INSTITUTO TECNOLOGICO DE VERACRUZ

Alumnos:

Garay Sosa Eduardo.

Barrios Pérez Raymundo.

Bravo Rodríguez Josey Sloan.

Materia: Estadística I.

Catedrático: Ing. Claudio Yepez Sosa.

Semestre: Agosto Diciembre 2011.

Índice

Tema pagina

Introducción…………………………………………………………...….1

Unidad 2 Distribuciones Muéstrales

2.1 Introducción…………………………..………………………..…...…2

2.2 Teorema de combinación lineal de variables aleatorias y teorema del límite

central……………………………………………………………….…......3

2.3 Muestreo: Introducción al muestreo y tipos de muestreo…….....…15

2.4 Teorema del límite central……………………………………….......21

2.5 Distribución muestral de la media…………………………..….…..23

2.6 Distribución muestral de la diferencia de medias……………...…24

2.7 Distribución muestral de la proporción………………...………….27

2.8 Distribución muestral de la diferencia de proporciones………….29

2.9 Distribución muestral de la varianza……………………………….31

2.10 Distribución muestral de la relación de varianzas……………….34

Unidad 3 Estimación de parámetros

3.1 Introducción……………………………………………………...…..37

3.2 Características de un buen estimador…………………….…….…37

3.3 Estimación puntual……………………………………………....….39

3.3.1 Métodos………………………………………………………...….41

3.3.1.1 Máxima verosimilitud……………………………………..…….42

3.3.3.2 Momentos…………………………………………………….…..45

3.4 Intervalo de confianza para la media………………………..……..46

3.5 Intervalo de confianza para la diferencia de medias……….……..49

Conclusiones……………………………………………………….…….53

Bibliografía……………………………………………………….……..54

Introducción

El presente trabajo es una investigación donde se expone la importancia de

las condiciones bajo las que trabaja cualquier empleado y deberán ser seguras,

es decir, no deben suponer una amenaza o una posibilidad significativa de

sufrir un daño de cierta entidad, que pueda incapacitar aunque sea parcial y

temporalmente, por parte de los trabajadores en relación con el trabajo.

Las distribuciones muéstrales: pueden definirse como el estudio de

determinadas características de una población se efectúa a través de diversas

muestras que pueden extraerse de ella.

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida

puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo

con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos

prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En

todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a

muestreo con reposición.

Estimación de parámetros: Es el procedimiento util izado para

conocer las características de un parámetro poblacional, a

partir del conocimiento de la muestra.

Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una

estimación de un valor de un parámetro de la población.

En tal sentido el presente trabajo es una investigación se realiza con el

objetivo de examinar un tema o problema de investigación. Sirve para

familiarizarnos con los conceptos básicos de estadística.

Unidad 2 Distribuciones Muéstrales

2.1 Introducción

Distribuciones Muéstrales

En estudios pasados de Estadísticas centramos nuestra atención en técnicas

que describen los datos, tales como organizar datos en distribuciones de

frecuencias y calcular diferentes promedios y medidas de variabilidad.

Estábamos concentrados en describir algo que ya ocurrió.

También comenzamos a establecer los fundamentos de la estadística

inferencial, con el estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, las

distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones que son

principalmente generadas para evaluar algo que podría ocurrir. Ahora veremos

otro tipo de distribución de probabilidad, que se llaman distribuciones

muéstrales.

¿Por qué muestrear?

Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los

consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es

una parte de la población. Población es el total de resultados de un

experimento. Hacer una conclusión sobre el grupo entero (población) basados

en información estadística obtenida de un pequeño grupo (muestra) es hacer

una inferencia estadística.

A menudo no es factible estudiar la población entera. Algunas de las razones

por lo que es necesario muestrear son:

1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas

2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la población.

3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto.

4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la población.

5. El tiempo para contactar a toda la población es inviable.

Distribución Maestral de las Medias

El ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como las medias de muestras

de un tamaño específico varían de muestra a muestra. La media de la primera

muestra fue 101 y la media de la segunda fue 99.5. En una tercera muestra

probablemente resultaría una media diferente. Si organizamos las medias de

todas las posibles muestras de tamaño 2 en una distribución de probabilidad,

obtendremos la distribución maestral de las medias.

Distribución maestral de las medias. Es una distribución de probabilidad de

todas las posibles medias muéstrales, de un tamaño de muestra dado,

seleccionada de una población.

2.2 Teorema de combinación lineal de variables

aleatorias y teorema del límite central.

Variable Aleatoria

En el tratamiento que se ha dado, hasta el momento, a los fenómenos

aleatorios se ha visto que los eventos elementales no son necesariamente

números. Sin embargo, en muchas situaciones experimentales se requiere que

el resultado de la observación realizada sea registrado como un número, para

responder a preguntas planteadas con respecto al fenómeno de observación.

Así tenemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo: Supongamos ahora que cada una de tres personas a las que

denominaremos A, B, C, tiran una moneda y se ajustan a las siguientes reglas:

Si las tres monedas muestran el mismo lado, no se efectúa pago alguno. En

todos los otros casos, la persona con el lado diferente recibe una unidad

monetaria de cada una de las otras personas.

Desde el punto de vista A se tendría la correspondencia

css 2 scc 2

ccc 0 sss 0

ssc -1 csc -1

scs -1 ccs -1

Luego A puede considerar una función XA cuyo recorrido sea el punto {-1, 0,

2}

Como vemos en estos ejemplos, a partir del espacio muestral asociado al

fenómeno aleatorio en cuestión, considerado como dominio de una cierta

función, se ha generado un conjunto cuyos elementos son números. Desde el

punto de vista del modelo, el concepto que responde al requerimiento

planteado, es el de variable aleatoria, cuya definición formal es la siguiente.

Definición: Dado un campo de probabilidad oe y una función real

valorada X, cuyo dominio es y su recorrido es un conjunto no vacío de

números reales, se dice que X es una variable aleatoria si para cada número

real a que se considere, el conjunto de los eventos elementales tales que

es un evento, es decir

oe

Simbólicamente tenemos la función

R ,

Tal que

oe para cada número a. (1)

Podemos notar que si consideramos oe = PT , entonces la condición (1) no

necesita ser explícitamente comprobada, pues por ser un conjunto de

eventos elementales, es decir un subconjunto de , es siempre un evento. En

cambio, si el sigma álgebra de eventos no coincide con el conjunto potencial

del espacio muestral, puede ocurrir que la condición (1) no se satisfaga para

algún valor de a y entonces la función en consideración no sería una variable

aleatoria, como ilustraremos a través de los siguientes ejemplos.

