Física I

Ing. Alejandra Escobar

Dinámica de Rotación

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO

En la unidad anterior se ha estudiado con detalle el movimiento de un cuerpo sometido a

una fuerza constante. El movimiento en este caso es uniformemente acelerado, haciendo

deducción de fórmulas para el cálculo de la velocidad y posición del cuerpo en cada instante de

tiempo y para determinar su velocidad en cualquier posición. En esta unidad estudiaremos el

movimiento de un cuerpo cuando las fuerzas resultantes que actúan sobre el no son constantes.

Fuerza Recuperadora Elástica

Siempre que sobre un cuerpo elástico actúa una fuerza deformadora, inmediatamente

aparece una fuerza elástica de restitución llamada fuerza recuperadora o restauradora. Según

esto se puede definir esta, como la fuerza necesaria para deformar el cuerpo pero aplicada en

sentido contrario al desplazamiento del cuerpo.

Matemáticamente se puede escribir mediante la ley de Hooke, la cual enuncia que la fuerza

aplicada a un cuerpo elástico es igual al coeficiente de deformación (elástico) por el

desdoblamiento.

𝐹 = −𝐾𝑥

El signo menos significa que la dirección de la fuerza 𝐹 es opuesta al desplazamiento 𝑥,

siendo 𝑥 el desplazamiento del objeto con respecto a la posición de equilibrio y 𝑘 la constante

de elasticidad.

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Es un movimiento periódico en ausencia de rozamiento, producido por la acción de una

fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma

dirección pero en sentido opuesto.

La fuerza recuperadora 𝐹 es proporcional al desplazamiento 𝑥, pero de sentido opuesto

a él. Esto es, cuando la masa se desplaza hacia la derecha 𝑥 es positiva y la fuera recuperadora

es hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza hacia la izquierda 𝑥 es negativa y la fuerza

recuperadora es hacia la derecha.

De acuerdo con la ley de Hooke:

𝐹 = −𝐾𝑥 (1)

La fuerza que actúa sobre la masa produce una aceleración por lo que puede escribirse

de acuerdo con la segunda ley de Newton:

𝐹 = 𝑚𝑎 (2)

Igualando las ecuaciones 1 y 2, se obtiene lo siguiente:

−𝐾𝑥 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝑎 = −𝑘

𝑚𝑥

Esta última expresión nos indica que la aceleración es proporcional al desplazamiento de

la masa desde su posición de equilibrio y en dirección opuesta, conduciéndonos al siguiente

enunciado general: “siempre que sobre una partícula actúe una fuerza linealmente proporcional

al desplazamiento y en dirección opuesta, la partícula tendrá un movimiento armónico simple”.

Elementos del Movimiento Armónico Simple

Oscilación o vibración completa: es el movimiento efectuado desde cualquier posición

hasta volver al punto de partida. Según la figura es el movimiento desde que parte de P llega a Q

y se devuelve hasta P pasando por O.

Elongación (x): es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de

equilibrio hasta cualquier posición en un instante de tiempo dado.

Amplitud (A): Es la elongación máxima, es decir el desplazamiento máximo a partir de la

posición de equilibrio.

Período (T): es el tiempo necesario para realizar una oscilación o vibración completa.

Frecuencia (f): es el número de oscilaciones o vibraciones completas que tienen lugar en

una unidad de tiempo.

Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la

partícula oscilante.

P Q

O

x A

Relación entre el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Circular

Intentaremos relacionar el movimiento circular uniforme con el movimiento armónico

simple. Para ello proyectamos la trayectoria circular sobre cualquiera de los ejes, que coincida

con uno de los diámetros de la circunferencia. Particularmente hacemos la proyección sobre el

eje horizontal, tal como indica la figura, la cual muestra una circunferencia de radio 𝑅 y centro

𝑂.

Consideremos un punto 𝑃 sobre la circunferencia y sea 𝑃′ su proyección sobre el

diámetro horizontal. Cuando el punto pasa por 𝑀 y va hasta la posición 𝑃, la proyecciñon ha sido

de 𝑀 hasta 𝑃′. Si el punto 𝑃 va hasta la posición 𝑆, 𝑃′ se habrá movido hasta la posición 𝑂.

