Arquitectura de ComputadoresIng. Iván Yánez G.

Presentación

PrólogoPrólogo

OBJETIVOS

Sistemas de Numeración

¿Se imaginan el mundo sin números?

Si fuera así:

¿Cómo expresarían su edad, su peso o estatura?

¿Cómo expresarían la cantidad de habitantes de un país?

¿Cómo expresarían la cantidad de amores?

¿Cómo expresarían la cantidad de dinero que tienes que cobrar?

¿Como evaluaríamos cuantitativamente?

Como puedes apreciar:¡VIVIMOS RODEADOS DE NÚMEROS!

El concepto de número surge de la

necesidad de contar,

Ejemplo

Contar el número de cabezas de ganado.

Contar el número de estudiantes

Contar el número personas de un país.

Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles,

por ejemplo:

- Dedos - Piedras

- Nudos de una cuerda - Marcas especiales

Cada civilización ha desarrollado sus propios sistemas de numeración, no

sólo en los símbolos, sino en los criterios usados para contar.

Sistema de numeración egipcio

(Tercer milenio a. C.)

Utiliza un sistema de base 10 con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10.

Sistema de numeración romano

(3000 a. C.)

Utiliza un sistema de base decimal (10).

Sistema de numeración babilónico

(1900 a. C.)

Utiliza un sistema de base sexagesimal (60).

Sistema de numeración maya

Utiliza un sistema de numeración vigesimal (20).

5

Número y Numeral

Idea que se tiene de cantidad.

Representación de un número por medio de símbolos.

Número:

Numeral:

V

Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios, que se emplean para representar correctamente los números.

Entre estos principios tenemos:

1. Principio de Orden

2. Principio de la Base

¿ Qué es un Sistema de Numeración ?

3. Principio posicional

Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.Ejemplo:

568

1. Principio de Orden

1er. Orden2do. Orden3er. Orden

No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha.

Observación:

Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.

Ejemplo:

2. Principio de la Base

En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos:

23(6)

Grupos Unidades que

sobran

=15

¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ?

40(5)

Grupos Unidades que

sobran

=20

En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.

Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de:

“Divisiones Sucesivas”

¿ Cómo representar un número en otra base ?

Ejemplo:

Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 )

243 7

345

7

46

Entonces:

243 =465(7)

La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos:

Base

Sistema Cifras que emplea2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A

12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B

A = 10

B = 11

En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo:

457

3. Principio posicional:

UnidadesDecenas

Centenas

La suma de los valores posiciónales, nos da el número.

Observación:

= 7.1 = 7

= 5.10 = 50

= 4.100 = 400

400 + 50 + 7 = 457

NUMERACIÓN DECIMALCuando en una numeración se usan diez símbolos diversos, a ésta se la denomina numeración decimal o en base 10. El valor de cada cifra es el

producto de la misma por una potencia a 10 (la base), cuyo

exponente es igual a la posición 0, las decenas la 1 y así sucesivamente.

Ejemplo:

327 Se puede descomponer en:3 . 10² + 2 . 10¹ + 7 . 10º = 300 + 20 + 7

=

327

Consiste en expresar un numeral como la suma de los valores posiciónales de sus cifras.

Ejemplos:

Descomposición Polinómica en el Sistema Decimal

4x2x

2ab

(x+1)xyx

3ab

ab

= 4.1000 + x.100 + 2.10 + x.1

= 2.100 + a.10 + b.1

= (x+1).1000 + x.100 + y.10 + x.1= 3.100 + a.10 + b.1

= a.10 + b.1

Descomposición polinómica de numerales representados en otros sistemas de numeración

Ejemplo:

4357 =(9)

1

91

92

93

4.9 +

3 3.9 +2 5.9 +7.1

Mas ejemplos:

2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3(5)

3 2

124 = 1.6 + 2.6 + 4(6)

2

54 = 5.8 + 4(8)

346 = 3.8 + 4.8 + 6(8)

2

23A5 = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5

(11)

3 2

Ejemplos:

Podemos emplear la Descomposición Polinómica para hallar el equivalente de un numeral en el

Sistema Decimal

4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1(7)

3 2

= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 =

1632

124 = 1.5 + 2.5 + 4(5)

2

= 1.25 + 10 + 4 =

39

64 = 6.8 + 4 =

(8)

52

Ejemplos:

En algunos casos tendremos que descomponer numerales con valores incognitos

2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y

(5)

3 2

= 2.125 + x.25 + 15 + y

= 265 + 25x + y

352 = 3.n + 5.n + 2(n)

2

xyz = x.a + y.a + z(a)

2

2abc = 2.x + a.x + b.x + c(x)

3 2

Se llama así a aquel numeral que leído de derecha a izquierda, se lee igual que de izquierda a derecha.

Ejemplos:

Algunos Conceptos Interesantes

44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321

Numeral Capicúa

Literalmente los representamos:

aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….

Ejemplo

Ejercicio 1:

Si: ab + ba = 132 , hallar (a+b).

Descomponemos polinomicamente:

(10a + b) + (10b + a) = 132

11a + 11b = 132

a + b = 12

Agrupamos los términos semejantes:

Simplificamos:

…… Rpta.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Sistema de numeración binario.

Los circuitos digitales internos que componen las computadoras utilizan el sistema de numeración Binario para la interpretación de la información y codificación de la misma.

El sistema decimal de numeración que usamos en la vida diaria es de difícil empleo en las computadoras, ya que para representar los números y trabajar con ellos son necesarios diez símbolos:

El sistema binario utiliza sólo dos signos:

0 1Estos son mucho más fáciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los circuitos o componentes electrónicos: apagado y encendido. La presencia de una corriente eléctrica = 1 (encendido) y la ausencia = 0 (apagado). Cuando la corriente eléctrica pasa a través

de la computadora, ésta lee un 1 cuando

percibe la corriente eléctrica y un 0 cuando no hay corriente eléctrica.

A las cifras o símbolos binarios les denominaremos, bits.

bit cero = 0bit uno = 1

La palabra «bit» es una contracción de las palabras inglesas binary digit, dígito binario.El bit es la unidad más pequeña de información. Nos permite distinguir sólo entre dos posibilidades:

sí-noblanco-negro

abierto-cerradopositivo-negativo.

Permite sólo dar dos respuestas a una pregunta, sin matices.

En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugarque ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias debase 8. La conversión de un número decimal a octal, y viceversa, se realiza del mismomodo que la de los números binarios, aunque, lógicamente, se emplea como base el número8 en vez del 2.

Sistema de numeración octal

En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidadesdecimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayoresque 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico,de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisionessucesivas por 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar elnúmero binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos.

Ejemplo

TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL

Para cambiar un número binario a número decimal se multiplica cada dígito binario por la potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos En donde es la base y es el exponente.

Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la posición del dígito. A continuación se transformará el número binario 11010 a decimal: