c t) e w(x, t) = g(x − c t) satisfazem a chamada equacao de ondaut t = c2 uxx.


Temos

vx = f ′(x+ c t), vxx = f ′′(x+ c t), vt = c f ′(x+ c t), vtt = c2 f ′′(x+ c t) .

Logovt t = c2 vxx.

A funcao w e tratada de modo analogo.

Observacao 8. O exemplos acima mostram que o Teorema 10 nao e de grande utilidadepara o calculo de derivadas, uma vez que podemos usar a regra da cadeia antiga (do curso deCalculo I). No entanto, veremos abaixo que ela e importante, pois permite concluir algumasrelacoes fundamentais para entendermos as funcoes de varias variaveis.

16.1 Exercıcios

1. Soponha que h(x, y, z) = xz+ y− e(−xyz+2)−h0 e a quantidade de um certo comodityque e produzida com as quantidades x, y, z de insumos por uma empresa. Assumaque h0 e o nıvel de producao tal que h(1, 2, 1) = 0.

• Encontre, se possıvel, as taxas de variacao do insumo z em relacao ao insumo xe em relacao ao insumo y no ponto Q0 = (1, 2).

• Encontre a taxa de variacao maxima do insumo z quando o se utiliza uma unidadedo insumo x e duas unidades do insumos y.

• Suponha que no nıvel producao h0 a quantidade do insumo y foi aumentadaem unidade e a quantidade do insumo x permaneceu constante. Para que onıvel de producao desta empresa seja mantido no valor h0, ha que se aumentar aquantidade do insumo z?

2. Seja h(x, y, z) = ex ·2z ·ey. Calcule todas as derivadas de segunda ordem de h e calculea Matriz Hessiana de h .

3. Seja h(x, y, z) = ln(5x+ 2y − 3z). Calcule todas as derivadas de segunda ordem de h.De um exemplo de pelo menos dois pontos em R3 sobre os quais a Matriz Hessiana deh nao pode ser simetrica.

4. Dada g(x, y) = y ln(f(x, y)

)+yx2, onde f tem as derivadas parciais de segunda ordem.

Se P0 = (0, 0), f(P0) = 4,∂f

∂x(P0) = 1 e

∂f

∂y(P0) = −1 e

∂2f

∂x2(P0) = 2;

∂2f

∂x∂y(P0) = −2;

de a Matriz Jacobiana de g em P0. Calcule∂2g

∂x2(x, y) e

∂2g

∂x2(P0).

5. Seja h(x, y) = ex ·ey ·z(x, y), onde z e uma funcao derivavel nas duas variaveis. Calculeas derivadas de primeira ordem de h.

(i) Suponha que∂z

∂x(−1, 1) = 2 e que

∂z

∂y(−1, 1) = −2. Calcule

∂h

∂x(−1, 1) e

∂h

∂y(−1, 1).

(ii Suponha que∂h

∂x(−1, 1) = 2 e que

∂h

∂y(−1, 1) = −2. Calcule

∂z

∂x(−1, 1) e

∂z

∂y(−1, 1).


6. Suponha que h(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)) onde u(x, y) = xex−y2 e v(x, y) = e−x2−y. Se∂g

∂u(1, 1) = −2 e

∂g

∂v(1, 1) = 4. Calcule J(h(1,−1)). Calcule a derivada direcional de h

em P0 = (1,−1) na direcao de u =1√2ı− 1√

2ȷ

(a) Soponha que h(x, y, z) = xz+ y− e(−xyz+3) − h0 e a quantidade de um certo co-modity que e produzida com as quantidades x, y, z de insumos por uma empresa.Assuma que h0 e o nıvel de producao tal que h(1, 3, 1) = 0.

• Encontre, se possıvel, as taxas de variacao do insumo z em relacao ao insumox e em relacao ao insumo y no ponto Q0 = (1, 3).

• Encontre a taxa de variacao maxima do insumo z quando o se utiliza umaunidade do insumo x e duas unidades do insumos y.

• Suponha que no nıvel producao h0 a quantidade do insumo y foi aumentadaem unidade e a quantidade do insumo x permaneceu constante. Para que onıvel de producao desta empresa seja mantido no valor h0, ha que se aumentara quantidade do insumo z?

7. Seja g(p, q, z) = ze2p+2eq−2qez. Considere os valores (p, q, z) ∈ R3 tais que g(p, q, z) =0. Tome P0 = (1, 2, 2). Mostre que a equacao g(p, q, z) = 0 pode ser resolvida de tal

modo que z seja funcao de (p, q) e calcule∂z

∂p(p, q) e

∂z

∂q(p, q). Calcule

∂z

∂u(1, 2) onde

u = −i− j.

8. Sejam f : Ωab⊂ R3 → R2 e h : U

ab⊂ R2 → R3 tais que Im(h) ⊂ Dm(f). Assuma que

todas as funcoes envolvidas seja derivaveis.

(a) Suponha que

H(x, y) = f(h(x, y)) = (f1(h1(x, y), h2(x, y), h3(x, y); f2(h1(x, y), h2(x, y), h3(x, y)).

Calcule a matriz jacobiana J(H(P0)), se P0 e Q0 forem tais que h(P0) = Q0

(b) Considere P0 e Q0 como no item anterior. Se

f((x, y)) = (f1(h1(x, y), h2(x, y), h3(x, y); f2(h1(x, y), h2(x, y), h3(x, y)) = (x, y),

suponha que∂f1(Q0)

∂h1= a,

∂f1(Q0)

∂h2= b,

∂f1(Q0)

∂h3= c,

∂h1(P0)

∂x= −1,

∂h1(P0)

∂y=

2,∂h2(P0)

∂x= 2,

∂h2(P0)

∂y= 1,

∂h3(P0)

∂x= 0,

∂h3(P0)

∂y= 0 e calcule a e b.

9. Suponha que h(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)) onde u(x, y) = y2ex−y2 e v(x, y) = xe−x2−y.

Se∂g

∂u(1, 1) = −2 e

∂g

∂v(1, 1) = 4. Calcule J(h(1,−1)). Calcule a derivada direcional

de h em P0 = (1,−1) na direcao de u =1√2ı− 1√

2ȷ

17 VETOR GRADIENTE 61

17 VETOR GRADIENTE

Definicao 20. Dada f : A ⊂ Rn → R, (n = 2 ou 3) funcao com derivadas parciais em A.O Vetor Gradiende de f em P ∈ A e dado por

→∇ f(P ) =

∂f

∂x(P )ı +

∂f

∂y(P )ȷ +

∂f

∂(P )k (17.32)

Exemplo 52. Seja f : A ⊂ R3 → R, dada por f(x, y, z) = 3xy + 7zx. Se P = (x, y, z)

Calcule→∇ f(P ).

Resolucao Como∂f

∂x(P ) = 3y + 7z,

∂f

∂y(P ) = 3x e

∂f

∂z(P ) = x, temos

→∇ f(P ) =

(3y + 7z)ı + 3xȷ + 7xk.

18 Relacoes entre gradiente e derivadas direcionais

A derivada direcional de f em P0 = (x0 , y0) na direcao do vetor unitario u = (α, β) foidefinida como g′(0), em que g e a funcao dada por g(t) = f(x0 + tα, y0 + tβ). Se f ediferenciavel em P0, aplicando a regra da cadeia, temos

g′(0) = fx(P0)α+ fy(P0) β = ∇ f(P0) · u

Com isto fica mostrado o seguinte resultado:

Teorema 11. Se f e diferenciavel em P0, entao existem todas as derivadas direcionais def em P0 e essas derivadas direcionais sao dadas por

∂f

∂u= ∇ f(P0) · u . (18.33)

O Teorema 11 tem algumas consequencias importantes. Em primeiro lugar, ele da umacondicao negativa sobre diferenciabilidade: se a igualdade (18.33) nao estiver verificada, afuncao f nao e diferenciavel em P0. Consideremos, por exemplo, a funcao

f(x, y) =

x2 y

x2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0)

e seja u = (α, β) um vetor unitario. E claro que fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0; portanto∇ f(P0)·u =0. Por outro lado, vimos no Exemplo 36 que a derivada direcional da funcao no ponto P0 eDu f(P0) = (1− β2) β = 0, para todo 0 < β < 1. Como,

∂f

∂u(P0) = ∇ f(P0) · u ,

segue-se que f nao e diferenciavel em (0, 0).

18 RELACOES ENTRE GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS 62

Figura 25: Intersecao

A igualdade (18.33) fornece algumas informacoes importantes sobre o crescimento dafuncao f a partir de P0. Como ∇ f(P0) ·u = ∥∇ f(P0)∥ ∥u∥ cos θ, em que θ e o angulo entreos vetores ∇ f(P0) e u, vemos que o maior valor da derivada direcional ocorre quando θ = 0,ou seja, quando o vetor u tem a direcao e o sentido de ∇ f(P0). Assim, o crescimento de fa partir do ponto P0 e maximo na direcao e sentido do vetor ∇ f(P0).

Exemplo 53. O potencial eletrico em um ponto (x, y) de uma placa e dado por V = ln(x2+y2)1/2. Encontrar a taxa de variacao no ponto P = (x, y) = (0, 0) : (a) em direcao a origem;(b) na direcao perpendicular a direcao a origem.

(a) Como a funcao V (x, y) = 12ln(x2 + y2) e diferenciavel em qualquer (x, y) = (0, 0),

para qualquer direcao u, vale a igualdade∂V

∂u= ∇V · u. Como

∇V =

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)e u =

(x

(x2 + y2)1/2,

y

(x2 + y2)1/2

),

temos

∂V

∂u=

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)·(

x

(x2 + y2)1/2,

y

(x2 + y2)1/2

)=

x2 + y2

(x2 + y2)3/2=

1

(x2 + y2)1/2

(b) Um vetor ortogonal a u e v =

(y

(x2 + y2)1/2,

−x(x2 + y2)1/2

). Logo,

∂V

∂v=

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)·(

y

(x2 + y2)1/2,

−x(x2 + y2)1/2

)= 0


18.1 Exercıcios

1. Considere a funcao z = f(x) =xy

x2 + y2. Mostre que f e Homogenea de grau zero.

Mostre que x∂z

∂x(x, y) + y

∂z

∂y(x, y) = 0 para todo (x, y) no domınio de f .

2. Dada z = f(−3x+ y2, x2 − y). Suponha que∂f(−2, 2)

∂u= 2 e

∂f(−2, 2)

∂v= 2 e que f

tem derivadas parciais contınuas.

(i) Calcule a taxa de variacao da funcao z em P0 = (1,−1), na direcao do vetoru = ı−

√3j.

(ii) Qual e a direcao tal que z tem crescimento maximo? Econtre o valor da taxa devariacao maxima da funcao z em P0 = (1,−1)

18.2 Gradiente e Curvas de Nıvel

Sejam z = f(x, y) uma funcao diferenciavel em P0 e γ a curva de nıvel de f contendo P0

(isto e, f(x, y) = c = f(P0), para todo (x, y) ∈ γ). Suponhamos que γ e definida pelafuncao vetorial r(t) = (g(t), h(t)), t ∈ I, com P0 = (g(t0), h(t0)) e que as funcoes g e h saoderivaveis. Entao a funcao F (t) = f(g(t), h(t)) e constante em I, o que implica que

F ′(t) = 0, ∀t ∈ I. (18.34)

Por outro lado, pela regra da cadeia, temos

F ′(t) = fx(P0) g′(t0) + fy(P0)h

′(t0) = ∇f(P0) · r′(t0). (18.35)

Comparando (18.34) e (18.35), temos que o vetor ∇f(P0) e ortogonal a r′(t0). Como o vetorr′(t0) e tangente a γ, temos que ∇f(P0) e um vetor ortogonal a curva de nıvel.

Exemplo 54. Obter a equacao da reta tangente a elıpse 2 x2 + y2 = 9 no ponto (2, 1).

A elıpse e a curva de nıvel f(x, y) = 9 da funcao f(x, y) = 2x2 + y2. Como o vetor∇f(2, 1) = (4, 2) e normal a elıpse, para qualquer ponto (x, y), os vetores (x − 2, y − 1) e(4, 2) sao ortogonais, portanto (x− 2, y− 1) · (4, 2) = 0, isto e, 4 (x− 2)+2 (y− 1) = 0. Logoa equacao geral da reta tangente e

4x+ 2 y = 10, ou 2 x+ y = 5 .

Exemplo 55. Mostrar que a reta tangente a uma elıpse em um dado ponto P forma angulosiguais com as retas que ligam P aos focos. Este resultado tem uma interpretacao fısica: umraio luminoso (ou uma onda sonora) que parte de um foco e reflete a elıpse atinge o outrofoco.


P

F1 F2

βα

Para simplificar a notacao, tomemos a elıpse com centro na origem e focos nos pontosF1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). Sejam α e β os angulos que os segmentos ligando P aos focosformam com a reta tangente e f1(x, y) e f2(x, y) as distancias de P = (x, y) aos focos. Temos

f1(x, y) = d(P, F1) =√(x+ c)2 + y2 e f2(x, y) = d(P, F2) =

√(x− c)2 + y2.