Continuando el movimiento el punto 𝑆 pasará a la posición 𝑄, y 𝑃 se habrá movido desde 𝑂

hasta 𝑄′.

Como se puede notar mientras el punto 𝑃 le da la vuelta a la circunferencia, su proyección

𝑃′ sobre el diámetro horizontal habrá ido desde 𝑀 hasta 𝑁 y de regreso de nuevo desde 𝑁 hasta

𝑀, es decir hay un movimiento de vaivén a lo largo del diámetro horizontal.

De todo esto podemos decir; “un movimiento armónico simple es la proyección de la

trayectoria de un movimiento circular uniforme sobre uno de los ejes vertical u horizontal.

R

x

P’

P

M N O

S

Q

Q’

Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple:

Cuadro de ecuaciones

En función de 𝑲

𝒎 En función de 𝟐𝝅𝒇

Semejanza con el Mov.

Circular

𝑎 = 𝐾

𝑚 𝑥

𝑎 = − 𝐾

𝑚 Acos √

𝐾

𝑚t

𝑎 = −4 𝜋2 𝑓2 𝑥

𝑎 = −4 𝜋2 𝑓2 Acos 2𝜋𝑓 𝑡

𝑎 = −𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝑉 = ± √𝐾

𝑚 √𝐴2−𝑋2

𝑉 = −√𝐾

𝑚 𝐴𝑠𝑒𝑛 √

𝐾

𝑚𝑡

𝑉 = ± 2𝜋𝑓 √𝐴2−𝑋2

𝑉 = −2𝜋𝑓 𝐴𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓 𝑡

𝑉 = −𝜔 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑆𝑖 𝜔 = 2𝜋𝑓

𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠√𝐾

𝑚 𝑡 𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓 𝑡 𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

Período: 𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝐾

Frecuencia: 𝑓 = 1

2𝜋 √

𝐾

𝑚

Ejemplo:

1. Una cinta plana de acero está montada como indica la figura. Aplicando una balanza de

resorte al extremo de la cinta y tirando lateralmente, se encuentra que una fuerza de 500 g

produce una separación de 15 cm. Se suelda un cuerpo de 2 kg al extremo de la cinta, se le separa

una distancia de 20 cm y se abandona a sí mismo. Calcular:

a) Velocidad máxima alcanzada.

b) Aceleración máxima.

c) Velocidad y aceleración cuando x = A/2.

d) Tiempo necesario para recorrer x = A/2.

𝑉 = 𝑚𝑎𝑥 ocurre cuando 𝑥 = 0 (centro)

𝑉 = ±2𝜋𝑓 √𝐴2−𝑥2 = ±2𝜋𝑓𝐴

𝑓 = 1

𝑇=

1

1,56= 0,64 𝑠−1

𝑉 = ±2𝜋. 0,64 𝑠−1. 20𝑐𝑚 ∗1𝑚

100𝑐𝑚= ±0,80𝑚/𝑠

𝑎 = 𝑚𝑎𝑥 ocurre cuando 𝑥 = ±𝐴

𝑎 = ±4𝜋2𝑓2𝑥 = ±4𝜋2𝑓2𝐴

𝑎 = ±4𝜋2. (0,64𝑠−1)2. 20𝑐𝑚 ∗ 1𝑚

100𝑐𝑚= 3,23 𝑚/𝑠2

Si 𝑥 = 𝐴

2

𝑉 = ±2𝜋𝑓√𝐴2 − (𝐴

2)

2

; 𝐴

2 = 10 𝑐𝑚 = 0,1 𝑚

𝑉 = ±2𝜋(0,64𝑠−1 )√(0,2𝑚)2 + (0,1𝑚)2 = ±0,69𝑚/𝑠

𝑎 = −4𝜋2𝑓2 (𝐴

2) = −4𝜋2(0,64𝑠−1)2(0,1𝑚) = −1,62𝑚/𝑠2

𝑥 = 𝐴 cos 2𝜋 𝑓 𝑡

𝑥

𝐴= cos 2𝜋 𝑓 𝑡 ⟹ 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 (

𝑥

𝐴) = 2𝜋𝑓𝑡

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥/𝐴)

