Eucacion de Aletas

Página Análisis Conceptual, Modelamiento y Cálculo Numérico en Ingeniería Química. HRangel J.

183

5. CÁLCULO NUMÉRICO DE LA EFICIENCIA DE ALETAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL NO UNIFORME

5.1. Introducción

Las ecuaciones diferenciales resultantes de los balances diferenciales de calor para aletas

con sección transversal no uniforme son del tipo de Bessel y cuyas soluciones resultan

ser funciones modificadas de Bessel. La solución simplificada sugerida por Harper y

Brown (3) es la que usualmente se presenta en forma gráfica en la mayoría de los textos

de transferencia de calor y corresponde a la extensión, por medio de una longitud

corregida, de la solución obtenida para una aleta con un extremo aislado (2, 5). Esta

solución aproximada puede llevar a errores y para situaciones de gran precisión sería

bueno disponer de una forma más elaborada de cálculo. El presente cálculo numérico

obvia estas aproximaciones y adicionalmente otras, que usualmente se hacen para

efectos de poder obtener soluciones analíticas al problema, tales como: coeficientes de

película por convección y radiación y conductividad térmica constantes. Debido a que la

propuesta numérica de cálculo trabaja directamente con la ecuación diferencial, los

anteriores parámetros pueden ser corregidos a lo largo del proceso de integración.

El problema de valores de frontera se resuelve mediante una función objetivo, que es

planteada en una condición de frontera y sobre la cual actúa un método mejorado de

memoria de interpolación IMM, el cual suministra valores cada vez mas adecuados para

que, en un proceso iterativo de integración numérica, se satisfaga la condición de

frontera exigida.

Adicionalmente y para efectos de comparación, se presenta y desarrolla una alternativa

numérica que calcula directamente las funciones de Bessel (7), mediante técnicas de

integración bastante precisas como las cuadraturas de Gauss y de Laguerre. Esta

estrategia numérica puede considerase como una alternativa intermedia en la solución

del problema, pero mucho más exacta que la presentada usualmente en los textos (2,

6).

La alternativa general propuesta será presentada con cierto detalle y es importante

anotar que para situaciones de coeficientes de convección, radiación, y conductividad

térmica constantes la solución convencional debe ser igual a la que origina la propuesta

numérica implementada en este trabajo. Adicionalmente se presenta la solución


184

numérica sobre la Hoja Electrónica de Cálculo Excel, la cual resulta relativamente sencilla

y con importantes componentes didácticos y académicos en su implementación.

5.2. Eficiencia de las aletas

Para una condición de flujo unidimensional estable la ecuación diferencial que se origina

en un balance de calor es

Existe una gran variedad de formas geométricas (5), (9), (15), (16). En la Figura 3.50

se presentan dos tipos de aletas bastante utilizadas, con sección transversal no

uniforme: aleta triangular y aleta anular de espesor uniforme.

Figura 3.50. Aletas triangular y anular de espesor uniforme

El caso de la aleta triangular recta, (8), genera la siguiente ecuación diferencial

c

c

d dT A(x) - (h /k) T-T P(x) = 0dx dx

A(x), área de la sección transversal de la aleta en xP(x), perímetro de la aleta en x h , coeficiente de película

∞⎡ ⎤

⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

k, conductividad térmica T, temperatura en la aleta

T , temperatura del fluido x, dirección del cambio en la temperatura ∞

(1)

t

L

x

hc,T∞

ra,Ta

rb,Tb

hc,T∞

r

t

To


185

Donde,

L, longitud de la aleta

t, espesor de la aleta en la base

T∞, temperatura del fluido que rodea la aleta

hc, coeficiente de película del fluido que rodea la aleta La ecuación inmediatamente anterior es una ecuación diferencial de Bessel, (17), cuya

solución se describe a continuación.

La forma general de la ecuación diferencial de Bessel es

y su solución esta dada por

Si se comparan término a término, exponentes y coeficientes, para el caso se obtiene

En esta situación las funciones de Bessel son imaginarias y el orden n = 0; por lo tanto,

el perfil de temperatura es

2

c2

T 1 dT 1d + - ( 2h L /kt )( T- T ) = 0x dx xdx

∞ (2)

2 2 2 2

c-1 22 2

d Y (1-2a) dY (a -p c )+ + (bcX ) Y + =0X dXdX X

⎡ ⎤⎣ ⎦ (3)

cap

p

Y= ( )bXX Z = Z

AJn ( ) + BI-n ( ) p=n=fraccionario AJn ( ) + BY+n ( ) p=n=0,1,2,3,4,5,.

AIn ( ) + BI-n ( ) p=n=fracc.(im.) AIn ( ) + BK+n ( ) p=n=0,1,2,.(im.)

