Guia Matematica a PDF

7/25/2019 Guia Matematica a PDF

1/152

NDICE

PRESENTACIN DE LA MATERIA 1

PROGRAMA DE LA MATERIA 3

UNIDAD 1

MODELO MATEMTICO.. 4

UNIDAD 2

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NMEROS ENTEROS ZY EN EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES ... 14

UNIDAD 3

ECUACIONES E NECUACIONES... 52

UNIDAD 4

RELACIONES Y FUNCIONES.. 71

UNIDAD 5

NGULOS Y POLGONOS 89

UNIDAD 6

MEDICIN DE MAGNITUDES. SIMELA.... . 113

UNIDAD 7

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA 131


2/152

Matemtica A 1

PRESENTACIN DE LA MATERIA

Seguramente usted no se acerca a la Matemtica por primera vez. Ya ha estudiado

esta materia en otras oportunidades y sus experiencias al respecto pueden haber sido muy

variadas.

Quienes diseamos la propuesta de enseanza de Matemtica en Educacin Adultos

2000 partimos de algunas ideas generales sobre cmo estudiar esta materia que queremos

compartir:

Usted utiliza en su vida diaria una gran cantidad de nociones matemticas sin darse

cuenta; las usa eficientemente y de manera tal que le permiten resolver diferentes situaciones

relativas a su vida cotidiana. Nosotros consideramos que, partiendo de su "experiencia

matemtica", es posible avanzar hacia la interpretacin de los conceptos matemticos y espor eso que le proponemos no dejarla de lado al momento de ponerse a estudiar la materia.

Por otro lado, cada nuevo concepto matemtico que se aprende se apoya en otros ya

adquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas en otras para que la

pared que se construye sea slida. Cada adquisicin pasa por una serie de etapas que van

desde lo ms concreto y ligado a nuestra experiencia cotidiana, hacia niveles de complejidad

y abstraccin cada vez mayores. Nosotros le proponemos acompaarlo en su trnsito por

esas etapas de modo que pueda ir aprendiendo satisfactoriamente los temas de la materia.

En sntesis, le proponemos aprender Matemtica de una manera semejante a la que el

hombre ha seguido en la creacin de las ideas matemticas: descubriendo los conceptos a

partir de problemas que debi resolver en su vida cotidiana (o a travs de problemas de otras

ciencias que requieren de conceptos matemticos para ser resueltos) y avanzando luego

hacia la resolucin de problemas ms complejos. Dado que la Matemtica se expresa a travs

de un sistema de smbolos y representaciones que le es propio, tambin nos proponemos que

usted pueda comprender el lenguaje con el que se expresa, desde su significado matemtico

y desde su relacin con situaciones concretas.

La Gua de estudioconstituye la herramienta fundamental para el aprendizaje de los

contenidos de la materia. Por lo tanto, un uso adecuado de la misma favorecer su proceso

de aprendizaje. Para ello tenga en cuenta las siguientes recomendaciones:


3/152

Matemtica A 2

Respete el orden de presentacin de los temas y las actividades.

Resuelva cada una de las actividades a medida que se van presentando. Anmese a dar

respuesta aunque no est seguro si la misma es correcta o no. El error es un elemento

ms de aprendizaje que le permitir avanzar hacia la construccin de los conceptos con

los que est trabajando.

No se anticipe leyendo las Reflexiones sobre lo trabajado o los apartados En

trminos matemticos. Estos slo tendrn sentido para usted si previamente realiz la

actividad propuesta.

Consulte todas las dudas que le vayan surgiendo. Puede hacerlo a travs de cualquiera

de los medios que le ofrecemos. Tenga en cuenta que, si usted puede asistir a una

consultora presencial, tendr tambin la oportunidad de intercambiar y compartir el

trabajo con otros alumnos. En la HOJA DE RECURSOS de la materia encontrar

informacin sobre las formas de contactarse con un consultor.

Utilice un cuaderno o carpeta para resolver por escrito las actividades propuestas en la

Gua, escribir sus dudas y realizar anotaciones vinculadas con el trabajo que estrealizando. Tenga en cuenta que las actividades propuestas deben ser resueltas por

usted mismo y que este trabajo ser el que le ir indicando qu ha comprendido y cules

son sus dificultades. Tener registro de esto facilitar su tarea y le resultar un material

fundamental para hacer sus consultas.

Vaya registrando, de algn modo que a usted le resulte til, toda la simbologa

matemtica que la Gua vaya presentando, de modo que pueda tenerla a mano cuando

la necesite.

Respete su propio ritmo de trabajo. No hay un tiempo ni un ritmo que sea ms apropiado

que otro. Cada persona tiene el ritmo que necesita de acuerdo con sus tiempos y

circunstancias y no lo ayudar alterarlo.


4/152

Matemtica A 3

PROGRAMA

UNIDAD 1:MODELO MATEMTICONocin de modelo matemtico.Construccin y anlisis de modelos matemticos de situaciones sencillas.

UNIDAD 2:OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS Z Y EN ELCONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES QNocin de nmero entero, de fraccin y de nmero racional.Representacin de nmeros enteros y fracciones en la recta numrica.Diferentes formas de expresin de los nmeros racionales: fraccin, decimal, notacincientfica.

Operaciones con nmeros naturales, enteros y racionales en sus diferentes formas deexpresin.Presentacin del conjunto de los nmeros reales. Intervalos de nmeros reales.

UNIDAD 3:ECUACIONES E INECUACIONESNocin de ecuacin y de inecuacin.Solucin de ecuaciones y de inecuaciones.Resolucin de ecuaciones lineales con una incgnita.

UNIDAD 4:RELACIONES Y FUNCIONESNocin de relacin y funcin.Distintas formas de expresar relaciones y funciones.Imagen y preimagen de un elemento.Dominio e imagen de relaciones y funciones.

Representacin de funciones en R2.

UNIDAD 5:

NGULOS Y POLGONOSngulos opuestos por el vrtice, adyacentes, complementarios, suplementarios ydeterminados por dos rectas cortadas por una transversal.Tringulos. Clasificacin. Propiedades. Teorema de Pitgoras.Cuadrilteros. Clasificacin. Propiedades.

UNIDAD 6:MEDICIN DE MAGNITUDES. SIMELANocin de magnitud y de cantidad de magnitud.Qu es medir?

Medicin de longitudes, superficies, volmenes, capacidades y pesos.Unidades del SIMELA para la medicin de longitudes, superficies, volmenes, capacidadesy pesos. Conversin de unidades.Clculo de permetros, superficies y volmenes.

UNIDAD 7:PROBABILIDAD Y ESTADSTICATablas y grficos.Promedio.Porcentaje.Probabilidad.


5/152

MODELO MATEMTICO UNIDAD 1

Modelo Matemtico Matemtica A Unidad 1 4

Comenzaremos el estudio de la materia trabajando con la idea de modelo matemtico.Esteconcepto est presente enla mayora de los contenidos a estudiar en el resto de las unidadesy niveles de la materia.De qu hablamos cuando hablamos de modelo matemtico? Esta es una idea que usted irconstruyendo a travs de las actividades que le proponemos resolver a lo largo de la unidad.

Por ahora, podemos anticipar que los modelos matemticos son descripciones aproximadasde los fenmenos que se presentan en la realidad. Se formulan con el propsito deanalizarlos, explicarlos y realizar previsiones en base a las conclusiones que los mismospermiten obtener.Comenzaremos analizando situaciones sencillas, que podran ser similares a las que ustedenfrenta en su vida diaria. A medida que vaya avanzando en el estudio de los diferentesniveles de la materia usted se ir poniendo en contacto gradualmente con modelosmatemticos de situaciones ms complejas.Por ahora, para responder las preguntas que le iremos haciendo, no es necesario saber nada

ms que lo que usted sabe. No hace falta ninguna lectura previa ni preparacin especial. Nose demore pensando qu debera saber para responder?, o cmo debera hacerseesto?. Simplemente djese llevar por la situacin y d sus respuestas pensando tal como lo

hace en su casa, en su trabajo o en la calle. Y, como le decamos en la presentacin de lamateria: no importa si la respuesta en la que usted piense es correcta o no. Lo importante esque se d a s mismo la oportunidad de buscar una posible respuesta.Dicho de otro modo: por un momento olvdese que est estudiando Matemtica y piense delmismo modo que lo hace a diario.Le sugerimos que utilice un cuaderno o carpeta para resolver todas las actividades por escrito.Escriba todo lo que piense para armar su camino de resolucin, todos los pasos y cuentas

que realice, todas las dudas y comentarios que se le ocurran. Tenga en cuenta que elprocedimiento es muy importante ya que da cuenta de la forma en que usted est pensandopara llegar a la respuesta.

Arme sus clculos y sus razonamientos de la forma que le resulte ms fcil o ms cmoda,haciendo lo posible para que los mismos sean comunicables. Es decir, para que puedan serentendidos por otra persona que los lea.Puede haber varias formas de obtener un resultado y todas pueden ser igualmente correctas.No invalide su razonamiento a partir de otro que pueda haber elegido un compaero onosotros mismos en la gua.

A medida que avance en la resolucin de las situaciones planteadas iremos reflexionandojunto a usted sobre la resolucin de las situaciones propuestas, sobre los recursos que ha idoutilizando y sobre las conclusiones obtenidas. Formalizaremos las ideas parciales que ustedvaya obteniendo a medida que avance e iremos presentando, en el momento oportuno, lostrminos y la simbologa matemtica vinculados a la tarea que est realizando.

Le proponemos pensar juntos en la siguiente situacin:____________________________________________________________________

Santiago quiere tener todo bajo control. Entre otras cosas, ha decidido ir controlandosus gastos da a da. Su sueldo mensual es de $ 5800 y lo cobra el ltimo da de cada mes.Veamos lo que ocurri con sus gastos en los primeros das del mes de julio:El 30 de junio cobr su sueldo. Despus de un da, a la noche del 1 de julio, le quedaban$ 5600. Al finalizar el 2 de julio le quedaban $ 5400 y al concluir el 3 de julio le quedaban$ 5200.

1. Describa, con sus palabras, cmo us el dinero Santiago durante los tres primeros dasde julio.

2. A partir del gasto de dinero que hizo Santiago en los tres primeros das del mes, calculque al terminar el 4 de julio, tendra $ 5000. Est de acuerdo con ese clculo?Explique con sus palabras lo que tiene en cuenta para contestar.


6/152

MODELO MATEMTICO _________________ UNIDAD 1


El 4 de julio Santiago pudo comprobar que le quedaban $ 5000. Sigui gastando $ 200 por dadurante la primera semana del mes.