Ejemplo: En relación con el ejemplo 3.2, consideremos

Oe

y el número real a tal que Tenemos entonces

oe

por lo que podemos afirmar que XA no es una variable aleatoria en el campo

oe .

Ejemplo: Sea el espacio maestral y sea la función Y tal que Y (a) = O y Y (b) = Y (c) = Y (d) = 1

Si consideramos oe = PT entonces para cada número real a y

por ende oe, por que podemos afirmar que Y es una variable aleatoria sobre el campo

oe .

Si, en cambio consideramos oe1 dado por

oe1

la situación es

donde se tiene oe1. En este caso, entonces, Y no es una variable

aleatoria definida sobre oe1 .

A este punto del desarrollo resulta conveniente plantear las siguientes observaciones.

Observaciones:

1. Desde el punto de vista de la teoría, la terminología de variable

aleatoria no parece ser muy adecuada por que se la define como

función y se la denomina variable. Sin embargo, se mantiene la

denominación debido a que los valores que realmente puede

tomar la variable aleatoria dependen del resultado observado, es

decir dependen del azar.

2. De acuerdo con lo observado en los ejemplos 3.3 y 3.4, no toda

función concebible es una variable aleatoria, pero esta dificultad

no se presenta en las aplicaciones donde, como se ha establecido

antes, el modelo a considerar tiene como sigma álgebra de

eventos, en general, el conjunto potencia del espacio muestral

asociado.

3. En algunos casos cada evento elemental es ya una característica

numérica, y se tendrá que X es la función identidad pues

.

4. En la mayoría de las discusiones no interesa la naturaleza

funcional de X, sino sus posibles valores.

5. Por su naturaleza de función, a cada evento elemental W le

corresponde un solo valor de X, pero diferentes eventos

elementales pueden llevar a un mismo valor de X.

6. El recorrido o campo de variación de X, denotamos por RX se

denomina a veces espacio recorrido y, en cierto sentido, puede

ser considerado como un espacio muestral, punto de partida

para construir un modelo de probabilidad: el modelo asociado a

la característica numérica en estudio. Si la variable aleatoria es

la función identidad, entonces .

7. Al presentar la definición de la variable aleatoria, se ha hecho uso de la siguiente notación

en forma similar tenemos

notación que se interpreta diciendo que

sí y sólo si

Condiciones para Variable Aleatoria

Desde el punto de vista de la teoría, es conveniente disponer de algunas

condiciones necesarias y suficientes, para que una función real valorada cuyo

dominio en un espacio muestral sea una variable aleatoria. Condiciones que

permitirán demostraciones de propiedades de variables aleatorias. La

demostración de la validez de las condiciones que se presentan se apoya, a su

vez, en el uso de ciertos lemas referentes a conjuntos de eventos elementales

asociados con valores de funciones con dominio de un espacio muestral, los

cuales forman parte de esta sección.

Lema: Si X es una función real valorada con dominio entonces

para todo número real a.

Teorema: Sea X una función con dominio y con recorrido un conjunto no

vacío de números reales. Entonces X es una variable aleatoria sí y sólo si

oe

para todo número real a.

Suficiencia: Supongamos, ahora, que oe para todo número real a.

Entonces se cumple que

oe

por propiedad de oe. Y, por el teorema 3.1, X es una variable aleatoria.

Teorema: Si X es una función cuyo dominio es y cuyo recorrido es un

conjunto no vacío de números reales, entonces X es una variable aleatoria sí y

sólo si

oe

para todo número real a.

Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que una función X, cuyo

dominio es y su recorrido es un conjunto no vacío de números reales, sea

variable aleatoria es que

oe

para todo par de números reales a, b tales que a < b.

Combinaciones de Variables Aleatorias

Por la naturaleza funcional de las variables aleatorias, se puede realizar

operaciones con ellas, generando nuevas funciones con dominio del espacio

muestral considerando, cuáles se irán definiendo en esta sección a medida que

sean introducidas. La principal preocupación es saber si las funciones

resultantes son a su vez variables aleatorias. Como demostraremos, cualquier

combinación lineal de variables aleatorias proporciona una nueva variable

aleatoria, y en los teoremas que presentamos, se considerarán otras

operaciones con variables aleatorias y las condiciones que hay que exigir para

que el resultado también lo sea.

Teorema: Si X, Y son variables aleatorias definidas sobre el mismo campo de

probabilidad, entonces su suma X + Y es también una variable aleatoria.

Teorema: Si X es una variable aleatoria y si K es un número real cualquiera,

entonces KX es una variable aleatoria.

Teorema: Si X es una variable aleatoria, entonces X2 es variable aleatoria.

Teorema: Si X, Y son variables aleatorias definidas sobre el mismo campo de

probabilidad, entonces su producto XY es una variable aleatoria.

Teorema: Si X Y son variables aleatorias definidas sobre el mismo campo de

Probabilidad y si , entonces es variable aleatoria.

Teorema: Si X, Y son variables aleatorias definidas sobre el mismo campo de

probabilidad, entonces mín (X, Y) es variable aleatoria.

Ejemplo: De una urna que contiene los tres dígitos 1, 2, 3, se extrae al azar un

dígito, se le repone y se extrae al azar un segundo dígito. Sea X la diferencia

del primer dígito menos el segundo dígito extraídos y sea Y el producto de los

mismos. Consideremos las funciones X + Y, XY, mín (X, Y) y , para los

cuales deseamos obtener sus recorridos y decidir si son o no variables

aleatorias.

Resulta conveniente advertir que si disponemos de los recorridos

correspondientes a X y Y no podemos operar indiscriminadamente con los

elementos de estos conjuntos para obtener el recorrido de, por ejemplo, X + Y,

como comprobaremos al efectuar la evaluación correspondiente. Para facilitar

la presentación, construyamos la tabla siguiente.

De esta tabla tenemos que el recorrido de cada una de las funciones X, Y, X +

Y es

de donde vemos que por ejemplo no figure en RX+Y la suma de los puntos

y , por corresponder a diferentes eventos elementales.

En forma similar tenemos para las funciones restantes

Podemos observar que en este caso, es X = mín (X, Y) puesto que a cada

evento elemental w le asignan el mismo número real. Además observamos que

no está definida para w1, w5, y w9 por lo que tenemos dom .

Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en

condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias

independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a

una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de

Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre

cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo

suficientemente grande.

Definición

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad

es , a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes,

idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ

2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son

variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión

del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar

sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución

normal estándar N (0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ

(z) es la función de distribución de N (0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:

Teorema del límite central: Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables

aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza

σ2 distinta de cero. Sea

Entonces

.

