Unidad 1 Sistemas de numeracion

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura:

Matemáticas para computación

Carrera: Licenciatura en Informática Clave de la asignatura: IFM - 0425Horas teoría-horas práctica-créditos 3-2-8

2.- HISTORIA DEL PROGRAMA Lugar y fecha de elaboración o revisión

Participantes Observaciones (cambios y justificación)

Instituto Tecnológico de Puebla del 8 al 12 septiembre 2003. Instituto Tecnológico de: Orizaba, Reynosa, Tlalnepantla, Zacatepec, Zitácuaro 13 septiembre al 28 de noviembre 2003. Instituto Tecnológico de Tepic 15 al 19 de marzo 2004.

Representantes de la academia de sistemas y computación de los Institutos Tecnológicos. Academia de de sistemas y computación. Comité de consolidación de la carrera de Licenciatura en Informática.

Reunión nacional de evaluación curricular de la carrera de Licenciatura en Informática. Análisis y enriquecimiento de las propuestas de los programas diseñados en la reunión nacional de evaluación. Definición de los programas de estudio de la carrera de Licenciatura en Informática.

3.- UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA a). Relación con otras asignaturas del plan de estudio Anteriores Posteriores Asignaturas Temas Asignaturas Temas

Ninguna.

Organización de computadoras. Software de sistemas. Fundamentos de redes.

Compiladores. Ensamblador.

b). Aportación de la asignatura al perfil del egresado Desarrolla habilidades y aptitudes de razonamiento lógico que le permiten identificar y resolver problemas en el tratamiento de la información.

4.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO Comprenderá los conceptos lógicos fundamentales y las estructuras formales necesarias para la representación y manejo de datos. 5.- TEMARIO Unidad Temas Subtemas 1 2 3 4 5

Sistemas de numeración. Lógica. Álgebra booleana. Relaciones. Grafos y árboles.

1.1 Sistema decimal. 1.2 Sistema Binario, Octal y Hexadecimal. 1.3 Conversiones. 1.4 Operaciones básicas. 2.1 Introducción. 2.2 Proposiciones. 2.3 Tablas de verdad. 2.4 Inferencia lógica. 2.5 Equivalencia lógica. 2.6 Argumentos válidos y no válidos. 2.7 Demostraciones formales. 2.8 Predicados y sus valores de verdad. 2.9 Aplicaciones. 3.1 Introducción. 3.2 Expresiones booleanas. 3.3 Propiedades. 3.4 Optimización de expresiones booleanas. 3.5 Compuertas lógicas (como una aplicación). 4.1 Introducción. 4.2 Tipos de relaciones: reflexiva, simétrica, transitiva, de equivalencia 4.3 Clases de equivalencia. 4.4 Funciones. 5.1 Introducción. 5.2 Tipos de grafos.

5.2.1 Nodos. 5.2.2 Ramas y lazos. 5.2.3 Valencia. 5.2.4 Caminos. 5.2.5 Ramas paralelas. 5.2.6 Grafos simples, de similaridad, bipartidos y completos.

5.3 Representación matricial de grafos. 5.3.1 Ramas sucesivas de longitud “n”. 5.3.2 Ram Matriz adyacente e incidencia. 5.3.3 Caminos.

5.4 Isomorfismo.

Unidad Temas Subtemas 6

Introducción a los lenguajes formales.

5.5 Problemas con grafos. 5.6 Árboles.

5.6.1 Propiedades de los árboles. 5.6.2 Tipos de árboles. 5.6.3 Bosques. 5.6.4 Árboles generadores. 5.6.5 Búsquedas.

5.7 Recorridos de árboles y notaciones polacas de expresiones. 5.8 Aplicaciones. 6.1 Introducción. 6.2 Gramáticas y lenguajes formales.

6.2.1 Estructuras de las gramáticas. 6.2.2 Clasificación de las gramáticas (Chomsky). 6.2.3 Representación de gramáticas.

6.3 Autómatas finitos. 6.3.1 Introducción. 6.3.2 Autómatas finitos deterministicos y no deterministicos.

6.4 Maquinas de estado finito y reconocimiento de expresiones regulares. 6.4.1 La máquina de Turing.

6.5 Aplicaciones.

6.- APRENDIZAJES REQUERIDOS

• Se sugiere que tenga conocimientos de conjuntos. 7.- SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

• Introducir cada unidad con algún problema concreto. • Ver las aplicaciones a lo largo de todas las unidades. • Enfatizar el impacto de los temas en el ámbito de la informática. • Realizar investigación en diversas fuentes de información sobre temas afines. • Propiciar el trabajo en equipo.

8.- SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

• Examen teórico. • Actividades de investigación. • Participación en clase. • Resolución de ejercicio. • Desempeño individual y grupal.

9.- UNIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD 1.- Sistemas de numeración.

Objetivo Educacional Actividades de aprendizaje Fuentes de Información

El estudiante comprenderá los sistemas de numeración.

1.1 Resolver ejercicios propuestos por

el maestro. 1.2 Resolver problemas extra clase de

intercambio de una base numérica a otra.

1.3 Resolver problemas de operaciones básicas en las diferentes bases numéricas.

1, 3, 7

UNIDAD 2.- Lógica.


El estudiante comprenderá y solucionará problemas relacionados con la lógica.

2.1 Resolver ejercicios propuestos por

el maestro. 2.2 Desarrollar ejercicios de tablas de

verdad. 2.3 Obtener algunas reglas de

inferencia a partir de las tablas de verdad.

2.4 Comprobar las reglas de inferencia. 2.5 Determinar la consistencia de

premisas dadas. 2.6 Elaborar demostraciones formales.

2, 4, 5, 6, 7, 10

UNIDAD 3.- Álgebra booleana.


El estudiante comprenderá los conceptos así como las operaciones y propiedades del álgebra booleana.

3.1 Identificar las propiedades

booleanas. 3.2 Resolver ejercicios de optimización

de expresiones booleanas. 3.3 Utilizar las compuertas lógicas

enfocadas a la solución de problemas.

1,3,7,10

UNIDAD 4.- Relaciones.