3. Es cierto que le quedaban $ 4600 al terminar el 6 de julio? Explique por qu.4. Si el dinero restante lo gast de la misma forma en que lo hizo la primera semana,

a) Cunto dinero esperara que le quede el da 10 de julio?b) Le alcanzar el dinero cobrado para sus gastos del mes de julio?

5. En la vida de Santiago:a) Podra ocurrir que algn da deba gastar $ 300?b) Es posible que el 10 de julio le queden $ 2800?c) Podra ocurrir que al 15 de julio haya gastado todo el dinero que cobr?

Por ahora no se preocupe por saber si sus respuestas a las preguntas anteriores son correctas o no. A medida que avance ir

teniendo indicadores que le permitirn controlar el trabajo que est realizando.

Para reflexionar sobre lo trabajadoA cualquiera de nosotros le gustara tener todo bajo control. Lamentablemente, esto nosiempre es posible. Por ejemplo, en el caso de Santiago, si nos guiramos por lo que leocurri durante la primera semana del mes de julio, podramos predecir que el dinero le va aalcanzar para llegar a fin de mes aunque esto podra no ocurrir.Observando los gastos de Santiago durante los primeros das de julio, podemos ver que cadada le quedan $ 200 menos que el da anterior. En este caso, estamos pensando en unmodelo matemtico que consiste en calcular la cantidad de dinero que le queda cada darestando 200 a la cantidad de dinero que tena el da anterior. Este modelo nos permitedescribir lo que ocurri con el dinero de Santiago durante la primera semana de julio. Si bien a

travs de l podemos estimar qu cantidad de dinero le quedara a Santiago un da cualquieradel mes, las cosas podran ocurrir de otra forma. Por ejemplo, si un da del mes a Santiago sele presentara un gran gasto que supere los $ 200. O si un da gastara menos de $ 200. En esecaso, el modelo pensado perdera validez.

Como conclusin parcial podemos ir diciendo que: un modelo matemtico nos permitedescribir o que observamos en la realidad, pero su validez depende de lo que ocurra en larealidad. Un cambio en las condiciones que permitieron formular el modelo debe llevar asu modificacin de modo que el mismo siga describiendo la realidad en forma ms omenos precisa. Es la realidad la que nos impone un modelo matemtico. De ningunamanera, un modelo matemtico puede imponernos la realidad. Es ms, controlar losgastos como lo hizo Santiago en los primeros das de julio sera ideal para todos; aunqueen la mayora delos casos eso no nos resulta posible.

Teniendo en cuenta las conclusiones obtenidas con la situacin del sueldo de Santiago leproponemos continuar pensando juntos en la idea de modelo matemtico a travs de unanueva situacin:

____________________________________________________________________

Usted va a una librera para hacer algunas fotocopias cuyo precio por unidad es de$ 0,25.

En esta librera,1. Cunto se debe pagar por 14 fotocopias? Y por 35 fotocopias?2. Cunto esperara que le cobren por 110 fotocopias?Y por 180 fotocopias?3. Describa, con sus palabras, la cuenta que hace con la cantidad de fotocopias para

calcular lo que se debe pagar por ellas.4. Responda las siguientes preguntas a partir de las cuentas realizadas para calcular el

importe que se debe pagar por la cantidad de fotocopias:


7/152



En la cuenta que hace en cada caso para obtener el dinero a pagar por cadacantidad de fotocopias, qu nmero se repite? Qu representa dicho nmeropara un cliente de la librera?

En las mismas cuentas a las que hacamos referencia en la pregunta anterior,qu nmero cambia? Qu representa dicho nmero para un cliente de lalibrera?

Para reflexionar sobre lo trabajadoComo dice el cartel de la librera, el precio de cada fotocopia es de $ 0,25. Para calcularcunto cuesta hacer una determinada cantidad de fotocopias, usted habr multiplicado esacantidad por 0,25.Es decir, que realiz una misma cuenta con distintos nmeros (multiplicarpor 0,25 a la cantidad de fotocopias). Por lo tanto, hay un nmero que se repite en todos losclculos (el precio de cada fotocopia) y otros que van cambiando (la cantidad de fotocopias).Por ejemplo, usted multiplic a 0,25 por 14, o por 35, o por 110, o por 180. Con esa cuenta

calcul cunto debe pagar por 14, o por 35, o por 110, o por 180 fotocopias, respectivamente.En Matemtica, se utilizan letras para representar conjuntos de valores. Por ejemplo, para lasituacin de las fotocopias que estamos analizando, podemos representar con la letra c a lasdiferentes cantidades de fotocopias a realizar. As, para expresar en forma general la cuentaque debe hacerse para calcular cunto se paga por realizar una cantidad c de fotocopias,escribimos: 0,25 . c.Los resultados de estas cuentas, para los diferentes valores de c,nos indican los diferentesimportes a pagar por hacer una cantidad cde fotocopias. Tambin podemos utilizar una letrapara representar al conjunto de los importes a pagar. Por ejemplo, la letra p.Cmo relacionamos el importe a pagar pcon la cantidad de fotocopias c?

Como vimos, para calcular el importe a pagar por hacer una cantidad c de fotocopias,resolvemos la cuenta 0,25 . c. El resultado de esta cuenta nos da el importe a pagar p. Por lotanto, podemos expresar lo hecho, usando la igualdad:

p = 0,25 . c

Esta igualdad nos permite abreviar en pocos smbolos una cantidad enorme de cuentas.

Compruebe, utilizando la igualdad escrita en la reflexin anterior, que si se hacen 13fotocopias se deben pagar $ 3,25.

Debido a los aumentos de precio del papel y de la tinta, el dueo de la fotocopiadora debecambiar el precio de las fotocopias. Despus de estudiar esta situacin, decide que debecobrar $ 0,30 por cada fotocopia.

Responda las siguientes consignas a partir de la informacin anterior:1. Arme una lista de los importes a pagar para el empleado de la fotocopiadora,

escribiendo el importe a pagar por 15, 35, 50, 80 y 100 fotocopias:2. Si identificamos a la cantidad de fotocopias la con la letra c y al importe a pagar por

ellas con la letra p, cul es la igualdad que permite describir la cuenta que hay quehacer con c para calcular p despus del aumento? Escrbala. Para hacerlo identifiquela cuenta con la que calcul, en este caso, el importe a pagar por cada una de lascantidades de fotocopias indicadas en el tem 1.

En esta librera a los clientes que hacen ms de 200 fotocopias se les ofrece un descuento.

3. Puede usar la igualdad p = 0,30 . c para calcular el importe a pagar por250 fotocopias? Explique su respuesta con sus palabras.


8/152



Para reflexionar sobre lo trabajadoEl uso del modelo matemtico de frmula p = 0,30 . c tiene restricciones en su validez. Sepuede utilizar slo si la cantidad c de fotocopias es menor que 200 ya que a partir de estacantidad la librera realiza un descuento.Si la cantidad de fotocopias es mayor a 200, el modelo pierde vigencia. Eventualmente, se

puede buscar otro modelo que sea vlido para ms de 200 fotocopias (cosa que no haremosahora).

Vaya teniendo en cuenta entonces que un modelo matemtico puede tener restriccionesen su uso. Es decir, que el modelo puede tener validez en algunos casos y para otros no.

A partir de lo que hemos pensado en la situacin de las fotocopias, estamos en condiciones de incorporar algunos trminos

matemticos a su lenguaje. Le pedimos que lea el siguiente apartado En trminos matemticos. Vaya registrando, a modo de

diccionario, las palabras que aqu sepresentan con su significado de modo que las tenga disponibles para otra ocasin en que

volvamos a utilizarlas.

EN TRMINOS MATEMTICOS: VARIABLES. FRMULAS. LENGUAJESIMBLICO.

En la situacin de las fotocopias, a partir de algunos casos particulares, generalizamos loobservado a otras cantidades posibles que expresamos con la letra c, en el caso de lacantidad de fotocopias, y con la letra p para el importe a pagar por cada una de esascantidades.

A cada uno de estas cantidades que pueden ir cambiando y que representamos conletras, las llamamos variables.

A igualdades, como p = 0,25 . c o como p = 0,30 . c, en las que se vinculan variables, lasllamamos frmulas.En este caso las variables son la cantidad de fotocopias y el importe que se debe pagarpor ellas y estn expresadas con las letras cy p, respectivamente.

Al escribir la relacin observada a travs de una frmula hemos realizado una traduccin dellenguaje coloquial -el que usted utiliza habitualmente para comunicarse- al lenguaje que utilizala Matemtica. Es decir, escribimos la relacin observada utilizando lenguaje simblico.Las frmulas son una forma de expresar modelos matemticos.

A continuacin le proponemos resolver una serie de actividades en las que usted pueda poneren juego lo trabajado en relacin con las variables y las frmulas para luego seguir avanzandoen la construccin de la idea de modelo matemtico.

ACTIVIDAD N 1: TRABAJANDO CON FRMULAS Y VARIABLES

1. Teniendo en cuenta lo trabajado respecto de las frmulas y las variables, responda laspreguntas realizadas en cada uno de los siguientes grupos. Escriba las cuentas oexpresiones que se piden en cada caso.GRUPO I

a)Para calcular el doble de 4, qu cuenta hace?b)Para calcular el doble de 12, qu cuenta hace?c)Para calcular el doble de 37, qu cuenta hace?

d)Para calcular el doble de un nmero cualquiera que identificamos con la letra m, quexpresin usa para indicar la cuenta que hace?

e)Cul es la igualdad o frmula que permite expresar que un nmero identificado con la letrades el doble de un nmero identificado con la letra m?

GRUPO II

a)Para calcular el triple de 6, qu cuenta hace?b)Para calcular el triple de 25, qu cuenta hace?


9/152



c)Si identificamos con la letra pa un nmero cualquiera, qu expresinutiliza para indicar que calcula el triple de p?d)Con qu frmula o igualdad puede expresar que tes el triple de p?

2. Exprese en lenguaje coloquial cada una de las siguientes expresiones dadas en lenguaje

simblico:y= 4 .x

a= z13. En cada caso, responda las consignas escribiendo los clculos y frmulas pedidas:

CASO I: Pedro tiene 5 aos menos que su hermano, Jos.a)Si Jos tiene 27 aos, con qu cuenta calcula cuntos aos tiene Pedro?b)Si Jos tiene 42 aos, con qu cuenta calcula cuntos aos tiene Pedro?c) Si Jos tiene Jaos y Pedro tiene Paos, con qu frmula puedeexpresar la edad de Pedro a partir de la edad de Jos?

