Capitulo 3-6 Aletas

Capítulo 3 IMC 484 1

Superficies Extendidas (Aletas)

Una superficie extendida (también conocida como aleta) es un sistema que combina la conducción y la convección. En una aleta se asume que la transferencia de calor es 1D. El calor también se transfiere por convección (y/o radiación) desde la superficie a los alrededores.


Las superficies extendidas pueden existir en muchos tipos de situaciones pero son normalmente utilizadas como aletas para mejor la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y/o radiación). Ellas son particularmente útiles cuando h es pequeño, o en convección natural con gases.



Balance de energía para un volumen de control diferencial

dx

qx+dxqx

dqconv

dAs Ac(x)

xin qE

convdxxout dqqE

011

2

2

TT

dx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td s

c

c

c

Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal variable


Cambios de variable:qf

Ac

qconv

Tb

011

2

2

TT

dx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td s

c

c

c

02

2

TT

kA

hP

dx

Td

c

Pdx

dA

dx

dA sc and 0

TxTxckA

hPm 2

Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal constante


Solución de la ecuación diferencial resultante en una aleta de sección transversal constante

mxmx eCeCx 21Base (x = 0)

0 b bT T

Extermo derecho ( x = L)

Transferencia de Calor:

0|ff c x A s

dq kA h x dA

dx

Condiciones de frontera

A. Convección: )(Lhdx

dk

Lx

B. Adiabático: 0Lxdx

dk

C. Temperatura cte: LL

D. Aleta infinita: 0L


Distribución de temperatura y balance de calor para aletas de sección transversal cte


Desempeño de aletas,

• Las aletas se usan para aumentar q aumentando A• Sin embargo las aletas son una resistencia de conducción para la

transferencia de calor

bbc

ff hA

q

,

Ac,b: Área de la sección transversal en la base de la aleta

Se justifica el uso de aletas si

2f

f

Desempeño de una aleta, f


• Aleta infinita:

• Extremo de la aleta adiabático

bcf hPkAq

Hipótesis: h sin aleta = h con aleta

2

cf hA

kP 4chA

kP

)tanh(mLhPkAq cf

)tanh(mLhA

kP

cf

0,1)tanh( si max, mLf

bccbbc

bcf AA

hA

hPkA,

,

Desempeño de aletas, f


Extremo de la aleta adiabático

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

mL

tan

h(m

L)

mL=2,3

tanh(mL)=0,98

Capítulo 3 IMC 484 11mL

Eficiencia de la aleta,

0

tanh

1tanh

0

mL

mLL

mL

mLLSi

f

f

fPara una aleta de sección transversal uniforme con un extremo adiabático

mL

mL

hPL

mLhPkA

hA

q c

bf

adff

)tanh()tanh(,

bf

fff hA

q

q

q

max

1

0

f

Costo

f

Af: Área superficial de la aleta


Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena? Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K. El ambiente se encuentra a 25 ºC.

a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay transferencia de calor por convección.

b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.

T x T

T T

m L x h mk m L x

mL h mk mL

x x

T x x x

b b

( ) cosh[ ( )] ( / )sinh[ ( )]

cosh ( / )sinh

cosh[ . ( . )] . sinh[ . ( . )]

cosh( . ) . sinh( . )

( ) . {cosh( . . ) . sinh( . . )}

-

3138 0 2 0 00672 3138 0 2

0 6276 0 00672 0 6276

25 62 09 0 6276 3138 0 00672 0 6276 3138

Eficiencia de la aleta, f

138,3 , ckA

hPm

Ecuación larga


0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285

88.75

92.5

96.25

100

T( )x

T c( )x

x

T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo

T(0.2)=87.32 °CTc(0.2)=87.09 °C

Nota 1: la temperatura en el extremo de la aleta es ligeramente inferior en el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!!Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta.


T x T

T T

m L x

mL

T x

T x x

b b

( ) cosh ( )

cosh

cosh[ . ( . )]

cosh( . * . ),

( ) . * cosh[ . ( . )]

-

25

100 25

3138 0 2

3138 0 2

25 62 32 3138 0 2

Extremo adiabática


Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se utiliza la suposición de extremo adiabático pero utilizando una longitud de aleta corregida para tener en cuenta la transferencia de calor por convección en el extremo LC=L+(t/2).

L

Con convección

L

LC=L+t/2

t

t/2Extremo aislado

Luego se aplica una condición de extremo adiabática


Capítulo 3 IMC 484 150 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

85

88.75

92.5

96.25

100

T( )x

T c( )x

T corr( )x

x

Retomando el ejemplo anterior tenemos, m=3.138. La longitud corregida es LC=L+(t/2)=0.2+0.0025=0.2025(m)

T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °CTcorr(0.2025)=87.05 °C


2025,0138,3cosh

2025,0138,3cosh

25100

25 ;

cosh

cosh

xxT

mL

xLm

TT

TxT corr

c

c

bb

corr

xxTcorr 2025,0138,3cosh05,6225


Curvas para calcular en aletas

• D.R. Harper y W.B. Brown en 1922 desarrollar el siguiente método para calcular de forma simple la eficiencia de aletas de diferentes formas

• El método: utilizar la expresión para aletas con extremo adiabático, pero utilizando una longitud corregida:

• La velocidad de transferencia de calor y la eficiencia de la aleta serán entonces de la forma

f

cuadrada aleta ,4

cilíndrica aletas ,4/

resrectangula aletas ,2/

wLL

DLL

tLL

c

c

c

t: espesor de la aleta

D: diámetro de la aleta

tanh

tanh

mL

mL

mLMq

c

cf

cf

/ PALL cc Ac es el área de la sección transversal y P es el perímetro de la aleta en el extremo.

bchPkAM


Curvas para calcular en aletas

wPtw 2 Si

f

23

2121

cp

cc

c LkA

hL

kA

hPmL


Arreglo de aletas

Arreglo representativo de aletas (a) rectangulares (b) anulares.

– Área superficial total :

Número de aletas Área de la base

– Calor transferido total:

– Eficiencia y Resistencia total :

bft ANAA

ot

bbtobbbfft R

hAhAhANq,

ft

fo A

NA 11

tot

bot hAq

R

1,


• Circuito térmico equivalente SIN resistencia de contacto superficial :

• Circuito térmico equivalente CON resistencia de contacto superficial :

Circuitos térmicos para arreglo de aletas

1)( 11

CA

NA f

t

fco

bcctff ARhAC ,",1 /1

tcocot

cot

bbtcot hA

RR

hAq)(

)(,)(,

)(

1


Aletas de sección transversal no uniforme

• Ecuación general 011

2

2

TT

dx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td s

c

c

c

021

2

2

TT

kt

h

dr

dT

rdr

Td

01 2

2

2

mdr

d

rdr

d Ec de Bessel modificada

Solución mrKCmrICr 0201

I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera

C.F brr

rdr

d

10

2

21102110

210210

mrImrKmrKmrI

mrImrKmrKmrI

b

I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera


Ejercicio• Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen

a un flujo de gas que esta a T=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC.

• a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone?

• b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de cada álabe al fluido refrigerante?

• c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!

Capitulo 3-6 Aletas

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