El estudiante comprenderá y resolverá problemas de relaciones y funciones.

4.1 Identificar las propiedades que

posee una relación expresada como conjunto de pares ordenados, como una expresión algebraica o de una forma verbal.

4.2 Dada una relación, identificar si es o no una equivalencia; de serlo detallar la partición que genera.

4.3 Realizar una identificación de funciones.

4.4 Hacer composiciones de dos o más funciones.

4.5 Realizar ejercicios de relaciones y funciones.

3,6,7

UNIDAD 5.- Grafos y árboles.


El estudiante comprenderá y resolverá problemas de la teoría de grafos y árboles.

5.1 A partir de una relación, trazar su

grafo y viceversa. 5.2 A partir de un grafo, construir su

matriz y viceversa. 5.3 Determinar el isomorfismo de los

grafos. 5.4 Identificar un grafo como plano o no

plano. 5.5 Construir árboles. 5.6 Encontrar el árbol generador de un

grafo a partir de su matriz. 5.7 Construir el árbol que represente a

una expresión algebraica o algorítmica.

5.8 Convertir una expresión algorítmica a su notación polaca y viceversa.

3, 7

UNIDAD 6.- Introducción a los lenguajes formales.


El estudiante comprenderá los lenguajes y analizará los diagramas de autómatas así como la relación entre los lenguajes y diagramas.

6.1 Distinguir entre conjuntos finitos e

infinitos. 6.2 Investigar el concepto de una

gramática. 6.3 Realizar comparaciones entre

autómatas finitos y expresiones regulares.

6.4 Conocer los teoremas para el diseño de lenguajes.

6.5 Identificar los criterios de diseño del lenguaje.

7, 8, 9, 11

10. FUENTES DE INFORMACIÓN 1. Ross, Kenneth A.,Wright, Charles R. B.

Matemáticas Discretas. Ed. rentice Hall.

2. Arnaz, José Antonio. Iniciación a la Lógica Simbólica. Ed. Trillas.

3. Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. Ed. Grupo Editorial Iberoamerica.

4. Suples, Patrick , Hill, Shirley. Primer Curso de Lógica Matemática. Ed. Reverté.

5. Colman, Bernard, Busby, Robert C. Estructuras de Matemáticas Discretas para Computadoras. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.

6. Scheinderman, Edward R. Matemáticas Discretas. Ed. Thomson Editores.

7. Lipschutz, Seymour. Matemáticas para la Computación. Ed. Mc-Graw Hill.

8. Kelly, Dean. Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Ed. Prentice Hall.

9. García, Pedro; Pérez, Tomas; Ruiz, José; Segura, Encarna; Sempere, José M. Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Ed. Alfaomega.

10. Liu, C. L. Elementos de Matemáticas Discretas. Ed. Mc. Graw-Hill.

11. Moderna Enciclopedia Universal NAUTA. Referencias en Internet

[12] www.bivitec.org.mx [13] www.monografías.com

11. PRÁCTICAS Se sugiere que se introduzca algún lenguaje como MathCAD, MatLab o cualquier otro de este tipo.

Introducción a los sistemas de numeración

Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 1

MATEMÁTICA Debido a la necesidad del hombre de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que le rodea, han surgido las ciencias, y entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas relacionados con los números han hecho que la ciencia Matemática abarque un campo muy amplio de estudio, por ello se ha dividido en diversas ramas, y dentro de las más importantes están la Aritmética, el Algebra y la Geometría.

El origen de la Aritmética es de época muy remota; algunos autores creen que nació en la India; esta rama de la matemática estudia la cantidad representada por los números, se ocupa del cálculo por medio de los números y expone las propiedades comunes a todos ellos.

La Aritmética consta de dos partes; la primera la conforman las construcciones o formas de combinar los números; la otra parte se refiere a las comparaciones o manera de establecer sus relaciones.

El Álgebra es la parte de las matemáticas que trata de la cantidad considerada en general, sirviéndose para representarla de letras u otros signos especiales. Esta rama de la Matemática no es de fácil definición. Históricamente, el Álgebra aparece vinculada con problemas numéricos cuya solución sólo se logra mediante determinadas combinaciones de las operaciones aritméticas.

La fisonomía actual del Álgebra se adquiere cuando los problemas que resuelve cobran la más amplia generalización mediante la introducción de los símbolos operatorios y de las letras. En este sentido el Álgebra ha recorrido tres etapas: Álgebra retórica, en las cuestiones se resuelven con palabras, sin símbolos; Álgebra sincopada, en donde aparecen los primeros símbolos, en especial mediante abreviaturas de las palabras comunes; y Álgebra simbólica, cuando se introducen los símbolos y las letras.

Precisamente con el uso sistemático de las letras, las cuestiones algebraicas se generalizan y la aritmética se universaliza.

Se atribuye el origen de la Geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza después de la crecida del río Nilo. Pero sin duda, no fue solamente la medida de la tierra el origen de los conocimientos geométricos: la necesidad de comparar las áreas y volúmenes de figuras simples, la construcción de canales y edificios; las figuras decorativas; los movimientos de los astros, han contribuido al nacimiento de esas reglas y propiedades geométricas.

Se considera que Pitágoras fue quien transformó el estudio de la geometría en una enseñanza liberal, remontándose a los principios generales y estudiando los teoremas abstractamente con inteligencia pura. Desde entonces se acumularon los teoremas y las propiedades, se crearon métodos, se analizaron los fundamentos, se plantearon problemas, logrando que la geometría griega abarcara un vasto conjunto de conocimientos.

El contenido de este trabajo ha sido desarrollado de forma didáctica, buscando que los temas analizados y el lenguaje empleado en las explicaciones sean de fácil comprensión para los alumnos.

La estructura pedagógica de este documento es secuencial; los procedimientos de problemas y ejemplos se han desarrollado paso a paso. La inclusión de ejercicios y preguntas tiene como objetivo que los alumnos practiquen no sólo lo aprendido, sino que desarrollen su lógica basándose en los conocimientos presentados en el texto.



