Guia Matematica Octavo Ano(1)

PRESIDENTE DE LA REPBLICA

Rafael Correa Delgado Gloria Vidal Illingworth

MINISTRA DE EDUCACIN VICEMINISTRO DE EDUCACIN

Pablo Cevallos Estarellas

SUBSECRETARIA DE CALIDAD EDUCATIVA Alba Toledo Delgado GRUPO EDEB Proyecto: Matemticas 1,2,3 y 4 Educacin Secundaria Obligatoria Antonio Garrido Gonzlez Jos Luis Gmez CutillasDIRECCIN DE EDICIN DE EDUCACIN SECUNDARIA DIRECCIN EDITORIAL DIRECCIN GENERAL

Jos Francisco Vlchez Romn

Santiago Centelles CerveraDIRECCIN DE PRODUCCIN

DIRECCIN PEDAGGICA

Juan Lpez Navarro

EQUIPO DE EDICIN GRUPO EDEB Grupo edeb, 2008 Paseo San Juan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com En alianza conEDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIN

Marcelo Meja Morales Mara Alexandra Prcel AlarcnDIRECCIN EDITORIAL

GERENTE GENERAL

ADAPTACIN Y EDICIN DE CONTENIDOS

Equipo Editorial Don Bosco Humberto Buitrn A.

CREACIN DE CONTENIDOS NUEVOS

Marcia Pea Andrade Sal Serrano Aguirre Lorena Valladares Perugachi

Hernn Hermosa Mantilla Isabel Luna Riofro Pablo Larretegui Plaza

REVISIN DE ESTILO

COORDINACIN GRFICA Y REDIAGRAMACIN EDITORIAL

Pamela Cueva Villavicencio

DIAGRAMACIN DE PGINAS NUEVAS

Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Susana Zurita Becerra Franklin Ramrez Torres Patricio Llivicura Piedra Freddy Lpez Canelos Erika Delgado Chvez Sofa Vergara Anda

ILUSTRACIN DE PORTADA

Eduardo Delgado Padilla Darwin Parra Ojeda

MINISTERIO DE EDUCACIN DEL ECUADOR Primera edicin, Mayo 2011 Quito Ecuador Impreso por: EDITOGRAN S.A.

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquier forma que sea, por cualquier medio mecnico o electrnico, no autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cualquier utilizacin debe ser previamente solicitada. Editorial Don Bosco, 2011 DISTRIBUCIN GRATUITA

2

PresentacinLos textos Matemtica 8, 9 y 10 estn orientados a trabajar, de manera progresiva, distintas destrezas con criterios de desempeo, a partir de situaciones de aprendizaje-enseanza que exigen conocimientos, razonamientos y aplicaciones en la prctica. La estructura metodolgica se fundamenta en el aprendizaje significativo, siempre dentro de un enfoque globalizador e interdisciplinar, que permita a los y las estudiantes adoptar progresivamente mtodos y estrategias matemticos, a la par de valores como la equidad etaria, la democracia y el respeto a la naturaleza, al ser humano, a la sociedad y a las culturas. Los textos buscan potenciar actitudes y hbitos de trabajo; desarrollar la autonoma personal para construir relaciones interpersonales dignas; afianzar un comportamiento participativo y de respeto a las diferencias, valorar la importancia de las herramientas tecnolgicas y de la ciencia en la vida cotidiana y fomentar un espritu crtico y reflexivo. Persiguen un triple objetivo: Formativo. Contribuir al desarrollo de las capacidades cognitivas abstractas y formales de razonamiento, deduccin y anlisis que permiten construir una visin alternativa de la realidad, a travs del desarrollo de modelos matemticos. Lo anterior se encamina a cubrir las macrodestrezas de comprensin de conceptos y comprensin de procesos. Funcional. Desarrollar un conjunto de procedimientos, estrategias de resolucin de problemas y tcnicas de clculo que permiten solucionar problemas de la vida cotidiana y sistematizar procesos de produccin, es decir, se enfoca a la macrodestreza de aplicacin de conocimientos. Instrumental. Por una parte, interpretar hechos de la vida cotidiana y, por otra, expresar y comunicar los conocimientos matemticos en otros mbitos del aprendizaje. Se vincula con la macrodestreza de aprender a aprender.

Metodologa De acuerdo con la propuesta para el rea de Matemtica del nuevo documento de Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin General Bsica, los textos de Matemtica de 2. a 10. aos trabajan los conocimientos en mdulos, es decir, integrando los bloques curriculares matemticos (Relaciones y Funciones, Estadstica y Probabilidad, Numrico, Geomtrico, de Medida) para comprender la fuerte relacin que guardan entre s. En este sentido, en cada mdulo de los textos se relacionan, al menos, dos bloques curriculares matemticos. Los procedimientos que se aprenden y se utilizan facilitan esta interrelacin. El proceso de aprendizaje recurre inicialmente a mtodos inductivos que parten siempre del entorno conocido por los estudiantes. La manipulacin y la experimentacin son instrumentos bsicos para el conocimiento y dominio de conceptos y tcnicas de trabajo necesarios en matemticas. Los mtodos deductivos y el uso de lenguajes abstractos se convierten en un punto de llegada y en la culminacin del aprendizaje.


Explicacin de las secciones generales en el texto para estudiantes Actividad inicial Plantea una actividad relacionada con la vida cotidiana, a travs de la cual se pueden inferir los conocimientos que se trabajarn en el mdulo. El estudiante intentar resolverla antes de comenzar con el aprendizaje, utilizando las estrategias que conozca hasta ese momento, ya que, esto le permitir tener conciencia de sus capacidades y limitaciones. En este sentido, es un reto de motivacin para los nuevos conocimientos. Prerrequisitos Activacin de conocimientos previos, tanto de conceptos como de procedimientos para el estudio del mdulo. Se sugieren actividades de evaluacin diagnstica. Cmo resolver problemas Esta seccin es de gran ayuda para los docentes y para los estudiantes, ya que, fomenta el autoaprendizaje y permite adquirir herramientas para la resolucin de problemas. Aunque se enfoca al mbito matemtico, la metodologa puede ser aplicada en cualquier rea o tipo de problema. En resumen Sntesis de los principales conocimientos de la unidad y un esquema grfico que muestra la relacin entre estos. Ejercicios y problemas integradores Seccin en la que se desarrolla un problema que integra los conocimientos que son parte de los bloques curriculares trabajados en el mdulo. Se sigue un mtodo para la resolucin de problemas que permite llegar al resultado. Al finalizar, se plantea un problema de caractersticas similares que deber ser resuelto en forma autnoma o en grupo por los estudiantes. Ejercicios y problemas Una vez finalizada la comprensin de conceptos y procesos, se presenta esta seccin en la que se aplican los conocimientos. La resolucin de ejercicios y problemas se convierte en un indicador para los docentes sobre el avance logrado o de la necesidad de refuerzo. Demuestra tu ingenio Plantea actividades en donde los estudiantes ponen a prueba su razonamiento y lgica matemtica y aplican diferentes procedimientos y estrategias para resolver acertijos, enigmas, juegos, problemas Buen Vivir Seccin en la que se articulan los principios fundamentales del Buen Vivir con aspectos de la realidad de nuestro pas. Busca motivar la reflexin, la toma de decisiones y posterior ejecucin de acciones positivas a favor del ambiente, de la sociedad y de las relaciones democrticas y para la paz. Al inicio de cada mdulo se muestra un artculo de la Constitucin de la Repblica del Ecuador relacionado con el eje elegido y al finalizar el mdulo se desarrolla el tema con profundidad. Autoevaluacin y coevaluacin Permite comprobar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeo que estn propuestas y trabajadas en cada uno de los mdulos.


Seccin de historia Una resea de la evolucin histrica de los conocimientos que se aprenden en el mdulo. Crnica matem tica Conjunto de noticias, curiosidades, ancdotas relacionadas con los conocimientos del mdulo. Adicionalmente, al interior de cada mdulo, se utilizan estrategias relacionadas con el clculo mental, el uso de la calculadora, el uso de las TIC, el trabajo grupal, entre otras. Resultados esperados con el uso de los textos Matemtica 8, 9 y 10 Se busca una formacin integral de los estudiantes, mediante el desarrollo de: Destrezas matemticas. Destrezas de comunicacin. Destrezas de interaccin interpersonales. Destrezas de interaccin con el mundo fsico. Destrezas para el tratamiento de la informacin. Destrezas para la comprensin del mundo digital. Valores sociales y ciudadanos. Valores culturales y artsticos. Autonoma e iniciativa personal. Autoevaluacin y evaluacin conjunta. Capacidad de aprender a aprender.

Estrategias motivacionales para la enseanza de la matemticaSegn Good y Brophy (1998), los docentes en el proceso de enseanza deben lograr seis objetivos motivacionales: 1. Crear un ambiente de aprendizaje favorable en el aula para minimizar la ansiedad haciendo que los alumnos logren un mejor desempeo. 2. Los docentes necesitan estimular la motivacin para lograr aprender en conexin con contenidos o actividades especficas proyectando entusiasmo, induciendo curiosidad, disonancia, formulando objetivos de aprendizaje y proporcionando retroalimentacin informativa que ayude al alumno a aprender con conciencia, sensatez y eficacia. 3. El educador debe discutir con los alumnos la importancia e inters de los objetivos impartidos, relacionndolos con el quehacer diario, incentivndolos hacia la bsqueda de nuevas informaciones en libros, Internet, videos, programas de televisin en donde se traten temas actuales que se relacionen con la asignatura. 4. Explicar y sugerir al estudiante que se espera que cada uno de ellos disfrute el aprendizaje. 5. Ejecutar las evaluaciones, no como una forma de control, sino como medio de comprobar el progreso de cada alumno. 6. Ayudar al estudiante a adquirir una mayor conciencia de sus procesos y diferencias referente al aprendizaje, mediante actividades de reflexin, estimulando la conciencia metacognitiva de los alumnos. En virtud de lo sealado, el docente puede alcanzar una enseanza eficaz. Debe poner en prctica su creatividad para diversificar la enseanza, con un poco de imaginacin, los trabajos de pupitre rutinarios los puede transformar en actividades desafiantes para el alumno.Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Mdulo

Nmeros enterosObjetivo del mdulo Leer, escribir, ordenar y comparar nmeros enteros, en situaciones matemticas concretas, mediante la realizacin de diversos ejercicios para resolver problemas combinados con las seis operaciones bsicas.

1

s Bloques: Numrico. Relacione y funciones

DDCCDD Destrezas con criterios de desempeo Leer y escribir nmeros enteros. Ordenar y comparar nmeros enteros en la recta numrica. Resolver las cuatro operaciones de forma independiente con nmeros enteros. Resolver operaciones combinadas con nmeros enteros. Utilizar las estrategias y las herramientas matemticas adecuadas para resolver problemas mostrando se- guridad y confianza en las propias capacidades. Usar la calculadora de forma racional en la resolucin de problemas. Generar sucesiones con nmeros enteros.

Estrategias metodolgicas

Relacionad con la DCD: a

Leer y escribir nmeros enteros.

