Lyapunov estabilidad

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Este artculo es sobre la estabilidad asinttica de sistemas no lineales. Para la estabilidad de

sistemas lineales, consulte la estabilidad exponencial .

Este artculo incluye una lista de referencias , la lectura o relacionados con los

enlaces externos , pero sus fuentes no estn claras, ya que carece de citas en lnea

. Por favor, mejorar este artculo introduciendo citas ms precisas. (Mayo 2009)

Varios tipos de estabilidad se puede discutir de las soluciones de ecuaciones diferenciales

que describen los sistemas dinmicos . El tipo ms importante es el relativo a la estabilidad

de las soluciones cerca de un punto de equilibrio. Esto puede ser discutido por la teora de

Lyapunov. En trminos simples, si todas las soluciones del sistema dinmico que empiezan

cerca de un punto de equilibrio x estar cerca e x e para siempre, entonces x e es Lyapunov

estable. Con ms fuerza, si x e es Lyapunov estable y todas las soluciones que empiezan

cerca de x e convergen para x e, entonces x e es asintticamente estable. La nocin de

estabilidad exponencial garantiza una tasa mnima de la decadencia, es decir, una

estimacin de la rapidez de las soluciones convergentes. La idea de la estabilidad de

Lyapunov se puede ampliar a dimensiones infinitas variedades, donde se le conoce como la

estabilidad estructural , lo que se refiere al comportamiento de los diferentes, pero "cerca"

las soluciones a las ecuaciones diferenciales. Entrada a la estabilidad del estado (ISS) se

aplica a las nociones de Lyapunov sistemas con entradas.

Contenido

[hide]

1 Historia

2 Definicin de sistemas de tiempo continuo

o Segundo mtodo de Lyapunov 2.1 para la estabilidad

3 Definicin de sistemas de tiempo discreto

4 de Estabilidad para los modelos lineales de espacio de estado

5 Estabilidad de sistemas con entradas

Ejemplo 6

Lema 7 Barbalat y la estabilidad de variables en el tiempo los sistemas de

8 Referencias

9 Enlaces externos

[ editar ] Historia

La estabilidad de Lyapunov es el nombre de Aleksandr Lyapunov , un matemtico ruso que

public su libro "El problema general de la estabilidad de movimiento" en 1892. Lyapunov

fue el primero en considerar las modificaciones necesarias en los sistemas no lineales de la

teora lineal de la estabilidad sobre la base de linealizar cerca de un punto de equilibrio. Su

trabajo, publicado inicialmente en Rusia y luego traducido al francs, recibido poca

atencin durante muchos aos. Inters en que empez de repente durante la Guerra Fra

(1953-1962) perodo en que el llamado "segundo mtodo de Lyapunov" se encontr que era

aplicable a la estabilidad de la industria aeroespacial los sistemas de orientacin que

normalmente contienen fuertes no linealidades no tratable por otros mtodos. Un gran

nmero de publicaciones aparecieron entonces y en el control de los sistemas y la literatura.

Ms recientemente el concepto de Lyapunov exponente (relacionado con el primer mtodo

de Lyapunov de discutir la estabilidad) ha recibido un gran inters en relacin con la teora

del caos . Mtodos de Lyapunov de estabilidad tambin se han aplicado a la bsqueda de

soluciones de equilibrio en los problemas de asignacin de trfico a partir del trabajo de MJ

Smith y Wisten MB.

[ editar ] Definicin de sistemas de tiempo continuo

Considere un sistema dinmico no lineal autnomos

,

donde denota el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que

contiene el origen y continua en . Supongamos que f tiene un correo x

equilibrio.

1. El equilibrio del sistema por encima se dice que es Lyapunov estable, si, para cada

, Existe una de tal manera que, si , A

continuacin, , Por cada .

2. El equilibrio del sistema por encima se dice que es asintticamente estable si es

Lyapunov estable y si existe > 0 tal que si , A continuacin,

.

3. El equilibrio del sistema por encima se dice que es exponencialmente estable si es

asintticamente estable y si existen , , > 0 tal que si , A

continuacin, , Para .

Conceptualmente, los significados de los trminos anteriores son las siguientes:

1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones de partida "suficientemente cerca" al equilibrio (dentro de una distancia de ella) siguen siendo "bastante cerca" para siempre (a una distancia de la misma). Tenga en

cuenta que esto debe ser cierto para cualquier que uno puede querer elegir.

