APUNTE - flexion compuesta

8/3/2019 APUNTE - flexion compuesta

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CUADERNO

29.04CATLOGO Y PEDIDOS EN

cuadernos. i jh@gmail .cominfo@mairea-l ibros .com

ISBN 978-84-95365-87 - 3

9 788495 365873


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,FLEXION COMPUESTA yPANDEO EN BARRAS RECTAS

porRICARDO AROCA HERNNDEZ-ROS

CUADERNOSDEL I NST I TUTOJUAN DE HERRERADE LA ESCUELA DEARQUITECTURA

DE MADRID1-16-01


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CUADERNOSDEL INSTITUTOJUAN DE HERRERA

NUMERACIN1 rea16 AutorO1 Ordinal de cuaderno (del autor)

REASO VARIOS

ESTRUCTURAS2 CONSTRUCCIN3 FSICA Y MATEMTICAS4 TEORA5 GEOMETRA Y DIBUJO6 PROYECTOS7 URBANISMO8 RESTAURACIN

Flexin compuesta y pandeo en barras rectas 2001 Ricardo Aroca Hemndez RosInstituto Juan de Herrera.Escuela Tcnica Superior de Arquitectura de Madrid.Composicin y maquetacin: Daniel lvarez MorcilloCUADERNO 29 .04 /1-16-01ISBN-13 : 978-84-95365-87-3Depsito Legal: M-10642-2001


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rJ

l1I111IIIIIIIIT r a . =t m = ~ , i m", MI i II : II : I.--: __ _ __ -L _ _ _ _

--MI a m W x

ffJff ! I

_LLLIII1

N Mcr =- : : : :

mx M Wx

FLEXIN COMPUESTA Y PANDEO DE BARRASLa combinacin de solicitacin normal y momento flector-flexin compuesta- aparece en todas las barras de prticosrgidos e incluso en las estructuras de nudos articulados esinevitable en la prctica.Las barras comprimidas estn siempre sometidas a unasolicitacin de flexin compuesta, lo que hace especialmentenecesario el estudio de la combinacin de solicitaciones.

Na=A mx

MWx

N Ma - -+--mx - A WxLa tensin mxima se obtiene sumando las de normal y flexin.Si hubiera momentos en dos direcciones:

La comprobacin, que no plantea problema alguno, puede noobstante simplificarse:INFLUENCIA DE LA FORMA DE LA SECCINSuponiendo que existe momento en un solo plano:

N M(J --+-mx - A Wx

La importancia del momento depende de su relacin con lasolicitacin normal --en muchos casos los momentos sonirrelevantes en relacin con la solicitacin normal yviceversa-oLa manera de medir la importancia relativa de ambassolicitaciones es calcular la excentricidad:

MSe llama excentricidad a e =N3


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Si la excentricidad es muy grande, la solicitacin normal N esirrelevante y si es muy pequea el momento no tieneimportancia.Es til expresar el mdulo resistente en funcin del rea A y elcanto d:

1 (d)2los valores de"2 ' i

G' ' = N + M = N + N e .L ( ~ ) 2 rnax A Wx A A d 2 i

edy

excentricidadrelativa

.~ { T r ' - - -v - - - - 'Factor de forma quevale entre 2 y 8

El contenido del corchete es el factor de aumento de la tensinNmedia A y da idea de la sobretensin debida al momento .

Al mismo tiempo, el inverso de . (T para cada formade seccin indica la excentricidad mxima para que no lleguena producirse tensiones de traccin en una seccin sometida acompresin:El mayor valor que puede alcanzar G' , para que no semaxProduzcan tracciones es G' , = 2 . G' dmax meSustituyendo en (I ) y despejando (f-) ,max

4

Me=--N

A - reai - radio de giro =[-f!

d ---------*-----

El radio de giro i es la distancia a la que hay quecolocar la totalidad del rea de la seccin paraque la inercia sea la misma que la de la seccinde forma dada.

v


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No hayfisuras

I 1. ... 2,, _r' :" r

, ,, , /8i i

d

Fisuras en lazona traccio-nada de la f-brica

--'.1/_12_L_._d_ _ 1 _ . dL d 2.J3

i colunma = Jf 1t . (d /2Y/4 = 0.25 . d1t . ?y

16

d/6 es la excentricidad mxima sin tracciones para un muro yd/8 para una columna. Es especialmente importante laaparicin de tracciones en las fbricas de piedra y ladrilloya que provoca una disminucin efectiva de la seccin.

[1+! . L ( ~ ) 2 l = O'mxd 2 1 O'med

El valor del corchete depende de: La excentricidad relativa La relacin entre el canto y el radio de giro, que no

1es sino una propiedad de la forma de la seccin:

5

18


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Circular maciza

HES

Rectangular maciza

Tubular huecaI~ - - - - i - t " " , , ~ l'L_-1\--r- --}- - d

'- """l,..P' ' !ICuadrada hueca

I

i lII

Perfiles

Seccin compuesta

rea

ad

2 re e d/2

2'e'(2'd - e)

026 . d l ,574,

TABLA 1Inercia

0,044 . d3,574

6

Id

0,25=114

0,25=114

10 2 9= - , 2Jj

10 , 35= - -2J2

0,40

0,40

0,5=1/2

8 1/8

8 1/8

6 1/6

4 1/4

3 1/3

3 1/3

2 1/2


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N(J =-mcd A

jN I

la traccin corrigelas imperfecciones

la compresinamplifica lasimperfecciones

I ~ f amo=Ma_I :

_J____ __

COMPRESIN Y TRACCIN DE BARRAS REALES.Una barra real presenta necesariamente una excentricidadinicial 80 que depende tanto de la perfeccin de la construcciny puesta en obra como de la posibilidad de medirla -slopuede precisarse la ejecucin en la medida en que es posiblemedir las imperfecciones: no puede exigirse lo que no puedecomprobarse-oBajo la accin de una solicitacin de compresin la flechainicial 80 se amplifica adquiriendo un valor 8.Existir pues una solicitacin de flexin compuesta con unacompresin N y un momento N8Por lo tanto la tensin mxima ser:

8dy

excentric idadrelativa

El contenido del corchete:

~ { T r ' - . r - - - - - - 'factorde formade la seccin

= (J'med . ro

ro = 1 + .L ( ~ ) 2 1 = J' mx recibe el nombre de factord 2 1 (J'medde pandeo, y es la relacin entre la tensin media y lamxima. Una vez conocido ro:

N,.. - ,.. . ro - - 'ro < fmx -Vmed - A - ,Ser la comprobacin estndar de las barras comprimidas.No conviene olvidar que el factorro no supone una ampliacinde carga, que sigue siendo N, sino una manera prctica de medirel desequilibrio de tensiones en la sec.cin. 1

1 En el Eurocdigo, norma Europea de cumplimiento todava no obligado en Espaa, en lugar del factor O) se utiliza uncoeficiente X < 1 que afecta a la resistencia del materia l-- l mayora c a r g a ~ y Xminora tensiones admi3ibles--.N 'f{,LA = cr med X

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EL PANDEO EN BARRAS PERFECTAS.LA SOLUCIN DE EULER.

El problema del pandeo fue resuelto por Euler en el siglo XVIllno en respuesta a problemas tcnicos sino simplementedesarrollando ejemplos de ecuaciones diferenciales.La solucin del problema empieza imaginando una barraperfecta, de longitud L, rea A, inercia 1, construida con unmaterial de mdulo de elasticidad E.Si para una carga perfectamente centrada no hay, salvo el signo,diferencia de tensiones entre una barra extendida y unacomprimida.Pero si se separa ligeramente la barra de su forma perfecta,provocando una excentricidad 8:En la barra extendida aparece un momento N8 que tiende aponer recta la barra; cuanto menos rgida sea sta, ms rectallegar a ser, menor ser la excentricidad y menor ser lasobretensin consecuencia de ella. -D e ah la ventaja comoelementos traccionados de los cables, en los que al fracciona rla seccin se consigue minimizar la rigidez, facilitando el queel cable tensado sea completamente recto--.Por el contrario, cuando se comprime la barra el momento N8consecuencia de la excentricidad arbitraria 8, tiende a curvarla barra con un momento solicitacin: M = N8Por otra parte existe una relacin entre la curvatura de la barra--consecuencia geomtrica ineludible de y el momentorespuesta:

MR EI

8

NM= N-on o.. . -mlJl-

N


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N

Pueden ocurrir tres casos: El momento solicitacin N8 es menor que el momento

1respuesta RE1 consecuencia de la curvatura que tiende arestablecer la forma inicial de la barra, que por tanto vuelve aponerse perfectamente recta. El equilibrio es estable.