LA ARITMÉTICA Y SU OBJETO El concepto de número natural ha sufrido una serie de ampliaciones a través del desarrollo de la ciencia matemática, una de las cuales consiste en considerar al cero como un número que representaría la única propiedad común a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos. Otras ampliaciones se refieren a los números fraccionarios y a los números irracionales.

Una nueva ampliación nos lleva al concepto de número negativo, concepto que transforma todo el sistema de números naturales, fraccionarios e irracionales y que constituyen uno de los fundamentos del cálculo algebraico. Los números naturales, así como los fraccionarios e irracionales, reciben el nombre de números reales. Una considerable e importantísima ampliación del campo numérico tiene lugar con la introducción de los números no reales (complejos).

Suele llamarse número entero (positivo o negativo) al número real que no es fraccionario ni irracional, de modo que los números naturales son los números enteros positivos. La Aritmética General tiene por objeto el estudio de los números (naturales o no), y la Aritmética Elemental como la ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de los números reales positivos.

R: N enteros +; Q racionales ;yx I irracionales. Complejos no reales.

NUMERACIÓN La numeración es la parte de la aritmética que nos enseña a expresar y escribir los números, y puede ser hablada o escrita. La hablada enseña a expresar lso números, y la escrita enseña a escribir los números. SISTEMA DECIMAL Los números se forman por agregación de unidades, es decir, si a una unidad o número uno le agregamos otra unidad, resulta el número dos; si agregamos otra unidad más resulta el número tres, así sucesivamente, de lo que se deduce que la serie natural de los números no tiene fin, pues por grande que sea un número siempre podremos otro mayor agregándole otra unidad.

Cifras o guarismo son los signos que representan los números. Las cifras que nosotros empleamos, llamadas arábigas porque fueron introducidas por los árabes en España, son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, donde el cero es la cifra no significativa o cifra auxiliar y los demás se llaman cifras significativas.

El 0 representa los conjuntos nulos o carentes de elementos, por lo tanto el cero carece de valor absoluto y se escribe en el lugar correspondiente a un orden cuando en el número escrito no hay unidades de ese orden. La palabra cero proviene del árabe ziffero, que significa lugar vacío.

El Número Dígito consta de una sola cifra (2,3, 7, 8, etc.) y el Número Polidígito consta de dos o más cifras (28, 526, etc).

Un Sistema de Numeración es un conjunto de reglas que sirven para expresar y

escribir los números, y la base de un sistema de numeración es el número de unidades de un orden que forman una unidad del orden inmediato superior. De este modo, en el Sistema



Decimal que usamos nosotros la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena, etc.

Por otra parte, en el Sistema Duodecimal, que también usamos con frecuencia en la práctica, la base es 12, porque 12 unidades forman una docena y 12 docenas forman una gruesa. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Dentro de los sistemas de numeración rigen algunos principios fundamentales, y son los siguientes:

1. Un sistema de unidades de un orden cualquiera, igual a la base, forma una unidad del orden inmediato superior.

Esto significa que en el sistema binario, de base 2, dos unidades de un orden cualquiera

forman una unidad del orden inmediato superior; en el sistema duodecimal, 12 unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior, así sucesivamente.

2. Toda cifra a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores a las que representa la anterior como unidades tenga la base. A esto se le conoce como el principio del valor relativo.

Esto significa que en el número 1235 escrito como lo indica el subíndice, en el sistema

quinario, el 2, escrito a la izquierda del 3, representa unidades cinco veces mayores a las que representa el 3; y el 1, escrito a la izquierda del 2, o sea veinticinco veces mayores a las que representa el 3.

El número 65439, el 4 está escrito a la izquierda del 3 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 3; el 5 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 4, o sea ochenta y un veces mayores a las que representa el 3; y el 6, escrito a la izquierda del 5 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 5, o sea ochenta y un veces mayores a las que representa el 4 y setecientas veintinueve veces mayores a las que representa el 3.

3. En todo sistema con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el cero se pueden escribir todos los números.

Esto significa que en el sistema binario o de base 2, con dos cifras que son el 0 y el 1,

se pueden escribir todos los números; en el sistema ternario o de base 3, como la base tiene tres unidades, con tres cifras que son el 0, 1 y 2, se pueden escribir todos los números; en el sistema octal o de base 8, como la base tiene ocho unidades, con ocho cifras, que son el 0, el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 y el 7, se pueden escribir todos los números, etc. SISTEMA DECIMAL O DÉCUPLO El sistema decimal o décuplo que usamos nosotros tiene como base el número 10, lo que significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superior y viceversa (una unidad de un orden cualquiera está formado por diez unidades del orden inmediato inferior).



El principio fundamental o convenio de la numeración decimal hablada dice que diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior.

La numeración decimal consta de órdenes y subórdenes como veremos más adelante. CLASES Y PERIODOS La reunión de tres órdenes, comenzando por las unidades simples, constituye una clase; de este modo, las unidades, decenas, y centenas forman la clase de las unidades; las unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; las unidades de millón, decenas de millón y centenas de millón forman la clase de los millones; así sucesivamente.

Por otro lado, la reunión de dos clases forman un período; la clase de las unidades y la clase de los millares forman el período de las unidades; la clase de los millones y la clase de los millares de millón forman el período de los millones. Así sucesivamente. ÓRDENES Si al número 1, que es la unidad de primer orden, le añadimos unidades (una a una) sucesivamente, formaremos los números dos, tres, cuatro, cinco, etc., hasta llegar a diez unidades, que forman una decena o una unidad del orden superior inmediato.

Así, decena es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades. Si a una decena le añadimos los nombres de los nueve primeros número obtendremos el once, doce, trece, etc., hasta llegar a veinte, o dos decenas; si así le añadimos nuevamente los nombres de los nueve primeros números formamos el veintiuno, veintidós, veintitrés, etc., hasta llegar a treinta, o tres decenas, y procediendo de modo semejante obtendremos el cuarenta o cuatro decenas, cincuenta o cinco decenas, etc., hasta llegar a cien o diez decenas, que forman una unidad del orden superior inmediato.