2. Estabilidad asinttica significa que las soluciones que empiezan cerca no es suficiente slo permanecen lo suficientemente cerca, pero tambin eventualmente

converge al equilibrio.

3. Estabilidad exponencial significa que no slo las soluciones convergen, pero en realidad convergen ms rpido que el o por lo menos tan rpido como una tasa

especial conocido .

La trayectoria de x es (localmente) atractivo si

para para todas las trayectorias que se inician lo suficientemente cerca, y atractivo

a nivel mundial si esta propiedad es vlida para todas las trayectorias.

Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable . Es asintticamente estable si es a

la vez atractivo y estable. (Hay contraejemplos que muestran que sus atractivos no implica

la estabilidad asinttica. Tales ejemplos son fciles de crear utilizando conexiones

homoclnicas .)

[ editar segundo mtodo] de Lyapunov para la estabilidad

Lyapunov, en su original de 1892 de trabajo propuesto dos mtodos para demostrar la

estabilidad. El primer mtodo desarrollado la solucin de una serie que se comprob luego

convergentes dentro de los lmites. El segundo mtodo, que es casi todo el mundo utiliza

hoy en da, hace uso de una funcin de Lyapunov V (x), que tiene una analoga con la

funcin potencial de la dinmica clsica. Se introduce de la siguiente manera para un

sistema que tiene un punto de equilibrio en x = 0. Considere la posibilidad de una funcin

de tal manera que

con igualdad si y slo si x = 0 (definida positiva)

con igualdad si y slo si x = 0 (negativo definido).

Entonces V (x) se llama una funcin de Lyapunov candidato y el sistema es asintticamente

estable en el sentido de Lyapunov (ISL). (Tenga en cuenta que V (0) = 0 es necesario, de lo

contrario, por ejemplo, V (x) = 1 / (1 + | x |) sera "probar" que es localmente

estable. Una condicin adicional llamada "adecuacin" o "la no acotacin radial" es

necesario para concluir estabilidad asinttica global.)

Es ms fcil visualizar este mtodo de anlisis por el pensamiento de un sistema fsico (por

ejemplo, vibracin de primavera y de la masa) y teniendo en cuenta la energa de este

sistema. Si el sistema pierde energa a travs del tiempo y la energa nunca es restaurado

luego, eventualmente, el sistema debe moler a una parada y llegar a algn estado de reposo

final. Este estado final se denomina atractor . Sin embargo, encontrar una funcin que da la

energa precisa de un sistema fsico puede ser difcil, y para los sistemas matemticos

abstractos, los sistemas econmicos o de sistemas biolgicos, el concepto de energa no

pueden ser aplicables.

Realizacin de Lyapunov es que la estabilidad se puede probar sin necesidad de

conocimientos de la energa fsica real, siempre una funcin de Lyapunov se puede

encontrar para satisfacer las limitaciones antes mencionadas.

[ editar ] Definicin de sistemas de tiempo discreto

La definicin de sistemas de tiempo discreto es casi idntica a la de los sistemas de tiempo

continuo. La siguiente definicin se proporciona esto, utilizando un lenguaje alternativo de

uso comn en los textos matemticos ms.

Sea (X, d) un espacio mtrico y una funcin continua . Un punto de se

dice que es Lyapunov estable, si para cada > 0, existe un > 0 tal que para todo , Si

d (x, y) <

entonces

para todos los .

Decimos que x es asintticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable ,

es decir, si existe un > 0 tal que

siempre que d (x, y)

tiene una solucin en la que N = N T>

0 y M = M T>

0 ( definida positiva matrices). (La

correspondiente funcin de Lyapunov es V (x) = x T x M).

En consecuencia, un tiempo discreto lineales de espacio de estado modelo

es asintticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todos los valores

propios de A tienen un mdulo menor que uno.

Esta ltima condicin se ha generalizado a los sistemas de conmutacin: conmutacin de

un sistema lineal de tiempo discreto (gobernado por un conjunto de matrices

)

es asintticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si el radio espectral de

conjunto de la serie es menor que uno.