2

Para la activacin de conocimientos previos Recuerde qu son los nmeros naturales y su forma de representacin. Es muy importante precisar

estos conceptos fundamentales, antes de avanzar a un nuevo conjunto numrico. Para hacerlo, remtase a los conocimientos y a las actividades de la evaluacin diagnstica, de la pgina 9 del texto para estudiantes. Para conseguir que los estudiantes alcancen una comprensin adecuada de los mecanismos de las operaciones es conveniente atribuir significados a las expresiones numricas, o bien, proponer un enunciado a propsito de ellas. Por ejemplo: 1. Escribe cinco frases en las que intervengan nmeros naturales. 2. Expresa las frases anteriores mediante cifras. 3. Representa las cantidades de las frases con material concreto, se propone utilizar el baco en las que sean posibles.Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Una vez que ha reforzado el conocimiento previo sobre los nmeros naturales y las operaciones que

pueden realizarse con estos, proceda a introducir el nuevo conocimiento. Recapitule que los nmeros naturales son los primeros que surgieron en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar son las ms elementales que se pueden realizar. El nmero natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto. Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se denota por , donde: = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} La exclusin del cero es un error, su inclusin se apoya en los axiomas de Peano de finales del siglo

XIX.

Para la construccin del conocimiento Es conveniente que los estudiantes se den cuenta de la necesidad de los nmeros enteros en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Es posible trabajar con material concreto para que los alumnos visualicen los procesos y puedan trabajar con los nmeros enteros. Un material fcil de conseguir son fichas u objetos iguales de dos colores distintos. As las fichas azules representan nmeros positivos y las rojas, los negativos. Por ejemplo: 1. Pdales que recuerden cmo son los botones de un ascensor y cmo indican los pisos subterrneos y los pisos altos. Asociar la planta baja con el nmero cero. 2. Si es posible, hgales observar un termmetro ambiental para que expliquen por qu hay nmeros sobre y bajo el cero. Luego de esto, explique que todos los nmeros enteros tienen su opuesto, que se diferencian en su signo. As el opuesto de +5 es 5; el de 65 es + 65 y el opuesto de cero es cero, si x es un nmero entero, x es su entero opuesto. Por lo tanto, los nmeros enteros son el conjunto formado por los nmeros naturales y sus opuestos. El valor absoluto de un entero es el mismo nmero si es positivo o cero, es su opuesto en caso de ser entero negativo. As: |15| = 15 |+1 350| = 1 350 |0| = 0

De esta manera, los estudiantes comprendern la concatenacin de los conocimientos y les ser ms sencillo proceder a la ordenacin de los nmeros sobre la recta numrica. Para que esta actividad pueda ser ms significativa, promueva un salto de lo concreto a lo abstracto: solicteles que construyan una recta numrica y ubiquen distintos nmeros enteros positivos y negativos, analizando cul es mayor que uno o cul es menor que otro. Una vez que dominen este procedimiento, pdales que realicen la ordenacin y comparacin de los nmeros sin recurrir a la recta.

Para la aplicacin del conocimiento Examine los pasos que deben seguir para ubicar los nmeros enteros sobre la recta numrica y verifique su ordenacin. Observe la correspondencia entre los nmeros enteros y los naturales para utilizar la definicin de valor absoluto de un nmero entero, lo cual significa que el valor absoluto de un nmero entero equivale a la distancia del nmero hasta el cero: |x| = d(x, 0). Proponga a sus estudiantes que busquen nmeros enteros en un peridico (relacionados con temperaturas, fechas histricas, clasificaciones deportivas) para que puedan interpretar el significado del nmero entero. Utilice la siguiente informacin para trabajar en ejercicios de lectura y escritura de nmeros:Montaas ms altas del Ecuador con respecto al nivel del mar Nombre Chimborazo Cotopaxi Cayambe Antisana Altar Iliniza Sur Sangay Iliniza Norte Tungurahua Carihuairazo Altitud (metros) 6 310 5 897 5 790 5 758 5 319 5 263 5 230 5 116 5 023 5 018 Nombre Cueva de Krubera-Voronga Illuzia-Snezhnaja-Mezhonnogo Gouffre Mirolda Vogelshacht y Lamprechtsofen Reseau Jean Bernard Torca Cerro del Cuevon Sarma Shakta Vjacheslav Pantjukhina Sima de la Cornisa Cehi 2 Simas ms profundas del mundo respecto del nivel de superficie Ubicacin Georgia Georgia Francia Austria Francia Espaa Georgia Georgia Espaa Eslovenia Profundidad (m)

Realice un trabajo grupal para realizar una simulacin de la bolsa de valores. Pida a un grupo de sus


2 191 1 753 1 726 1 632 1 602 1 589 1 543 1 508 1 507 1 512

estudiantes que ideen productos y empresas para que puedan negociar sus acciones. El resto de la clase, decidir cul comprar. De este modo, podrn ver por qu suben o bajan de valor las acciones en la bolsa.

Para la evaluacin Verifique que sus estudiantes puedan encontrar otras situaciones de la vida cotidiana en las que se utili-

cen nmeros enteros: negativos y positivos. Cambie la situacin de origen para que los alumnos/as ubiquen el origen de los nmeros enteros repre-

sentados en la recta por puntos. Pdales que planteen problemas con nmeros enteros. Para lograr una evaluacin con criterios de desempeo, utilice la simulacin de la bolsa de valores. A travs de la observacin, usted puede determinar qu personas han comprendido claramente qu son los nmeros negativos y cmo estos son utilizados en una situacin concreta para comparar enteros mediante la relacin de orden, utilizando los smbolos mayor que (>) o menor que ( 17 Hallamos la diferencia entre las sumas de los valores absolutos anteriores: 38 17 = 21 Al resultado anteponemos el signo correspondiente al de la suma parcial de mayor valor absoluto; en este caso, positivo, por tanto: (+25) + (12) + (5) + (+13) = +21. 1. Sigue los pasos anteriores para calcular las siguientes sumas. a) (34) + (+28) + (+14) + (23) b) (+18) + (+83) + (42) + (15) + (+21) c) (27) + (+45) + (12) + (24) Veamos cmo se efecta la resta de nmeros enteros. Observa cmo procedemos para resolver la siguiente resta, y recuerda para ello que restar un nmero entero es equivalente a sumar su opuesto.Opuesto

(12) (5) = (12) + (+5) = 7 Si aparecen combinadas sumas y restas, transformamos previamente las restas en sumas. Observa:Opuesto

(+5) + (7) (+23) + (12) = (+5) + (7) + (23) + (12) = = (+5) + (42) = 37

2.

Efecta las siguientes operaciones. a) (+34) (13) + (8) (21) b) (36) + (42) (56) + (+29) c) (+67) (12) + (25) + (+14) d) (16) + (21) (43) + (61) e) (24) (+38) + (61) + (+15) (128) + (192) f) (18) + (83) + (42) + (15) + (21)


911

Ficha

2

Refuerzo

Multiplicacin y divisin de nmeros enteros

Nombre:

....................................................................................................

Curso:

.........................................

Fecha: ........................................

Veamos cmo se efecta la multiplicacin de nmeros enteros. Para ello debers recordar la ley de los signos para la multiplicacin. Ley de signos Si se multiplican o dividen dos nmeros enteros, el resultado es positivo mientras los dos posean el mi s m o signo. En cambio, si tienen signos diferentes entre s, el resultado ser negativo.

+1 1

+1 +1 1 1 1 +1

Observa cmo procedemos para resolver la siguiente multiplicacin: (+25) (3) Multiplicamos los nmeros prescindiendo del signo: 25 3 = 75 Determinamos los signos, segn la ley de signos para la multiplicacin. (+25) (3 ) = 75 1. Sigue los pasos anteriores para calcular los siguientes productos. a) (+34) (6) b) (4 ) (+36) c) (15) (9) d) (+54) (+12) e) (+25) (4) f) (32) (+3)

Veamos cmo se aplica la ley de signos en la divisin de nmeros enteros. Para ello recuerda que debe estar definda la divisin, puesto que no toda divisin entre enteros es un entero.

+1 1

+1 +1 1 1 1 +1Observa cmo procedemos para resolver la siguiente divisin: (48) (+4) Dividimos los nmeros prescindiendo del signo: 48 4 = 12Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Colocamos los signos segn la regla de los signos para la divisin: () (+) = () (48) (+4 ) = 12 2. Sigue los pasos anteriores para calcular las siguientes divisiones. a) (+36) (6 ) b) (36) (+4 ) c) (18) (9 ) d) (+54) (+2 ) e ) (+24) (4) f) (33) (+3)

12

Mdulo

Ficha de evaluacin

1

Nombre:

....................................................................................................

Curso: .........................................

Fecha: ........................................

1. Escribe, mediante nmeros enteros, cada una de las siguientes situaciones y a continuacin halla el valor absoluto del nmero entero obtenido.Nmero entero La temperatura es de 5 C bajo cero. Hace 10 aos. He subido 2 pisos. He ganado 6 dlares. 3 m por debajo del nivel del mar. Valor absoluto

2. Indica el valor de los nmeros representados por A, B, C y D para cada uno de los siguientes casos. a) A = 0 b) B = 2 c) C = 7 d) D = 0

A

B

C

D

3. a) Escribe todos los nmeros enteros comprendidos entre 3 y 4. b) Escribe cinco nmeros enteros mayores que 4. c) Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros enteros: +3, 50, 3, +20, 0. d) Completa: El mayor de dos nmeros enteros positivos es el que tiene .................. valor absoluto. El mayor de dos nmeros enteros negativos es el que tiene .................. valor absoluto. 4. Resuelve las siguientes operaciones. Suprime previamente los parntesis innecesarios. a) (3) + (4) b) (13) (+4) c) (3) + (+4) d) (3) + [(+3 (2)) + (4)] (4) e) (5) (10) f) (3) + [5 + 3 (3 + 4)] + (3)

5. Efecta las siguientes operaciones. Suprime previamente los parntesis innecesarios. a) (3) (2) (10) Completa: Para multiplicar dos nmeros enteros se multiplican los .................. .................. de los factores y se pone el signo dado por la regla de .................. ................... Para hallar el cociente exacto de dos nmeros enteros se dividen sus .................. .................. y se pone el signo dado por .................. .................. .................. .................. ................... 6. Si un submarino se encuentra a una profundidad de 215 m bajo el nivel del mar y desciende hasta una profundidad de 465 m por debajo del nivel del mar, cuntos metros ha descendido? 7. Resuelve las siguientes operaciones. a) (2) 6 c) b) 5 4 3 249Distribucin gratuita - Prohibida la venta

b) (1) (+14) (5)

c) (25) (5)

d) (60) (+15)

8. Encuentra los siguientes tres nmeros que corresponden a los trminos de la sucesin.

10; ...

13

Mdulo

1

1.