CASO II: El sueldo mensual de Pablo es de $ 70 menos que el doble del sueldomensual de Andrs.a) Si el sueldo mensual de Andrs es de $ 2700, cunto cobra Pablo por mes?b) Si Andrs cobra $ 3450 por mes, cul es el sueldo mensual de Pablo?c) Si el sueldo mensual de Andrs se expresa usando la letra x, y el sueldo mensual

de Pablo se expresa usando la letra y, cul de las siguientes frmulas expresala relacin entre los dos sueldos? y = 2x + 70 x = 2y70 y = 2x70

y = 2xd) Compruebe la frmula que eligi en el tem c)usando los valores desueldos que dio en los tems a)y b).

4. En la siguiente tabla se registraron los pesos y los importes a pagar de unadeterminada mercadera en un negocio:

Peso de la mercadera(en kg) 1 2 3 4 5Importe a pagar(en $) 5 10 15 20 25

A partir de los datos de la tabla, y expresando el peso de la mercadera con la letra x y elimporte a pagar correspondiente con la letra p, escriba una frmula que permita calcular elimporte a pagar por la compra de una cantidad x de kilogramos de la mercadera.

Parte A

Vamos a continuar nuestro trabajo dndole una vuelta de tuerca a la idea de modelomatemtico que estamos construyendo juntos. Para ello le presentamos una nueva situacin:

____________________________________________________________________

En un laboratorio se realiza un experimento:Se calienta una sustancia y se va registrando la temperatura que alcanza. Despus de 2minutos de comenzados los registros se observa que la temperatura de la sustancia es de 4 C.

Los encargados del laboratorio quieren encontrar una cuenta que les permita calcular latemperatura de la sustancia a partir del tiempo transcurrido desde que comenz elexperimento. Cada uno de los tres encargados plantea realizar una cuenta diferente.Uno de ellos propone: Le sumo 2 al tiempo y obtengo la temperatura. Otro dice: Multiplico por 2 al tiempo y obtengola temperatura.El tercero acota: Multiplico por 3 al tiempo y despus resto 2 y obtengo la temperatura.

A partir de la informacin anterior:


10/152



Piensa que los 3 encargados tienen razn en las cuentas que plantean? Escriba las cuentasque hizo cada uno de ellos para realizar su propuesta.

En el laboratorio continan observando la evolucin de la temperatura de la sustancia yregistran que a los 4 minutos, alcanza una temperatura de 10 C.

Teniendo en cuenta este nuevo registro:

1. Las cuentas planteadas por los tres encargados del laboratorio, siguen siendo vlidas?2. Cul o cules de las cuentas planteadas no son vlidas? Por qu pierden validez?3. Cul o cules siguen siendo vlidas? Por qu continan teniendo validez?

Para reflexionar sobre lo trabajadoCuando se tiene en cuenta slo el primer registro de temperatura, cualquiera de las tres

cuentas propuestas por los encargados es vlida. En cambio, al aparecer el nuevo dato, lamedicin de temperatura a los 4 minutos, debemos descartar dos de ellas. Slo la cuentapropuesta por el tercer encargado permite describir lo observado en ambas mediciones.En conclusin: la aparicin de nuevos datos puede hacer que un modelo matemtico pierdavalidez.Si utilizamos la letra y para expresar a las diferentes temperaturas de la sustancia y la letra tpara expresar al tiempo transcurrido desde el comienzo del experimento, podemos escribir lacuenta propuesta por el tercer encargado usando la siguiente frmula:

y = 3 . t2

Se pudo comprobar que la cuenta propuesta por el tercer encargado vale durante la primeramedia hora de experimento. Despus de ese lapso, la temperatura de la sustancia cambia decomportamiento.

Responda las siguientes preguntas a partir de la informacin anterior:

1. Puede calcular, utilizando la cuenta y = 3 . t - 2, cul es la temperatura de la sustancia alos 10minutos de comenzado el experimento? Si puede hacerlo, indique dichatemperatura. Si no es posible, explique por qu no puede hacerlo.

Sugerencia: si la frmula le resulta compleja para responder, utilice el lenguaje coloquial con el que est descripta la cuenta enel enunciado.

2. Es posible calcular, utilizando esta cuenta, la temperatura de la sustancia35 minutosdespus de comenzado el experimento? Si es posible, indique dicha temperatura. Si no esposible, explique por qu no lo es.

Para reflexionar sobre lo trabajadoNuevamente, en este caso, aparecen las restricciones de uso de un modelo matemtico. El

modelo propuesto por el tercer encargado se puede usar para predecir valores de temperaturapara un determinado perodo de tiempo: la primera media hora. Pasado ese tiempo latemperatura de la sustancia vara su forma de comportamiento. En ese caso, a partir de los 30minutos el modelo propuesto no sirve. Si lo necesitaran, los encargados del laboratoriodeberan analizar el comportamiento de la temperatura a partir de ese momento para generarun nuevo modelo que describa esta evolucin.

En el laboratorio se experimenta con otra sustancia. En la siguiente tabla se muestran losregistros de temperatura obtenidos en los instantes que se indican:


11/152



Tiempo (en minutos) 2 5 7 10Temperatura (en C) 6,1 8,9 11 14,2

Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, verifique que la frmulay = t + 4 describe aproximadamente lo observado en el experimento. En la frmula hemosutilizado la letra t para expresar al tiempo y la letra y para expresar a la temperaturaregistrada.

Para reflexionar sobre lo trabajadoUsando la frmula y = t + 4, se obtienen los siguientes resultados para la temperatura y:

Si t = 2, resulta y = 2 + 4 = 6Si t = 5, resulta y = 5 + 4 = 9Si t = 7, resulta y = 7 + 4 = 11Si t = 10, resulta y = 10 + 4 = 14

Los valores de temperatura obtenidos con la frmula son, aproximadamente, los registradosen el experimento. Muchas veces un modelo matemtico no describe exactamente loobservado en la realidad, sino que lo hace en forma aproximada.

EN TRMINOS MATEMTICOS: MODELO MATEMTICO

En todas las situaciones que hemos analizado juntos, podemos observar que se da comoinformacin un nmero finito de mediciones o registros a partir de los cuales se formula unmodelo matemtico que describe la situacin. Con ese modelo se pueden hacer pronsticoso predicciones sobre casos no medidos an, partiendo de la suposicin de que el fenmeno

seguir ocurriendo del mismo modo. Debemos tener claro que no es seguro que esto ocurraas, que es slo esperable.

En sntesis, y a partir de las conclusiones parciales que hemos ido compartiendo,podemos decir que un modelo matemtico es una relacin esperable entre datos obtenidaa partir de una relacin observada entre los mismos. Podemos modelar matemticamenteuna situacin a travs de una frmula, por ejemplo, pero no es la nica forma de hacerlo.

A lo largo del nivel continuaremos trabajando con diferentes formas de modelarmatemticamente la realidad y con el lenguaje vinculado con ellas.

ACTIVIDAD N 2: MODELOS DE LABORATORIO

1. En el laboratorio siguieron experimentando con otra sustancia. Luego de someterla a unafuente de calor durante un minuto, se formul un modelo matemtico en el que latemperatura y (en grados) de la sustancia despus de x segundos de observacionespuede calcularse a partir de la siguiente frmula:

y = 3 . x + 5.

Responda las siguientes preguntas de acuerdo con el modelo anterior:

a) Cul fue la temperatura inicial de la sustancia? Y a los 10 segundos de ser sometida alcalor?

b) Cul fue la temperatura de la sustancia al minuto de ser sometida al calor?c) Cul es la temperatura esperable de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el

experimento?2. En el laboratorio continuaron sometiendo la sustancia a la fuente de calor y observaron

que la temperatura de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el experimento fue de185.

Teniendo en cuenta esta nueva informacin, responda nuevamente el tem c) del tem 1..

Qu puede decir respecto de la validez del modelo matemtico planteado?


12/152



3. Se pudo establecer que la frmula y = 3 . x + 5 sirve de modelo matemtico de loobservado con la temperatura de la sustancia durante el primer minuto del experimento. Apartir de ese instante, la temperatura se mantiene constante.

Complete la siguiente tabla teniendo en cuenta la informacin dada:

x (tiempo en segundos) 5 18 36 45 58 61 75 100mperatura en grados)

4. En el laboratorio se realiza un experimento en el que se mide la temperatura de una barrade metal en distintos instantes. Se observa que la temperatura c (medida en grados)despus de 3 minutos de comenzado el experimento se puede calcular haciendo la cuentac = 5 . 3 + 2.Despus de 7 minutos de comenzado el experimento, la temperatura se calcula haciendo

la cuenta c = 5 . 7 + 2.A los 10 minutos de empezar el experimento, la temperatura se puede calcular as:c = 5 . 10 + 2.Se estima que la relacin observada se mantiene durante 25 minutos.

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la informacin anterior:a) Cules son las variables que intervienen en este experimento?

Si para responder la pregunta anterior no recuerda a qu hacemos referencia cuando hablamos de variables, vuelva a leer el

apartado En trminos matemticos en el que definimos este concepto.

b) Calcule la temperatura de la barra a los 3, a los 7 y a los 10 minutos de comenzar elexperimento.

c) Con qu cuenta calculara la temperatura de la barra a los 12 minutos de comenzado elexperimento? Escrbala.

d) Si utilizamos la letra t para expresar cualquier instante de tiempo a partir de que comienzael experimento, y la letra c para expresar la temperatura de la barra en cada instante t,escriba una frmula que modele matemticamente lo observado en el experimento.

e) La frmula que dio en el tem d), se puede usar para calcular la temperatura que seespera que tenga la barra metlica despus de 30 minutos de empezar el experimento?

