Como se discuti brevemente en el captulo 1, las seales analgicas pueden ser digitalizadas mediante muestreo y cuantificacin. Este analgico a digital (A / D) de conversin establece las bases de los sistemas de comunicacin digitales modernas. En el convocante AD, la frecuencia de muestreo debe ser suficiente para permitir que la seal analgica grande para ser reconstruido a partir de las muestras con suficiente precisin. El teorema de muestreo, que es la base para determinar el (sin prdida) frecuencia de muestreo adecuado para una seal dada, ha jugado un papel muy importante en el procesamiento de seales, la teora de la comunicacin y el diseo de circuitos AD.TEOREMA 6.1 MUESTREO

En primer lugar, mostramos que una seal g (t) cuyo espectro est limitada en banda a B Hz, es decir,...................se puede reconstruir exactamente (sin ningn error) a partir de sus muestras tomadas de tiempo discretos uniformemente a una velocidad de R muestras por segundo. La condicin es que R> 2B. En otras palabras, la frecuencia de muestreo mnima para la recuperacin de la seal perfecta es fs = 2B Hz.Para probar el teorema de muestreo, considere una seal g (t) (Fig. 6.1a) cuyo espectro es de banda limitada a B Hz (Fig. 6.1 b). * Para mayor comodidad, los espectros se muestran como funciones de f, as como de w. Muestreo g (t) a una tasa de fs Hz significa que tomamos fs muestras uniformes por segundo. Este muestreo uniforme se puede lograr mediante la multiplicacin g (t) por un tren de impulsos Delta TS (t) de Fig.6.1c, que consiste en impulsos que se repiten peridicamente cada unidad de segundo Ts, donde Ts = 1 / fs. Esto se traduce en el G seal muestreada (t) se muestra en la Fig. 6.1D. La seal muestreada se compone de impulsos espaciados cada Ts segundos (el intervalo de muestreo). El impulso n-simo, que se encuentra en t = nTs, tiene una resistencia g (NTS), que es el valor de g (t) en t = nTs. As, la relacin entre el G seal muestreada (t) y la seal analgica original g (t) esDebido a que las Delta TS tren de impulsos (t) es una seal peridica de periodo Ts, se puede expresar como una serie de Fourier exponencial, que ya se encuentra en el Ejemplo 3.13 como.............................. ..Por lo tanto,........................Para encontrar G (f), la transformada de Fourier de g (t), tomamos la transformada de Fourier de la suma en la ecuacin. (6.3). Sobre la base de la propiedad desplazamiento en frecuencia de, la transformacin del ensimo trmino es desplazada nfs. Por lo tanto,.............................................................Esto significa que el G espectro (f) consiste en G (f), a escala por una constante 1 / Ts, repitiendo peridicamente con perodo fs = 1 / Ts Hz, como se muestra en la Fig. 6. 1eDespus de muestreo uniforme que genera un conjunto de muestras de seal {g (KTS)}, la pregunta fundamental es: Puede g (t) ser reconstruido a partir de g (t) sin ninguna prdida o distorsin? Si vamos a reconstruir g (t) de G (t), de manera equivalente en el dominio de la frecuencia debemos ser capaces de recuperar G (f) de G (f). Grficamente a partir de la Fig. 6,1, perfecta recuperacin es posible si no hay solapamiento entre las rplicas en g (f). Figura 6.1e muestra claramente que esto requiereAdems, el intervalo de muestreo Ts = 1 / fs. Por lo tanto,............................Por lo tanto, siempre y cuando la frecuencia de muestreo fs es mayor que dos veces el ancho de banda de la seal B (en hercios), G (f) consistir en repeticiones que no se superponen de G (f). Cuando esto es as, la figura. 