1. CONTROLDE SISTEMAS DISCRETOS

2. CONTROL DE SISTEMASDISCRETOS Osear ReinosoUniversidad Miguel Hemndez Jos Mara Sebastin y ZigaRafael Aracil SantojaUniversidad Politcnica de Madrid Fernando Torres MedinaUniversidad de AlicanteMADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICONUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO. SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARs SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR STo LOUIS TOKIO TORONTO 3. , PROLOGOEl control automtico de sistemas es actualmente una tecnologa imprescindible en una amplia varie-dad de procesos cotidianos, con especial importancia en el mundo industrial. Si inicialmente dichocontrol se realizaba mediante los ya clsicos bucles de control analgicos, el espectacular desarrollode los computadores y dems sistemas digitales basados en ficroprocesadores, acaecido durantelos ltimos treinta aos, ha propiciado su masiva utilizacin en tareas de controL Dichos compu-tadores penniten no slo resolver satisfactoriamente los problemas especficos de regulacin, enalgunas ocasiones con un alto grado de complejidad, sino que posibilitan adems una amplia gamade funciones de supervisin y tratamiento de datos con un reducido coste adicional.Por tales motivos, los sistemas discretos de control fonnan parte fundamental del plan de estudios denumerosas escuelas de ingeniera de primer y segundo ciclo, as como de las facultades de ciencias.Normalmente, se estructura como un segundo curso de control, en el que se parte de los conoci-mientos previos aportados por el estudio de la teora de sistemas y seales, as como del control desistemas continuos. Este libro est escrito de acuerdo con el contenido de dicho segundo curso yrecoge una amplia variedad de problemas de complejidad creciente. Se ha procurado que los enun-ciados recojan un extenso abanico de situaciones que incluye tanto modelos tericos como sistemasreales, habiendo sido validada su resolucin mediante un software de simulacin.Desde el punto de vista educativo, es necesario destacar el primordial papel que ocupa la resolu-cin de problemas en la enseanza de materias cientficas y tcnicas. A lo largo de su resolucin, elalumno contrasta no slo el resultado final, sino tambin los conceptos y metodologa empleada. Deaqu la importancia de la existencia de un texto con problemas resueltos que pennite, en una primeraetapa de] aprendizaje, comprender y afianzar Jos conceptos tericos aprendidos para, posteriormen-te, realizar los problemas propuestos y contrastar Jos resultados finales. Ambos aspectos han sidotenidos en cuenta a la hora de elaborar este texto por parte de los autores. Existen en la actualidad,en el campo del control de sistemas discretos, varios textos de prestigio enfocados fundamental-mente al desarrollo exhaustivo y preciso de toda la fundamentacin terica con sus consiguientesdemostraciones. Por ello, se ha considerado interesante introducir solamente en cada uno de los te-mas un resumen terico que sin nimo de ser un encuentro exhaustivo del lector con los contenidospuramente tericos y sus demostraciones, s que supone una gua que permite recordar los aspectosfundamentales para abordar con xito la resolucin de los problemas.El texto se ha dividido en trece captulos. Los tres primeros estn fundamentalmente orientados arecordar los conceptos matemticos en los que posterionnente se cimentarn los siguientes captulos.Es en el captulo primero el que aborda los conceptos de secuencias y sistemas discretos, permitiendoafianzar conceptos tales como respuesta de un sistema ante una secuencia de entrada, estabilidad deun sistema discreto y transformadas de Fourier y Laplace de una secuencia. La transfonnada Zes de especial importancia en Jos sistemas discretos, por lo que el segundo captulo se dedica ael1a, transfonnada Z de secuencias tipo, inversa, clculo, propiedades, etc. Ya en el captulo tres seplantean los conceptos de muestreo y reconstruccin de seales, planteando problemas en tomo alteorema de muestreo y al concepto de bloqueador y sus tipos.v 4. VI PRLOGOA continuacin, los captulos cuatro y cinco se dedican a los sistemas muestreados y la estabilidad delos sistemas discretos. Por primera vez aparece el concepto de realimentacin en el captulo cuarto,que versa tambin sobre sistema discreto equivalente y transfonnada Z modificada. La definiciny condiciones de estabilidad de sistemas discretos son tratadas en el quinto captulo a travs delcriterio de Jury.Los siguientes captulos estn dedicados al anlisis. En el seis se repasan las respuestas temporalesante secuencias impulso y escaln, as como el concepto de sistema reducido equivalente. Es elsptimo captulo e] destinado a estudiar e] comportamiento esttico de los sistemas realimentadosante realimentacin unitaria y no unitaria, errores y tipo de un sistema. El captulo ocho abarca elcomportamiento dinmico de los sistemas realimentados a travs de la tcnica del lugar de las races.Ya en el captulo noveno, se realiza el anlisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia, haciendouso del criterio de Nyquist.Los cuatro ltimos captulos estn destinados al diseo de reguladores. En el dcimo a travs de ladiscretizacin de reguladores continuos~ por mtodos basados en la aproximacin de la evolucintemporal o la discretizacin de reguladores, considerando aspectos tales como la saturacin en elactuador o la correcta eleccin del perodo de muestreo. En el siguiente captulo, el onceavo, seestudia la fonna de aadir polos y ceros a la funcin de transferencia en bucle abierto para modificarlos de bucle cerrado. Para ello, se emplea en este captulo como herramienta de diseo el lugar delas races. Ya en el captulo doce se aborda el diseo de reguladores algebraicos por el mtodo deasignacin de polos o por sntesis directa basada en el mtodo de Truxal. Finalmente, el ltimocaptulo est destinado al diseo de reguladores de tiempo de mnimo.Los autores desean mostrar su agradecimiento a todas las personas que de alguna u otra fonna hancolaborado en que este libro salga publicado. Sin el apoyo y las observaciones de otros profesorespertenecientes a la Universidad Miguel Hemndez de Elche, la Universidad Politcnica de Madridy la Universidad de Alicante este libro no tendra el rigor y ]a amplitud actual. Adems, muchosde los problemas seleccionados han sido puestos en comn con alumnos pertenecientes a dichasuniversidades, lo que sin duda ha permitido valorar cules de los problemas propuestos resultan msclarificadores para afianzar los conceptos del control de sistemas discretos.Confiamos en que los problemas seleccionados e incluidos en este libro sean de utilidad para loslectores que se embarcan en el estudio de los sistemas discretos. Asimismo, esperamos que, tras losprocesos de revisin llevados a cabo, los inevitables errores que siempre aparecen se hayan vistoreducidos al mnimo. Los autores 5. ~ Indice general@SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS 1 1. 1. Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada5 1.2. Estabilidad de un sistema discreto (1) . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Estabilidad de un sistema discreto (I1) . . . . . . . . . . . . .8 1.4. Convolucin discreta. Transfonnada de Fourier y de Lap]ace 9 1.5. Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Sistemas discretos: estudh? comparativo de la estabiJdad, ]a respuesta y ]a energa11 1.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.8. Problema propuesto . . . . .. ..... ".... 15 1.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.10. Problema propuesto 16 1.11. Problema propuesto 16 1.12. Problema propuesto 17() TRANSFORMADA Z19 2.1.Transfonnada Z de secuencias tipo . . . . . . . . . . . . . . .21 2.2.Transfonnada Z inversa de una secuencia . . . . .24 2.3.Funcin de transferencia de un sistema discreto... . 25 2.4.Anlisis de una fundicin . . . . . . . . . .. .. .28 2.5.Evolucin de la poblacin de ballenas . . ........ . 32 2.6.Explotacin de la madera en un bosque. . ... ,... .35 2.7.Evaluacin del stock en un almacn . . ........ . ...... . . 38 2.8.Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidad 4] 2.9.Problema propuesto . . . . . . . .. . . . . . . . . .48 2.10. Problema propuesto . . . . . . 48 2.1 ].Problema propuesto . . . . 49 2.12. Problema propuesto . . . . . . . . . . 49 2.13. Problema propuesto . . . . . . . . . 50 2.14. Problema propuesto 51 2.15. Problema propuesto 51 2. ] 6. Problema propuesto 52VII 6. VIII NDICE GENERAL3. MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALES53 3.1.Diversas configuraciones de sistemas . . . .. ...... . .59 3.2. Bloqueador, sistema continuo y muestreador . . .,. . . . . 60 3.3. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1) ..65 3.5. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (ll) . . . . .69 3.6. Existencia de funcin de transferencia 70 3.7. Problema propuesto 73 3.8.Problema propuesto74 3.9.Problema propuesto75 3.10. Problema propuesto764. SISTEMAS MUESTREADOS77 4.1.Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (1)80 4.2.Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (ll) . . 82 4.3.Funcin de transferencia en Z modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 4.4.Sistema depsito-computador 87 4.5.Influencia del captador en la funcin de transferencia de un sistema realimentado 91 4.6.Problema propuesto.......... .93 4.7.Problema propuesto. . . . . ..... . 94 4.8.Problema propuesto. . . .. ... .94 4.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.10. Problema propuesto..... 955. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 97 5.1.Criterio de Jury (1) . . . . . . . . . . . . 99 5.2.Criterio de Jury en) . . . . . . . . . . . . .101 5.3.Estabilidad en sistemas muestreados . . . . 102 5.4. Estabilidad en funcin del tiempo de clculo 105 5.5.Proceso de fabricacin .107 5.6.Problema propuesto109 5.7. Problema propuesto . . . . . 110 5.8.Problema propuesto . . . . .110 5.9.Problema propuesto111 5.10. Problema propuesto . . . . .1116. ANLISIS DINMICO DE SISTEMAS 113 6.1. Respuesta temporal de sistemas discretos ..119 6.2. Sistema reducido equivalente (1) . . . . 121 6.3. Sistema reducido equivalente (ll) . . . . .123 6.4. Criterio de Jury y respuesta temporal . . . .125 6.5. Identificacin de sistemas conociendo su respuesta. .129 6.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7. NDICE GENERAL IX 6.7.Problema propuesto 132 6.8.Problema propuesto 133 6.9. Problema propuesto133 6.10. Problema propuesto 1347. COMPORTAMIENTO ESTTICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS137 7.1.Error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2. Sistemas con dinmica en la realimentacin .. 141 7.3. Estabilidad y errores en rgimen pennanente . . 144 7.4.Sistema de control de un barco . . . . . . . . . 146 7.5.Comportamiento esttico en sistemas con realimentacin constante . 149 7.6.Errores y sistemas equivalentes de orden reducido151 7.7.Errores en un sistema multivariable. 155 7.8.Problema propuesto . . . . 158 7.9.Problema propuesto ]59 7.10. Problema propuesto 1598. COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS163 8.1. Comportamiento esttico y dinmico al variar un polo . . . . . . . . . .166 8.2. Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema con-tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3. Comportamiento de un sistema muestreado en funcin de la ganancia y del perodode muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.4. Comportamiento de un sistema muestreado en funcin del regulador y del perodode muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.5. Control de velocidad de un sistema fsico. .. .... .179 8.6. Problema propuesto. . . . . ...... .184 8.7. Prob1ema propuesto. . . . . . . . 184 8.8. Problema propuesto.................... .186 8.9. Problema propuesto1869. CRITERIO DE NYQUIST189 9.1.Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discreto .. 191 9.2.Criterio de Nyquist con un polo en el camino. . . . . ...193 9.3. Criterio de Nyquist con dos polos en el camino. . .. . . .195 9.4. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1) . . . . . . . . .199 9.5.Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11) ... .201 9.6.Problema propuesto. . . . .,. .206 9.7.Problema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . .207- 9.8.Problema propuesto . . . . . ." . . .. .. . 207 9.9. Problema propuesto . . . . . ...... . 208 9.10. Problema propuesto. . . . . . . .. . 210 8. x NDICE GENERAL@DlSCRETIZACIN DE REGULADORES CONTINUOS 213 10.1. Discretizacin de un regulador por diversos mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.2. Comparacin de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizando un regu- lador continuo y su equivalente discretizado . . . . . . . . . . . . . .222 10.3. Comparacin entre un regulador continuo y el equivalente discretizado 226 10.4. Comparacin mtodos de discretizacin y perodos de muestreo .. 231 10.5. Regulador I-PD . . . . . . . . . . . . . . ........ . 234 10.6. Saturaciones de la accin de control . . . . .238 10.7. Problema propuesto . . . . . ......... .242 10.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ... .243 10.9. Problema propuesto . . . . . . . . .. .......... .244~DlSEO DE REGUL~DORES DISCRETOS MEDIANTEVLUGAR DE LAS RAICES 247 11.1.Clculo de un regulador discreto para obtener un error de posicin nulo. 251 11.2.Diseo de un regulador discreto mediante lugar de las races. . . . . .254 11.3.Diseo de un regulador discreto en un sistema con seales retardadas . . . . . . . 257 11.4.Regulador discreto con captador variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.5.Control de un servomecanismo 269 11.6.Problema propuesto . . . . . . . . . 275 11.7.Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . 276 11.8.Problema propuesto . . . . . . 276 11.9.Problema propuesto .......... .277 11.10. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . 278(2:, DISEO DE REGULADORES ALGEBRAICOS281/ ,-.r 12.1. Diseo por asignacin de polos . . . 284 12.2. Diseo por sntesis directa (1) . . . . 287 12.3. Influencia de una falsa cancelacin . . . . . . . . . . 289 12.4. Diseo por sntesis directa (11) . . . .292 12.5. Sntesis directa con seal de salida conocida . . . . . 295 12.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297 12.7. Problema propuesto . . . . . . . . . .. ....298 12.8. Problema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . 299 12.9. Problema propuesto. . . . . . . . . . . ... 300~ISEO DE REGULADORES DE TIEMPO MNIMO 303 13.1.Anulacin del error ante entrada escaln . . . . . . 306 13.2.Reguladores discretos . . . . . . . . . . .309 13.3.Anlisis regulador tiempo mnimo . . . . . . . . . . . . 313 13.4.Regulador discreto con captador variable . . 315 13.5.Reguladores discretos segn especificaciones ..319 13.6.Regulador de tiempo mnimo con dinmica en la realimentacin 322 9. NDICE GENERAL XI13.7.Problema propuesto 32413.8.Problema propuesto 32513.9.Problema propuesto 32513.10. Problema propuesto 32613.11. Problema propuesto 32713.12. Problema propuesto 32813.13. Problema propuesto 329BIBLIOGRAFA331 10. ,Indice de figuras( 1.1.Sistema discreto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ) 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin. . . ..... 4 1.3.Respuesta impulsional del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9(I!:~:Secuencia de ponderacin {9k} del sistema y entrada considerada{Uk}. 9Secuencia de ponderacin {9k} y entrada del sistema {Uk}. .. .....161.6.Sistema discreto.. . . . . . .172.1.Mtodo de la divisin larga. . .252.2.Funcionamiento de una fundicin. . . . . . .292.3.Diagrama de bloques de la fundicin. . . . . . . . . .302.4.Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibrio.342.5.Toneladas de madera ante una disminucin de un 10 % en la cantidad talada: (a)toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372.6.Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a)toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . ....... . . . .382.7.Diagrama de bloques stock/ventas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 402.8.Evolucin del stock tras la variacin de las ventas. . . . . . . . . . . . .412.9.Diagrama de bloques general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 442.10. Diagrama de bloques P(z)/TN N(z). . . . . . . . . . . . .. . .. 442.11. Diagrama de bloques P(z) / I(z). . . . . . . . . . . . . . . . . .. 442.12. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerandonicamente la accin de la industrializacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..462.13. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerandonicamente la accin de T N N. . . . . . . . . . . . . . . .472.14. Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones .. 472.15. Seal de salida. . . . . . . . . . . . ...... . 483.1.Muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.2.Mdulo de la transfonnada de Fourier de una seal continua. . . . . 543.3.Mdulo de la transfonnada de Fourier de una secuencia. . . . . . .543.4.Sistema hbrido. . . . . . . . . . . . . . . o. 553.5.Bloqueador............. 563.6.Conjunto muestreador-bloqueador.56 XIII 11. XIVNDICE DE FIGURAS3.7. Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. . ..573.8. Bloqueador de orden cero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 573.9. Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo yen el dominio de la frecuencia IHo(w)l, (T == 71"). . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 583.10.Bloqueador de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.11.Opciones de interconectar en serie los tres bloques. . . . . . . . . .613.12.Seales de los sistemas vlidos: caso 1 (a), caso 4 (b) Y caso 5 (e). 623.13.Sistema propuesto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.14.Transformada de Fourier de la seal de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 633.15.Transfonnada de Fourier a la salida del muestreador. . . . . . . . . .. . .. .643.16.Transfonnada de Fourier de la seal de entrada UB(W) al sistema continuo G(w).643.17.Respuesta en frecuencia de G(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.18.Mdu]o de ]a respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo. . . . . . .653.19.Salida del sistema ante la entrada propuesta. . .. .663.20.Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . .663.21.Seal x(t) en funcin del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 673.22.Muestreo de la seal x(t) con perodo T = 1,5 segundos. 673.23.Representacin grfica de y(t).. .... . 683.24.Muestreo de la seal u( t). . .. ... .693.25.Diagrama de bloques inicial. . . . . . . . . . .713.26.Sistema propuesto. . . . . . . . .743.27.Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador.754.1. Sistema muestreado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Estudio de sistemas muestreados con las tcnicas de los sistemas discretos .. 784.3. Transfonnada Z modificada. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Sistema realimentado. . . . . . . . . 804.5. Diagrama de bloques entrada/salida. 814.6. Elemento a aadir a la salida. . . . . .814.7. Diagrama de bloques correspondiente a la ecuacin 4.19. 834.8. Esquema tradicional de un diagrama de bloques realimentado. 844.9. Esquema de realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.10.Control de caudal de un depsito mediante un computador.884. l l.Diagrama simplificado del sistema propuesto.904.12.Diagrama de bloques de la parte continua. . . . . . 904.13.Esquema de realimentacin ..924.14.Sistema propuesto.. . . . . . . 944.15.Sistema propuesto ... 944. 16. Sistema propuesto ..954.17.Sistema propuesto.. . . 955.1. Diagrama de bloques considerado.99 12. NDICE DE FIGURAS xv5.2.Diagrama de bloques considerado.1015.3.Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1025.4.Seal de salida w(t) tras el bloqueador y el bloque constante de ganancia 3.1045.5.Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . .1065.6.Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin.1075.7. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . 1085.8.Sistema propuesto... .1105.9. Sistema propuesto... . l lO5.10. Sistema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115.11. Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .JII6.1.Respuesta impulsional de un sistema de pnmer orden para diferentes valores de laposicin del polo (O < a < 1; a> l;a < -1; -1 < a < O) . . . . . . . . . . . .1166.2.Respuesta ante escaln unitario de un sistema estable de primer orden (O < a < 1;-1 < a < O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1176.3.Parmetros en un sistema de segundo orden. . . . . . . . . . . .1176.4.Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . . . . 1186.5.Respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada escaln.1196.6.Respuesta de un sistema de primer orden estable ante seal de entrada escalncuando a > O y cuando a < O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1216.7.Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de primer orden G 1 (z) y G 2 (z ).1226.8.Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de segundo orden G 3 {z), G 4 {z)y G 5 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1226.9.Respuesta ante entrada escaln para el sistema G (z) y para Gred (z). . 1246.10. Respuesta ante escaln para el sistema G(z) y para el sistema Gred{z). . . . .1256.1 ] . Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1256.12. Respuesta ante escaln del sistema equivalente de orden reducido Mred (z). .1286.13. Respuesta ante escaln para el sistema M{z) y para el sistema Mred (z). . . . . . 1296.14. Diagrama de bloques considerado.1296.15. Seales de salida {Xk} e {Yk}.1306.16. Sistema propuesto.. . . 1326.17. Sistema propuesto.. . 1336.18. Sistema propuesto.. . . 1336.19. Sistema propuesto. . . .1347.1.Sistema discreto realimentado unitariamente .. .1377.2.Diagrama de bloques. . . . .. ...... .1397.3.Diagrama de bloques. . . . . . . . .1407.4.Diagrama de bloques. . . . . . . . .1417.5.Diagrama de bloques modificado. . . 1427.6.Diagrama de bloques. . . . . . . . .1447.7.Sistema de control de rumbo de un barco.146 13. XVI NDICE DE FIGURAS7.8.Relacin rumbo-ngulo de1 motor. . . . . . .1467.9.Actuador del timn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.10. Actuador del timn para pequeas amplitudes..... .1477.11. Diagrama de bloques para pequeas amplitudes. . . . . . 