(4)

1/22 2 ½c c

c

2 2 2

(1-2a)= 1 a= 02(c-1)= -1 c= 1/2

2h L -8h L= - b= = mi b= m = (8h L/kt)

kt kt

a -p c = 0 p = 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b c (5)


186

donde,

m = (8hcL/kt)½

I0, función de Bessel modificada de primera clase y orden cero

K0, función de Bessel modificada de segunda clase y orden cero

C1 y C2, constantes de integración; valores A y B de la ecuación 4. De la Figura 3.50 las condiciones de frontera son: Para x = 0 T = T0 (temperatura en el extremo de la aleta)

De (8) la función K0(0) de la ecuación 7 es igual a ∞ y como T tiene un valor finito,

entonces C2= 0.

Para x = L T = Ts (temperatura en la base de la aleta)

De donde se obtiene que el valor de C1 sea

Al reemplazar la ecuación 9 en la ecuación 6, resulta la siguiente expresión para el perfil

de temperatura

El calor real transferido por la aleta al fluido puede calcularse, valorando la derivada en

x=L, así

1 12 2o21 0(T-T ) = C I [mx ] + [ ]C K mx∞ (6)

0 01 20(T - T )= [0] + [0]C CI K∞ (7)

1/2s 01( - ) = [mL ] CT T I∞ (8)

s1 1/2

0

(T -T ) = C

[mL ]I∞ (9)

12O1

s 2O

(T-T ) [ ]I mx = ( - )T T I [mL ]

∞

∞

(10)


187

Lo que conduce finalmente a la siguiente expresión para el cálculo del calor real

entregado por la aleta para una profundidad z

Donde z es la profundidad de la aleta y Qreal el calor real. La eficiencia η de la aleta se define como:

El calor teórico es el transferido como si toda la aleta estuviese a la temperatura de la

base. Por lo tanto, se tiene que

donde, Qt = calor teórico

L'= [L2 + (t/2)2]½

Al reemplazar las ecuaciones 12 y 14 en la ecuación 13 se obtiene

La ecuación diferencial para la aleta anular con espesor uniforme es

donde, t, espesor de la aleta

r, posición radial

121

sx=L 1/2 120

dT m [ ]I mL( = (T T ))dx 2L I [ ]mL

∞− (11)

1

1 212 screal 1

20

[ ]I mL = z (2h k t ( ))Q T T[ ]I mL

∞− (12)

[ calor real transferido por la aleta ]η = [calor teórico transferdido por la aleta ]

(13)

sct = 2h .z.L ( - )Q T T∞′ (14)

1 12 21c

1c 2

0

( 2h k t ) [ ]I mLη = 2h L

I [mL ]′

(15)

2

c2

T 1dTd + - ( 2h /kt)(T-T ) = 0r drdr

∞ (16)


188

Para el caso de la ecuación diferencial 16 y al comparar término a término en la ecuación

3, resulta

Siendo, m = (2hc/kt)½ Los valores de C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones de frontera, así: En r = ra T = Ta

Para r = rb se tiene que

Al solucionar el sistema de ecuaciones 18 y 19 se obtiene

El calor real transferido por la aleta al fluido puede calcularse conductivamente,

valorando dT/dr en r= ra, y se obtiene

El calor teórico transferido por la aleta es

0 01 2(T-T ) = [mr] + [mr] C CI K∞ (17)

a 0 a 0 a1 2( - ) = [ ] + [ ] C CT T I mr K mr∞ (18)

c b

1 b c 0 b 0 b2 1 21 1 b

-k (dT/dr) =h (T -T )

-k (mC I (mr ) - [ ] ) = ( [ ]+ [ ] )mC C CK mr h I mr K mr

∞

(19)

a1

0 a 0 a2

2 2 1

c1

0 b 1 b12

1 b 0 b1

( - )T T = C ( [ ] + [ ] )aI mr K mr

= C a C

= ( /k m) a h

[ ]+ [ ]a I mr I mr = a [ ]- [ ]aK mr K mr

∞

(20)

aa 1 1 a 2 1 ar = -2π k.t. r m(C I [mr ]-C K [mr ]) ( - )Q T T∞ (21)

2 2ac b a c bt = [ 2πh (r -r ) + 2 h t r ] ( - )Q T Tπ ∞ (22)


189

Finalmente, la expresión para la eficiencia de la aleta es

5.3. Cálculo numérico de las funciones modificadas de Bessel La función de Bessel modificada de primera clase y orden v entero es

El cálculo de Iv[x] se efectúa por medio de una cuadratura Gaussiana de diez y seis

puntos (1), (8). Los valores de las abcisas y de las funciones de peso son presentados en

la rutina de Datos del programa anexo.

La función de Bessel modificada de segunda clase y orden v entero es

La valoración numérica de Kv[x] se realiza mediante una cuadratura de Gauss-Laguerre.

Para una mayor precisión se dividió el intervalo de integración en dos. Inicialmente utiliza

una cuadratura Gaussiana hasta un valor relativamente alto y luego se cambia a una

cuadratura de Laguerre, (1), (7).

