ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADOO DE PRIMER GRADO

Una ecuaciónecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para el valor de la incógnita. Si el Si el exponente de la variable es 1exponente de la variable es 1, se llama , se llama ecuación linealecuación lineal o de o de primer grado con primer grado con una incógnitauna incógnita..

En una ecuación, la expresión En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo algebraica del lado izquierdo del signo igual se llama igual se llama primer miembroprimer miembro y la y la del lado derecho se llamadel lado derecho se llama segundo segundo miembromiembro..

34 6 3

2

xx

PRIMER MIEMBROPRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBROSEGUNDO MIEMBRO

La resolución de una ecuación lineal La resolución de una ecuación lineal con una incógnita es un procedimiento con una incógnita es un procedimiento que se basa, fundamentalmente, en la que se basa, fundamentalmente, en la propiedad de la igualdadpropiedad de la igualdad que que establece que:establece que:

Si a los miembros de una igualdad se Si a los miembros de una igualdad se realizan las mismas operaciones, se realizan las mismas operaciones, se obtiene una nueva igualdad.obtiene una nueva igualdad.

Esta propiedad permite dar un enunciado Esta propiedad permite dar un enunciado que simplifica su aplicación:que simplifica su aplicación:

Cualquier término o factor de un Cualquier término o factor de un miembro en una igualdad puede pasar miembro en una igualdad puede pasar al otro miembro si se cambia en la al otro miembro si se cambia en la operación contraria a la que realizaba.operación contraria a la que realizaba.

Ejemplo:Ejemplo:4 8

32

xx

4 8 2( 3)x x

4 8 2( 3)x x 4 2( 3) 8x x

Lo que divide pasa a multiplicar

Lo que suma pasa a restar

4 2 6 8x x

4 2 14x x

Se multiplica lo que está en el paréntesis

4 2 14x x 4 2 14x x

2x pasa al otro miembro a restar

2 14x 14

72

x

2 pasa a dividir

4 2( 3) 8x x

4 2 6 8x x Se suman los números negativos

PROBLEMASPROBLEMAS

Para resolver un problema seguimos el Para resolver un problema seguimos el procedimiento:procedimiento:a)a) Comprender el problemaComprender el problemab)b) Identificar la incógnitaIdentificar la incógnitac)c) Plantear las estrategias de soluciónPlantear las estrategias de soluciónd)d) Obtener los datosObtener los datose)e) Plantear la ecuaciónPlantear la ecuaciónf)f) Obtener el valor de la incógnitaObtener el valor de la incógnitag)g) Comprobar el valor de la incógnitaComprobar el valor de la incógnita

Ejemplo:Ejemplo:

Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?

DATOSPLANTEAMIENTO

JuanMamá de

Juan

Edad de la mamá cuando nació Juan

28

Edad actual x 28 + x

Relación actual entre las edades

28 + x = 3x

Algunos problemas que dan lugar a ecuaciones con paréntesis; las traducimos y luego, resolvemos las ecuaciones.

Ejemplo:Ejemplo: Encuentra tres números enteros consecutivos que sumen 108.

ECUACIONES CON PARÉNTEISECUACIONES CON PARÉNTEIS

( 1) ( 2) 108x x x : Primer númerox

Las ecuaciones con paréntesis; lo resolvemos aplicando la propiedad distributiva:

Ejemplo:

ECUACIONES CON PARÉNTEISECUACIONES CON PARÉNTEIS

3 4( 2) 7 5( 5)x x x

3 4 8 7 5 25)x x x

3 4 5 7 25 8x x x

6 24x 4x

Para resolver un problema, a veces es necesario usar como apoyo los gráficos:

Ejemplo:Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas más tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo tren iba a 75 km por hora, ¿Cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?

USO DE GRÁFICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

50 km/h

75 km/h

Encuentro

x + 3 : Tiempo utilizado

x : Tiempo utilizado

1er Tren

2do Tren

Sea “x horas” el tiempo que utiliza el segundo tren para alcanzar al primer tren

El primer tren habrá utilizado “x + 3” horas hasta ser alcanzado por el segundo tren

La distancia recorrida será el mismo para ambos trenes

D1 = 50km . (x + 3) horas

D2 = 75km . x horas

50( 3) 75x x

A veces, las ecuaciones son fórmulas con diferentes variables. Generalmente se les llama ecuaciones literales. Estas se resuelven para una de esas variables, despejándola. Todo el procedimiento que se sigue es el mismo.

Ejemplo: Resuelve para F la siguiente ecuación.

9 (C + 40) = 5 (F + 40)

Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones.

1.- (5x - 6) + x = 2x + 10

2.- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6)

3.- -10x = -6(4 + 3x)

4.- 2x + 3(x – 2) = 18

5.- -(4x – 17) = 6(x – 3)

6.- 4(x -2) = -5(x +12)

Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Quitamos los denominadores. Luego, procedemos como ecuaciones enteras

ECUACIONES CON COEFICIENTES ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS

Ejemplo:Ejemplo: Un problema del papiro Un problema del papiro matemático Rhind (1800 A.C.) dice: matemático Rhind (1800 A.C.) dice: “Una cantidad más su sétima parte “Una cantidad más su sétima parte es 19”. El enunciado lleva la es 19”. El enunciado lleva la intención de preguntar por la intención de preguntar por la cantidad. Es un enunciado simple cantidad. Es un enunciado simple cuya expresión simbólica es:cuya expresión simbólica es:

19=7x

+x

Ejemplo: La tercera parte de un ángulo sumada con 9° es igual a la quinta parte del mismo ángulo sumado en 11°. ¿Cuál es el valor del ángulo?

El proceso de resolución de una ecuación de primer grado se basa en aplicar procedimientos algebraicos que van transformando la ecuación original en otras más simples.

9 113 5

x x

Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones.

1.- 2.-1.- 2.-

3.- 4.-3.- 4.-

43

x=4

7+x2

6=5x2

12=137

+2x

52=6x

7x3

En ocasiones se nos presentan ecuaciones que pueden ser expresadas como otras ecuaciones lineales, después de varias transformaciones algebraicas. Algunas son las llamadas ecuaciones literales que se resuelven para una u otras variables.

ECUACIONES LINEALES POR ECUACIONES LINEALES POR TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN ALGEBRAICAALGEBRAICA

Ejemplo:Ejemplo: Resolver para y la ecuación

3x – 6y = 8

Ejemplo:Ejemplo: Resolver para C la fórmula

F = 9/5 C + 32

Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se encuentra elevada a un exponente mayor que 1 o aparece en el denominador de una fracción.

Para resolverlas, es necesario realizar operaciones que no alteren la igualdad.

Ejemplo:Ejemplo: Resolver la ecuación

2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100

Ejercicio:Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones.

1.- x2 – 2x + 15 = x + x2 – 3

2.- -2m2 – 3m = m (-2x – 6) – 930

3.- 5c + 8d = 13 despeja “d”

4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x”

5.- (w – 1) (w + 1) = w2 – 2w + 3

6.- (a + 8)2 + 12 = (-a – 2)2 – 5