El momento solicitacin N8 es mayor que el momento1respuesta R EI yen consecuencia la barra sigue curvndose

y acaba rompindose: el equilibrio es inestable.

1 El momento respuesta R EI es igual que el N8 y enconsecuencia la barra ni se rompe ni se endereza: el equilibrioes indiferente.

Esta situacin se produce para un valor Nk llamado cargacrtica, independiente de la magnitud de la deformacinarbitraria 8.

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Hay un modelo ms claro de la carga crtica:Si se encaja una barra en un hueco de un slido prcticamenteindeformable, algo ms corto que su longitud 1, se llama cargacrtica Nk a la fuerza que ejerce la barra en sus extremostratando de enderezarse. La carga crtica es enconsecuencia una propiedad de la barra; depende de surigidez y debera con mayor propiedad llamarseRESPUESTA CRTICA.Tomando origen en el extremo izquierdo, la forma de la barraen equilibrio vendr dada por una funcin y(x) igual a Oenambos extremos x = Oy x = LM = -y . Nk ser el momento solicitacin en un punto genrico,mientras que el momento respuesta que tiende a enderezar labarra ser, como ya se dedujo en flexin de barras:

1M = - E I .REl equilibrio general de la barra, y por tanto el de todos suspuntos requerir que para todo x:

1 1-y . N = - . E . 1 es decir - . E . 1+Y . N = Ok R ' . R kPor otra parte si las deformaciones de la barra son pequeasde modo que su normal en todo punto se aparte poco de lavertical:

1-=y"R => y" . E . 1+ y . Nk = Oecuacin diferencial lineal de segundo orden.Es solucin de la ecuacin diferencial un arco de sinusoide deecuacin:

n n xy = 8 s e n -L , para todo n entero.

10

____________ -1---_._-- ____________________ _

ll 1

M". -" ~ l . )

dX=y"dxRR

dx

= y" dxdx


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n= 1- - - - ~ _ . ~ ~

n=- :. '----

1- = .3

------ -------- - - - ~ - - - - - - - - - . . ,

L es la lUZ libre de caq deo

En efecto:

En los extremos {x=ox=L

y=oy=o

Es decir, cumple la condicin por los dos extremos.nn xy=8 sen-L

nn nnxy'= --8 cos---L Ly"

y sustituyendo en la ecuacin:_n 2 n2 nn x n n x- - - : - - s e n ~ ~ ~ E 1+8 sen ._--U L L

n7t xN =0k

El valor 8 . sen --L puede eliminarse, lo que significaque: La magnitud 8 es irrelevante --siempre que fa deformacin

1no sea muy grande y se cumpla y" = R Hay equilibrio en todos los puntos de la barra SI

0 2 . 7t 2N k = -U - .E .1 es el valor de la carga crtica.n significa el nmero de arcos de sinusoide compatible conlas condiciones de contorno:

o

2 4

3 9

4 1611

7t 2 . E .1~ _ . _ - - .-L27t 2 . E .14 ------ --e7t 2 E . 19-------e11: 2 E . r16 -- - - - - -

L2


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La barra tiende a adquirir la forma ms sencilla compatiblecon las condiciones de contorno, es decir, la de menor cargacrtica --existe el problema real de que si se adquiere unadeformacin ms compleja, lo que es posible, luego saltabruscamente a otra ms simple, ya que tiende a acumular elmnimo posible de energa.Las formas de pandeo segn la sustentacin son:

I, I 2 ~ 1

Voladizo

( : : hdoble articuladaindesplazable

"L"'h

empotramientodesplazable i= 0.7 h

empotramiento+ articulacinindesplazable

\ 1,,,,

doble empotramientoindesplazable

En lo que sigue llamaremos longitud de pandeo l a la del mximo arco de sinusoidecompatible con las cndiciones de contorno.