Ficha de evaluacin

SolucionarioNmero entero Valor absoluto 5 10 2 6 3

La temperatura es de 5 C bajo cero. Hace 10 aos. He subido 2 pisos. He ganado 6 dlares. 3 m por debajo del nivel del mar. 2. a) A = 0, B = 6, C = 13 y D = 18 b) A = 6, B = 0, C = 7 y D = 1 2c) A = 13, B = 7, C = 0 y D = 5 d) A = 18, B = 12, C = 5 y D = 0 a) 2, 1, 0, 1, 2 y 3 b) Respuesta sugerida: 3, 2, 1, 0 y 1 c) 50 < 3 < 0 < +3 < +20 d) mayor; menor. 4.

5 10 +2 +6 3

3.

a ) (3 ) + (4 ) = 3 4 = 7 b) (13) (+4 ) = 13 4 = 17 c) (3 ) + (+4 ) = 3 + 4 = 1 d) (3 ) + [(+ 3 (2)) + (4 )] (4 ) = 3 + (3 + 2 4 ) + 4 = 2 e ) (5 ) (10) = 5 + 10 = 5 f) (3 ) + [5 + 3 (3 + 4 )] + (3 ) = 3 + (5 + 3 + 3 4 ) 3 = 9 a ) (3 ) (2 ) (10) = 3 (2 ) (10) = 60 b) (1 ) (+14) (5 ) = 1 14 (5 ) = 70 c) (25) (5 ) = 25 (5 ) = 5 d) (60) (+15) = 60 15 = 4 valores absolutos, los signos, valores absolutos, la regla de los signos

5.

6. 7. 8.

215 (465) = 250. Por tanto, el submarino ha descendido 250 m. a) 64; b) 625; c) 57. a) 8; 6; 4.Puede continuar Necesita refuerzo


Indicadores esenciales de evaluacin Opera con las cuatro operaciones bsicas en el conjunto de nmeros enteros. Compara y ordena nmeros enteros. Aplica correctamente los algoritmos de suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros enteros. Calcula potencias de base entera y exponente natural. Calcula races con radicando entero. Efecta correctamente sumas y restas combinadas de nmeros enteros, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y parntesis. Valora la utilizacin de los nmeros enteros en diversas situaciones de la vida cotidiana.

% de alumnos/as

14

Mdulo

Nmeros fraccionariosObjetivo del mdulo Operar con nmeros fraccionarios, a travs de la aplicacin de reglas y propiedades de las operaciones bsicas para aplicarlos en diversas situaciones de la vida cotidiana.

2

Bloques: Numrico. Relaciones y funciones

DCD Destreza s con criterios de desempeo Leer y escribir nmeros racionales fraccionarios. Ordenar y comparar nmeros racionales fraccionarios. Resolver operaciones combinadas de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin exacta con nmeros racionales. Simplificar expresiones de nmeros racionales con aplicacin de reglas de potenciacin y radicacin. Valorar y respetar las estrategias y soluciones a problemas numricos distintas de las propias. Generar sucesiones con multiplicacin y divisin.


Relacionad con la DCD: a

Resolver operaciones combinadas de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin exacta con nmeros racionales.

Para la activacin de conocimientos previos Recuerde que un nmero natural es cualquiera de los nmeros 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para

contar elementos o cosas. Los nmeros enteros son del tipo: 59, 3, 0, 1, 5, 78, 34 567, etc., es decir, los naturales y sus opuestos (negativos). Nmero racional es todo aquel que puede ser expresado como resultado de la divisin de dos nmeros

enteros, considerando que el dividendo no puede ser cero por no estar definida su divisin. Revise los prerrequisitos al comienzo del mdulo. Al iniciar el estudio de las fracciones es conveniente que tenga presente la necesidad de dividir la uni-

dad en partes iguales e insista que una fraccin no tiene ningn significado si no se aplica a una unidad dada. Para ello proponga la realizacin de las siguientes actividades complementarias:Distribucin gratuita - Prohibida la venta

1. Dibuja tres rectngulos iguales, divdelos en dos partes iguales de distintas maneras y compara la medida de estas partes. 2. Divide distintas figuras planas en un mismo nmero de partes iguales. Recapitule el concepto de fraccin a partir de situaciones prximas a la realidad y haga notoria la insufi-

ciencia de los nmeros enteros para expresar algunas cantidades. Realice la evaluacin diagnstica, adicione ejercicios de colorear partes fraccionarias, para fijar conoci-

miento e impartir los conceptos referentes al mdulo en estudio.

15 15

Para la construccin del conocimiento Aplique la amplificacin (multiplicar el numerador y denominador por un mismo nmero) y simplificacin (dividir la fraccin, manteniendo su proporcionalidad) de fracciones, para que dadas dos fracciones heterogneas se encuentren dos fracciones homogneas equivalentes a las primeras. Siempre que se amplifica una fraccin, se obtendr una fraccin equivalente; es decir, fracciones que representan la misma cantidad. Por ejemplo: 1 2 3 4

=

=

=

5

10

15

20

Cada vez que se simplifique una fraccin se puede (debe) llegar hasta la fraccin irreductible, es decir, aquella que no se puede simplificar ms. Por ejemplo: 25 5 1 100

=

20

=

4

Comience con la adicin y sustraccin de fracciones homogneas, luego con fracciones heterogneas. Para sumar (o restar) dos fracciones, stas deben ser homogneas, la fraccin resultado se obtiene sumando (o restando) los numeradores y manteniendo el mismo denominador. En caso de ser fracciones heterogneas, primero se debe encontrar fracciones equivalentes a ellas que sean homogneas y posteriormente se operan como homogneas. 7 1 6+43 6 4 3 1 1 + = + = = 12 12 12 12 12 2 3 4

Para multiplicar fracciones se operan los numeradores entre s y los denominadores entre s. En el caso de la divisin se aplica su algoritmo, que indica que debe operarse el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Para la aplicacin del conocimiento Pida a sus estudiantes realizar la siguiente actividad grupal: 1. Corten de una hoja A4 de cartulina verde; 2 5 de una hoja de cartulina celeste; na roja. Corten de una hoja de cartulina amarilla estas cantidades2 15 3 7

de una hoja de cartuli-

,

3

8

,

1

8

.

2. Sumen esas cantidades y calculen qu parte de la hoja de papel es la suma. 3. Tomen la mitad de cada cantidad y encuentren qu parte es de la hoja original. 4. Hagan lo mismo para el doble de cada parte cortada. 5. Corten en dos partes iguales un pedazo de papel bond de 10 cm de lado. Partan uno de los medios en dos partes iguales. Vuelvan a dividir uno de los medios en dos partes iguales. Otra vez, vuelvan a segmentar uno de los medios en dos partes iguales. Calculen qu parte es, del papel original, el pedacito ms pequeo. 6. Consigan una jarra con medidas y agua para medir litro, litro, posible. litro y todas las fracciones que les sea1 3,

7. Corten una tira de papel de 1 metro de largo y, por plegado, calculen estas fracciones de metro: , , 5 8 3 . 4

,

1

5,

Para la evaluacinDistribucin gratuita - Prohibida la venta

Proponga el problema de la seccin Practica de la pgina 59. Con este puede verificar si los estudiantes comprenden el enunciado y obtienen el resultado correcto. En un pozo hay 60 000 m3 de agua. Esta semana se observ que haba disminuido a la mitad, la siguiente semana la mitad de lo anterior y as sucesivamente. Qu cantidad de agua contendr el pozo la sexta semana?

16 16

Inicio 60 000

1 30 000

2 15 000

3 7 500

4 3 750

5 1 875

6 937,5

De la pgina 61 del texto del estudiante, use los ejercicios 78, 80, 81 y 82 para realizar pruebas de evaluacin. Realice operaciones con nmeros fraccionarios, incluyendo operaciones combinadas. Considere la actividad 95 planteada en el texto del estudiante. Observe la participacin de los diferentes grupos en el juego y determine qu estudiantes tienen dificultad en realizarlo.

17 17

Relacionad con la DCD: Simplificar expresiones de nmeros a

racionales con aplicacin de reglas de potenciacin y radicacin.

Para la activacin de conocimientos previos El algoritmo para la multiplicacin de fracciones es el siguiente: 1. Multiplique los numeradores de las fracciones entre s. 2. Multiplique los denominadores de las fracciones entre s. 3. El resultado tiene por numerador al producto de los numeradores y por denominador al producto de los denominadores. 4. La fraccin resultado debe ser simplicada, en caso de ser posible. Es recomendable simplificar a las fracciones factores antes de operar, considerando los numeradores y denominadores que no sean primos entre s.

Para la construccin del conocimiento Observar la representacin de dos fracciones para inferir el concepto de fraccin equivalente.

Comprobar que cumplen la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes. Analizar el procedimiento para obtener fracciones equivalentes a una dada y, en particular, para

obtener su fraccin irreducible. Con los estudiantes, revise las pginas 54 y 55 y explique las reglas que se dan en el caso de la

multiplicacin de potencias de la misma base, divisin de potencias de la misma base, potencia de un produc- to, potencia de una potencia, potencia de exponente 1 y potencia de exponente cero. Propiedades 1. Potencias de igual base a) a. Cuando se multiplican potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes. 2 256 2 2 2 2 4 3 1+4+3 8 6 561 = = 3 =3 3 3 3 b) Cuando se dividen potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes. 2 34

2 = 2 3 3 3

43

=2

3

2. Si una potencia est elevada a otra potencia, se mantiene la base y se m ultiplican los exponentes. 2 2 3

23 =

3

2 =

2 =

6

64

3

3

729

Radicacin de nmeros racionales:

Para extraer la raz de un nmero racional (radicando), buscamos el nmero que elevado al ndice d por3

8 27

2 = 3

2 =porque

3

8 27

3

Es importante recordar que en el nmero racional se extrae la raz del numerador y la del denominador

por separado.

3

27 3 27 =3 3 = 4 64 64

3

En caso de que el ndice sea par, el radicando debe ser mayor o igual a cero, no hay races de ndice

par y radicando negativo.


resultado el radicando, si el nmero existe.

Para la aplicacin del conocimiento Realizar las actividades 52 y 53 propuestas en el texto del alumno. Proponer nuevos ejercicios que favorezcan la memorizacin de las potencias y races de los primeros

veinte nmeros. Segn el avance de los discentes, el grado de dificultad de

los ejercicios ser mayor. As que al final puedan resolver ejercicios como el planteado a mano derecha. Solicite a los estudiantes que lleven un registro de control de

su programa favorito para demostrar cmo se us el tiempo durante la emisin del mismo. Tomar el tiempo en segundos.

a) Cuntos segundos del programa se dedicaron a publicidad? b) Qu fraccin del programa se dedic a anuncios? c) Qu fraccin se dedic a otros? Cules fueron? d) Si el programa es diario, qu tiempo se dedica a los comerciales, en una semana? e) Qu patrones observas en la cantidad de tiempo dedicado a anuncios en los programas de televisin que ves?

