Ley de elasticidad de Hooke

La ley de Hooke: la fuerza es proporcional a la extensión

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo :

siendo   el alargamiento,   la longitud original,  : módulo de Young,   la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Ley de Hooke para los resortes

La ley de Hooke describe cuánto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación

del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza   ejercida por el resorte con la elongación o

alargamiento   provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:

Donde:

   se llama constante elástica del resorte

   es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica   asociada al estiramiento del resorte

viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la   antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución.

Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y

estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando   por la longitud total, y

llamando al producto   o   intrínseca, se tiene:

Llamaremos   a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus

extremos que tomamos como origen de coordenadas,   a la constante de un pequeño trozo de

muelle de longitud   a la misma distancia y   al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud

de la aplicación de la fuerza  . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo  , se obtiene como ecuación de

onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad

de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Ley de Hooke en sólidos elásticos[editar]

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más

complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje. Ladeformación en el caso

más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos

internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores

están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke

generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que

caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma

general:

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se

involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación   es una cantidad adimensional, el módulo   se expresa en las

mismas unidades que el esfuerzo   (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el

que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad

de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en

ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil

determinar con precisión el valor del esfuerzo   para el que la similitud entre   y   deje de ser

lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá

a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de

materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a

la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

Caso unidimensional[editar]

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones

perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar  , 

,   y la ecuación anterior se reduce a:

donde   es el módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo[editar]

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además

del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson ( ). Por otro lado, las

ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas

del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Caso tridimensional ortótropo[editar]

El comportamiento elástico de un material ortotrópico queda caracterizado por nueve

constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal  , 3

módulos de rigidez   y 3 coeficientes de Poisson  .

De hecho para un material ortotrópico la relación entre las componentes del tensor

tensióny las componentes del tensor deformación viene dada por:

Donde: 

Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que

gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es

posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y

viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las

tensiones toman una forma algo más complicada:

Donde:

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es simétrica

ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que:

Un caso particular de materiales ortótropos son los materiales

transversalmente isótropos lineales en los que solo hace falta especificar

cinco constantes elásticas:  , donde   se refiere a las

direcciones transversales a la dirección que se llama longitudinal.

Aplicaciones fuera del campo de la ingeniería[editar]

Rebotar: La ley de Hooke la utilizan practicantes de puenting, la cuál

les indica cuánto se estirará la cuerda, al experimentar la fuerza de su

peso cuando caen al vacío.

EJERCIVCIOS

Si aplicamos a un muelle una fuerza de 140 N, este alcanza una longitud de 15 cm. Si por el

contrario aplicamos una fuerza de 20 N, su longitud pasa a ser de 10 cm. Calcula la longitud que

tiene el muelle en reposo y su constante elástica.

Solución

Da

tos

Ca

so

1

F1 

=

14

0

N

y1 

=

15

cm

=

0.

15

m

Ca

so

2

F2 

=

10

0

N

y2 

=

10

cm

=

0.

1

m

Resolución

Aplicando la expresión de la ley de Hooke para los dos casos que se exponen en el

problema, podemos ver que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos

incognitas, donde las incognitas son precisamente los datos que nos piden en el

problema: la constante elástica (k) y lo que mide el muelle en reposo (y).

F1=k⋅(y1−y0)F2=k⋅(y2−y0)}⇒140 =k⋅(0.15 −y0)20 =k⋅(0.1 −y0)}⇒y0⋅k=0.15⋅k−140y0⋅k=0.1⋅k−20}⇒0.15⋅k−140 = 0.1⋅k

−20 ⇒k=2400 N/my0=0.091 m⎫⎭⎬

k

=

?

y0 

=?

Ley de Hooke

 

 

En la Física no sólo hay que observar y describir los fenómenos naturales, aplicaciones tecnológicas o propiedades de los cuerpos sino que hay explicarlos mediante leyes Físicas. Esa ley indica la relación entre las magnitudes que intervienen en el Fenómeno físico mediante un análisis cualitativo y cuantitativo. Con la valiosa ayuda de las Matemáticas se realiza la formulación y se expresa mediante ecuaciones, entregando como resultado una Ley. Por ejemplo, la Ley de Hooke establece que el límite de la tensión elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas, trabajo, fuerzas conservativas y energía de Resortes. Los resortes son un modelo bastante interesante en la interpretación de la teoría de la elasticidad.

