Sistemas DinmicosUna introduccin a travs de ejercicios5 EdicinSistemas DinmicosUna introduccin a travs de ejerciciosEva Snchez Jos Gonzlez Joaqun GutirrezD XTRAEDITORIAL5 EdicinConsulte la pgina www.dextraeditorial.comDiseo de cubierta: TheIdeas www.ideasjc.net Eva Snchez, Jos Gonzlez, Joaqun Gutirrez Seccin de Publicaciones de la Escuela TcnicaSuperior de Ingenieros Industriales. Universidad Politcnica de Madrid Dextra Editorial S.L.C/Arroyo de Fontarrn, 271, 28010 MadridTelfono: 91 773 37 10Reservados todos los derechos. Est prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes,reproducir, registrar o trasmitir esta publicacin, ntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperacin y porcualquier medio, sea mecnico, electrnico, magntico, electroptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin laautorizacin expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L.ISBN: 9788416277186Depsito legal: M294362014Impreso en Espaa. Printed in Spain!"#$%&'#()* $' ,)* *-*('&%* $' .)#(/), !!nRnRCA RA CnRC(F(t) = 0) (a = 0)(F(t) = 0) (a = 0)"0')/1% $' *-*('&%*2#3-*('&%* 4-#5&-.)* $"0')/1% $' *-*('&%*2#$nRnRCA RA CnRC(F(t) = 0) (a = 0)(F(t) = 0) (a = 0)!"#$%&'#()* $' ,)* *-*('&%* $' .)#(/), %%RR[a, b]"0')/1% $' *-*('&%*2#3-*('&%* 4-#5&-.)* &"0')/1% $' *-*('&%*2#&RR[a, b]!"#$%&'#()* $' ,)* *-*('&%* $' .)#(/), ''(x )2+ y2= 1OP= PMaax= x2x(0) = x0x= x2/3x(0) = 0x = 1/(2 sen t)x = 1/(1 sen t)x= axMJ= JA"0')/1% $' *-*('&%*2#(x )2+ y2= 1OP= PMaax= x2x(0) = x0x= x2/3x(0) = 0x = 1/(2 sen t)x = 1/(1 sen t)x= axMJ= JA!"#$%&'#()* $' ,)* *-*('&%* $' .)#(/), ((y2= (x2a)2x= y y = 2x32axx= xy2y = x2yax= 2xy y = y2x2y(1 + x2) = Cx= x(1 + x2) y = 2x2yx= y + xy y = x + y2x= x(b ax) + y y = (c ax + b)yx= x2y y = 1 yx= x2+ 2x + y y = y xyx= x2+ 2x + y y = y xyx2+ y2+ 9 = 10x/OYx= 2xy y = 9 x2+ y2x= y y3y = x x3x= x y2y = x2yx= x(x21) y = y(1 y2)r= r(r21) = r2= (2+ b2) = 1= (2b2) = 1S= aSE E= aSE bEx= x+y xy y2y = xy +x2xyT(x) = 1 2|x 1/2|T2T3 = 1/2 = 2 t1, t2< 0t1< 0 t2> 0t1, t2> 0xP0xPa 0(t0, t1)V O+(x0)x/xx2+ y2x2y2= 1x= x2y y y= x xy2x= x2+ y 1 y = 2xyx= xy2x y = x2y y"0')/1% $' *-*('&%*2#3-*('&%* 4-#5&-.)* )"0')/1% $' *-*('&%*2#)y2= (x2a)2x= y y = 2x32axx= xy2y = x2yax= 2xy y = y2x2y(1 + x2) = Cx= x(1 + x2) y = 2x2yx= y + xy y = x + y2x= x(b ax) + y y = (c ax + b)yx= x2y y = 1 yx= x2+ 2x + y y = y xyx= x2+ 2x + y y = y xyx2+ y2+ 9 = 10x/OYx= 2xy y = 9 x2+ y2x= y y3y = x x3x= x y2y = x2yx= x(x21) y = y(1 y2)r= r(r21) = r2= (2+ b2) = 1= (2b2) = 1S= aSE E= aSE bEx= x+y xy y2y = xy +x2xyT(x) = 1 2|x 1/2|T2T3 = 1/2 = 2 t1, t2< 0t1< 0 t2> 0t1, t2> 0xP0xPa 0(t0, t1)V O+(x0)x/xx2+ y2x2y2= 1x= x2y y y= x xy2x= x2+ y 1 y = 2xyx= xy2x y = x2y y!"#$%&'#()* $' ,)* *-*('&%* $' .)#(/), ** = 42 > 3 = 4t 0 t um f(x) = x [, ][4, 4]cos x [1, 2] Rm f(x) = cos x [1, 2]"0')/1% $' *-*('&%*2#3-*('&%* 4-#5&-.)* !+ !+PrlogoEste libro ha sido escrito con la clara intencin de ayudar en el estudio a aquelloslectores que han de abordar las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Hemos puesto el nfasis en el estudio cualitativo de las ecuaciones diferencialesy los sistemas dinmicos como herramienta importante para la comprensin delcomportamiento de procesos de evolucin. Es este un enfoque moderno y en continuo desarrollo por su gran inters desde el punto de vista de las aplicaciones, comopuede comprobarse con una revisin de la bibliograa extenssima y en continuaexpansin que actualmente se dedica a los sistemas dinmicos y sus aplicaciones endiversos campos de la ciencia, como son la Fsica, la Biologa o la Economa. Somos conscientes de la carencia que supone