Para la evaluacin Solicite a sus alumnos/as escribir en forma de fraccin una serie de expresiones cotidianas tales como:

Tom una cuarta parte de mis ahorros que eran 120, com una porcin del pastel de manzana que estaba dividido en 9 partes... Aproveche la actividad anterior para comentar acerca del uso de las fracciones en el lenguaje cotidiano

para comprobar si el alumno/a valora la utilidad del lenguaje numrico. Plantee la siguiente situacin problema:

Un alumno de 8. de EGB resolvi los siguientes ejercicios. Revisa si estn correctamente resueltos, de ser as mrcalos con , caso contrario con una . a) 253 253 = 1 b) 3 273 216 = 122 c) 3

4

+

3

3

4

=

5 53

4

Dado un grupo de fracciones, identifica las irreducibles, las equivalentes, los nmeros mixtos y fracciones iguales a la unidad. Recuerda sus definiciones. Fraccin irreducible: fraccin que no puede ser simplificada; en otras palabras, cuando su numerador y su denominador son primos entre s, es decir, su mximo comn divisor es 1. Fracciones equivalentes: tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes. Nmero mixto: integrado por un nmero natural y una fraccin propia. Fraccin igual a la unidad: en las que el numerador es igual al denominador. Pida a sus estudiantes que expongan y argumenten la solucin y los problemas surgidos en la misma.Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Utilice los ejemplos que aparecen a lo largo del mdulo para verificar la comprensin de estos conceptos. Una vez que lo haya logrado plantee nuevas actividades ms complejas.

Los alumnos/as pueden trabajar en grupo y despus de exponer la solucin hablar sobre las complica-

ciones surgidas en su resolucin. Para facilitar esta sugerencia y la comprensin de las operaciones as como la deteccin de posibles errores, se pueden construir domins sobre operaciones con fracciones.

Recomendaciones para docentesRaz cuadrada

Seccin para uso exclusivo del educador

Para el tratamiento de la raz cuadrada es importante recalcar lo siguiente: Sea b un nmero real positivo o cero, su raz cuadrada entera (si existe), es el nmero entero positivo a o cero, tal que el cuadrado de a sea b.2 b = a, si y solo si: a = b ; con a, b +

a)

4 = 2

b)

(2)2 = 4 = 2

c)

(2)2 = 4 = 2

d) 4 = 2

e)

4 , no tiene raz cuadrada en los enteros.

Recuerde que es un error afirmar que

4 es 2 y 2.

Buen Vivir:naturales

Educacin

ambiental

y

recursos

En la entrada del mdulo y en los ejemplos 1 y 2 de la pgina 41, usted puede tratar temas como tipos de energas, clasificacin de residuos y reciclaje. Adicionalmente, la entrada permite reflexionar sobre el uso racional de la energa. En la seccin de Cmo resolver problemas (pgina 56) se hace referencia a la energa y sus diferentes fuentes. Aproveche para hablar con los estudiantes sobre la situacin actual de la central nuclear japonesa de Fukushima. La central, necesita medio ao ms para llevar la nuclear a "parada fra". Los evacuados por la radiacin siguen sin fecha de regreso al hogar. La central ha daado el turismo, las exportaciones, el sistema elctrico japons, la imagen del pas y sus relaciones internacionales. Un mes despus del accidente la solucin no est cerca, es "una crisis multidimensional con un alcance sin precedentes. Cuando el 11 de marzo el terremoto dej sin suministro elctrico a la refrigeracin el problema se intensific. Un mes despus, tres reactores han sufrido explosiones de hidrgeno y se encuentra con el problema para refrigerar los reactores, para ello introduce agua que luego se escapa al exterior en forma de vertido radiactivo. Hay decenas de miles de desplazados por la radiacin, los nios no salen al patio en las escuelas o han sido enviados lejos con familiares y los agricultores y ganaderos de toda la prefectura de Fukushima encuentran dificultades para vender sus productos. Los mximos directivos han explicado un plan que tiene dos fases: la primera, de unos tres meses, intenta reducir al mnimo el vertido radiactivo. La segunda, de entre tres y seis meses, en llevar a parada fra los reactores, cuando no hay posibilidad de que se funda el ncleo. (htt p:// noticias-ambientales-internacionales.blogspot.com/2011/04/la-crisis-de-fukushima-se-eter niza.html). Cmo se desmantelara la central de Fukushima? A estas alturas no est claro cul ser la opcin que se tome en Fukushima. Las opciones ms baratas cargan de responsabilidad a futuras generaciones. Plantee las siguientes preguntas: Cules son los potenciales peligros para nuestro pas, en este ao, durante los prximos cinco? Cmo podemos contrarrestar los efectos? Cul debe ser la actitud de todos los ecuatorianos ante el consumo que tenemos de energa elctrica, combustibles de los vehculos? Finalmente, motive a sus alumnos/as para que escriban un compromiso de cmo ahorrar energa y llevarlo a cabo durante todo el ao lectivo. Smese a la iniciativa y haga un seguimiento permanente de los compromisos logrados.


Bibliografa htt p:// ww w.vitutor.net/2/3/5.html htt p:// el-profesor.8m.com/teoria_de_racionales.htm htt p:// ww w.eduteca.cl/images/pdf /8/mat/D12.pdf htt p:// ww w.matematicaclara.com/%C2%BFpor-que-y-como-ensenar-fracc iones/ PARRA, C. y SAIZ, I., Didctica de las matemticas, aportes y reflexiones, Paids, Buenos Aires, 2008.

Ficha

1

Refuerzo

Representacin de fracciones y fraccin de un nmero

Nombre:

....................................................................................................

Curso:

.........................................

Fecha: ........................................

Recuerda que toda fraccin consta de dos trminos:

a b

Numerador Denominador

El denominador indica el nmero de partes iguales en que se ha dividido la unidad. El numerador expresa las partes que hemos tomado. 1. Observa y completa la siguiente tabla.Numerador 1 Denominador 8 Fraccin 1 8 3 6 Grfica

7

8

Observa el procedimiento que seguimos para calcular la fraccin de un nmero. 2 de 210 = a 5 2 de 210. 5

210 5 = 42 ; 42 2 = 84; luego tenemos que 84 es los


2. Utiliza el procedimiento anterior para calcular: a) 4 de 10 = ....... 5 b) 3 10 de 50 = ....... c) 4 5 de 100 = ....... d) 2 de 28 = ....... 7

Observa ahora cmo procedemos para calcular un nmero del que conocemos una de sus fracciones. 2 de a = 40 5 40 2 = 20 ; 20 5 = 100; luego tenemos que 40 es los 2 de 100. 5

3. Utiliza el procedimiento anterior para calcular el trmino que falta. a) 2 de ....... = 30 3 b) 3 de ....... = 45 10 c) 4 de ....... = 24 5 d) 2 de ....... = 12 7

20

Refuerzo

Operaciones con fracciones

2Curso:.........................................

Ficha

Nombre:

........................................................................................................

Fecha: ........................................

1. Efecta grficamente las siguientes operaciones y escribe la fraccin resultante. a)+ =

b)

1 4

+

2 4

=

4 6

1 6

=

c)

+

=

d)

=

3 8

+

1 8

=

7 10

3 10

=

Recordemos ahora cmo se debe proceder cuando los denominadores son distintos.

2 4 + = 3 5

Reducimos las fracciones a mnimo comn denominador, y para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores. m.c.m. (3 y 5) = 15 Dividimos el valor del m.c.m. por el denominador de la primera fraccin y multiplicamos el resultado por su numerador. 15 3 = 5 ; 5 2 = 10 Dividimos el valor del m.c.m. por el denominador de la segunda fraccin y multiplicamos el resultado por su numerador. 15 5 = 3 ; 3 4 = 12 Sumamos las fracciones obtenidas. 2 3 + 4 5 = 10 15 + 12 15 = 22 15

Anlogamente, para restar fracciones con diferente denominador debemos reducir previamente las fracciones al comn denominador. Observa: m.c.m. (7 y 3) = 21 21 7 = 3 ; 3 5 = 15 21 3 = 7 ; 7 2 = 14 5 7 2 3 = 15 21 14 21 =

1 21

2. Sigue los pasos anteriores para resolver las operaciones que te proponemos a continuacin. a) 3 12 + 7 5 1 d) 3 + 3 4 e) b) 3 5 3 + + 7 8 11 11 9 4 5 f) c) 9 1 13 7 3 8 + 6 7 1 3

g)

2

3

2

3

h) 4

4 1 1 5 2 5

6

3 5

i)

1 7 +

2

+2

1 3 1

7

21


Mdulo

2

Ficha de evaluacin....................................................................................................

Nombre:1.

Curso: .........................................

Fecha: ........................................

Sustituye las palabras en cursiva por una expresin numrica. a) Media hora. b) Las tres cuartas partes de un iceberg estn sumergidas en agua. c) Los mares y los ocanos forman aproximadamente siete dcimos de la superficie del planeta. d) Un mes es la doceava parte de un ao. e) Un cuatrimestre es la tercera parte de un ao.

2. Escribe qu fraccin representan: a) 45 minutos de una hora b) 3 7 3. Completa: 2 a) 5 2 6 de 1 000 es ....... c) c) 2 das de una semana d) 2 3 5

.......

5 2.......

de 55 es 11

b)

de ....... es 600

d)

de 50 es 5

4. Identifica en las siguientes fracciones:

8 2 ; ; 12 12

1 4 ; 2 ; 6 3 c) d)

1 4

;

7 7

a) Una fraccin irreducible. b) Un par de fracciones equivalentes.

Un nmero mixto. Una fraccin igual a la unidad.

Escribe, ordenadas de menor a mayor, las fracciones anteriores. 5. Efecta las siguientes operaciones simplificando el resultado siempre que sea posible. a) 8 9 b) 2 + + 2 9 1 + 4 9 e) d) 4 : 2 5 4 2 5 + 1 4 5 1 5 3

3 c)Distribucin gratuita - Prohibida la venta

4 1 5 + 2 4 f)

7 2 3

3

9

6. Alicia tiene una bolsa de caramelos. Ella se queda con la mitad. Regala a scar, su mejor amigo, la mitad de la 1 otra mitad; a su compaera Raquel le da

3

de los que le quedan, y a su hermano pequeo le da

los restantes.

Si su hermano ha recibido 4 caramelos, cuntos les han correspondido a Alicia, a scar y a Raquel? Cuntos caramelos haba en total? Elabora un esquema. 7. Encuentra los tres siguientes trminos de la sucesin y el nmero que los relaciona.1 9

8. Efecta:4

;

1 3

; 1; 3; ........ ; ........ ; ...... ; ...

3

5

4

22

Mdulo

Ficha de evaluacin

Solucionari o1 1 3

2

1.

a)

1 2 3 4

; b)

3 4 3 7

; c)

7 10 2 7

; d)

12

; e)

.

2.

a)

; b)

; c)

; d)

13 5

.