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la

media muestral ,

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no

normalizadas como puede ser:

Teorema (del límite central): Sea X1, X2,..., Xn un conjunto de variables

aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con

media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable

aleatoria

tiene aproximadamente una distribución normal con y .

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la

distribución de Xi, excepto la existencia de media y varianza.

Ejemplos:

La variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si

lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una

independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables

continuas.

Los parámetros de la distribución normal son:

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de

variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el

número de variables individuales)

Veamos ahora un ejemplo:

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si

sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se

distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.

Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60

caras.

La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por

tanto, según una distribución normal.

Media = 100 * 0,5 = 50

Varianza = 100 * 0,25 = 25

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable

normal tipificada equivalente:

(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución

Por lo tanto:

P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60

caras es tan sólo del 2,28%.

Ejercicio 1.

La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente entre

4,0 millones ptas. y 10,0 millones ptas. Calcular la probabilidad de que al

seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725

millones ptas.

Cada renta personal es una variable independiente que se ditribuye según una

función uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede

aplicar el Teorema Central del Límite.

La media y varianza de cada variable individual es:

m = (4 + 10) / 2 = 7

s2 = (10 - 4) ^2 / 12 = 3

Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya

media y varianza son:

Media: n * m = 100 * 7 = 700

Varianza: n * s2 = 100 * 3 = 300

Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a 725

millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable

normal tipificada:

Luego:

P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749

Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas

seleccionadas al azar supere los 725 millones de pesetas es tan sólo del 7,49%

2.3 Muestreo: Introducción al muestreo y tipos de

muestreo.

En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una

muestra a partir de una población.

Al elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean

extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, y a la vez

obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se realizase un estudio

de toda la población.

Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un

estudio adecuado (que consienta no solo hacer estimaciones de la población

sino estimar también los márgenes de error correspondientes a dichas

estimaciones), debe cumplir ciertos requisitos. Nunca podremos estar

enteramente seguros de que el resultado sea una muestra representativa, pero

sí podemos actuar de manera que esta condición se alcance con una

probabilidad alta.

En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la

población, se puede extraer dos o más muestras de la misma población. Al

conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina

espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de

extracción, sigue la llamada distribución muestral.

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones: el muestreo no

aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio (que incorpora el azar como

recurso en el proceso de selección). Cuando este último cumple con la

condición de que todos los elementos de la población tienen alguna

oportunidad de ser escogidos en la muestra, si la probabilidad correspondiente

a cada sujeto de la población es conocida de antemano, recibe el nombre de

muestreo probabilístico. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio

puede basarse en la experiencia de alguien con la población. Algunas veces

una muestra de juicio se usa como guía o muestra tentativa para decidir cómo

tomar una muestra aleatoria más adelante.

Muestreo probabilístico

Forman parte de este tipo de muestreo todos aquellos métodos para los que

puede calcular la probabilidad de extracción de cualquiera de las muestras

posibles. Este conjunto de técnicas de muestreo es el más aconsejable, aunque

en ocasiones no es posible optar por él. En este caso se habla de muestras

probabilísticas, pues no es en rigor correcto hablar de muestras

representativas dado que, al no conocer las características de la población, no

es posible tener certeza de que tal característica se haya conseguido.

Sin reposición de los elementos: Cada elemento extraído se descarta para la

subsiguiente extracción. Por ejemplo, si se extrae una muestra de una

"población" de bombillas para estimar la vida media de las bombillas que la

integran, no será posible medir más que una vez la bombilla seleccionada.

Con reposición de los elementos: Las observaciones se realizan con

reemplazamiento de los individuos, de forma que la población es idéntica en

todas las extracciones. En poblaciones muy grandes, la probabilidad de repetir

una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse sin

reposición aunque, realmente, no lo sea.

Con reposición múltiple: En poblaciones muy grandes, la probabilidad de

repetir una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse sin

reposición. Cada elemento extraído se descarta para la subsiguiente

extracción.

Para realizar este tipo de muestreo, y en determinadas situaciones, es muy útil

la extracción de números aleatorios mediante ordenadores, calculadoras o

tablas construidas al efecto.

Muestreo estratificado

Consiste en la división previa de la población de estudio en grupos o clases

que se suponen homogéneos con respecto a alguna característica de las que se

van a estudiar. A cada uno de estos estratos se le asignaría una cuota que

determinaría el número de miembros del mismo que compondrán la muestra.

Dentro de cada estrato se suele usar la técnica de muestreo sistemático, una de

las técnicas de selección más usadas en la práctica.

Según la cantidad de elementos de la muestra que se han de elegir de cada uno

de los estratos, existen dos técnicas de muestreo estratificado:

Asignación proporcional: el tamaño de la muestra dentro de cada

estrato es proporcional al tamaño del estrato dentro de la población.

Asignación óptima: la muestra recogerá más individuos de aquellos

estratos que tengan más variabilidad. Para ello es necesario un

conocimiento previo de la población.

Por ejemplo, para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar

por separado las opiniones de hombres y mujeres pues se estima que, dentro

de cada uno de estos grupos, puede haber cierta homogeneidad. Así, si la

población está compuesta de un 55% de mujeres y un 45% de hombres, se

tomaría una muestra que contenga también esos mismos porcentajes de

hombres y mujeres.

Para una descripción general del muestreo estratificado y los métodos de

inferencia asociados con este procedimiento, suponemos que la población está

dividida en h subpoblaciones o estratos de tamaños conocidos N1, N2,..., Nh tal

que las unidades en cada estrato sean homogéneas respecto a la característica

en cuestión. La media y la varianza desconocidas para el i-ésimo estrato son

denotadas por mi y si2, respectivamente.

Muestreo sistemático

Se utiliza cuando el universo o población es de gran tamaño, o ha de

extenderse en el tiempo. Primero hay que identificar las unidades y

relacionarlas con el calendario (cuando proceda). Luego hay que calcular una

constante, que se denomina coeficiente de elevación K= N/n; donde N es el

tamaño del universo y n el tamaño de la muestra. Determinar en qué fecha se

producirá la primera extracción, para ello hay que elegir al azar un número

entre 1 y K; de ahí en adelante tomar uno de cada K a intervalos regulares.

Ocasionalmente, es conveniente tener en cuenta la periodicidad del fenómeno.

Esto quiere decir que si tenemos un determinado número de personas que es la

población (N) y queremos escoger de esa población un número más pequeño

el cual es la muestra (n), dividimos el número de la población por el número

de la muestra que queremos tomar y el resultado de esta operación será el

intervalo, entonces escogemos un número al azar desde uno hasta el número

del intervalo, y a partir de este número escogemos los demás siguiendo el

orden.