Explique lo que tiene en cuenta para responder.f) Si al medir la temperatura a los 10 minutos de comenzado el experimento, el termmetromarcara 52,2 C, dira que la frmula que dio en el tem d)no tiene validez? Explique surespuesta con sus palabras.

g) Si al medir la temperatura a los 20 minutos de comenzado el experimento, el termmetromarcara 90 C, cul de las siguientes afirmaciones elegira como alternativa correcta? No es posible porque la temperatura a los 20 minutos debe ser de aproximadamente

102 C. Es posible. En ese caso, el modelo formulado perdera validez.

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn los tems1, 2 y3.de la Actividad N 2usted trabaj con un modelo matemtico que slotiene validez para los primeros 60 segundos del experimento. Si bien, en este caso, estainformacin no fue conocida inicialmente, la aparicin de un nuevo dato experimental (latemperatura de la sustancia a los 70 segundos) permiti saber cul es el alcance del modeloformulado. Slo es posible realizar predicciones sobre la temperatura de esta sustancia,utilizando esta frmula, cuando el instante de tiempo al que se haga referencia sea un instanteentre el inicio de las mediciones (t = 0) y los 60 segundos (t = 60).En cambio, en el tem 4, el alcance del modelo fue conocido desde la informacin inicial: larelacin observada se estima que se mantiene durante 25 minutos. Sabiendo estainformacin, la respuesta correcta al tem e) es que no es posible calcular la temperatura de la


13/152



barra a los 30 minutos utilizando la frmula escrita en el tem d). Si bien es posible realizaresta cuenta con t = 30,no es pertinente hacerlo para predecir la temperatura de la barra yaque no contamos con informacin que nos permita asegurar qu es lo que ocurre con sutemperatura luego de los 25 minutos de iniciado el experimento. Podra pasar que se sigacalentando pero a otra velocidad; que se mantenga constante; que se empiece a enfriar; que

se haya fundido y deje de ser una barra. Todo depende de las caractersticas del experimentorealizado y del material con el que se est trabajando.En el tem g), la afirmacin correcta es: Es posible. En ese caso, el modelo formulado perdera validez. En este caso, la aparicin de un nuevo dato experimental h izo que laestimacin realizada sobre el alcance del modelo pierda validez.Con esto tenemos varios ejemplos en cuanto a los modelos matemticos como formas deexpresar la realidad para realizar predicciones. Las predicciones pueden verificarse o noindependientemente de la seriedad con la que hayan sido construidas.

La realidad no es un modelo matemtico sino que los modelos son construcciones a partirde observaciones realizadas sobre la realidad. Estas observaciones son realizadas endeterminadas condiciones pero las mismas pueden no ser estables y en ese caso elmodelo puede perder vigencia.

Como cierre del trabajo realizado en la unidad le proponemos que reflexione acerca de lo aprendido a lo largo de las

actividades resueltas. Le ser til responder estas preguntas:

Reconoce de qu forma la Matemtica formula modelos matemticos para describir en forma aproximada fenmenos de larealidad?

Pudo reconocer en los ejemplos dados modelos matemticos?

Comprendi la validez de modelos matemticos? Pudo realizar predicciones a partir de un modelo matemtico? Logr formular modelos matemticos sencillos?

Si sus respuestas son afirmativas, entonces est en condiciones de realizar la siguienteactividad integradora. Si no, le sugerimos repasar lo visto hasta ahora, y /o concurrir a algunasde los espacios de orientacin que le ofrece ADULTOS 2000.

ACTIVIDAD INTEGRADORA

Para poder organizar la distribucin de aulas, una academia realiza un anlisis de la relacinentre la cantidad de alumnos que comienzan las clases y la cantidad de alumnos queterminan cada ao. El registro de las cantidades de alumnos que comenzaron y quefinalizaron las clases en los ltimos aos es el siguiente:

Cantidad de alumnos que comienzan 200 250 180 170 220 150Cantidad de alumnos que terminan 102 124 90 88 111 78

Responda las siguientes consignas a partir de la informacin anterior:

1. Si se inscribieran 300 alumnos, qu cantidad de alumnos debe preverse,aproximadamente, que terminen el ao?

2. Qu relacin aproximada se observa entre la cantidad de alumnos que comienzan lasclases y la cantidad de alumnos que terminan el ao? Exprselo con sus palabras.

3. Con qu cuenta puede calcular la cantidad de alumnos que terminan el ao si conoce lacantidad de alumnos que comienzan las clases?

4. Exprese la relacin observada a travs de una frmula que permita calcular, en formaaproximada, la cantidad de alumnos que termina el ao en base a la cantidad quecomienza. Elija usted las letras a usar para representar a las variables.


14/152



5. Utilice la frmula escrita en el tem 4.para estimar qu cantidad de alumnos terminar elao si se inscriben 90 alumnos?

6. Es posible que la cantidad calculada en el tem 5. no sea la que se registre a fin de ao?Por qu?

Hemos concluido as esta primera Unidad.


15/152

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS Z Y EN ELCONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES Q UNIDAD 23 FF

Operaciones en Z y en Q Unidad 2

14

En esta unidad estudiaremos las propiedades y convenciones que utiliza la Matemtica pararealizar clculos en los diferentes conjuntos numricos.Del mismo modo que en la Unidad 1, comenzaremos analizando situaciones sencillas, quepodran ser similares a las que usted enfrenta en su vida diaria. A partir de ellas

presentaremos los diferentes conjuntos numricos y las formas de operar en cada uno deellos e iremos formalizando las propiedades que seguramente usted utiliza adecuadamente enforma intuitiva.Por ahora, para responder las preguntas que le iremos haciendo, no es necesario saber nadams que lo que usted sabe. No hace falta ninguna lectura previa ni preparacin especial.Insistimos con esta idea porque es nuestra forma de concebir la forma de aprendermatemtica. No se demore pensando qu debera saber para responder?, o cmo

debera hacerse esto?. Simplemente djese llevar por la situacin y d sus respuestas

pensando tal como lo hace en su casa, en su trabajo o en la calle. Luego podr cotejar si la

misma es correcta o no pero, independientemente de eso, si pudo dar una respuesta habrdado un paso en positivo en su proceso de aprendizaje.Presentaremos a los nmeros naturales, a los nmeros negativos y a los nmerosfraccionarios y trabajaremos la forma de operar con ellos. Veremos tambin por qu esnecesario utilizar notacin cientfica para expresar cantidades muy grandes o muy pequeas,por ejemplo las distancias astronmicas y las medidas de objetos microscpicos,respectivamente.Lo invitamos a comenzar con el estudio de la Unidad 2 resolviendo la siguiente actividad:

____________________________________________________________________

El sbado la familia Lpez sali de compras llevando $ 150. En la verduleracompraron 4 kilos de papas, 2 kilos de naranjas, 1 kilo de manzanas y un kilo y medio detomates. Cada kilo de papas vale $ 1,45; el kilo de manzanas cuesta $ 3; el kilo de naranjasvale $ 2,65 y el kilo de tomates $ 2,80. Tambin pasaron por la carnicera. All compraron treskilos de asado y dos kilos de carne para milanesas. El precio del kilo de asado es de $ 9,99 yel kilo de carne para milanesas cuesta $ 10,80.Julieta, la hija menor, necesitaba un pantaln. En un negocio del barrio el pantaln costaba $45 y se poda pagar en dos cuotas sin recargo. Decidieron aprovechar la oportunidad ycomprarlo en cuotas.

Imagine que usted, como madre o padre de familia, ha salido de compras y se le han presentado cuestiones como lasque le planteamos en esta situacin. Resuelva la actividad como lo hace cuando sale de compras.

Responda las siguientes preguntas a partir de la informacin anterior:1. Cunto gastaron en la verdulera? Qu operaciones realiz para hacer este clculo?2. En qu orden fue resolviendo las operaciones que intervinieron en la cuenta del gasto en

la verdulera? Identifique qu operacin resolvi en primer lugar, qu operacin resolvi acontinuacin y as sucesivamente.

3. Cunto gastaron en la carnicera? Identifique tambin qu operaciones us para resolverla cuenta del gasto en la carnicera y en qu orden las realiz.

4. Cunto pagaron cada cuota del pantaln para Julieta?5. Cunto dinero le qued a la familia Lpez despus de realizar todas las compras?6. Un compaero suyo le dice:

Para calcular cunto dinero les qued sumo el gasto en la verdulera con el gasto en lacarnicera y con lo pagado en la primera cuota del pantaln y este resultado se lo resto a150.Est de acuerdo con su compaero en que sa es una forma de calcular el dineroque les qued?

7. Otro compaero le dice:Resto a los $ 150 con los que salieron de la casa lo gastado en la verdulera, a este

resultado le resto el gasto de la carnicera, y a este resultado le resto lo pagado en la


16/152

OPERACIONES EN Z Y EN Q UNIDAD 2

Operaciones en Z y en Q Matemtica A Unidad 2

15

primera cuota del pantaln. As calculo cunto les qued. Est de acuerdo con la formade clculo de este otro compaero?

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn la situacin planteada intervienen dos tipos de nmeros con los que usted habitualmentetiene contacto: los nmeros enteros positivos y los nmeros con coma.

Para responder a lo pedido en la actividad usted seguramente resolvi operaciones entreestos nmeros e identific el orden en que realiz estas operaciones.

Al calcular cunto gastaron los Lpez en la verdulera calcul en primer lugar cunto dinerogastaron en papas, cunto en manzanas, cunto en naranjas y cunto en tomates, y luegosum estos cuatro valores.Para calcular, por ejemplo, cunto gast en papas usted pudo haber procedido de dos formas:sumando 4 veces el precio del kilo de papas o multiplicando a este precio por 4. Esta ltimaes la forma ms corta de realizar el clculo. Por eso decimos que multiplicar por un nmeronatural es una forma abreviada de sumar.

Por lo tanto, para realizar el clculo del gasto total en la verdulera resolvemos una cuenta enla que intervienen dos operaciones: multiplicacin (para calcular lo gastado en papas,manzanas, naranjas o tomates) y suma (para calcular el gasto total en la verdulera).Resolvemos en primer lugar las multiplicacionesy a continuacin la suma.Es importante que sepa que si usted utiliz intuitivamente este orden para resolver el clculopedido, ste es el mismo orden que utiliza la Matemtica para resolver los clculos cuando secombinan las operaciones.Podemos escribir el clculo de lo gastado en la verdulera as:

4 . $1,45 + 2 . $2,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 = $5,80 + $5,30 + $3 + $4,20 = $18,30

Para calcular lo gastado en la carnicera se procede del mismo modo, y para calcular logastado en la primera cuota del pantaln se divide por dos al precio del pantaln.Si escribimos el clculo completo de lo gastado nos queda:

4 . $1,45 + 2 . $2,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 + 3 . $9,99 + 2 . $10,80 + $45 : 2

Para calcular cunto dinero les qued a los Lpez despus de realizar todas las compras,usted puede haber seguido cualquiera de los dos caminos propuestos en los tems 6. y 7.,ambos son correctos. Para escribir el clculo propuesto en el tem 6. es necesario indicar dealgn modo que primero debe sumarse lo gastado en la verdulera, en la carnicera y en elpantaln, para luego restar este resultado de los $ 150. Para indicar esto la Matemtica utilizaparntesis y lo escribe as:

$150($18,30 + $ 51,57 + $22,50) = $150$92,37 = $57,63

El clculo anterior tambin podra resolverse como se indica en el tem 7., es decir restandode los $ 150 el gasto en la verdulera, a este resultado restarle el gasto en la carnicera y al

resultado de esta ltima cuenta restarle el gasto en la primera cuota del pantaln.Tambin en este caso, para indicar en qu orden se deben resolver las cuentas, se utilizanparntesis y corchetes. As:

[($150 $18,30) $51,57] $22,50 = ($131,70 $51,57) $22,50 = $80,13 $22,50 =$57,63

Ambos clculos pueden escribirse suprimiendo los parntesis y corchetes as: $150$18,30 $51,57 $22,50 = $57,63. En este caso se han resuelto las operaciones de izquierda aderecha en el orden escrito.