Con esto, la centena es la unidad es la unidad de tercer orden y representa la reunión de tercer orden y representa la reunión de diez ventaneas o cien unidades. Si a la centena le añadimos los nombres de los noventa y nueve primeros números, iremos formando los números ciento uno, ciento dos, ciento tres, etc., hasta llegar a doscientos o dos centenas; de modo semejante obtendremos trescientos o tres centenas, cuatrocientos o cuatro centenas. Etc., hasta llegar a mil o diez centenas, que forman una unidad del orden superior inmediato.

El millar es la unidad del cuarto orden y representa la reunión de diez centenas o mil unidades. Si al millar le añadimos los nombres de los novecientos noventa y nueve primeros números, iremos obteniendo los números sucesivos hasta llegar a dos mil o dos millares; tres mil o tres millares, etc. Hasta diez mil o diez millares, que forman una unidad del orden superior inmediato.

La decena de millar es la unidad de quinto orden y representa la reunión de diez millares o diez mil unidades. Añadiendo a una decena de millar los nombres de los nueve mil novecientos noventa y nueve primeros números, formaremos el veinte mil o dos decenas de millar, etc., hasta llegar a diez decenas de millar, o cien mil, que constituyen una unidad del orden superior inmediato. SUBÓRDENES Así como la decena consta de diez unidades y la centena de diez decenas, podemos suponer que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales que reciben el nombre de décimas y constituyen el primer suborden; cada décima se divide en otras diez



partes iguales llamadas centésimas, formando el segundo suborden; cada centésima se divide en otras diez partes iguales llamadas milésimas, formando el tercer suborden; y así sucesivamente. EJERCICIOS

1. ¿Cuántas unidades tiene una unidad de tercer orden; de cuarto orden; de quinto orden?

2. ¿Cuántas décimas hay en una unidad; en una decena; en un millar?

3. ¿Qué forman diez decenas; diez centenas de millar; diez millones?

4. ¿Cuántas centésimas hay en una decena; cuántas milésimas en una centena; cuántas diezmilésimas en un millar?

5. ¿Cuántos guarismos tiene un número cuya cifra de mayor orden representa decenas de centena; centenas de millar; millares de millón; billones?

6. ¿Cuáles son las decenas de decenas; las centenas de las decenas; los millares de centena; los millones de millón?

7. ¿Cuántos millares tiene un millón; cuántas decenas de millar tiene una decena de millar de millón; cuántos millones tiene un billón?

8. ¿Qué orden representa la primera cifra de la izquierda de un número de 2 cifras; de 5 cifras; de 7 cifras?

9. ¿Qué forman cien decenas de millar; mil centenas de millar; diez mil millones, un millón de millones?

10. ¿Es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades?

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Como ya lo estudiamos, en el sistema decimal la base es el 10. Pero si en lugar de 10 tomamos como base el número 2, 3, 4, 5, 6, etc., tendremos otros sistemas de numeración en los que se cumplirán principios semejantes a los establecidos para el sistema decimal. De tal forma, en el sistema de base 2 se comprobará que:

1) Dos unidades de un orden forman una del orden superior inmediato.

2) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores a las que representa ésta.

3) Con dos cifras se pueden escribir todos los números.

Lo mismo aplica para los sistemas cuya base sea 3, 4, 5, 6, etc., con lo que se concluye que los sistemas de numeración se diferencian unos de otros por su base, y dado que podemos tomar como base cualquier número, la cantidad de sistemas resulta ilimitada. Nomenclatura Atendiendo a su base, los sistemas denominan de la manera siguiente; el de base 2, binario; el de base 3, ternario; el de base 4, cuaternario; el de base 5, quinario; el de base 6 senario; el de



base 7, septenario; el de base 8, octonario u octal; el de base 9 nonario; el de base 10 decimal o décuplo; de de base 11, undecimal; el de base 12, duodecimal; el de base 16, hexadecimal; etc. Notación Para indicar el sistema en que está escrito un número, se escribe abajo a su derecha un número pequeño que indica la base, el cual recibe el nombre de subíndice. Así 112 indica que este número está< escrito en el sistema binario; 4325 indica que está escrito en el sistema quinario y 895612 en el sistema duodecimal.

Si un número no lleva subíndice, significa que está escrito en el sistema decimal. Valor relativo de las cifras de un número escrito en un sistema cualquiera Una vez que se conoce el lugar que ocupa una cifra y la base del sistema en que está escrito el número, hallaremos su valor relativo. 1) Valor relativo de las cifras del número 1234

La cifra 1 representa unidades de tercer orden, pero como la base es 4, cada unidad de tercer orden contiene 4 del segundo, y como cada unidad del segundo orden contiene 4 del primero, el valor relativo de la cifra 1 es 1 x 4 x 4 = 16 unidades del primer orden.

La cifra 2, que representa unidades del segundo orden, contiene 2 x 4 = 8 unidades del primer orden, luego su valor relativo es 8.

El valor relativo de la cifra 3 es 3 unidades del primer orden.

2) Valor relativo de las cifras del número 23406

Valor relativo de la cifra 2: 2 x 6 x 6 x 6 = 432 unidades del primer orden.

Valor relativo de la cifra 3: 3 x 6 x 6 = 108 unidades del primer orden.

Valor relativo de la cifra 4: 4 x 6 = 24 unidades del primer orden.

EJERCICIOS

1. Encuentra el valor relativo de las siguientes cifras:

2. Señala cuántas unidades del primer orden contiene cada uno de los siguientes números:

3. Escribe el número que representa: 2 unidades del primer orden en el sistema binario; 3 en el ternario; 9 en el nonario.

4. Escribe el número que representa 8 unidades del primer orden en sistema cuaternario; 10 en el quinario; 12 en el senario; 18 en el nonario.

5. Escribe el número que representa 15 unidades del primer orden en el sistema quinario; 18 en el senario; 21 en el septenario; 45 en el de base 15.

6. Escribe el número que representa 9 unidades del primer orden en el sistema senario.



CONVERSIÓN DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA A OTRO DISTINTO.

