DERIVADAS PARCIALES, DERIVADA PARCIAL TOTAL Y DERIVADA PARCIAL DE FUNCIONES COMPUESTAS. Moreta Caiza Henry Alexise-mail: hamc_619@hotmail.com

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RESUMEN: Este trabajo est elaborado con la finalidad de dar a conocer y entender con facilidad lo que son las derivas parciales, la derivada parcial total y la derivada parcial de funciones compuestas para lo cual nos hemos basados en un serie de investigaciones tanto en libros como en pginas web, y as de esta manera poder reforzar y adquirir nuevos conocimientos sobre los temas tratados. As podemos deducir fcilmente que el clculo efectivo de una derivada parcial con respecto a una variable es idntico al de las derivadas ordinarias, sin ms que considerar el resto de las variables involucradas como constantes.PALABRAS CLAVES: Derivada.- En una funcin, lmite hacia el cual tiende la razn entre el incremento de la funcin y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero. Variable.- Que est sujeta a cambios frecuentes o probables. Constante.- Que no se interrumpe y persiste en el estado en que se encuentra, sin variar su intensidad.ABSTRACT: This work is made in order to make known and easily understand what they are partial aberrations, the total partial derivative and the partial derivative of composite functions for which we have based on a series of investigations both in books and pages web, and so in this way to strengthen and acquire new knowledge of the issues. Thus we can easily deduce that the actual calculation of a partial derivative with respect to a variable is identical to ordinary derivatives, without further considering the rest of the involved variables as constants.KEYWORDS: Derived. - In a function, which tends to limit the ratio of the increase in the role and for the variable when the increase goes to zero. Variable -. Which is subject to frequent or likely changes. Constant. - Which is not interrupted and remains in the state it is, without changing its intensity.INTRODUCCIONEste trabajo contiene una serie de frmulas y graficas que ayudaran a entender con mayor facilidad lo que son las derivadas parciales, la derivada parcial total y la derivada parcial de funciones compuestas, as como tambin varios ejemplos de cada tema para aportar con conocimientos prcticos a los estudiantes.

MARCO TEORICO:1. DERIVADA PARCIALUnaderivada parcialde unafuncinde diversas variables, es suderivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial.La derivada parcial de una funcinfrespecto a la variablexse representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes: (1)

(2)Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.Cuando una magnitud es funcin de diversasvariables(,,,), es decir:Al realizar esta derivada obtenemos la expresin que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha funcinen un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.Analticamente elgradientede una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que se elija. Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variacin en la funcin.Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivacin parcial

1.1 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES.Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como. (3)(4) siempre y cuando el lmite exista. Observacin.- La definicin indica que para calcular f / x se considera y constante derivando con respecto a x y para calcular f / y se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas usuales de derivacin.

1.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALESSi y = y0 entonces z = f(x, y0) representa la curva interseccin de la supercie z = f(x, y) con el plano y = y0. Por tanto (5)Anlogamente, f(x0, y) es la curva interseccin de

(6)

y entonces (7) Diremos que los valores f / x(x0, y0), f / y (x0, y0) denotan las pendientes de la supercie en las direcciones de x e y, respectivamente.Las derivadas parciales fy (a, b) yfy(a, b) pueden interpretarse geomtricamente.

Figura 1: derivada parcial enPrespecto a x

Figura 2: derivada parcial enPrespecto a y1.3 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras derivadas parciales de una funcin de varias variables, siempre que tales derivadas exista.Por ejemplo la funcin z = f(x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden: (8)

Las derivadas parciales pueden tambin ser vistas como razones de cambio. Siz = f(x, y), entonces fxrepresenta la razn de cambio dez con respecto ax, cuandoy permanece fija. De manera semejante,fy representa la razn de cambio dezcon respecto ay, cuandoxpermanece fija.EJEMPLO 1:Halle las segundas derivadas parciales de

Observemos queydeben de ser iguales en sus resultados, eso nos indicara que estamos bien en las respuestas, si no son iguales, tendramos que ver en que paso cometimos el error y corregirlo.EJEMPLO 2:Demostrar que la funcines solucin de la ecuacin.

Para saber si la funcin es solucin, tenemos que llegar a una igualdad luego de haber determinado las dos partes de la ecuacin.

Empezaremos con la primera parte de la ecuacin:Esta notacin nos dice "derive tres veces la funcin con respecto de x", entonces derivamos

=, hemos llegado a este resultado tomandocomo una constante, luego se sigue derivando este resultado con respecto a x dos veces ms y obtenemos que:=(primer trmino del lado izquierdo)

(segundo trmino del lado izquierdo) Ahora nos vamos a la segunda parte de la ecuacin y encontramos que:, esta notacin nos dice "derive z con respecto de x una vez (hacemos "y" una constante) y luego derive el resultado dos veces con respecto de "y" (hacemos x constante).

, "derive z dos veces con respecto de "x" y el resultado derivelo una vez con respecto de "y"Luego de haber encontrado las derivadas, las sustituimos en la ecuacin diferencial:Podemos ver que es una tautologa, por lo tanto,si es solucin.