3. a) 400; b) 1 800; c) 1; d) 20. 4. a) 1 4 2 5. a) 12 2 3 < ; b) 8 12 1 4 11 12 < , 4 6 ; c) 2 8 12 = 1 3 4 6 < 2 ; d) 7 7 7 7 5 2 ...... 5 5 ...... 5 Redondeo: 2,4 Redondeo: 1,5 Redondeo: 3,1

Observa cmo procedemos para hallar una aproximacin del resultado de una operacin con nmeros decimales: (3,95 + 7 ,9 (8,2 1 ,7 ) ) 5 Redondeamos cada uno de los nmeros y realizamos la operacin con los nmeros naturales: (4 + 8) (8 2) = 12 6 = 2 Luego el resultado de esta operacin ha de ser aproximadamente 2. Comprobmoslo: (3,95 + 7 ,9 (8,2 1 ,7 ) = 11,85 6,45 = 1,83... ) 5 2. Efecta las operaciones indicadas en la siguiente tabla, estimando previamente el resultado.Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Operacin (3,8 2) 1,999 25,9 (9,2 7 ,8 ) 25,9 9,2 7,8 74,9 7 2,1 74,9 (7 2 ,1)

Estimacin (4 2) 2 = 2 2 = 1

Resultado 1,8 1,99 = 0,90

29

Mdulo

3


Nombre:

Curso: .........................................

Fecha: ........................................

1. En la prueba de 100 m planos de una competicin atltica se han registrado las siguientes marcas: 12 segundos, 9 segundos 85 centsimas, 10 segundos 95 centsimas, 10 segundos 30 centsimas, 10 segundos 5 centsimas. Completa la tabla de la derecha, teniendo en cuenta que: El representante de Canad ha sido el primero. Espaa ha quedado en penltima posicin. El representante de Panam ha llegado a 2 segundos y 15 centsimas del primero. Ecuador ha quedado en segunda posicin. El representante estadounidense ha llegado 25 centsimas despus de la marca 10 segundos 5 centsimas. 2. Escribe en cifras las siguientes cantidades. a) Seis unidades y quince centsimas. b) Dos milsimas. c) Diecisis centsimas. d) Una unidad, cuatro dcimas y seis milsimas.1. 2. 3. 4. 5. Pas Tiempo (s)

Escribe cuatro situaciones cotidianas en las que podras utilizar estos nmeros. 3. Contina las siguientes sucesiones, aadiendo cinco trminos a cada una. a) 0,05; 0,1; ........; ........; ........; ........; ........ b) 3; 2,1; ........; ........; ........; ........; ........ Representa sobre la recta los nmeros de la serie b. 4. Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros. 2,5 ; 0,145 ; 1,45 ; 1,5 ; 0 ; 2,51 ; 3 ; 0,33 ; 0,333 ; 5. Resuelve las siguientes operaciones. a) 234 + 2,35 + 12 b) 1 200 125,75 c) 23,8 6,05 d) 1 795 0,47 e) 3,4 10 1,7 f) 2,5 (34 1 0 ,5 3 (2 1,5 + 2,7 1 ,2 ) ) 1 2

; 0,0145 ; 1,405

(En las divisiones, aproxima el cociente hasta las centsimas e indica el resto.) 6. Calcula: a) 5 % de 320 es ....... b) 1 000 es el 25 % de ........ c)........

% de 300 es 30....

d) 75 % de 1 200 es igual a los

4

de 1 200

7. En la tienda donde scar va a comprar los libros le hacen un descuento del 12 %. Cunto pagar por un libro de 10 dlares? Por qu nmero puede multiplicar la cantidad inicial para obtener directamente la cantidad resultado? 8. Resuelve: El volumen de un prisma cuadrangular regular es de 150 cm3. Si su altura mide 6 cm, cunto mide su arista bsica?


30

Mdulo

Ficha de evaluacin

Solucionari oTiempo (s) 9,85 10,05 10,30 10,95 12

3

1.1.o 2.o 3.o 4.o 5.o

Pas Canad Ecuador EE.UU. Espaa Panam

2. a) 6,15; b) 0,002; c) 0,16; d) 1,406 Respuesta sugerida: Los pueblos ms prximos se encuentran a una distancia de 6,15 km. Se detect 0,0002 g/dm 3 de sustancia txica en el agua del ro. Gan la carrera por 0,16 s. El trozo de carne pesaba 1,406 kg. 3. a) 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,35. b) 3; 2,1; 1,2; 0,3; 0,6; 1,5; 2,4. 3 2 2,4 1,5 1 0,6 0 0,3 1 1,2 2 2,1 3

1 < 1,405 < 1,45 < 1,5 < 2,5 < 2,51 < 3 2 5. a) 248,35; b) 1 074,25; c) 143,99; d) 3 819,14 y el resto 0,0042; e) 20; f) 47,53. 4. 0 < 0,0145 < 0,145 < 0,33 < 0,333 < 6. a) 16; b) 4 000; c) 10; d) 3. tanto por ciento, cien. 7. 8,8 dlares; 1 0,12 = 0,88 8. Arista = 5 cmPuede continuar Necesita refuerzo

Indicadores esenciales de evaluacin Utiliza de forma adecuada los nmeros decimales para recibir y producir informacin en actividades relacionadas con la vida cotidiana. Conoce y utiliza la equivalencia entre nmeros decimales y fracciones decimales. Efecta correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con nmeros decimales. Efecta mentalmente multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros. Efecta correctamente operaciones combinadas con nmeros decimales, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y parntesis. Redondea nmeros decimales hasta una determinada cifra decimal. Calcula el volumen de prismas y cilindros con varios mtodos. Valora positivamente la necesidad de expresar numricamente situaciones de la vida cotidiana

con nmeros decimales.Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Adquiere el hbito de analizar con espritu crtico informaciones que incluyan porcentajes.

31 31

% de alumnos/as

32 32

Mdulo

Polgonos: tringulos y cuadrilteros Iniciacin al lgebraObjetivo del mdulo Aplicar los conceptos elementales del lgebra y la geometra en la construccin de figuras geomtricas y en la resolucin de problemas.

4

Bloques: Geomtrico. Relaciones y funciones

DCD Destreza s con criterios de desempeo Construir figuras geomtricas con el uso de la regla y del comps siguiendo pautas especficas. Conocer los conceptos geomtricos elementales y aplicarlos en problemas de la vida cotidiana. Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un tringulo en grficos. Determinar el baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro en grficos. Expresar un enunciado simple en lenguaje matemtico. Reconocer y agrupar monomios homogneos. Utilizar los medios informticos para la representacin de figuras geomtricas.


Relacionad con la DCD: Construir figuras geomtricas con el uso de la aregla y del comps siguiendo pautas especficas.

Para la activacin de conocimientos previos Muchas veces, los estudiantes solo reconocen como polgonos a los que son regulares. Por este moti-

vo, es conveniente utilizar polgonos irregulares en los diferentes ejemplos, siempre que no sea precisa su regularidad. Se sugiere revisar los polgonos en el entorno en la Crnica matemtica, en la pgina 137 del texto para estudiantes. Tambin se debe acostumbrar a los alumnos a describir los polgonos y sus elementos con precisin y

a clasificarlos correctamente segn diferentes criterios. Para las descripciones puede hacerlo construyendo figuras mediante el uso del origami y realizando

preguntas que permitan evaluar los conocimientos previos. Por ejemplo: Qu significa equiltero y equingulo? Cundo dos rectas son paralelas, cundo son perpendiculares? Qu es vrtice, qu es ngulo? Cules son las semejanzas y diferencias entre un cuadrado y un rectngulo, entre un cuadrado y un rombo? Qu es un ngulo central? Para comprobar si los alumnos tienen clara la clasificacin de los cuadrilteros es conveniente formular preguntas como: En qu se diferencian y en qu se parecen un cuadrado y un rombo? Y un rectngulo y un cuadrado? Es necesario que los alumnos efecten con precisin y correccin las construcciones de los paralelogramos.


Tambin pueden proponerse construcciones de cuadrilteros, conocidos algunos de sus elementos. Por ejemplo: Dibuja un cuadriltero conocida la amplitud de tres de sus ngulos: 32, 55 y 72.

Para la construccin del conocimiento Es necesario que todos los alumnos identifiquen el material geomtrico y utilicen adecuadamente el comps. Indique a los estudiantes lo que pretende dibujar, marque el tiempo que deben tardar en realizar determinado trazo. Sea muy claro al dar las indicaciones, utilice el lenguaje matemtico adecuado. Trabaje con los estudiantes realizando los trazos de las pginas 111 y 114 del texto, ya que, en el primer caso son trazos sencillos y en el segundo la dificultad se incrementa. Una vez realizados las construcciones permita a los estudiantes que demuestren su creatividad coloreando o creando otros polgonos guindose en los procesos ya aprendidos.

Para la aplicacin del conocimiento En la pgina 115 del texto del estudiante, usted encontrar el proceso para realizar construcciones geomtricas en la computadora, lalas y previo al trabajo es importante que usted haya realizado trazos que le servirn de ejemplo en la clase. Permita que los estudiantes se familiaricen con la pantalla del programa a usarse para realizar los trazos geomtricos. Lea con los estudiantes las descripciones que se dan a cada uno de las opciones sobre el trazo o las caractersticas de los elementos geomtricos que se presentan en la pantalla. Solicteles que bosquejen, en la pantalla, elementos sencillos como un punto, una recta entre otros. Trabaje conjuntamente con los alumnos para realizar los trazos en la computadora siguiendo un adecuado proceso. Aproveche la oportunidad para realizar un repaso del clculo de permetros y reas de los polgonos trazados en la computadora.

Para la evaluacin Forme grupos de trabajo. Entregue a cada grupo pautas especficas para el trazo de polgonos. Verifique que el grupo haya cumplido con las consignas indicadas. Asegrese de integrar en las consignas grupales, no solo el proceso para el trazo de figuras sino tambin actitudes ante el trabajo colectivo y el buen uso de los materiales geomtricos y el comps.

Relacionad con la DCD: Determinar el baricentro, ortocentro, aincentro y circuncentro en grficos.

Para la activacin de conocimientos previosDistribucin gratuita - Prohibida la venta

Recuerde qu es un tringulo y cules son sus elementos, qu caracteriza los tringulos rectngulos y cmo se produce igualdad de tringulos. Indique un lado y dos ngulos contiguos del tringulo para que los estudiantes construyan la figura. Apyese en los prerrequisitos presentados en el texto para estudiantes. Es importante insistir en que los alumnos/as sean muy precisos en la clasificacin de los tringulos, para esto puede ser conveniente utilizar una tabla de doble entrada o mediante un diagrama en rbol.