5.4. Cálculo numérico de la eficiencia

A manera de ilustración se presentará la técnica numérica, en una forma más o menos

detallada, para el caso de la aleta anular. Lo primero es convertir la ecuación diferencial

de segundo orden en dos ecuaciones diferenciales de primer orden, así

y1= T

dy1/dr = dT/dr = y2

d2T/dr2 = dy2/dr

Al reemplazar en la ecuación diferencial 16 se obtiene dy2/dr = (-1/r)y2 + (2hc/kt)(y1-T∞) Las dos ecuaciones diferenciales resultantes son:

a 1 a 1 a1 22 2

c b a c b A

-2π k t m ( [ ]- [ ])C Cr I mr K mrη = [ 2πh (r -r )+2πh tr ] (T -T )∞

(23)

cos( )vI [x] cos(vs)dsx s

0

1= eπ

π ∫ (24)

-2vsv [x] exp (vs-xcosh (vs))(1+ e ) dsK

0

1 = 2

∞

∫ (25)


190

dy1/dr = y2

dy2/dr = (-1/r)y2 + (2hc/kt)(y1-T∞)

La nomenclatura corresponde a la utilizada en el programa anexo de computación.

Mediante un análisis numérico sencillo se observa que para este caso es conveniente

empezar el proceso de integración en r = rb, lo cual implica suponer la temperatura (si se

comenzara en r = ra, sería necesario suponer el valor de la derivada, lo cual sería un

poco más difícil). Adicionalmente en r = rb se debe cumplir que –k dt/dr = hc (Tb-T∞), lo

cual permite calcular el valor de la derivada de la temperatura y así puede iniciarse el

proceso de integración, que en términos de las variables definidas anteriormente queda

como

y2 = -(hc/k)(y1- T∞)

La función que debe satisfacerse se ubica en el otro extremo, r = ra, y es

F = Ta - y1calc.

Para un valor supuesto de la temperatura en r = rb y mediante una técnica de

integración de Runge Kutta, (1), se consigue un valor de la temperatura en r = ra, lo que

suministra un valor de la función F. Un método de interpolación IMM actúa, a partir de

dos valores iniciales, para originar valores mejorados de la temperatura en r = rb y así

rápidamente llegar a que la función F sea cero. Debido a la alta velocidad de

convergencia del IMM, el número de iteraciones es bastante reducido, con respecto a

cálculos convencionales. Para un mayor entendimiento del IMM, como método de

interpolación, por favor consultar (12), (14).

Para la solución numérica de la eficiencia en el caso de la aleta triangular, por

conveniencia se modificó la ubicación en el sistema de coordenadas, para evitar

problemas numéricos de indeterminación, con respecto al empleado en la solución

analítica. El sistema de coordenadas parte en x=0 y corresponde a la base de la aleta, lo

que conduce a la siguiente ecuación diferencial

Adicionalmente, se cambió la estrategia numérica, pues el proceso de integración

comienza en x=0 y la variable supuesta fue el valor de la eficiencia de la aleta, lo que

2

c2

T 1 dT 1d - - (2h /kt)(T-T ) = 0(L-x) dx (L-x)dx ∞ (26)


191

implícitamente condiciona el valor de la primera derivada y así puede iniciarse el proceso

de integración. La función a ser cero se planteó en x=L y corresponde a la condición de

frontera conductiva-convectiva. Se efectúa, en forma similar, el cambio de variables

anotado anteriormente y mediante la técnica de integración y el método de interpolación

IMM se busca la solución del problema.

5.5. Resultados y conclusiones En primer lugar se comparan los resultados de la propuesta numérica con respecto a

cálculos convencionales presentandos en los textos y con respecto a la alternativa

intermedia que calcula directamente las funciones de Bessel, mediante cuadraturas de

Gauss y Gauss-Laguerre. Para esta situación es necesario suponer que el coeficiente de

película y la conductividad térmica son constantes. Lo anterior permite validar la

propuesta numérica, pues para la situación de coeficientes constantes en la ecuación

diferencial los resultados de las dos alternativas deben coincidir.

En (10) se presenta el cálculo de la eficiencia de una aleta triangular, con los siguientes

datos:

hc = 15 Btu/h.ft2.oF

L = 4 in

k = 15 Btu/h.ft.oF

t = 1 in

T∞= 100 oF

Ts = 1100 oF

Los valores obtenidos mediante las dos alternativas numéricas fueron idénticos. El calor

transferido por unidad de profundidad es de 5069.60 Btu/h-ft y la eficiencia de la aleta

η = 0.5030. El valor es relativamente bajo para la eficiencia de una aleta, pero el

ejercicio se toma como referencia para contrastar loe resultados. Si el valor de hc es de

1,5 Btu/h.ft2.oF, el valor obtenido de la eficiencia es de 0.88.