TENSIN CRTICADividiendo la carga crtica por el rea A, se puede eliminar lainfluencia del tamao de la pieza y expresar el problema entrminos de proporcin, siendo

NkSe define as la tensin crtica O"k =-A2 1re E -A

Se llama esbeltez mecnica a 7::: = L -no confundir con laiesbeltez geomtrica A=A resume todo lo que es relevante en la geometra de la pieza

a efectos de su resistencia a compresin.12

L.A

Nkcr = -k A- LA= --;-1


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G II -_

Kl E- ' - - ----G_.__ ___ -1.._________~ ~ - ~ = - = - - - - = - = - - = - - = - : ~ - = - - . : - = - - = - ~ ~ . . . . - -____ ___ _____..l

El acortamiento de la directriz de la barradepende slo de la geometra 'A

N, i

IN ,1

I ,I

11Ule = 100

I \ '\

\' \ \\ , )\;! , 0.')9!.., I

, /ijl/" /I ,.

"-' . - '

I \N = A f \ R O T U MATER IA L- r ~ ~ ~ - ~ - - - ~ -------.I . ... . " , N,Terica", C , . e l i m _ ~ , ~ . , , _ ,

-- - - ~ - - , ~ ~ ~ - - - ~ - ~ - - -50 100 150 200 le

DEFORMACIN UNITARIA CRTICASe puede an eliminar el material y obtener la deformacinunitaria crtica:

(J 7t 2E __ -_k - E -

Como se ve, la deformacin unitaria es slo un problemageomtrico independiente del material. El acortamiento de ladirectriz de la barra depende slo de la geometra - ~ - . En funcin de la esbeltez 'A se producir un compromiso entreel acortamiento por curvatura y la reduccin de longitud de ladirectriz:El acortamiento de una pieza comprimida de una esbeltezgeomtrica dada es el mismo independientemente delmaterial.

1 O ~ 3 . E =k

10 50100 4

100 150 2001 0,44 0,25

La deformacin de 11 correspondiente a las tensiones (Jadmisibles en los materiales comnmente empleados enedificacin, se alcanza para 'A = 100 independientemente delmaterial.

CARGA LTIMA DE PIEZAS REALESLas deformaciones mayores del 11 son imposibles dealcanzar en los materiales habitualmente usados en construccinsin que se produzca previamente la rotura, por lo que si se dibujala grfica de resistencia de una barra, aparece una doble lnea--de trazo continuo--.La curva representa la tensin crtica correspondiente a 1acortamiento terico del eje de la pieza mientras que la rectacorresponde a la tensin de rotura del material, que obviamenteno puede ser superada.

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La lnea de puntos indica, por otra parte, el resultado de losensayos de barras reales, que da valores bastante ms bajos., -Ambas lneas slo coinciden para valores muy altos de A -obviamente para los muy bajos el lmite es la rotura delmaterial-o

AMPLIACIN DE FLECHALa explicacin se encuentra en la imperfeccin de las piezasreales cuya flecha inicial 8 o se ampla dando lugar a unasolicitacin de flexin compuesta.La frmula de ampliacin de flecha fue deducida por Eulertratando de averiguar el efecto de una fuerza axial sobre laflecha de una viga cargada --en aquella poca la nocin deviga imperfecta era completamente impensable-.Dedujocorrectamente que una traccin disminua la flecha mientrasque una compresin la aumentaba. El anlisis del aumento deexcentricidad le condujo a la nocin del pandeo, para lo quesustituy la carga por una deformacin arbitraria, como se havisto en la formulacin matemtica.Como paso previo conviene recordar que para una barraperfecta aunque hay equilibrio para todo 8, el momento dependede su magnitud" M = N k 8en una barra realEl momento solicitacin depende de ladeformacin total O, M=N'oEl momento respuesta depende de o-00(Nk es la fuerza que ejerce la barra tratando de recuperar laforma primitiva)En la posicin de equilibrio:

o N - N) = o .Nk o ko N -o N =ONk o k

8= 8 . N ko N -Nk14

o,

N

N


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Volviendo a la frmula de la flexin compuesta.(J . =(J O):5:fmax med

