SISTEMAS DE NUMERACIÓN Conversiones de decimal a binario, octal y hexadecimal y viceversa. Un bit es un digito binario (la palabra bit proviene de binary digit) es decir, un 0 o un 1. En una computadora digital, los datos y las instrucciones se codifican mediante bits. La tecnología determina la forma física de representar los bits dentro de un sistema de cómputo. El hardware actual se basa en el estado de un circuito electrónico para representar un bit. El circuito debe poder estar en dos estados (uno que represente 1, y el otro 0). En este capítulo se analizara el sistema numérico binario, sistema numérico hexadecimal, el cual representa los enteros mediante 16 símbolos, el sistema numérico octal, que representa los enteros mediante ocho símbolos. Para representar los números enteros en el sistema numérico decimal, se utilizan los diez símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Cuando representamos un entero, es importante la posición de los símbolos; al leer de derecha a izquierda, el primer símbolo representa el número de unidades, el siguiente símbolo el número de decenas, el siguiente símbolo el número de centenas, y así sucesivamente (ver figura1.1)

En el sistema numérico binario (base 2) sólo necesitamos 2 símbolos (0 y 1) para representar los enteros. En la representación de un entero, leída de derecha a izquierda, el primer símbolo reprenda el número de unos, el siguiente símbolo el número de doses, el siguiente símbolo el número de cuatros, el siguiente símbolo el número de ochos y así sucesivamente.(ver figura 1.2)

Figura 1.1 Sistema Numérico decimal

Para los casos anteriores así como para los subsecuentes, el símbolo en la posición n (donde el símbolo de la extrema derecha ocupa la posición 0) representa el número de magnitud 2n. Como 20 = 1, el símbolo en la posición 0 representa el número de 20, o de unos; como 21 =2, el símbolo en la posición 1 representa el número de 21, o de doces; como 22 = 4, el símbolo en la posición 2 representa el número de 22, o de cuatros; y así sucesivamente. Sin saber cuál sistema numérico se esté utilizando, una representación es ambigua; por ejemplo, 101101 representa un número en decimal y otro número muy distinto en binario. Con frecuencia, el contexto indica el sistema numérico en uso, pero cuando se quiere ser absolutamente claro, colocamos un número como subíndice para especificar la base (el subíndice 10 denota el sistema decimal y el subíndice 2 denota el sistema binario). Por ejemplo, el número binario 101101 puede escribirse 1011012. Ejemplo: Convertir de binario a decimal el siguiente número binario 1011012. 1011012 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 1011012 = 1 x 32 + 0 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 1011012 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 +1 1011012 = 4510 Ejemplo: Convertir de binario a decimal el siguiente número binario 110110112 110110112 = 1 x 27 +1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 110110112 = 1 x 128 + 1 x 64 + 0 x 32 + 1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 110110112 = 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 +1 110110112 =21910 Ejemplo: Convertir de decimal a binario el siguiente número decimal 9110

Figura 1.2 Sistema Numérico Binario.

Como se podrá observar el ordenamiento de los residuos obtenidos se coloca de izquierda a derecha, en otras palabras el ultimo residuo que se obtiene es el primero en colocarse, es importante toman en cuenta esta consideración ya que es la diferencia entre estar correctos o incorrectos; por lo tanto el número decimal 9110 en su representación en binario es 10110112 Ejemplo: Convertir de decimal a binario el siguiente número decimal 13010 El número decimal 13010 en su representación en binario es 100000102 Otras bases importantes para los sistemas numéricos en las ciencias computacionales son la base 8 u octal y la base 16 o hexadecimal (en ocasiones se abrevia como hex). Analizaremos primero el sistema octal, el cual cuenta con 8 símbolos como elementos que lo conforman y estos son el 0,1,2,3,4,5,6,7; con solo estos números se podrán representar sus equivalencias de números decimales a la base octal. Ejemplo: Convertir de decimal a octal el siguiente número decimal 13010