Para convertir un número escrito en el sistema decimal a otro sistema distinto se divide el número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema, hasta llegar a un cociente menor que el divisor. El nuevo número se forma escribiendo de izquierda a derecha el último cociente y todos los residuos colocados a su derecha, de uno en uno, aunque sean ceros.

Ejemplos:

1) Convertir 85 al sistema ternario

85 3 25 28 3 (1) (1) 9 3 (0) 3 3 (0) 1

R. 85 = 100113

2) Convertir 3898 al sistema duodecimal

3898 12 29 324 12 58 84 27 12 (10) (0) (3) 2

R. 3898 = 230A12 Obsérvese que si el último cociente o alguno de los residuos es mayor que 9, se pone en su lugar la letra correspondiente.

EJERCICIOS

Compruebe que al convertir del sistema decimal los siguientes números a los sistemas indicados, se encuentran las respuestas siguientes:

Número decimal

Al sistema Respuesta

123 Binario R. 11110112

871 Ternario R. 10120213

3476 Quinario R. 1024015

10087 Base 7 R. 412607



1007 Base 8 R. 17578

78564 Base 9 R. 1286839

87256 Base 12 R. 425B412

120022 Base 20 R. F01220

14325 Base 30 R. FQF30

86543 Base 32 R. 2KGF32

CONVERSIÓN AL SISTEMA DECIMAL DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA DIFERENTE.

Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal al sistema decimal, se multiplica la primera cifra de la izquierda del número dado por la base y con este producto se suma la cifra siguiente. El resultado se multiplica por la base y al producto se le suma la tercera cifra, y así sucesivamente hasta sumar la última cifra del número dado. Ejemplos:

1) convertir el número 111012 al sistema decimal.

1 x 2 = 2 2 + 1 = 3 3 x 2 = 6 6 + 1 = 7 7 x 2 = 14 14 + 0 = 14 14 x 2 = 28 28 + 1 = 29 R. 111012 = 29

2) Convertir el número 89AB312 al sistema decimal.

8 x 12 = 96 96 + 9 = 105

105 x 12 = 1260 1260 + 10 = 1270 1270 x 12 = 15240 15240 + 11 = 15251 15251 x 12 = 183012 183012 + 3 = 183015 R. 89AB312 = 183015

Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal a otro sistema que

no sea el decimal, se reduce el número dado primero al sistema decimal y luego al que se quiere convertir. Ejemplo: Convertir el número 22113 al sistema base 7. 22113 al decimal.

2 x 3 = 6 6 + 2 = 8 8 x 3 = 24 24 + 1 = 25 25 x 3 = 75 75 + 1 = 76 R. 22113 = 76



76 al de base 7

76 7 (6) 10 7 (3) 1

R. 22113 = 1367 EJERCICIOS

Compruebe que al convertir al sistema decimal los siguientes números desde los sistemas indicados, se encuentran las respuestas siguientes:

Número Respuesta

11012 R. 13

320124 R. 902

54316 R. 1243

763218 R. 31953

200789 R. 13193

7AB512 13673

CDA615 43581

8EFA18 51472

HEG34 20145

ABCD30 280273

Convertir al sistema indicado:

Número Al sistema Respuesta

10023 Base 4 R. 1314

4327 Base 3 R. 220103

B5612 Base 5 R. 231005

54CD15 Base 12 R. A49412

C00B18 Base 23 R. 5H7623

5AB414 Base 7 R. 641147



ABCD20 Base 9 R. 1381089

EF4C21 Base 22 R. CHG922

HF00C25 Base 30 R. 8EIQ230

8A0D24 Base 15 R. 2472A15

Problemas:

1) De un lugar donde se emplea el sistema binario nos remiten 1101 bultos postales. ¿Cómo escribiremos este número en México? R. 13

2) De México enviamos a un comerciante que utiliza el sistema duodecimal 5678 barriles de aceite. ¿Cómo escribirá ese número dicho comerciante? R. 335212

3) Pedimos 18 automóviles a un empresario que usa el sistema de base 18. ¿Cómo escribe el número de automóviles que nos envía? R. 1018

4) Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4320 sombreros a otro que emplea el sistema de base 13. ¿Cómo escribirá este comerciante el número de sombreros que envía? R. 36013

SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL, BINARIO Y HEXADECIMAL Y SU RELACIÓN CON EL MUNDO DE LAS COMPUTADORAS Sabemos que los números que todos utilizamos comúnmente, del 0 al 9, conforman lo que se conoce como sistema decimal. Sus reglas y modos de empleo se aprenden en la infancia, por lo que, habitualmente, se utilizan de forma instintiva, sin casi necesidad de pensar. Hablando en términos de matemáticas, el sistema decimal no es el único de los posibles. De hecho, pueden imaginarse tantos sistemas de numeración distintos como se desee. Dentro de la informática, se manejan con asiduidad dos sistemas de numeración, diferentes del decimal, denominados binario y hexadecimal. En esta guía examinaremos brevemente estos dos sistemas de numeración especiales. Pero antes de exponer sus características, es conveniente detenerse un momento a pensar como funciona nuestro viejo sistema decimal. La razón para hacerlo es importante. Un sistema de numeración no es sino un convenio adoptado para poder representar diferentes cantidades. Pueden emplearse distintos sistemas, pero siempre se mantienen las mismas reglas subyacentes. Por lo tanto, una vez comprendido el funcionamiento de uno de ellos (que bien puede ser el decimal), es más sencillo enfrentarse con los restantes.

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Se denomina así por estar constituido por diez símbolos o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos se construyen todas las cifras que puedan necesitarse.



Para contar se comienza por el más bajo de ellos (el 0), y se va eligiendo cada vez uno mayor. Al pasar del nueve, se realiza una curiosa operación. Para comprenderla, es conveniente imaginar los números anteriores como formados por dos símbolos, en lugar de por uno sólo. De esta forma, los diez primeros números no serían 0,1,3, 4, 5, 6, 7, 8,.9; sino 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09 . Al pasar del nueve, y debido a que no quedan ya más dígitos disponibles, se incrementa (en uno) el símbolo de la izquierda (que hasta ahora era un cero) y se vuelve a comenzar con el de la derecha desde cero. Se continúa, entonces, contando 10, 11, 12, 13,.. .hasta llegar a 19. En este momento, se incrementa de nuevo el dígito de la izquierda (que ahora pasa a dos), y se recomienza una vez más con el de la derecha desde cero.