1487.12. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . 1507.13. Parmetros de un sistema discreto de segundo orden. 1547.14. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . 1567.15. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . 1587.16. Respuesta ante escaln unitario de G(z) . . . . . 1587.17. Homogeneizador de chocolate. . . . .1607.18. Diagrama de bloques. . . . . . . .1618.1.Diagrama de bloques.1638.2.Diagrama de bloques.1668.3.Lugar de las races del sistema.1678.4.Diagrama de bloques. . . . . . .1708.5.Lugar de las races para el control continuo. 1718.6.Lugar de las races para el control continuo. 1728.7.Diagrama de bloques. . . . . . .1748.8.Lugar de las races del sistema.1758.9.Diagrama de bloques . . . . . . 1778.10. Lugar de las races del sistema.1781 I8.11. Sistema a estudiar. . . . . . . . . 180 8.12. Diagrama de bloques del sistema. . .181 8.13. Diagrama de bloques simplificado. 182l 8.14. Lugar de las races del sistema. . . .183f~~ 8.15. Lugar de las races del sistema. . .1858.16. Diagrama de bloques del sistema. . . .1858.17. Diagrama de bloques del sistema. . . .1868.18. Diagrama de bloques del sistema. .1869.1.Sistema muestreado realimentado. . .... 1899.2. Camino de Nyquist para sistemas discretos. 1909.3.Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . " ., ~ . . . . . 1919.4.Camino de Nyquist para el sistema de la Figura 9.3. . . . . 1929.5.Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O Y para K < O.1939.6.Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1949.7.Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6. . . . 1949.8.Fonna vectorial de e j8 - l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1959.9.Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O..1969.10. Diagrama de bloques del sistema. .1969.11. Camino de Nyquist seleccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 14. NDICE DE FIGURASXVII9.12.Detalle de los tramos II y IV. 1979.13.Diagrama de Nyquist para el sistema.. .1999.14.Camino de Nyquist elegido. . . . . . . . 2009.15.Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.16.Sistema multivariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2019.17.Respuesta en frecuencia (mdulo y fase) de Xl! (a), X 12 (b), X 21 (c) Y X 22 (d)..2029.18.Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI > 0,5 Y K 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2049.19.Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI = 1 Y K 2 > 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.20.Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2069.21.Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z = 1 por la izquierda. . . . . . 2069.22.Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.23.Diagrama de Nyquist para el sistema propuesto. . . . . . . . 2079.24.Respuesta en frecuencia del sistema (mdulo y argumento) ..2089.25.Respuesta en frecuencia en el diagrama polar.2099.26.Diagrama de bloques. . . . . . . . . 2099.27.Camino de Nyquist para r 1 . . . . ... 2109.28.Camino de Nyquist r 2. . . . . . . . . . . 2109.29.Camino de Nyquist r 4. . . . . . . . . . . . . . 2119.30.Diagrama polar. . . . . .211~ , {10.1.Sistema discreto de control. . . . . . . . . 213 10.2.Sistema continuo de control.. . . ...... . . . 213 10.3.Controlador discreto de un sistema continuo. .. .....214 ,10.4.Aproximacin de la evolucin temporal de ambos sistemas. 21410.5. Regulador PID continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 I0.6. Regulador I-PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 J 10.7. Respuesta de ante entrada escaln del regulador continuo (a) y del regulador dis- / cretizado con la aproximacin del operador derivada T = 0,5 (b) Y con T = 0,033seg. (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 10.8.Respuesta ante entrada escaln del regulador discretizado mediante la aproxima-Jcin trapezoidal (b) T = 0,5 Y(e) T = 0,033 seg. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.9.t Respuesta ante entrada escaln del regu]ador discretizado obtenido mediante la i equivalencia ante entrada escaln (b) T = 0,5 Y (c) T = 0,033 seg. 222" 10.10. Regulador continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 ! tiJ10.11. Regulador discreto del sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223I 10.12. Lugar de las races del sistema en bucle abierto con regu]ador continuo: (a) cuando , < a < 1 Y (b) cuando a > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 ~10.13. Lugar de ]as races del sistema diseretizado con aproximacin del operador deriva- da cuando: (a) a < e- l y (b) a > e-l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 15. XVIIINDICE DE FIGURAS l 10.14. Lugar de las races del sistema discreto con aproximacin trapezoidal cuando: (a) "2-a2+a > e-1 y (b) 2-a2+a < e -1 . . . . . . . . . ................. .226 10.15. Sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.16. Lugar de las races para el sistema continuo. 227 10.17. Criterio del argumento. . . . . . . . . .o 228 10.18. Respuesta ante escaln unitano con regulador PIDo 229 10.19. Respuesta ante escaln unitario con regulador discretizado. 231 10.20. Diagrama de bloques propuesto. . . . o 234 10.21. Seal de salida continua con el regulador R(s).. ...235 10.22. Secuencia de salida con T == 0,2 sega . . . . .. . . . . . . .o 236 10.23. Secuencia de salida con T == 0,05 sega . . . . . . . . . . o 236 10.24. Diagrama de bloques con la estructura I-PO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.25. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,2 sega .. o 237 10.26. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,05 sega 237 10.27. Sistema discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 10.28. Secuencia de salida (superior) y secuencia de control (inferior) ante escaln.239 10.29. Secuencia de salida (superior), secuencia de control antes de saturacin (centro) ysecuencia de control despus de saturacin (inferior) ante entrada escaln. . . ..240 10.30. Secuencia de salida (superior), secuencia de control (inferior) ante entrada escaln. 241 10.31. Secuencias de salida ante entrada escaln. . . . . . . . . .242 10.32. Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . .243 10.33. Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . . . . . . .244 10.34. Variacin de la seal de salida ante perturbacin. .245 10.35. Diagrama de bloques con el computador. . . . . .24511.1. Polo dominante del sistema. . . . . . . . 24811.2. Diagrama de bloques entrada/salida. ..251I 11.3. Lugar de las races del sistema con regulador proporcional. 25211.4. Criterio del argumento con el regulador. . . . . . . . . . . .25311.5. Lugar de las races del sistema con regulador po. . ... . 253 . 11.6. Respuesta ante escaln unitario con el regulador PO diseado. 254 I , 11.7.Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . .. ......... .255 J 11.8. Lugar de las races para el sistema de la Figura 11.7. . . . . . . . . . . . . .255 I11.9. Criterio del argumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.10.Seal de salida ante entrada escaln unitario con el regulador diseado. . .25711.11.Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . . . . . . . . 25811.12.Lugar de las races para M 2 (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26011.13.Lugar de las races para M3 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 26111.14.Respuesta del sistema con R( z) == 4, H 3 (s). ... . . .26211.15.Respuesta del sistema con R(z) == 4, H 2 (s). .. ...... . 26311.16.Posicin de polos y ceros en bucle abierto. 26411.17.Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . 266 16. NDICE DE FIGURASXIX11.18.Diagrama de bloques entrada/salida.26711.19.Diagrama del servomecanismo a controlar. . 26911.20.Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . 27111.21.Lugar de las races del sistema. . . . . . . . 27211.22.Respuesta ante entrada escaln con el regulador proporcionaL.27311.23.Principio del argumento para el clculo del cero del regulador.27311.24.Secuencia de salida con regulador PO. . . . . . .27411.25.Sistema a controlar. . . . . . . . . . . . . . . . 2751] .26. Respuesta ante escaln con el regulador P D(z).27511.27.Control continuo.27611.28.Control discreto. . .27611.29.Sistema discreto.. . 27711.30.Sistema discreto. . .27711.31.Respuesta ante entrada escaln . . . 27811.32.Diagrama de bloques propuesto. . . . . 27811.33.Secuencia de salida ante entrada escaln con el regulador propuesto. 27912.1. Sistema discreto en bucle cerrado. 28112.2. Sistema discreto.. . . . . . . . 28412.3. Sistema discreto. . .28712.4. Sistema discreto ..28912.5. Sistema discreto. . . .29212.6. Sistema discreto.. . 29612.7. Seal de salida deseada ante escaln unitario. 29612.8. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . 29712.9. Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador proporcionaL . . . . . . .29812.10.Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador por asignacin de polos. .29912.11.Sistema en bucle cerrado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29912.12.Sistema propuesto.. .30012.13.Sistema propuesto.. .30012.14.Secuencia de salida..30113.1. Sistema discreto en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . 30313.2. Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . 30513.3. Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . 30713.4. Seal de salida del sistema ante entrada escaln con el regulador calculado. 30813.5. Seal de error ante el regulador calculado en la primera etapa. . .31113.6. Seal de error y accin de control ante el regulador calculado. . . . . . . . . .31313.7. Sistema discreto con regulador discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31313.8. Seal de salida ante entrada escaln con el regulador de tiempo mnimo calculado.31513.9. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . ..,. . . 31513.10.Lugar de las races del sistema de la Figura 13.9. . . . . . . . . . . . . . . . . ..3] 6 17. xx NDICE DE FIGURAS 13.11. Sistema propuesto. . . . . . . . 319 13.12. Lugar de las races del sistema. 320 13.13. Criterio del argumento. . ....... .321 13.14. Sistema propuesto. . . . . . . . 323 13.15. Diagrama de bloques. . . . . . 324 13.16. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . .325 13.17. Sistema en bucle cerrado.. ... . 326 13.18. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . .326 13.19. Valores para T == 1 seg .. . 327 13.20. Valores para T == 0,5 seg . . . . . . . .327 13.21. Sistema en bucle cerrado.328 13.22. Sistema en bucle cerrado.328 13.23. Sistema en bucle cerrado.329 18. ,Indice de Tablas1.1. Respuesta ante entrada impulso ..61.2. Respuesta ante entrada escaln .. 71.3. Secuencia de salida ante escaln81.4. Secuencia de salida ante entrada impulso .. 81.5. Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin)121.6. Secuencia de saJida del sistema . . . . . .12. 2.1. Transformadas Z de secuencias bsicas. . 19: 2.2. Propiedades de la transfonnada Z . . . . . 20? 