El número decimal 13010 en su representación en octal es 2028

45 2 91 11 1

22 2 45 01 1

11 2 22 00

5 2 11 01 1

2 2 5 1

1 2 2 0

0 2 1 1

1 1 0 1 1 0 1

65 2 130 10 0

32 2 65 01 1

16 2 32 12 0

8 2 16 0 0

4 2 8 0

2 2 4 0

1 2 2 0

1 0 0 0 0 0 1

0 2 1 1

0

16 8 130 50 2

2 8 16 0

0 8 2 2

2 0 2

Ejemplo: Convertir de decimal a octal el siguiente número decimal 7910

El número decimal 7910 en su representación en octal es 1178 Bien, después de haber observado el desarrollo de los ejemplos anteriores, podemos observar que el proceso para convertir un numero decimal a su equivalente en octal, se realizan divisiones sucesivas entre la base a la que se quiere llegar, esto con el objeto de que los residuos que se obtengan se encuentren entre 0, 1,2,3,4,5,6 y 7 y mientras tanto el cociente obtenido se reutilizará para la siguiente división sucesiva, hasta que este ya no sea posible dividirse, esto sucede cuando el número obtenido es menor a la base en que se divide, para este caso el número deberá de estar entre 0 y 7. Cabe observar que el orden de ordenación para representar el número en su equivalente se ordena del último obtenido al primero dividido, como el mismo caso del sistema binario visto con anterioridad y caso que predominará para todas las bases sucesivas. Después de realizar la conversión de decimal a octal, se tiene que realizar la comprobación para estar seguros que el resultado obtenido es el correcto, para ello se aplica el mismo método visto anteriormente con el sistema binario, el cual es empezar a multiplicar los equivalentes en la base actual para poder obtener su equivalente a decimal, a continuación los mismos ejemplos pero ahora a la inversa. Ejemplo: Convertir de octal a decimal el siguiente número octal 2028 2028 = 2 x 82 + 0 x 81 + 2 x 80 2028 = 2 x 64 + 0 x 8 + 2 x 1 2028 = 128 + 0 + 2 2028 =13010 Ejemplo: Convertir de octal a decimal el siguiente número octal 1178 1178 = 1 x 82 + 1 x 81 + 7 x 80 1178 = 1 x 64 + 1 x 8 + 7 x 1 1178 = 64 + 8 + 7 1178 =7910

9 8 79 7

1 8 9 1

0 8 1 1

7 1 1

Ahora por último analizaremos el desarrollo del sistema de numeración hexadecimal, el cual está conformado por la combinación del sistema decimal y seis símbolos más, los cuales al combinarse quedan de la siguiente forma:

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Teniendo como antecedentes los dos sistemas de numeración anteriores como son el binario y el octal, de la misma manera convertiremos un número decimal a hexadecimal y posteriormente lo comprobaremos aplicando las formas ya antes vistas. Ejemplo: Convertir de decimal a hexadecimal el siguiente número decimal 13010

El número decimal 13010 en su representación en hexadecimal es 8216 Ejemplo: Convertir de decimal a hexadecimal el siguiente número decimal 7910

El número decimal 7910 en su representación en hexadecimal es 4F16 Ejemplo: Convertir de hexadecimal a decimal el siguiente número hexadecimal 8216 8216 = 8 x 161 + 2 x 160 8216 = 8 x 16 + 2 x 1 8216 = 128 + 2 8216 =13010 Ejemplo: Convertir de hexadecimal a decimal el siguiente número hexadecimal 4F8 4F16 = 4 x 161 + F x 160 4F16 = 4 x 16 + 15 x 1 4F16 = 64 + 15 4F16 =7910

2 8

8 16 130 2

0 16 8 8

F 4

4 16 79 15

0 16 4 4

Ejercicios para desarrollar utilizando el método anterior:

A) En los ejercicios siguientes exprese cada número binario en decimal.

i. 1001 ii. 11011

iii. 100000 iv. 11111111 v. 11011111

vi. 110111011011

B) En los ejercicios siguientes exprese cada número decimal en binario.

i. 33 ii. 4000

iii. 610 iv. 1024 v. 512

vi. 12340

C) En los ejercicios siguientes exprese cada número octal en decimal.

i. 777 ii. 543

iii. 12 iv. 371 v. 422

vi. 173

D) En los ejercicios siguientes exprese cada número decimal en octal

i. 890 ii. 123

iii. 543 iv. 9000 v. 435

vi. 20

E) En los ejercicios siguientes exprese cada número hexadecimal en decimal.