2𝜋𝑓 ; 𝑥 =

𝐴

2

𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 (0,1𝑚/0,2𝑚)

2𝜋. 0,64𝑠−1 = 14,92𝑠

2. Un cuerpo de masa 12 𝑔 se mueve con MAS con un período de 4 𝑠. Si la amplitud del

movimiento es de 24 𝑐𝑚 en el instante 𝑡 = 0 pasa por la posición de equilibrio en sentido

positivo, calcular en el instante 𝑡 = 0,5 𝑠,

a. La posición del cuerpo.

b. La magnitud de la aceleración.

c. La magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo.

d. La velocidad del cuerpo cuando 𝑥 = −12.

Calculemos la frecuencia:

𝑓 =1

𝑇=

1

4 𝑠= 0,25 𝑠−1

Calculemos la velocidad angular:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 0,25 𝑠−1 = 1,57 𝑟𝑎𝑑𝑠⁄

Calculemos la posición a los 0,5 𝑠

𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = (24 𝑐𝑚 ∗1 𝑚

100 𝑐𝑚) ∗ cos(1,57 ∗ 0,5) = 0,24 𝑚

Calculemos la aceleración:

𝑎 = −𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = −(1,57)2 ∗ (24 𝑐𝑚 ∗1 𝑚

100 𝑐𝑚) ∗ cos(1,57 ∗ 0,5) = −0,59 𝑚

𝑠2⁄

Calculemos la fuerza que actúa sobre el cuerpo

𝐹 = 𝑚𝑎 = (12 𝑔 ∗1 𝐾𝑔

1000 𝑔) ∗ 0,59 𝑚

𝑠2⁄ = 0,00708 𝑁

Calcular la velocidad para 𝑋 = −12 𝑐𝑚

𝑉 = ± 2𝜋𝑓 √𝐴2−𝑋2 = ±2 ∗ 𝜋 ∗ 0,25 𝑠−1 ∗ √0,242 − (−0,12)2 = 0,33 𝑚𝑠⁄

3. Un resorte se alarga 0,2 𝑚 cuando sobre él se cuelga una masa de 0,04 𝐾𝑔. La masa se

sustituye por otra de 0,06 𝐾𝑔 y se estira 20 𝑐𝑚 de su posición de equilibrio abandonándose

luego. Hallar:

a. La constante de elasticidad del resorte.

b. El período de oscilación.

c. La ecuación de la elongación en función del tiempo.

d. La velocidad de la masa cuando se desvíe 2 𝑐𝑚 de a posición de equilibrio.

Calculemos el peso de la masa que cuelga sobre el resorte, el cual es la fuerza que se

aplica sobre el mismo.

𝐹 = 𝑃 = 𝑚𝑔 = 0,04 𝐾𝑔 ∗ 9,8 𝑚𝑠2⁄ = 0,392 𝑁

Calculemos la constante de elasticidad del resorte. Según la ley de Hooke:

𝐹 = 𝐾𝑥 ⇒ 𝐾 =𝐹

𝑥=

0,392 𝑁

0,2 𝑚= 1,96 𝑁

𝑚⁄

Calculemos el período de oscilación

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝐾= 2 ∗ 𝜋 ∗ √

0,06 𝐾𝑔

1,96 𝑁𝑚⁄

= 1,098 𝑠

Calculemos la ecuación de la elongación en función del tiempo

𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠√𝐾

𝑚 𝑡 = 0,2𝑐𝑜𝑠√

1,96

0,06 𝑡 = 0,2 cos 5,71𝑡 ∎

Calculemos la velocidad de la masa si 𝑋 = 0,02 𝑚

𝑉 = ± √𝐾

𝑚 √𝐴2−𝑋2 = ±√

1.96

0,06√0,22 − 0,022 = ±1,134 𝑚

𝑠⁄

PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es un sistema formado por una masa 𝒎 de pequeña dimensión,

suspendida en el aire por un hilo de longitud 𝒍 de masa muy pequeña comparada con 𝒎 (masa

del hilo despreciable). La parte superior del hilo se encuentra fija como se muestra en la figura:

Cuando se le desvía hacia un lado, la masa 𝒎 comienza a oscilar alrededor de su posición

de equilibrio. Al separar el péndulo de su posición de equilibrio de tal manera que forme un

ángulo con la vertical y sea 𝒍 la longitud del péndulo. Las fuerzas que actúan sobre la masa 𝒎

son: la tensión de la cuerda 𝑻 y su propio peso 𝑷.