Elasticidad y resortes

La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en el momento de establecerse contacto entre dos cuerpos. La vida diaria está llena de fuerzas de contacto como por ejemplo cuerdas, resortes, objetos apoyados en superficies, estructuras, etc. En todos los cuerpos sólidos existen fuerzas contrarias de atracción y repulsión, pero entre las propiedades más importantes de los materiales están sus características elásticas .Si un cuerpo después de ser deformado por una fuerza, vuelve a su forma o tamaño original cuando deja de actuar la fuerza deformadora se dice  que es un cuerpo elástico . Las fuerzas elásticas reaccionan contra la fuerza deformadora para mantener estable la estructura molecular del sólido.

Ley de Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande”

Fue Robert Hooke (1635-1703), físico-matemático, químico y astrónomo inglés, quien primero demostró el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de un cuerpo. Hooke estudió los efectos producidos por las fuerzas de tensión, observó que había un aumento de la longitud del cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.

Hooke estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida. Para una deformación unidimensional, la Ley de Hooke se puede expresar matemáticamente así:

 = -k 

K es la constante de proporcionalidad o de elasticidad.  es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del

estado que no tiene deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio.

 es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido

contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación. Las unidades son: Newton/metro (New/m) – Libras/pies (Lb/p).

Si el sólido se deforma mas allá de un cierto punto, el cuerpo no volverá a su tamaño o forma original, entonces se dice que ha adquirido una deformación permanente.

La fuerza más pequeña que produce deformación se llama límite de elasticidad .El límite de elasticidad es la máxima longitud que puede alargarse un cuerpo elástico sin que pierda sus características originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se pueden especificar mediante una función de energía potencial, porque las fuerzas dependen de muchos factores entre ellos el tipo de material.

Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de elasticidad no es aplicable laLey de Hooke. Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea suficientemente pequeña, esto es, mientras la deformación no exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son idénticas a las de los osciladores armónicos.

Modulo de elasticidadLa relación entre cada uno de los tres

tipos de esfuerzo (tensor-normal-tangencial) y sus correspondientes deformaciones desempeña una función importante en la rama de la física denominada teoría de elasticidad o su equivalente de ingeniería, resistencias de materiales. Si se dibuja una gráfica del esfuerzo en función de la correspondiente deformación, se encuentra que el diagrama resultante esfuerzo-deformación presenta formas diferentes dependiendo del tipo de material. 

En la primera parte de la curva el esfuerzo y la deformación son proporcionales hasta alcanzar el punto H , que es el límite de proporcionalidad . El hecho de que haya una región en la que el esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina Ley de Hooke.De H a E , el esfuerzo y la deformación son proporcionales; no obstante, si se suprime el esfuerzo en cualquier punto situado entre O y E, la curva recorrerá el itinerario inverso y el material recuperará su longitud inicial.

En la región OE , se dice que el material es elástico o que presenta comportamiento elástico, y el punto E se denomina límite de elasticidad o punto cedente. Hasta alcanzar este punto, las fuerzas ejercidas por el material son conservativas; cuando el material vuelve a su forma original, se recupera el trabajo realizado en la producción de la deformación. Se dice que la deformación es reversible.

Si se sigue cargando el material, la deformación aumenta rápidamente, pero si se suprime la carga en cualquier punto más allá de E , por ejemplo C , el material no recupera su longitud inicial. El objeto pierde sus características de cohesión molecular. La longitud que corresponde a esfuerzo nulo es ahora mayor que la longitud inicial, y se dice que el material presenta unadeformación permanente . Al aumentar la carga más allá de C , se produce gran aumento de la deformación (incluso si disminuye el esfuerzo) hasta alcanzar el punto R , donde se produce la fractura o ruptura. Desde E hasta R , se dice que el metal sufre deformación plástica .

Una deformación plástica es irreversible. Si la deformación plástica entre el límite de elasticidad y el punto de fractura es grande, el metal es dúctil. Sin embargo, si la fractura tiene lugar después del límite de elasticidad, el metal se denomina quebradizo.