Se divide la población en subconjuntos tomando en cuenta el factor de

elevación. Por ejemplo: suponga que en una pequeña ciudad de 8,000

habitantes según el censo se va a haber una encuesta y se selecciona una

muestra sistemática de 20 personas entre 1,200 padres de familia para conocer

el grado de aceptación de la gestión administrativas de la ciudad por parte del

presidente municipal...(N = 1200 Población n = 20 Muestra

Factor de Elevación N/n = 1200/20 = 60

N SEDE TRIUNFO) Al azar un número de entre 1 y 60

{3+60} n =

{3,63,123,183,243,303,363,423,483,543,603,663,723,783,843,903,963,1023,1

083,1143.

Muestreo por estadios múltiples

Esta técnica es la única opción cuando no se dispone de lista completa de la

población de referencia o bien cuando por medio de la técnica de muestreo

simple o estratificado se obtiene una muestra con unidades distribuidas de tal

forma que resultan de difícil acceso. En el muestreo a estadios múltiples se

subdivide la población en varios niveles ordenados que se extraen

sucesivamente por medio de un procedimiento de embudo. El muestreo se

desarrolla en varias fases o extracciones sucesivas para cada nivel.

Por ejemplo, si tenemos que construir una muestra de profesores de primaria

en un país determinado, éstos pueden subdividirse en unidades primarias

representadas por circunscripciones didácticas y unidades secundarias que

serían los propios profesores. En primer lugar extraemos una muestra de las

unidades primarias (para lo cual debemos tener la lista completa de estas

unidades) y en segundo lugar extraemos aleatoriamente una muestra de

unidades secundarias de cada una de las primarias seleccionadas en la primera

extracción.

Muestreo por conglomerados

Técnica similar al muestreo por estadios múltiples, se utiliza cuando la

población se encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se supone

que contienen toda la variabilidad de la población, es decir, la representan

fielmente respecto a la característica a elegir, pueden seleccionarse sólo

algunos de estos grupos o conglomerados para la realización del estudio.

Dentro de los grupos seleccionados se ubicarán las unidades elementales, por

ejemplo, las personas a encuestar, y podría aplicársele el instrumento de

medición a todas las unidades, es decir, los miembros del grupo, o sólo se le

podría aplicar a algunos de ellos, seleccionados al azar. Este método tiene la

ventaja de simplificar la recogida de información muestral.

Cuando, dentro de cada conglomerado seleccionado, se extraen algunos

individuos para integrar la muestra, el diseño se llama muestreo bietápico.

Las ideas de estratos y conglomerados son, en cierto sentido, opuestas. El

primer método funciona mejor cuanto más homogénea es la población

respecto del estrato, aunque más diferentes son éstos entre sí. En el segundo,

ocurre lo contrario. Los conglomerados deben presentar toda la variabilidad,

aunque deben ser muy parecidos entre sí.

Homogeneidad de las poblaciones o sus subgrupos

Homogéneo siginifica, en el contexto de la estratificación, que no hay mucha

variabilidad. Los estratos funcionan mejor cuanto más homogéneos son cada

uno de ellos respecto a la característica a medir. Por ejemplo, si se estudia la

estatura de una población, es bueno distinguir entre los estratos mujeres y

hombres porque se espera que, dentro de ellos, haya menos variabilidad, es

decir, sean menos heterogéneos. Dicho de otro modo, no hay tantas

diferencias entre unas estaturas y otras dentro del estrato que en la población

total.

Por el contrario, la heterogeneidad hace inútil la división en estratos. Si se dan

las mismas diferencias dentro del estrato que en toda la población, no hay por

qué usar este método de muestreo. En los casos en los que existan grupos que

contengan toda la variabilidad de la población, lo que se construyen son

conglomerados, que ahorran algo del trabajo que supondría analizar toda la

población. En resumen, los estratos y los conglomerados funcionan bajo

principios opuestos: los primeros son mejores cuanto más homogéneo es el

grupo respecto a la característica a estudiar y los conglomerados, si

representan fielmente a la población, esto es, contienen toda su viariabilidad, o

sea, son heterogéneos.

Muestreo de juicio

Aquél para el que no puede calcularse la probabilidad de extracción de una

determinada muestra. Se busca seleccionar a individuos que se juzga de

antemano tienen un conocimiento profundo del tema bajo estudio, por lo

tanto, se considera que la información aportada por esas personas es vital para

la toma de datos.

Muestreo por cuotas

Es la técnica más difundida sobre todo en estudios de mercado y sondeos de

opinión. En primer lugar es necesario dividir la población de referencia en

varios estratos definidos por algunas variables de distribución conocida (como

el género o la edad). Posteriormente se calcula el peso proporcional de cada

estrato, es decir, la parte proporcional de población que representan.

Finalmente se multiplica cada peso por el tamaño de n de la muestra para

determinar la cuota precisa en cada estrato. Se diferencia del muestreo

estratificado en que una vez determinada la cuota, el investigador es libre de

elegir a los sujetos de la muestra dentro de cada estrato.

Muestreo de bola de nieve

Indicado para estudios de poblaciones clandestinas, minoritarias o muy

dispersas pero en contacto entre sí. Consiste en identificar sujetos que se

incluirán en la muestra a partir de los propios entrevistados. Partiendo de una

pequeña cantidad de individuos que cumplen los requisitos necesarios estos

sirven como localizadores de otros con características análogas.

Muestreo subjetivo por decisión razonada

En este caso las unidades de la muestra se eligen en función de algunas de sus

características de manera racional y no casual. Una variante de esta técnica es

el muestreo compensado o equilibrado, en el que se seleccionan las unidades

de tal forma que la media de la muestra para determinadas variables se

acerque a la media de la población.

Véase también

Muestra estadística

Tamaño de la muestra

Error muestral

Ejemplo

Vamos a hallar el intervalo de probabilidad para el peso medio de una muestra

de 100 recién nacidos, con un nivel de confianza de 0,9, sabiendo que

�=3.100 gramos y �=150 gramos.

Solución: como se ha dicho anteriormente, tenemos que evaluar la siguiente

expresión

si consultamos en la tabla de la N (0, 1), comprobaremos que

, por lo tanto, el intervalo de probabilidad será el siguiente:

Que simplificado, es el intervalo

(3.075´325; 3.124´675)

2.4 Teorema del límite central

El Teorema del Límite Central o Teorema Central del Límite indica que, bajo

condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias

tiende a una distribución gaussiana cuando la cantidad de variables es muy

grande.

Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones

utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que

es suficiente que las variables que se suman sean independientes,

idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

La aproximación entre las dos distribuciones es en general mayor en el centro

de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el

nombre ―Teorema del Límite Central‖ (―central‖ califica al límite, más que al

teorema).

Esta relación entre la forma de la distribución de la población y la forma de la

distribución de muestreo se denomina teorema del límite central, que es tal

vez el más importante de toda la inferencia estadística. Nos asegura que la

distribución de muestreo de la media se aproxima a la normal al incrementarse

el tamaño de la muestra. Hay situaciones teóricas en las que el teorema del

límite central no se cumple, pero casi nunca se encuentran en la toma de

decisiones práctica. Una muestra no tiene que ser muy grande para que la

distribución de muestreo de la media se acerque a la normal. Los estadísticos

utilizan la distribución normal como una aproximación a la distribución de

muestreo siempre que el tamaño de la muestra sea al menos de 30, pero la

distribución de muestreo de la media puede ser casi normal con muestras

incluso de la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del límite

central es que nos permite usar estadísticas de muestra para hacer inferencias

con respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la

distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener

de la muestra.

Ejemplo

En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en

cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura.

¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 15 veces?

Se vuelve a aplicar el Teorema Central del Límite.

Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de

distribución de Bernouilli:

"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10

"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9

La media y la varianza de cada variable independiente es:

m = 0,10

s 2 = 0,10 * 0,90 = 0,09

Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya

media y varianza son:

Media: n * m = 100 * 0,10 = 10

Varianza: n * s2 = 100 * 0,09 = 9

Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos

el valor equivalente de la variable normal tipificada:

Luego:

P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475

Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo

largo del curso es tan sólo del 4,75% (¡¡¡ ánimo!!! no es tan grave)

2.5 Distribución muestral de la media

Se encarga de la recolección, clasificación, presentación, organización,

análisis e interpretación de un conjunto de fenómenos, (naturales, económicos,

políticos o sociales) de manera metódica y numérica, que permitan extraer

conclusiones de un hecho, en un momento determinado y así poder tomar

decisiones valederas. Estadística

a) Estadística

b) Física

c) Matemáticas

d) Psicologia

e) Geografía

Ejemplo

Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está

distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la

probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se

desvíe por más de 30 minutos del promedio?

SOLUCIÓN

P(X > 24.5horas) = 4.85%

μ = 30 horas de duración

_ = 3 horas

n = 100 pilas

La probabilidad de que el promedio de la vida útil de las pilas supere las

24.5horas es de 4.85%.

2.6 Distribución muestral de la diferencia de

medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y

desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2.

Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población

y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población;

se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas

medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución

muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del

estadístico

La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las

poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es

normal sin importar los tamaños de las muestras.

En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo

que no es difícil deducir que y que .

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de

diferencia de medias es:

Ejemplo

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto

grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y

otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos

siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños

de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de

14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto

grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247

libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el

promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad

de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más

grande que el de las 25 niñas.

Solución:

Datos:

1 = 100 libras

2 = 85 libras

1 = 14.142 libras

2 = 12.247 libras

n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de

niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es

0.1056.

2.7 Distribución muestral de la proporción

La necesidad de encontrar la proporción, porcentaje o porciento de una

situación dada en una población es tarea frecuente en estadística.

La distribución muestral de proporciones es el conjunto de todas las muestras

posibles del mismo tamaño extraídas de una población, junto con el conjunto

de todas las proporciones muéstrales.

Ejemplo

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin

reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la

distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la

distribución muestral.

Solución:

Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras

posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muéstrales.

Muestras Antigüedad Media Muestral

A,B (6,4) 5

A,C (6,2) 4

B,C (4,2) 3

La media poblacional es:

La media de la distribución muestral es:

La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción

tendríamos que:

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto:

2.8 Distribución muestral de la diferencia de

proporciónes

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben

compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan

algunos ejemplos:

Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban

matemáticas que las de los que aprueban inglés?

Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A

que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B

que también presentan una reacción de ese tipo?

Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y

mujeres en posiciones gerenciales.

Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos

defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B?

Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con

dos proporciones muéstrales, la distribución muestral de diferencia de

proporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestra grande

(n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones

muéstrales aproximadamente normales, así que su diferencia p1-p2 también

tiene una distribución muestral aproximadamente normal.

Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que

y que , por lo que no es difícil deducir que

y que .

La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de

diferencia de proporciones es:

Ejemplo

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte

difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para

personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos

están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres

adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y

100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte,

determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al

menos 3% mayor que el de las mujeres.

Solución:

Datos:

PH = 0.12

PM = 0.10

nH = 100

nM = 100

p (pH-pM 0.03) = ?

Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una

distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.

2.9 Distribución muestral de la varianza

La causa es que el promedio de todas las varianzas de las muestras no coincide

con la varianza de la población s2. Se queda un poco por debajo. En concreto,

se verifica que hemos usado el subíndice n para recordar que en la varianza se

divide entre n. Si deseamos que la media de la varianza coincida con la

varianza de la población, tenemos que acudir a la cuasivarianza o varianza

insesgada, que es similar a la varianza, pero dividiendo las sumas de

cuadrados entre n-1. Su raíz cuadrada es la cuasidesviación típica o desviación

estándar. Si se usa esta varianza, si coinciden su media y la varianza de la

población lo que nos indica que la cuasivarianza es un estimador insesgado, y

la varianza lo es sesgado. La suma de cuadrados de la varianza, dividida entre

la varianza de la población se distribuye según una chi-cuadrado c2 con n-1

grados de libertad

La varianza muestral En muchos casos es importante conocer el valor de la

varianza de la población • Para aplicar el teorema central del lımite • Para

estimar riesgos en inversiones (el riesgo depende de la varianza) • Para estimar

desigualdades en ingresos, rentas, etc. Repetimos el estudio que hemos

realizado para la media muestral Partimos de que la varianza muestral es una

variable aleatoria Queremos relacionar sus momentos con los de la población

Y si es posible, identificar su distribución Esperanza de la varianza muestral

Si ¯x denota la media muestral, se tiene que E" 1 n Xn i=1 (xi − ¯x)2 # = n – 1

n_2 El valor esperado de la varianza muestral no es la varianza de la población

Definamos la varianza muestral como s2 =1 n−1 Xn i=1(xi − ¯x)2 Esperanza

de la varianza muestral Con esta definición, tenemos E[s2] = _2 • El valor

esperado de s2 coincide con el valor deseado (varianza de la población) • s2 es

un estimador insesgado de _2 Distribución de la varianza muestral Nos

gustaría tener información adicional sobre la varianza muestral y su

distribución.

