8/17/2019 Formula de Esfuerzo de Flexion

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Edgar Eduardo Morado Rodríguez

Instituto Tecnológico de

Celaya

Deducción

de lasfórmulasde Flexióny Esfuerzo

cortante

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 Deducción de da fórmula de Flexión σ = My

 I 

Para deducir la fórmula de flexión primero debemos suponer que el material en este caso

una iga tiene un comportamiento linealmente el!stico de esta manera podemos apoyarnos

en la ley de "oo#e$

σ = Eϵ 

%abemos que una ariación lineal de una deformación unitaria normal esta ocasionada por 

una ariación lineal de esfuerzo normal$

 

Entonces por tri!ngulos seme&antes se concluye que'

σ 

 y=−σ max

c

•  σ =

− y (σ max)c   (Ecuación 1)

Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección transersal

Para poder localizar la posición del e&e neutro sobre la sección transersal satisfaciendo la

condición de que la fuerza resultante que ocurre gracias a la distribución del esfuerzo sobre

la sección transersal debe ser igual a cero$ Tambi(n podemos obserar que la fuerza'

dF =σdA

Donde:

σ = Esfuerzo( Pa , Psi , Kpsi) 

 E= ModulodeYoung( Pa ,Psi , Kpsi)

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)ct*a sobre el elemento arbitrario dA en la siguiente figura'

Es necesario que'

 R Ϝ   = Fx !

0=∫ A

dF 

0=∫ σdA

Recordemos que'

σ =−( yc )σ max

%ustituyendo'

0=∫−( yc )σ max dA

¿−σ maxc   ∫

 A

 ydA

Comoσ max

c  no es igual a cero+ entonces

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∫ A

 ydA=0  (Ecuación 2)

Podemos decir que el momento est!tico de la sección transersal del miembro respecto al

e&e neutro debe ser cero$ Esto solo puede satisfacerse si el e&e neutro es tambi(n el e&e

centroidal ,orizontal de la sección transersal'

´ y=∫  ydA∫ dA

%abemos que'

∫ ydA=0

Podemos determinar el esfuerzo en la iga a partir de que el momento interno resultante  M 

debe ser igual al momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al e&e neutro$El momento de dF en la figura anterior respecto al e&e neutro es dM= ydF. Este momento

es positio ya que con la regla de la mano derec,a apunta ,acia +Z.

Como dF =σdA  y sabemos que'

σ = y

c σ max dA

( MR)" =  M " ! M =∫ A

 ydF =∫ A

 y (σdA)=∫ A

 y ( yc σ max)dA

 M =σ max

c  ∫

 A

 y2

dA  (Ecuación 3)

-e esta manera representamos la integral como I+ la cual representa el momento de inercia

de la sección transersal de la iga respecto al e&e neutro$

 M =σ m#xc  ( I )

-espe&amos σ m#x  de la ecuación y obtenemos'

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σ m#x= M ($ )

 I    (Ecuación 4)

-onde'

•   σ m#x ' Es el esfuerzo normal m!ximo en el miembro que ocurre en el punto de la

sección transersal m!s ale&ado del e&e neutro$

•  M  ' Momento interno resultante+ determinado con el m(todo de las secciones y

las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto al e&e neutro de la sección

transersal$

•  I  ' Momento de inercia de la sección transersal calculado respecto al e&e neutro$

•  c ' -istancia perpendicular del e&e neutro al punto m!s ale&ado de este e&e y sobre

el cual act*a σ m#x $

Comoσ m#x

c  =

−σ  y + la Ecuación 1+ el esfuerzo normal a la distancia

 y   intermedia

 puede determinarse con una ecuación similar a la Ecuación 4 tenemos'

σ =− M ( y )

 I