Este esquema de funcionamiento continúa hasta llegar a 99. Para pasar a la siguiente cifra, se supone ahora que los números no eran de dos dígitos, sino de tres; es decir, que se ha ido contando 010, 011, 012, 013,.... hasta 999. La continuación ya es obvia: se incrementa el dígito de la izquierda y se recomienza con los restantes desde cero.

Este esquema de funcionamiento guarda en su interior ciertos conceptos de enorme importancia. En Primer lugar, nuestro sistema decimal es un sistema posicional. Esto quiere decir que el valor de un dígito concreto dentro de un número viene dado por dos factores: el propio dígito y la posición que ocupa dentro de la cifra de que se trate.

Es claro que el dígito 1 no representa el mismo valor en el número 16 que en el número 31. En el colegio ya se aprende que el valor de un dígito equivale al del número que resultaría al sustituir todos los restantes dígitos de su derecha por cero. Así, en el numero 16 el dígito 1 tiene un valor equivalente a 10 (resultado de sustituir los dígitos a su derecha - en este caso el 6- por ceros). Por el contrario, en el numero 31 el dígito 1 tiene un valor 1, sencillamente.

Las posiciones (no los valores) de los dígitos de un número cualquiera se numeran, habitualmente, de derecha a izquierda. De esta forma, en el número 3.479.026, el 6 ocupa la posición primera, el 2 la segunda, el 0 la tercera, el 9 la cuarta, el 7 la quinta, el 4 la sexta y el 3 la séptima. Adoptando este convenio, la regla matemática nos dice que cada dígito de un número tiene un valor igual a si mismo, multiplicado por la base de numeración elevada a una unidad menos que la posición ocupada por dicho dígito.

En el caso del sistema decimal, la base de numeración es 10. Para un sistema cualquiera, puede observarse que la base es igual al número de dígitos que componen dicho sistema. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, el 6 tiene un valor de 6 por 10 elevado a 0 (una unidad menos que su posición, que es la primera). Como 10 elevado a cero es igual a 1(cualquier numero elevado a cero es igual a uno), resulta que el valor del dígito 6 en nuestro número es de 6x1=6. Continuando con la misma regla, los valores de cada dígito son los indicados en la figura 1. Figura 1

Número 3 4 7 9 0 2 6

Posición de cada dígito 7 6 5 4 3 2 1

Valor relativo 3x106 4x105 7x104 9x103 0x102 2x101 6x100

3,000,000 400,000 70,000 9,000 0 20 6



Otro concepto importante, al hablar de sistemas de numeración, es el de la cantidad de valores distintos que pueden representarse con un número determinado de dígitos. Dicha cantidad se obtiene elevando la base de numeración al número de dígitos. Así, en base 10, con un único dígito pueden expresarse 10 elevado a 1, o sea 10 números distintos (que son el 0, 1, 2, 3, 4,..., hasta el 9). De forma análoga, con dos dígitos aparecen 10 elevado a 2 (o sea 100) números, que son del 0 al 99. Nuestro sistema decimal es ciertamente potente: con tan solo 6 dígitos pueden representarse hasta un millón de números diferentes.

Es importante recalcar que con dos dígitos pueden construirse 100 números distintos, que van desde el 0 hasta 99. Pero no hasta el 100, para el que ya se necesitan tres dígitos. De la Misma manera, con cuatro dígitos pueden representarse 10.000 números, del 0 al 9.999, pero no el propio 10.000.

Estos detalles sobre el sistema de numeración decimal, también denominado sistema de numeración en base 10, son bien conocidos por todos nosotros. Manejamos constantemente números decimales, y lo hacemos sin pensar en lo más mínimo sobre estos conceptos matemáticos de los que se ha hablado. Sin embargo, su compresión puede ayudar a la hora de utilizar otros sistemas de numeración. Tanto el sistema binario como el hexadecimal siguen estrictamente la misma filosofía esencial. Lo único que varía, en realidad, es la cantidad de dígitos a emplear. OTROS SISTEMAS DE NUMERACION

La implantación del sistema decimal entre nosotros parece ser que tuvo mucho que ver con el hecho de que tengamos 10 dedos en las manos. Sin embargo no hay razón alguna para sostener que dicho sistema es el más perfecto de los posibles. Imaginemos un sistema de numeración en base 4. Esto quiere decir que en dicho sistema existen, únicamente, cuatro dígitos diferentes. Pueden inventarse cualquier representación para dichos cuatro dígitos, pero lo más sencillo es utilizar los símbolos 0, 1, 2 y 3. En dicho sistema, se comenzara a contar, como de costumbre 0, 1, 2, 3, pero ahora ya no existe el dígito 4 para seguir. Apliquemos entonces la misma norma que en el sistema decimal. Se considera que los números son 00, 01, 02, y 03, y ahora se incrementa el dígito de la izquierda para empezar a variar de nuevo el de la derecha. Así pues, en base 4, después del numero 03 viene el numero 10. A continuación vendrán el 11, 12, el 13 y de nuevo hay que incrementar el primer dígito, pasando así al 20. De esta manera, los primeros números en base 4 son los siguientes:

0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33,...etc.

En este sistema de base cuatro, el número 12 ya no sirve para indicar, por ejemplo, una docena de huevos. Observando con cuidado, se comprobara que ahora representa a tan solo media docena. De hecho el número 12 en base 4, equivale al número 6 en base 10. Esto puede verse mejor si se cuenta paralelamente en ambos sistemas de numeración, tal como se indica en al figura 2.



Figura2.