Como a elıpse e a curva de nıvel f1(x, y) + f2(x, y) = k (constante), o vetor ∇(f1 + f2) eortogonal a curva de nıvel. Assim, se T = T (P ) e o vetor unitario tangente a elıpse no pontoP , temos

∇(f1 + f2) · T = 0

donde∇ f2 · T = −∇ f1 · T

e portanto ∥∇ f2∥∥T∥ cosα = ∥∇ f1∥∥T∥ cos β. Como ∇f1, ∇f2 e T sao vetores unitarios,temos cosα = cos β, donde α = β.

18.3 Gradiente e Superfıcies de Nıvel

As ideas da secao anterior aplicam-se a superfıcies de nıvel. Seja S a superfıcie de nıvelda funcao w = f(x, y, z) contendo o ponto P0 (assim, f(x, y, z) = c = f(P0), ∀(x, y, z)).Seja γ uma curva contida em S, definida pela funcao vetorial r(t) = (φ(t), ψ(t), η(t)), t ∈ Ie consideremos a funcao F (t) = f(φ(t), ψ(t), η(t)). Como γ esta contida em S, temosF (t) = c, ∀t ∈ I, o que implica F ′(t) = 0, ∀t ∈ I. Por outro lado, usando a regra da cadeia,temos

F ′(t) = fx(P )φ′(t) + fy(P )ϕ

′(t) + fz(P ) η(t) = ∇f(P ) · r′(t).

Como acima, temos que ∇f(P ) e ortogonal aos vetores tangentes a qualquer curva contidaem S. Assim, ∇f(P ) e um vetor normal ao plano tangente a S.

Exemplo 56. Obter a equacao geral do plano tangente a superfıcie esferica S : x2+y2+z2 =9 no ponto P = (2, 1, 2).

19 DERIVACAO DE FUNCOES IMPLICITAS 65

A esfera e a superfıcie de nıvel f(x, y, z) = 9 da funcao f(x, y, z) = x2+y2+z2. Portanto,o vetor ∇f(P ) = (4, 2, 4) e um vetor normal. O plano tangente tem equacao

4x+ 2 y + 4 z = k .

Como P ∈ S, temos k = 20. Logo, o plano tangente tem equacao

2 x+ y + 2 z = 10 .

A reta normal tem equacoes parametricas

x = 2 + 2 ty = 1 + t t ∈ Rz = 2 + 2 t

19 Derivacao de Funcoes Implıcitas

Seja z = f(x, y) uma funcao de classe C1. Suponhamos que a equacoes

f(x, y) = 0 (19.36)

defina implicitamente y como uma funcoes de x, y = y(x), para todo x em um intervalo I.Queremos obter uma expressao para y′(x) sem ter de resolver a equacoes (19.36).Substituindo y = y(x) em (19.36), temos

f(x, y(x)) ≡ 0

Chamando u(x) = f(x, y(x)), segue-se que u(x) ≡ 0 em I, donde u′ ≡ 0. Por outro lado,usando a regra da cadeia, temos

u′(x) = fx(x, y(x)) + fy(x, y(x)) y′(x)

Combinando estes fatos temos

fx(x, y(x)) + fy(x, y(x))dy

dx= 0 . (19.37)

Em todo ponto (x, y) tal que fy(x, y) = 0, temos

dy

dx= −fx(x, y(x))

fy(x, y(x))(19.38)

Esta relacoes da a derivada de y(x) em termos das derivadas parciais de f . Na verdade, epossıvel demonstrar o seguinte resultado:

Dizemos que f e de classe Cn para n ∈ N se ela tiver n derivadas e todas estasderivadas forem contınuas


Teorema 12. Teorema das Funcoes Implıcitas Seja g : Uaberto⊂ R2 → R, funcao dada

por g(x, y) com uma derivada parcial contınua em P0 = (x0, y0). Suponha que∂g

∂y(P0) = 0.

Entao existem uma bola B(P0, δ) (bola de centro P0 e raio δ > 0) e uma funcao G : (x0 −δ, x0 + δ) → R tal que G e diferenciavel g(x,G(x)) = 0 e

dG

dx(x) = −gx(x,G(x))

gy(x,G(x)). (19.39)

para todo (x,G(x)) ∈ B(P0, δ).

Exemplo 57. Seja g : R2 → R dada por g(x, y) = x2 + y2 − 4. Tomemos P0 = (√2,√2).

Aplique o Teorema das Funcoes Implıcitas e encontre G : (x0 − δ, x0 + δ) → R tal que G ediferenciavel g(x,G(x)) = 0. Calcule G′(x).

Resolucao Note que g(√2,√2) = 0 e que

∂g(x, y)

∂y= 2y. Portanto,

∂g(P0)

∂y= 4

√2 = 0.

O Teorema das Funcoes Implıcitas garante que existe uma funcao G : (x0 − δ, x0 + δ) → Rdiferenciavel, os pontos (x,G(x)) ∈ B(P0, δ) (bola de centro P0 e raio δ > 0); sao tais queg(x,G(x)) = 0 e,

dG

dx(x) = −gx(x,G(x))

gy(x,G(x))= −x

y. (19.40)

Se utilizamos a expressao g(x, y) = 0 ou seja x2 + y2 − 4 = 0, e obervamos que a segundacoordenada do ponto P0 e positiva, veremos que y =

√4− x2. Substituindo em (19.40)

teremos

dG

dx(x) = −x

y= − x√

4− x2.

Exemplo 58. Supondo que a equacoes x3y2 + x2y3 = 2 defina y = y(x), com y(1) = 1calcular y′(1) e y′′(1).

Derivando x3 y2(x) + x2 y3(x) = 2 em relacoes a x, temos

3x2 y2 + 2x3 y y′ + 2x y3 + 3x2y2 y′ = 0, (19.41)

donde

y′(x) = −3x2y2 + 2xy3

3x2y2 + 2x3y= −3xy + 2y2

3xy + 2x2

Derivando (19.41) em relacoes a x, temos

y′′(x) = − 7 y y′ + 3 x (y′)2 + 7 x y′ + 3 y

3xy + 2x2


Assim, para x = 1, temos y′(1) = −1 e y′′(1) = 8/5. Isto permite escrever a formula deTaylor de y,

y(x) = 1− (x− 1) +8

5(x− 1)2 +R(x),

em que R(x)/(x− 1)3 → 0, quando x→ 1.

De modo analogo, podemos tratar funcoes implıcitas de mais variaveis independentes. Sea equacoes F (x, y, z) = 0 definir z como funcoes de x, y, z = z(x, y), entao, repetindo oprocedimento acima obtemos as derivadas parciais de z:

∂z

∂x= −Fx

Fz

∂z

∂y= −Fy

Fz

Exemplo 59. Supondo que a equacoes x y z = tg (x y z) defina z como uma funcao de x ey, (z = z(x, y)), calcular zx e zy.

Derivando a expressao x y z(x, y)− tg [x y z(x, y)] em relacao a x, temos

y z(x, y) + x y zx(x, y)− sec2 [x y z(x, y)] [y z(x, y) + x y zx(x, y)] = 0

donde

zx(x, y) = − y z − y z sec2 ( x y z )

x y − x y sec2 ( x y z )

Analogamente obtemos

zy(x, y) = − x z − x z sec2 ( x y z )

x y − x y sec2 (x y z )

Teorema 13. Sejam P0 = (x0, y0, z0) ∈ Uaberto⊂ R3, f : U → R, funcao dada por f(x, y, z)

com uma derivadas parciais contınuas em P0.

(i) Suponha que∂g

∂z(P0) = 0. Entao existem δ > 0, ϵ > 0, uma bola B((x0, y0), δ) ⊂ R2,

um intervalo aberto (z0 − ϵ; z0 + ϵ) e uma funcao z : B((x0, y0); δ) → R tal que z e derivavele

∂z

∂x(x, y, z(x, y)) = −

∂g

∂x(x, y, z(x, y))

∂g

∂z(x, y, z(x, y))

; e∂z

∂y(x, y, z(x, y)) = −

∂g

∂y(x, y, z(x, y))

∂g

∂z(x, y, z(x, y))

.

(19.42)

Exemplo 60. Supondo que a equacoes x y z = tg (x y z) defina z como uma funcao de x ey, (z = z(x, y)), calcular zx e zy.

Derivando a expressao x y z(x, y)− tg [x y z(x, y)] em relacao a x, temos

y z(x, y) + x y zx(x, y)− sec2 [x y z(x, y)] [y z(x, y) + x y zx(x, y)] = 0


donde

zx(x, y) = − y z − y z sec2 ( x y z )

x y − x y sec2 ( x y z )

Analogamente obtemos

zy(x, y) = − x z − x z sec2 (x y z )

x y − x y sec2 (x y z )

Exemplo 61. Seja f : R2 → R dada por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 6, onde p = (x, y, z).Tomemos P0 = (

√2,√2,√2), onde (x0, y0) = (

√2,√2) e z0 =

√2. Aplique o Teorema

das Funcoes Implıcitas e encontre z : B((x0, y0), δ) → (z0 − δ; z0 + δ) tal que z e derivavel

z(x, y, z(x, y)) = 0. Calcule∂z

∂x(x, y),

∂z

∂y(x, y).

Resolucao Note que f(√2,√2,√2) = 0 e que

∂f(x, y, z)

∂z= 2z. Portanto,

∂f(√2,√2,√2)

∂z=

2√2 = 0. O Teorema das Funcoes Implıcitas garante que existe uma funcao z : B((

√2,√2), δ) →

R derivavel nos pontos (x, y, z(x, y)) ∈ B((√2,√2), δ)) × (

√2 − ϵ;

√2 + ϵ) e sao tais que

f(x, y, z(x, y)) = 0 e,

∂z

∂x(x, y) = −fx(x, y,G(x, y))

fz(x, y,G(x, y))= − x

z(x, y). (19.43)

Analogamente,

∂z

∂y(x, y) = −fy(x, y,G(x, y))

gz(x, y, z(x, y))= − x

z(x, y). (19.44)

Observacao 9. A equacao f(x, y, z) = 0 no Exemplo 61 tambem pode ser resolvida al-gebricamente e z(x, y) =

√6− x2 − y2 para (x, y) proximo de (

√2,√2). Portanto, ve-se

facilmente que as derivadas envolvidas em (19.43) e (19.44) sao dadas por

∂z

∂x(x, y) = − x√

6− x2 − y2e

∂z

∂y(x, y) = − x√

6− x2 − y2.

EXERCICIOS

1. (Simon, C. e Lawrence Brume Matem. para Economistas pp 350 ) Considre a equacaoG(x, y) = x2 − 3xy+ y3 − 7 = 0, P0 = (4, 3). Mostre que se P = (x, y) estiver proximode P0 pode-se resolver a equacao G(x, y) = 0 com uma funcao y(x) derivavel.

(i) Calculedy

dx(x) e

d2y

dx2(x). Resp y′(x) = − 2x− 3y

3y2 − 3x.

(ii) Se x0 = 4 calcule y′(4). Resp y′(4) =1

15.

20 TEOREMA DE SCHWARZ 69

2. (Simon, C. e Lawrence Brume Matem. para Economistas pp 350 ) Considre a equacaoG(x, y) = x2 − 3xy+ y3 − 7 = 0, P0 = (4, 3). Mostre que se P = (x, y) estiver proximode P0 pode-se resolver a equacao G(x, y) = 0 com uma funcao x(y) derivavel.

(iii) Calculedx

dy(y) e

d2x

dy2(y). Resp x′(y) = −3y2 − 3x

2x− 3y.

(iv) Se x0 = 4 calcule x′(3). Resp x′(3) = 15.

3. Considere f(x, y) = x23y

43 − 3x− 4y. Veja que algebricamente nao ha como expressar

x como funcao de de y e nem expressar y como funcao de de x

(i) Tome o ponto Q0 = (1; 2). Use o Teorema 12 e mostre que se pode expressar y como

funcao de de x para (x, y) proximo de Q0 = (1; 2). Calculedy

dx= y′(x) e

d2y

dx2= y′′(x).

(ii) Tome o ponto Q0 = (1; 2). Use o Teorema 12 e mostre que se pode expressar

x como funcao de de y para (x, y) proximo de Q0 = (1; 2). Calculedx

dy= x′(y) e

d2x

dy2= x′′(y).

4. Considere f(x, y, z) = x13y

36 z

16 − 3x− 4y − 2z. Veja que algebricamente nao ha como

expressar x como funcao de de (y, z), nem expressar y como funcao de de (x, z) e nemexpressar z como funcao de de (x, y).

(i) Tome o ponto Q0 = (1; 2; 1). Use o Teorema 13 e mostre que se pode expressar z

como funcao de de (x, y) para (x, y, z) proximo de Q0 = (1; 2; 1). Calcule∂z

∂x(x, y) e

∂z

∂y(x, y) .

(ii) Tome o ponto Q0 = (1; 2; 1). Use o Teorema 13 e mostre que se pode expressar y

como funcao de de (x, z) para (x, y, z) proximo de Q0 = (1; 2; 1). Calcule∂y

∂x(x, z) e

∂y

∂z(x, z) .

(ii) Tome o ponto Q0 = (1; 2; 1). Use o Teorema 13 e mostre que se pode expressar x

como funcao de de (y, z) para (x, y, z) proximo de Q0 = (1; 2; 1). Calcule∂x

∂y(x, z) e

∂x

∂z(x, z) .