6.1e muestra que g (t) se puede recuperar de sus muestras de g (t) haciendo pasar la seal muestreada (t) a travs de un filtro de paso bajo ideal de ancho de banda B Hz. Los fs frecuencia de muestreo mnimo = 2B requieren para recuperar g (t) a partir de sus muestras g (t) se llama la tasa de Nyquist para g (t), y el intervalo de muestreo correspondiente Ts = 1 / 2B se llama el intervalo de Nyquist de la baja seal g -pass (t). *Tenemos que insistir en un punto importante con respecto a la posibilidad de fs = 2B y una clase particular de seales de paso bajo. Para un espectro de la seal en general, hemos demostrado que la frecuencia de muestreo fs> 2B. Sin embargo, si el espectro G (f) no tiene ningn impulso (o sus derivados) a la frecuencia ms alta B, entonces el solapamiento sigue siendo cero, siempre y cuando la tasa de muestreo es mayor que o igual a la tasa de Nyquist, es decir,.................. ..Si, por otro lado, G (f) contiene un impulso a la frecuencia ms alta B, entonces la igualdad debe ser removido o de lo contrario se producir solapamiento. En tal caso, los fs frecuencia de muestreo debe ser mayor que 2B Hz. Un ejemplo bien conocido es una sinusoide g (t) = sen 2B (t-to). Esta seal es de banda limitada a B Hz, pero todas sus muestras son cero cuando se toma de manera uniforme a una velocidad fs = 2B (a partir de t = a), y g (t) no se puede recuperar a partir de sus muestras de Nyquist. As, por sinusoides, la condicin de fs> 2B debe ser satisfecho.

6.1.1 Reconstruccin de la seal a partir de muestras uniformesEl proceso de reconstruccin de una seal continua en el tiempo g (t) a partir de sus muestras tambin se conoce como interpolacin. En la Fig. 6,1, se utiliz una prueba constructiva para demostrar que una seal g (t) de banda limitada a Hz B puede ser reconstruido (interpolados) exactamente a partir de sus muestras. Esto significa no slo que el muestreo uniforme a la tasa de Nyquist anteriormente conserva toda la informacin de la seal, sino tambin que simplemente pasando la seal muestreada a travs de un filtro de paso bajo ideal de ancho de banda B Hz reconstruir el mensaje original. Como se ve en la ecuacin. (6.3), la seal muestreada contiene un componente (1 / Ts) g (t), y para recuperar g (t) [o G (f)], la seal muestreada.....................................deben enviarse a travs de un filtro de paso bajo ideal de ancho de banda B Hz y ganancia Ts. Tal respuesta del filtro ideal tiene la funcin de transferencia...............................Reconstruccin IdealPara recuperar la seal analgica a partir de sus muestras uniformes, la funcin de transferencia del filtro de interpolacin ideales encontrado en la Ec. (6.7) se muestra en la Fig. 6.2a. La respuesta al impulso de este filtro, el transformada de Fourier inversa de H (f), es..................................Suponiendo que el uso de la tasa de muestreo de Nyquist, es decir, 2BTs = 1, entonces..............................Este h (t) se muestra en la Fig. 6.2b. Observar el hecho muy interesante que h (t) = 0 en todos los instantes de muestreo de Nyquist (t = n / 2B), excepto t = 0. Cuando el G seal muestreada (t) es aplicada a la entrada de este filtro, la salida es g (t). Cada muestra en g (t), siendo un impulso, genera un impulso de sincronismo de la altura igual a la resistencia de la muestra, como se muestra en la Fig. 6.2c. El proceso es idntico al mostrado en la Fig. 6.6, excepto que h (t) es un pulso de sincronismo en lugar de un pulso rectangular. La adicin de los impulsos de sinc generados por todos los resultados en muestras de g (t). La muestra de orden k del G entrada (t) es el impulso g (nudos) (t-nudos); la salida del filtro de este impulso es g (kT) h (t-kT) Por lo tanto, la salida del filtro a G (t), que es g (t), ahora se puede expresar como una suma,...................................................................La ecuacin (6.10) es la frmula de interpolacin, que produce valores de g (t) entre las muestras como una suma ponderada de todos los valores de la muestra.Ejemplo 6.1Encuentra una seal g (t) es de banda limitada a Hz B y cuyas muestras son..................... ..donde el intervalo de muestreo Ts, es el intervalo de Nyquist para g (t), es decir, Ts = 1 / 2B.Usamos la frmula de interpolacin (6.10b) para la construccin de g (t) a partir de sus muestras. Dado que todas menos una de las muestras de Nyquist son cero, solamente un trmino (correspondiente a k = 0) en la suma en el lado derecho de la ecuacin. (6.10b) sobrevive. Por lo tanto,...................Esta seal se muestra en la figura. 6.3. Observe que esta es la nica seal que tiene un ancho de banda B Hz y valores de muestra g (0) = 1 y g (NTS) = 0 (n 0). Ninguna otra seal satisface estas condiciones.