17/152



16

EN TRMINOS MATEMTICOS: NMEROS NATURALES. CONVENCIONES PARAREALIZAR CLCULOS

En la situacin resuelta usted trabaj con nmeros enteros positivos y nmeros con coma. LaMatemtica llama nmeros naturales a los nmeros enteros positivos, y nmeros decimales a

los nmeros con coma.Los nmeros naturales son los nmeros que utilizamos para contar o para poner nmerosidentificatorios a objetos o eventos, como por ejemplo identificar el nmero de una casa, lafecha de un acontecimiento, la edad de una persona, la cantidad de hijos, la cantidad deobjetos adquiridos en una compra, etc.

Al conjunto de los nmeros naturales lo simbolizamos con la letra N. Como en algunasocasiones necesitamos indicar con un nmero que no hay elementos en un conjunto,consideraremos al nmero 0 como un nmero natural tambin. Por lo tanto el conjunto de losnmeros naturales est formado por:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ......}Para representar geomtricamente a los nmeros naturales utilizamos una recta. En esa rectase marca un origen donde se ubica al 0, se elige una unidad y se repite esta unidadsucesivamente a la derecha del cero. Cada nmero natural queda representado por lospuntos de la recta que quedan marcados por las repeticiones de la unidad. Lo dicho semuestra en el siguiente grfico:

Para realizar clculos entre nmeros naturales combinando operaciones, la Matemticaestablece el orden en el que deben resolverse estas operaciones para que el clculo seacorrecto. Este orden tambin debe tenerse en cuenta para realizar las operaciones concualquier otro tipo de nmeros.

En un clculo en el que intervengan sumas o restas, multiplicaciones y divisiones deberesolverse:En primer lugar las multiplicaciones y divisiones.

A continuacin las sumas y restas de izquierda a derecha.Los parntesis tambin se utilizan para indicar el orden de resolucin de las operaciones.En un clculo en el que intervengan parntesis, estos nos indican que debemos resolver

en primer lugar las cuentas planteadas en su interior. Para resolver estas cuentasdebemos respetar el orden anterior. Una vez resuelto el clculo del interior del parntesis,continuamos la resolucin del clculo utilizando la convencin anterior. Es decir,resolviendo primero las multiplicaciones y divisiones, y a continuacin las sumas y restasde izquierda a derecha.Cuando intervienen parntesis y corchetes debe resolverse en primer lugar la cuentadentro del parntesis y luego las cuentas del corchete.

Le proponemos resolver a continuacin algunas situaciones en las que usted podr poner en juego las ideas que acabamos de

formalizar en el apartado En trminos matemticos.

ACTIVIDAD N 1: TRABAJANDO CON NMEROS NATURALES

1. Describa cuatro situaciones de la vida cotidiana, diferentes de las nombradas en elapartado En trminos matemticos anterior, donde se usen nmeros naturales.

2. Pablo y Luis tienen que resolver la cuenta: 300 100 . 2Pablo dice: "El resultado es 400".En cambio, Luis afirma que el resultado es 100.

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta los clculos realizados por Pablo y

Luis:


18/152



17

a) Quin de los dos respet el orden en el que deben resolverse las operaciones paraque el clculo sea correcto?

b) Cul de las siguientes situaciones planteadas pueden resolverse o interpretarse conla cuenta que tienen que resolver Pablo y Luis?

Si tena $ 300 en mi billetera, y pagu 2 cuotas de un crdito de $ 100 cadauna. Cunto dinero me queda?

Al iniciar el da, en el stock de una fbrica, hay 300 paquetes de un producto.Durante el da se vendieron 100 paquetes. Si cada paquete tiene 2 unidades delproducto, cuntas unidades quedan al terminar el da?

c) Una de las dos situaciones planteadas en el tem b) no puede expresarse con la cuentadada. Cmo debera escribirse la cuenta que interpreta dicha situacin?

Para reflexionar sobre lo trabajadoEs posible que usted pueda resolver las situaciones anteriores sin ninguna dificultad. Pero

que, en el momento de escribir las cuentas que interpretan dichas situaciones, tenga dudas ole resulte complicado hacerlo. Lo mismo para decidir si es Pedro o Luis el que tiene razn.Trate de resolver esta dificultad teniendo en cuenta que tan slo debe respetar el ordenestablecido por la Matemtica para resolver las operaciones. Este orden est formalizado enel apartado En trminos matemticos anterior a partir de la situacin de las compras de lafamilia Lpez.Observe que usted puede resolver situaciones concretas sin dificultad aunque no conozca elconvenio matemtico. Pero no ocurrira lo mismo si la situacin, en lugar de estar expresadaen lenguaje coloquial, estuviera expresada en lenguaje simblico. En este caso, eldesconocimiento del orden adecuado de resolucin de las operaciones puede llevarlo a

resultados errneos.

3. De acuerdo con las conclusiones anteriores, resuelva las siguientes cuentas combinandosumas, restas, multiplicaciones, divisiones y el uso de parntesis:a) 15 . 312 : 47 . 3 =b) (12 + 2) : 72 =c) 5 + (8 + 20) . (134)10 =d) (13 + 24 : 8) : 2(4 + 2) =e) 8 + 3 . 7 . (94) =

4. Complete el con el signo " =" o "" segn corresponda:

a) 24 + (11 + 17) 24 + 11 + 17 d) 1257 12(5 + 7)b) 85(25 + 15) 8525 + 15 e) 15(53) 155 + 3c) 85 + (2515) 85 + 25 + 15

5. Complete el con el signo " =" o "" segn corresponda, utilizando m = 36,

n = 12 y p = 8. Es:

a) mn + p m(n + p) d) m + (np) m + np

b) m + n + p m + (n + p) e) m(np) mnp

c) m(np) mn + p

6. De acuerdo con sus respuestas a los tems 4. y 5., complete el con el signo "=" o ""

segn corresponda. Tenga en cuenta que en este caso m, ny p representan a un nmeronatural cualquiera.

a) m(np) mnp d) m(np) mn + p

b) m + (np) m + np e) m(n + p) mnp


19/152



18

c) m + (n + p) m + n + p

7. Teniendo en cuenta sus respuestas a los tems 4., 5. y 6. de este ejercicio complete lassiguientes frases para que resulten verdaderas:

En un clculo en el que intervienen sumas y restas entre nmeros naturales, paraeliminar parntesis precedidos por un signo " ", se debe....................................................................................................................

En un clculo en el que intervienen sumas y restas entre nmeros naturales, paraeliminar parntesis precedidos por un signo " + " se debe....................................................................................................................

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn la Actividad anterior usted obtuvo conclusiones sobre la forma de eliminar parntesis en unclculo en el que intervienen sumas y restas de nmeros naturales. Esas conclusionespueden extenderse a cualquier otro de los conjuntos numricos con los que trabajaremos msadelante en la unidad.

Regstrelas de algn modo que usted pueda recurrir a ellas fcilmente toda vez que le sea necesario.A su vez, para responder

lo pedido en la actividad, le propusimos asignar valores numricos a las letras para poder decidir si cada expresin resultaba

igual o distinta que la otra. Este recurso de asignar valores particulares a las letras tambin le puede resultar de mucha

utilidad. Tngalo presente y recurra a l cada vez que le surjan dudas sobre si puede o no resolver una cuenta de

determinada manera, an cuando nosotros no se lo propongamos como parte de la tarea.

8. La empleada de la biblioteca de una escuela al final de cada da, controla los movimientos

de libros efectuados en la jornada. Para hacerlo registra minuciosamente cada ingreso osalida de libros:El da 31 de marzo, a la hora de cierre, se encontr con el siguiente listado:

Apertura: 2543 ejemplares Prstamos a docentes: 132 libros Prstamos a alumnos: 856 libros Devoluciones: 270 libros Donacin de editoriales: 624 libros Donacin del Ministerio de Educacin: 67 libros

Enviados al taller de reparacin: 76 libros Recibidos del taller de reparacin: 48 libros

a) De acuerdo con la informacin anterior, calcule con cuntos libros abri la biblioteca el 1de abril.

b) Escriba de dos formas diferentes el clculo que realiz en el tem a)

Continuaremos trabajando con las operaciones entre nmeros naturales resolviendo unanueva situacin:

____________________________________________________________________

Francisco tiene que hacer compras en la librera para sus tres hermanitos. Su mamle pidi que compre un cuaderno que cuesta $5 y una lapicera de $2 para cada uno.

Francisco calcula los gastos de esta manera:Para cada hermano $ 5 + $ 2 = $ 7Total del gasto 3 . $ 7 = $ 21

Su mam calcula:3 cuadernos 3.$ 5 = $153 lapiceras 3 .$ 2 = $6Total del gasto $ 15 + $ 6 = $ 21


20/152



19

Los dos realizan los clculos de diferente forma pero obtienen el mismo resultado. Serncorrectos ambos clculos?

Para reflexionar sobre lo trabajadoLos dos clculos son correctos. Francisco y su mam llegaron al mismo resultado pero por

distintos caminos:3 .( $5 + $2) = 3 .$5 + 3 .$2

Cuando un nmero multiplica a una suma, se puede resolver ese clculo multiplicandopor ese nmero a cada uno de los nmeros que intervienen en la suma. Como en el casode los clculos realizados por Francisco y su mam. Se obtiene el mismo resultadooperando de una forma u otra.