2.3. Nivel de hierro en los cinco primeros das tras una reduccin de 10 kg. en el sumi- nistro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Variacin en la caza de ballenas . . . . . . 342.5. Variacin en la caza de ballenas . . . . . 352.6. Variacin de la poblacin entre 80 y 85 .. 422.7. Variacin de la poblacin entre 80 y 85. Variables absolutas y relativas 455.1. Tabla de coeficientes de Jury . . . . . . . . . . .985.2. Criterio de Jury para el sistema de la Figura 5.1 1005.3. Criterio de Jury para el sistema1025.4. Criterio de Jury para el sistema . . . . . . . . . . .1096.1. Intervalo de pico y sobreosciJacin de los sistemas.1216.2. Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden. 1216.3. eri terio de J ury para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 1267.1. Errores en estado pennanente en respuesta a diferentes entradas.1397.2. Criterio de Jury . . . . . . . .., . . . . . . . . . .1447.3. eriteno de Jury para el sistema . . . . . 1457.4. Tabla de Jury para el sistema . . . . . . 1517.5. Tabla de Juey para el sistema.. 1559.1. Respuesta ante entrada impulso ...... . ]959.2. Mdulos y argumentos para el tramo I198 XXI 19. XXII NDICE DE TABLAS 9.3. Mdulos y argumentos para el tramo TII.....198 13.1. Criterio de Jury para el polinomio caracterstico317 20. CAPTULO 1SECUENCIAS y SISTEMASDISCRETOS .,DEFINICION DE SECUENCIAUna secuencia se puede definir como cualquier conjunto ordenado de elementos. La forma generalde representar una secuencia es {Xk}, siendo k el ndice que indica el orden del elemento dentro dela secuencia:(1.1 ) Secuencia impulso: {8k} = {l, 0, 0, 0, ... } (1.2) Secuencia escaln unitario:{Uk} = {l,l,l,l,l, ... } (1.3) Secuencia rampa: {rk} = {0,1,2,3,4,5, ... }(1.4)PROPIEDADES DE LAS SECUENCIASAlgunas propiedades caractersticas de las secuencias son las siguientes: Una secuencia {Yk} es la secuencia retrasada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k Yk = Uk-n(1.5) Una secuencia {Yk} es la secuencia adelantada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k (1.6) Una secuencia {Yk} es suma de otras dos {Xk} {Vk} si (1.7)1 21. 2 Control de sistemas discretos Una secuencia es {Yk} producto de otra {Xk} por una constante m si se cumple(1.8) Se dice que una secuencia {Xk} es acotada si existe un valore tal que para cualquier k secumple IXkl < c. Energa de una secuencia {Xk}:(1.9) n=-(X) Se dice que una secuencia es secuencia temporizada cuando proviene del muestreo pendico(T) de una seaJ continua.SISTEMAS DISCRETOSUn sistema discreto (Figura 1.1) es un algoritmo que pennite transfonnar una secuencia de entrada{Uk} en otra secuencia de salida {Yk}. {Uk }Sistema .. Discreto{yJ .. Figura 1.1. Sistema discreto. (1.10)Caractersticas de los sistemas: Un sistema discreto es esttico cuando el elemento de la secuencia de salida de un ciertondice depende nicamente del elemento de la secuencia de entrada del mismo ndice. Un sistema discreto es dinmico cuando el elemento de la secuencia de salida de un ciertondice es funcin de elementos de las secuencias de entrada y salida de ndices distintos alsuyo. Un sistema discreto dinmico es causal si el valor de un elemento de la secuencia de salidadepende nicamente de los de sta de ndice menor y de los de la secuencia de entrada dendice menor o igual. 22. Secuencias y sistemas discretos3 Si la funcin que define cada elemento de la secuencia de salida es lineal, el sistema se deno- mina asimismo lineal: Yk == alYk-1 + a2Yk-2 + .,. + anYk-n + bOUk + blUk-1 + ... + bmUk-m(l.ll) Si los coeficientes ai, bi de la ecuacin previa (1.11) son independientes del tiempo, se dice que el sistema lineal es invariante. La ecuacin (1.11) usada para estudiar estos sistemas se denomina ECUACIN EN DIFERENCIAS. ,SECUENCIA DE PONDERACIONSe denomina secuencia de ponderacin de un sistema a la secuencia de salida cuando la secuenciade entrada es una secuencia impulso. Se representa por {g k}. Conocida la secuencia de ponderacinde un sistema discreto, es posible detenninar la secuencia de salida de cualquier sistema ante unasecuencia de entrada detenninada. AS, la secuencia de salida de un sistema ante una secuencia deentrada {Uk} ser:n=~n=~{Yk}=LUn{gk-n}:::: {Uk} * {9k} == L 9n{Uk-n} == {9k} * {Uk} (] .12)n=-oon=-~donde * denota la operacin de convolucin entre dos secuencias. La secuencia de ponderacin esuna manera de representar el comportamiento de un sistema discreto.ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETOUn sistema discreto es estable si ante cualquier secuencia de entrada acotada la secuencia de salidaes tambin acotada. Para que el sistema sea estable es necesario y suficiente que la secuencia deponderacin sea absolutamente sumable:n=oon=-~L19n1 < 00( 1.13)RESPUESTA EN FRECUENCIALa respuesta en frecuencia de un sistema discreto caracterizado por su secuencia de ponderacin{9k} viene dada por:k=oo Q(w) == L 9ke-jwkT (1.14) k=-oodonde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia de ponderacin. 23. 4Control de sistemas discretosTRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SECUENCIALa transformada de Fourier de una secuencia temporizada {x k} se define como:nex>X(w) = n-+-oolm ~ xke-jwkT =L...,. ~ xke-jwkT L...,. ( 1.15)k=-n k=-oodonde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia temporizada. Latransfonnada inversa de Fourier se define como: T J1r/TXk == - X(w)e iwkT dJJJ(1.16)27r -1r/TUna condicin suficiente para la convergencia de la transformada de Fourier es que la secuencia{Xk} sea absolutamente sumable:00 ( 1.17) {yJ .. Figura 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin.Relacin fundamental de los sistemas discretos. En un sistema discreto (Figura 1.2), la transfor- mada de Founer de la secuencia de salida y (w) es igual al producto de la respuesta en fre- cuencia del sistema 9 (w) por la transformada de Fourier de la secuencia de entrada U (w ):Y(w) == Q(w)U(w) ( 1.18)Frmula de ParsevaI. Pennite calcular la energa de una secuencia a partir de la transfonnada deFourier de ]a misma: ( 1.19)TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA SECUENCIALa transformada de Lap]ace de una secuencia {Xk} tal que Xk == O para k< O se define como: ex:>X(s) = LXke-skT(1.20) k=O 24. Secuencias y sistemas discretos5siendo s == a + JW una variable compleja. Para que la transformada de Laplace converja (condicinsuficiente) debe cumplir (depende de a): (X)L IXke-ukTI < 00 (1.21 )k=OEsta expresin se denomina condicin de convergencia absoluta y depende de a. Igualmente, sedenomina abscisa de convergencia absoluta, (fe, al nfimo de los valores a E ~ que satisfacen laanterior condicin de convergencia. El dominio de convergencia absoluta es el semi plano complejodefinido por los puntos s E e con parte real mayor que (fe. La convergencia de la transfonnada deLaplace est asegurada en su dominio de convergencia absoluta, pero puede converger en un dominioms amplio.La transformada de Laplace de una secuencia es una funcin peridica respecto a la parte imaginariade perodo 2.;:21rX(s +rj) = X(s)(1.22)La transformada inversa de Laplace se define para todo (J E~ que verifique: L IXke-ukTI < 00 (1.23 )k=Ocomo; T U+7rj /TXk == -2. X(s)e skT ds ( 1.24) Ir]u-7rj/T1.1 Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entradaPara el sistema defi nido por:Yk == Yk-l- O,5Yk-2 + Uk-2 (1.25)l.Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia impulso. 2. Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia escaln. 25. 6Control de sistemas discretosSolucin 1.1Los apartados solicitados son:1. Para calcular la respuesta directamente se construye la Tabla 1.1, donde { k} es la secuencia impulso y {9k} es la seal de salida. Dado que la seal de entrada es la secuencia impulso, esta seal de salida ser la secuencia de ponderacin. I k I k I k-2 I 9k-2 I 9k-l I9k o1 OOO O1 O OOO O 2O 1OO1 3O OO11 4O O11 0,5 5O O1 0,5O 6O O 0,5 O -1/4 7O OO-1/4-1/4 8O O -1/4-1/4-1/8 9O O -1/4-1/8 O 10 O O -1/8 O11]6 Tabla 1 l. Respuesta ante entrada impulso Por tanto, la respuesta del sistema es la secuencia de ponderacin: {9k} == {D;O; 1; 1;0,5;0; -1/4; -1/4; -1/8;0; 1/16;0; ... } (1.26)2. Igualmente, se construye la Tabla 1.2 para obtener la respuesta del sistema {Yk} ante entrada escaln {Uk} de fonna directa. Tambin es posible obtener la respuesta mediante el uso de la convolucin discreta: 00 {Yk}== Ln=-oo 9n{Uk-n}(1.27) teniendo en cuenta la secuencia de ponderacin {9k} dada en 1.26, se tiene: 00 Yo L n=-(X)9n U O-n == 90Uo == O(1.28) 00 Yl L n=-oo9n U l-n == 90 U l + 91UO== O(1.29) 00 Y2 L 9n n=-(X)U 2-n== 90 U 2 + 91 Ul + 92 U O == 1 ( 1.30) 26. Secuencias y sistemas di seretos7 kUk Uk-2 Yk-2 Yk-l IYk o1OOOO 11OOOO 211OO1 311O12 41112 2,5 51122,5 2,5 611 2,52,52,25 711 2,52,25 2 8112,25 21,875 91121,8751,87510111,8751,8751,9375 Tabla 1.2. Respuesta ante entrada escalnCX)Y3 -L9n U 3-n = 90 U 3 + 92 U l + gl U2 + 93 U O = 2(1.31 )n=-oon=-oo( 1.32)y as sucesivamente. Como se puede apreciar, los resultados son coincidentes independiente-mente del mtodo empleado.1.2 Estabilidad de un sistema discreto (1)Dada la ecuacin en diferencias:Yk == -3Yk-l - 2Yk-2 + Uk (1.33)obtener la secuencia de salida {Yk} cuando la secuencia de entrada es {Uk} - {lk}. Deducir laestabilidad del sistema.Solucin 1.2En primer lugar, la secuencia {Yk} se puede obtener a partir de la Tabla 1.3.Observando la secuencia de salida, se puede deducir la siguiente ley: Yo-1 Yk -2Yk-l (k impar) Yk--2Yk-l+1 (k par)(1.34) 27. 8 Control de sistemas discretos I k I Uk Yk-2 Yk-l Yk o IOO I1IO 1 -22I I -25 3 1-25 -10 4 I5 -lO21 5 1 -10 21 -42Tabla l.3. Secuencia de salida ante escalnk k I 9k-2 I 9k-l I 9kOIOO I1 O O 1-32 OI -3 73 O -37 -154 O 7 -15315 O-15 31 -63 Tabla 1.4. Secuencia de salida ante entrada impulsoque al tender k a 00, la secuencia de salida tendera tambin a oo. Por tanto, el sistema es inestable.Tambin se puede deducir hallando {9k}, que se encuentra en la Tabla 1.4. Se observa que:00 ( 1.35)n=-oono est acotado. Se cumplir:lm 9n =1= O ( 1.36) n-oopor lo que resultar un sistema inestable.1.3 Estabilidad de un sistema discreto (11)Un sistema tiene por respuesta impulsionalla representada en la Figura 1.3. Discutir su estabilidad.Solucin 1.3Se aprecia que no es estable dado que:lm 9n =1= O ( 1.37) n--+oo 28. Secuencias y sistemas discretos 9 0,8 0,6 04 0,2 o~------------------------------------o2 3 4 5 6 1 8 9 ..10Figura] 3 Respuesta impulsional del sistema.condicin necesana, y: (1.38)condicin necesaria y suficiente.1.4 Convolucin discreta. Transformada de Fourier y de LaplacePara un sistema cuya secuencia de ponderacin es {9k}, hallar la respuesta de] sistema ante la entra-da {Uk} (Figura 1.4). Calcular igualmente las transfonnadas de Fourier y Laplace de dicha salida. {gk}2 2 1 123 1 2 3 --+--- -1 -1Figura] .4. Secuencia de ponderacin {gk} del sistema y entrada considerada {Uk}. 29. 