i. 3A ii. A03

iii. 1E9 iv. 209D v. 3E7C

vi. 4B07A

F) En los ejercicios siguientes exprese cada número decimal en hexadecimal

i. 890 ii. 123

iii. 543 iv. 9000 v. 435

vi. 20 Sumas de binarios, octales y hexadecimales Suma entre binarios A continuación se analizará la suma de números con base binaria. El mismo método utilizado para sumar números decimales puede usarse para sumar números binarios; sin embargo, se debe reemplazar la tabla de la suma decimal con la tabla de suma binaria. + 0 1 0 0 1 1 1 10 En el sistema decimal cuando sumamos 1 + 1 = 2 y obtenemos el 210 = 102; así, en binario, 1 + 1 = 10. Ejemplo: Resuelve las siguientes sumas binarias 10011011 y 1011011

1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1

Como en la suma decimal, se comienza por la derecha, sumando 1 y 1. La suma es 102; así escribimos 0 y llevamos 1(o acarreamos el 1 a la posición inmediata siguiente). En este momento el cálculo es:

1 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 0

Ahora en la posición inmediata siguiente tenemos tres números que sumar que son 1 + 1 + 1, que sumados en pares es igual a:

1 1 1 0

El 0 se suma ahora con el 1 restante y nos queda como resultado lo siguiente.

1 0 1 1 1

Por lo tanto ahora el cálculo parcial nos queda

1 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 1 0

Para la posición inmediata siguiente no tenemos ningún problema, ya que toca sumar 1 + 0 + 0 y cualquier cantidad sumada con 0 siempre será la misma cantidad, así que el cálculo parcial ahora nos queda:

1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

Bueno, ahora en las dos siguientes operaciones como se puede observar se vuelve a repetir las operaciones con las que se tenían al momento de iniciar con esta suma, observando que hasta este momento ya no tenemos ningún número en acarreo, así que aplicando lo anterior los resultados parciales quedarían de la siguiente forma:

1 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

Y como se menciono anteriormente cualquier cantidad sumada con 0 es la unidad, teniendo como resultado de la suma la cantidad de 111101102 Ahora bien esto para comprobar que realmente es el resultado correcto se puede proceder al método antes visto de convertir números binarios a decimales para su verificación. Quedando de la siguiente forma 1 0 0 1 1 0 1 1 1x27+0x26+0x25+1x24+1x23+0x22+1x21+1x20= 155 + 1 0 1 1 0 1 1 1x26+0x25+1x24+1x23+0x22+1x21+1x20= 91 1 1 1 1 0 1 1 0 1x27+1x26+1x25+1x24+0x23+1x22+1x21+0x20= 246 Ejemplo: Resuelve las siguientes sumas binarias 1001, 1011 y 1111

1 0 0 1 + 1 0 1 1 1 1 1 1

1er. Recordamos el proceso de suma que hacemos con los números decimales, que es de izquierda a derecha; para este caso retomamos la primera columna y aplicamos el método de sumar por pares y acarreamos

1 1 1 1 1 1

La interpretación del resultado es: 1 +1 = 10, después 10 + 1 = 11 2od. Realizado el comentario anterior se procederá a la columna siguiente:

1 1 1 0 0 1 + 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Como se pudo observar en la columna siguiente se repite el mismo caso que en la primer columna, así que continuamos: 3er. Se hace la suma de la tercera columna, donde tenemos 1+0+0+1=10, colocamos el 0 acarreamos 1 a la siguiente columna:

1 1 1 1 0 0 1 + 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

4º. Por último se trabaja con la cuarta columna donde tenemos el caso de 1+1+1+1; en este caso sumamos por pares y acarreamos el sobrante a la columna siguiente en ambos casos; resultando 10+10=0 y con acarreo de 1+1.

1 1

1 1 1 1 1 0 0 1 + 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1

Y como se puede observar con los dos acarreos restantes la suma da 1+1=10; de tal forma que se coloca el 0 y acarreamos 1 a la siguiente posición, pero como en la siguiente posición ya no hay nada que sumar simplemente se traslada a la derecha, de tal manera que el resultado obtenido de la suma anterior es: 1000112 cuya comprobación se demuestra de la siguiente forma:

1 0 0 1 1x23+0x22+0x21+1x20= 910 + 1 0 1 1 1x23+0x22+1x21+1x20= 1110 1 1 1 1 1x23+1x22+1x21+1x20= 1510 1 0 0 0 1 1 1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20= 3510

