EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1) En los siguientes ejercicios resuelva el sistema dado de ecuaciones lineales ya sea con laeliminación gaussiana con sustitución hacia atrás o con la eliminación de Gauss Jordan.

a)+ 3 − 4 = 1

2 + 2 + 3 = 9− − 2 − 2 = 2

b)2 + − = 0

2 + 2 − 3 = 03 − + 2 = 0

c)

− 2 + 12 = 1+ + 4 = 2

4 + 5 + 2 = 8− + 2 + 8 = 4

d)

+ − 3 − 2 = 22 − 3 + 9 − = 3

− 6 + = 43 + 4 − 12 − 8 = −1

e)−16 − 12 − 11 + = 3

2 + 3 + 7 + = 0−4 − 2 + + = 1

f)

− 2 + = 13 − − 2 = 1

2 + − 2 − = 4+ 3 − 2 − 2 = 7

2) En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, obtener los valores de λ paraque el sistema tenga solución única, infinidad de soluciones o no tenga solución.

a) − 2 = 35 + =

b) + 6 = 42 + = 3

c)− 3 = −3

2 + − = −2+ 2 + = 1

d)+ + = 2

3 + 4 + 2 =2 + 3 − = 1

e)+ 3 + = 2

+ 2 − 5 = 42 + 5 − = + 4

f)+ 2 − 3 = 4

3 − + 5 = 24 + + ( − 14) = √ + 2

g)+ + = 1+ + = 1 + + = −2

h)+ + = 2

+ 3 + = 82 + 3 + ( − 7) = + 4

i)+ + = 2

2 + 3 + 2 = 52 + 3 + ( − 1) = + 1

j)+ 2 − 3 = 4

3 − + 5 = 24 + + ( − 14) = √ + 2

k)+ − = 2

+ 2 + = 3+ + ( − 5) =

3) Para los siguientes sistemas, encuentre las condiciones sobre a, b y c para que el sistema seainconsistente

a)2 + 3 − =

− + 3 =3 − 7 − 5 =

b)2 + 3 − =− + 3 =

3 − 7 − 5 =

4) Para que valores de a y b el sistema tendrá solución única, infinidad de soluciones o ningunasolución.

+ + = 1+ + =

+ + =

5) Solucione el sistema para x, y, z

+ =− =

+ + = 0

6) Determine todos los valores de λ para los que el sistema de ecuaciones linealeshomogéneas tenga soluciones no triviales.

( + 2) − 2 + 3 = 0−2 + ( + 1) + 6 = 0

+ 2 + = 0

7) Para el sistema, ¿qué valor de k tendrá soluciones no triviales? (las soluciones distintas a lasolución cero se llaman soluciones no triviales)

2 − 3 + 5 = 0− + 7 − = 0

4 − 11 + = 0

8) ¿Qué condiciones deben cumplir los números reales a, b, c para que el sistema tenga solución?

+ + =2 + − =

− 2 =

9) Considere el sistema2 − 3 + 5 = 0− + 7 − = 0

4 − 11 + = 0

¿Para que valor de k tendrá soluciones no triviales?

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

10) En los siguientes ejercicios determine el polinomio cuya gráfica pasa por los puntos dados ybosqueje la gráfica del polinomio, mostrando los puntos dados.

a) (2,4), (3,6), (5,10)b) (-1,3), (0,0), (1,1), (4,58)

11) Según los datos del censo en un país, en 1990 había 189.5 millones de habitantes, en2000 había 207.6 millones y en 2010 había 239.4 millones. Ajuste un polinomio a estostres puntos y use el resultado para predecir la población para 2015 y 2020.

12) Las ganancias netas (en millones de dólares) de Microsoft de 2000 a 2007 se muestran en lasiguiente tabla. (Fuente: Microsoft Corporation)

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Ganancias 9421 10003 10384 10526 11330 12715 12599 14410

a) Determine un sistema de ecuaciones para ajustar los datos de los años 2000,2001, 2003 y2005 a un modelo cúbico.

b) Resuelva el sistema. ¿La solución genera un modelo razonable para predecir futurasganancias netas?