10 Control de sistemas discretosSolucin 1.4Mediante la aplicacin de la convolucin discreta, se tiene: CXJ {Yk} ==L n=-CXJ 9n{Uk-n}(1.39)Se obtiene para los tnninos de {Yk}: CXJ YoL n=-CXJ9n UO- n== 90 U o == - 2 ( 1.40) CXJ Yl L 9n U l-n== 91 U O + 90 U l = 5 (1.41) n=-CXJ CXJL 9n U 2-n== 92 U O + 9U + 90 U 2 == O ( 1.42) n=-CXJ CXJ Y3L n=-CXJ9n U 3-n== 93 U O + 92 U + 9U2 + 90 U 3 == -1 ( 1.43) CXJ Y4L n=-CXJ9n U 4-n== 94 U O + 93 U + 92 U 2 + 91 U 3 + 90 U 4 == O (1.44) CXJ L n=-CXJ9n U 5-n ==O ( 1.45) (1.46)por tanto:{Yk} == {- 2; 5; O; 1; O; ... }(1.47)Para hallar la transfonnada de Fourier se aplica la siguiente fnnula:CXJ Y(w) == LYke-jwkT == -2 + 5e- jwT - e- jw3T (1.48)k=-CXJy para la transfonnada de Laplace:CXJ Y(s) == LYk e- SkT == -2 + 5e- sT_ e- 3sT (1.49) k=O1.5 Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada apartir de la secuencia de ponderacinUn sistema responde ante una secuencia escaln unitario con la secuencia:, , , , , ,{013444" .} (1.50) 30. Secuencias y sistemas discretos 11Obtener el valor de los elementos de la secuencia de salida ante la entrada {2, 2, 1}.Solucin 1.5Ante escaln, la seal de salida es: {Yk} ~{O;1;3;4;4;4; ... } (] .51)La respuesta impulsionaJ, por tanto, ser: {gk} = {O; 1; 2; 1; O; O; ... } (1.52)Si la entrada es {Uk} = {2, 2, 1}, la salida {Yk} se puede obtener a partir de:{Yk} = {Uk} * {9k} (1.53)Descomponemos {Uk} en funcin de { k }: (1.54)Entonces: {Yk}2{O;1;2;1;0;0; ... } +2{O;O;1;2;1;O, ... } + 1{O;O;O;1;2;1; ... } {O;2;6;7;4;1;O;O; ... } ( 1.55)1.6 Sistemas discretos: estudio comparativo de la estabilidad, la respuesta y la ,energIaDado el sistema discreto definido por la ecuacin en diferencias: (1.56)y siendo{Uk} = {O; 1; -1; 1/4; O; O; ... } (1.57)Se pide:1. Estudiar la estabilidad del sistema.2. Calcular la respuesta del sistema: a) Directamente. b) Utilizando la convolucin discreta.e)A travs de la transfonnada de Fourier. d) A travs de la transformada de Laplace.3. Calcular la energa de la secuencia de salida: 31. 12Control de sistemas discretos a)Directamente. b)Utilizando la fnnula de ParsevaLSolucin 1.6Los apartados solicitados son:l. Para calcular la estabilidad, hallamos la respuesta ante entrada secuencia impulso. Para ello, se construye la Tabla 1.5, siendo {k} la secuencia impulso y {9k} la salida del sistema ante entr-ada escaln o secuencia de ponderacin.I k I k I gk-l I 9k o 1 O 1 1 O 11/2 2 O1/2 1/4 3 O1/4 1/8 4 O1/81/16 5 O1/16 1/32 Tabla 1 5 Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin) De esta forma: {gk}= {1;1/2;1/4;1/8;1/16; ... } (1.58) y como se cumple que:LI9kl < 00(1.59) se puede deducir que el sistema es estable.2.a) Para calcular la respuesta directamente, se fonna la Tabla 1.6, donde {Uk} es la secuencia de entrada e {y k} es la secuencia de salida.I k I Uk I Yk-l I Yk oOO O 1IO1 2 -J 1 -1/2 3 1/4-1/2 O 4OO O 5OO O Tabla l 6. Secuencia de salida del sistema Por tanto: {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... }(1.60) 32. Secuencias y sistemas discretos 13b) Tambin se puede calcular mediante la convolucin discreta:ex:>{Yk}=Lgn{Uk-n}(1.61)n=-ex:> y dando valores a k se tiene: ex:> Yo-L n=-ex:> 9n U o-n=10==0(1.62) ex:> Yl L n=-ex:> gnUl-n = 1 . 1 + 1/2 . O = 1 ( 1.63) ex:> Y2 L n=-ex:> gn U2-n= 1 . (-1) + 1/21 + 1/4 O = -1/2 (1.64) ex:> Y3 L 9n n=-ex:> U 3-n= 1 . 1/4 + 1/2 . (-1) + 1/4 1 + 1/16 . O = O ( 1.65) 00 Y4 L n=-oo 9n u 3-n = 1 . O + 1/2 1/4 + 1/4 . (-1) + 1/8 . 1 + 1/16 . O = O(1.66) Por tanto: {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... }(1.67)e) La respuesta del sistema tambin se puede obtener a travs de la transformada de Fourier. Para ello, se debe hallar Q(w) y U(w). 00Q(w) L 9ke-jwkT =k=-(X)leo + 1/2e- jwT + 1/4e- 2jwT + 1/8e- 3jwT + ... ==1-0 2(1.68)1 - 1/2e- jwT 2 - e- jwTex:>U(w)Luke-jwkT= e- jwT - e- 2jwT + 1/4e- 3jwT(1.69)k=-oo Por tanto: y(w)Q(w) . U(w) == 33. 14 Control de sistemas discretos 2.. (e- iwT _ e-2jwT+ 1/4e- 3jWT ) == 2 - e- JwT_ e- jwT_1/2e- 2jwT ( 1.70)De aqu se deduce que: {Yk}= {O; 1; -1/2;0;0; ... } (1.71) d) Tambin se puede obtener a travs de la transfonnada de Laplace. Para ello) se ha decalcular Q(s) y U(s). 00g(s) -L9ke,skT ==k==Oleo + 1/2e-sT + 1/4e- 2sT + 1/8e- 3sT + ... ==1-02(1.72)1 - 1/2e- sT 2 - e- sT 00U(s)==L Uke-sT == e- sT -e- 2sT + 1/4e- 3sT (1.73)k=OPudindose obtener, por tanto: Y(s) - 9(s), U(s) = 2___ . (e- sT_ e- 2sT+ 1/4e- 3ST ) ==2 - e- sT_ e- sT _ 1/2e- 2sT (1.74)Luego1 {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... }(1.75) 3.a) En este apartado se pide calcular la energa de la secuencia de salida. El primer mtodoa aplicar es mediante clculo directo:21 5 E== L IYk I == 1 + -4 = -4 (1.76) b) En segundo lugar se va a obtener la energa mediante la aplicacin de la fnnula deParseval: E - -1 J1I" Y(w) Y(-w)dw = 21r -1f ~ J1I"(e- jWT - 1/2e- 2jwT ). (e jwT-1/2e2jwT ) dw = 27r -1f ~ J1I" (5/4 - 1/2e jwT - 1/2e- jWT ) dw= 27r -11" _ ~ [~w]1f _ ~ [ei.WT ]1I"+~ ]1I" _ ~ WT[eJ.(1.77) 27l4-1f47r JT -11" 471"JT-11" 4 1Tambin se podra haber aplicado Yk = T 2 1t]. I. U U-J1r T +i1T//T Y(s)e skT ds. 34. Secuencias y sistemas discretos 151.7 Problema propuestoDada la ecuacin en diferencias: 311 Yk == -Yk - 1 - -Yk - 2 + Uk - -Uk 1 4 82- ( 1.78)Obtener la secuencia de salida {y k} cuando la secuencia de entrada es {Uk} == {O; 1; 1; 1; 1; ... }.Solucin 1.7La secuencia de salida es: {Yk} == {O; 1; 1,25; 1,312; 1,328; 1,332; 1,333; ... }(1.79)1.8 Problema propuestoCalcular la secuencia de ponderacin del sistema definido por: (1.80)Estudiar su estabilidad.Solucin 1.8La secuencia de ponderacin es:{gk} == {1;3; 11;39; 139;495; 1763; ... }(1.81 )El sistema es inestable.1.9 Problema propuestoUtilizando la convolucin discreta, hallar la respuesta del sistema cuya secuencia de ponderacin es{gk} ante la entrada {Uk} Y calcular la energa de dicha respuesta.Solucin 1.9La respuesta del sistema es:{Yk} == {O; 2; 1; O; O; O; O; ... }( 1.82) 35. 16 Control de sistemas discretos{g~J{lit} 25.. --"T""" --122t0,8 1506 04 0502o o 051 15 - -22,5 k 3 3,5 ....4 455 oo 05 1 15 2..... _-2,5k -- 3.35 ..a __4 L-455Figura 1.5. Secuencia de ponderacin {gk} y entrada del sistema {Uk}.La energa es 5.1.10 Problema propuestoEstudiar la estabilidad y la respuesta 3.Qte entrada escaln de un sistema cuya secuencia de pondera-cin es: {gk} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ... }(1.83)Solucin 1.10El sistema es inestable, pues: -00Ignl ~ 00( 1.84)n=OLa seal de salida es: {Yk} = {1; 1,5; 1,833; 2,083; 2,283; 2,450; 2,592; 2,71 7; ... } ( 1.85)1.11 Problema propuestoUn sistema discreto tiene la siguiente secuencia de ponderacin:(1.86)Se pide:1. Aplicar el teorema de convolucin para obtener la secuencia de salida {Yk} ante una entrada {Uk} == {1; 1; -1; -1}. 36. Secuencias y sistemas discretos 17 2.Funcin de transferencia G (z) y ecuacin en diferencias. 3.aplicar los teoremas del valor inicial y final para calcular ]os valores inicial y final de la seal de salida {Yk} cuando ]a seal de entrada {Uk} es un escaln unitarIo.Solucin 1.11l. {Yk} = {l; 3; 2; -2; -3: -l} ( 1.87) 2.G(z) =(z + 1)2(1.88) z2Yk = uk + 2Uk-l + Uk-2( 1.89) 3. Yo =1YOCl=41.12 Problema propuestoDado el sistema representado en la Figura 1.6, calcular la secuencia de salida {Yk} si la secuenciade entrada es la secuencia impulso. Discutir la estabilidad del sistema. Figura I 6. Sistema discreto.Solucin 1.12{Yk} = {1;1;1;1;1;1; ... }(1.92)El sistema es inestable dado que la secuencia de ponderacin no es una suma finita. 37. ,CAPITULO 2TRANSFORMADA ZDEFINICIN DE LA TRANSFORMADA ZLa transfonnada Z de una secuencia temporizada {Xk} se define como:00X(z) == Z[{Xk}] =LXk Z - k(2.1 )k=-ooLas transfonnadas de Fourier y de Lap]ace se relacionan con la transfonnada Z mediante z := e jwTy Z :::: e sT , respectivamente.TRANSFORMADAS Z BSICASLas transformadas Z de algunas secuencias bsicas se encuentran en la Tabla 2.1.{k} == {l;O;O;O;O; ... } 6(z) = 1{Uk} == {1; 1; 1; 1; 1; ... }U(z) = z~l{Xk} = {1;a;a ;a ;a ; ... }X(z) == _ z2 3 4 z-a{Xk} == KT = {O;T; 2T; 3T; 4T; ... }X(z) == Tz~Z-1)2 {Xk} = (KT)2 = {O; T2 ; 4T2; 9T2 ; 16T2 ; .. . }X( ) - T z(z+l) Z -(z-1)3 {Xk} == e- aKT == {1; e- aT ; e- 2aT ; e- 3aT ; e- 4aT ; ... }X(z) == z_ez- aT Tabla 2.1. Transformadas Z de secuencias bsicas19 38. 20 Control de sistemas discretosPROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZLas propiedades fundamentales de la transfonnada Z se encuentran resumidas en la Tabla 2.2.NombreDescripcin Linealidad Z[a{Xk}+ t1{Yk}] = aZ[{xk}] + ,BZ[{Yk}]DesplazamientoZ[{Xk-n}] = z-n Z[{Xk}]DesplazamientoZ[{Xk+n}] = ZnZ[{Xk}] - ~:Ol XiZn-i Multiplicacin por una exponencial Z[{akxk}] =: X(a- 1 z) Diferenciacind~X(z) = -z-lZ[kxkJConvolucin de secuencias Y(z) = G(z)U(z) Residuo en a = f(a) (2.3) z-a El residuo de un polo de multiplicidad m se puede calcular como:/(z).1[d m - 1/ (Z)]X(z) = (z _ a)m => Residuo en a = (m - 1) dz m- I z=a (2.4)2. Si las secuencias tienen nicamente tnninos de ndice positivo (dominio de convergencia Izl > 1/p), se puede usar el mtodo de la divisin larga. Para obtenerla, se expresa la trans- fonnada Z como el cociente de los polinomios en Z-l y se dividen:N(z-1) 00-k X(z) = D(Z-l) =~XkZ (2.5) 39. Transfonnada Z 213. Descomposicin en fracciones simples:(2.6)FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN ZLa funcin de transferencia en Z de un sistema definido por la ecuacin en diferencias:(2.7)es:1 G(z) = Y(z) = bo + b1z- + ... + bmz- m (2.8) U(z) 1 + alz- 1 + ... + anz- n2.1 Transformada Z de secuencias tipoEncontrar la transfonnada Z de las siguientes secuencias:l. Secuencia impulso {k} = {1; O; O; O; ... }.2. Secuencia escaln {Uk} = {1; 1; 1; 1; ... }.3. Secuencia rampa {Tk} = {O; 1; 2; 3; ... }. a)Directamente.b) A partir de la anterior.4. Secuencia parablica {Pk}= {O; 1; 4; 9; ... }: a)Directamente.b) A partir de la anterior.5. Secuencia exponencial { ek}= {O; O; O; O; e; 2e 2 ; 3e3 ; .. . }. 40. 22Control de sistemas discretosSolucin 2.1Se tiene:l. Para la secuencia impulso se tiene:00 6(z) == 2:8n z- n == 1z- o + OZ-l + OZ-2 + ... == 1 (2.9)n=-(X) 2.Para la secuencia escaln:00 z U(z) == ~ "" UnZ -n == 1 + z -1 + z -2 + ... == 1 _ 1z-l z-l(2.10)n=-oo siempre y cuando se cumplaIz- 1 1< 1. 3.Para la secuencia rampa se tienen dos posibilidades: a) Directamente: ex) R(z) == 2:rnz- n == 0+ z-l + 2z- 2 + 3z- 3 + ... (2.11) n=-(X)Fonnando: zR(z) - R(z)1+2Z -1+3- 2 Z+ ... -z -1 - 2- 2 - 3-3 ... == zz 1+ Z-l + Z-2 + z-3 + ... == z(2.12) z-lsiempre y cuando se cumpla Iz- 1 1< 1. Por tanto: R(z) == _l___ ==z_z (2.13) z - 1z - 1 (z - 1)2 b) A partir de la anterior, se sabe que: dX(z) =-z-l Z[{kXk}] (2.14) dzA partir de una sencilla modificacin de la secuencia escaln:{Xk} = {1;1;1;1;1; ... }{O;1;2;3;4;5; ... } = {rk}(2.15)Haciendo uso de la ecuacin 2. 14, se tiene:dX(z) Z[{kXk}] = Z[{rk}] = -zdz(2.16) 41. Transformada Z23y dado que se conoce la transformada Z de la secuencia escaln X(z), dada por laecuacin 2.10, se tiene:zX(z) z-ldX(z)(z-l)-z -1 (2.17) dz (z -1)2 (z - 1)2luego -1zR(z) = Z[{rdl = -z (z _ 1)2 -(2.18) (z -1)24. Para la secuencia parablica se presentan dos posibilidades: a) Directamente:00p{z) ==L pnz-n == 0+ Z-l+ 4z- 2 + 9z- 3 + ...(2.19)n=-ooAl fonnar:(z - 1)2 p(z) = (z2 - 2z + l)p(z)(2.20)evaluando esta expresin a partir de la ecuacin 2.19, se tiene:(z2 - 2z + l)p(z) == z + 2 + 2z- 1 + 2z- 2 + 2z- 3 + ... (2.21) (z2 - 2z + l)p(z)== z + 2(1 + Z-1 + Z-2 + z-3 + ... ) == z + 2z (2.22)z-lsiempre y cuando se cumpla Iz- 1 1< 1. Despejando, ( z) = z(z + 1) (2.23) p(z - 1)3 b) A partir de las expresiones anteriores, se hace uso de ]a misma propiedad 2. 