EN TRMINOS MATEMTICOS:PROPIEDADADES DE LAS OPERACIONES ENTRE

NMEROS NATURALES

En las cuentas realizadas por Francisco y su mam, se cumple la propiedad distributiva dela multiplicacin respecto de la suma. Esta propiedad tambin se verifica si dentro delparntesis la operacin es una resta o una combinacin de sumas y restas.La propiedad distributiva puede utilizarse para resolver en forma ms sencilla algunos clculosmentales. Por ejemplo, para resolver 15 .29 podemos hacer

15 .(301) = 15 .3015 .1 = 450 15 = 435Dentro del conjunto de los nmeros naturales se cumplen otras propiedades que permitenrealizar clculos de distintas maneras, como la propiedad conmutativa y la propiedad

asociativa.La propiedad conmutativase verifica tanto para la suma como para la multiplicacin pero nopara la resta o la divisin. Por ejemplo:

3 + 5 = 5 + 3 = 8 2 .8= 8 . 2 = 16La propiedad se cumple para cualquier par de nmeros naturales a y b:

a + b = b + a a . b = b . aEs decir que, la propiedad conmutativa permite cambiar el orden de los nmeros al operar yque el resultado no cambie.Otra propiedad que se verifica es la propiedad asociativa, que permite agrupar de maneradiferente los nmeros para que la resolucin sea ms sencilla. Por ejemplo, si tenemos queresolver 19 + 143 + 7 resulta ms sencillo resolver el clculo agrupando de la siguientemanera:

19 + (143 + 7 ) = 19 + 150 =169

En el caso de multiplicacin, si tenemos que resolver 3 .5 .20 podemos resolver agrupandoas,

3.( 5 .20 ) = 3 .100 = 300

La propiedad se cumple para cualquier nmero natural a, b yc:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)a . b . c = (a . b) . c = a. (b . c)

ACTIVIDAD N 2: TRABAJANDO CON LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONESENTRE NMEROS NATURALES

1. Resuelva cada clculo de dos maneras diferentes:

a)3.(103 + 4) = c)(398 + 195) + (2+5) =

b) (2 + 7) .5 = d) (32 + 5) + (41) =


21/152



20

2. Resuelva mentalmente aplicando la propiedad distributiva:

a)24 .5 c)47 .102

b)103 .8 d)16 .103

NMEROS FRACCIONARIOS

Vamos a empezar a trabajar con algunas situaciones en las que intervienen nmerosfraccionarios. Seguramente estos nmeros tampoco son desconocidos para usted. Veamos ...

Mientras Agostina y Facundo jugaban en el cuarto, se escuch el siguiente comentario:"Tengo dos mitades de chocolates, te doy una a vos y me quedo con la otra".

1. Cree que el reparto es equitativo, es decir que a cada uno le toca la misma cantidad dechocolate? Explique por qu.2. Le presentamos a continuacin el dibujo en escala de las mitades de chocolates queestn repartiendo los chicos:

Despus de observar el grfico:1. Qu comentario hara respecto de su respuesta sobre si el reparto es equitativo o no?2. Qu aclaracin sera necesario incluir en el enunciado para que no se generen malos

entendidos?

Podramos pensar tambin en esta otra situacin en la que interviene un mal entendido similaral anterior:

A principios de mes la fbrica Chocotn anuncia una nueva propuesta para sus empleados atravs del siguiente cartel:

LOS EMPLEADOS QUE REALICENDIARIAMENTE TRABAJOS EXTRA

RECIBIRN MEDIO SUELDOEXTRA A FIN DE MES.

A fin de mes, se produjo una seria discusin entre un empleado que haba realizado muchastareas extra y el encargado de pagos de la fbrica.

Qu es lo que pudo haber provocado esta discusin?Al da siguiente, se corrigi el cartel. Qued as:

LOS EMPLEADOS QUE REALICENDIARIAMENTE TRABAJOS EXTRA

RECIBIRN MEDIO SUELDO EXTRAA FIN DE MES (CORRESPONDIENTE A

LA CATEGORA MS BAJA DE LA EMPRESA

Qu es lo que ocurri? Por qu cree que se produjo la confusin y la discusin?


22/152



21

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn la situacin de los chocolates, posiblemente, en un primer momento, le haya parecido queel reparto era equitativo porque lo usual es pensar que los chocolates en cuestin eraniguales. Seguramente cambi de idea al enterarse que las mitades de los chocolates queestaban repartiendo no eran del mismo tamao. Este ejemplo nos permite ver que si tenemos

que realizar una comparacin entre mitades es necesario que las mismas sean del mismotamao. Si uno no cuenta con las mitades a comparar, debe aclararse de algn modo culesson dichas mitades para no generar malos entendidos.

Algo similar ocurre en la fbrica. Probablemente el empleado que discuti con el contadortena un sueldo mayor al de la categora ms baja y crey que el medio sueldo que recibira afin de mes, en pago por su trabajo extra, sera en relacin con su sueldo.Los malos entendidos surgidos en las dos situaciones anteriores tienen un mismo origen: laambigedad sobre cul es la unidada la que est referida la mitad en cuestin. Al hablar demedios es indispensable aclarar de medios de qu estamos hablando. Adems, al

comparar medios de algo, debemos referirnos siempre a la misma unidad.Trabajaremos ahora en la resolucin de una actividad en la que analizaremos elfraccionamiento de lotes realizado por una inmobiliaria:

En una inmobiliaria venden una extensin grande de terreno. Para ello, lo han divididoen "lotes" como el dibujado a continuacin:

Como cada lote es muy grande, la inmobiliaria los ha fraccionado en partes iguales.

Confeccion los planos y se redactaron las correspondientes escrituras de ventas. Por eso,cada fraccin de lote no puede ser subdividida. A continuacin le mostramos los planos de las"fracciones de lote" que vende la inmobiliaria:

Medios de un " lo te"

La parte sombreada es "un medio lote".

Terc ios de un " lo te"

La parte sombreada es "un tercio de lote".

Cuar tos de un " lo te"

La parte sombreada es "un cuarto de lote".

Sextos de un " lo te"

La parte sombreada es "un sexto de lote".


23/152



22

Doceavos de un " lo te"

La parte sombreada es "un doceavo de lote".

Mire los planos y responda:1. Cuntos "medios lotes" forman un lote?2. Si se quiere formar un lote con "tercios de lote", cuntos de ellos hacen falta?3. Cuntos "cuartos de lote" entran en un lote?4. Para obtener "sextos de lote", en cuntas partes iguales hay que dividir al lote?5. Cuntos "doceavos de lote" hay en un lote?

Para reflexionar sobre lo trabajadoLo dicho en relacin con la unidad de referencia en la reflexin anterior cuando hablbamosde medios, tambin es vlido cuando hablamos de "tercios", cuartos, sextos, etc. En todos los casos es indispensable precisar a qu unidad est

referida cada una de esas partes. En este caso se us como unidad el "lote", que estrepresentado a escala en el plano.La inmobiliaria fraccion al "lote" de la siguiente manera:

En algunos casos lo dividi en dos partes iguales. A cada parte la llam "un medio

lote". Esto puede escribirse as: 1/2 de lote o tambin2

1de lote.

En otros, dividi al lote en tres partes iguales, y a cada parte la llam "tercio de un lote".

Esto puede escribirse as: 1/3 de lote o3

1de lote.

En forma similar determin los "cuartos de lote" (1/4 de lote o4

1de lote) dividiendo el

lote en cuatro partes iguales; los "sextos de lote" (1/6 de lote o6

1) dividiendo al lote en

seis partes iguales; y los "doceavos de lote" (1/12 de lote o12

1) dividiendo al lote en 12

partes iguales.____________________________________________________________________

A partir de los planos y de la informacin anterior responda las siguientespreguntas:1. En una oportunidad, un cliente quiere comprar "medio lote" y la inmobiliaria no dispone de

uno de ellos. El empleado de la inmobiliaria le sugiere que compre otras fracciones de loteque cubran la misma superficie que medio lote, es decir, fracciones de lote que ocupenuna superficie de igual tamao que el medio lote pedido.a) Qu fracciones de lote podra ofrecer el empleado a su cliente en reemplazo del medio

lote pedido?b) Si le ofreciera cuartos de lote cuntos "cuartos de lote" debera comprar el

cliente?

c) Y si le ofreciera "sextos de lote" o "doceavos de lote"?d) El empleado, puede ofrecer a su cliente tercios de lote? Por qu?

2. Otro cliente quiere "un tercio de lote", pero estos se acabaron.a) Con qu fracciones de lote podra cubrir exactamente la superficie de un tercio delote?b) Si para reemplazar el "tercio de lote" le ofrece "sextos de lote", cuntos necesitara?Y si usara "doceavos de lote"?

El empleado de la inmobiliaria se inquiet un poco al ver que a medida que los lotes se ibanvendiendo, se complicaba un poco su tarea. Deba cambiar los pedidos de los clientes por


24/152



23

otros equivalentes. Se dijo: "Tengo que organizarme para hacer ms eficiente la atencin alpblico".Se le ocurrieron dos ideas:

En primer lugar, calc y recort los planos de lotes y fracciones de lotes que vende lainmobiliaria.

En segundo lugar, confeccion el cuadro que figura a continuacin. Para llenarlo,pens as, por ejemplo: "Como un tercio de lote (1/3 de lote) equivale a 2 terrenos desextos de un lote, completo la tabla poniendo un 2 en la columna de los sextos".

Responda las siguientes consignas a partir de la informacin anterior.1. Cul cree que fue la intencin del encargado al calcar y recortar los planos de los lotes y

fracciones de lote?2. Cmo cree que usara los planos para decidir, por ejemplo dos sextos de lote, es lo

mismo que un tercio de lote?

3. Complete la tabla que empez a completar el empleado. Por qu cree que hay casillassombreadas?

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn el cuadro anterior puede leerse, por ejemplo, que "un tercio de lote equivale a cuatrodoceavos de lote". Esto se puede escribir as:

3

1de lote = 4veces

12

1de lote

o3

1de lote = 4 .

12

1de lote

o3

1de lote =

12

4de lote

Otro ejemplo que puede leerse de la tabla es que: "un lote equivale a 6 sextos de lote". Estose puede escribir as:

1 lote = 6 veces6

1de lote

o 1 lote = 6 .6

1de lote

o 1 lote = 6

6

de lote

EN TRMINOS MATEMTICOS: NMEROS FRACCIONARIOS

3

1,

12

4,

6

6son ejemplos de nmeros fraccionarios. En general, cualquier nmero de la

formab

a (con b 0) es un nmero fraccionario. El nmero a se llama numerador de la

fraccin y el nmero b se llama denominador. El denominador le da el nombre a la fraccin


25/152



24

(la denomina) indicndonos la cantidad de partes en la que ha sido dividido la unidad. Elnumerador indica el nmero de partes de la unidad que se estn tomando.Parte D

Si para simplificar las representaciones de los lotes, los simbolizamos con un segmento,

resulta: Como el lote es la unidad, y el segmento simboliza a un lote, entonces la longitud

completa del segmento es la unidad. Por esta razn consideraremos al segmentocomo de longitud 1.