Del libro de Pitts y Sissom (13), para una aleta anular con ra = 1/2 in

rb = 1 in


192

t = 0.009 in

hc = 1.5 Btu/h.ft2.oF

k = 93 Btu/h.ft.oF

T∞= 80 oF

Ta= 330 oF

El libro suministra un valor de la eficiencia de η ≈ 0.94 y textualmente anota la dificultad

para la obtención de valores exactos de las funciones de Bessel y además la condición de

frontera en r = rb se considera como un extremo aislado. Mediante las dos alternativas

numéricas el valor de η es 0.9653. Es importante anotar que el número de iteraciones es

reducido (tres ó cuatro).

Para el caso inmediatamente anterior de la aleta anular y mediante la propuesta

numérica que permite tener en cuenta el cambio en el valor de los coeficientes de

película por convección y radiación se obtuvo un valor para η = 0.90. Para el cálculo de

hcr se utiliza una expresión empírica para la convección libre en placas horizontales (5),

de la forma hcr = 0.29 (T-T∞)0.25 y la ecuación de Stefann Boltzman para valorar el

coeficiente por radiación. Para este caso el valor de la emisividad se tomó como 0.9.

La propuesta numérica de cálculo resulta ser atractiva, pues levanta las restricciones que

usualmente se hacen para la valoración de la eficiencia de aletas y las condiciones

de frontera del modelo matemático son las reales del fenómeno físico. Adicionalmente,

corrige en el proceso de integración los coeficientes de la respectiva ecuación diferencial,

garantizando así una mayor precisión en el cálculo del perfil de temperatura y por ende

de la eficiencia de la aleta. La técnica numérica propuesta es ágil, exacta y muy versátil.

El programa elaborado puede utilizarse como un módulo numérico muy práctico y prueba

de ello son las Figura 3.51 y 3.52, originadas mediante un cambio iterativo de un

parámetro geométrico o de una propiedad térmica. Las anteriores gráficas permiten el

cálculo de la eficiencia de aletas triangular recta y anular de espesor uniforme.

En el Anexo se presenta el listado del programa que tiene la propuesta numérica para el

caso de coeficientes constantes. Adicionalmente, se indican las leves modificaciones que

son necesarias en el caso de coeficientes variables, para una aleta anular con espesor

uniforme.


193

Figura 2 Eficiencia de aleta triangular

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5

L(2h/kt)0.5

Efi

cienci

a,η

Figura 3 Eficiencia de aleta radial

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5

(ra-rb)[2hc/kt] 0.5

Efi

cien

cia,η (ra/rb)=1

(ra/rb)=2

(ra/rb)=3

(ra/rb)=4

Figura 3.51. Eficiencia de aleta triangular

Figura 3.52. Eficiencia de aleta radial


194

5. 6. Implementación en Excel®

5.6.1. Solución Analítica

Para el cálculo analítico de la eficiencia de la aleta anular se aprovecha que las funciones

de Bessel están implementadas en Excel como funciones de Ingeniería.

Por ejemplo la valoración de la función K0 (mrA) se dispone como una función propia de

Excel, como lo presenta la siguiente imagen


195

En la ayuda de Excel puede verse las diferentes funciones de Bessel y tiene un asistente

para su adecuada utilización.

En la siguiente imagen se muestra información sobre la función BESSELK.


196

5.6.2. Solución Numérica

En la imagen anterior puede verse la implementación de la integración de las ecuaciones

diferenciales sobre la Hoja Electrónica, para ello se utiliza un Método numérico de Euler

con 300 pasos. Como se indicó el proceso de integración se inicia desde el extremo rB

hasta rA. Para ello es necesario suponer una temperatura y con esto puede calcularse el

valor de la derivada de la temperatura en ese punto, por medio de la condición de

frontera que debe satisfacerse en ese extremo. El punto de contraste se encuentra en rA

y allí debe cumplirse la función en la solución del problema que la temperatura calculada

debe ser igual a la temperatura en la base de la aleta que es un valor conocido. Para su

solución se utiliza una herramienta numérica BUSCAR OBJETIVO que es un método

numérico de Newton preprogramado, que busca la solución como si fuera un problema

algebraico pero actuando sobre un campo diferencial instalado sobre la Hoja. La anterior

macro se conecta mediante un botón CALCULAR.

5.6.3. Resultados del Cálculo Analítico y del Cálculo numérico

En la siguiente imagen pueden verse los resultados analítico y numérico de la eficiencia

de la aleta y son prácticamente iguales (0,963 y 0,965, respectivamente). La pequeña

diferencia puede originarse más en la valoración interna de las funciones de Bessel en la


197

solución analítica que en la solución numérica propuesta, que no necesita de la

valoración de éstas.

En la siguiente imagen puede verse el perfil resultante en la trayectoria radial de la aleta,

el cual es relativamente plano, lo cual favorece la eficiencia de la aleta y de allí su valor

relativamente elevado.