14. Si seexpresa:{O;1;2;3;4; ... }{kr k} == {O; 1; 4; 9; 16; ... } (2.24)Al igual que en el caso precedente 2.16: dR(z) pez) == Z[ {krk}] == Z[{Pk}] == -z dz (2.25)De esta fonna, conociendo cuanto vale R( z), calculado en el apartado previo 2.18, sepuede obtener su derivada:dR(z)(z - 1)2 - 2z(z - 1) z+l (2.26) dz(z - 1)4 (z -1)3con lo que se obtiene la transformada Z de la secuencia pedida: Z+l] = z(z+l) pez) = Z[{pdl =[ -z - (z _ 1)3(z - 1)3 (2.27) 42. 24Control de sistemas discretos5. Para la secuencia exponencial {ek} == {O, O, O, O, e, 2e 2, 3e 3, ... } se hace uso de la siguiente propiedad:(2.28) Si se halla en primer lugar la transfonnada Z de la secuencia {tk} == {O, e, 2e 2, 3e 3, ... }, se puede expresar Z [{t k }] =:: Z [{e k r k} ], siendo r {t k} la secuencia rampa cuya transformada Z se ha hallado anteriormente, obteniendo la expresin dada por la ecuacin 2.13. De esta forma se tiene:(2.29) Para obtener la transfonnada Z de {ek} basta con desplazar los tres instantes de muestreo, obteniendo la expresin definitiva:(2.30)2.2 Transformada Z inversa de una secuenciaHallar la transformada Z inversa de: zU(z) = (z _1)2(2.31 )para el dominio de convergenciaIz- 1 1< 1 por los siguientes mtodos:]. Mtodo de los residuos.2. Mtodo de la divisin larga.Solucin 2.2Se tiene:1. Por el mtodo de los residuos, se parte de la conocida expresin: Un ==LResiduos[U(z)zn-l] (2.32) polos intenores a ee siendo una curva que rodea al origen y que se encuentre en el dominio de convergencia. La expresin 2.31 tiene un polo doble cuyo residuo ser: U(z)zn-l (z - 1)2 Residuo== 1 d n 1! dz z == l! Z [n n-l] z=l == n(2.33) Por tanto, la secuencia ser la dada por Un == n, es decir, {Un} == {O; 1; 2; 3; 4; ... }, que es la secuencia rampa. 43. Transfonnada Z25 2.Al emplear el mtodo de la divisin larga, se expresan los numeradores y denominadores como potencias de Z-I, ya que el dominio es de la fonna Iz- 1 1< 1. AS, se tiene: -1U( -1) ___ _z(2.34) Z== (Z-1 _ 1)2 1 - 2z- 1 + Z-2 con lo que ya se puede efectuar la divisin. A medida que se realiza ]a divisin, se obtiene como cociente los coeficientes que fonnan la secuencia requerida (Figura 2.1), quedando la secuencia de salida de ]a fonna {un} == {O; 1; 2; 3; 4; .. }:-1Z_Z-I +2z-2 _Z-3 + 2z-2 _Z-3 - 2z-2 +4z-3 - 2z-4+3z-3 -2z-4-3z-3 +6z-4 -3z-5 4z-4 -3z-5 Figura 2.1. Mtodo de la divisin larga.2.3 Funcin de transferencia de un sistema discretoDado el sistema discreto definido por la siguiente ecuacin en diferencias: Yk - Yk-l + O,16Yk-2 == Uk-2(2.35)1. Calcular su funcin de transferencia. 2.Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante escaln: a) Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b) Calculando la antitransfonnada. 44. 26 Control de sistemas discretosSolucin 2.3Se tiene:l. La ecuacin en diferencias se cumple para cualquier valor de k, por lo que tambin la cum- plirn las secuencias. Hallando la transformada Z de cada secuencia y empleando las siguien- tes equivalencias: {Yk} ----+Y(z){Yk-l}----+z-ly(Z){Yk-2}----?z- 2y(z){Uk-2}----+z- 2U(z) (2.36) Aplicando esta transfonnacin a la ecuacin 2.35, se tiene:(2.37) obteniendo como funcin de transferencia G z _ Y(z) _ z-2(2.38)( ) - U(z) - 1 - Z-1 + O,16z- 22. Para calcular el valor inicial y final se presentan dos posibilidades:a) La transformada Z del escaln es:z 1 U(z) == --1 == 1 - z -1(2.39) Z - Por las propiedades de la transfonnada Z se pueden detenninar los valores de inicio y fin de la respuesta del sistema ante una entrada en escaln siempre y cuando el sistema sea estable:Yolm Y(z) == lm G(z)U(z)z-+oo Z-+OO =-2 1lm z .== O (2.40)Z-+OO 1- Z-l+ O,16z- 21-Z-l Yoo lm [(1 -z-l )Y(z)] == lm [(1 - z-l )G(z)U(z)] == z-+lz-+l -21 lm(l - Z-l)Z .1 == 6,25 (2.41 ) z-+l1- Z-l+ O,16z- 21 - z- si el radio de convergencia esIzl > p, con p < 1.b) La transfonnada inversa se puede calcular por tres mtodos: la frmula de los residuos, mediante la descomposicin en fracciones simples y por el mtodo de la divisin larga. 45. Transfonnada Z27 Mediante la fnnula de los residuos se tiene:Yn = Residuos[Y(Z)Zn-l] (2.42) polos intenores a Gsiendo e una curva que rodea al origen y se encuentra en el dominio de convergen-cia. Lo primero ser, pues, calcular la respuesta ante entrada escaln. Z-2z Vez)G(z)U(z) = 1 _ z-l + 0,16z-2 z-1 z(2.43) (z - 0,2)(z -0,8)(z - 1)Si se halla la secuencia por la fnnula de los residuos, se tiene:Yn =[(Z-0,~;(z-1)L=o,2 + [(Z-0,~;(z-1)L=o,8 + +[(z - 0,8;~Z - 0,2) ]z=l -2,08 . 0,2 n - 8,33 . O,8 n + 6,25(2.44)se tiene:Yo Yoo 6,25 (2.45) Mediante la descomposicin en fracciones simples,z1 A Be Y(z)==. z - 1 z2 - Z+ 16 = z - 1 + z - 0,2 +--z - 0,8(2.46)que se puede resolver igualando los numeradores:z == A(z - 0,2)(z - 0,8) + B(z - 1)(z - 0,8) + C(z - 1)(z - 0,2)(2.47) 1 z=l~A== -=625(2.48) O,16 Z= 0,2::::}B = 0,2 = 041(2.49), 0480,8Z== 0,8 ::::}C= -O 12 = -6,66 (2.50),(2.51)De esta forma, la transformada Z de la secuencia de salida ser:Y(z) = 6,25+ 0,416,66 (2.52) z-lz-02 ,z-08 , 46. 28Control de sistemas discretos Puesto que z / (z - a) es la transformada Z de la secuencia {a k}, con k mayor o igual que cero, se tiene la siguiente expresin para la secuencia de salida:6,25z- 1Z 1Z Z Y(z) = 1 + O,41z- O 2 - 6,66z-1 O8 (2.53) z- z- ,z- , Yn == 6,25 . 1n-1 + 0,41 . 0,2 n - 1- 6,66 . O,8 n - 1(2.54) si n > l. Y como en el caso anterior (ecuacin 2.45): YoYoo 6,25 (2.55) Por el mtodo de la divisin larga:Z-2 zY(z) ~-----_._- 1- z-1 + 0,16z- 2z -1z-2 1 - 2z- 1 + 1,16z- 2 - 0,16z- 3 Z-2 + 2z- 3 + 2,84z- 4 + 3,52z- 5 + ...(2.56) Permite calcular cmodamente el valor iniciaJ, pero no as el valor final.2.4 Anlisis de una fundicinSe desea analizar la produccin de hierro de una fundicin. El esquema de funcionamiento de lamisma se muestra en la Figura 2.2.La fundicin tiene como caractersticas: El proceso de fundicin tiene un rendimiento del 80 %. Los residuos pueden tratarse para reconvertirse en materia prima. Existe un suministro diario de materia prima (hierro). Cada da se deteriora un 25 % de la materia prima por corrosin. Cada da se tratan los residuos producidos el da anterior.Admitiendo como vanables las siguientes:fk Hierro fundido el da k (medido en kg.)Pk Piezas fabricadas el da k (medido en kg.)tk Residuos tratados el da k (producidos el da k - 1) 47. Transfonnada Z29800/0 piezas -------~ ~UNDICION JMateria Prima 200/0 residuosTRATAMIENTOl RESIDUOS_J Figura 2.2. FuncionamIento de una fundicinhk Kg. de materia prima (hierro) aJ final del da kSkSuministro de hierro el da k (medido en kg.)Se pide: ]. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a produccin de hierro en la fundicin. 2. Linealizar dichas ecuaciones en tomo a un punto de equilibno dado por un suministro de500 kg. de hierro al da y una fabricacin de 300 kg. de piezas al da. 3. Representar el diagrama de bloques teniendo como entradas e] suministro de material y lademanda de piezas fabricadas y como saJida ]a materia en stock. 4. Calcular la funcin de transferencia entre el stock de hierro y el suministro diario de material. 5. Calcular el valor que tomar en rgimen permanente el nivel de hierro en stock si el suministrodiario aumenta en 20 kg. 6. Calcular la secuencia de valores que tomar el nivel de hierro en stock durante los cinco pri-meros das despus de que el suministro de hierro se reduzca en 10 kg.Solucin 2.4Se tiene: 48. 30 Control de sistemas discretos l. Las ecuaciones en diferencias del sistema que se deducen a partir de las condiciones del pro-blema son las siguientes:hkhk - 1 - 0, 25h k + Sk - fk + tkO,81k Pko,2fk-l(2.57) 2. En primer lugar, es necesario calcular el punto de equilibrio del sistema. En equilibrio, losvalores en el instante k - 1 sern iguales a los valores en el instante k. Por tanto:hoho - 0,25h o + So -lo + to0,8/0 Po0,2/0 - to (2.58)AS, en equilibrio, se tiene:ho800 kg.lo375 kg.to75 kg. (2.59) 3. Puesto que las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema son ya lineales, la trans-formada Z de estas ecuaciones ser: H(z)Z-1 H(z) - 0,25H(z) + 8(z) - F(z) + T(z) O,8F(z) P(z)0,2z- 1 F(z) T(z)El diagrama de bloques se muestra en la Figura 2.3.S(z)+ +: zVez) R(z) ....1,25z-1 pez).. 1,25 F(z) .1 O~21T(z) Figura 2.3. Diagrama de bloques de la fundicin. 4. Para el clculo de la funcin de transferencia entre el stock y el suministro de material seconsiderar constante la cantidad de piezas fabricadas diariamente; por tanto, su valor incre-mental (con respecto al punto de equilibrio) ser nulo. En estas condiciones, la funcin detransferencia solicitada es:H(z) 11(2.61) 8(z)1,25-z- 49. Transformada Z315. En estas condiciones, la variable de entrada ser un escaln de 20 unidades:8(z) _ 20 (2.62)- 1-Z-1 Por tanto:H(z) =201(2.63) 1- z-11,25 - z-1 Para obtener el vaJor en rgimen permanente aplicaremos el teorema del valor final (dado que el sistema es estable):lm hk == lm [(1 - Z-1) . H(z)] = 80 (2.64)k-HX)z-+1 Dado que la secuencia est representada respecto a su punto de equilibrio, que es de 800 kg., la cantidad de hierro en stock ser: hec == 800 + 80 == 880 (2.65)6. En este caso, la variable de entrada se corresponder con un escaln de -10 unidades. Por tanto:H(z) = -101(2.66) 1- Z-1 1,25 - Z-1 Para obtener la secuencia de valores, se calcula la transfonnada Z inversa: h - Z-1 [-10](2.67) k -(1 - z-1 )(1,25 - z-l) Calculando la transfonnada Z inversa por reduccin a fracciones simples, se obtiene:h k == 32 . O,8 k -40 (2.68) Por tanto, en los cinco primeros das se obtienen los valores representados en la Tabla 2.3.Dahk respecto equilibrio I h k global Io-8 792 kg.1-14,4 785,6 kg.2-195, 780,5 kg.3-23,5 776,4 kg.4-26,9 773,1 kg.5-295, 770,5 kg. Tabla 2.3. Nivel de hierro en los cinco pnmeros das tras una reduccin de 10 kg. en el suministro 50. 32Control de sistemas discretos2.5 Evolucin de la poblacin de ballenasSe supone que el nmero de ballenas que nacen a lo largo de un ao depende nicamente de lapoblacin existente a principios de dicho ao, P, segn la ecuacin:(2.69)Asimismo, el nmero de fallecimientos naturales durante un ao depende de la poblacin existentea principios de ese ao segn la ecuacin:(2.70)La caza de ballenas ocasiona a ]0 largo del ao un nmero de fallecimientos directamente propor-cional a la poblacin existente a primeros de ao y al nmero de balleneros, B, existente: J == 10- 4 P B(2.71)Se pide:1. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a evolucin de la poblacin de las ballenas de un ao a otro. 2.Linealizar dichas ecuaciones y hallar un modelo lineal sabiendo que la poblacin actual es de 10.000 ballenas. 3.Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de ballenas con el nmero de balleneros. 4.Obtener la evolucin de la poblacin de ballenas si se prohibiese bruscamente ]a caza de ballenas cuando la poblacin es de 10.000.Datos: Al == -8.000; A 2== 4.000; a = 0,69 . 10- 4 ; b == 1,38 . 