Prctica Seal Reconstruccin (interpolacin)Hemos establecido en la Sec. 3.5 que el filtro ideal de paso bajo es no causal e irrealizable. Esto se puede equivalentemente visto desde la naturaleza infinitamente largo del impulso de la reconstruccin sinc utilizado en la reconstruccin ideal de la ecuacin. (6,10). Para la aplicacin prctica de la reconstruccin de la seal (por ejemplo, un reproductor de CD), es necesario implementar sistemas de reconstruccin de la seal de realizacin de las muestras de la seal uniformes.Para la aplicacin prctica, esto p pulso reconstruccin (t) debe ser fcil de generar. Por ejemplo, podemos aplicar el p pulso reconstruccin (t) como se muestra en la Fig. 6.4. Sin embargo, hay que utilizar primero la no ideal p pulso interpolacin (t) para analizar la precisin de la seal reconstruida. Denotemos la nueva seal de la reconstruccin como.............................. ..Para determinar su relacin con la seal analgica original g (t), podemos ver en las propiedades de convolucin y la Ec. (6.1) que..............................En el dominio de la frecuencia, la relacin entre la reconstruccin y la seal analgica original puede confiar en la Ec. (6,4)...............................Esto significa que la seal reconstruida g (t) utilizando p pulso (t) consta de varias rplicas de G (f) desplazado a la nfs centro de frecuencia y filtrado por P (f). Para recuperar plenamente g (t), ms el filtrado de g (t) se convierte en necesario. Tales filtros se refieren a menudo como ecualizadores.Denotemos la funcin de transferencia del empate como E (f). Reconstruccin sin distorsin requiere que................................................................... ..Esta relacin muestra claramente que el ecualizador debe quitar todas las rplicas desplazado G (f -nfs) en la suma excepto por el trmino de paso bajo con n = 0, es decir,................................. ..Adems, la reconstruccin requiere que sin distorsin.............................. ..El filtro ecualizador E (f) debe ser de paso bajo en la naturaleza para detener todo el contenido de frecuencia por encima de fs-B Hz, y debe ser el inverso de P (f) dentro del ancho de banda de la seal de B Hz. La figura 6.5 muestra el diagrama de un sistema prctico reconstruccin de la seal utilizando un ecualizador tales.Consideremos ahora una muy simple generador de impulsos interpolacin que genera cortos (retencin de orden cero) pulsos. Como se muestra en la Fig. 6,6,.................................... ..Este es un impulso de puerta de altura de la unidad con duracin de impulso Tp. La reconstruccin primera generacin..............................La funcin de transferencia del filtro P (f) es la transformada de Fourier de (t / Tp) desplazado por 0.5Tp:................................. ..Como resultado, la respuesta de frecuencia del ecualizador debe satisfacer............................................................................ ..Es importante para nosotros para asegurarse de que la respuesta de paso de banda de ecualizador es realizable. En primer lugar, podemos aadir otro tiempo de retardo a la reconstruccin de tal manera que..............................Para la ganancia de banda de paso de E (f) estar bien definido, es imperativo para nosotros para elegir un pulso corto ancho Tp tal que........................ ..Esto significa que el ecualizador E (f) no es necesario para lograr la ganancia infinita. De lo contrario, el empate se hara irrealizable. De forma equivalente, esto requiere que......................Por lo tanto, siempre y cuando el ancho de pulso rectangular reconstruccin es ms corto que 1 / B, puede ser posible disear un filtro ecualizador analgico para recuperar la seal analgica original de g (t) desde el tren de impulsos de la reconstruccin no ideal. Por supuesto, esto es un requisito para un generador de impulsos reconstruccin rectangular. En la prctica, Tp puede elegirse muy pequea, para producir la siguiente respuesta de banda de paso ecualizador:.............................. ..Esto significa que muy poca distorsin queda cuando se utilizan pulsos rectangulares