Se implementa una opción que permite calcular el coeficiente de película, hc, sobre la

trayectoria de la aleta, utilizando expresiones empíricas para convección libre sobre

superficies horizontales (6). En una forma similar se hace con la conductividad del

material de la aleta y la valoración de las propiedades físicas y de transporte del fluido

que la rodea. Para estos casos la solución numérica no solamente es muy eficiente y de

fácil implementación sino que para esta situación no se dispone de una solución analítica

del problema. Es aquí donde las soluciones numéricas son de gran importancia y el

fenómeno puede calcularse con una mayor precisión.

Adicionalmente se instalan unos formularios donde se puede escoger el material de la

aleta, el fluido externo que rodea la aleta y para cada uno de ellos se dispone de

expresiones polinómicas que se regresaron en Excel mediante datos tomados de las


198

referencias indicadas. En las siguientes imágenes pueden verse las diferentes opciones y

cálculos indicados anteriormente.

Se dispone de formularios que permiten la selección del material de la aleta y del fluido

externo que rodea la aleta. Esta pequeña base datos se puede actualizar y mantener

según las necesidades. Por medio de funciones de búsqueda de Excel se encuentran los

coeficientes para los polinomios que permitan la valoración de las propiedades

requeridas, dependiendo de la selección.


199

Componentes. Fluido Externo

Expresiones para el cálculo de propiedades y de los grupos adimensionales necesarios

para la evaluación del coeficiente de película.


200

Expresiones regresadas para el cálculo de la conductividad térmica del material de la

aleta.


201

Propiedades del fluido que rodea la aleta y regresión de los mismos.

Con el programa pueden generarse muy fácilmente las Figuras 3.51 y 3.52 que se

presentaron inicialmente, para el caso de la aleta radial con propiedades constantes.


202

Bibliografía

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203

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17. Wylie, R.C. Advanced engineering mathematics. McGraw-Hill Book Co., 1975.


204

Anexo. Listado del Programa SCREEN 12 REM"-------------------------------------------------------------------- PRINT " Este programa calcula analítica y numéricamente la eficiencia de” PRINT " aletas con sección transversal no uniforme, tales como una aleta” PRINT " anular de espesor uniforme y triangular recta. Para el cálculo de” PRINT " las funciones modificadas de Bessel en la solución analítica se” PRINT " utilizaron cuadraturas de Gauss y Gauss-Laguerre. Para el cálculo” PRINT " numérico se crearon funciones en las condiciones de frontera no " PRINT " conocidas. Al utilizar un método de interpolación -IMM- y con la " PRINT " ayuda simultánea de una técnica de integración de Runge Kutta de” PRINT " cuarto orden se busca satisfacer las funciones respectivas." REM"-------------------------------------------------------------------- DEFDBL A-Z DEF fnf (x) = EXP(x9 * COS(x)) * COS(n0 * x) DEF fng (x) = (1 + EXP(-s2 * x)) * EXP(n0 * x - x8 * (EXP(x) + EXP(-x))) REM Para el calculo de In y Kn de la funciones de Bessel REM se utiliza una integración Gaussiana y de Laguerre DIM u(16), w(16), v(16), z(16), ii(5), kk(5), iii(5), kkk(5) DIM y(5), dery(5), phi(5), savy(5), x(25), t(25) DIM aa(25), b(25), c(25) pi = 3.141592654# comenzar: PRINT PRINT PRINT "Opción=1. Solución analítica" PRINT "Opción=2. Solución numérica" PRINT PRINT INPUT "Opcion"; opcion IF opción = 1 THEN GOTO analítica IF opción = 2 THEN GOTO numérica IF opción < 1 OR opción > 3 THEN GOTO comenzar REM ------------- SOLUCION ANALITICA DE LA EFICIENCIA ---------- analítica: GOSUB datos PRINT "Opción=1. Aleta radial" PRINT "Opción=2. Aleta triangular" PRINT PRINT INPUT "Opción"; opción IF opción = 1 THEN GOTO radial IF opción = 2 THEN GOTO triangular IF opción < 1 OR opcion > 3 THEN GOTO analítica REM ------ SOLUCION ANALITICA ALETA RADIAL------ radial: INPUT "hc="; hc INPUT "ra="; ra INPUT "rb"; rb INPUT "t="; bb INPUT "k="; kk


205

INPUT "Ta="; ta INPUT "Too="; too m1 = (2 * hc / (kk * bb)) ^ .5 n0 = 0 x9 = m1 * ra GOSUB funi ii(0) = q GOSUB funk kk(0) = q n0 = 1 x9 = m1 * rb GOSUB funi ii(1) = q GOSUB funk kk(1) = q n0 = 0 GOSUB funi iii(0) = q GOSUB funk kkk(0) = q n0 = 1 x9 = m1 * ra GOSUB funi iii(1) = q GOSUB funk kkk(1) = q REM ----Evaluación de constantes--- a1 = (hc / (kk * m1)) a2 = (ii(1) + a1 * iii(0)) / (kk(1) - a1 * kkk(0)) tta = ta - too c1 = tta / (ii(0) + a2 * kk(0)) c2 = a2 * c1 REM Cálculo de la eficiencia qt = (2 * hc * (ta - too) * 3.14159 * (rb ^ 2 - ra ^ 2)) + (hc * 2 * 3.14159 * rb * bb) * (ta - too) qr = -kk * 2 * 3.14159 * ra * bb * m1 * (c1 * iii(1) - c2 * kkk(1)) nn = qr / qt PRINT "Eficiencia="; nn END REM ----SOLUCION ANALITICA ALETA TRIANGULAR---- triangular: INPUT "hc="; hc INPUT "L="; l1 INPUT "t="; t INPUT "k="; kk INPUT "Ta="; ta INPUT "Too="; too b1 = 1 ll = ((l1 ^ 2 + (t / 2) ^ 2)) ^ .5 m2 = (8 * hc * l1 / (kk * t)) ^ .5 n0 = 0 x9 = m2 * (l1 ^ .5) GOSUB funi ii(0) = q