Tambin se sugiere realizar y mantener en el aula un cartel como el que se presentar a continuacin para que se pueda verificar la correcta aprehensin de los conocimientos previos:

Por sus ladosa=b=c A = B = C = 60A A C

A

b a

c

abc ABCA

A

bC

Escaleno

B C

c

Equiltero

Issceles

B BaA

b

c

b

c

b=c B=C

a

b

c bB C

bC

C

a

B

B

c

A

a

cB

Clasificacin de los tringulos Rectngulo

C A

a c

B A A A^

aC

Acutngulo

bC

b cC

c

C^

Obtusngulo

^

a

B

A

b

}

> 90

^ A > 90

a> 90

bA

A

b

a b

B

B

c

A

c

cC

b

> 90

cB

C

a

B

C

a

B C

a

Por sus ngulos

a

B

Para la construccin del conocimiento Entregue a los estudiantes diferentes tringulos de papel (pueden ser equilteros, escalenos, issceles y tringulos rectngulos). A partir de las definiciones, usando plegados de papel (origami) sealen en los tringulos los puntos de in- terseccin de las medianas, alturas, mediatrices y bisectrices, pida que escriban conclusiones en una tabla. Verifique que entre las conclusiones que hacen los estudiantes, se mencione dnde se ubican los puntos notables en cada uno de los tringulos o cmo son las rectas notables con respecto a los lados. Realice la lectura de la pgina 109 del texto y solicite a los estudiantes que comparen la informacin con las conclusiones que sacaron en la actividad anterior. Forme grupos de trabajo y designe a cada uno de los grupos dos clases de tringulos para que realicen su trazo. Solicite a los estudiantes que tracen las rectas notables de los tringulos correspondientes y sealen los puntos notables. Pida que tracen circunferencias inscritas y circunscritas a los tringulos trazados. Utilizando la tabla del trabajo con plegados solicite que corrijan y completen las conclusiones.

Para la aplicacin del conocimiento Gue a los estudiantes a encontrar el centro de gravedad (baricentro) de cada uno de los tringulos y a argumentar sus conclusiones. Pdales que contesten a estas interrogantes y justifiquen sus respuestas.


1. Puede coincidir una de las medianas del tringulo con un lado? 2. La mediana correspondiente a un lado del tringulo lo corta siempre? 3. Se puede afirmar que el baricentro de un tringulo es siempre un punto interior de dicho tringulo? 4. Puede coincidir el baricentro de un tringulo con alguno de sus vrtices? 5. Cul es la relacin entre las distancias del baricentro a un vrtice y al punto medio del lado opuesto?

Para la evaluacinUtilizando el segundo ejercicio integrador de la pgina 129 solicite a los estudiantes que realicen la prctica de la pgina 130 y en grupos preparen una clase demostrativa del tema tratado. Observe la creatividad con la que cada grupo muestra sus conocimientos.

Recomendaciones para docentesPolinomios

Seccin para uso exclusivo del educador

Anteriormente se consideraba monomio a la expresin algebraica que constaba de un trmino; binomio: que tena dos trminos; trinomio: con tres trminos. Polinomio: que posea cuatro o ms. Muchos docentes han considerado nicamente esta informacin sin embargo, es importante conocer lo siguiente: Expresin algebraica: es una serie de nmeros y letras unidos mediante los signos de las operaciones aritmticas. Monomio: es una expresin algebraica en las que las nicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Polinomio: en una variable x es una expresin algebraica definida por: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+ ... + anxn, donde a es nmero real y n es un nmero natural. Si despus de reducir los trminos semejantes, el polinomio tiene un solo trmino, se le llama monomio; si tiene dos es un binomio; y si tiene tres se trata de un trinomio. Los polinomios 5x; 2x4 y5 son monomios; x7+ 7y3 es un binomio y 9x9+ x 3 es un trinomio. Se llama valor numrico de un polinomio P(x) con respecto a un nmero real a al nmero que se obtiene luego de efectuar operaciones en P(x) cuando se sustituye la variable x por a (notaremos P(a)). Hallar P(1) y P(2) en el polinomio: P(x) = 3x4 + 6x3 2x2 + x 2. P(1) = 3(1)4 + 6(1)3 2(1)2 + (1) 2 = 3 + 6 2 + 1 2 = 0 P(2) = 3(2)4 + 6(2)3 2(2)2 + (2) 2 = 3(16) + 6(8) 2(4) 2 2 = 108 Raz de P(x) a es raz de P(x) si y solo si P(a) = 0 En el ejemplo anterior observamos que P(1) = 0, por lo tanto, 1 es raz de P(x).

Buen Vivir: Educacin y culturaAproveche la entrada de mdulo para conversar sobre la conservacin del patrimonio cultural del Ecuador y del mundo. Tambin puede sugerir un dilogo sobre la diversidad lingstica y cultural, destacando tanto el aporte occidental como el de los pueblos originarios de nuestro pas. Lea con los alumnos/as los artculos 17 y 25 de la Declaracin de los Derechos Humanos sobre la vivienda de esta seccin en el libro del alumno, pgina 135. Pdales que comenten si esto se cumple o no en nuestro pas. En la pgina web: www.inec.gob.ec hay informacin sobre el censo de vivienda de 2010. Solicite que busquen la correspondiente al rea que habitan. Tienen alguna observacin a los resultados? Esta actividad ser de mucho provecho para realizar un anlisis de la situacin actual del Ecuador. Motive la reflexin individual y en grupo para que los estudiantes puedan plantear alternativas de cambio. Es muy importante que desde jvenes se vinculen con proyectos y formas de trabajo que beneficien a la sociedad.

Bibliografa http:// ww w.juegotangram.com.ar/ sectormatematica.cl/ppt/tangram.ppt www.sectormatematica.cl/pp t/Mediatriz%20y%20Bisectriz.pp s www.inec.gob.ec EQUIPO BIBLOGRAF, Matemticas Lexis 22/Vox, Crculo de lectores S. A., Espaa, 1981. CONSTITUCIN DE LA REPBLICA DEL ECUADOR, 2008. LEITHOLD, Louis, lgebra y Trigonometra con geometra analtica, Harna Mxico, Mxico, 1994.


Ficha

1

Refuerzo

reas y volmenes de cuerpos geomtricos

Nombre:

....................................................................................................

Curso:

.........................................

Fecha: ........................................

1. Observa y completa esta tabla.Figura PatrnAb 10 m 4m A A A A

rea A = A + A + A + A + A b + Ab A = 4 A + 2 Ab A = 4 (...... m ...... m) + 2 (...... m) A = ...... m2 + ...... m2 = ...... m2 A = A + A + A + A + ...... + ...... A = 5 ...... + Ab A = 5...... ...... ......2

2. Una fotografa por satlite de una isla del Pacfico revela que tiene la siguiente forma. Apolgono regular = Pa 2

Ab 4 mA A A A A

15 m

10 m 6,88 m

Ab 10 m

50 m 2

Calcula aproximadamente el rea de la isla mediante una triangulacin. Si la escala de la fotografa es 1:300 000, cul es la superficie aproximada de la isla? En qu caso crees que se cometer un error mayor al calcular la superficie de la isla? a) La isla es prcticamente plana. b) La isla es muy montaosa.

..... m ....... m . 10 m = ..... m P=5

22

+

4m

A = ...... m + ...... m = 547 m A = Al + 2 A b2

2

10 m

A = (2 4 m) 10 m + 2 (4 m)2 A = 251,2 m2 + 100,48 m2 A = 351,68 m2

3. Completa esta tabla.Figura4m

Expresin del volumen

h (altura)

A b (rea de la base)

V (volumen)

V = Ab h9m 3,46 m

9m

Ab =

4m m 2

......

=

...... m2

V = 6,92 m2 9 m V = 62,28 m3

8m

V = Ab h

......

m

A b = (...... m ) 2 =

...... m2

V = ...... m2 8 m V = ...... m3

3m

P = 5 ...... m =3,44 m 7m 5m

...... m

V = Ab h

......

m Ab = P=

...... m

3 ,44 m 2 =

V = ...... m2 V = ...... m3 =...... m2

......

m

...... ...... m ...... m

...... m

10 m 3,44 m 4m

V = Ab h

......

m Ab =

...... m 2

V = ...... m2 V = ...... m3

......

m

=

...... m2

4. Observa en la figura 1 los patrones de un prisma y una pirmide regulares, ambos de base cuadrada. Construye en cartn el patrn de los dos cuerpos, con las medidas que se indican en la figura 1. Llena la pirmide con arena y vierte el contenido en el prisma. Di cuntas veces has llenado la pirmide para completar el volumen del prisma.

l p

10 cm

10 cm


15 cm14,14 cm

V

Ab = A h h V =

Fig. 1.

36prisma b pirmide

......

Refuerzo

lgebra

2Curso:.........................................

Ficha

Nombre:

........................................................................................................

Fecha: ........................................

1. Completa la siguiente tabla.

Expresin 7 x 3y 6 x y2 2

Coeficiente 7

Parte literal x 3y

13 3 2 a bc

a b c

2. Identifica los trminos semejantes y reduce las expresiones siguientes. a) 5 n + 7 m 2 n 9 m + 6 n + 3 m = (5 2 + 6) n + (7 9 + 3) m = 9 n m b) 5 y 7 x 4 z + 8 y 2 z + 6 x + 4 y + 5 z c) 8 a 4 a 3 b + 5 b 9 a + 2 a3 b + 8 b 3. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Aplica la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma tal y como se muestra en el primer apartado. a) a b (a 2 + b c 3) = a b a 2 + a b b a b c 3 = a 3 b + a b 2 a b c 3

b) a b (a 2 b)

c) b c 2 (2 b 3 + a 3 c 4)

4. Identifica el factor comn en cada una de las siguientes expresiones y extrae factor comn. Fjate en el ejemplo:

5 a + 5 b = 5 (a + b)a) 3 x 2 + 3 x 3 b) 2 x 3 + 4 x 2 + x c) a b c + a b a b 2 c 2

5. Puede existir un valor de a para el cual el valor numrico de 1 + a 2 sea 1? Y para que el valor numrico sea un nmero negativo? Argumenta tu respuesta. 6. Calcula el valor numrico de las siguientes expresiones para el valor indicado de las variables. a) a 2 + b para a = 2 y b = 4 b) 2 a + 3 b a b para a = 3 y b = 2 c) a 2 + b + a b para a = 4 y b = 3 d) 2 a + a b a b c para a = 5, b = 2 y c = 3

7. Efecta las multiplicaciones siguientes aplicando previamente la propiedad distributiva. 2 12 2 2 1 5 c 2 d3 b d a 3 c4 a3 b2 2 a4 c a) 5 2 10 3 2 6 3 m b) 3 1 4 7 mn+ n 1 x2 + 4 y 2 1 xy 4 x2 + 3 xy+ 2 y2

m n2

m2

c) 10 8

2 3

3

9

3

4

3

8. Extrae factor comn. a) (x y) 3 (x y) (x + y) b) (x 2 + y)2 (x 2 + y) (x 2 y) + a (x 2 + y) (x 2 y)2

c) (x 2 y z) (x + y z) 3 (x + y z) (x y z) + (x + y z) 2

37


Mdulo

4


Nombre:

Curso: .........................................

Fecha: ........................................

1. Calcula el rea de una esfera inscrita en un cubo de 5 cm de arista. 2. Averigua si un lpiz de 10,5 cm cabe en esta caja:8 cm 6 cm 4 cm

3. Haz las transformaciones siguientes utilizando factores de conversin. 35 m3 = .................... dm3 0,05 m3 = .................... hm3 5 km3 =....................

dam3

38,24 cm3 =

....................

m3

4. Ordena estas cantidades de mayor a menor: 49 000 000 cm3, 6 100 000 000 mm3 y 0,0058 dam3. 5. Calcula las reas del prisma y del cilindro y los volmenes de todos los cuerpos geomtricos.