En el lmite, la tensin aparente que provoca el agotamientod 1 . (J e 1 " ' fe a pIeza es: ( Jy = - y a tenslOn segura es (J =-O) O)Se puede as calcular el factor de pandeo O)

de lo que resulta una ecuacin de segundo grado que permitedespejar O) Si suponemos que las condiciones iniciales:

) T ependen del material, - lo que dista de ser ciertopero es prctico- resultar que O) ser funcin de: f y E -mater ial -o esbeltez mecnica, parmetro que condensa todas laspropiedades geomtricas de la barra relevantes para esteproblema.El problema habitual de diseo es que no puede conocerse laimperfeccin inicial de una barra que no existe; se recurre aestudios estadsticos que a partir de numerosos ensayos debarras reales han permitido determinar los lmites superioresde imperfeccin que cabe esperar en barras aparentementerectas. No debe olvidarse que dentro del apartado imperfeccindeben incluirse adems de las desviaciones geomtricas losefectos de las tensiones iniciales y de la posible falta dehomogeneidad del material.Los valores lmite de deformacin inicial as determinadospermiten calcular las tablas de pandeo.

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Para los materiales habitualmente utilizados:

Madera Acero A-42

A ro A ro25 1,1 50 1,150 1,4 75 1,475 2,0 100 2,0100 3,0 150 4,0150 6,8 200 6,8200 12

La representacin grfica permite establecer un a relacincontinua. Se observa que en el acero se suponen unasimperfecciones geomtricas menores que la madera, lo quetiene como consecuencia un decalaje de las curvas cuyostrazados no obstante pueden hacerse coincidir bastantedecalando las abscisas.

- LHay una relacin inmediata entre la esbeltez mecnica A=-:-1LY la geomtrica A = d para cada forma de seccin:

i[:1--1

r-- --[3I(l '1i . -- rja -

I[----DJ' l'i - L II

i/ d AJA

0,25 4

0,29 3,5

0,35 3

0,40 2,5

0,5 2

16

o)

'21

?


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!

28kN

/ iIiIf+'' t-V_': \ __

\ '1 \\\\ \\\ : \, / '\/-// '

rn

COMPROBACIN DE BARRAS COMPRIMIDASHay dos tipos de comprobacin:a) Peritaje de una barra cuya deformacin inicial 00 esconocida.

i = 0,29 . 70 = 20 mm3000 =15020

28.1030'= =2Nmm-214000O' k 5,50=0 ' -- =30 --=30 152=47mmo O'k - ' O' 5,5-2 '

47( 0=1+6 -= 1+4=570O' , = O' . (O = 2 . 5 = 10 Nmm-2 = j"max

-E l (O obtenido en este caso particular es menor que el de latabla-ob) Peritaje de una seccin: Calcular o buscar en la tabla el valor i ,mm Determinar la longitud libre de pandeo --en funcin delas condiciones de contorno--.

- L Calcular 'A = --:-1 Buscar el (O correspondiente a .

N Comprobar que -'(0:::; fA

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DISEOEl problema de diseo se plantea habitualmente en trminosde N y L Y es preciso elegir material, forma de la seccin ytamao de la misma. En la prctica el material e incluso laforma de la seccin vienen determinados por otrasconsideraciones precisas al diseo de la barra en cuestin (porejemplo, los soportes de dificios son 2 UPN [ ] o HEB H ' as barras delas estructuras trianguladas pequeas y medianas son tubos de pared delgada

.--...(_ ) o [ ] yen cuanto al hormign armado o la madera prcticamente

slo cabe usar secciones macizas, circulares, cuadradas o rectangulares) porlo que determinado material y forma de seccin slo quedadimensionar (calcular el tamao).Si se trata de una seccin inconexa, el problemaes trivial, lo razonable es elegir un valor de d talque el pandeo sea mnimo, por ejemplo un aceroA-42 w=l,l para "A = 50 es decir

L1=-50 d = 2 i = ,aunque podra dej arseLa d = 50 si se est dispuesto a asumir un w = 2.

d

En las secciones conexas, el tamao y por tanto i, dependen deN y w y a su vezw depende de i, lo ms corto es tantear por elsiguiente procedimiento:

Se elige un wl' arbitrarioNroSe calcula Al =f

Si ro 2= ol el problema est resuelto rol + ro 2Si ro 2 :j. rol se repite el ciclo comenzando con 2(el proceso converge rpidamente).