muy cortos en la reconstruccin de la seal. Tales casos hacen que el diseo del ecualizador ya sea innecesaria o muy simple. Un ejemplo se da como un ejercicio de MATLAB en la Sec. 6.9.Podemos mejorar en el filtro de orden cero de retencin utilizando el filtro de primer orden de retencin, lo que resulta en una interpolacin lineal en lugar de la interpolacin escalera. El interpolador lineal, cuya respuesta al impulso es un impulso de tringulo (t / 2Ts), da como resultado una interpolacin en el que las tapas de muestra sucesivas estn conectados por segmentos de recta (. PROB 6.1-7).6.1.2 Problemas prcticos en Signal Muestreo y ReconstruccinRealizabilidad de Reconstruccin FiltrosSi una seal es muestreada a la tasa de Nyquist fs = 2B Hz, el espectro G (f) consiste en repeticiones de G (f) sin ninguna brecha entre ciclos sucesivos, como se muestra en la Fig. 6.7a. Para recuperar g (t) de G (t), tenemos que pasar el muestreada de la seal (t) a travs de un filtro ideal de paso bajo (rea punteada en la Fig. 6.7a). Como se ve en la Sec. 3.5, un filtro de este tipo es irrealizable en la prctica; se puede aproximar estrechamente solamente con retardo de tiempo infinito en la respuesta. Esto significa que podemos recuperar la seal g (t) a partir de sus muestras con retardo de tiempo infinito.Una solucin prctica a este problema es tomar muestras de la seal a una velocidad superior a la tasa de Nyquist (fs> 2B o Ws> 4B). Esto produce G (f), que consiste en repeticiones de G (f) con un intersticio de banda finito entre ciclos sucesivos, como se muestra en la Fig. 6.7B. Ahora podemos recuperar G (f) de G (f) [o de G '(f)] mediante el uso de un filtro de paso bajo con un corte gradual caracterstica (rea punteada en la Fig. 6.7B). Pero incluso en este caso, se requiere la ganancia del filtro a cero ms all del primer ciclo de G (f) (Fig.6.7b). De acuerdo con el criterio Paley-Wiener, es imposible de realizar, incluso este filtro. La nica ventaja en este caso es que el filtro requerida se puede aproximar mejorcon un tiempo de retardo ms pequeo. Esto demuestra que es imposible en la prctica para recuperar una seal de banda limitada g (t) exactamente partir de sus muestras, incluso si la tasa de muestreo es mayor que la tasa de Nyquist. Sin embargo, como la frecuencia de muestreo aumenta, la seal recuperada se acerca ms a la seal deseada.

La Traicin de AliasingHay otra dificultad prctica fundamental en la reconstruccin de una seal a partir de sus muestras. El teorema de muestreo se demostr en el supuesto de que la seal g (t) es de banda limitada. Todas las seales prcticas son limitadas en el tiempo; es decir, que son de duracin o anchura finita. Podemos demostrar (Prob. 6,1-8) que una seal no puede ser limitada en el tiempo y de banda limitada de forma simultnea. Una seal limitada en el tiempo no puede ser de banda limitada, y viceversa (pero una seal puede ser al mismo tiempono limitada en el tiempo y limitado no de banda). Es evidente que todas las seales de prcticas, que son necesariamente limitada en el tiempo, no son de banda limitada, como se muestra en Fig.6.8a; que tienen ancho de banda infinito, y el G espectro (f) se compone de la superposicin de los ciclos de G (f) se repiten cada fs Hz (la frecuencia de muestreo), como se ilustra en la Fig. 6.8b. Debido a la anchura de banda infinito en este caso, el espectralsuperposicin es inevitable, independientemente de la velocidad de muestreo. El muestreo a una tasa superior reduce pero no elimina la superposicin entre la repeticin de ciclos espectrales. Debido a la superposicin G (f) ya no tiene informacin completa sobre G (f), y ya no es posible, incluso en teora, para recuperar g (t) exactamente del G seal muestreada (t). Si la seal muestreada espasado a travs de un filtro de paso bajo ideal de la frecuencia de corte fs / 2 Hz, la salida no es G (f), pero Ga (f) (Fig. 6.8c), que es una versin de G (f) distorsionada como resultado de dos causas distintas:

1. La prdida de la cola de G (f) ms all de | f |> fs / 2 Hz.2. La reaparicin de esta cola invertida o doblado de nuevo en el espectro.