18 cm 12 cm

19,27 cm

5 cm 8 cm 8 cm 10 cm

a

5 cm

7 cm

10 cm b c 6,88 cm d 6 cm

6. Escribe una frase que represente defina cada una de las expresiones algebraicas siguientes. a) a 3 b) 2 (a + b) c) (a + 3) 2 d) a 2 + 3

7. En un despacho se instalan m mesas de seis patas cada una y triple nmero de sillas de cuatro patas cada una, para que trabajen dos personas en cada mesa. Representa, en funcin de m: a) El nmero de sillas; b) El nmero de personas que trabajarn en el despacho; c) El nmero de patas de sillas y mesas que habr en total; d) Calcula el nmero de sillas y de personas del despacho del ejercicio 12 si en total se han instalado 8 mesas. 8. Completa la siguiente tabla.Expresin algebraica 2a+b 3 a b 4 b + 4a Trminos Coeficiente Parte literal Valor de la expresin para a = 2 y b = 5

9. Opera:Distribucin gratuita - Prohibida la venta

a) 6 x 3 (2 4 x) b

b) 3 a 3 a b 2 a 2

10. Entre las siguientes cartas marca con un crculo las que contienen trminos semejantes y explica por qu.

a + bc

3b

2

2 3

abc

2

3ab

3abc

38

Mdulo

Ficha de evaluacin1. El radio de la esfera es 2,5 cm. Por lo tanto: A = 4 r2 = 4 2,52 = 78,5 El rea de la esfera es 78,5 cm2. 2. La longitud mxima que cabe en la caja es la de la diagonal del ortoedro. Llamamos D a esta diagonal.

Solucionari o5. a. Prisma cuadrangular recto A prisma = P h + 2 A base A prisma = (2 7 + 2 5) 12 + 2 (7 5) A prisma = 358 cm2 c. Cilindro A cilindro= 2 r (g + r) = 2 5 (8 + 5)6 D 4 d 8

4

d 2 = 82 42 d = 8,9 D 2 = 8,92 62 D =10,7 Por lo tanto, s cabe.

A cilindro = 408,2 cm2 a. V = A base h = 5 7 12 = 420 cm3 10 5 6 , 88 b. V = A base h 3 = 2 3 18 = 1032 cm3

1000 dm3 3. 35 m3 dm3 = 35000 1 m3 1 hm3 0 ,05 m3 1000 000 m3 = 0 ,000 000 05 hm 1000 000 dam3 5 km3 dam3 1 km3 1 m3 38, 24 cm3 03824 m3 1000 000 cm3 = 0 ,000 = 5000 0003

c. V = A base h = r 2 h = 5 2 8 = 628 cm3 d. V = Abase

h

+ 2

6 8 = 301, 44 cm3

3

3

6. Respuesta sugerida: a) El cubo de un nmero; b) El doble de la suma de a y b; c) El cuadrado de un nmero aumentado en tres unidades; d) La suma del cuadrado de un nmero y 3. 7. a) 3 m; b) 2 m; c) 18 m. d) 24 sillas y 16 personas.

4. 49 000 000 cm3 = 49 m3 6 100 000 000 mm3 = 6,1 m3 0,005 8 dam3 = 5,8 m3 Por lo tanto: 49 000 000 cm3 > 6 100 000 000 mm3 > 0,005 8 dam3

8.

Expresin algebraica 2a+b 3 a b 4 b + 4a

Trminos 2 a, b 3 a b, 4 b, 4 a

Coeficiente 2, 1 3 , 4 , 4

Parte literal a, b a b, b, a

Valor de la expresin para a = 2 y b = 5 9 18

39 39

9. a) 6 x 3 (2 4 x) = 18 x 6

b) 3 a 3 a b 2 a 2 b = 7 a 2 b

10. Las cartas que contienen trminos semejantes son aqullas en las que aparecen las expresiones 3 a b c, pues los trminos de ambas expresiones tienen la misma parte literal.Puede continuar

2 abc y 3Distribucin gratuita - Prohibida la venta

Necesita refuerzo

Indicadores esenciales de evaluacin Entiende el concepto de polgono y reconoce polgonos en el entorno. Distingue los elementos y caractersticas de un polgono. Construye polgonos con regla y comps. Utiliza el lenguaje algebraico para escribir frmulas o expresar reglas. Escribe y lee correctamente expresiones algebraicas. Resuelve ecuaciones del tipo a x + b = c x + d.

% de alumnos/as

40 40

Mdulo

Proporcionalidad geomtricaObjetivo del mdulo Aplicar el teorema de Tales y los procesos para construir figuras geomtricas por medios informticos en la resolucin de problemas que contengan figuras geomtricas semejantes.

5

Bloques: Geomtrico. Medida

DCD Destreza s con criterios de desempeo Determinar el factor de escala entre dos tringulos semejantes. Determinar la escala entre figuras semejantes en la aplicacin de Tales. Aplicar el teorema de Tales en la resolucin de figuras geomtricas similares. Reconocer la semejanza de tringulos en la resolucin de problemas. Aplicar los conceptos geomtricos elementales a la resolucin de problemas de la vida cotidiana. Usar medios informticos para realizar construcciones geomtricas. Valorar el uso de recursos y herramientas matemticas para afrontar situaciones que los requieran.


Relacionad con la DCD: Aplicar el teorema de Tales en la a

resolucin de figuras geomtricas similares.

Para la activacin de conocimientos previos Las diferentes construcciones geomtricas deben realizarse de forma correcta y precisa: divisin de un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados, divisin de un segmento en partes iguales, determinacin grfica del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados... Tras construir grficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados y el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados, puede proponerse el clculo numrico de su medida, as los alumnos podrn comprobar la equivalencia de ambos procesos, el numrico y el grfico (siempre que las construcciones geomtricas se ejecuten correctamente). Debe recordarse a los alumnos la siguiente propiedad de las proporciones:

a c a+b c = = b d b+d dy a continuacin observar que, teniendo en cuenta esta propiedad, al cortar dos rectas secantes por tres rectas paralelas tal y como se observa en la figura siguiente se obtienen los siguientes pares de segmentos proporcionales:C B A

AB BC AC = = AB BC ACB' C'

A'

Dado que AC = AB + BC y que AC = AB + BC.


Para la construccin del conocimiento

Muestre el resultado de cortar dos rectas secantes con varias paralelas. Siga el proceso que conduce a encontrar la relacin que se establece entre los segmentos que se obtienen al cortar dos rectas secantes por rectas paralelas. Lea a sus alumnos el enunciado del teorema de Tales y pida que lo relacionen con lo anteriormente explicado. Si tres o ms rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. Son interesantes las aplicaciones que tiene el teorema de Tales para la resolucin de problemas, as como para el estudio de las transformaciones: la divisin de un segmento en partes proporcionales, la divisin de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentacin urea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el clculo grfico de productos y razones de segmentos dados, el clculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armnicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Puede obtener ms informacin al visitar las pginas web:htt p:// www.educared.org/wikiEducared/Portada.html htt p:// www.asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a19m2p.html htt p:// plasticavegadeo.files.wordp ress.com

Tambin se recomienda buscar el video sobre el teorema de Tales, interpretado por el grupo Les Luthiers.

Para la aplicacin del conocimiento Solicite a los alumnos/as expliquen la respuesta a este problema: una pizza para una persona tiene 23

cm de dimetro. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de dimetro, justo el doble que la pequea, pero dicen que es para cuatro personas. Nos estn engaando? Entregue a los estudiantes figuras y solicite que construyan otras similares. Forme grupos de trabajo y pdales que elaboren una maqueta en la cual se utilicen figuras reducidas o ampliadas.

Para la evaluacin Forme grupos de trabajo. Pida que cada grupo, seleccione un monumento, un edificio, una construccin destacada de su ciudad o pueblo. Investigue la historia de la edificacin y halle su altura apoyndose en la proyeccin de su sombra y con la proyeccin de la sombra de una estaca, mediante la relacin de tringulos semejantes.

Relacionad con la DCD: Usar medios informticos para realizar aconstruc- ciones geomtricas.

Para la activacin de conocimientos previos Pida a los alumnos, que abran una pgina del procesador de textos, elijan la opcin de insertar grfico y

escojan la figura que sea de su agrado, la pinten, cambie de estilo las lneas En las sesiones con la computadora, conviene considerar los diferentes niveles que puedan tener losDistribucin gratuita - Prohibida la venta

alumnos/as en su manejo y as tenerlo presente a la hora de formar grupos o de plantear las distintas activades.

Para la construccin del conocimiento Sera conveniente disponer de un programa informtico para la prctica de los procedimientos explica-

dos en las pginas 148 y 149 del texto del alumno. En este caso debera explicar, cada una de las construcciones y los pasos que han de seguir para reproducirlos con la ayuda del programa.

41 41

Sugiera a los alumnos que busquen en el Internet programas gratuitos que se puedan utilizar para trazar

diferentes figuras geomtricas. Se presentan algunos portales para descarga de software libre:

42 42

htt p:// sectormatematica.cl/software.htm htt p:// www.programas-gratis.net/b/geometria htt p:// cabri-3d.programas-gratis.net/ htt p:// geogebra.programas-gratis.net/ http://gratis.portalprogramas.com/Geometria-Matematicas.html

Para los usuarios que por primera vez utilizan los sistemas operativos GNU/Linux, pero que ya poseen

ex- periencia en sistemas operativos de Microsoft, una de las principales diferencias que encontrarn es la or- ganizacin de archivos. En Windows, la direccin de la ubicacin de un archivo inicia con la letra de la unidad (disco duro, CD, memoria portable, etc.) donde se encuentra el documento, seguida de: :/ . En las distribuciones, la direccin de la ubicacin de un archivo empieza debajo del directorio raz, determinado por / , sin importar si los archivos se encuentran en el disco duro o en otro dispositivo. Por ejemplo, si hay un archivo en el escritorio de Windows, la direccin de la ubicacin ser: C:\Users\EDB\Desktop; mientras que si el documento se encuentra en el escritorio de Ubuntu, la direccin ser: /home/EDB/Escritorio.

Para la aplicacin del conocimiento Al contar con un software especfico para esta seccin, los estudiantes realizarn las actividades plan-

teadas en el mdulo. Solicite al profesor de informtica que con los programas seleccionados, los alumnos practiquen y

creen nuevas figuras geomtricas. Entregue a los estudiantes caractersticas especficas para la construccin de figuras geomtricas.

Para la evaluacin Se sugiere que junto con el docente de informtica y en el laboratorio de computacin, planifique un

con- curso de geometra virtual. De acuerdo con las posibilidades de la institucin, esta propuesta de actividad para la evaluacin puede ser realizada en forma individual o grupal. Cada vez, solicite la elaboracin de figuras de mayor complejidad.

Recomendaciones para docentesCongruencia de tringulosIdentifiquemos los tringulo:B

Seccin para uso exclusivo del educadorF

A

C

D

E

El smbolo que se emplea para denotar la congruencia es: .