20 Teorema de Schwarz

Teorema 14. Seja f : Uaberto⊂ R2 → R com duas derivadas parciais. Considere as funcoes

∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y∂x: U → R. Dado P ∈ U , teremos

∂2f

∂x∂y(P ) =

∂2f

∂y∂x(P ) se e somente se elas

forem contınuas em P .

Note que se o Teorema de Schwarz valer para todos os pontos P em U , a MatrizHessiana de f sera uma matriz simetrica para todos os pontos P em U .

21 EXTREMOS DE FUNCAO 70

Teorema 15. Seja f : Uaberto⊂ R3 → R com duas derivadas parciais. Considere as funcoes

∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y∂x;∂2f

∂x∂z,∂2f

∂z∂xe∂2f

∂z∂y,∂2f

∂y∂z: U → R. Dado P ∈ U , teremos

(i)∂2f

∂x∂y(P ) =

∂2f

∂y∂x(P ) se e somente se as duas funcoes forem contınuas em P .

(ii)∂2f

∂x∂z(P ) =

∂2f

∂z∂x(P ) se e somente se as duas funcoes forem contınuas em P .

(ii)∂2f

∂y∂z(P ) =

∂2f

∂y∂z(P ) se e somente se as duas funcoes forem contınuas em P .

Observacao 10. O Teorema 15 da condicoes para que a matriz Hessiana seja simetrica(ver (14.25)).

Exemplo 62. Seja f : A ⊂ R3 → R dada por f(x, y, z) = x2y3 + x2z2.

Resolucao Para cada P = (x, y, z) vemos que as derivadas parciais mistas de segundaordem de f sao polinomios e portanto contınuas, pelo Teorema de Schwarz 15 a MatrizHessiana de f em P , calculada a seguir e simetrica.

H(f(P )) =

∂2f

∂x2(P )

∂2f

∂y∂x(P )

∂2f

∂z∂x(P )

∂2f

∂x∂y(P )

∂2f

∂y2(P )

∂2f

∂z∂y(P )

∂2f

∂x∂z(P )

∂2f

∂y∂z(P )

∂2f

∂z2(P )

=

2y3 + 2z2 6xy2 4xz

6xy2 6x2y 04xz 0 2x2

.

21 Extremos de Funcao

Definicao 21. Sejam f : Uab⊂ R2 → R, Q0 ∈ U e P0 ∈ U

a) Q0 sera um Ponto de Maximo Global de f se f(Q) ≤ f(Q0) para tdo Q ∈ U.

b) P0 sera um Ponto de Mınimo Global de f se f(Q) ≥ f(Q0) para tdo Q ∈ U.

Observe na figura abaixo que ha pontos de mınimos que nao sao pontos de mınimo global.


Figura 26:

21.1 Extremo Relativo

Definicao 22. Sejam f : Uab⊂ R2 → R, Q0 ∈ U e P0 ∈ U

(i) Q0 sera um Ponto de Maximo Relativo (Local ) de f se existir ϵ > 0 e uma bolaaberta com centro em Q0 e raio ϵ, que denotamos por B(Q0; ϵ), tal que, se Q ∈ B(Q0, ϵ)entao f(Q) ≤ f(Q0).

(ii) P0 sera um Ponto de Mınimo Relativo (Local ) de f se existir δ > 0 e uma bolaaberta de centro P0 e raio δ > 0 que denotamos por B(P0; δ), tal que se P ∈ B(P0; δ) entaof(P ) ≥ f(P0).

Nesta figura 25 temos o grafico de uma funcao f e no caso (a) temos P0 = (a, b) umponto de maximo relativo de f e no caso (a) temos P0 = (a, b) um ponto de mınimo relativode f .

Figura 27: Extremos


Exemplo 63. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = 1− x2 − y2. Note que Q0 = (0; 0) e umponto de Maximo local de f .

x

z

yQ0

f(Q0)

6

-

Para ver que Q0 e um ponto de maximo local de f , basta tomar ϵ = 1 e a Bola de centroQ0 e raio um, B = B((0, 0); 1), e observar que se Q = (x; y) ∈ B entao f(Q) = 1− x2 − y2.Mas x2 + y2 ≥ 0 para todo (x; y) ∈ B, entao 1 − x2 − y2 ≤ 1 . Como 1 = f(0, 0) ≥1 − x2 − y2 = f(x, y) = f(Q), vemos que f(Q) ≤ f(Q0) para todo (x; y) ∈ B, portanto,aparte (i) da Definicao 22 nos faz seguros que Q0 = (0; 0) e um ponto de Maximo local de f .

Exemplo 64. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 + y2. Note que P0 = (0; 0) e umponto de Mınimo local de f .

Para ver que esta afirmacao e verdadeira basta tomar δ = 1 e a Bola de centro P0 e raioum, B = B((0, 0); 1), e observar que se P = (x; y) ∈ B entao f(P ) = x2+y2. Mas x2+y2 ≥ 0para todo (x; y) ∈ B. Como 0 = f(0, 0) ≤ x2 + y2 = f(x, y) = f(P ), vemos que a parte iida Definicao 22 esta satisfeita. Portanto, P0 = (0; 0) e um ponto de Mınimo local de f .

Figura 28: f(x, y) = x2 + y2


21.2 Lembrete Plano Tangente

Dada f : Aab⊂ R2 → R uma funcao com derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto

de A. Se P0 = (x0; y0) for um ponto fixado em A, o plano tangente ao G(f) no ponto(P0; f(P0)) = (P0; z0) e dado pela seguinte equacao

πt : z − z0 −∂f

∂x(P0)[x− x0]−

∂f

∂y(P0)[y − y0] = 0

ou ainda

πt : z − f(P0)−∂f

∂x(P0)[x− x0]−

∂f

∂y(P0)[y − y0] = 0

ja que z = f(P0); ou ainda

z = z(x, y) = f(P0) +∂f

∂x(P0)[x− x0] +

∂f

∂y(P0)[y − y0] (21.45)

Figura 29: f(x, y) = x2 + y2

Exemplo 65. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = 1 − x2 − y2. De as equacao doplano tangente ao G(f) no ponto (Q0, f(Q0)) = ((1; 1), f(1, 1)) e no ponto (P0, f(P0)) =((0, 0); f(0, 0)).

Resolucao : Note que f(Q0) = f(1, 1) = −1; entao z0 = −1. Ainda,∂f

∂x(x, y) = −2x

e∂f

∂y(x, y) = −2y, portanto,

∂f

∂x(1, 1) = −2 e

∂f

∂y(1, 1) = −2.

(i) A equacao do plano tangente ao G(f) no ponto (Q0, f(Q0)) sera dado por

πt : z + 1 + [x− 1] + [y − 1] = 0, ou seja πt : z + x+ y − 1 = 0.

(ii) Para o ponto P0 = (0; 0) teremos∂f

∂x(0, 0) = 0 e

∂f

∂y(0, 0) = 0. Agora a equacao do

plano tangente ao G(f) no ponto (P0, f(P0)) sera dado por

πt : z + 1 = 0.


Figura 30: f(x, y) = 1− x2 − y2

x

z

yP0

(P0; f(P0))

6

-

• Veja no Exemplo 65 que o plano tangente aoG(f) no ponto (P0, f(P0)) = ((0, 0); f(0, 0))e paralelo ao plano z = 0 (Plano do Chao) o plano que contem as retas Ox e Oy, veja nafigura abaixo.

• Observe que a Equacao 21.45 pode ser escrita na forma matricial fazendo uso da MatrizJacobiana, ou seja

z = z(x, y) = f(P0) +[∂f∂x

(P0)∂f

∂y(P0)

]1×2

·[x− x0y − y0

]2×1

(21.46)

21.3 Ponto Crıtico

Definicao 23. Dada f : Uab⊂ Rn → R (n = 2, 3) e um ponto P0 ∈ U. P0 e ponto crıtico de

f em U se a matriz jacobiana de Jf(P0)) for a matriz nula (ver Definicao 15 e 16)

Veja na figura ao lado que a matriz Jacobiana de f e dada por Jf(P ) = [2(x− a) 2(y− b)].Se P0 = (a, b), Jf(P0) e a matriz nula. Segue da definicao 23 P0 e ponto crıtico de f .


Figura 31: f(x, y) = x2 + y2 − 2ax− 2by + 2

Dada f : Uab⊂ Rn → R, (n ∈ 2, 3) funcao com duas derivadas contınuas em P0 ∈ U .

Entao existe uma outra funcao RP0(h) com duas devivadas contınuas. Entao

f(P0 + h) = f(P0) + Jf(P0)(h) + hHf(P0)h+RP0(h), (21.47)

onde limh→0

RP0(h)

∥h∥2= 0. Ainda Jf(P0) e Hf(P0) sao as Matrizes Jacobiana e Hessiana de f

em P0 respectivamente, h = (h, k) ou h = (h, k, l) se n = 2 e 0 = (0, 0) ou 0 = (0, 0, 0) sen = 3.

Em coordenadas de R2 a expresssao (21.47) tem a forma

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +[∂xf(P0) ∂yf(P0)

] [ hk

]+1

2

[h k

] [ ∂xxf(P0) ∂xyf(P0)∂yxf(P0) ∂yyf(P0)

] [hk

]+RP0(h, k)

Exemplo 66. Calculemos a aproximacao de Taylor de ordem dois para funcao de Cobb-Douglas F (x, y) = x

14y

34 no ponto (1, 1) (x e y sao as quantidades de insumos). Ou seja

f(1 + h, 1 + k) =

f(1, 1) +[

14

34

] [ hk

]+

1

2[ h k ]

− 3

16

3

16

3

16− 3

16

[hk

]+RP0(h, k)

Veja que h e k representam um incremento nas respectivas quantidades de insumos.

21.4 Classificacao de Extremos de Funcao

Teorema 16. Seja f : Uaberto⊂ R2 → R com suas derivadas parciais de segunda ordem

contınuas. Se P0 ∈ U for um ponto crıtico de f e H(f(P0)) for a Matriz Hessiana de f


em P0, entao

(i) P0 sera um Ponto de Maximo Relativo de f se H(f(P0)) for negativa definida.

(ii) P0 sera um Ponto de Mınimo Relativo de f se H(f(P0)) for positiva definida.

(iii) Se detH(f(P0)) < 0 entao P0 nao e Ponto de Maximo nem Mınimo Relativo de f( P0 e ponto de Sela).

(iv) Se detH(f(P0)) = 0 entao P0 nada acima pode ser afirmado.

Exemplo 67. Considere o Polinomio de grau 2 dada por p(x, y) = x2 + y2. Calcule ospontos crıticos de f e Classifique-os em Maximos ou Mınimos locais.

Resolucao Veja que a Matriz Jacobiana de f e dada por

J(f(x, y)) = [2x 2y]

J(f(x, y)) sera a Matriz Nula somente se x0 = 0 e y0 = 0. Entao o unico ponto crıtico de fsera P0 = (0, 0). Calculo da Matriz Hessiana de f . Note que

H(f(x, y)) =

(2 00 2

)e uma matriz constante. Portanto, H(f(x, y)) = H(f(0, 0)). Veja que D1(H(f(0, 0))) =2 > 0 e D2(H(f(0, 0))) = det(H(f(0, 0))) = 4 > 0. Isto nos diz que H(f(0, 0)) e posisitadefinida. O Teorema 16ii nos assegura que P0 = (0, 0) e ponto de Mınimo Local de f .

Exemplo 68. Considere o Polinomio de grau 2 dada por p(x, y) = x2 − y2. Calcule ospontos crıticos de f e Classifique-os em Maximos ou Mınimos locais.

Resolucao Veja que a Matriz Jacobiana de f e dada por

J(f(x, y)) = [2x − 2y]

J(f(x, y)) sera a Matriz Nula somente se x0 = 0 e y0 = 0. Entao o unico ponto crıtico de fsera P0 = (0, 0). Calculo da Matriz Hessiana de f . Note que

H(f(x, y)) =

(2 00 −2

)e uma matriz constante. Portanto, H(f(x, y)) = H(f(0, 0)). Veja que D1(H(f(0, 0))) = 2 >0 e det(H(f(0, 0))) = −4 < 0. O Teorema 16iii nos assegura que P0 = (0, 0) e ponto selade f .

Teorema 17. Seja f : Uaberto⊂ R3 → R com suas derivadas parciais de segunda ordem

contınuas. Se P0 ∈ U for um ponto crıtico de f e H(f(P0)) for a Matriz Hessiana de fem P0, entao

(i) P0 sera um Ponto de Maximo Relativo de f se H(f(P0)) for negativa definida.

(ii) P0 sera um Ponto de Mınimo Relativo de f se H(f(P0)) for positiva definida.


Exemplo 69. Seja f(x, y, z) = x3 − xy − z2 + 2z + 2y − 1

2y2. Calcule os pontos crıticos de

f e classifique-os em pontos de Maximos ou Mınimos Locais de f .