13) Use 0 = 0, sin = √ ; sin = = 1, =

sin( ) = 0 para cacular ( )

14) Use 0 = 1, cos = 0, cos π = − √ ycos( ) = −1

15) Use 1 = 0, 2 = 1 2 4 = 2 3.

16) Por un acueducto fluye agua (en miles de metros cúbicos por hora) como se muestra en lafigura.

a) Resuelva este sistema para el caudal de agua representado por = 1, 2, … , 7b) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando = = 0.c) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando = 1000 = 0.

17) El flujo de tráfico (en vehículo por hora) que circula por una red de calles se muestra en lafigura.

a) Resuelva el sistema para = 1,2, … , 5.b) Encuentre el flujo vehicular cuando = 200 = 50c) Encuentre el flujo vehicular cuando = 150 = 0

18) En la figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por una red decalles.

a) Resuelva el sistema para = 1,2, … , 4.b) Encuentre el flujo vehicular cuando = 0.c) Encuentre el flujo vehicular cuando = 100.

19) En la figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por una red decalles.

d) Resuelva el sistema para = 1,2, … , 5.e) Encuentre el flujo vehicular cuando = 0

20) Determine las corrientes , de la red eléctrica mostrada en la figura.

a) Determine las corrientes , de la red eléctrica mostrada en la figura.b) ¿cómo es el resultado cuando A cambia a 2 V y B cambia a 6 V?

21) Determine las corrientes , , , , , de la red eléctrica mostrada en la figura.

22) Para el circuito mostrado encontrar las corrientes I1, I2 y I3, usando las leyes de la corriente y elvoltaje de Kirchhoff.

23) Determine las corrientes en el siguiente circuito.

24) Publicaciones SANDER edita tres calidades de libros: encuadernación rústica, con pasta duray empastada en cuero. Para los rústicos, la empresa gasta en promedio $5000 en papel,$2000 en ilustraciones y $3000 en las pastas. Para los de pasta dura, los gastos son $10000 enpapel, $4000 en ilustraciones y $8000 pesos en pastas: y para los de lujo empastados encuero, $20000 en papel, $12000 en ilustraciones y $24000 en pastas. Si el presupuesto permite$235 millones en papel, $110 millones en ilustraciones y $205 millones en pastas. ¿Cuántoslibros de cada categoría pueden producirse?

25) En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3.Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Lascamisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas yempaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 45 min para coser y 55 min paraplanchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 50 min para coser y 15 minpara planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horasen cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

26) Una compañía de construcción ofrece tres tipos de casa. El primer tipo de casa requiere 3unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 8 unidades de madera para

estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 7 y 4, 2, 10 unidades respectivamente.Si cada mes la compañía dispone de 200 unidades de concreto, 150 de madera para canceleríay 550 unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes tipos de casasque la compañía podrá construir al mes si usa todos los materiales de que dispone.

27) Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad delfertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg delcompuesto C. Una unidad del fertilizante del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B y 50 kgdel C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kgdel A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes sepueden producir si se usa todo el material químico disponible?

28) Una empresa minera posee tres explotaciones mineras con minas de la siguientecomposición:

Oro % Plata % Cobre %Mina 1 0.1 0.3 2Mina 2 0.2 0.4 3Mina 3 0.1 0.2 1.5

29) ¿Cuántas toneladas de cada explotación minera se deben emplear para obtener una toneladade oro, dos toneladas de plata y 14 toneladas de cobre?

30) Estime las temperaturas en los puntos T1,…,T6 en los seis puntos de la lámina deacero que se muestra en la figura, si la temperatura promedio en cada punto delinterior es el promedio de las que prevalecen en sus cuatro puntos vecinos.

31) Calcule las temperaturas en los puntos x1, x2 y x3 en la placa metálica triangular que seilustran en la figura, si la temperatura promedio en cada punto del interior es el promediode las que prevalecen en sus cuatro puntos vecinos.