Suma entre octales A continuación se analizará la suma de números con base octal. El mismo método utilizado para sumar números decimales puede usarse para sumar números octales; sin embargo, se debe considerar lo siguiente: se suman los elementos en decimal y si el resultado de la suma rebasa la base en la que se encuentra, se deberá de aplicar la conversión a la base en la que se está trabajando, ejemplos:

• 18 +38 + 28 = 68 • 78 + 28 + 48 = 1310, pero en octal es: 158

Ejemplo: Resuelve las siguientes sumas entre octales 765 y 136

Ahora realizaremos la suma de octales, para lo cual seguiremos el desarrollo para sumar 765 y 136, el problema puede escribirse:

7 6 5 + 1 3 6

Comenzaremos con la primera columna de derecha a izquierda, sumando 5 y 6. Como la suma de ambos en decimal es 1110, su equivalente en octal es 138, recuerda como se convierten números decimales a octales y aplica el mismo método visto en la sección anterior y verificaras el resultado correcto. Por lo tanto escribimos el 3 y llevamos el 1 a la posición siguiente:

1 7 6 5 + 1 3 6 3

Ahora bien en la columna siguiente tenemos 1 + 6 + 3, sumados en decimal nos da 1010 y su conversión en octal es 128, por lo tanto escribimos el 2 y llevamos 1 a la posición siguiente:

1 7 6 5 + 1 3 6 2 3

Por último podemos observar que la suma de 1 + 7 + 1 en decimal es 9 y como este número excede a la base octal, se tendrá que realizar su conversión teniendo como resultado 118, como ya es la última columna a la derecha, se coloca el resultado completo, quedando de la siguiente forma:.

1 7 6 5 + 1 3 6 1 1 2 3

Para la verificación de que el resultado es correcto, se tendrá que aplicar el método visto en la sección anterior, adelantamos solamente los resultados en decimal:

7 6 58 50110 + 1 3 68 + 9410 1 1 2 38 112310

Suma entre hexadecimales A continuación se analizará la suma de números con base dieciséis (hexadecimal). El mismo método utilizado para sumar números decimales puede usarse para sumar números hexadecimales; sin embargo, se debe considerar lo siguiente: se suman los elementos en decimal y si el resultado de la suma rebasa la base en la que se encuentra, se deberá de aplicar la conversión a la base en la que se está trabajando, ejemplos:

• 116 +316 + 216 = 616 • 716 + 216 + 416 = 1310, pero en hexadecimal equivale a la letra D16 • A16 + D16 + F16 = 1010 + 1310 + 1510 = 3810, pero en hexadecimal equivale a 2616.

Ejemplo: Resuelve las siguientes sumas entre hexadecimales 84F y 42EA Ahora realizaremos la suma de hexadecimales, para lo cual seguiremos el desarrollo para sumar 84F y 42EA, el problema puede escribirse:

8 4 F + 4 2 E A

Comenzamos con la primera columna de derecha a izquierda, sumando F y A. Como F es 1510 y A es 1010, F + A = 1510 + 1010 =2510=1916. ¿Cómo llegamos a obtener el equivalente?, recordando las conversiones vistas con anterioridad de decimal a hexadecimal. Bien después del recordatorio escribimos el 9 y llevamos 1 a la siguiente posición:

1 8 4 F + 4 2 E A 9

Ahora sumamos 1 + 4 + E, obteniendo sus equivalentes en decimal de 110 + 410 + 1410 = 1910 = 1316. Escribimos 3 y llevamos 1:

1 1 8 4 F + 4 2 E A 3 9

Ahora sumamos 1 + 8 + 2 y como la suma de esto es 1110 su equivalente en hexadecimal es la letra B, por lo tanto como el valor en decimal no rebasa la base en hexadecimal, solamente nos limitamos a convertir el valor numérico por el símbolo equivalente.