206

n0 = 1 GOSUB funi ii(1) = q REM Cálculo de la eficiencia qt = 2 * hc * ll * b1 * (ta - too) qr = b1 * ((2 * hc * kk * t) ^ .5) * (ta - too) * ii(1) / ii(0) nn = qr / qt PRINT "Eficiencia="; nn END REM ------------- SOLUCION NUMERICA DE LA EFICIENCIA ------------ numérica: PRINT "Opción=1. Aleta radial" PRINT "Opción=2. Aleta triangular" PRINT PRINT INPUT "Opción"; opción IF opción = 1 THEN GOTO radia IF opción = 2 THEN GOTO triangu IF opción < 1 OR opcion > 3 THEN GOTO numérica REM --------- ALETA RADIAL ------ radia: nume = 1 INPUT "hc="; hc INPUT "ra="; ra INPUT "rb"; rb INPUT "t="; bb INPUT "k="; kk INPUT "Ta="; ta INPUT "Too="; too m1 = (2 * hc / (kk * bb)) ^ .5 INPUT "NUMERO DE DIVISIONES="; m% dr = -(rb - ra) / m% x1 = ta x(0) = x1 GOSUB integra t(0) = ta - y(1) PRINT t(0) x1 = too x(1) = x1 GOSUB integra t(1) = ta - y(1) PRINT t(1) REM ---- IMM aleta radial ---- imm: aa(0) = x(0) aa(1) = (t(1) - t(0)) / (x(1) - x(0)) x(2) = aa(0) - (t(0) / aa(1)) mm% = 2 calculando: x1 = x(mm%) GOSUB integra t(mm%) = ta - y(1)


207

b(0) = x(mm%) FOR i% = 1 TO mm% - 1 b(i%) = (t(mm%) - t(i% - 1)) / (b(i% - 1) - aa(i% - 1)) NEXT i% c(mm%) = (t(mm%) - t(mm% - 1)) / (b(mm% - 1) - aa(mm% - 1)) aa(mm%) = c(mm%) FOR i% = mm% TO 1 STEP -1 c(i% - 1) = aa(i% - 1) - (t(i% - 1) / c(i%)) NEXT i% x(mm% + 1) = c(0) x1 = x(mm% + 1) GOSUB integra t(mm% + 1) = ta - y(1) erro = ABS(t(mm% + 1)) IF erro <= .000001 THEN nn = -kk * 2 * pi * ra * bb * y(2) qt = (2 * hc * (ta - too) * pi * (rb ^ 2 - ra ^ 2)) + (hc * 2 * pi * rb * bb) * (ta - too) nn = nn / qt PRINT "Eficiencia="; nn END END IF mm% = mm% + 1 GOTO calculando REM ------ ALETA TRIANGULAR ---- triangu: nume = 2 INPUT "hc="; hc INPUT "L="; l INPUT "t="; t INPUT "k="; kk INPUT "Ta="; ta INPUT "Too="; too INPUT "Numero de divisiones="; m% b1 = 1 ll = ((l ^ 2 + (t / 2) ^ 2)) ^ .5 PRINT "ll="; ll dr = l / m% x1 = -.999 * 2 * hc * ll * b1 * (ta - too) / (kk * b1 * t) x(0) = x1 GOSUB integra t(0) = hc * (y(1) - too) + kk * y(2) PRINT t(0) x1 = -.1 * 2 * hc * ll * b1 * (ta - too) / (kk * b1 * t) x(1) = x1 GOSUB integra t(1) = hc * (y(1) - too) + kk * y(2) PRINT t(1) REM -- IMM aleta triangular -- aa(0) = x(0) aa(1) = (t(1) - t(0)) / (x(1) - x(0))