∂x(x, y, z) = 3x2 − y,

∂f

∂y(x, y, z) = 2 − x − y e

∂f

∂z(x, y, z) =

−2z + 2. Portanto, ha dois pontos crıticos de f e P0 = (2

3,4

3, 1) e P1 = (−1, 3, 1). Ainda

H(f(x, y, z)) e a matriz dada por

H(f(x, y, z))

6x −1 0

−1 −1 00 0 −2

.Entao

H(f(2

3,4

3, 1)) =

4 −1 0

−1 −1 00 0 −2

e H(f((−1, 3, 1))) =

−6 −1 0

−1 −1 00 0 −2

.• Veja queD1(H(f((

2

3,4

3, 1)))) = 4 > 0,D2(H(f((

2

3,4

3, 1)))) = −5 < 0. Entao,H(f((

2

3,4

3, 1)))

e indefinida e o Teorema 17 nao e suficiente para afirmarmos que P0 = (2

3,4

3, 1)) e ponto de

mınimo ou maximo local de f .• Veja queD1(H(f((−1, 3, 1)))) = −6 < 0,D2(H(f((−1, 3, 1)))) = 5 > 0 eD2(H(f((−1, 3, 1)))) =det[H(f((−1, 3, 1)))] = −10 < 0. Portanto, a matriz H(f(−1, 3, 1)) e negativa definida e oTeorema 17i nos faz seguros de que P1 = (−1, 3, 1)) e ponto de maximo local de f .

21.5 Exercıcios

1. Mostre que∂2u

∂x2(x, y) +

∂2v

∂y2(x, y) = 0 se

a: u(x, y) = ln(x2 + y2), b: u(x, y) = ex sin x+ ey cos x

2. Verifique se∂2u

∂x2(x, y, z) +

∂2v

∂y2(x, y, z) +

∂2u

∂z2(x, y, z) = 0, quando

A: u(x, y, z) =zx2

y− y

zx2; B: u(x, y, z) = ex sinx+ ey cos x+ e−z

C : u(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 D: u(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)

3. Determine os pontos crıticos de f e clasifique-os em pontos de maximos de mınimosrelativos, quando possıvel.

a: f(x, y) = 1 − 8xy + 2x4 + 2y4. Resp. P0 = (0, 0) Sela; P1 = (−1,−1) Max. Rel.;P2 = (1, 1) Max. Rel..

22 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 78

b: f(x, y) = 2− x2 − 3y2 + 2xy + 8x. Resp. P0 = (6, 2) Max. Rel.

c : f(x, y) = −2 + 2x2 + y2 − xy2. Resp. P0 = (0, 0), Min Rel. P1 = (1, 2); Sela;P2 = (1,−2); Sela

d : f(x, y) = 2+x2y+ 13y3−4x−5y. Resp. P0 = (−1,−2) Max. Rel.; P1 = (−2,−1)

Sela; P2 = (2, 1) Sela; P3 = (1, 2) Mim. Rel..

e: f(x, y) = xy2 − 3y2 +3xy+2x− 4y+1. f: f(x, y) = 1− x2 − y3 +6xy− 5x− 9y

4. Determine os pontos crıticos de f e clasifique-os em pontos de maximos de mınimosrelativos, quando possıvel.

a: f(x, y, z) = x3 − y2 − zx+ 2y + 2z − 1

2z2,

b: f(x, y, z) = −x2 − y2 − 1

2z2 − 2x+ y − z.

5. Seja f(x, y, z) = αx2 − α−1yα − y − 2αxz − 2z + (α− 32)z2.

(i) Encontre os pontos crıticos de f . Resp. P0 = (−23; 1 ;−2

3).

(ii) De o conjunto de todos os valores α ∈ R para f tenha um ponto de Maximo Local.Resp. α < 0.

6. Seja f(x, y, z) = αx2 − α−1yα − y − 2αxz − 2z + (α + 32)z2.

(i) Encontre os pontos crıticos de f . Resp. P0 = (23; 1 ; 2

3).

(ii) De o conjunto de todos os valores α ∈ R para f tenha um ponto de Mınimo Local.Resp. α > 1.

22 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

Lembrete Como sabemos, se s0 for um ponto crıtito de uma funcao duas vezes derivavelα : I ⊂ R → R. Se α′′(s0) > 0, entao s0 e ponto de mınimo local de α e, se α′′(s0) < 0,entao s0 e ponto de maximo local de α.

Considere os problemas de Extremizacao

maxf(x, y) sujeito a g(x, y) = 0. (22.48)

minf(x, y) sujeito a g(x, y) = 0. (22.49)

Teorema 18. Suponha que f, g : Uaberto⊂ R2 → R em (22.48) ou em (22.49) sejam funcoes

com uma derivada parcial contınua em P ∗ = (x∗, y∗). Suponha ainda quei) (x∗, y∗) resolve (22.48) ou (22.49)

ii ) g(x, y) satisfaz∂g

∂y(P ∗) = 0.

Entao existe λ∗ ∈ R tal que vetores→∇ f(P ∗) = λ∗

→∇ g(P ∗).


Prova If (x∗, y∗) resolve (22.48), entao pelo Teorema das Funcao Implıcitas existemuma bola B(P0, δ) (bola de centro P0 e raio δ > 0) e uma funcao G : (x0− δ, x0+ δ) → R talque G e diferenciavel g(x,G(x)) = 0 e para todo (x,G(x)) ∈ B(P0, δ) e o problema (22.48)torna-se

maxf(x,G(x)). (22.50)

Defina α : (x∗ − δ, x∗ + δ) → R dada por α(x) = f(x,G(x)). A primeira derivada de α edada por

α′(x) = fx(x,G(x)) + fy(x,G(x)) ·G′(x) com G′(x) = −gx(x, y(x))gy(x, y(x))

. (22.51)

Como (x∗, y∗) resolve (22.48), x∗ e ponto crıtico de α. Usando a regra da cadeia em (22.50)e derivando com relacao x, teremos

fx(x∗, G(x∗)) + fy(x

∗, G(x∗)) ·G′(x∗) = 0, (22.52)

Segue segunda igualdade em (22.51) que

fx(x∗, G(x∗))− fy(x

∗, G(x∗)) · gx(x∗, G(x∗))

gy(x∗, G(x∗))= 0, (22.53)

ou equivalentemente

fx(x∗, G(x∗))

fyx∗, G(x∗))=gx(x

∗, G(x∗))

gy(x∗, G(x∗)). (22.54)

Portanto, se (x∗, y∗) resolve (22.48) entao (22.54) deve estar satisfeita. A condicao (22.54)nos diz que existe λ∗ ∈ R nao nulo tal que

fx(x∗, G(x∗))− λ∗gx(x

∗, G(x∗)) = 0 e que fy(x∗, G(x∗))− λ∗gy(x

∗, G(x∗)) = 0. (22.55)

Mas, (22.55) diz que os vetores ∇f(x∗, G(x∗)) e ∇g(x∗, y∗) sao paralelos. Portanto, se umponto (x∗, y∗) for solucao de (22.48), a condicao (22.55) deve estar satisfeita, isto e, os vetoresgradiente de f e de g calculados no ponto (x∗, y∗) devem ser paralelos.

22.1 Funcao Lagrangeana

• A condicao (22.55) pode ser encontrada considerando a funcao

L(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y). (22.56)

Note que se (x0, y0, λ0) for um ponto crıtico de L entao f e g calculadas sobre o ponto (x0, y0)satisfazem a condicao (22.55). Portanto, os candidatos a solucao de (22.48) sao os pontoscrıticos de L ou as solucoes de (22.55).


Exemplo 70. Considere o problemas de Maximizacao e Minimizacao

maxf(x, y) = xy sujeito a g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0. (22.57)

minf(x, y) = xy sujeito a g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0. (22.58)

Resolucao Os pontos (x∗, y∗) que resolvem os problemas (22.57) e (22.58) originam dospontos (x∗, y∗, λ∗) que sao pontos crıticos da funcao de LAGRANGE dada por

L(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y) ou seja L(x, y, λ) = xy − λ(x2 + y2 − 4).

Os pontos crıtico de L devem satistazer o sistema de equacoesy = 2λxx = 2λyx2 + y2 − 4 = 0.

(22.59)

As solucoes admissıveis de (22.59) saopara λ0 =

1

2, temos P0 = (

√2,√2) e P1 = (−

√2,−

√2);

para λ1 = −1

2, temos P2 = (−

√2,√2) e P3 = (

√2,−

√2).

(22.60)

Os pontos Pi para i = 0, 1, 2, 3, sao os candidatos a solucao de (22.57) e (22.58). Mascomo saber classificar estes pontos em Maximos ou Mınimos Locais para podermos nosdecidir quem e solucao de (22.57) ou (22.58). A resposta a esta questao depende de que asfuncoes envolvidas no problema( f e g ) tenham mais que uma derivada em cada um dospontos Pi para i = 0, 1, 2, 3 e que satisfacam as tais condicoes de segunda ordem, tambemconhecidas em meio aos Economistas como Condicoes Sobre o Hessiano Horlado daLagrangeana L. Veja que a demonstracao apresentada depende da aplicacao do Teoremadas Funcoes Implıcitas e de algebra bastante simples.

22.2 CONDICAO DE SEGUNDA ORDEM

Teorema 19. Suponha que Uaberto⊂ R2, P ∗ = (x∗, y∗) ∈ U, f, g : U → R em (22.48) sejam

funcoes onde f derivada parciais de segunda ordem contınuas em P ∗ = (x∗, y∗) e g temderivada parciais de primeira contınuas em P ∗. Considere os problemas (22.48) e (22.49).Suponha ainda que

1)∂g

∂y(P ∗) = 0.

2) (x∗, y∗) resolve pelo menos um dos problemas (22.48) e (22.49).Entaoa) existe λ∗ ∈ R nao nulo, tal que (x∗, y∗, λ∗) e ponto crıtico da Funcao Lagrangeana dadapor L(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y).b) (x∗, y∗) resolve (22.48) se det(H(L(P ∗, λ∗) for positivo.


c) (x∗, y∗) resolve (22.49) se det(H(L(P ∗, λ∗) for negativo, onde

H(L(P ∗, λ∗) =

Lxx(P∗, λ∗) Lxy(P

∗, λ∗) −gx(P ∗, λ∗)Lyx(P

∗, λ∗) Lyy(P∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗)

−gx(P ∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗) 0

. (22.61)

Prova Veja que a primeira derivada de α ja foi calculada em (22.51). Como (x∗, y∗)resolve (22.48) ou (22.49), e facil ver que x∗ e ponto crıtico de α (ver (22.52)). Segue dashipoteses e de (22.51) que,

gy(P )G′′(x) = −[gxx(P ) + gxy(P )G

′(x)]−G′(x)[gyx(P ) + gyy(P )G′(x)]

Entao, ao calcularmos a expressao acima no ponto P ∗ = (x∗, G(x∗)), teremos−G′(x∗)gy(P∗) =

gx(P∗) e fy(P

∗) = λ∗gy(P∗). Entao fy(P )G

′′(x) = λ∗gy(P )G′′(x) e assim,

(A) fy(P ∗)G′′(x∗) = λ∗−gxx(P ∗)[gy(P∗)]2 + 2gxy(P

∗)gx(P∗)gy(P

∗)− gyy(P∗)[gx(P

∗)]2[gy(P ∗)]−2.

Calculando a segunda derivada de α tem-se (ver (22.51)), teremos

α′′(x) = fxx(P ) + 2fyx(P )G′(x) + fyy(P )(G

′(x))2 + fy(P )G′′(x). (22.62)

Usando −G′(x∗)gy(P∗) = gx(P

∗) teremos.

(B)fxx(P ) + 2fyx(P )G

′(x) + fyy(P )(G′(x))2 =

fxx(P ∗)[gy(P∗)]2 + 2fxy(P

∗)fx(P∗)fy(P

∗) + fyy(P∗)[fx(P

∗)]2[gy(P ∗)]−2.

Usando (A) e (B) em (22.62) teremos

[gy(P∗)]2α′′(x) =

(fxx − λ∗gxx)(P∗)gy(P

∗)2+ 2(fyx − λ∗gxy)(P

∗)fx(P∗)fy(P

∗) + (fyy − λ∗gyy)(P∗)[gy(P

∗)]2 =

Lxx(P∗)[gy(P

∗)]2 − 2Lxy(P∗)fx(P

∗)fy(P∗) + Lyy(P

∗)[gx(P∗)]2 = −Det(H(L(P ∗, λ∗)).

Note que x∗ sera ponto de maximmo local de α se α′′(x∗) < 0. Portanto, (x∗, y∗) serasolucao de (22.48) se det(H(L(P ∗, λ∗)) > 0. Ainda, podemos ver que x∗ sera ponto demınimo local de α se α′′(x∗) > 0. Assim, podemos concluir que (x∗, y∗) sera solucao de(22.49) se det(H(L(P ∗)) < 0.

Exemplo 71. Considere o problemas de Maximizacao e Minimizacao

maxf(x, y) = xy sujeito a g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0.

minf(x, y) = xy sujeito a g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0.


Resolucao Os pontos crıticos da funcao de LAGRANGE ja foram calculados em noExemplo 22.48, ver (22.60).

H(L(P ∗, λ∗) =

Lxx(P∗, λ∗) Lxy(P

∗, λ∗) −gx(P ∗, λ∗)Lyx(P

∗, λ∗) Lyy(P∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗)

−gx(P ∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗) 0

.

=

−2λ∗ 1 −2x∗

1 −2λ∗ −2y∗

−2x∗ −y∗ 0

• Se λ∗ =

1

2e P0 = (

√2,√2), teremos

H(L(√2,√2,−1

2) =

−1 1 −2√2

1 −1 −2√2

−2√2 −2

√2 0

podemos ver que det(H(L(P ∗)) = 32. A Condicao de Segunda Ordem dada no Teorema19, nos diz que (x∗, y∗) = (

√2,√2) e ponto de maximo local da funcao f . Logo,

(x∗, y∗) = (√2,√2) e solucao do Problema 22.57.