Base 10 Base 4 Cantidad Representada Sistema decimal

0 0 Cero 1 1 Uno 2 2 Dos 3 3 Tres 4 10 Cuatro 5 11 Cinco 6 12 Seis 7 13 Siete 8 20 Ocho 9 21 Nueve

10 22 Diez 11 23 Once 12 30 Doce 13 31 Trece 14 32 Catorce 15 33 Quince 16 100 Dieciséis 17 101 Diecisiete 18 102 Dieciocho 19 103 Diecinueve 20 110 Veinte 21 111 Veintiuno 22 112 Veintidós 23 113 Veintitrés 24 120 Veinticuatro 25 121 Veinticinco

Es de gran importancia distinguir entre el mundo real y los sistemas de numeración, que no son más que convenciones matemáticas. Volviendo al caso anterior, la cantidad que constituye una docena de huevos puede representarse matemáticamente de muy diversas formas: la más corriente es mediante la notación decimal, diciendo que hay 12 huevos. Pero nada nos impide hacerlo mediante otra notación, por ejemplo en base 4, en la que se diría que hay 30 huevos. Los números 12 y 30 no indican ningún absoluto. En nuestro caso, 12 en decimal es equivalente a 30 en base 4. Estas sutilezas de concepto son muy difíciles de aceptar al principio. Durante toda nuestra vida hemos utilizado únicamente el sistema decimal, de forma que nos cuesta creer que el número 30 pueda representar otra cosa que no sea la cantidad treinta, es decir, dos docenas y media.



Sin embargo, es así. Un número formado por una serie de dígitos representa un valor determinado, en función de una convención asumida de antemano. Si se varía dicha convención, los mismos símbolos pueden representar valores diferentes. En informática es conveniente acostumbrarse a este hecho. Al ver un número determinado, no debe asumirse automáticamente que está expresado en base 10. Para dar la mayor información posible, a veces se indica la base empleada en forma de subíndice. De esta forma, la expresión 30 4 = 12 10 indica que 30 en base 4 es igual a 12 en base 10. LOS SISTEMAS DE NUMERACION BINARIO Y HEXADECIMAL

El sistema de numeración con el que mejor se representa el funcionamiento de un computador es el binario o de base 2. Esto quiere decir que dicho sistema posee tan solo dos dígitos, el 0 y el 1. Aplicando la técnica ya conocida, se contará en binario de la siguiente forma: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 111, 1000, 10001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 111,... etc.

El sistema binario es el más pequeño de los posibles. Podría pensarse en un sistema de base 1, pero dicho sistema tendría un solo dígito (que debería ser el 0), por lo que no habría posibilidad de obtener más que un único número (0 es lo mismo que 00 o que 000).

Es fácil observar que, cuanto mayor sea la base de un sistema de numeración, más cantidades diferentes pueden representarse con un cierto número de dígitos. Como ya se ha mencionado anteriormente, en el sistema decimal con seis dígitos pueden obtenerse hasta un millón de números distintos. En cambio, en base 4, con seis dígitos tan solo pueden expresarse 4 elevado a seis, o sea 4096 números diferentes. Este es, precisamente el mayor problema del sistema de numeración binario. Al tratarse de una base tan pequeña, la representación de una cantidad algo elevada nos conduce siempre a una sucesión casi interminable de ceros y unos.

Por poner un ejemplo, el número mil se representa en binario mediante 1111101000. En cuanto a un millón, en binario es nada menos que 11110100001001000000.

Por esta razón, el sistema binario puede ser la representación mas adecuada del funcionamiento de un computador, pero para nosotros, los humanos, es sumamente inadecuado. Por ello debe encontrase un sistema de numeración más cómodo de manejar, pero que a la vez pueda trasladarse de forma sencilla al binario.

Por desgracia, dicho sistema no es el decimal. Sin lugar a dudas, éste es el sistema de numeración más fácil para nosotros, pero no cumple la segunda condición. Su paso a binario no es todo lo adecuado que nos gustaría.

Para entenderlo, obsérvense los primeros 25 números de nuevo, pero esta vez en decimal y en binario, en la figura 3.

Figura 3.


0 0 Cero 1 1 Uno 2 10 Dos




3 11 Tres 4 100 Cuatro 5 101 Cinco 6 110 Seis 7 111 Siete 8 1000 Ocho 9 1001 Nueve 10 1010 Diez 11 1011 Once 12 1100 Doce 13 1101 Trece 14 1110 Catorce 15 1111 Quince 16 10000 Dieciséis 17 10001 Diecisiete 18 10010 Dieciocho 19 10011 Diecinueve 20 10100 Veinte 21 10101 Veintiuno 22 10110 Veintidós 23 10111 Veintitrés 24 11000 Veinticuatro 25 11001 Veinticinco

Comprobemos la cantidad de números que pueden representarse. Con dos dígitos binarios pueden representarse 2 elevado a 2, igual a 4 números. Con tres dígitos, 2 elevado a 3, igual a 8. Con cuatro dígitos, 2 elevado a 4, igual a 16. Estas cantidades (4, 8, 16) no tiene mucho que ver con los números equivalentes del sistema decimal (10, 100, etc.).

Esto tiene una consecuencia importante. Supóngase un número grande expresado en binario, por ejemplo el millón que se mencionó anteriormente: 11110100001001000000. Este número es difícil de pasar a decimal. No puede partirse en “trozos”, sino que debe convertirse como un todo, de tal forma que es muy complicado efectuar la conversión sin utilizar papel y lápiz.

Estos problemas son los que han llevado al uso cotidiano, en la informática, del sistema de numeración hexadecimal, cuya base es 16. El hexadecimal cumple notablemente las condiciones antes expresadas. Por un lado, tiene una base elevada, lo cual implica poder representar números grandes con pocos dígitos. Y además puede traducirse a binario de una forma muy sencilla.

El único inconveniente que representa el sistema hexadecimal es el de su notación. Deben emplearse 16 dígitos diferentes, y hasta ahora no se han mencionado más que 10 (del 0



al 9). Para solventarlo, se utilizan como dígitos adicionales las seis primeras letras del alfabeto (de la A a la F), con lo que los 16 dígitos necesarios quedan de la siguiente forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. El dígito A tiene un valor de diez, B vale once, y así sucesivamente hasta la F, que vale quince.

Para aclarar estas ideas, contemos una vez más hasta veinticinco tal como se indica en la figura 4.