Ejemplo

Averiguar si la variabilidad de edades en una comunidad local es la misma o

mayor que la de todo el Estado. La desviación estándar de las edades del

Estado, conocida por un estudio reciente es de 12 años. Tomamos una muestra

aleatoria de 25 personas de la comunidad y determinamos sus edades. Calcular

la varianza de la muestra y usar la ecuación anteriormente explicada para

obtener el estadístico muestral.

Las hipótesis nula y alternativas son:

H0 : �2 = 144

H1 : �2 � 144

Se toma la muestra y resulta una desviación estándar muestral de 15

Años. La varianza de la muestra es entonces 225, y el estadístico ji cuadrada

de la muestra es:

(n - 1 ) s2 (25-1)(15)2

�2 = --------------- = ------------------- = 37,5

�2 122

Si la hipótesis nula es cierta, el estadístico muestral de 37,5 se obtiene de la

distribución ji cuadrada teórica, en particular, la distribución con 24 grados de

libertad (25 - 1 = 24).

Como se puede observar en la ecuación anterior, cuanto más grande es la

varianza muestral respecto a la varianza poblacional hipotética, mas grande es

el estadístico que se obtiene. Luego deducimos que de un estadístico muestral

grande llevamos al rechazo de la hipótesis nula, y un estadístico muestral

pequeño implicará que no se rechaze. La tabla ji cuadrada se usa para

determinar si es probable o no que el valor 37,5 haya sido obtenido de la

distribución muestral ji cuadrada hipotética.

Supongamos que esta prueba debe llevarse a un nivel de significancia de 0,02.

En la columna 0,02 de la tabla de ji cuadrada y la fila 24, se encuentra el valor

critico de 40, 27. La regla de decisión es:

Si �2 � 40,27, se rechaza la hipótesis nula de que la varianza de la población

es 144 (Se rechaza H0 si �2 > 40,27 ).

Como estadístico de prueba calculado es 37,5, la hipótesis nula no se rechaza

(con riesgo de un error de tipo II). Si en la tabla de ji cuadrada se hubiese

elegido un alfa de 0,05, el valor crítico de la tabla sería 36,415, y la hipótesis

nula se hubiera rechazado (37,5 > 36,415). En este ejemplo se ilustra la

importancia de pensar con cuidado en el riesgo apropiado de un error de tipo I

en una prueba de hipótesis.

Se supone que la hipótesis nula es cierta, lo que conduce a la obtención de un

estadístico muestral de una distribución ji cuadrada con 2 grados de libertad.

2.10 Distribución muestral de la relación de

varianzas

Se definió en la sección de la introducción de las distribuciones muéstrales.

Esta sección revisa algunas propiedades importantes de la distribución

muestral de la media que se introdujeron en las manifestaciones de este

capítulo.

Medio

La media de la distribución muestral de la media es la media de la población

de la cual los resultados se tomaron muestras. Por lo tanto, si una población

tiene una media, μ, entonces la distribución muestral de la media es μ. El M μ

símbolo se utiliza para referirse a la media de la distribución muestral de la

media. Por lo tanto, la fórmula de la media de la distribución muestral de la

media puede ser escrito como:

μ M = μ

Diferencia

La varianza de la distribución muestral de la media se calcula de la siguiente

manera:

Es decir, la varianza de la distribución muestral de la media es la varianza de

la población dividida por N, el tamaño de la muestra (el número de

calificaciones utilizada para calcular una media). Por lo tanto, cuanto mayor

sea el tamaño de la muestra, menor será la varianza de la distribución muestral

de la media.

Esta expresión se puede derivar muy fácilmente de la ley de la suma de

varianza . Comencemos por calcular la varianza de la distribución muestral

de la suma de tres números en la muestra de una población con varianza σ 2.

La varianza de la suma sería σ 2 + σ

2 + σ

2. Para los números de N, la

varianza sería Nσ 2. Puesto que la media es de 1 / N veces la suma, la

varianza de la distribución muestral de la media sería de 1 / N 2 veces la

varianza de la suma, que es igual a σ 2 / N.

El error estándar de la media es la desviación estándar de la distribución

muestral de la media. Por lo tanto, la raíz cuadrada de la varianza de la

distribución muestral de la media y se puede escribir como:

El error estándar está representado por una σ porque es una desviación

estándar. El subíndice (M) indica que el error estándar en cuestión es el error

estándar de la media.

Ejemplo

Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de

pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8,

46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza

de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía,

suponga una población normal.

Solución:

Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2=

0.286.

Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05.

Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores

de X2.

Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma

normal, esto es de izquierda a derecha.

Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Gráficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la

gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores

referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la

varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto está

entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

Unidad 3 Estimación de parámetros

3.1 Introducción

Es el procedimiento uti lizado para conocer las características

de un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la

muestra.

Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una

estimación de un valor de un parámetro de la población; pero

también necesitamos precisar un:

Intervalo de confianza

Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un

parámetro, con un nivel de confianza específico.

Nivel de confianza

Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el

intervalo de confianza.

Error de estimación admisible

Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.

3.2 Características de un buen estimador Conviene que los estadísticos, en su función de estimadores de los

correspondientes parámetros, reúnan determinados requisitos.

Fundamentalmente son:

a) CARENCIA DE SESGO.

Un estimador (estadístico) carece de sesgo si el promedio (media) de todos los

valores posibles de todas las muestras posibles de tamaño n de una población

es igual al parámetro, es decir, si la media de la distribución muestral del

estadístico considerado es igual al valor del parámetro. Así, la media es un

estimador insesgado de μ porque se puede demostrar que la media aritmética

de una distribución muestral coincide con el valor del parámetro, algo que no

puede decirse, por ejemplo, o de la varianza o de la mediana de una población

no distribuida normalmente.

b) CONSISTENCIA.

Un estimador es consistente en la medida en que, al aumentar el tamaño de la

muestra, (n) su valor se acerca cada vez más al parámetro correspondiente o lo

que es lo mismo, si a medida que aumenta el tamaño de la muestra, las

estimaciones que ésta proporciona son cada vez más próximas al valor del

parámetro.