Las condiciones necesarias para que un cuerpo realice un movimiento armónico es que

se encuentre sometido a una fuerza recuperadora 𝐹, directamente proporcional a la elongación

𝑥 y de sentido opuesto. Naturalmente la trayectoria de la masa del péndulo no es una línea recta,

sino un arco de circunferencia de radio 𝐿, siendo 𝐿 la longitud de la cuerda soporte.

La elongación es la distancia a lo largo del arco de circunferencia desde su punto de

equilibrio hasta su punto máximo de desplazamiento, por lo tanto:

𝐹 = −𝐾𝑥 ; 𝑆𝑖 𝑥 = 𝐿. 𝜃 ⟹ 𝐹 = −𝐾𝐿𝜃

En la figura se representan las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo en el instante

en que su elongación es 𝑥. Si elegimos dos ejes uno en dirección a la tangente de la trayectoria y

el otro en la del radio, y se descompone el peso en sus componentes según estos ejes, la fuerza

recuperadora es:

𝑊 = 𝑚𝑔 ⟹ 𝐹 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃

Por lo tanto, la fuerza recuperadora no es proporcional a 𝜃, si no a sin 𝜃, y en

consecuencia el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si el ángulo 𝜃 es pequeño, se

cumple que sin 𝜃 ≅ 𝜃, entonces:

𝐹 = −𝑚𝑔𝜃 = −𝑚𝑔𝑥

𝐿= −

𝑚𝑔

𝐿 𝑥

Otra ecuación que se utilizan para el estudio del péndulo simple es la de período:

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝐾= 2𝜋 √

𝑚

𝑚𝑔/𝐿= 2𝜋 √

𝐿

𝑔

Ejemplo:

1. Se tiene un péndulo de 2,5 𝑚 de longitud, oscilando con una amplitud de 30 𝑐𝑚. Calcular:

a. La velocidad del péndulo en el punto más bajo.

b. La aceleración en los extremos de la trayectoria.

En el punto más bajo del movimiento del péndulo, la velocidad es máxima y la elongación

es 𝑋 = 0. Primeramente calculemos el período:

𝑇 = 2𝜋 √𝐿

𝑔= 2 ∗ 𝜋 ∗ √

2,5 𝑚

9,8 𝑚 𝑠2⁄= 3,17 𝑠

Calculemos la frecuencia:

𝑓 =1

𝑇=

1

3,17 𝑠= 0,315 𝑠−1

Calculemos la velocidad cuando 𝑋 = 0:

𝑉 = ± 2𝜋𝑓 √𝐴2−𝑋2 = ± 2𝜋𝑓𝐴

𝑉 = ± 2 ∗ 𝜋 ∗ 0,315 𝑠−1 ∗ (30 𝑐𝑚 ∗1 𝑚

100 𝑐𝑚) = 1,88 𝑚

𝑠⁄

Calculemos la aceleración cuando 𝑋 = 0,30 𝑚:

𝑎 = −4 𝜋2 𝑓2 𝑋 = −4 ∗ 𝜋2 ∗ (0,315 𝑠−1)2 ∗ 0,30 𝑚 = −1,18 𝑚𝑠2⁄

2. Hallar la longitud de un péndulo simple cuyo período es de 1 seg y la gravedad es 9,81 𝑚/𝑠2.

Según la ecuación para el período, la longitud del péndulo es:

𝑇 = 2𝜋 √𝐿

𝑔 ⟹

𝑔𝑇2

4𝜋2 = 𝐿

𝐿 = 9,81 𝑚/𝑠2. (1𝑠)2

4𝜋2= 0,25 𝑚

MOVIMIENTO ARMÓNICO DE ROTACIÓN

El movimiento armónico de rotación se produce cuando un cuerpo puede que puede girar

alrededor de un eje está sometido a un momento recuperador proporcional a la elongación

angular, contado a partir de su posición de equilibrio.