10- 4 ; e == 4.000; B 1 == 0,875 .10- 2 ; B 2 == 1,7 .10- 6Solucin 2.5Se tiene:]. Para establecer las ecuaciones en diferencias se denominar Pk a la poblacin de ballenas existente a comienzos de un ao. Al ao siguiente, existir una poblacin de ballenas igual a la de] ao anterior ms los nacimientos producidos a 10 largo del ao menos el nmero de fallecimientos naturales y menos el nmero de ballenas cazadas, es decir:(2.72) donde:A 1 e- aPk + A 2 e- bPk + eB1Pk + B2Pf10- 4 Pk B k(2.73) 51. Transformada Z332. Se Jinealizan las anteriores ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, definido por Po 10.000. En este punto de equilibrio, las ecuaciones se expresan como: PoPo+ No - Mo - JoNo Ale- aPo + A 2 e- bPo + eMo B 1 PO + B2P~ Jo10- 4PoBo (2.74) Al resolver este sistema, se obtienen unos valores de las variables en equilibrio:No-8000e- O,69 10- 4 104+ 4000e-1.38 10- 4 104+ 4000 == 993,7 Mo 0,875 . 10- 2 104+ 1,7 . 10- 6 . 108 == 257,5JoNo - Mo == 993,7 - 257,5 == 736,2JoBo10- 4 Po == 736,2(2.75) Si se linealizan las ecuaciones en torno a este punto de equilibrio (ecuacin 2.75), empleando variables incrementales, se tiene:Pk+ Nk - Mk - Jk[Al (-a)e- aPk+ A 2 ( -b)e- bPk ] Pk=Po . Pk == 0, 138Pk[BI + 2B2 Pk ]Pk=PO. Pk == 4,275 . 10- 2 P k 44[10- B k ] Bk=Bo . Pk + [10- Pk ]Pk =Po . Bk =Bk + 7,362 10- 2 Pk(2.76) Al agrupar estas ecuaciones incrementales y Iinealizadas, resulta: (2.77)3. Para el clculo de la funcin de transferencia en Z se pasan las ecuaciones incrementales linealizadas al dOlTIlnio z.pez) == 1,0216P(z)z-1 - Z-l B(z) (2.78)pez)1 (2.79)B(z) 1 - 1,0216z- 11,0216 - z sta es la funcin de transferencia entre el nmero de ballenas y el nmero de balleneros para un modelo lineal que sea equivalente al dado, es decir, que presente pequeas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio que se ha tomado para linealizar las ecuaciones iniciales que eran no lineales. Por tanto, fuera de este entorno de] punto de equilibrio, esta funcin de transferencia deja de ser vlida. 52. 34 Control de sistemas discretos Caza de ballenasI Antes I Despus Valor absoluto 736,2 OValor relativo o incrementalO -736,2 Tabla 2.4. Variacin en la caza de ballenas 4. Si se prolube la caza de ballenas, se pasara (en el punto de equilibrio) de 736,2 a O ballenascazadas. Esto se puede estudiar como si el comportamiento fuera un escaln de ganancia-736,2 unidades (Tabla 2.4).zB(z) == z _ 1 (-736,2) (2.80)con lo que la salida del sistema o nmero de ballenas sera: P( )1 . z (-736 2)(2.81 ) z== 1,0216 - z z- 1El sistema es inestable (presenta un polo fuera del crculo unidad). Ante una variacin brus-ca de B(z), la salida P(z) crecer desmesuradamente. Por tanto, segn el modelo lineal, elnmero de ballenas crecera hasta el infinito. En la realidad, lo que ocurre es que al aumen-tar el nmero de ballenas, el sistema deja de encontrarse alrededor del punto de equilibrioy el sistema ya no es equivalente. El sistema probablemente se mueve hacia otro punto deequilibrio. 4X 103,5 --.-,-----,..----.----- -~--~--~ 3 -2,5 - .- - 21,51_. .-.- .-.-0,5o~--~---~--~---~---~-~o5 1015 202530Figura 2.4. Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibno 53. Transformada Z 35Aoo J 2 34 Valores relativos o incrementales O736 1.488 2.2563.041 Valores absolutos 10.00010.73611.488 12.256 13.041Tabla 2.5. Variacin en la caza de ballenas Si se partiera de otro punto de equilibrio, como por ejemplo Po == 15.000, se tendra:No 1.662,9Mo 513,75Jo 1.149,2Ro 766,12 (2.82) y la ecuacin incremental:(2.83) con 10 que:P(z),-15z- 11,5(2.84)B(z) 1-, O 9901z- 1 0,9901 - z Alrededor de este punto de equilibrio, el sistema ya sera estable.2.6 Explotacin de la madera en un bosqueSe desea analizar el sistema de explotacin de la madera en un bosque. Para ello, se conoce lacantidad de toneladas de madera disponibles en el bosque al principio de cada ao, as como de lastoneladas de madera taladas a lo largo de cada ao. Admitiendo que el bosque aumenta su cantidadde madera un 5 % respecto al valor que tuviera a finales del ao antenor, se pide:1. Hallar la ecuacin en diferencias del sistema. 2.Determinar el punto de equilibrio para que el bosque se mantenga en 5.000 toneladas de madera. 3.Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de toneladas taladas durante un ao y la cantidad de toneladas de madera disponible en el bosque a finales de ese mismo ao. 4.Calcular el tiempo que tardara en duplicarse la cantidad de madera disponible en el bosque si se disminuyen bruscamente las taJas en un 10 % a partir del punto de equilibrio. 54. 36Control de sistemas discretos5. Analizar la evolucin en la cantidad de madera disponible en el bosque si se incrementa el nmero de toneladas taladas un 4 % durante los tres primeros aos.Solucin 2.6Se tiene:l. Denominando: mk Toneladas de madera en el bosque a finales del ao k tk Toneladas de madera taladas durante el ao k La ecuacin en diferencias del sistema queda: (2.85) que se interpreta de la siguiente forma. El nmero de toneladas de madera en el bosque al finalizar el ao k es igual al que haba a finales del ao anterior ms lo que ha crecido durante ese ao y menos las toneladas de madera taladas durante ese ao.2. Para calcular el punto de equilibrio, se tiene: mo = 1,05mo -to (2.86) de esta forma, se obtiene como punto de equilibrio aquel en el que el nmero de toneladas taladas a lo largo de un ao es:to == O,05mo == 0,05 . 5.000 == 250 toneladas/ao(2.87)3. Dada la ecuacin en diferencias 2.85, la transformada Z quedara: M(z) == Z-l M(z) + 0,05z- 1 M(z) - T(z) (2.88)M(z)1 1-(2.89)T(z) 1,05z- 1 - 11,05 - z Expresin vlida para variables incrementales o relativas.4. Si bruscamente las talas se disminuyen un 10 %, pasaran de talarse 250 toneladas/ao a talarse 225 toneladas/ao. Respecto al punto de equilibrio, este hecho se admite como un escaln de amplitud -25. De esta forma:-25 T(z) == 1 _ Z-l(2.90) 1-25M(z) == 1,05z- 1- 1 . 1 - z-1(2.91) Para calcular la evolucin temporal de esta seal de salida es necesario calcular la transfonna- da inversa Z. Utilizando el mtodo de las fracciones simples: 1-25A B M(z) ==1,05z- 1 11 - Z-1 -1-O-5z---1---1 + 1- z-1 (2.92) -, 55. Transfonnada Z37 Resolviendo, se obtiene A = -525; B = -500. As: (2.93) Partiendo del punto de equilibrio para calcular el tiempo que se tarda en duplicar la cantidad de madera disponible en el bosque, se tendra (25.000-5.000 == 5.000), con lo que mk = 5.000. 5.000 = 525 . (I,05)k - 500 (2.94) log 5.500 k= 525= 48 1(2.95) log 1,05Por tanto, el bosque tardara en duplicar su cantidad de madera un total de cuarenta y nueve aos. En la Figura 2.5 se observa la evolucin temporal de la madera de] bosque.:j--,.-----,- --,...------, -1-1 j60005000 -90004000 3000 tI6Q()()O . 20001000 ..L..--- -- , -------- o 15 2025 30 3540 45 50o o102030 40 50 60k (O) (b)Figura 2.5. Toneladas de madera ante una disminucin de un 10% en la cantidad talada: (a) toneladastotales; (b) respecto al equilibrio. 5.Si se incrementa un 4 % el nmero de toneladas de madera talada los tres primeros aos, se tiene la siguiente secuencia de talado:{tk}= {260;260;260;250;250;250;}(2.96) La evolucin respecto al punto de equilibrio resulta: {tk} == {lO; 10; 10; O; O; O; ... }. De esta forma, se tiene: T(z) = 10 + lOZ-l + 10z- 2 = 10 Z2 + z + 12(2.97) Z 1 O z2 + z + 1 M( z - 1,05z- 1 )- -1. 1---- z2 (2.98) 56. 38Control de sistemas discretos obteniendo por el mtodo de la di vi sin larga:{mk} == {-lO; -20,5; -31,5; -33,1; -34,8;}(2.99) Respecto al punto de equilibrio, sera:{mk} == {4990; 4979; 4968; 4966; 4965; ... }(2.100) Esta evolucin se representa en la Figura 2.6 ....- .....e.e.e. j .1 , , , , T o 5 10 15 2025 30 35 40 45 se20 30 4050 60 k (a) (b)Figura 2.6. Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a)toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.2.7 Evaluacin del stock en un almacnEn un almacn se hace inventario semanalmente. Para mantener el nivel de stock 1 se realizan lassiguientes operaciones: Cuando el stock desciende del nivel deseado, ID, se realizan pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si el stock es superior al nivel deseado, se devuelven pedidos al distribuidor. Es decir, que la cantidad de pedidos, P S, realizados a principios de semana es: PS == K(ID - 1) (2.101) siendo 1 el nivel de stock a principios de dicha semana . La recepcin de productos, RS, durante la semana es proporcional al volumen total de pedidos no servidos, P, al principio de dicha semana con una constante de proporcionalidad, K 2. 57. Transfonnada Z 39 Las ventas semanales, V S, son independientes del inventario y las recepciones cancelan los pedidos.Se pide:l. Ecuaciones en diferencia. 2.Evolucin del inventario cuando las ventas semanales que se haban estabilizado en 100 uni- dades pasan bruscamente a 120 unidades.Siendo ID == 1.000 unidades, K 1= 0,3 y K 2 = 0,8.Solucin 2.7Se tiene:1. Denominando las siguientes variables como: Ik Nivel de stock a principios de la semana k 1 D Nivel de stock deseado PSk Pedidos realizados a comienzos de la semana k RSk Recepcin de productos durante la semana k Pk Volumen de pedidos no servidos durante la semana k V Sk Ventas realizadas durante la semana k se tienen las siguientes ecuaciones en diferencia: PSk K 1 (ID - I k )RSkK2 P k Ik+lIk +RSk - VS k PkPSk-1 - RSk - 1 (2.102)2. El punto de equilibrio vendr dado por V So = 100. Las dems variables en el punto de equilibrio sern:PSoK 1 (ID - lo)RSoK 2 PO lolo +RSo - VSoPo PSo - RSo (2.103) con lo que se obtienen los siguientes valores en el punto de equilibrio: VSo100 RSo100lo -916,6Po125 PSo -25 (2.104) 58. 40 Control de sistemas discretos Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene:PSk-Kl1kRSkK 2 Pk1k+l Ik + RSk - VSk PkPSk -1 - RSk -1(2.105) Hallando la transfonnada Z y reagrupando, finalmente se obtiene:PS(z) - -K 1 1(z)1l(z)- 1 _ z [VS(z) - RS(z)]RS(z) K 2 PS(z) (2.106) Z+K2 que se puede representar en el diagrama de bloques de la Figura 2.7, teniendo en cuenta que las ventas semanales configuran la seal de entrada y el inventario se toma como seal de salida.VS(z)+- _ _.0=1_ __ I(z)~.-~2-~Kz+K2IFigura 2 7. Diagrama de bloques stock/ventas La funcin de transferencia entre la salida (stock semanal) y la entrada (ventas semanales) es la siguiente:l(z) (2.107) VS(z) Expresin vlida solamente para variables incrementales o relativas. Si las ventas se encuentran estabilizadas en 100 unidades (punto de equilibrio) y pasan a 120 unidades, se puede simular el efecto producido como si se efectuase un escaln de amplitud 20 unidades sobre el punto de equilibrio de las ventas semanales, con lo que la vanable de stock se modificara: l(z) =z + 0,8 z.20__ (2.108)-z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z- 1 El valor final de esta variable relativa en el infinito, si el sistema es estable, ser: loo = lm(1 - z-l) Z + 0,8 . 