1 8 4 F + 4 2 E A

B 3 9 Por último como el valor anterior fue la letra B, no existe acarreo y por lo tanto solamente nos limitamos a realizar la suma correspondiente quedando de la siguiente forma:

8 4 F + 4 2 E A 4 B 3 9

Para la verificación de que el resultado es correcto, se tendrá que aplicar el método visto en la sección anterior, adelantamos solamente los resultados en decimal:

8 4 F 2127 + 4 2 E A + 17130 4 B 3 9 19257

Ejercicios para desarrollar utilizando el método anterior:

A. En los ejercicios siguientes exprese las sumas de binario.

i. 1001 + 11011 + 1110 ii. 100000 + 11111111

iii. 11011111 + 110111011011

B. En los ejercicios siguientes exprese las sumas de octal.

i. 777 + 543 + 12 ii. 371 + 422

iii. 173 + 552

C. En los ejercicios siguientes exprese las sumas de hexadecimal.

i. 3A + A03 + 1E9 ii. 209D + 3E7C

iii. 4B07A + DFB

Multiplicaciones binarias, octales y hexadecimales Multiplicaciones binarias Con respecto a la multiplicación binaria, se siguen las mismas reglas que con los decimales, la cual es muy simple, el producto por cualquier cantidad que sea 0 tendrá como resultado 0, obteniendo como resultados una tabla como la siguiente:

x 0 1 0 0 0 1 0 1

Lo importante de la multiplicación binaria es que después de haber aplicado la multiplicación de los términos, la suma se hacen considerando el método visto en la sección anterior. Ejemplo: Resuelve la siguiente multiplicación entre binarios 101 y 11

1 0 1 x 1 1

Bien realizamos la multiplicación de la misma forma tradicional que se haría si fueran números decimales, considerando la regla expuesta en la tabla anterior, quedando de la siguiente forma:

1 0 1 x 1 1 1 0 1

Después seguimos con el siguiente multiplicando y nos quedaría de la siguiente forma:

1 0 1 x 1 1 1 0 1 1 0 1

Ahora si después de haber multiplicado vamos a sumar y obtener resultados, como ya se explico con anterioridad el método de sumas binarias, solo nos limitaremos a colocar resultados:

1 0 1 x 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

Bueno, tal vez el ejemplo anterior no resultará difícil de entender, pero como solo se trata de explicar el concepto de la multiplicación, consideramos que este ejemplo es más que ilustrativo. Multiplicación de octales Con respecto al sistema octal, se realiza de la misma forma que en el sistema decimal y que en el binario, salvo un concepto que debemos tener presente: “la multiplicación entre octales la deberás de realizar pensando en decimal y si el resultado excede a la base, se deberá de realizar su debida conversión para regresar a la base en la que estás trabajando, que para este caso es la base octal” La recomendación anterior, ya no te deberá ser nueva, ya que en las secciones anteriores las has estado ejecutando. . Ejemplo: Resuelve la siguiente multiplicación entre octales 742 y 43

7 4 2 x 4 3 2 6 4 6

Bien por si a simple vista no encuentras explicación de el primer resultado obtenido, explicaremos cada operación realizada 3 x 2 = 6 (como el resultado no excede a la base el resultado es octal), 3 x 4 = 12 (como el resultado excede a la base el numero que obtienes es decimal por lo tanto deberás de aplicar el método ya antes visto y su equivalente en octal es 14, para lo cual se hace lo mismo que en una multiplicación decimal tradicional, que es escribir el 4 y acarrear el 1 a la posición siguiente) y por último se multiplica 3 x 7 = 21 + 1 = 22 (como el resultado excede a la base, se convierte a su equivalente que es 26 octal). Hecha esta aclaración y siguiendo el mismo esquema anterior nos trasladamos a realizar la última multiplicación que nos falta:

7 4 2 x 4 3 2 6 4 6 3 6 1 0

Bueno con la explicación anterior no tendrás problemas para interpretar los resultados obtenidos, por lo cual procederemos a mostrar el resultado final que se obtiene al sumar.

7 4 2 x 4 3 2 6 4 6 3 6 1 0 4 0 7 4 6

Multiplicación de hexadecimales Tanto el sistema octal como el hexadecimal, se aplican de la misma forma, esto es que las recomendaciones antes descritas se deberán de tomar en cuenta para las multiplicaciones, pero solo deberás de recordar que al momento de convertir el número decimal a la base en la que estamos trabajando esta incluye letras y eso podría causarte problemas de no considerar esa parte, he aquí un ejemplo. Ejemplo: Resuelve la siguiente multiplicación entre octales A38 y F5 A continuación se muestra el resultado de haber multiplicado A38 x 5.