ABC

DEF

Al superponer al tringulo ABC sobre el tringulo DEF se observa que coinciden en todos sus puntos, es decir : dos tringulos son congruentes cuando coinciden superpuestos el uno sobre el otro.

Semejanza de tringulosDos tringulos son semejantes, si sus ngulos son de igual medida (congruentes) y sus lados homlogos son proN porcionales. Veamos el ejemplo:Distribucin gratuita - Prohibida la venta

G

10 cm

6 cm 12 cm

20 cm

E

F

8 cm

43 43

L

16 cm

M

44 44

Los lados de los tringulos EFG y MLN son proporcionales y sus ngulos son congruentes respectivamente:EF ML = FG LN = GE NM

;

8 16

=

6 12

=

10 20

=

1 2

y

E M; F L; G N

Criterios para determinar la congruencia de tringulos Primer criterio: Lado, lado, lado (LLL) Un tringulo es congruente con otro si los tres lados de cada uno son respectivamente congruentes.K J H

G IJ FG JK GH IJK KI HF FGH

I

F

Segundo criterio: Lado, ngulo, lado (LAL) Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y congruente el ngulo formado por estos.V S

QS TV; Q T ; QR TU QRS TUV

Q

R

T

U

Tercer criterio: ngulo, lado, ngulo (ALA) Dos tringulos son congruentes si tienen congruentes dos ngulos y el lado comprendido respectivamente.O R

M

N

P

Q

N Q ; NO QR ; O R MNO PQR

Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cuando dos trin-


gulos son congruentes.

En general, dos polgonos son congruentes si sus lados son congruentes y sus ngulos lo son tambin. Los lados y los ngulos congruentes entre s se denominan homlogos o correspondientes. Esta congruencia se da incluso si dichos polgonos estn rotados o trasladados con en el ejemplo a continuacin.D C H G S R O N

A

B

E D

F P I

M

E

C

J

H

A

B

F

G

Buen Vivir:ancestrales

Educacin,

cultura

y

saberes

El profesor/a puede aprovechar la idea de proporcionalidad asociada a la identidad cultural para tratar las actitudes de respeto hacia las caractersticas y las cualidades de las otras personas. Solicite a los estudiantes que construyan una maqueta a escala en la que representen el sistema de terrazas. Aproveche esta actividad para tratar el tema de la conquista inca en el territorio ecuatoriano. Puede pedir ayuda al docente de estudios sociales para elaborar una lnea de tiempo y para conocer el proceso de expansin incaico. Puede utilizar esta sugerencia para tratar temas relacionados como la migracin, la fusin de culturas, la creacin de nuevos valores culturales que se han dado en todos los tiempos de la humanidad, siempre con un refuerzo al respeto a los derechos individuales y colectivos. Tambin es muy importante analizar la relacin con la tierra y cmo el ser humano la ha utilizado para su beneficio. Motive la reflexin acerca de las distintas tcnicas agricolas tanto actuales como ancestrales y analice cules son ms beneficiosas y cules deben ser promovidas. Aunque en este buen vivir debemos concentrar la atencin en los saberes ancestrales como fuente de cultura es preciso relacionarlo con otro principio fundamental que es el respeto a la Pacha Mama, no solo como obligacin de las personas sino porque esta es sujeto de derechos segn la Constitucin de la Repblica. Esto permitir que los alumnosas comprendan que el Buen Vivir es un concepto integral sobre la relacin del ser humano con otros seres humanos y de las personas con los elementos abiticos y seres vivos del planeta. Conserve con ellos sobre los conocimientos que sobre plantas tanto medicinales como alimenticias poseen nuestros antepasados y que en la actualidad estn siendo redescubiertas cientficamente. La actitud que se debe tener frente a estos saberes, el respeto que debe primar en nuestro accionar. Destaque los nombres de cientficos ecuatorianos que han descubierto principios activos en las plantas, por ejemplo el caso del doctor Edwin Cevallos que descubri principios activos en plantas de la Amazona y que lo patent con el nombre de BIRM. Tambin puede investigar acerca de la cura para la malaria. Esto despertar el inters por la ciencia y har comprender a sus estudiantes que podemos ser un pas de investigacin cientfica.


Bibliografa ciruelo.uninorte.edu.co/.../5_Mentefactos%20y%20niveles%20de%20razonamiento.pdf http:// portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Aplicaciones_del_teorema_de_Tales CONSTITUCIN DE LA REPBLICA DEL ECUADOR, 2008. PARRA, C. y SAIZ, I., Didctica de las matemticas, aportes y reflexiones, Paids, Buenos Aires, 2008.

RefuerzoNombre:

Razn y proporcionalidad de segmentos

1Fecha: ........................................

Ficha

........................................................................................................

Curso: .........................................

Recuerda que la razn de dos segmentos es el cociente entre sus longitudes. Adems, si los segmentos a y b tienen la misma razn que los segmentos c y d, decimos que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d. 1. Mide las longitudes e indica la razn entre los segmentos dados en los siguientes casos. a) AB b) EF c) IJ CD GH Razn: Razn:

KL

Razn:

d) MN

OP

Razn:

Hay pares de segmentos que sean proporcionales? 2. Resuelve estas cuestiones. 3 a) La razn de los segmentos AB y CD es . Cunto mide el segmento AB si el segmento CD mide 12 m? 2 AB CD = 3 2 AB 12 = 3 2 2 AB = 36 ; AB = ..........

m

b) La razn de dos segmentos es otro?

2 . Si la longitud del segmento ms largo es de 30 dm, cul es la longitud del 3 2 3 = x 30 3 x = 60 ; x =..........

dm

c) Dos segmentos de longitudes 24 cm y 12 cm son proporcionales a dos segmentos de longitudes 6 cm y 3 cm? Y dos segmentos de longitudes 50 cm y 25 cm son proporcionales a dos segmentos de longitudes 10 cm y 2 cm? d) Elige cuatro segmentos entre los que tienen por longitudes 4 cm, 8 cm, 7 cm, 4 cm, 2 cm y 10 cm que sean proporcionales. 3. Considera las dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas de la figura siguiente. Resuelve: a) Mide los segmentos AB, BC, A B y B C , y compara los cocientes: AB AB y . BC BCA C B

b) Completa: Si dos rectas ................... son cortadas por un conjunto de rectas ..................., los segmentos determinados en una de

ellas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra.A' B' C'


45

Ficha

2

Refuerzo

Tringulos en posicin de Tales

Nombre:

....................................................................................................

Curso:

.........................................

Fecha: ........................................C

1. Observa los tringulos ABC y DBE representados en la figura siguiente y resuelve las cuestiones de cada uno de los apartados. a) Mide sus lados y compara estos cocientes. AB DB , BC BE , CA ED

E

b) Mide y compara sus ngulos. c) Completa: Los tringulos ABC y DBE tienen los ............................ proporcionales y los ngulos ............................A D B

2. Comprueba el teorema de Tales, midiendo todas las distancias necesarias (AB, AC, AB y AC).C B A

A B C

AB BC Comprueba, tambin, que . = A B B C 3. Seala los apartados en que puedes afirmar que BC AB = AC = BC A

sin necesidad de hacer clculos.

AB A

AC d)

a)B C

C B C

B B C

b)B

A C

e)

A

C B C

B B

C

c)

A


f)

A

B

C C C B B C

B

Comprueba los resultados midiendo los lados que consideres necesarios de cada figura.

46

Mdulo

Ficha de evaluacin

5

Nombre:

....................................................................................................

Curso:

.........................................

Fecha: ........................................

1 1 y la razn de los segmentos a y c es . Construye grficos de a, b y c y 2 3 halla la razn de los segmentos b y c. 2. Carla y Santiago han comprado por $ 5 una barra de helado cuya longitud es 30 cm. Carla ha contribuido con dos monedas de $ 1 y Santiago, con tres. Se quieren repartir el helado en partes proporcionales a lo que ha aportado cada uno. Calcula numricamente y grficamente la parte de helado que les corresponde a cada uno. 1. La razn de los segmentos a y b es 3. Dibuja un segmento de 5 cm y divdelo en tres partes iguales. 4. Construye el segmento cuarto proporcional a tres segmentos a, b y c cuyas longitudes son 2 cm, 4 cm y 8 cm, respectivamente. 5. Construye el segmento tercero proporcional a dos segmentos a y b cuyas longitudes son 4 cm y 9 cm, respectivamente. 6. Halla las longitudes x e y de los segmentos indicados en esta figura.

10 cm

y

x

5 cm

12 cm

7. Si un palo de 2 m proyecta una sombra de 3 m, qu sombra proyectar un rbol de 9 m en el mismo momento? 8. Calcula las longitudes que faltan.

3 cm 9 cm

15 cm

9. Observa la figura dada e indica pares de tringulos en posicin de Tales. Cuntos pares has encontrado? Ar- gumenta tu respuesta.

10. Es cierto que, si dos tringulos tienen dos ngulos iguales, pueden situarse en posicin de Tales? Argumenta tu respuesta.

47


Mdulo

5

Ficha de evaluacinb 1 2 = 3 1 = 2 3 a

Solucionario= 5y 6 = 6 4 5 y = 7,

1. La razn entre los segmentos b y c es: b c =

c a

10

x = 7, 2

x 12 Las longitudes son x = 7,2 cm e y = 7,5 cm.

2. Carla: x cm; Santigo: (30 x ) cm x 30 x = x = 12 2 3 A Carla le corresponden 12 cm de helado y a Santia- go, 18 cm. Grficamente:12 cm 30 cm

7.9m 2m x 3m

9 = 5x

2 3 x =

27 2 = 13,

La sombra proyectada por el rbol es de 13,5 cm. 3. 8.5 cm

5 cm 3 cm 9 cm 3 cm 9 cm

4.2 cm 4 cm

8 cm

15 cm

9. Respuesta abierta. 5.4 cm 9 cm 9 cm

10.S, porque dos tringulos con dos ngulos iguales deben tener el tercer ngulo igual.y

6.10 cm 6 cm 4 cm x

5 cm

12 cm

Puede continuar

Necesita refuerzo

Indicadores esenciales de evaluacin Deduce las frmulas del rea de polgonos regulares y las aplica en la resolucin de problemas. Dibuja pares de segmentos proporcionales con una razn de proporcionalidad dada.

Di vi de


grficamente un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados y lo aplica al efectuar repartos proporcionales. Divide grficamente un segmento en partes iguales y lo aplica a la representacin de fracciones sobre la recta. Determina grficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados y el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados. Conoce el teorema de Tales y lo aplica para hallar medidas indirectas. Reconoce tringulos en posicin de Tales. Reconoce medidas en grados de ngulos notables en los cuatro cuadrantes.

% de alumnos/as

48

4 49

Mdulo

Tablas y grficosObjetivo del mdulo Analizar, comprender, representar y expresar informaciones estadsticas utilizando diversos diagramas mediante el clculo de frecuencias absolutas y acumuladas para fomentar el trabajo grupal.

6

Bloques: Estadstico y de probabilidad. Relaciones y funciones

DCD Destrezas con criterios de desempeo Reconocer pares ordenados con

Guia Matematica Octavo Ano(1)

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