208

x(2) = aa(0) - (t(0) / aa(1)) mm% = 2 calcula: x1 = x(mm%) GOSUB integra t(mm%) = hc * (y(1) - too) + kk * y(2) b(0) = x(mm%) FOR i% = 1 TO mm% - 1 b(i%) = (t(mm%) - t(i% - 1)) / (b(i% - 1) - aa(i% - 1)) NEXT i% c(mm%) = (t(mm%) - t(mm% - 1)) / (b(mm% - 1) - aa(mm% - 1)) aa(mm%) = c(mm%) FOR i% = mm% TO 1 STEP -1 c(i% - 1) = aa(i% - 1) - (t(i% - 1) / c(i%)) NEXT i% x(mm% + 1) = c(0) x1 = x(mm% + 1) GOSUB integra t(mm% + 1) = hc * (y(1) - too) + kk * y(2) erro = ABS(t(mm% + 1)) IF erro <= .000001 THEN qt = 2 * hc * ll * b1 * (ta - too) PRINT "qt="; qt qr = -kk * b1 * t * x(mm% + 1) PRINT "qr="; qr nn = qr / qt PRINT "Eficiencia="; nn END END IF mm% = mm% + 1 GOTO calcula REM Funciones In funi: a = 0 b = 3.1415926# s9 = 1 / b h = b - a h2 = h / 2 k = 0 n = 1 q = 0 a0 = a - h2 FOR j = 1 TO n x0 = h * j FOR i = 1 TO 16 x = h2 * u(i) x1 = a0 + x0 + x x2 = a0 + x0 - x q = q + w(i) * (fnf(x1) + fnf(x2)) NEXT i NEXT j q = q * h2 q = q * s9


209

RETURN REM Funciones Kn funk: a = 0 b0 = 8 x8 = x9 / 2 s2 = n0 + n0 s9 = .5 b = b0 l = 1 k = 0 n = 1 h = b h2 = h / 2 q = 0 a0 = -h2 FOR j = 1 TO n x0 = h * j FOR i = 1 TO 16 x = h2 * u(i) x1 = a0 + x0 + x x2 = a0 + x0 - x q = q + w(i) * (fng(x1) + fng(x2)) NEXT i NEXT j q = q * h2 REM Cuadratura de Laguerre FOR i = 1 TO 15 x = b + v(i) q = q + z(i) * fng(x) NEXT i q = q * s9 RETURN REM Proceso de integración integra: IF nume = 1 THEN y(1) = x1 y(2) = (hc / kk) * (too - y(1)) n% = 0 r = rb ELSE y(2) = x1 y(1) = ta n% = 0 r = 0 END IF GOSUB derivadas come1: pasa2: REM ----Técnica de Runge Kutta--- FOR j = 1 TO 2 savy(j) = y(j)


210

phi(j) = dery(j) y(j) = savy(j) + .5 * dr * dery(j) NEXT j r = r + .5 * dr GOSUB derivadas pasa3: FOR j = 1 TO 2 phi(j) = phi(j) + 2 * dery(j) y(j) = savy(j) + .5 * dr * dery(j) NEXT j GOSUB derivadas pasa4: FOR j = 1 TO 2 phi(j) = phi(j) + 2 * dery(j) y(j) = savy(j) + dr * dery(j) NEXT j r = r + .5 * dr GOSUB derivadas pasa5: FOR j = 1 TO 2 y(j) = savy(j) + (phi(j) + dery(j)) * dr / 6 NEXT j GOSUB derivadas n% = n% + 1 IF nume = 2 THEN IF n% = m% - 1 THEN GOTO seguir END IF END IF IF n% = m% THEN GOTO seguir END IF GOTO come1 seguir: RETURN REM Rutina de derivadas derivadas: IF nume = 1 THEN dery(1) = y(2) dery(2) = (-y(2) / r) + (m1 ^ 2) * (y(1) - too) ELSE dery(1) = y(2) dery(2) = (1 / (l - r)) * y(2) + (1 / (l - r)) * (2 * hc * l / (kk * t)) * (y(1) - too) END IF RETURN REM Valores para las cuadraturas de Gauss y Laguerre datos: FOR i = 1 TO 16 READ u(i), w(i), v(i), z(i)