La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones, que involucran solo la parte lineal del diagrama esfuerzo-deformación, donde el esfuerzo P es directamente proporcional a la deformación unitaria D y puede escribirse:P = Y.D. Donde Y es el módulo de elasticidad o módulo de Young.

ResortesEl resorte es un dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza. Los resortes se utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los resortes también se emplean para absorber impactos y reducir vibraciones, como en los resortes de ballestas (donde se apoyan los ejes de las ruedas) empleados en las suspensiones de automóvil. 

La forma de los resortes depende de su uso.En una báscula de resorte, por ejemplo, suele estar arrollado en forma de hélice, y su elongación (estiramiento) es proporcional a la fuerza aplicada. Estos resortes helicoidales reciben el nombre de muelles. Los resortes de relojes están arrollados en forma de espiral. Los resortes de ballesta están formados por un conjunto de láminas u hojas situadas una sobre otra.

Sistemas de resortesLos resortes se pueden configurar en sistemas en serie y paralelo.

Sistemas de resorte en serieCuando se dispone los resortes uno a continuación del otro.Para determinar la constante elástica

equivalente (keq) se define de la siguiente manera: 

Por ejemplo:Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / 2Para n resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / n.Si se coloca dos resortes diferentes en serie la constante de elasticidad equivalente del sistema es:

Sistema de resortes en paraleloCuando los resortes tienen un punto común de conexión.Para determinar la constante elástica equivalente ( keq) se define de la siguiente manera:

Por ejemplo:Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es; 2k.Para n resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: n kPara dos resortes diferentes en paralelos la constante de elasticidad del sistema es:

k = k1 + k2

Ley de fuerzas de resortes

La ley de fuerza para el resorte es la Ley de Hooke.Conforme el resorte está estirado (o comprimido) cada vez más, la fuerza de restauración del resorte se hace más grande y es necesario aplicar una fuerza mayor. Se encuentra que la fuerza aplicada F es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto se puede expresar en forma de una ecuación.

O con X 0 = 0 , F = kX

Como se puede ver la fuerza varía con X. Esto se expresa diciendo que la fuerza es una función de la posición. La k en esta ecuación es una constante de

proporcionalidad y comúnmente se llama la constante del resorte o de la fuerza restauradora . Mientras mayor sea el valor de k, más rígido o fuerte será el resorte .

La anterior relación se mantiene sólo para los resortes ideales . Los resortes verdaderos se aproximan a esta relación lineal entre fuerza y desplazamiento, dentro de ciertos límites. Por ejemplo, si un resorte se estira más allá de un cierto punto, llamado el límite de elasticidad , se puede deformar y F = kX no se aplica más.

Un resorte ejerce una fuerza ( Fs) igual y opuesta

Fs = - k XFs = -k (X - X 0)

El signo menos indica que la fuerza del resorte está en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o se comprime. Esta ecuación es una forma de lo que se conoce como Ley de Hooke .

La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte que se ha estirado desde su posición de reposo (X 0) a una posición X. La posición de referencia X 0 para el cambio en la longitud de un resorte es arbitraria. La magnitud importante es la diferencia del desplazamiento o el cambio neto en la longitud del resorte.También dado que el desplazamiento tiene posición vertical, las X con frecuencia se reemplazan por Y. Los resortes dan lugar al Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Ejemplo:Ley de fuerza de ResortesUna masa de 0,30 Kg está suspendida de un resorte vertical y desciende a una distancia de 4,6 cm después de la cual cuelga en reposo. Luego se suspende una masa adicional de 0,50 Kg de la primera. ¿Cuál es la extensión total del resorte?Datos:

m1= 0,30 Kg m2= 0,50 KgX1= 4,6 cm = 0,046 m

g = 9,8 m/seg2X = ? (Longitud de alargamiento

total)

Solución:La distancia de alargamiento o estiramiento total está dada por F = kXDonde F es la fuerza aplicada, en este caso el peso de la masa suspendida sobre el resorte 

F1 = m1. g =kX1 k = 63,9 New / m

Conociendo k, la extensión total del resorte se encuentra a partir de la situación de la fuerza equilibrada: 

F = (m1 + m2).g = kX

Así:

X = (0,30 kg + 0,50 Kg) . 9,8 m / seg2 / 63,9 New / mX = 0,12 m = 12 cm.

