Grado 10°Trigonometría

José David Ojeda

Trigonometría

Viene del griego TRIGÓNO que significa triangulo y METRON que significa medida.

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triangulo.

Veamos algunos conceptos iniciales:

Ángulos

Ángulos

Es la unión de dos semirrectas con el mismo origen

Notación de un ángulo: Un angulo se nota con letras mayusculas, para el lado inicial, el vertice y el lado final.

Ángulos

En trigonometría es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero. No es lo mismo ABC que CBA

A

B

C

ABC

Angulos

A

B

C

CBA

Ángulos

También podemos usar letras griegas para notar ángulos . , , ,

Ángulos en el plano cartesiano

Ángulos en el plano cartesiano

Un ángulo se encuentra en posición canónica o normal cuando en el plano cartesiano, el vértice coincide con el origen y el lado inicial coincide con el semieje horizontal positivo x.

O

y

x

Lado inicial

Lado final

Ángulos en posición normalPrimer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Ángulos en el plano cartesiano

Un Angulo es positivo cuando se genera a partir de una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj

Angulo positivo

Ángulos en el plano cartesiano

Un ángulo es negativo cuando se genera a partir de una rotación que tiene el mismo sentido que las manecillas del reloj.

Angulo negativo

Medición de Ángulos

Medición de Ángulos

Los ángulos se miden en grados y en radianes.El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radián es la unidad de medida en el sistema cíclico.

Medición de Ángulos

MEDIDA DE ANGULOS EN ES SISTEMA SEXAGESIMAL

•El ángulo generado por la rotación del ángulo en una vuelta, mide 360 grados y se denota 360°.•El grado sexagesimal (1°) se define como

de una vuelta.

1

360

Medición de Ángulos

• Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos (1° = 60’)

• Un minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)

Medición de Ángulos

Ejercicio: Expresar el ángulo de 42,225° en grados, minutos y segundos.Solución:Primero determinamos los minutos a los que equivale la parte decimal:

0,225 60 13.5' Se multiplica

por 60

Medición de Ángulos

Luego se determinan los segundos a los que equivale la parte decimal

Por lo anterior: 42,225° = 42° 13’ 30”

0,5 60 30" Se multiplica por 60

Medición de Ángulos

MEDIDA DE ANGULOS EN EL SISTEMA CICLICO

Sobre una circunferencia, un ángulo central β determina un arco de .Se dice que la medida del ángulo β es un radian (1 rad) si la longitud del arco que le corresponde es igual al radio de la circunferencia.

Medición de Ángulos

A

B

β

r

r =

Medición de Ángulos

Un radian es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide igual que un radio

El número pi (π)

El número π

El numero π

Por lo anterior, la longitud de una circunferencia es πd, donde d es el diámetro de la circunferencia, pero sabemos que el diámetro es dos veces el radio de la circunferencia. Por tanto…

Longitud de la circunferencia = 2πr

Donde r es el radio de la circunferencia

Equivalencia entre el sistema

sexagesimal y el cíclico

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el

cíclicoDado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr, entonces la cantidad de arcos con longitud igual al radio en cualquier circunferencia es 2π.Por lo anterior, la cantidad de radianes en una circunferencia es de 2π. Entonces…

360° = 2π rad

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el

cíclico

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico

360°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

0°0

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el

cíclico

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el

cíclico

TRIÁNGULOS

TriángulosSi A, B y C son puntos no coloniales, entonces el triangulo ABC es la unión de los segmentos , y .Los puntos A, B y C son los vértices del triangulo; , y son los lados; BAC , ABC y BCA son los ángulos interiores.

A

B

C

TriángulosDe acuerdo con la longitud de sus lados los triángulos se clasifican en :•Triangulo equilátero si sus lados son congruentes•Triangulo isósceles si dos de sus lados son congruentes•Triangulo escaleno si las medidas de sus lados son diferentes

Triángulos

Triangulo equilátero

Triangulo isósceles

Triangulo escaleno

TriángulosDe acuerdo a la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:•Triangulo acutángulo si todos sus ángulos internos miden menos de 90°•Triangulo obtusángulo si uno de sus ángulos mide mas de 90° (Angulo obtuso)•Triangulo rectángulo si uno de sus ángulos mide exactamente 90° (Angulo recto)

Triángulos

Triangulo acutángulo

Triangulo obtusángulo

Triangulo rectángulo

TriángulosNota: En un triangulo rectángulo, las rectas que forman el Angulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a dicho ángulo es denominado hipotenusa

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Propiedades de los triángulos

Propiedades de los triángulos

De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos cumplen las siguientes propiedades:•Todo triangulo equilátero es equiángulo, es decir, las medidas de los ángulos son iguales.•Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes

Propiedades de los triangulos

• Si dos ángulos de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

• La medida de los ángulos internos de cualquier triangulo, suman 180°.

Propiedades de los triángulos

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

• En un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

• h: Hipotenusa, a: y b: Catetos

Teorema de Pitágoras• Ejemplo: Camilo viaja 4 kilómetros al

norte y 3 kilómetros al oeste desde su casa para llegar a su trabajo, ¿Cuál será la distancia mínima entre su casa y su lugar de trabajo?

N

S

EO

4

3

x4

3

x

2 2 2

2

2

4 3

16 9

25

25

5

x

x

x

x

x

Teorema de PitágorasEjercicios: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?Andrés desea comprar un televisor de 42 pulgadas, al llegar a la tienda de electrodomésticos, nota que las TV’s no indican sus tamaños, pero un vendedor sabe que la altura y ancho son de 26 y 33 pulgadas respectivamente, ¿según esto se trata de una TV de 42 pulgadas o no?