Si se trata de racionalizar el proceso de elegir la forma de laseccin:

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d

oO


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L

I Nq

~ = : : - - > m i ,N, = A, fm

N 2 ;::;0.2 =L;N,N, N,Lf= L; =

L2 = -L,

Es til estudiar la relacin entre N y L, que permite calificar elgrado de complejidad de la seccin necesario para limitar elvalor de ro.Resuelto un caso concreto para una solicitacin NI y una luzlibre de pandeo LI (de lo que resulta un rea Al' un radio degiro i l y un factor de pandeo ro) , si se hace crecer la barra enun factor a.

L =aL2 I

A 2 =A I a ZNz=NI -a ZN z Z L;- =a = -NI

el factor de pandeo es el mismo

Es decir, para una forma de seccin y material dados, ees un invariante al que corresponde un solo valor de ro.Queda por tanto nicamente establecer una correlacin entre

Nlos valores de e y las formas de la seccin para un materialdado para tener unas frmulas directas de diseo que en funcinde N y L permiten deducir el factor de sobredimensionado wcorrespondiente a cada tipo posible de solucin.Resulta til establecer un catlogo de formas de seccin derea 1 elegidas de manera que el radio de giro de cada una--salvo la excepcin de 2 UPN- sea doble de la anterior_Debe advertirse que los perfiles laminares no sonproporcionales, por lo que para perfiles grandes los valorespueden variar bastante, en cuanto a los tubos el i/O,29 = 4corresponde a un espesor de pared t = ~ / 3 2 , para esfuerzosmayores el valor se aproximar a 3.

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TABLA 2REA=l i/O,29 JUSTIFICACIN

- - ~ {' - 0,29 i=_I_=0292-13 'A= 1t _$2 = > $ = ~ 2 4 J;-w- : : : : : : ~ " 0,29;; .. . . i = 0,25 $ = '" 0,292 1t

15 I tH - A=I=>d"' .J5:: )2', 0,56 2 i = 0,25 . .J5 = 0,56 '" 0,29 -2'" ..,15 1l [1J J3;, 0,90 3 A=I=>d"'.J5i = 0,4 .J5 = 0,9 '" 0,29 3ED $ 4.f i4); 1,13 4 A=1t+ 32 =1=>$= J ; = 3,19.fn }, i = _ I _ $ = ~ = l l h O 29 42.fi J;' ,

2,3 8 i = . 8 .13 = 4 .13 = 9 .82 '.; 8, "-E n el caso de seccin inconexa hay que unir las barras resultantes

1 150 . -;- dO 4J i .1,5 d que no deben tener una esbeltez A mayor de 50 para que el pandeode los elementos secundarios no sea significativo--.

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L

i =1N/L2 = 1

2L

i =2 i =4N/L2 =1/4 N/L2 =1/16

a

El uso de un repertorio de formas, cada una de ellas con dobleradio de giro que la anterior--por lo que a igualdad de factorde pandeo O) podr tener doble longitud y po r tanto unvalor de N / L2 la cuarta parte-- permite tener unasreferencias previas que ayudan en el proceso de diseo:Para valores relativos i= 1, i = 2, i = 4 . ... Como O) es elmismo as como el rea A, los valores de N /U relativos sern:N/U=l, N/U= 1/4, N/U= 1 /16....... Yas sucesivamente.Todas las barras tienen el mismo 'A y por tanto el mismo C.Queda por determinar el valor de N / U en un caso: para unabarra maciza cuadrada de 10 . 10 mm2 con una longitud tal quesu factor de pandeo sea 2, es decir, con una esbeltez geomtrica'A = 100.

i =2,9 mm L = 100 . 2,9 = 290 mm170 .102 .10-3N= =85kN2 '

N 8,5L2 = O 292 100 kNm2,

Para barras de acero -42 de seccin cuadrada (o circular)maciza, cuando = 100 kNm-2 el factor de pandeo serLO) = 2.Si se considera el valor C = 2 como lmite desobredimensionado razonable y por tanto clave para decidir elcambio de forma de la seccin, es fcil calcular cul es el valorNde L2 para otras formas a partir del ya obtenido.En efecto, para otra forma de seccin de la misma rea, lalongitud L correspondiente al factor de pandeo C = 2 serL =Lo -( J y en consecuencia: L =Lo e:JN = N 2 = 1002 = k(2)L' C:J C:J