Trabajo realizado por resortesEl trabajo también lo puede realizar una fuerza que varía en magnitud o dirección durante el desplazamiento del cuerpo sobre el que actúa. Un ejemplo de una fuerza variable que hace un trabajo es un resorte. Así cuando se tira lentamente de un resorte, la fuerza necesaria para estirarlo aumenta gradualmente a medida que el resorte se alarga. Considere una masa m ligada horizontalmente a un resorte. Al aplicar una fuerza   sobre la masa, a fin de estirar el resorte, se logra que la masam se desplace respecto a la posición X0 que ocupaba inicialmente.

Si se realiza este movimiento con velocidad constante, es evidente que la masa no gana energía cinética, y si el movimiento se realiza horizontalmente tampoco gana energía potencial gravitatoria. ¿En qué tipo de energía se ha convertido el trabajo realizado sobre la masa al desplazarla?

La fuerza ejercida según la Ley de Hooke es :

 = - k

Se calcula el área bajo la curva para una compresión X, y esta área corresponde a la medida de la energía transferida cuando se empuja el resorte, y por lo tanto igual al trabajo realizado cuyo valor es numéricamente igual al área del triángulo.

O simplemente la pendiente de la gráfica es k.  se incrementa uniformemente conX. La fuerza promedio (  prom) es:

   Si  

Así el trabajo realizado al estirar o comprimir el resorte es:

El trabajo realizado es :

El trabajo de estirar un resorte de la posición X1 a X2 es:

Fuerza conservativas de resortesLa Ley de Hooke representa una fuerza conservativa de característica variable.Cuando un objeto unido a un resorte se mueve desde un valor de alargamiento del resorte a cualquier otro, el trabajo de la fuerza elástica es también independiente de la trayectoria e igual a la diferencia entre los valores final e inicial de una función denominadaenergía potencial elástica. Si únicamente actúa sobre el objeto la fuerza elástica, se conserva la suma de las energías cinética y potencial elástica; por tanto, la fuerza elástica es una fuerza conservativa.

Si se toma un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si se impulsa al bloque, este se dirigirá hacia el resorte con una velocidad constante   (considerando que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula). Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el movimiento de este cuerpo proviene del resorte. A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad (y energía cinética) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de Hooke se puede calcular la compresión que se produce.

Después de esto el bloque invierte el sentido de su movimiento y, con igual

dirección, va ganando velocidad a medida que el resorte vuelve a su longitud original; en ese momento el bloque tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tenía antes de comprimir el resorte.

El bloque pierde energía cinética durante una parte de su movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida. Hay que recordar que la variación de la energía cinética indica que existe trabajo mecánico; es claro que, al término de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; ha sido conservada. La fuerza elástica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la misma manera, se les denomina fuerzas conservativas. Las fuerzas que no son conservativas se le denominan disipativas.

La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas

Se puede definir una fuerza conservativa desde otro punto de vista, el del trabajo hecho por la fuerza. Si no hay cambio en la energía cinética de un cuerpo, el trabajo hecho sobre él debe ser cero si la trayectoria es cerrada. T =  Ec = 0.

La fuerza del resorte debe ser conservativa porque el trabajo efectuado a lo largo de cualquier trayectoria siempre es igual.

Energía potencial de ResortesLa energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por:

 (Energía potencial elástica)Esto es igual al trabajo hecho por el resorte.

Energía cinética de ResortesLa energía Cinética de un

cuerpo es igual al trabajo que puede hacer antes de quedar en reposo. Una masa m que oscila en un resorte tiene energía cinética

( Ec). 

Así las energías cinéticas y potencial juntas dan la energía mecánica total del sistema

Luego del análisis a un resorte que se comprime una distancia X 0. Durante un período o ciclo, la masa pasa por X = 0, llega un estiramiento X = X 0 y regresa a X= - X0. Al moverse la masa varían las energías cinética y potencial asociados con el sistema masa-resorte. Esas energías están en una relación inversamente proporcional. Una aumenta al disminuir la otra.

En resumen la Ley de Hooke es la base de todos los fenómenos elásticos, en particular de los resortes. Las observaciones de Robert Hooke permanecen ciertas y todavía proveen los fundamentos de la ciencia de la elasticidad moderna.