• Para o caso λ∗ = −1

2e P2 = (−

√2,√2), teremos

H(L(−√2,√2,−1

2) =

1 1 2√2

1 1 −2√2

2√2 −2

√2 0

podemos ver que det(H(L(P ∗)) = −32. A Condicao de Segunda Ordem dada noTeorema 19, nos diz que (x∗, y∗) = (−

√2,√2) e ponto de mınimo local da funcao

f . Logo, (x∗, y∗) = (−√2,√2) e solucao do Problema 22.58. O leitor deve aplicar o

Teorema 19 para classificar os pontos P1 e P3 em (22.60) como pontos de maximo oumınimos locias.

Observacao 11. A funcao Lagrangeana em (22.56) poderia ser dada por

L(λ, x, y) = f(x, y)− λg(x, y). (22.63)

Neste caso, o Hessiano Horlado para esta forma da funcao Lagrangeana e dado por

H(L(λ∗, P ∗) =

0 −gx(λ∗, P ∗) −gy(λ∗, P ∗)−gx(λ∗, P ∗) Lxx(λ

∗, P ∗) Lxy(λ∗, P ∗)

−gy(λ∗, P ∗) Lyx(λ∗, P ∗) Lyy(λ

∗, P ∗)

. (22.64)

A aplicacao do Teorema 19 nao se altera, uma vez que, as matrizes Hessianas H(L(λ∗, P ∗)dadas em (22.64) e de H(L(λ∗, P ∗) em (22.76) tem o mesmo determinante.


Exemplo 72. De as dimensoes do cilindro reto de maior volume que pode inscrito em umaesfera de raio fixado igual 3.

Resolucao Suponha que cada cilindro a ser isncrito na esfera tem raio r e altura h,entao volume do cilindro e dado pela relacao V = πr2h. Note que todos os cilindro que seraoinscritos na esfera tem o mesmo diametro que e duas vezes o raio da esfera ou seja 6. Seguedo Teroema de Pitagoras que para qualquer dos cilindros que devemos considerar, se r foro raio de sua base e h for sua ahtura, 4r2 + h2 = 36. As dimensoes do cilindro desejado esulocao para o problema

maxπr2h sujeito a 4r2 + h2 − 36 = 0 .Neste caso podemos aplicar o metodo de Lagrange. A funcao Lagrangeana e dada por

L(λ, r, h) = πr2h− λ(r2 + h2 − 36.

L(λ, r, h) = πr2h− λ(4r2 + h2 − 36). (22.65)

Entao se P = (λ, r, h), teremos

∂L∂λ

(P ) = −(4r2 + h2 − 36);∂L∂r

(P ) = 2πrh− 8λr;∂L∂h

(P ) = πr2 − λh.

Assim, os pontos crıticos de L devem satisfazer o seguinte sistema de equacoes

4r2 + h2 − 36 = 02r(πh− 4λ) = 0πr2 − λh = 0

da segunda equacao temos 4λ = πh, substitua λ na terceiraequacao e veja que, 2r = h, entao substituindo o valor de r

na primeira equacao , teremos h∗ = 3√22

e r∗ = 3√2.

Portanto, (λ∗, P ∗) = (λ∗, r∗, h∗) = (3π√28, 3√2, 3

√22) e ponto crıtico da funcao lagrangeana

L e nosso candidato a solucao do problema (22.65) e P ∗ = (r∗, h∗) = (3√2, 3

√22). Vamos

confirmar nossa espectativas aplicando o Teste da segunda derivada. O Hessiano Horlado deHL(P ∗) e dadao por

H(L(λ∗, P ∗) =

0 −2r∗ −2h∗

−2r∗ 2(πh∗ − λ∗) 2πr∗

−2h∗ 2πr∗ −2λ∗

=

0 −6√2 −3

√2

−6√2 9π

√24

12π√2

−3√2 12π

√2 −3π

√24

. (22.66)

Portanto, vemos que det(H(L(λ∗, P ∗)) e um numero positivo. Segue do Teorema 19 que

P ∗ = (r∗, h∗) = (3√2, 3

√22) resolve o problema (22.65).

De acordo com a nossa construcao do problema vemos que as dimensoes do cilindroinscrito na esfera que procuravamos sao

r∗ = 3√2 e h∗ = 3

√2

2.


22.3 Metodo de Lagrange na Dimensao Tres

Suponha que f, g : Uaberto⊂ R3 → R e considere o problema,

Extremof(x, y, z) sujeito a g(x, y, z) = 0. (22.67)

que, em casos especiais ser descrito como um dos casos abaixo:

maxf(x, y, z) sujeito a g(x, y, z) = 0. (22.68)

minf(x, y, z) sujeito a g(x, y, z) = 0. (22.69)

Considere a Matriz H(L(P ∗, λ∗) dada por

H3(L(P∗, λ∗)) =

Lxx(P

∗, λ∗) Lxy(P∗, λ∗) Lxz(P

∗, λ∗) −gx(P ∗, λ∗)Lyx(P

∗, λ∗) Lyy(P∗, λ∗) Lyz(P

∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗)Lzx(P

∗, λ∗) Lzy(P∗, λ∗) Lzz(P

∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗)−gx(P ∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗) 0

. (22.70)

e a matriz dada por

H2(L(P∗, λ∗)) =

Lyy(P∗, λ∗) Lyz(P

∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗)Lzy(P

∗, λ∗) Lzz(P∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗)

−gy(P ∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗) 0

. (22.71)


Teorema 20. Suponha que Uaberto⊂ R3, P ∗ = (x∗, y∗, z∗) ∈ U, f, g : U → R em (22.68)

sejam funcoes onde f derivada parciais de segunda ordem contınuas em P ∗ e g tem derivadaparciais de primeira contınuas em P ∗. Considere os problemas (22.68) e (22.69). Suponhaainda que

• ∂g

∂y(P ∗) = 0.

• (x∗, y∗, z∗) resolve pelo menos um dos problemas (22.68) e (22.69).

Entaoa) existe λ∗ ∈ R nao nulo, tal que (x∗, y∗, z∗, λ∗) e ponto crıtico da Funcao Lagrangeanadada por L(x, y, z, λ) = f(x, y, z)− λg(x, y, z).b) (x∗, y∗, z∗) resolve (22.68) se det(H2(L(P

∗, λ∗) > 0 e det(H3(L(P∗, λ∗) < 0.

c) (x∗, y∗, z∗) resolve (22.69) se det(H2(L(P∗, λ∗) < 0 e det(H3(L(P

∗, λ∗) < 0.

Exemplo 73. Considere o problema

Extrf(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 3xy s. a g(x, y, z) = 0 (22.72)

onde g(x, y, z) = x+ y + z − 1 .

Resolucao Consedermos a funcao Lagrangeana dada por

L(x, y, z, λ) = x2 + y2 + z2 − 3xy − λ(x+ y + z − 1). (22.73)

Segue do teste da primeira derivada (condicao de primeira ordem), que para qualquer solucaoP ∗ = (x∗, y∗, z∗) de (22.72), existe λ∗ ∈ R2 tal que λ∗ = (0, 0) e Q∗ = (x∗, y∗, z∗, λ∗) e pontocrıtico da funcao Lagrangeana dada em (22.73). Entao vamos procurar o ponto crıtico dafuncao Lagrangeana. Seja Q = (x, y, z, λ)

∂xL(Q) = 2x− 3y − λ∂yL(Q) = 2y − 3x− λ∂zL(Q) = 2z − λ∂λL(Q) = −(x+ y + z − 1).

(22.74)

Devemos resolver o sistema linear dado por2x− 3y − λ = 0−3x+ 2y − λ = 02z − λ = 0x+ y + z = 1.

da terceira equacao vemos que λ = 2z. Substituindo esta informacao no sistema acimateremos que resolver o sistema


2x− 3y − 2z = 0−3x+ 2y − 2z = 0x+ y + z = 1.

(22.75)

Somando a as tres equacoes em (22.75) teremos −3z = 1. Entao z∗ = −1

3e λ∗ = −2

3. Subs-

tituindo estas informacoes em (22.75) teremos x∗ = y∗ =2

3. Portanto, Q∗ = (x∗, y∗, z∗λ∗) =

(2

3,2

3,−1

3,−1

6) e ponto crıtico de L(u, λ) e P ∗ = (x∗, y∗, z∗) = (

2

3,2

3,−1

3) o candidato a

solucao local de (22.72). Vamos aplica a condicao de seguna ordem ou o Teorema 20.

H(L(P ∗, λ∗) =

Lxx(P

∗, λ∗) Lxy(P∗, λ∗) Lxz(P

∗, λ∗) −gx(P ∗, λ∗)Lyx(P

∗, λ∗) Lyy(P∗, λ∗) Lyz(P

∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗)Lzx(P

∗, λ∗) Lzy(P∗, λ∗) Lzz(P

∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗)−gx(P ∗, λ∗) −gy(P ∗, λ∗) −gz(P ∗, λ∗) 0

(22.76)

=

2 −3 0 −1

−3 2 0 −10 0 2 −1

−1 −1 −1 0

det(H2(L(P∗, λ∗)) =

2 0 −10 2 −1

−1 −1 0

= −4

Usamos a terceira coluna para calcular o seguinte determinante

det(H3(L(P∗, λ∗)) = 2 det

2 −3 −1−3 2 −1−1 −1 0

+ det

2 −3 −1−3 2 −10 0 −1

= −20 + 5 = −15

Do Teorema 20 segue que P ∗ = (x∗, y∗, z∗) = (2

3,2

3,−1

3) e ponto de mınimo local em (22.72).


22.4 Condicao de Primeira Ordem

Considere os problemas de Extremizacao

maxf(x, y, z) sujeito a g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0. (22.77)

minf(x, y, ) sujeito a g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0. (22.78)

Teorema 21. Suponha que f, g : Uaberto⊂ R3 → R em (22.77) sejam funcao com uma

derivada parcial contınua em P ∗ = (x∗, y∗, z∗) que resolve (22.77) ou 22.78. Suponha que amatriz

∂(f, h)(P ∗)

∂(x, y, z)=

∂g(P ∗)

∂x

∂g(P ∗)

∂y

∂g(P ∗)

∂z

∂h(P ∗)

∂x

∂h(P ∗)

∂f

∂h(P ∗)

∂z

,

tem posto maximo. Entao existe (λ∗, α∗) ∈ R2 tal que (λ∗, α∗) = (0, 0) e Q∗ = (λ∗, α∗, x∗, y∗, z∗)e ponto crıtico da funcao Lagrangeana

L(λ, α, x, y, z) = f(x, y, z)− λg(x, y, z)− αh(x, y, z). (22.79)

Observacao 12. Se P ∗ e ponto crıtico da langrangeana entao o conjunto de vetores formado

pelos gradientes →∇ f(P ∗),

→∇ g(P ∗),

→∇ h(P ∗) e linearmente dependente. A condicao de que

a matriz∂(f, h)(P ∗)

∂(x, y, z)tenha posto maximo implica que λ = 0 e α = 0.

Exemplo 74. Considere o problema

Extrf(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xy s. a g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0 (22.80)

onde g(x, y, z) = x+ y + z − 1 e h(x, y, z) = 3x+ y − z − 2.

Resolucao Consedermos a funcao Lagrangeana dada por

L(λ, α, x, y, z) = x2 − y2 + z2 − 2xy − λ(x+ y + z − 1)− α(3x− y + z − 2). (22.81)

Segue do teste da primeira derivada (condicao de primeira ordem), que para qualquersolucao P ∗ = (x∗, y∗, z∗) de (22.80), existe (λ∗, α∗) ∈ R2 tal que (λ∗, α∗) = (0, 0) e Q∗ =(λ∗, α∗, x∗, y∗, z∗) e ponto crıtico da funcao Lagrangeana dada em (22.81). Entao vamosprocurar o ponto crıtico da funcao Lagrangeana. Seja Q = (λ, α, x, y, z)


∂xL(Q) = 2x− 2y − λ− 3α∂yL(Q) = −2y − 2x− λ+ α∂zL(Q) = 2z − λ− α∂λL(Q) = −(x+ y + z − 1)∂αL(Q) = −(3x− y + z − 2).

(22.82)

Devemos resolver o sistema linear daado por2x− 2y − λ− 3α = 0−2x− 2y − λ+ α = 02z − λ− α = 0x+ y + z = 13x− y + z = 2.

(22.83)

Veja que da terceira equacao em (22.83) temos α = 2z − λ. Substituindo esta informacaoem (??) teremos

2x− 2y − 6z + 2λ = 0−2x− 2y + 2z − 2λ = 0x+ y + z = 13x− y + z = 2.

(22.84)

Da segunda equacao em (22.84) segue que 2λ = −2x−2y+2z. Substituindo esta informacaona primeira equacao em (22.84) teremos z = −y. Entao da terceira equacao do sistema deequacoes (22.84) segue que x∗ = 1, e da quarta equacao em do sistema de equacoes (22.84)

segue que y∗ =1

2. Agora, segue das informacoes obtidas acima que z∗ = −1

2, λ = −2 e

α = 1. Portanto, P ∗ = (1,1

2,−1

2) e Q∗ = (−2, 1, 1,

1

2,−1

2).