La mitad del segmento representa a "1/2 de lote". Pero la mitad del segmento es un medio de la unidad, o sea "1/2 de unidad" o "1/2 de

1", o simplemente2

1.

La representacin le qued as:

Responda las siguientes consignas a partir de la informacin anterior:1. Usando el mismo criterio utilizado, represente las siguientes fracciones sobre el segmento

unidad:

3

1

41

61

121

2. Sobre el mismo segmento represente las fracciones:

6

2

124

Qu puede observar sobre sus ubicaciones en el segmento?

3. Represente, tambin sobre el mismo segmento, las fracciones:

4

2

63

126

Qu observa en cuanto a sus ubicaciones?

4. Qu ubicacin sobre el segmento tienen las fracciones2

2;

3

3;

4

4;

6

6y

12

12?

Por qu? Interprete esta ubicacin en trminos de la situacin de los lotes.

Para reflexionar sobre lo trabajadoCuando el empleado de la inmobiliaria calc y recort los planos de los lotes, pudo comprobarque un medio lote es equivalente a dos cuartos de lote y tambin es equivalente a tressextos de lote y a seis doceavos de lote.

Esto mismo pudimos observar al representar en el segmento a las fracciones12

6y

6

3,

4

2,

2

1:

su ubicacin result ser la misma. Como todas estas fracciones estn referidas a la mismaunidad, si las comparamos resultan ser iguales o equivalentes.

5. Teniendo en cuenta las representaciones que realiz sobre el segmento, d otros ejemplosde fracciones equivalentes.

6. Teniendo en cuenta las fracciones equivalentes encontradas intente armar un recurso quele permita determinar una fraccin equivalente a otra dada.

Para reflexionar sobre lo trabajadoDe acuerdo con las representaciones realizadas sobre el segmento tambin podemos

observar que las fracciones ,6

2 y

12

4 son equivalentes dado que tienen la misma

ubicacin sobre el segmento y por lotanto representan al mismo nmero.

3

1


26/152



25

Cmo podemos pasar de una a otra? Por ejemplo, cmo encontrar a partir de3

1 y

viceversa? Observe que si multiplicamos por 2 al numerador y al denominador de la fraccin

, obtenemos la fraccin

6

2. Y que si dividimos por 2 al numerador y denominador de la

fraccin6

2, obtenemos la fraccin

3

1. As:

.2 :2

3

1 =6

2

62 =

3

1

. 2 : 2

EN TRMINOS MATEMTICOS: FRACCIONES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACIN DEFRACCIONES. FRACCIONES IRREDUCIBLES

De acuerdo con lo observado, decimos que el nmero fraccionario3

1 es equivalente al

nmero fraccionario6

2 .

En general decimos que, dos fracciones referidas a la misma unidad, son equivalentescuando representan al mismo nmero. Para encontrar fracciones equivalentes multiplicamos odividimos al numerador y al denominador de la fraccin por un mismo nmero distinto de cero. En los casos en que encontramos una fraccin equivalente a otra dividiendo al numerador y aldenominador por un nmero distinto de cero decimos que estamos simplificando.Si en la fraccin, el numerador y el denominador, no admiten divisores comunes, decimos quela fraccin es irreducible.

ACTIVIDAD N 3: TRABAJANDO CON FRACCIONES EQUIVALENTES

1. Encuentre dos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones indicadas a

continuaciny que una de ellas sea irreducible:a)

16

4= b) =

64

128

c) =

21

7

2. Indique en cada caso cul debe ser el valor que debe tomar la letra apara que lasfracciones sean equivalentes.

a)8

a=

2

5 b)

a

8=

3

4

3. Juan, Matas y Gabriel compraron tres chocolates iguales. Juan lo dividi en dos partes

iguales y se comi una sola; Matas lo dividi en cuatro partes iguales y se comi dos deesas partes; y Gabriel lo dividi en ocho partes iguales y se comi cuatro de ellas.

a) Exprese la fraccin de chocolate que comi cada uno.b) Quin comi ms cantidad de chocolate?

Le proponemos continuar trabajando con los lotes de la inmobiliaria para seguir pensandoalgunas cosas ms sobre las fracciones. Le pedimos ahora que:1. Represente los planos de cada una de las siguientes ventas:

Dos "tercios de lote"

Tres "cuartos de lote"

6

2

3

1


27/152



26

Cinco "tercios de lote"

Once "sextos de lote"2. Indique, para cada una de las ventas anteriores, si se vendi ms o menos que un lote.3. Simbolice, ahora, cada una de las ventas en un segmento que represente al lote como

unidad y escrbalas como nmeros fraccionarios.

Para reflexionar sobre lo trabajadoDe acuerdo con la representacin que hemos hecho de los lotes, la representacin de dos"tercios de lote" es:

En la representacin anterior, podemos observar que se vendi una fraccin de lote menor aun lote. Su representacin en el segmento unidad es:

Para realizar la venta correspondiente a cinco tercios de lote" no nos alcanza con un lote ya

que en un lote slo tenemos tres tercios de lote. Quiere decir que se vendi ms que un lote.La representacin grfica de la venta nos queda:

Para su representacin necesitamos tener en cuenta dos veces el segmento unidad, ynos queda:

4. Si el lote midiera 300 m, qu superficie tendran los3

2de lote?

5. Si le dijeran que la superficie de de lote es de 400 m, cuntos metros cuadrados mideel lote completo?

6. a) Si venden3

2de lote y luego de lote, cuntos tercios de lote vendieron en total?

b) Si vende12

1de lote y luego

12

7de lote, cuntos doceavos de lote se vendieron en

total?

7. a) Si se venden de lote y despus de lote, cuntos cuartos de lote se vendieron?

Alcanza con un lote?

b) Si se venden de lote y despus de lote, lo que se vendi en total en esta

oportunidad, es equivalente a lo vendido en el caso del tem a)? Por qu?

8. a) Si se venden6

3de lote y despus

6

2de lote, cuntos sextos de lote se vendieron?

Alcanza con un lote?

b) Si se vende de lote y despus3

1de lote, se vende lo mismo que en la venta del

tem 8. a)? Por qu?

3

2

3

1

4

3

4

2

4

3

2

1

2

1


28/152



27

c) Se vende de lote y despus de lote. La cantidad total vendida, a cuntos sextos

de lote es equivalente?

9. a) Si se vende de lote y despus de lote. en qu tipo de fraccin de lote conviene

expresar el total vendido? Por qu?

b) Se venden de lote y despus de lote. Exprese la fraccin de lote vendida en total.

Para reflexionar sobre lo trabajado

Cuando, por ejemplo, se vende de lote y despus de lote y queremos expresar el total

de la venta, decimos "se vendieron 3 tercios de lote". Estamos sumando las cantidadesvendidas, o estamos sumando los "tercios de lote. Este resultado es equivalente a un lote. Loescribimos as:

3

1+ =

3

21

=3

3 = 1

Cuando se venden de lote y luego de lote, el total de la venta es de4

5de lote. En este

caso estamos sumando cuartos de lote. Lo escribimos as:

4

3+

4

2=

4

23

=4

5

En los casos anteriores sumamos tercios de lote con tercios de lote o cuartos de lote concuartos de lote. Y, cmo hacemos para sumar, por ejemplo, tercios de lote con cuartos

de lote? En el tem 9.se vende de lote y despus de lote y le pedimos que exprese el

total de la venta. Es decir, le pedimos que resuelva la suma +

La primera venta es en "cuartos" y la segunda en "tercios". Como ya hemos observado,existen fracciones equivalentes a cualquier fraccin dada. Entonces podramos reemplazarcada venta por otra equivalente que fuera ms conveniente para realizar la suma. Lo que hayque preguntarse es: pueden expresarse las dos ventas con el mismo tipo de fracciones de

lote?En este caso podemos decir que:

de lote es equivalente a de lote, y que de lote es equivalente a de lote. Por lo

tanto, la venta total es de de lote. Lo escribimos as:

+ = + =12

83

=

EN TRMINOS MATEMTICOS: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismodenominador. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se deben buscarfracciones equivalentes a las dadas de modo que resulten fracciones con el mismodenominador. Luego se suman (o restan) los numeradores mantenindose el denominador.

____________________________________________________________________

Una empresa constructora decide realizar una compra importante: compra 5 medios

lotes, 7 tercios de lote y 15 sextos de lote.

2

1

3

2

4

1

3

2

4

3

3

2

3

1

3

2

3

2

4

3

4

2

4

1

3

2

4

1

3

2

4

1

12

3

3

2

12

8

12

11

4

1

3

2

12

3

12

8

12

11


29/152



28

1. Exprese como fraccin la cantidad de medios lotes, de tercios de lote y de sextos delote que compr la empresa constructora.

2. Calcule la fraccin de lote comprada en total por la empresa.

Luego de la compra, la empresa subdivide los lotes comprados en lotes ms pequeos para

construir mayor cantidad de viviendas. Divide cada medio lote en tres lotes iguales y cadatercio de lote en dos lotes iguales.

3. Cada una de las partes en las que la empresa constructora divide al medio lote, qufraccin representa respecto del lote inicial de la inmobiliaria?

4. Exprese la fraccin que representa a cada una de las partes en las que la empresaconstructora divide al tercio de lote en relacin con el lote inicial de la inmobiliaria.

Para reflexionar sobre lo trabajadoLa empresa constructora compr 5 medios lotes. Podemos escribir a esta compra como 5 .

, que es igual a2

5de lote. Grficamente:

Para calcularlo resolvimos la multiplicacin entre 5y .

Lo mismo hacemos para expresar la fraccin de tercios de lote y de sextos de lote

comprada en total en cada caso: la empresa compr3

7de lote y

6

15de lote, respectivamente.

Para expresar la fraccin que representa a cada una de las partes en las que la empresaconstructora divide al medio lote debemos dividir al medio lote en tres partes iguales. Es

decir, hacemos2

1: 3, que representa a del lote inicial de la inmobiliaria. Grficamente:

La fraccin que representa a cada una de las partes en las que la constructora divide a cada

tercio de lote es tambin , ya que dividimos cada tercio de lote en dos partes iguales.

EN TRMINOS MATEMTICOS: MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FRACCIONES

En la situacin de la empresa constructora, en todos los casos multiplicamos a cada fraccinde lote por un nmero natural, que es una fraccin de denominador uno. Tambin podra sernecesario calcular, por ejemplo, las tres quintas partes de medio lote. Para calcularlo

resolvemos la multiplicacin5

3.