20z= -150 (2.109) z---?l_Z2+ (1 - 0,8)z+ 0,56 z - 1 59. Transfonnada Z41De esta manera, el valor final de la variable relativa del stock ser lo == -150, que en variablesabsolutas ser 916,6 - 150 == 766,66. Los valores iniciales de la variable stock se puedenexaminar mediante el mtodo de la divisin larga: 20 -1 + 16 -2 I( -1) ZZ(2.110)Z == -1 + 1,2z- 1 + O,36z- 2 - O,56z- 3quedando unos valores para el nivel de stock 1 alrededor del punto de equilibrio: Ik == {O, -20, -40, -55 "2 -69 "4, -150}(2.111 )Sobre e] valor inicial lo ==916~6, se tiene una evolucin:Ik = {916,6; 896,6; 876,6; 861,4; 847,1; .. ; 766,6} (2.112)Esta evolucin se observa en ]a Figura 2.8. W!O. tDD 1 10 112DFigura 2.8. Evolucin del stock tras la vanacin de las ventas.2.8 Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializaciny de la tasa de natalidadSe trata de obtener un modelo parcial que describa ]a influencia que ejercen la industrializacin y latasa de natalidad sobre la poblacin de una regin. Para ello, se supondr: La tasa de natalidad real (T N R) de un ao es igual a ]a tasa de natalidad natural (T N N) de dicho ao menos a veces e] incremento de la poblacin (P) entre dicho ao y el anterior. 60. 42Control de sistemas discretos La tasa de mortalidad real (T M R) de un ao es igual a b veces el grado de contaminacin (GC) de dicho ao ms e veces el grado de contaminacin del ao anterior ms una constante d. El grado de contaminacin anual es e veces el producto de la industrializacin (1) y la pobla- cin de dicho ao.Se pide:l. Ecuaciones en diferencia del modelo.2. Transformada en Z y diagrama de bloques del modelo lineal, as como las funciones de trans- ferencia si se supone que existe un equilibrio para lo = 2 Y T N No == 0,02.3. Valor de la poblacin desde el ao 80 al 85 si 1 y T N N toman los valores de la Tabla 2.6.Ao 1/ I TNN I 802 0,02 8130,015 8240,015 8330,015 8420,02 Siguientes20,02Tabla 2.6. Variacin de la poblacin entre 80 y 85Datos: a== 4 . 10- 6 ; b == 3 . 10- 3 ; e = 2 . 10- 3 ; d == 0,01; e == 10- 3Solucin 2.8Se tiene:l. nicamente existe una ecuacin en diferencias adicional a las dadas en el enunciado y es la que expresa el incremento de la poblacin de un ao al siguiente. En conjunto, las ecuaciones en diferencias son: Pk + T N Rk . Pk -T M Rk . Pk T N Nk- a[Pk - Pk-l] b . GCk + e . GCk - 1 + d elk Pk (2.113)2. Es necesario determinar el punto de equilibrio, que viene dado por lo == 2 Y T N No = 0,02. En el punto de equilibrio se produce P k == P k + 1 == Po:TNRo Po == TMRo Po 61. Transformada Z43 TNRo = TNNo TMRo = (b + e) . Geo + d Geo = e 10Po (2.114)con lo que se obtiene un punto de equilibrio:TNRoTNNo = TMRo == 0,020,02(3 . 10- 3 + 2 . 10- 3 ) Geo + 0,01 ~ GCo =22 10- 3 . 2Po :::::} Po = 1000 (2.115)Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene: Pk + T N Ro . P k + Po . T N Rk - T M Ro . Pk - Po . T M Rk T N N k - a . Pk + a . P k - 1 b . GCk + e . GCk - 1 e . lo . Pk + e . Ik . Po (2.116)que sustituyendo con los valores en el punto de equilibrio, se tiene, finalmente, PIG~l Pk + 1.000 TNR k -1.000 TMR k TNRk -TNNk - 4 10~6. P k + 4.10- 6 . Pk -1 3.10- 3 . GCk + 2.10- 3 . GCk- 1 2 . 10- 3 . Pk + lk (2.117)La transformada en Z quedar de la forma:(z - l)P(z)1.OOOTNR(z) -l.OOOTMR(z)z-lTNR(z) TNN(z) - 4.10- 6 . pez) zTMR(z) 10- 3 . CG(z) . 3z + 2 zGC(z)2.10-3. pez) + fez)(2.118)Con las ecuaciones anteriores se puede representar el diagrama de bloques tomando cornoentradas T N N(z) e fez) y corno salida P(z) (Figura 2.9).Para hallar la funcin de transferencia P(z)jT N N(z), se supondr nula la entrada I(z), conlo que se establece el diagrama de bloques siguiente de la Figura 2.10.Siendo la funcin de transferencia en Z 1000zpez)z2-0,994z+0,004 TNN(z) 1+ 1000z. 410- 6 (z-1)z2-0,994z+0,004 z1.000 (2.119)z - 0,99 62. 44Control de sistemas discretosGC(z)I(z)0,001~3z+2z 0,002 TMR(z) TNN(z1000 pez) .... z-lz-l4 1o-{i ~-----z Figura 2.9 Diagrama de bloques general.P(z)TNN(z) + TNR(z)lOOOz Z2 -O,994z+0,004 z-l4 10-6 ~_---.Jz Figura 2.10. Diagrama de bloques P(z)jTN N(z). I(z) +I-3z+c=] P(z)-,," ~l Z2-0,996z~~---""" 1-------- -0,002~41------- Figura 2.11. Diagrama de bloques P(z)/ fez). Para el clculo de la funcin de transferencia P( z) / 1(z ), de igual fonna, se supone nula la entrada T N N(z), resultando el diagrama de bloques representado en la Figura 2.11. 63. Transfonnada Z45 La funcin de transferencia adopta la expresin siguiente: -3z-2 P(z) z2-0,996z-0,006-3z - 2(2.120) !(z) - 1 +Z2-0 9~~;~O 004 . , ,-2 .10- 3 - z2 - 0,99z Estas funciones de transferencia son vlidas para variables relativas o incrementales.3. Los valores reflejados en la Tabla 2.6 representan la evolucin de las variables absolutas, por lo que ser necesario obtener los valores relativos o incrementales, teniendo en cuenta que: Variables absolutas = Variables punto equiJibrio + Variables relativas (2.]21) De esta manera, se podra construir la Tab]a 2.7. ,AoIabsoluta1relativaTNN absoluta T N Nrelativa 802 O0,02 O 813 10,015-0,005 824 20,015-0,005 833 1 0,015 -0,005 842 O0,02 O Siguientes2 O0,02 OTabla 2.7. Variacin de la poblacin entre 80 y 85. Vanables absolutas y relativas Para obtener los valores relativos de la poblacin (P) cuando ]a industrializacin (1) y la tasa natural de natalidad (T N N) varan segn la Tabla 2.7, se puede aplicar superposicin: hallar la poblacin ante entrada nula en la industrializacin y sumarla a la poblacin obtenida con entrada nula en la tasa natural de natalidad. AS:Slo industrializacinSe cumple: {1k} = {O, l, 2, l, O, O, O, ... } {TNNk } = {O;O;O;O;O;}(2.] 22)cuya transfonnada Z resulta: 2z + 1I() =zz-1 + 2z -2 +z -3 =z2 +z3 - - ---(2.] 23)La poblacin en variables incrementales y ante esta entrada ser:P(z) = P(z) I(z) = -3z - 2 z2 + 2z + 1(2.124) I(z) z2 - 0,99z z3Obtenindose una secuencia de salida:{Pk}relativa-s610 indust = {O; O; -3; -10,97; -17,86; -19,68; -19,48; ... } (2J 25)En la Figura 2.12 se detalla esta evolucin. 64. 46 Control de sistemas discretos ~2-4 -10 -12 -14 . . ..16;- ...., 1 ..18 r -20o_.. -- 51015-- -- -20 25303540 Figura 2.12. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la ac- cin de la industrializacin. Slo tasa natural de natalidad Se cumple: { Ik} == {O, O, O, O, O, o, O, ... }{T N N k } == {O; -0,005; -0,005; -0,005; O; O; O; ... } (2.126) cuya transfonnada Z resulta:TNN(z)= -0,005z- 1 _ 0,005z- 2 _ 0,005z- 3= -0,005(Z: + z + 1) (2.127) z La poblacin en variables incrementales y ante esta entrada ser:P(z)= pez) TNN(z)= 1000 -0,005(z2+ z +1) (2.128) TNN(z) z-0,99 z3 Obtenindose una secuencia de salida:{Pk}relativa-sloTNN == {O; O; -5; -9,95; -14,85; -14,70; -14,55;}(2.129) En la Figura 2.13 se detalla esta evolucin. Accin conjunta Por la linealidad del modelo se puede aplicar superposicin, siendo la salida conjunta debida a las dos entradas la suma de cada una de eIJas: {Pk }relativa == {Pk } relatIva-slo indust. + {Pk }relativa-slo TNN == == {O; O; -8; -20,92; -32,71; -34,38; -34,03; ... } (2.130) 65. Transfonnada Z 47 0 ..... --.. . . ----- - --- -10 ... -15 -O 510J 1520 25 _30 35..L40 Figura 2.13. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la ac- cin de TN N.En la Figura 2.14 se detalla esta evolucin. La evolucin de la poblacin absoluta debidaa las dos entradas se obtendr sumando a la relativa la posicin de equilibrio: {Pk } = {1.000; 1.000; 992; 979; 967,29; 965,62; 965,97;}(2.131)0 . . -- -5 L -10 -15 ~ -20 -25 ..... ~ ..- I-30 ___ _ ________ ___ .,J... _ _ -35o 510152025 30 35 40 Figura 2.14. Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones. 66. 48 Control de sistemas discretos2.9 Problema propuestoObtener la expresin de la energa de una secuencia a partir de la transformada Z de la misma.Solucin 2.9La energa de una secuencia es: E= ~ Je X(z)X21[J 1 (!) ~dzZ Z (2.132)2.10 Problema propuestoUn sistema responde ante una secuencia de entrada en fonna de rampa de pendiente 1, con la se-cuencia representada en la Figura 2.15. Determinar su funcin de transferencia. 7 --.--------r---~---. . - - - - - , - . - - - - - r - -_ _ 6 5 4 3 2 o_A_-----.L..-----------.--L- _ _ . l . - ------1... _ _-- o 1 2345 67 Figura 2.15. Seal de salida.Solucin 2.10La funcin de transferencia es: 67. Transformada Z49G( ) z3+z - 1 (2.133) z === Z5 _ 2z4 + z32.11 Problema propuestoDado un sistema discreto con secuencia de ponderacin:{9k} = {O; 1; -2; 4; -8; 16; -32; ... } (2.134)Se pide:1. Obtener la funcin de transferencia del sistema. 2.Hallar el valor inicial y el valor final de la respuesta del sistema ante entrada escaln.Solucin 2.111.4G(z) =2 (2.135) z+ 2.Yo =O (2.136) Ycx:> = 00 (2.137)2.12 Problema propuestoDado el sistema discreto definido por la siguiente ecuacin en diferencias:(2.138)Se pide:l. Calcular su funcin de transferencia. 2.Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante un escaln: a) Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b) Calculando la antitransfonnada. 68. 50 Control de sistemas discretosSolucin 2.12l.Jr(z)1 (2.139)U(z) z2-z+0,5 2.Yo =O(2.140) Yoo = 2 (2.141)2.13 Problema propuestoEn cierta regin coexisten dos especies animales, una de insectos y otra de gusanos. Los nmeros deindividuos se designan por x e y, respectivamente. Los insectos se comen a los gusanos, los cualesse alimentan de la hierba que existe en cantidad constante.La tasa de natalidad de los insectos es A = 0,8 insectos/insectos-da (80 % diario). Su tasa demortalidad es de la forma (B + C~), siendo B= 0,2 insectos/insectos-da la mortalidad natural ye= 1,2 insectos-gusano/insectos 2 -da la debida a la dificultad para conseguir gusanos.La tasa de natalidad de los gusanos es D = 0,3 gusanos/gusanos-da. Su tasa de mortalidad es dela forma (E + F~ + GY), siendo E= 0,1 gusanos/gusanos-da la mortalidad natural, F = 0,2gusanos/insectos-da la debida a los ataques de los insectos y G = 10- 3 gusanos/gusanos 2 -da ladebida a la dificultad para conseguir hierba.Se pide:l. Plantear las ecuaciones en diferencias del sistema. 2.Calcular el punto de equilibrio. 3.Linealizar las ecuaciones en dicho punto. 4.Calcular la funcin de transferencia en Z entre los gusanos e insectos. 5.Cmo variar la poblacin de gusanos si se produce una plaga con un aumento de la pobla- cin de insectos del lO %?Solucin 2.13l. 2 XXk+l= 1,6xk - 1,2-.k (2.142) Yk Yk+l = 1,2Yk - 0,2Xk - 10-3y~ (2.143) 69. Transfonnada ZSI 2. Xo= 50 (2.144) Yo == 100(2.145) 3. Xk+l == O, 4X k + O,3Yk(2.146)Yk+l == Yk - O, 2X k(2.147) 4.Y(z) O,2z- 10,2 -(2.148)X(z) 1- Z-lz-1 5. Con el modelo 1ineal, la poblacin de gllsanos disminuira hasta desaparecer.2.14 Problema propuestoUsando el mtodo de la divisin larga, calcular los cuatro primeros valores de la secuencia {Xk}cuya transfonnada Z es la siguiente: x_ 10z +5(2.149) (z) - (z - l)(z - 0,2)Solucin 2.14Los primeros valores son:{Xk} == {O; 10; 17; 18,4; ... } (2.150)2.15 Problema propuestoDetenninar los cuatro primeros valores de la secuencia de salida {y k} del sistema discreto G (z) anteentrada escaln unitario utilizando el mtodo de la divisin larga.2 G(z) == 2z - 1 (2.151)Solucin 2.15Los primeros valores son:{Yk} == {O; 1; 1,5; 1,75; ... } (2.152) 70. 52 Control de sistemas discretos2.16 Problema propuestoDeterminar el valor final al que tiende la secuencia {Xk} cuya transformada Z es la siguiente: 11 X(z) = 1_ Z-l 1 - e- 2 z- 1(2.153)Solucin 2.16El valor final de la secuencia es 1. 71. CAPTULO 3MUESTREO Y,,.",RECONSTRUCCION DE SENALES ,DEFINICION DE MUESTREOPor muestreo se entiende el proceso de obtencin de una secuencia temporizada a partir de una sealcontinua. Los elementos de la secuencia se corresponden con los valores de la seal en determinadosinstantes de tiempo.Muestreo peridico. Los instantes de tomas de muestras se encuentran igualmente