211

NEXT i DATA .04830766568773832,.09654008851472780,.093307812017,.239578170311 DATA .14447196158279649,.09563872007927486,.492691740302,.560100842793 DATA .23928736225213707,.09384439908080457,1.215595412071,.887008262919 DATA .33186860228212765,.09117387869576388,2.269949526204,1.22366440215 DATA .42135127613063535,.08765209300440381,3.667622721751,1.57444872163 DATA .50689990893222939,.08331192422694676,5.425336627414,1.94475197653 DATA .58771575724076233,.07819389578707031,7.565916226613,2.34150205664 DATA .66304426693021520,.07234579410884851,10.120228568019,2.77404192683 DATA .73218211874029968,.06582222277636185,13.130282482176,3.25564334640 DATA .79448379596794241,.05868409347853555,16.654407708330,3.80631171423 DATA .84936761373256997,.05099805926237618,20.776478899449,4.45847775384 DATA .89632115576605212,.04283589802222668,25.623894226729,5.27001778443 DATA .93490607593773969,.03427386291302143,31.407519169754,6.35956346973 DATA .96476225558750643,.02539206530926206,38.530683306486,8.03178763212 DATA .98561151154526834,.01627439473090567,48.026085572686,11.5277721009 DATA .99726386184948156,.00701861000947010,0,0 RETURN Cambios para coeficientes variables (Aleta radial) l ----------------------- ----------------------- REM ------------- SOLUCION NUMERICA DE LA EFICIENCIA ------------ numérica: PRINT "Opción=1. Aleta radial" PRINT "Opción=2. Aleta triangular" PRINT PRINT INPUT "Opcion"; opcion IF opcion = 1 THEN GOTO radia IF opcion = 2 THEN GOTO triangu IF opcion < 1 OR opcion > 3 THEN GOTO numerica REM --------- ALETA RADIAL ------ radia: nume = 1 INPUT "ra="; ra INPUT "rb"; rb INPUT "t="; bb INPUT "k="; kk INPUT "emisividad="; e1 INPUT "Ta="; ta INPUT "Too="; too INPUT "NUMERO DE DIVISIONES="; m% dr = -(rb - ra) / m% x1 = ta x(0) = x1 GOSUB integra t(0) = ta - y(1) PRINT t(0) x1 = too + 1 x(1) = x1 GOSUB integra


212

t(1) = ta - y(1) PRINT t(1) REM ---- IMM aleta radial ---- imm: aa(0) = x(0) aa(1) = (t(1) - t(0)) / (x(1) - x(0)) x(2) = aa(0) - (t(0) / aa(1)) mm% = 2 calculando: x1 = x(mm%) GOSUB integra t(mm%) = ta - y(1) b(0) = x(mm%) FOR i% = 1 TO mm% - 1 b(i%) = (t(mm%) - t(i% - 1)) / (b(i% - 1) - aa(i% - 1)) NEXT i% c(mm%) = (t(mm%) - t(mm% - 1)) / (b(mm% - 1) - aa(mm% - 1)) aa(mm%) = c(mm%) FOR i% = mm% TO 1 STEP -1 c(i% - 1) = aa(i% - 1) - (t(i% - 1) / c(i%)) NEXT i% x(mm% + 1) = c(0) x1 = x(mm% + 1) GOSUB integra t(mm% + 1) = ta - y(1) erro = ABS(t(mm% + 1)) IF erro <= .000001 THEN nn = -kk * 2 * pi * ra * bb * y(2) hc = .29 * ((ta - too) ^ .25) hr = e1 * 1.714E-09 * (((ta + 460) ^ 4) - (too ^ 4)) / (ta - too) hcr = hc + hr qt = (2 * hcr * (ta - too) * pi * (rb ^ 2 - ra ^ 2)) + (hcr * 2 * pi * rb * bb) * (ta - too) nn = nn / qt PRINT "Eficiencia="; nn END END IF mm% = mm% + 1 GOTO calculando ----------------- ----------------- REM Proceso de integración integra: IF nume = 1 THEN y(1) = x1 tt1 = y(1) + 460 hc = .29 * ((y(1) - too) ^ .25) hr = e1 * 1.714E-09 * (tt1 ^ 4 - too ^ 4) / (y(1) - too) hcr = hc + hr y(2) = (hcr / kk) * (too - y(1)) n% = 0 r = rb


213

ELSE y(2) = x1 y(1) = ta n% = 0 r = 0 END IF GOSUB derivadas come1: pasa2: REM ----Técnica de Runge Kutta--- FOR j = 1 TO 2 savy(j) = y(j) phi(j) = dery(j) y(j) = savy(j) + .5 * dr * dery(j) NEXT j r = r + .5 * dr GOSUB derivadas pasa3: FOR j = 1 TO 2 phi(j) = phi(j) + 2 * dery(j) y(j) = savy(j) + .5 * dr * dery(j) NEXT j GOSUB derivadas pasa4: FOR j = 1 TO 2 phi(j) = phi(j) + 2 * dery(j) y(j) = savy(j) + dr * dery(j) NEXT j r = r + .5 * dr GOSUB derivadas pasa5: FOR j = 1 TO 2 y(j) = savy(j) + (phi(j) + dery(j)) * dr / 6 NEXT j GOSUB derivadas n% = n% + 1 IF nume = 2 THEN IF n% = m% - 1 THEN GOTO seguir END IF END IF IF n% = m% THEN GOTO seguir END IF GOTO come1 seguir: RETURN REM Rutina de derivadas derivadas:


214

IF nume = 1 THEN dery(1) = y(2) tt1 = y(1) + 460 hc = .29 * ((y(1) - too) ^ .25) hr = e1 * 1.714E-09 * (tt1 ^ 4 - too ^ 4) / (y(1) - too) hcr = hc + hr dery(2) = (-y(2) / r) + (2 * hcr / (kk * bb)) * (y(1) - too) ELSE dery(1) = y(2) dery(2) = (1 / (l - r)) * y(2) + (1 / (l - r)) * (2 * hc * l / (kk * t)) * (y(1) - too) END IF RETURN

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