EJEMPLO 3:Demostrar quesiendoSon iguales

2. DERIVADA PARCIAL TOTAL La derivada parcial total viene de derivar una funcin f que tiene variables (x, y, z) que dependen de otras variables x = x(t), y = y(t), z = z(t). En ese caso, se puede derivar la funcin respecto a t, y se obtiene que:Derivada de una funcin continua, de dos o ms variables, con respecto a un solo parmetro, que se puede expresar en trminos de una serie de derivadas parciales. (9)

Donde x' es la derivada respecto a t de x al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notacin de derivada total de la parcial cuando se deriva una funcin del tipo f ( t, x, x)que es fundamental para el clculo de variaciones, donde aqu la variable x depende del tiempo (10)Entonces derivar respecto al tiempo queda

(11)EJEMPLO 1: Hallar la diferencial total de z= 3x2 + xy - 2y3

Para poder encontrar la derivada total, primeramente necesitamos obtener la derivada parcial de z con respecto a la variable x.

dz /dx = 6x +yAhora encontraremos la derivada parcial de z con respecto a y, es decir,dz / dy = x - 6y2Una vez obtenidas las derivadas podemos formar nuestra diferencial total quedando expresada de la siguiente forma:dz = (6x + y)dx + (x - 6y2)dy

EJEMPLO 2: Un ejemplo algo ms complejo y ms ilustrativo podra ser en ese caso, la derivada total es:

EJEMPLO 3:Plano tangente a z = x2 + y2 en el punto (2, 2, 8). Calculamos las derivadas parciales de primer orden:zx = 2x, zy = 2y

Particularizando al punto (2; 2), resultazx (2, 2) = zy (2, 2) = 4Por tanto, la ecuacin del plano tangente viene dada por z = 8 + 4(x - 2) + 4(y - 2), que se reduce a z = 4x + 4y - 8.

3. DERIVADA PARCIAL DE FUNCIONES COMPUESTAS.Para derivar funciones compuestas en una sola variable se utiliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de ms de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciacin de la composicin de funciones para diferentes casos.Sean las funciones f(x) = x2, g(x) = sen(x) La funcin f lo que hace es calcular el cuadrado f(1)=12=1, f(2)=22=4, etc. por tantof(sen(x)) = sen2(x) = f(g(x)) = (fog)(x)es una funcin compuesta de g y de f que expresamos por fogLa interpretacin defogaplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendramos un valor de pasoz=g(x)=sen(x)y despus aplicamos f a z para obtenery=f(z)=z2=sen2(x)Recordar:(fog)(x)=f(g(x))

REGLA DE LA CADENASi pretendemos calcular la derivada de esta funcin a partir del conocimiento que tenemos de las funciones elementales vistas anteriormente procedamos de la siguiente forma:

(12)

lo que significa, que si variamos x una cantidad h, obtenemos una variacin g(x+h)-g(x) de la funcin g, a su vez como la funcin f depende de g, esta variacin de g produce una variacin en f: f(g(x+h)-f(g(x))La tasa de variacin media de g(x) respecto de la variacin de x es (13)a la vez que la tasa de variacin media de f(g(x)) respecto de la variacin de g(x) es (14)si pasamos al lmite cuando x tiende a 0, tambin g(x+h)-g(x) tender a 0 por ser derivable (y por tanto continua) de lo que se deduce la siguiente regla de derivacin de la funcin compuesta:Dx[f(g(x))] = Dg[f(g(x)]Dx[g(x)]Este resultado se conoce como regla de la cadena donde la funcin g(x) hace de variable intermedia o de paso para derivar la funcin compuesta fog respecto de la variable independiente x, que podemos expresar as:"La derivada de (fog)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (fog) respecto de g, por la derivada de g respecto de x".EJEMPLO 1:f(x) = sen (x2) Es una funcin compuesta de la funcin potencial g(x)=x2y una trigonomtrica f (g) = sen(g)Por tantoDx [sen(x2)] = Dg [sen (g)] Dx [g(x)] = cos (g)2x = cos(x2)2x = 2xcos(x2)EJEMPLO 2: f(x) = sen2(x) Es una funcin compuesta de una trigonomtrica g(x) = sen (x) y de una potencial f(g)=g2Por tantoDx [sen2(x)] = Dg[g2] Dx [g(x)] = 2gcos x = 2sen(x)cos (x)EJEMPLO 3:Dada la funcindonde Hallacuandot=0Solucin:Tenemos:

Parat=0resultax=0ey=1con lo cual

CONCLUCIONES: Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivacin parcial. A las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras derivadas parciales de una funcin de varias variables, siempre que tales derivadas exista. Las derivadas parciales pueden tambin ser vistas como razones de cambio. Derivada de una funcin continua, de dos o ms variables, con respecto a un solo parmetro, que se puede expresar en trminos de una serie de derivadas parciales. Para derivar funciones compuestas en una sola variable se utiliza la regla de la cadena.

RECOMENDACIONES: Saber utilizar correctamente todas las formulas y modos para la resolucin de ejercicios. Conocer los diferentes mtodos para la resolucin de ejercicios de cada tema tratado. En clase reforzar los temas para as los estudiantes aclaren todas sus interrogantes. Investigar ms a fondo todo lo referente a las derivas.

BIBLIOGRAFIA: http://www.cartagena99.com/recursos/matematicas/apuntes/derivadas_parcialesyDireccionales.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total#Derivada_total http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node2.html http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Apuntes/Tema3.article.pdf https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20101216113014AAK1WHN http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/t/totalderivative.htm http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_5.html http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_parciales#Ejemplo_.23_1 http://www.ecured.cu/index.php/Derivaci%C3%B3n_de_funciones_compuestas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_derivada/derivada_3.htm