Este tipo de oscilación es muy análogo al del movimiento armónico simple (rectilíneo), y

las ecuaciones correspondientes pueden escribirse inmediatamente teniendo en cuenta las

analogías entre las magnitudes lineales y las angulares. El movimiento oscilatorio del balancín de

un reloj de bolsillo constituye un ejemplo de movimiento armónico de rotación.

Un momento recuperador proporcional a la elongación angular esta expresado por:

𝑀 = −𝐾´𝜃

El momento de inercia de un cuerpo que gira corresponde a la masa del cuerpo en el

movimiento rectilíneo. Por consiguiente, la fórmula del período en u movimiento armónico de

rotación es:

𝑇 = 2𝜋√𝐼

𝐾´ ; 𝐾´ =

𝑚𝑔

𝐿

La ecuación para la elongación, velocidad y aceleración angulares pueden obtenerse por

comparación con las ecuaciones del movimiento armónico simple.

PÉNDULO FÍSICO

Se denomina péndulo físico a cualquier péndulo real, o sea que, en contraste con el

péndulo simple, no tiene toda la masa concentrada en un punto. cuerpo rígido suspendido de un

eje fijo. La figura representa un cuerpo de forma irregular que puede girar, sin razonamiento,

alrededor de un eje horizontal, y que se halla separado en un ángulo ɵ de su posición de

equilibrio. La distancia del eje al centro de gravedad es L , el momento de inercia del péndulo

respecto al eje de rotación es 𝑰 y la masa del péndulo m.

El momento recuperador en la posición representada en la figura es:

𝑀 = −𝑚𝑔𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Si 𝜃 es pequeño, podemos reemplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃, y queda:

𝑀 = −𝑚𝑔𝐿𝜃

Por tanto, el péndulo está sometido a un par recuperador elástico, con una constante

𝐾′ = 𝑚𝑔𝐿. El período de oscilación es, por consiguiente:

𝑇 = 2𝜋 √𝐼

𝐾´ = 2𝜋 √

𝐼

𝑚𝑔𝑙

Momento de Inercia

ɵ

ɵ

mg sen ɵ

W = mg

eg

𝐼 = ∑ 𝑚𝑑2

Momentos de Inercia cuerpos:

Barra delgada, el eje pasa por el centro: 𝐼 = 1

12 𝑀 𝐿2

Barra delgada, el eje pasa por un extremo: 𝐼 = 1

3 𝑀 𝐿2

Anillo Cilíndrico: 𝐼 = 1

2 𝑀 (𝑅1

2+𝑅22)

Cilindro Macizo: 𝐼 = 1

2 𝑀 𝑅2

Tubo cilíndrico de paredes delgadas: 𝐼 = 𝑀 𝑅2

Esfera Maciza: 𝐼 = 2

3 𝑀 𝑅2

Ejemplo:

1. Supongamos que el cuerpo de la figura sea una varilla de 2 𝐾𝑔 y de 1 𝑚 que puede girar

alrededor de su punto extremo. Calcular el Período y el momento de inercia:

Se sabe que:

R1

R2

1m

𝐼 =1

3𝑚𝐿2 ; 𝑙 =

𝐿

2

𝑇 = 2𝜋 √𝐼

𝑚𝑔𝑙= 2𝜋 √

𝑚𝐿2

3𝑚𝑔𝐿

2

= 2𝜋 √

13 . 1𝑚

9,8𝑚/𝑠2

2

= 1,64 𝑠

Para el cálculo de la inercia:

𝑇 = 2𝜋 √𝐼

𝑚𝑔𝑙⇒ 𝐼 =

𝑇2𝑚𝑔𝑙

4𝜋2=

𝑇2𝑚𝑔𝐿

8𝜋2

𝐼 =(1,64 𝑠)2 ∗ 2 𝐾𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠2⁄ ∗ 1 𝑚

8 ∗ 𝜋2= 0,668 𝐾𝑔. 𝑚2