Algunos estimadores sesgados son consistentes, acercándose cada vez más sus

valores a los de sus respectivos parámetros a medida que el tamaño de la

muestra (n) aumenta, tal es el caso de s o s2 que son estimadores sesgados

pero consistentes de la desviación típica (σ) o de la varianza (σ2) de la

población.

c) EFICIENCIA

La 3ª propiedad de los estimadores es su eficiencia, que se refiere a la

precisión que alcanzan los estadísticos en la estimación de los parámetros, es

decir, un estimador será tanto más eficiente cuanto menos varíe de muestra a

muestra de una misma población.

Como la variabilidad de una distribución muestral viene dada por su error

típico, un buen estimador será aquel que menor error típico alcanza. Así, entre

la media y la mediana, la primera es claramente más eficiente. La varianza de

la distribución muestral de la mediana es mayor que la de la media, lo que

significa que la mediana fluctúa más que la media en muestras sucesivas de la

misma población.

En general, para escoger un óptimo estimador de un parámetro, deben

combinarse los criterios de no tendenciosidad (carencia de sesgo) y de

eficiencia. Ante dos estimadores insesgados del mismo parámetro, se preferirá

aquel que tenga mayor eficiencia, es decir, que tenga el mínimo error en

términos de varianza.

• Estimadores insesgados: Media, Mediana, Moda, la desviación típica cuando

n es tiende a infinito, la cuasivarianza muestral

• Estimadores sesgados: la varianza muestral.

• Estimadores consistentes: Proporciones, la media, la varianza y desviación

típica.

• Estimadores insesgados y no eficientes: Mediana muestral (estimador

insesgado de μ]

3.3 Estimación puntual

Puede decirse que la Estadística es la ciencia que se preocupa de la recogida

de datos, su organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir

de estos datos, pueden hacerse. Los aspectos anteriores hacen que pueda

hablarse de dos tipos de Estadística: Descriptiva e Inferencial.

La Estadísitica Descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto dado,

organizarlos en tablas o representaciones gráficas y del cálculo de unos

números que nos informen de manera global del conjunto estudiado.

La Estadística Inferencial estudia cómo sacar conclusiones generales para

toda la población a partir del estudio de una muestra.

Existen dos formas de hacer Inferencia Estadística:

- La estimación de parámetros.

- Las pruebas de hipótesis.

En la Inferencia Estadística hay varios métodos, pero en cualquier caso es

necesario utilizar una muestra que represente a la población, esto se consigue

con las Técnicas de muestreo.

A partir de una muestra nos proponemos dos objetivos:

Obtener valores aproximados de parámetros poblacionales: Estimación

puntual.

La estimación por intervalos de confianza tiene por objeto proporcionar, a

partir de la información recogida en la muestra, un intervalo que contenga con

alto nivel de confianza (probabilidad), al parámetro objeto de nuestro interés.

A partir de dicho intervalo obtendremos una medida del error máximo

cometido al aproximar puntualmente el parámetro.

Esencialmente son tres los parámetros de interés:

En el caso de que investiguemos una variable cuantitativa:

a) Para la media de la población μ tomaremos como aproximación la media

de la muestra.

=

b) Para la varianza de la población σ2 tomaremos la cuasivarianza de la

muestra.

=

Si el estudio se centra en el estudio de un carácter cualitativo el parámetro de

interés será la proporción de elementos de la población que pertenecen a cierta

categoría C que lo aproximaremos con la correspondiente proporción en la

muestra.

Ejemplo

En la práctica, los intervalos suelen indicarse dando el valor del estimador

puntual utilizado como centro del intervalo y un valor que debe sumarse y

restarse para obtener el límite superior e inferior; por ejemplo:

Equivale a

3.3.1 Métodos

En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que

permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir

de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de

la media de una determinada característica de una población de tamaño N

podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene

distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del

estudio:

Estimación puntual

Método de los momentos

Método de la máxima verosimilitud

Método de los mínimos cuadrados

Estimación por intervalos

Estimación bayesiana

3.3.1.1 Máxima verosimilitud

En estadística, la estimación por máxima verosimilitud (conocida también

como EMV y, en ocasiones, MLE por sus siglas en inglés) es un método

habitual para ajustar un modelo y encontrar sus parámetros.

Fundamento

Supóngase que se tiene una muestra x1, x2, …, xn de n observaciones

independientes extraídas de una función de distribución desconocida con

función de densidad (o función de probabilidad) f0(·). Se sabe, sin embargo,

que f0 pertenece a una familia de distribuciones { f(·|θ), θ ∈ Θ }, llamada

modelo paramétrico, de manera que f0 corresponde a θ = θ0, que es el

verdadero valor del parámetro. Se desea encontrar el valor (o estimador) que

esté lo más próximo posible al verdadero valor θ0.

Tanto xi como θ pueden ser vectores.

La idea de este método es el de encontrar primero la función de densidad

conjunta de todas las observaciones, que bajo condiciones de independencia,

es

Observando esta función bajo un ángulo ligeramente distinto, se puede

suponer que los valores observados x1, x2, …, xn son fijos mientras que θ

puede variar libremente. Esta es la función de verosimilitud:

En la práctica, se suele utilizar el logaritmo de esta función:

El método de la máxima verosimilitud estima θ0 buscando el valor de θ que

maximiza . Este es el llamado estimador de máxima verosimilitud

(MLE) de θ0:

En ocasiones este estimador es una función explícita de los datos observados

x1,…, xn, pero muchas veces hay que recurrir a optimizaciones numéricas.

También puede ocurrir que el máximo no sea único o no exista.

En la exposición anterior se ha asumido la independencia de las

observaciones, pero no es un requisito necesario: basta con poder construir la

función de probabilidad conjunta de los datos para poder aplicar el método.

Un contexto en el que esto es habitual es el del análisis de series temporales.

Propiedades del estimador de máxima verosimilitud

En muchos casos, el estimador obtenido por máxima verosimilitud posee un

conjunto de propiedades asintóticas atractivas:

consistencia,

normalidad asintótica,

eficiencia,

e incluso eficiencia de segundo orden tras corregir el sesgo.

Consistencia

Bajo ciertas condiciones bastante habituales,2 el estimador de máxima

verosimilitud es consistente: si el número de observaciones n tiende a infinito,

el estimador converge en probabilidad a su valor verdadero:

Bajo condiciones algo más fuertes,3 la convergencia es casi segura:

Ejemplo

Sean y dos estimadores del parámetro θ, tales que:

·

·

·

·

¿Qué estimador es mejor?.

Calculamos el sesgo para cada estimador:

· Sesgo del Estimador 1: sesgo1 = θ - θ = 0

· Sesgo del Estimador 2: sesgo2 = θ - θ/2 = θ/2

Podemos observar, que el estimador 1 es insesgado, mientras que el estimador

2, es sesgado.