22.5 Exercıcios

1. Classifique em Maximo ou mınimo Local de f os pontos P1 e P3 em (22.60).

2. a : Encontre os extremos da funcao f(x, y) = x2+y2−3xy sujeita a condicao (restricao)x2 + y2 = 4 ou g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0. Resp. P0 = (

√2,√2), P1 = (

√2,−

√2);

P2 = (−√2,−

√2) e P2 = (

√2,−

√2).

b : Classifique em Maximo ou Mınimo Local de f os pontos P0, P1, P2 e P3.

3. a : Encontre os extremos da funcao f(x, y) = 2x2 + y2 + 2xy − 20x − 14y sujeita a

condicao (restricao) x+ 3y− 5 = 0 ou g(x, y) = x+ 3y− 5 = 0. Resp. P0 = (59

13,2

13)

b : Classifique em Maximo ou Mınimo Local de f o ponto P0.

4. a : Encontre os extremos da funcao f(x, y) = 2x2 + y2 + 2xy − 20x − 14y sujeita acondicao (restricao) 2x− y − 4 = 0 ou g(x, y) = 2x− y − 4 = 0. Resp. P0 = (3, 4).

b : Classifique em Maximo ou Mınimo Local de f o ponto P1.


5. Considere a funcao U(x, y) = x14y

14 para x > 0 e y > 0. Mostre que se H(U(x, y)) for

o hessiano de U entao

H(U(x, y)) =1

16

(−3x−

74y

14 x−

34y−

34

x−34y−

34 −3x

14y−

74

)6. Considere a funcao de Cabb-Douglas U(x, y) = xayb. Mostre que detH(U(x, y)) =ab(1− a− b)x2(a−1)y2(b−1). H(U(x, y)) e o hessiano de U . Conclua daıque H(U(x, y))e uma Matriz Nevativa Definida se a > 0, b > 0 e a+ b ≤ 1.

7. De as dimensoes do paralelepıpedo reto de maior volume que se pode construir cujaarea lateral e 4. Compare o resultado com o exercıcio anterior.

8. De as dimensoes do cilindro reto de maior volume que pode inscrito em uma esfera de

raio fixado igual a. Resp. (r∗, h∗) = (2√6

3a,

2√3

3a)

9. Considere f(x, y) = xayb com x > 0, y > 0 a > 0 b > 0. Suponha que ab = 1.

• De condicoes sobre os numeros reais a e b para que H(f(x, y) (hessiana de f)seja negativa definida.

• De condicoes sobre a e b para que se tenha solucao para cada um dos problemas

maxf(x, y) sujeito a g(x, y) = α1bxa + yb − α

1b = 0. (22.85)

minf(x, y) sujeito a g(x, y) = α1bxa + yb − α

1b = 0. (22.86)

Resp P ∗ = (λ∗, x∗, y∗) = (1, α, 1), P ∗ e solucao de (22.85) se b > 0, P ∗ esolucao de (22.86) se b < 0.

• Encontre os candidatos a extremo de f(x, y) = x2+y2 sujeita a restricao x+4y = 2

Resp (x0, y0) = (2

17,8

17).

• De condicoes sobre a e b para que se tenha solucao para para cada um dosproblemas

maxf(x, y) sujeito a g(x, y) = xa + α1ayb − α

1a = 0. (22.87)

minf(x, y) sujeito a g(x, y) = xa + α1ayb − α

1a = 0. (22.88)

Resp P ∗ = (λ∗, x∗, y∗) = (1, 1, α), P ∗ e solucao de (22.87) se a > 0, P ∗ esolucao de (22.88) se a < 0.

23 TEOREMA DA FUNCCAO INVERSA 90

• De condicoes sobre a e b para que se tenha solucao para para cada um dosproblemas

maxf(x, y) sujeito a g(x, y) = α1bxa + α

1ayb − 2α

1ab = 0. (22.89)

minf(x, y) sujeito a g(x, y) = α1bxa + α

1ayb − 2α

1ab = 0. (22.90)

Resp P ∗ = (λ∗, x∗, y∗) = (1, α, α), P ∗ e solucao de (22.89) se a+b > 1, P ∗ e solucaode (22.90) se a+ b < 1.

10. Encontre os extremo de f(x, y, z) sujeita a restricao g(x, y, z) = 0 quando

(i) f(x, y, z) = 2xy + yz + 3zy g(x, y, z) = 3x− 4y + 2z + 1.

(ii) f(x, y, z) = 2x2 + yz + 3zy g(x, y, z) = 3x− y + z + 3.

11. Livro do Alpha Chiang pp 331 e 334

(ii ) Encontre os candidatos a extremo de f(x, y, z) = x2+2xy+ yz sujeita a restricaog1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0 quando g1(x, y, z) = 2x + y + z2 − 24 ; g1(x, y, z) =x+ z − 8.

12. Encontre o ponto de maximo local e o valor o maximo de f(x, y, z) = xyz sujeita arestricao g(x, y, z) = 0 quando x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e g(x, y, z) = xz + zy + xy − 2

Resp.(23

) 32, P ∗ =

√23(1, 1, 1).

23 Teorema da Funccao Inversa

Teorema 22. Dada f : Ωab⊂ Rn → Rn (n = 2 ) funcao com derivadas parciais contınuas

em P0 ∈ Ω. Suponhamos que det(Jf((P0))) = 0. Entao existem ϵ > 0 e δ > 0, duas bolasabertas B0 = B(P0, ϵ) B1 = B(f(P0), δ) e uma funcao g : B1 → B0 ⊂ Rn, com todas asderivadas parciais contınuas tal que se P = (x, y) ∈ B0 e Q = (u, v) ∈ B1, entao

g(f(P )) = P, f(g(Q)) = Q e ∂g1(Q)

∂u

∂g1(Q)

∂v∂g2(Q)

∂u

∂g2(Q)

∂v

∂u(P )

∂x

∂u(P )

∂y∂v(P )

∂x

∂v(P )

∂x

=

(1 00 1

) (23.91)

quando g(u, v) = (g1(u, v); g2(u, v)) e u = u(x, y) e v = v(x, y) .

Exemplo 75. Considere T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (2x+3y,−y+ x). Vamos aplicaro Teorema da funcao inversa para determinar S : R2 → R2 tal que S(T (x, y)) = (x, y) eT (S(u, v)) = (u, v).


Resolucao Veja que T e linear. Entao

T (x, y) =

(2 31 −1

)[xy

]Como para todo P ∈ R2

J(T (P )) =

(2 31 −1

)e det(J(T (P )) = −5 = 0, J(T (P )) tem inversa ou seja

[J(T (P ))]−1 = −1

5

(−1 −3−1 2

).

Pelo Teorema da Funcao Inversa existe existe ϵ > 0, uma bola aberta B = B(P0, ϵ) e umafuncao S : B → R2, (B = T (Ω)) com todas as derivadas parciais contınuas tal que seP = (x, y) ∈ B e Q = (u, v) ∈ Ω. Na verdade S : R2 → R2 e e dada por S(u, v) =

−1

5(−u − v,−3u − 2v). Na verdade S(u, v) = J(T (P ))]−1(u, v). Agora, e facil ver que

S(T (x, y)) = (x, y) e T (S(u, v)) = (u, v). Veja que neste caso o conjunto B e todo o R2.

Vamos para o caso em que a funcao f : Ωab⊂ Rn → Rn (n = 2 ou n = 3) nao e

linear.

Exemplo 76. Considere f : R2 → R2 dada por f(x, y) = (x2 + y2, x2). Vamos aplicar oTeorema da funcaoinversa para determinar B = B(P0, ϵ), com P0 = (−1,−1), e uma funcaog : B → f(Ω) tal que g(f(x, y)) = (x, y) para todo (x, y) ∈ Ω e f(g(u, v)) = (u, v) para todo(u, v) ∈ B.

Resolucao Veja que f nao e linear. Mas, se P0 = (−1,−1)

J(f((x, y)) =

(2x 2y2x 0

)e J(f((−1− 1)) =

(−2 −2−2 0

)e entao det(J(T (P0)) = −4 = 0, J(T (P0)) tem inversa ou seja

[J(T (P0))]−1 = −1

4

(0 22 −2

).

Pelo Teorema da Funcao Inversa existe existe ϵ > 0, uma bola aberta B = B(P0, ϵ) euma funcao g : B → R2, (B = T (Ω)) com todas as derivadas parciais contınuas tal que seP = (x, y) ∈ B e Q = (u, v) ∈ Ω tal que


g(f(P )) = P, f(g(Q)) = Q e ∂g1(Q)

∂u

∂g1(Q)

∂v∂g2(Q)

∂u

∂g2(Q)

∂v

∂u(P )

∂x

∂u(P )

∂y∂v(P )

∂x

∂v(P )

∂y

=

(1 00 1

) (23.92)

Para calcularmos as expressoes em (23.92) no ponto P0 = (−1 − 1) podemos ver que u =(u(x, y) = x2 + y2 e v = v(x, y) = x2. Assim, u0 = (u(−1,−1) = 2 e v = v(−1,−1) = 1.Entao

g(f(P0)) = P0, f(g(Q0)) = Q0 e ∂g1(Q0)

∂u

∂g1(Q0)

∂v∂g2(Q0)

∂u

∂g2(Q0)

∂v

(−2 −2−2 0

)=

(1 00 1

)=

(23.93)

Portanto,

g(f(P0)) = P0, f(g(Q0)) = Q0 e ∂g1(Q0)

∂u

∂g1(Q0)

∂v∂g2(Q0)

∂u

∂g2(Q0)

∂v

= −1

4

(0 22 −2

)

Teorema 23. Dada f : Ωab⊂ Rn → Rn (n = 3 ) funcao com derivadas parciais contınuas

em P0 ∈ Ω. Suponhamos que det(Jf((P0))) = 0. Entao existem ϵ > 0 e δ > 0, duas bolasabertas B0 = B(P0, ϵ) B1 = B(f(P0), δ) e uma funcao g : B1 → B0 ⊂ Rn, com todas asderivadas parciais contınuas tal que se P = (x, y, z) ∈ B0 e Q = (u, v, w) ∈ B1, entao

g(f(P )) = P, f(g(Q)) = Q e

∂g1(Q)

∂u

∂g1(Q)

∂v

∂g1(Q)

∂w∂g2(Q)

∂u

∂g2(Q)

∂v

∂g2(Q)

∂w∂g3(Q)

∂u

∂g3(Q)

∂v

∂g3(Q)

∂w

∂u(P )

∂x

∂u(P )

∂y

∂u(P )

∂z∂v(P )

∂x

∂v(P )

∂x

∂u(P )

∂z∂w(P )

∂x

∂w(P )

∂x

∂w(P )

∂z

=

1 0 00 1 00 0 1

(23.94)

quando g(u, v, w) = (g1(u, v, w); g2(u, v, w); g3(u, v, w)) e u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) ew = w(x, y, z).

EXERCICIOS


Exercıcio 5. Considere T : R2 → R2 dada por T (x, y, z) = (−2x + y, 2y + 2x). Apliqueo Teorema da funcao inversa para determinar S : R2 → R2 tal que S(T (x, y)) = (x, y) eT (S(u, v)) = (u, v).

Exercıcio 6. Considere T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (2x + 3y,−y + x − z, z − 2x).Aplique o Teorema da funcao inversa para determinar S : R3 → R3 tal que S(T (x, y, z)) =(x, y, z) e T (S(u, v, w)) = (u, v, w).

Exercıcio 7. Considere f : R2 → R2 dada por f(x, y, w) = (x2 + y2, xy). Aplique oTeorema da funcao inversa para determinar B = B(P0, ϵ), com P0 = (−1, 1), e uma funcaog : B → f(Ω) tal que g(f(x, y)) = (x, y) para todo (x, y) ∈ Ω e f(g(u, v)) = (u, v) para todo(u, v) ∈ B.

Exercıcio 8. Considere f : R3 → R3 dada por f(x, y, w) = (x2 + y2, x2 + z, z − y). Apliqueo Teorema da funcao inversa para determinar B = B(P0, ϵ), com P0 = (−1,−1, 1), e umafuncao g : B → f(Ω) tal que g(f(x, y, z)) = (x, y, z) para todo (x, y, z) ∈ Ω e f(g(u, v, w)) =(u, v, w) para todo (u, v, w) ∈ B.

23.1 Teorema das Funcoes Impliıcitas

Dada f : Ωab⊂ Rn+p → Rp, (n, p ∈ 2, 3, 4), se Q = (x1, x2 · · · , xn, xn+1, · · · xn+p), entao

f(Q) = (f1(Q), f2(Q), · · · fp(Q)),

para cada Q ∈ Ω e q ∈ 1, 2, · · · , p, definimos a matriz de ordem q × p dada por

∂(f1, · · · , fq)(Q)

∂(x1, · · · , xq)=

∂f1(Q)

∂x1· · · ∂f1(Q)

∂xq∂f2(Q)

∂x2· · · ∂f2(Q)

∂xq...

......