A 3 8 x F 5 3 3 1 8

En los resultados del primer multiplicando, se obtuvieron de la siguiente forma, primero multiplicamos en decimal 8 x 5 = 40, para su conversión a hexadecimal, considera el método visto en las secciones anteriores que después de haber realizado las divisiones sucesivas obtenemos el resultado de 2816, por lo cual escribimos 8 y acarreamos el 2 a la posición siguiente; después multiplicamos 3 x 5 = 15 + 2 = 17 decimal, se vuelve a aplicar el mismo tratamiento de conversión a la base que estamos trabajando y el resultado que obtenemos es 1116, por lo cual escribimos 1 y se acarrea el otro 1; por ultimo multiplicamos en A x 5 = 10 x 5= 50 + 1 = 51 decimal, se convierte a la base hexadecimal y tenemos como resultado 3316, como ya no hay más que multiplicar se coloca el resultado completo y hemos terminado el primer multiplicando. Ahora se muestra el resultado de multiplicar A38 x F.

A 3 8 x F 5 3 3 1 8 9 9 4 8

El desarrollo de haber obtenido los resultados del producto anterior, se describen a continuación: 8 x F = 8 x 15 = 12010 y su equivalente en hexadecimal es 7816; escribimos 8 y acarreamos 7 a la posición siguiente, después multiplicamos 3 x F = 3 x 15 = 45 + 7 = 5210 y su equivalente en hexadecimal quedaría 3416; por lo cual se procede de la misma forma escribimos 4 y acarreamos 3 a la posición siguiente; por ultimo multiplicamos A x F= 10 x 15 = 150 + 3 =15310 y su equivalente es 9916. Ya por ultimo procedemos a realizar la suma aplicando el método ya conocido, teniendo como resultado el siguiente:

A 3 8 x F 5 3 3 1 8 9 9 4 8 9 C 7 9 8

Ejercicios para desarrollar utilizando el método anterior:

A. En los ejercicios siguientes exprese las multiplicaciones de binario.

i. 1001 x 111 ii. 100000 x 11111

iii. 11011111 x 11011101

B. En los ejercicios siguientes exprese las multiplicaciones de octal.

i. 777 x 543 ii. 371 x 42

iii. 173 x 55

C. En los ejercicios siguientes exprese las multiplicaciones de hexadecimal.

i. A03 x 1E9 ii. 209D x 3E

iii. 4B07A x DFB

Restas de binarios, octales y hexadecimales Resta entre binarios Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:

0 1 1 -1 0 - 0 - 1 - 0 - 1 0 0 1 1

Cuando se restan números, algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente columna de la izquierda. En binario, sólo se produce acarreo negativo cuando se intenta restar 1 de 0. En este caso, cuando se acarrea un 1 a la siguiente columna de la izquierda, en la columna que se está restando se genera un 10, y entonces debe aplicarse la última de las cuatro reglas mostradas. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre binarios 11 y 01

1 1 3 - 0 1 - 1 1 0 2

Como se puede observar en este ejemplo no se han generado acarreos y solo se aplicaron restas simples como 1-1 = 0 y 1-0 = 1. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre binarios 11 y 10

1 1 3 - 1 0 - 2 0 1 1

Para este otro ejemplo se da el mismo efecto y no hay problemas con acarreos, pero ahora revisemos el ejemplo siguiente. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre binarios 101 y 011

1 0 1 5 - 0 1 1 - 3 0 2

Revisemos la primera operación, en esta primera resta realizada 1-1=0, no tenemos ningún problema de acarreo hasta el momento, pero ahora observemos la segunda columna donde necesariamente se debe de aplicar un acarreo, obsérvese que para esta columna se aplicara lo siguiente: 0-1=1 y acarreamos -1 a la tercer columna, quedando de la siguiente forma:

1 10 1 5

- 0 1 1 - 3 1 0 2

En la columna dos como no es posible realizar este tipo de restas, se tiene que pedir prestado un 1 y se forma 10, ahora si tenemos una resta de este tipo 10-1=1; ahora bien en la tercer columna en donde teníamos 1 ahora es 0 ya que recordaras que se utilizo en la segunda columna; por lo tanto la tercer columna quedaría 0 - 0 = 0.