el no incluir aspectos de clculonumrico, que no solo son indispensables en un estudio ms profundo, sino queaclaran e impulsan el desarrollo de multitud de aspectos. Sin embargo, cualquierdocente debe abordar una programacin de contenidos coherente y realista con lasposibilidades de asimilacin en el tiempo que se dispone para la imparticin de lamateria, lo que nos han obligado a efectuar una eleccin, que siempre conlleva unarenuncia. No hemos de ocultar que han inluido en ella, adems del convencimientode la importancia y actualidad del estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales,nuestras preferencias personales. Por otra parte, descarga algo nuestra inquietud laseguridad de que los lectores interesados tienen mltiples ocasiones de encontrarsecon el Clculo Numrico en sus diferentes aspectos. Dedicamos un primer captulo a los mtodos de resolucin elemental de ecuaciones diferenciales ordinarias. Comenzar el estudio aprendiendo gran variedad detcnicas de integracin puede conducir a la impresin errnea de que la resolucinexplcita de las ecuaciones diferenciales de primer orden es tan solo un problemade habilidad y experiencia en el manejo de clculos complicados. Nada ms lejos dela realidad, ya que el colectivo de ecuaciones diferenciales ordinarias que admitenresolucin explcita es muy reducido. Por ello, en la aplicacin a problemas prcticos,los mtodos aproximados para un anlisis cuantitativo de las soluciones y los mtodos cualitativos son esenciales. Sin embargo, es necesario adquirir alguna experiencia en la obtencin de soluciones, por lo que animamos al lector a resolver los ejercicios que se proponen en este primer captulo. Nuestra intencin no ha sido escribir un mero libro terico sobre ecuaciones diferenciales, porque ya existe muy variada bibliograa escrita por autores de grancompetencia en el tema, que cubre cualquier aspecto que se desee, numrico o cualitativo. Sin embargo, no hemos dudado en introducir la teora necesaria, sin efectuarcasi nunca demostraciones, que pueda ayudar a conseguir una mejor comprensinde los mtodos expuestos. Al mismo tiempo, hemos procurado que el texto sea autosuciente, de manera que el lector que solo desee aprender a manejar ciertas tcnicas, pueda lograrlo. Hemos procurado que los enunciados de los teoremas seanclaros y precisos, aunque no aparezca su demostracin en la mayora de los casos.Estas notas estn dedicadas a estudiantes que no tienen una base matemticamuy avanzada, con la intencin de que puedan adentrarse en el campo de las aplicacionessinperderseendesarrollosmatemticosdeunnivelsuperioralsuyo.Hemos hecho hincapi en conseguir una presentacin: clara de ciertos conceptostcnicos, relacionados principalmente con la teora de la estabilidad de los sistemasdinmicos y sus aplicaciones, aun a costa de prescindir del formalismo y del rigorextremo.Creemos que el inters y la originalidad que puedan aportar estas notas se debenesencialmente al criterio de seleccin de los ejercicios y a su presentacin, orientadaa la modelacin de procesos sicos y naturales y, en esta lnea, esperamos que sirvande ayuda para la utilizacin posterior de textos especializados. La mayor parte delos ejercicios y de las ideas que subyacen en las aplicaciones se han tomado de otrostextos, artculos y exmenes propuestos en centros universitarios.Se incluye al nal una breve lista de referencias bibliogrcas, con los principalestextos que hemos utilizado en la redaccin de este trabajo.Agradecemos al Profesor Bernardo de la Calle la lectura cuidadosa que ha efectuado de este texto as como las modicaciones que ha sugerido.