Tenga en cuenta que la cruz espectros a la frecuencia fs / 2 = 1 / 2T Hz, que se llama la frecuencia de plegado. El espectro puede ser visto como si la cola perdido es plegable sobre s mismo a la frecuencia de plegado. Por ejemplo, un componente de frecuencia (fs / 2 + fz muestra como, o "suplanta", un componente de frecuencia ms baja (fs / 2) -fz en la seal reconstruida. Por lo tanto, los componentes de frecuencias por encima de fs / 2 reaparecen como componentes de frecuencias por debajo de fs / 2. Esta inversin cola, conocida como plegado espectral o aliasing, se muestra sombreada en la Fig. 6.8b, y tambin en la Fig. 6.8c. En el proceso de aliasing, no slo estamos perdiendo todos los componentes de frecuencias por encima de la frecuencia de plegado fs / 2 Hz, pero estos mismos componentes reaparecen (alias) como componentes de baja frecuencia en la Fig. 6.8b o c. Tal aliasing destruye la integridad de los componentes de frecuencia por debajo de la frecuencia de plegado fs / 2, como se representa en la Fig. 6.8c.El problema de aliasing es anloga a la de un ejrcito cuando cierto pelotn ha desertado en secreto hacia el lado enemigo, pero sigue siendo nominalmente leales a su ejrcito. El ejrcito est en la cosa juzgada. En primer lugar, se ha perdido el pelotn de desertar como una fuerza de combate eficaz. Adems, durante la lucha real, el ejrcito humillado tener que lidiar con el sabotaje provocado por los desertores y tendr que utilizar leal pelotn para neutralizar los desertores. Por lo tanto, el ejrcito ha perdido dos pelotones de la actividad no productiva.

Los desertores Eliminado: El filtro antialiasingSi usted fuera el comandante del ejrcito traicionado, la solucin al problema sera obvia. Tan pronto como se enter de la desercin, que le incapacite, por cualquier medio, el pelotn de desertar. Al realizar esta accin antes de que comience la lucha, se pierde slo una (la que abandonar el juego) * pelotn. Esta es una solucin parcial al doble peligro de la traicin y sabotaje, una solucin que parte rectifica el problema y reduce las prdidas a la mitad.Seguimos exactamente el mismo procedimiento. Los desertores potenciales son todos los componentes de la frecuencia ms all de la frecuencia de plegado fs / 2 = 1 / 2T Hz. Debemos eliminar (suprimir) estos componentes de g (t) antes del muestreo g (t). Tal supresin de frecuencias ms altas se puede lograr mediante un filtro de paso bajo ideal de corte fs / 2 Hz, como se muestra en la Fig. 6.8d. Esto se llama el filtro antialiasing. Figura 6.8d tambin muestra que el filtrado de antialiasing se realiza antes del muestreo. Figura 6.8e muestra el espectro de la seal muestreada y la Gaa seal reconstruida (f) cuando se utiliza el esquema de antialiasing. Un filtro antialiasing esencialmente banda limita la seal g (t) a fs / 2 Hz. De esta manera, perdemos slo los componentes ms all de la frecuencia de plegado fs / 2 Hz. Estos componentes suprimidos ahora no pueden volver a aparecer, corrompiendo los componentes de frecuencias por debajo de la frecuencia de plegado. Claramente, el uso de un filtro de resultados antialiasing en el espectro de la seal reconstruida Gaa (f) = G (f) para | f |