0 1 0 1 5

- 0 1 1 - 3 0 1 0 2

Para ratificar el concepto del ejemplo anterior se agrega otro más a continuación. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre binarios 110 y 101 El acarreo se da en la primer columna donde queremos restarle 1 a 0 y como esto no es posible, se procede a pedir prestado para que el 0 se convierta en 10 y ahora si podamos restar 10 - 1 = 1 y acarreamos -1 a la posición siguiente o dicho de otra forma seria que utilizado el 1 de la columna dos ya no tenemos más que 0 y por lo tanto la columna dos restaríamos 0 - 0 = 0; para la tercer columna tenemos problemas al restar 1 – 1 = 0.

1 1 0 6 - 1 0 1 - 5 0 0 1 1

Restas entre octales Las restas en el sistema octal se aplica exactamente de la misma forma que se hace en el sistema decimal, recordando que una cantidad mayor se le puede restar un valor a la cantidad menor, pero si se quiere hacer de forma inversa, se tendrá que pedir prestado un numero a la posición inmediata siguiente y restada en esa misma; esperando que con esta explicación y con la descripción de los siguientes ejemplos quede aclarado el concepto de restas entre octales. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre octales 251 y 73

2 5 1 16910 - 7 3 - 5910

Bien en la primer columna de la derecha tenemos un primer caso que resolver, ya que un número menor como es el 1 se le quiere quitar un valor mayor como es el 3, para este caso se piensa igual que se haría en decimal, se le pide prestado ( o se le resta ) un 1 a la columna inmediata siguiente y de esa forma ahora podemos interpretar que la resta a realizar es 11 – 3, esto en octal debemos tomar en cuenta que la numeración en este sistema es de 8 dígitos, pero con ellos se puede empezar a formar sus unidades de decenas, centenas y así sucesivamente, por lo cual para esta primer columna seria contar cuantos números quedan entre el 11 octal y el 3 octal y estos los podemos ver de la siguiente forma:

4 5 6 7 10 11 Por lo tanto la primer columna su resultado es 6, ya que 118 – 38 = 6

4 2 5 1 16910

- 7 3 - 5910 6

Ahora en la segunda columna tenemos 48 queriendo quitarle un 78, tenemos el mismo problema que al inicio, que no alcanza, por lo tanto debemos dar el mismo tratamiento anterior y ahora 148 – 78 = 58, para mejor comprensión agregamos el mismo rango de números comprendidos entre estos dos números a restar:

14 13 12 11 10 Por lo tanto la segunda columna queda de la siguiente forma:

1 4 2 5 1 16910

- 7 3 - 5910 5 6

Por último, como también a la tercera columna se le quito un 1 al 28, quedando entonces 18 y como ya no hay con quien restar solamente bajamos el número y se ha llegado al resultado:

1 4 2 5 1 16910

- 7 3 - 5910 1 5 6 11010

Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre octales 724 y 331

7 2 4 46810 - 3 3 1 - 21710

Bien en el ejemplo anterior ya se dieron a conocer los conceptos básicos para aplicar el método, por lo cual a continuación desarrollaremos el ejercicio sin tantas recomendaciones básica:

7 2 4 46810 - 3 3 1 - 21710 3

Segunda columna:

7 2 4 46810 - 3 3 1 - 21710 7 3

12 11 10 7 6 5 4 Tercera columna:

6 7 2 4 46810

- 3 3 1 - 21710 3 7 3 25110

Resta entre hexadecimales Entendido el concepto en el sistema octal, toca ahora el turno al sistema hexadecimal, el cual tiene como base 16 entre símbolos y dígitos. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre hexadecimales abc y cd

a b c 274810 - c d - 20510

Primer paso: para poder llegar al primer paso de restar C – D, no será posible directamente y tenemos que restarle 1 a la columna dos para que ahora restemos 1C – D, que esto en decimal es igual a 28 – 13 = 15 y como sabemos que este número obtenido en hexadecimal se representa con el símbolo F pues es el primer resultado que se obtiene:

a b c 274810 - c d - 20510 f

Segundo paso: ahora bien en la segunda columna se tenía una resta que no se puede realizar de forma directa que era B - C, pero como recordaremos que a B se le resto 1 para ser usado en la primer columna, ahora la resta a realizar es A- C, la cual tampoco se puede realizar sin antes pedirle a la columna inmediata siguiente un 1, quedando ahora 1A – C; siendo su equivalente en decimal a tener 26 – 12 = 14 y como este número se representa con el símbolo E, el resultado de la segunda columna nos queda:

a b c 274810 - c d - 20510 e f

Tercer paso: para finalizar, solo debemos recordar que en la columna dos se pidió que se le restara 1 la tercera columna así que en lugar de tener A nos quedo 9, así que procedemos a la resta, teniendo como resultado el siguiente:

a b c 274810 - c d - 20510 9 e f 254310

Ejemplo: Resuelve la siguiente resta entre hexadecimales e5 y de

e 5 22910 - d e - 22210

Primer paso: 15 – E = 2110 – 1410=710

e 5 22910 - d e - 22210 7

Segundo paso: D – D = 0; recordando que a E le restamos 1 que se uso en la columna anterior.

e 5 22910 - d e - 22210 0 7 7

Ejercicios para desarrollar utilizando el método anterior:

A. En los ejercicios siguientes exprese las restas de binario.

i. 1001 - 111 ii. 100000 - 11111

iii. 11011111 - 1101111

B. En los ejercicios siguientes exprese las restas de octales.

i. 345 - 123 ii. 567 - 77

iii. 7654 - 1234 C. En los ejercicios siguientes exprese las restas de hexadecimales.

i. abcde – cde5

ii. 34ae – 4ae iii. a2d5c – 5ddc

Divisiones de binarios, octales y hexadecimales División entre binarios Para poder entender mejor este proceso de división, es mejor hacerlo con ejemplos. Ejemplo: Resuelve la siguiente división de 1011101 entre 11

a) se empieza considerando que 11 no puede dividir a 10 por lo cual se procede a ser dividido por 101 y es así como decimos que toca a 1 y empezamos a multiplicar 11 por 1 y después de ello tenemos lista la resta binaria, la cual ya se analizo anteriormente y nos da como resultado 010 y como no es posible ser dividido por 11, descendemos el siguiente 1 y procedemos al siguiente inciso.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 a)

b) en la siguiente división de 101 entre 11, nos da como resultado otra vez 10, pero como no se puede dividir tenemos que descender el siguiente 1 para preparar la siguiente división teniendo como resultado parcial 101

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 b)

c) el resultado parcial que se tiene es querer dividir 101 entre 11, lo cual nos da como

resultado parcial10 y como no se puede dividir procedemos a descender el siguiente

dígito que en este caso es 0, quedando un resultado parcial de 100, listo para la siguiente división.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 a) - 1 1 0 1 0 1 b) - 1 1 0 0 1 0 0 c)

d) para esta etapa hay algo que se debe tomar en cuenta que es dividir 100 entre 11, lo

cual no hay ningún problema, lo destacado a observar es la resta binaria que se realiza entre 100 – 11 =001, teniendo como resultado 1 y como no es posible dividir se desciende el siguiente teniendo ahora 11 que divide a 11.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 a) - 1 1 0 1 0 1 b) - 1 1 0 0 1 0 0 c) - 1 1 0 0 1 1 d)

e) por último división restante es de 11 entre 11 la cual nos da como resultado 00,

donde terminamos.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 - 1 1 0 1 0 1 a) - 1 1 0 1 0 1 b) - 1 1 0 0 1 0 0 c) - 1 1 0 0 1 1 d) - 1 1 0 0 0 0 e)

112=310 , 10111012=9310, 11112=3110

Ejemplo: Resuelve la siguiente división de 111001 entre 111

a) Este caso es simple de entender, ya que visualmente podemos observar que la primera división que se puede realizar es la de 111 entre 111.

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 a)

b) En los siguientes casos podemos observar que contamos con 0 a la derecha y que por más que bajemos otro 0 no podremos realizar ninguna división y el último 1 encontrado no es posible ser dividido por 111, así que el resultado de la división inicial queda 10000.

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 0 1 b)

1112=710 , 11100012=5710, 10002=810 si realizamos una división decimal de 57 entre 7 tendremos un resultado entero pero también una parte fraccionaria, en el sistema binario es lo mismo, ya que puedes observar que a diferencia del ejemplo anterior tenemos un residuo de 1 el cual se considera como parte fraccionaria; pero estos casos no los consideraremos en esta sección porque implicaría estudio de temas con números fraccionarios, los cuales no están incluidos en el plan de estudios de esta materia.