Para ver, que estimador es mejor, hallamos el error cuadrático medio de cada

estimador:

.

· ECM 1 = 10

· ECM 2 = 4 + (θ/2)2

Para saber cual estimador es mejor, usamos el cociente del error cuadrático

medio:

Sustituyendo valores:

Para que el estimador 1 sea mejor que el estimador segundo, se debe

corroborar:

Despejamos:

40 <. 16 + θ2

Por lo tanto, para que el estimador 1 sea más eficiente que el estimador 2, se

debe cumplir: θ2 > 24.

1.3.3.2 Momentos

Se trata de un método de obtención de estimadores muy intuitivo.

Básicamente, consiste en igualar los momentos poblacionales (que sean

función del o los parámetros a estimar) con los momentos muéstrales y

despejar el parámetro a estimar.

Así, por ejemplo, la esperanza de una variable aleatoria se estimaría por la

media muestral; la varianza, por la varianza muestral; etc.

La principal ventaja de este método es su simplicidad. Sin embargo, aunque

los estimadores así obtenidos son consistentes, en general, no son centrados ni

eficientes. Además, en ciertos casos puede proporcionar estimaciones

absurdas, como veremos en el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos una variable con distribución uniforme donde el

límite inferior es cero y el superior es desconocido. Naturalmente, estaremos

interesados en estimar el límite superior (al que llamaremos b) de nuestra

distribución uniforme.

X sigue una distribución uniforme (a = 0, b =?)

Recordemos que la esperanza de una distribución uniforme comprendida entre

dos valores a y b es el promedio de estos dos valores.

Por tanto, para aplicar el método de los momentos para estimar b, igualaremos

dicho promedio a la media aritmética:

3.4 Intervalo de confianza para la media

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los

cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada

probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo,

que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un

parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa

con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el

llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las

posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de

forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor

nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece

una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario

conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual

que el parámetro presente una distribución normal. También pueden

construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshov.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación

de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de

probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α,

donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

Ejemplos

De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras

de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se

puede demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la

media poblacional:2

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,la

distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal

(o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

.

Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que:

En una distribución Z ~ N (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo

dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto

es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es

el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de

confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una

media muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se

manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le

llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o, mejor dicho, su versión

estandarizada Zα / 2 o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución"

X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se

muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

z − α / 2 = − zα / 2

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral

± el producto del valor crítico Zα / 2 por el error estándar .

Si no se conoce σ y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):4

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor zα / 2 para los niveles de confianza estándar son

1,96 para 1 − α = 95% y 2,576 para 1 − α = 99%.5

Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una

proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza

del (1-α) ·100% es:

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central

del Límite y la aproximación de una binomial por una normal.

3.5 Intervalo de confianza para la diferencia de

medias

Sean X11, X12,… X1n1, una muestra aleatoria de n1 observaciones tomadas

de una primera población con valor esperado µ1 y varianza s

1, y X21, X22,… X2n2 una muestra aleatoria de n2 observaciones tomada de

la segunda población con valor esperado µ2 y varianza s

2. Si son las medias muéstrales, la estadística es un estimador puntual de µ1 -

µ2, y tiene una distribución normal si las dos poblaciones son normales, o

aproximadamente normal si cumple con las condiciones del teorema del límite

central (tamaños de muestras relativamente grandes). Es decir, Por lo tanto,

Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias se

debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas, y en

caso de que sean desconocidas, se debe probar si son iguales o diferentes.

Cada uno de estos tres casos se analizará por separado

Varianzas conocidas

Si las varianzas poblacionales son conocidas, los pasos a seguir para encontrar

el intervalo de confianza son los siguientes:

a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 -

µ2 será T =, que es un estimador suficiente b) La variable aleatoria asociada

con el estimador será la variable normal estándar dada por:

c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente

probabilidad:

Manipulando la expresión anterior en forma similar a como se hizo en los

casos de una sola muestra se llega al siguiente teorema que nos define el

intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias µ1 - µ2 con

varianzas conocidas s1 y s 2.

Teorema. Si son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2

tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas s1 y s2, respectivamente, entonces

un intervalo de confianza del 100(1-a)% para µ1 - µ2.

Ejemplo

Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia real entre las

duraciones de dos marcas de bombillos, si una muestra de 40 bombillos

tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y

una muestra de 50 bombillos de otra marca dieron una duración media de 402

horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22

horas, respectivamente.

Solución. Tenemos que:, , s1 = 26, s2 = 22, n1 = 40, n2 = 50, Z0.03 = 1.88. El

intervalo de confianza es, entonces:

El hecho de que ambos límites sean positivos, y por lo tanto no contengan el

valor cero indican que ambas marcas no tienen la misma duración media, y

sugiere que pueda pensarse que la primera marca de bombillos tenga una

duración media superior a la segunda.

Varianzas desconocidas e iguales (= =)

Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una

prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para

realizarlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo

de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con

varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de confianza para la

relación de dos varianzas, según se estudiará más adelante.

Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las

varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo

de confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:

a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 -

µ2 será T =, que es un estimador suficiente.

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida

como: donde es un estimador combinado de s, mejor que por separado, y

c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente

probabilidad:

De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se

llega al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la

diferencia entre dos medias µ1 - µ2 con varianzas desconocidas s1 y s 2, pero

iguales.

CONCLUSIONES

El análisis de los resultados del presente trabajo conduce a enunciar las

siguientes conclusiones derivadas del proceso de investigación:

Que la estadística como ciencia nos ayuda en la recolección, análisis e

interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para

explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio

aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo

estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar

a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las

ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Se

usa para la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones

gubernamentales.

La estadística se divide en dos grandes áreas:

La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección,

descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los

fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o

gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la

media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son:

histograma, pirámide poblacional, clústers, entre otros.

La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos,

inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión

teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para

modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la

población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de

respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de

características numéricas (estimación), pronósticos de futuras

observaciones, descripciones de asociación (correlación) o

modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión).

Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y

minería de datos.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada.

Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la que se refiere a

las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al

resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en

estadísticas económicas, estadísticas criminales, entre otros.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica.htm

http://webdelprofesor.ula.ve/arquitectura/jorgem/principal/guias/cap3.pdf

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01c.html

http://www.uam.es/personal_pdi/psicologia/carmenx/EsquemaTema21b.pdf

http://www.mitecnologico.com/Main/DistribucionMuestralDeLaVarianza

http://colposfesz.galeon.com/inferencia/teoria/estima.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1xima_verosimilitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo8/B0

C8m1t16.htm