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TABLA 300=2 [k(2)] 00 = 1,25 00 = 1,1 00=1

100 400 800 1600

2 25 100 200 400

Ea 3 11 44 90 180

4 6 25 50 100

EE 8 1,5 6 12 25

FE 16 0,4 1,5 3 632 0,1 0,4 0,8 1,5

64 0,025 0,1 0,2 0,4valores de N/V

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k(2)

100

25

11

6

15

IWJ-- ;;;"0 --IIHti]mI' = ~ . [ -]LO

030 1-----10 .30

N

L

450 kN

3m

100 kN

Dado un problema basta calcularN/U (kNm-2). Para cualquierseccin cuyo k(2) sea menor que el N/U calculado, el factorde pandeo co ser menor de 2 puede obtenerse un valoraproximado mediante la expresin

EJEMPLOS:

N = 450 kN L = 3 m

La seccin ms simple que tendr un factor de pandeoco ::; 2 es un HEB (k(2) = 25). Cabe esperar un

25c o ~ 1 + - = 1 , 5 50Se puede optar por dos UPN: => k(2) = 11

11El factor de pandeo co 1+ - =1,2250

Si se elige un tubo: => k(2) = 6

N = 100 kN L=5m

6=>co=1+-=11250 '

N 100L2 = 25 = 4 en la tabla k(2) 6 > 4 > 1,5Con un tubo hueco co >2 y es preciso hallar la seccinmediante tanteos.

5 m Si acudimos a una seccin compuesta basta tomard 0,20 para que co::; 2 .

l23


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Madera.

Para una misma solicitacin N es necesaria por resistenciaun rea de madera aproximadamente 16 veces mayor que deacero ---es obvio:O"adm madera :::; ION mm 2 y O" adm acero :::; 173 N . mm -2Una barra de madera de 100 x 100 mm2 de seccin, para O) = 2tendr una esbeltez mecnica de = 75 -grfica O ) / ~ -Como i = 29 mm => L = Iv i = 2,175 m

N = (1/2) .10 4 .10.10-3 100 :::; 11 kN .m-2e 2,175 2 2 .2,175 2 esdecir, el mismo valor de k(2) que se obtuvo para los 2 UPN.

Para otra secciones de madera:

Proporcin 1:4

Su radio de giro ser 1/2 del de la cuadrada de igual rea,N N 4 Nlo que da un valor de -2 = 2 = -2 - = 4 .11 = 44L (L{) L

Seccin inconexa de dos tablones de rea total 1 yproporcin 1:4

Cada uno de los tablones tendr dimensiones ..Ji x 2 . ~ El radio de giro en el sentido largo de las tablas ser ..Ji. iopor lo que la longitud ser L ...Ji y

N . _ 1 1 _ = ~ . ~ = 5 5 : : : ; 6 e (..Ji .Lo) (..Ji) 2 ,

24

2b

k i r = b S l b = ~ 1 Ib L d T ~ 1

b

r 1 b. 2.,/2d= ..f5 b2-/'2


27/27

Para que el radio de giro en el otro sentido sea tambin .Ji. io.J5la distancia entre ejes de tablones d, es ---=:: , es decir, .J52 V 5

veces el lado corto l .Cabe por tanto esperar un factor de pandeo equivalente al delos tubos de pared delgada. En la tabla pueden intercalarse lascorrespondientes secciones.

Madera k(2) Aoaro

! ~ 1 , ~ ;t=V-y 14 44 -8-

i:[ 11 ti],112';1'

o { " ' o ! , ~ l Y f ~ ED, ~ / - I "" -J JJ2IEl radio de giro en este sentido depende de la inercia de la seccin con respecto al eje horizontal, que aplicando

( 1)3 2el Teorema de Steiner vale: 1h =2 . .Ji. 2 . .Ji +1 (d/2) --el rea total de la seccin es la unidad--Sabiendo que ih = J se calcula d para que el radio de giro sea .Ji. io

25

k(2)

100

25

11

6

APUNTE - flexion compuesta

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