∂fq(Q)

∂x1· · · ∂fq(Q)

∂xq

(23.95)

Teorema 24. Dada f : Ωab⊂ Rn+p → Rp (n, p ∈ 2, 3, 4), Q0 = (x01, x02 · · · , x01, x0(n+1), · · ·x0(n+p)) ∈ Ω

e tal que f(Q0) = 0.

1. Suponha que f tem todas as derivadas parciais contınuas em Q0.

2. Suponha que det( ∂(f1, · · · , fp(Q))

∂(xn+1, · · · , xn+p)

)= 0.


Entao, existe ϵ > 0, uma bola aberta B = B(P0, ϵ), funcoes G = (G1,G2 · · · ,Gp) : B → Rp derivaveis em Be para todo P ∈ B tem-se f(P,G(P )) = 0,

∂(G1(P ),G2(P ) · · · , ,Gp(P ))

∂(x1, · · · , xn)= −

[∂(f1(Q), · · · , fp(Q))

∂(xn+1, · · · , xn+p)

]−1

p×p

∂f1(Q)

∂x1· · · ∂f1(Q)

∂xn∂f2(Q)

∂x1· · · ∂f2(Q)

∂xn...

......

∂fp(Q)

∂x1· · · ∂fp(Q)

∂xn

p×n

, (23.96)

onde, P = (x1, x2, · · · , xn), A = (xn+1, xn+2, · · · , xn+p), Q = (P,A) ∈ Rn+p, P0 = (x01, x02, · · · , x0n) eA0 = (x0n+1, x0n+2, · · · , x0n+p).

Exemplo 77. Considere F : Ω ⊂ Rn+p → Rp, com n = 3 e p = 2 dada por

F (x, y, z, u, v) = (x− y + z − u+ 2v − 3, x− y − z + 3u− 2v − 1) = (0, 0).

Queremos resolver a equacao acima com x, y e z como variaveis exogenas e u e v como variaveis endogenaspara (x, y, z, u, v) proximo a Q0 = (2,−1,−3,−1, 1).

Resolucao Como f(x, y, z, u, v) = (0, 0) e equivalente a resolver um sistema linear com duas equacoese tres incognitas, poderıamos nos valer das tecnicas de resolucao de sistemas lineares e apresentar a respostaao problema sem dificuldades. Mas queremos usar o Teorema 24 para responder a pergunta que nos foiformulada. Veja que x1 = x, x2 = y e x3 = z, ainda, x4 = u e x5 = v, f(Q0) = (0, 0). Entao, como a matriz

∂(f1, f2)

∂(x4, x5)=

[−1 23 −2

]tem determinante dado por det

( ∂(f2, f2)∂(x4, x5)

)= −4 = 0,

o Teorema 24 nos assegura que existe uma vizinhanca B = B(P0, ϵ) ⊂ R3 com P0 = (x0, y0, z0), um funcaoG : B → R2 derivavel tal que se P = (x1, x2, x3) ∈ B

∂(G1(P ),G2(P ))

∂(x1, x2, x3)=

(∂(f1(Q), f2(Q))

∂(x4, x5)

)−1

∂f1(Q)

∂x1

∂f1(Q)

∂x2

∂f1(Q)

∂x3∂f2(Q)

∂x1

∂f2(Q)

∂x2

∂f2(Q)

∂x3

= −1

4

[−2 −2−3 −1

] [1 −1 11 −1 −1

]

Portanto, ∂G1(P )

∂x1

∂G1(P )

∂x2

∂G1(P )

∂x3∂G2(P )

∂x1

∂G2(P )

∂x2

∂G2(P )

∂x3

=

[1 −1 0

1 −11

2

].

23.2 APLICACAO

Consideremos a Economia de uma sociedade que aqui sera nomeada Economia Domestica.


1. Ha consenso quando se representa a renda nacional pela equacao (23.97) abaixo, onde a producaototal Y e definida como consumo sendo funcao da renda nacilnal (C(Y )), investimento como funcaoda taxa real de juros (I(r)), exportacoes como funcao das taxas de cambio (X(E)) e importacoescomo funcao das taxas de cambio e renda (M(E, Y )), a soma dos os gastos do governo e exogena e epredeterminada, mas, neste caso, ela sera nossa variavel de Interesse que representa a variavel polıticaem nosso sistema.

Y = C(Y ) + I(r) +G+X(E)−M(Y,E). (23.97)

Veja que, na equacao (23.97), se a renda nacional for variavel endogena, ela e dada implicitamente evariaveis exogenas sao r, G e E.

2. No mercado monetario tambem e consenso supor-se que ha um equilıbrio quando a demanda pormoeda for funcao da renda e da taxa domestica de juros

L(Y, r) =Ms0 . (23.98)

Neste caso, a oferta de moeda e endogena, e determinada pelo orgao regulador (Banco Central).

3. O balanco de pagamentos afirma que a soma das exportacoes lıquidas deve ser equilibrada pela saıdalıquida de capital e vice-versa, ou seja

X(E)−M(Y,E) +K(r, rw) = 0. (23.99)

HIPOTESES

1. Vamos supor que as derivadas de primeira ordem envolvidas da equacao de rendimento nacional(23.97) sejam contınuas, isto significa que a mudancas que sao representadas pela equacao (23.97)nesta Economia tem suavidade de ordem um. Ainda,

• O consumo e uma funcao cresente da renda, isto e C(Y ) > 0 para todo Y .

• O investimento e uma funcao inversamente relacionada com a taxa domestica de juros, I(r) =1

r.

• As exportacoes sao positivamente relacionadas ao crescimento da taxa de cambio, X(E) > 0,(depreciacao da moeda local).

• As importacoes crescem com crescimento da renda∂M(Y,E)

∂Y> 0 e decrescem com crescimento

da taxa de cambio∂M(Y,E)

∂E< 0 (depreciacao da moeda local).

2. Vamos assumir suavidade de ordem um na relacao (23.98), ou seja as derivadas parciais de primeiraenvolvidas sao funcoes contınuas.

• A demanda por moeda L cresce com o aumento da renda∂L(Y, r)

∂Y> 0.

• Os juros domesticos e a demanda por moeda sao inversamente relacionados∂L(Y, r)

∂r< 0,

limr→o+

L(Y, r) = ∞, limr→∞

L(Y, r) = 0.

3. Vamos assumir que as relacoes entre no balanco de pagamentos entre as exportacoes e as operacoes desaıdas de capital lıquidos tenham sauvidades de ordem um, ou seja, as derivadas parciais de primeiraordem da funcoes envolvidas na equacao (23.98) sao funcoes cujas devivadas parciais de primeiraordem sao contınuas no seu domınio.


• O Capital lıquido flui para a Economia Domestica se a taxa domestica de juros aumentar.

• O aumento na taxa externa de juros causara saıdas relevantes de capital lıquido da EconomiaDomestica.

4. Se considerarmos como variaveis exogenas nas equacoes (23.97), (23.98), e (23.99) apenas Y , r , Ee G. Assumimos que a Economia Domestica experimenta um equilıbrio P0 = (Y0, E0, r0, G0). Emverdade P0 representa um ponto que todas as equacoes (23.97), (23.98), e (23.99) estao satisfeitas.

Agora, se considerarmos como variaveis exogenas nas equacoes (23.97), (23.98), e (23.99) apenas Y , Er e G, o sistema equacoes (23.97), (23.98), e (23.99) torna-se equivalente ao sistema nao linear de equacoesdado por

f(Y,E, r,G) = 0g(Y,E, r,G) = 0h(Y,E, r,G) = 0

onde

f(Y,E, r,G) = Y − [C(Y ) + I(r) +G+X(E)−M(Y,E)]g(Y,E, r,G) = L(Y, r)−Ms

0

h(Y,E, r,G) = X(E)−M(Y,E) +K(r, rw).(23.100)

Se H(Y,E, r,G) = (f(Y,E, r,G), g(Y,E, r,G), h(Y,E, r,G)), a matriz Jacobiana de H e dada por

J(H(P )) =

∂f(P )

∂Y

∂f(P )

∂E

∂f(P )

∂r

∂f(P )

∂G∂g(P )

∂Y

∂g(P )

∂E

∂g(P )

∂r

∂f(P )

∂G∂h(P )

∂Y

∂h(P )

∂E

∂h(P )

∂r

∂f(P )

∂G

=

1− C ′(P ) +

∂M(P )

∂Y−X ′(E) +

∂M(P )

∂E−I ′(r) −1

∂L(P )

∂Y0

∂L(P )

∂r0

−∂M(P )

∂YX(E)− ∂M(P )

∂E

∂K(P )

∂r0

(23.101)

Vamos definir a matriz de ordem tres∂(f, g, h)

∂(Y,E, r)que sera dada por

∂(f, g, h)(P )

∂(Y,E, r)=

∂f(P )

∂Y

∂f(P )

∂E

∂f(P )

∂r∂g(P )

∂Y

∂g(P )

∂E

∂g(P )

∂r∂h(P )

∂Y

∂h(P )

∂E

∂h(P )

∂r

=

1− C ′(P ) +

∂M(P )

∂Y−X ′(E) +

∂M(P )

∂E−I ′(r)

∂L(P )

∂Y0

∂L(P )

∂r

−∂M(P )

∂YX(E)− ∂M(P )

∂E

∂K(P )

∂r

(23.102)

Analogamente, teremos que a matriz de ordem tres∂(f, g, h)

∂(E, r,G)que sera dada por

∂(f, g, h)(P )

∂(E, r,G)=

∂f(P )

∂E

∂f(P )

∂r

∂f(P )

∂G∂g(P )

∂E

∂g(P )

∂r

∂g(P )

∂G∂h(P )

∂E

∂h(P )

∂r

∂h(P )

∂G

=

−X ′(E) +

∂M(P )

∂E−I ′(r) −1

0∂L(P )

∂r0

X(E)− ∂M(P )

∂E

∂K(P )

∂r0

(23.103)

PERGUNTAS

• Em (23.100), podemos expressar Y = Y (G), E = E(G) e r = r(G) para algum G, mesmo queseja em uma vizinhanca de G0, e preservarmos nesta vizinhanca as equacao (23.100) satisfeitas ? Aresposta para esta pergunta depende do determinante da matriz dada em (23.102), calculada em P0(∂(f, g, h)(P0)

∂(Y,E, r)

).

• Em (23.100), podemos expressar Y (r), E(r) e G(r) para algum r, mesmo que seja em uma vizinhancade r0, e preservarmos nesta vizinhanca as equacao (23.100) satisfeitas ?


• Em (23.100), podemos expressar E = E(Y ), r(Y ) e G = G(Y ) para algum Y , mesmo que sejaem uma vizinhanca de Y0, e preservarmos nesta vizinhanca as equacao (23.100) satisfeitas ? Aresposta para esta pergunta depende do determinante da matriz dada em (23.103), calculada em P0,(∂(f, g, h)(P0)

∂(E, r,G)

).

Exemplo 78. Considere as funcoes dadas em (23.100). Calcule a matriz∂(f1, f2, f3)(Q)

∂(x1, x2, x3)e∂(f1, f2, f3)(Q)

∂(x2, x3, x3).

Resolucao Veja que em em (23.100) tem-se x1 = Y , x2 = E, x3 = r, x4 = G, n = 1 e p = 3. Ainda,

f1 = f , f2 = g e f3 = h. Entao,∂(f1, f2, f3)(P )

∂(x1, x2, x3)e dada por

∂(f, g, h)(P )

∂(Y,E, r)=

∂f(P )

∂Y

∂f(P )

∂E

∂f(P )

∂r∂g(P )

∂Y

∂g(P )

∂E

∂g(P )

∂r∂h(P )

∂Y

∂h(P )

∂E

∂h(P )

∂r

=

1− C ′(P ) +

∂M(P )

∂Y−X ′(E) +

∂M(P )

∂E−I ′(r)

∂L(P )

∂Y0

∂L(P )

∂r

−∂M(P )

∂YX(E)− ∂M(P )

∂E

∂K(P )

∂r

(23.104)

Analogamente,∂(f1, f2, f3)(Q)

∂(x2, x3, x3)e dada por

∂(f, g, h)(P )

∂(E, r,G)=

∂f(P )

∂E

∂f(P )

∂r

∂f(P )

∂G∂g(P )

∂E

∂g(P )

∂r

∂g(P )

∂G∂h(P )

∂E

∂h(P )

∂r

∂h(P )

∂G

=

−X ′(E) +

∂M(P )

∂E−I ′(r) −1

0∂L(P )

∂r0

X(E)− ∂M(P )

∂E

∂K(P )

∂r0

(23.105)

Exemplo 79. Agora podemos responder a pergunta que foi formulada logo acima. Suponha que existe

Q0 = (Y0, E0, r0, G0) tal que em (23.100), det(∂(f(Q0), g(Q0), h(Q0))

∂(Y,E, r)

)= 0. Use o Teorema das Funcoes

Implıcitas e mostre que em (23.100), podemos expressar Y = Y (G), E = E(G) e r = r(G) para algum G.Assuma que a, b ∈ R e

2a = C(Y0),∂M(Y0, r0)

∂Y= K(r0) = I(r0) = a > 0, a = 1

2

−X ′(E0) +∂M(Y0, E0)

∂E=∂L(Y0, r0)

∂Y= −∂L(Y0, r0)

∂r= b > 0.