2

1. Lo hacemos as:

5

3.

2

1=

2.5

1.3=

10

3

2

1

2

1

6

1

6

1


30/152



29

En general, cuando multiplicamos dos fracciones, se multiplican los numeradores entre s ylos denominadores entre s. As:

d.b

c.a=

d

c.

b

a

En el caso en que se dividi a medio lote en 3 lotes iguales, resolvimos la cuenta2

1: 3 = ,

que es el resultado de multiplicar2

1.

3

1

En general, para dividir fracciones, siempre y cuando el divisor sea diferente de 0, semultiplica la primera fraccin por la segunda invertida. As:

c.b

d.a=

c

d.

b

a=

d

c:

b

a

ACTIVIDAD N 4: MS TRABAJO CON FRACCIONES

1. Determine, para cada uno de los siguientes casos, dos fracciones que verifiquen lascondiciones dadas:a) Sean equivalentes.b) Tengan numerador 5 y sean mayor que 1.c) Tengan numerador 5 y sean menor que 1.d) Tengan denominador 5 y sean mayor que 1.e) Tengan denominador 5 y sean menor que 1.f) Tengan el mismo denominador y su suma sea equivalente a un entero.g) Tengan distinto denominador y su suma sea equivalente a un entero.h) Que su producto sea equivalente a un entero.i) Que su divisin sea equivalente a un entero.

2. Observe los dos cuadrados representados a continuacin:

a) Si los dos cuadrados son iguales y usted tiene que pintar la zona sombreada en cadauno de ellos:La cantidad de pintura que necesita para pintar la zona sombreada en el cuadrado I,es mayor, menor o igual que la que necesita para pintar la zona sombreada en elcuadrado II?

b) Indique la fraccin que representa la zona sombreada en cada uno de los cuadrados.

3. La siguiente frase est referida a la figura dibujada abajo. Decida si la frase es verdadera ofalsa. D argumentos que justifiquen su respuesta.

FRASE:"La zona sombreada representa una cuarta parte de la figura".

6

1


31/152



30

4. Un almacenero cort un queso en partes iguales tal como se muestra en el siguiente

dibujo. A la maana vendi las partes sombreadas y durante la tarde8

5 del total del

queso.

Responda las siguientes preguntas a partir de la informacin anterior:a) Qu fraccin del total del queso se vendi a la maana?

b) Qu fraccin del queso qued sin vender al final del da?c) Si el queso pesa 5 kg, qu cantidad de kilogramos vendi el almacenero durante la

tarde?5. a) Si usted compra 1 kilo y medio de pan, cuntos paquetes de medio kilogramo de pan

puede armar?

b) Resuelva la siguiente suma: 1 +2

1

6. a) Si usted pide 2 kg y4

3de carne, cuntos cuartos kilogramos de carne le dan?

b) Resuelva la suma: 2 + 43

7. a) En una familia comen8

71 de pizza, es decir 1 pizza y

8

7 de otra. Cuntos octavos de

pizza comen?

c) Resuelva la suma: 1 +8

7

Para reflexionar sobre lo trabajadoEn el tem 5. de este ejercicio se compran 3 medios kilogramos de pan ya que en un

kilogramo hay dos medios kilogramos y adems se compra otro medio kilogramo. Esto esequivalente a calcular 1 +

2

1 =

2

3

2

1

2

2

. Tambin se puede escribir:2

11 . Por lo tanto, la

expresin2

11 debe interpretarse como 1 +

2

1.

Asimismo, en el tem 6., el pedido de carne es de4

32 = 2 +

4

3 =

4

11; y en el tem 7., se

consumen8

71 = 1 +

8

7=

8

15de pizza.

EN TRMINOS MATEMTICOS: OTRA FORMA DE EXPRESAR LAS FRACCIONES

Los nmeros2

11 y

4

32 utilizados en la actividad anterior, son nmeros fraccionarios. En

general, una expresin del tipoc

ba es una fraccin que se obtiene de sumar el nmero

entero a y la fraccinc

b. En smbolos:

c

b+a=

c

ba


32/152



31

Uso de la calculadora cientfica: Si usted tiene una calculadora cientfica, ver que tiene una tecla en la que figura la

expresinc

ba .Dicha tecla se usa para operar con fracciones. Indicaremos ac cmo se ingresa una fraccin en su

calculadora: Por ejemplo, para ingresar la fraccin6

7 debe teclear 7, despus la teclac

ba y por ltimo, teclear 6.

Aparecer en la pantalla la escritura 7 6, que equivale al nmero6

7 . El nmero ya est cargado en su mquina, listo para

operar con cualquier otro que usted desee.

8. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando fracciones. Tenga en cuenta el orden en elque deben resolverse las operaciones de acuerdo con la convencin establecida al operarcon los nmeros naturales.

.

a) =5

4.

2

1+

5

3 c) =

2

1:3+

3

4.

2

1

b)

3

2:1

2

51 d)

6

1.

5

7.

2

1

2

1

3

7.

5

1

Una vez resuelto el ejercicio controle su resultado utilizando la calculadora

9. Indique como fraccin qu parte representa:a) 3 facturas de una docenab) 5 horas de un dac) 35 das de un aod) 36 aos de un siglo

10.Un Centro de Formacin Profesional ofrece a la comunidad un curso gratuito decomputacin. Por razones de infraestructura y organizacin, decidi dividir la oferta en 3sedes con cupos limitados.

El cupo fijado para la Sede 1 fue de 1200 alumnos. El primer da de inscripcin se

anot las4

3partes del cupo de la sede.

En la Sede 2, se inscribieron 480 personas, que representan los

5

3del cupo de la sede.

En la Sede 3, se inscribieron 1750 personas, que representan las4

7partes del cupo de

la sede.Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la informacin anterior:a) Cuntos alumnos se inscribieron en la Sede 1 el primer da?b) Cuntas personas ms se pueden anotar en la Sede 2?c) Cul es el cupo de la Sede 2?d) Sin calcular cul es el cupo de la Sede 3, indique, basndose en la informacin dada

sobre la inscripcin, cmo resulta ser la cantidad de alumnos inscriptos respecto delcupo de la Sede? Piense argumentos que justifiquen su respuesta.

e) Cul es el cupo de la Sede 3?11.Se vendieron 9000 entradas para un recital de Los Autnticos Sonrientes. De las entradas

vendidas, la sexta parte fueron plateas, 3500 fueron para el csped y las dems fueronpopulares.De acuerdo con la informacin anterior:a) Cuntas plateas y cuntas populares se vendieron?b) Qu parte del total de entradas vendidas corresponden al csped?c) Qu parte del total de entradas vendidas corresponden a populares?


33/152



32

Nmeros enterosVamos a dejar por un rato el trabajo con los nmeros fraccionarios para empezar a pensar enlos nmeros negativos. Luego retomaremos el trabajo con estos nmeros. Seguramente usteden su vida cotidiana debe haber interactuado en varias oportunidades con nmeros de signonegativo. Alguna de las situaciones que le presentamos a continuacin podra ser alguna de

ellas.Elena, Francisco, Matilde y Carlos estn jugando chin-chon. Elena es la encargada deregistrar los puntajes al finalizar cada mano. Al terminar la primera mano los puntajesobtenidos por cada uno de ellos fueron los siguientes:

Elena Francis co Mati lde Carlos

3 17 5 10

Recordamos cmo se anota el puntaje en cada mano del chin - chon: el que corta, quedndose sin ninguna carta, tiene un

puntaje de10 (este es el puntaje ideal). Los dems suman los valores de sus cartas y el resultado de la suma es su puntaje.

Si un jugador logra quedarse sin ninguna carta pero no fue el que cort, su puntaje es 0. Queda afuera de la partida aquel qu e

suma 100 puntos y gana el que obtiene el menor puntaje.

Luego de esta primera mano, quin qued en mejor situacin?

En la segunda mano Elena cort con 10; Francisco qued con 4 puntos en la mano; aMatilde la pescaron con 22 puntos y Carlos logr descartar todo.Elena sigue con suerte!! En la mano siguiente volvi a cortar con10. Esta vez lo agarraFrancisco con 24 puntos, a Matilde apenas con 2 y a Carlos con 4 puntos.

Responda las siguientes consignas a partir de la informacin anterior:

1. Cul es el puntaje acumulado por cada uno de los jugadores luego de la segunda mano?Ayude a Elena a registrar los puntajes de cada uno de los jugadores luego de la segundamano.

2. Cules son los puntajes acumulados al finalizar la tercera mano? Contine registrandoestos valores en otra fila de la tabla.

3. Teniendo en cuenta las reglas del juego y los puntajes acumulados hasta la tercera mano,ordene los nombres de los jugadores segn quin est primero, segundo, tercero y cuarto.

No se preocupe por ahora por chequear si sus respuestas a las preguntas anteriores son correctas. Contine trabajando en lanueva situacin que un poco ms adelante podremos reflexionar juntos sobre ellas.

___________________________________________________________________

El siguiente cuadro muestra las temperaturas mximas y mnimas registradas un dadeJulio en algunas ciudades importantes de la Repblica Argentina:

Ciudad Temperaturamnima (en C)

Temperaturamxima (en C)

Bariloche 5 5Buenos Aires 1 11C. Rivadavia 6 2

Crdoba 0 15Formosa 3 16

Mar del Plata 2 9Resistencia 2 16

Ro Gallegos 8 1Trelew 6 4

Ushuaia 10 0


34/152



33

Responda las siguientes preguntas a partir de los datos del cuadro:1. Cul es la ciudad de la tabla que registra la temperatura mnima ms baja?2. La temperatura mnima de Bariloche, es mayor o menor que la de Comodoro Rivadavia?3. Cuntos grados subi ese da la temperatura en la ciudad de Buenos Aires?4. Cuntos grados subi ese da la temperatura en la ciudad de Ushuaia? Y en la ciudad

de Trelew?5. En otra ciudad del sur argentino se registr una temperatura mnima de 8 C. Si se sabe

que la temperatura ascendi 6 C a lo largo del da, cul fue la temperatura mximaregistrada en ese da?

____________________________________________________________________

Le planteamos una nueva situacin. En este caso vinculada con la Historia:Alejandro conquist el mundo griego hacia fines del siglo IV antes de Cristo. Fund la ciudadde Alejandra en el ao 321 . Falleci a los 33 aos, dos aos despus de la fundacin. Laciudad fue destruida para el ao 642 y con su destruccin se perdi tambin la g

Guia Matematica a PDF

Documents

Transcript of Guia Matematica a PDF