[ editar ] Estabilidad de sistemas con entradas

Un sistema con los insumos (o controles) tiene la forma

donde la entrada (por lo general en funcin del tiempo) u (t) puede ser visto como un

control de entrada externa, el estmulo, la perturbacin o funcin forzada. El estudio de

estos sistemas es el tema de la teora de control y se aplica en la ingeniera de control . Para

los sistemas con los insumos, se debe cuantificar el efecto de los insumos en la estabilidad

del sistema. Los dos principales enfoques de este anlisis son la estabilidad BIBO (para

sistemas lineales ) y la entrada a estado (ISS) estabilidad (para sistemas no lineales )

[ editar ] Ejemplo

Considere la posibilidad de una ecuacin, en comparacin con el oscilador de Van der Pol

ecuacin se cambia el trmino de friccin:

El equilibrio se encuentra en:

Aqu est un buen ejemplo de un intento fallido de encontrar una funcin de Lyapunov que

demuestra la estabilidad:

Dejar

para que el sistema correspondiente

Elijamos como una funcin de Lyapunov

que es claramente definida positiva . Su derivada es

Parece que si el parmetro es positivo, la estabilidad es asinttica para Pero esto

es errneo, ya que no depende de x 1, y ser del 0 por todas partes en el eje x 1.

[ editar lema] Barbalat y la estabilidad de variables en el

tiempo los sistemas de

Supongamos que f es funcin del tiempo solamente.

Despus de haber no implica que f (t) tiene un lmite en . Por

ejemplo, .

Tener f (t) acercarse a un lmite no implica que . Por ejemplo,

.

Tener f (t) ms bajos limitada y decreciente ( ) Implica que converge a un

lmite. Pero no dice si o no como .

Barbalat es el lema dice:

Si f (t) tiene un lmite finito cuando y si es uniformemente continua (o

est limitado), entonces como .

Por lo general, es difcil analizar la estabilidad asinttica de variables en el tiempo los

sistemas, ya que es muy difcil de encontrar funciones de Lyapunov con un derivado

definida negativa.

Sabemos que en el caso de los autnomos (invariante en el tiempo) los sistemas, si es

negativo semi-definida (NSD), entonces tambin es posible conocer el comportamiento

asinttico invocando invariante conjunto de teoremas. Sin embargo, esta flexibilidad no

est disponible para los sistemas variables en el tiempo. Aqu es donde "lema Barbalat de"

entra en el cuadro. Dice as:

Si V (x, t) satisface las siguientes condiciones:

1. V (x, t) es menor limitada

2. es negativo semi-definida (NSD)

3. es uniformemente continua en el tiempo (satisfecho si es finito)

entonces como .

El siguiente ejemplo es tomado de la pgina 125 del libro de Li Slotine y Aplicadas de

control no lineal.

Considere un sistema que no es autnoma

Esto no es autnoma porque la w de entrada es una funcin del tiempo. Supongamos que la

entrada de w (t) es acotado.

Tomando V = e 2 + g

2 da

Esto nos dice que V (t)

Usando el lema de Barbalat:

.

Esto es limitada porque e, g y w estn limitadas. Esto implica como y por

lo tanto . Esto demuestra que el error converge.

[ editar ] Referencias

Lyapunov AM El problema general de la estabilidad del movimiento (en ruso),

Tesis doctoral, Universidad. Jarkov 1892 traducciones Ingls: (1) estabilidad del

movimiento, Academic Press, Nueva York y Londres, 1966 (2) El problema general

de la estabilidad del movimiento, (AT Fuller trans.) Taylor & Francis, Londres

1992. Se incluye una biografa de Smirnov y una extensa bibliografa de los trabajos

de Lyapunov.

Letov AM Estabilidad de los sistemas de control no lineal (en ruso) Mosc 1955

(Gostekhizdat); Ingls tr. Princeton 1961

RE Kalman y JF Bertram: Anlisis y Diseo de Sistema de Control a travs del

segundo mtodo de Lyapunov, J. bsica Engrg vol.88 1960 pp.371, 394

JP LaSalle y Lefschetz S: Estabilidad por el mtodo de Lyapunov En segundo

lugar, con aplicaciones, Nueva York 1961 (Acadmico)

Parques PC: mtodo de Liapunov en la teora de control automtico, control de E

11 1962 12 1962 II

RE Kalman funciones de Lyapunov para el problema de Lurie en control

automtico, Proc Nat. Acad.Sci EE.UU., febrero 1963, 49, no.2, 201 -.