(23.106)

ResolucaoVeja que em em (23.100) tem-se x1 = Y , x2 = E, x3 = r, x4 = G, n = 1 e p = 3. Ainda, f1 = f , f2 = g

e f3 = h. Vamos assumir que o determinante da matriz em (23.104) seja diferente de zero, ou seja,

det(∂(f(Q0), g(Q0), h(Q0))

∂(Y0, E0, r0)

)ver (23.107)

= b2(2a− 1)ver (23.107)

= = .

Pelo Teorema das Funcoes Implıcitas existe um intervalo aberto B = B(P0, ϵ) = (G0− ϵ;G0+ ϵ), uma fucao,G : B → R3 que e derivavel e se P = G ∈ B,


J(G(P )) = J(G(G)) =

Y (G)

E(G)r(G)

= −

1− C ′(Q) +

∂M(Q)

∂Y−X ′(E) +

∂M(Q)

∂E−I ′(r)

∂L(Q)

∂Y0

∂L(Q)

∂r

−∂M(Q)

∂YX(E)]− ∂M(Q)

∂E

∂K(Q)

∂r

−1

∂f(Q)

∂G∂g(Q)

∂G∂h(Q)

∂G

= −

1− C ′(Y ) +

∂M(Y, r)

∂Y−X ′(E) +

∂M(Y, r)

∂E−I ′(r)

∂L(Y, r)

∂Y0

∂L(Y, r)

∂r

−∂M(Y, r)

∂YX ′(E)− ∂M(Y, r)

∂EK(r)

−1 −1

00

.

J(G(P0)) = J(G(G0))ver (23.106)

=

Y (G0)

E(G0)r(G0)

= −

1− a b −ab 0 −b−a −b a

−1 100

J(G(P0)) = J(G(G0)) =

Y (G0)

E(G0)r(G0)

=1

b2(2a− 1)

b2 0 −b20 a(1− 2a) b(1− 2a)

−b2 b(1− 2a) −b2

100

=

1

2a− 101

1− 2a

O que nos mostra que

1. Y (G0) =1

2a− 1e sobre o equilıbrio ((Y0, E0, r0, G0), a elasticidade da renda em relacao aos gastos

governamentais nesta economia e dada porY (G0)

G0=

1

G0

1

2a− 1.

2. E(G0) = 0.

3. r(G) =1

1− 2a. Posto assim, como por hipotese

∂M(Y, r)

∂Y> 0, podemos afirmar que em uma

vizinhanca do equilıbrio (Y0, E0, r0, G0), esta economia opera de forma que a taxa de juros domesticoscresce com o crescimento dos gastos governamintais. Ainda, a elasticidade da taxa de cambio emrelacao aos gastos governamentais nesta economia e dada por

E(G0)

G0=

1

G0

1

1− 2a.


Exercıcio 9. Use (23.105) e assuma que a, b ∈ R e

2a = C(Y0),∂M(Y0, r0)

∂Y= K(r0) = I(r0) = a > 0, a = 1

2

−X ′(E0) +∂M(Y0, E0)

∂E=∂L(Y0, r0)

∂Y= −∂L(Y0, r0)

∂r= b > 0.

(23.107)

para responder a primeira das duas perguntas abaixo:

• Em (23.100), podemos expressar Y (r), E(r) e G(r) para algum r, mesmo que seja em uma vizinhancade r0, e preservarmos nesta vizinhanca as equacao (23.100) satisfeitas ? Sobre o ponto de equilıbrior0 (equilıbrio da taxa de juros domestica) calcule

a: A elasticidade da renda em relacao a taxa de juros.

b: A elasticidade da taxa de cabio em relacao a taxa de juros.

c: A elasticidade da dos gastos governamentais em relacao a taxa de juros.

• Em (23.100), podemos expressar E = E(Y ), r(Y ) e G = G(Y ) para algum Y , mesmo que seja emuma vizinhanca de Y0, e preservarmos nesta vizinhanca as equacao (23.100) satisfeitas ?

a: A elasticidade taxa de cambio em relacao a renda.

b: A elasticidade da taxa de juros domesticos em relacao a renda.

c: A elasticidade da dos gastos governamentais em relacao a renda.

De as informacoes analogas solicitadas no item anterior.

EXERCICIOS DE CALCULO DOIS

Exercıcio 1

Dadas f : Uab⊂ Rn → R (n = 2, 3) e P0 ∈ U e g : I

ab⊂ R → R. Suponha que Im(f) ⊂ I, g e f sejam

derivaveis em U. Suponha que∂f(P0)

∂x= a e

∂f(P0)

∂y= b.

1. Verifique que se h(x, y) = g(f(x, y), a > 0, g for crescente em I, entao∂h(P0)

∂x> 0.

2. Verifique que se h(x, y) = g(f(x, y), b > 0, g for decrescente em I, entao∂h(P0)

∂x< 0.

Exercıcio 2

Em cada item abaixo calcule∂h(x, y)

∂xe∂h(x, y)

∂y.

1. h(x, y) = x√xy + y2. Resp.

∂h(x, y)

∂x=

√xy + y2 +

y

2√xy + y2

,∂h(x, y)

∂y=

x+ 2y

2√xy + y2

2. h(x, y) = y 5√x2 + xy + y2.

3. h(x, y) = ln(1 + x2 + y4). Resp.∂h(x, y)

∂x=

2x

1 + x2 + y4;

∂h(x, y)

∂y=

4y

1 + x2 + y4.

Exercıcio 3

Em cada item abaixo calcule∂h(x, y, z)

∂x,∂h(x, y, z)

∂ye∂h(x, y, z)

∂z.

1. h(x, y, z) =√x2 + xy − 2z2 + zy2.

2. h(x, y, z) = 3√x2 + xy − 2z2 + zy2.

3. h(x, y, z) = ln(1 + x2 + y2 + z4).


Exercıcio 4

Em cada item abaixo calcule∂h(x, y)

∂xe∂h(x, y)

∂y.

1. h(x, y) =√x2 + ln[5x− 2y2]. Resp.

∂h(x, y)

∂x=

[x+

5x

2(5x− 2y2)

](x2+ln (5x− 2y2))−

12

∂h(x, y)

∂y=

3y

2(5x− 2y2)(x2 + ln (5x− 2y2))−

12 .

2. h(x, y) =√y2 + ln[5y − 2x2].

Exercıcio 5

1. Na expressao x2z2 − 5xy5z = x2 + y3, suponha que x e y sejam variaveis exogenas e z seja variavel

endogena. Calcule∂z(x, y)

∂xe∂z(x, y)

∂y. Resp.

∂z(x, y)

∂x=

2x− 3x2z2 + 5y5z

2x3z − 5xy5∂z(x, y)

∂y=

3y2 + 25xy4z

2x3z − 5xy5

2. Na expressao x2z2 − 5xy5z = x2 + y3, suponha que y e z sejam variaveis exogenas e x seja variavel

endogena. Calcule∂x(y, z)

∂ye∂x(y, z)

∂z.

3. Na expressao x2z2 − 5xy5z = x2 + y3, suponha que x e z sejam variaveis exogenas e y seja variavel

endogena. Calcule∂y(x, z)

∂xe∂y(x, z)

∂z.

Exercıcio 6Nos ıtens a seguir, suponha que as variaveis exogenas K (unidades de estoque capital) e L (quantidade

demandada por mao de obra) sejam os unicos insumos da producao em uma Economia, entao se Y for aquantidade produzida, Y = F (K,L). Assumimos que F seja suave em P0 = (K0, L0) , ou seja, as derivadasparciais de F estao definidas em P0.

1. Se F (K,L) = K25L

35 e P0 = (104, 1024), podemos afirmar que a producao aumenta quando houver

pequeno acrecimo do estoque de capital K0 com demanda por trabalho permanecer constante e iguala L0?

2. Se F (K,L) = K25L

35 e P0 = (104, 1024), podemos afirmar que a producao aumenta quando houver

pequeno acrecimo da demanda por trabalho permanecer constante e igual a L0 for medida e o estoquede capital K0 permanecer constante e igual a L0?

3. Calcule a taxa de variacao da producao em P0 na direcao do vetor u = 2ı + ȷ.

4. Calcule a direcao tal que a taxa de variacao da producao em P0 e zero.

5. Se Y = F (K,L) = K25L

35 e P0 = (104, 1024). Suponha que K = K(r) e L = L(r), onde r e a taxa real

de juros desta Economia. Entao a producao e dada endogenamente como funcao da variavel exogenar, isto e, Y = Y (r) = F (K(r), L(r)).

a - Calcule Y ′(r).

b - Se K ′(r0) = − 132 e L′(r0) = −10−2, calcule Y ′(r0).

6. Se Y = F (K,L) = K25L

35 e P0 = (104, 1024). Suponha que o estoque de capital seja dado

endogenamente cujas variaveis exogenas sao a taxa real de juros desta Economia e G representaos gastos correntes do governo aqui representados por r e G respectivamente. Entao K = K(r,G) eL = L(r,G) e Y = F (K(r,G), L(r,G)).

a - Calcule∂Y (r,G)

∂re∂Y (r,G)

∂G.

b - Suponha que r0 = 0, 32, G0 = 106,∂K(r0, G0)

∂r= −0, 4,

∂L(r0, G0)

∂G= 0.01 e calcule

∂Y (r0, G0)

∂r

e∂Y (r0, G0)

∂G


Exercıcio 7Um sistema classico de funcoes dadas implicitamente ne Economia e o modelo IS − LM Keynesiano.

Y = C + I +GC = a+ b(Y − T )I = i0 − i1rMs = c1Y − c2r

(23.108)

Y e o PNB ou renda nacional, C e o consumo dos consumidores, I e o investimnto, G gastos governamentais,T e a coleta de impostos, Ms e a oferta de moeda, r e a taxa de juros e as letras minusculas sao parametros,que assumimos serem positivos com 0 < b < 1.

a- Reescreva o sistema (23.108) de modo que Y e r sejam variaveis endogenas e Ms, G e T sejamvariaveis exogenas. Resolova este sistema invertendo a matriz

B =

[1− b i1c1 −c2

].

b- Reescreva o sistema (23.108) de modo que G e r sejam variaveis endogenas e Ms, Y e T sejamvariaveis exogenas. Resolova este sistema invertendo a matriz correspondente a matriz B do item (a).

Exercıcio 8Defina ψ, ϕ : U ⊂ R2 → R dadas por

ϕ(Y, r,G) = α[E(Y − T, r) +G(r)− Y

ψ(Y, r,M) = β[L(Y, r)− M(r)

p

].

Onde U = x, y) ∈ R2 x > 0 e y > 0 , Y e o pruduto, r e a taxa de juros, E e o consumo mais gastos cominvestimentos, G e o gasto do governo, T e impostos menos transferencia de pagamentos, L e a demandapor moeda e p o nıvel de precos. Suponha que G, M , p e T estejam fixados. Os parametros β representa arazA£o de ajuste de bens no mercado e α a razao de ajuste monetario no mercado de moeda.

a: Encontre a matriz Jacobiana de ϕ e ψ.

b: Suponha que existe P ∗ = (Y ∗, r∗) tal que M(r∗) = 0.7, G(r∗) = 0.3,∂ϕ(P ∗)

∂Y= a

∂ϕ(P ∗)

∂r= b,

∂ϕ(P ∗)

∂G= c.

c: Use as informacoes do item (b ) e encontre condicoes sobre a, b e c para que 0 <∂E(P ∗)

∂Y< 1.

d: Use as informacoes do item (b ) e encontre condicoes sobre a, b e c para que∂E(P ∗)

∂r< 0.

e: Suponha que existe P ∗ = (Y ∗, r∗) tal que M(r∗) = 0.5, G(r∗) = 0.7,∂ψ(P ∗)

∂Y= x

∂ψ(P ∗)

∂r= y,

∂ψ(P ∗)

∂G= z.

d: Use as informacoes do item (e ) e encontre condicoes sobre x, y e z para que∂L(P ∗)

∂r< 0.

d: Use as informacoes do item (e ) e encontre condicoes sobre x, y e z para que∂L(P ∗)

∂r> 0.

Exercıcio 10. Dada F : Ωab⊂ R5 → R2, dada por F (x, y, z, u, w) = (xy2+xzu+yv+3, u3yz+3xv−u2v2−2),

Q0 = (1,−1, 0, 1, 2) ∈ Ω. Quando e possıvel,

a: escolha u, v como variaveis endogenas e como variaveis exogenas x, y, z e calcule∂v(x, y, z)

∂z,

∂u(x, y, z)

∂y,∂u(x, y, z)

∂ze∂v(1,−1, 0)

∂z,∂u(1,−1, 0)

∂y,∂u(1,−1, 0)

∂z.

b: escolha x, y como variaveis endogenas e como variaveis exogenas e calcule z, u, v∂x(z, u, v)

∂z,

∂x(z, u, v)

∂u,∂x(z, u, v)

∂ve∂x(0, 1, 2)

∂z,∂x(0, 1, 2)

∂u,∂x(0, 1, 2)

∂v.

24 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 102

b: escolha x, y como variaveis endogenas e como variaveis exogenas z, u, v e calcule∂y(z, u, v)

∂z,

∂y(z, u, v)

∂u,∂y(z, u, v)

∂ve∂y(0, 1, 2)

∂z,∂y(0, 1, 2)

∂u,∂y(0, 1, 2)

∂v.

24 Referencias Bibliograficas

Referencias

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