Figura 4

Base 10 Base 16 Cantidad Representada

Sistema decimal 0 0 Cero 1 1 Uno 2 2 Dos 3 3 Tres 4 4 Cuatro 5 5 Cinco 6 6 Seis 7 7 Siete 8 8 Ocho 9 9 Nueve 10 A Diez 11 B Once 12 C Doce 13 D Trece 14 E Catorce 15 F Quince 16 10 Dieciséis 17 11 Diecisiete 18 12 Dieciocho 19 13 Diecinueve 20 14 Veinte 21 15 Veintiuno 22 16 Veintidós 23 17 Veintitrés 24 18 Veinticuatro

Como detalle curioso, los dígitos extra del sistema hexadecimal (de la A a la F) suelen

escribirse siempre en mayúsculas.

Volvamos a la razón por la que se escogió el uso de este sistema. Con un dígito hexadecimal pueden representarse, obviamente, hasta dieciséis números distintos.



Curiosamente, ésta es la misma cantidad de números que pueden obtenerse con cuatro dígitos binarios, y viceversa. Esta correspondencia puede observarse en la Figura 5. Figura 5.

Base 16 Base 2 Cantidad Representada

Sistema decimal 0 0000 Cero 1 0001 Uno 2 0010 Dos 3 0011 Tres 4 0100 Cuatro 5 0101 Cinco 6 0110 Seis 7 0111 Siete 8 1000 Ocho 9 1001 Nueve A 1010 Diez B 1011 Once C 1100 Doce D 1101 Trece E 1110 Catorce F 1111 Quince

Por lo tanto, la conversión de un número binario de larga longitud puede realizarse ahora de forma bien sencilla. Basta con dividir el número en grupos de cuatro dígitos (siempre comenzando de derecha a izquierda) e ir sustituyendo cada grupo por el dígito hexadecimal correspondiente. De esta forma, el número escogido en el ejemplo, un millón, puede pasarse de binario a hexadecimal de una forma rápida y sencilla, tal como se indica en la figura 6 Figura 6

1 Millón 11110100001001000000 Separado en grupos de cuatro dígitos 1111 0100 0010 0100 0000 Aplicando la tabla de la figura 6 F 4 2 4 0

Así pues, un millón, en hexadecimal, es F4240. Y, por supuesto, la conversión inversa

es igualmente sencilla. Basta con sustituir cada dígito del número deseado por los cuatro dígitos binarios a los que es equivalente. El sistema Hexadecimal presenta más ventajas, además de la ya apuntadas. Como es sabido, la unidad más corriente de memoria es el byte, que equivale a ocho bits o dígitos



binarios. Esto significa que el valor de un byte puede expresarse mediante dos dígitos hexadecimales, ya que cada uno de ellos representa cuatro dígitos binarios.

Por esta razón, es muy común representar el contenido de un byte de esta manera, en lugar de mediante ocho dígitos binarios. El problema más importante del sistema hexadecimal es probablemente el de identificar sus números como tales. Desde luego, al ver un número que contiene algún a letra de la A a la F, tal como 42E7, es presumible que se trate de una cantidad expresada en hexadecimal. Sin embargo, un número como 3805 puede ser tanto decimal como hexadecimal. De ahí que sea muy importante indicar en todo momento la base de numeración que se está empleando. Un método muy extendido consiste en representar los números decimales sin más, mientras que los hexadecimales se les añade la letra H al final. De esta forma, 3805 sería un numero decimal (que represente la cantidad tres mil ochocientos cinco), mientras que 3805H sería un número hexadecimal (que representa la cantidad catorce mil trescientos cuarenta y uno). Naturalmente, esta confusión es extensible al sistema de numeración binario. Un número que contenga dígitos que no sean ceros y unos no puede ser binario, pero por ejemplo, el número 11010 puede ser tanto binario como decimal, o incluso hexadecimal. CONCEPTOS MATEMÁTICOS PRELIMINARES Los conceptos de base y exponente son fundamentales para la comprensión de los sistemas de numeración:

103 es lo mismo que 10 x 10 x 10

54 es lo mismo que 5 x 5 x 5 x 5

26 es lo mismo que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

En estos ejemplos, 10, 5 y 2 son bases, mientras que 3, 4 y 6 son exponentes. La base

se multiplica por si misma; el número de veces que aparece como factor, es el determinado por el exponente. Así, 104 = 10 x 10 x 10 x 10, ya que la base 10 debe ser tomada cuatro veces como factor, según lo indica el exponente 4. OPERACIONES BÁSICAS Comenzaremos por hacer algunas observaciones sobre el sistema de numeración que nos es más familiar.

1. Todos los números se forman con dígitos elegidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9.

2. La contribución de un dígito al valor total de un número depende no solo de su propio valor (valor absoluto; es decir, 1, 2, 3, etc.), sino también de la posición que ocupa.

Examinemos por ejemplo el número 372. Se le puede escribir en la forma 3 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1

Lo que equivale a: (3 x 102) + (7 x 101) + (2 x 100); a esta forma se le conoce como notación expandida.



Donde se observa que:

El 2 contribuye con 2 unidades al valor total del número;

El 7 contribuye con 70 unidades al valor total del número;

El 3 contribuye con 300 unidades al valor total del número.

Consideremos el valor posicional de cada dígito de otro número entero, 25,164:

. . . 10,000 1,000 100 10 1

. . . 2 5 1 6 4

. . . 2 x 10000 + 5 x 1000 + 1 x 100 + 6 x 10 + 4 x 1

Lo que puede escribirse también en la forma

. . . 104 103 102 101 100

. . . 2 5 1 6 4 Propiedades:

1. Se utilizan diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

2. Los valores de posición comienzan por 1 para el último dígito de la derecha y aumentan en el factor 10 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda.

3. el valor total de un número se ⟨⟨calcula⟩⟩ multiplicando cada dígito por su valor posicional y sumando todos estos productos.

SISTEMA BINARIO (Base 2) El sistema de numeración binario se diferencia del decimal porque utiliza el 2 como base, en lugar de 10, y porque emplea sólo dos dígitos en lugar de diez. Propiedades más importantes:

1. Utiliza dos dígitos: 0, 1.


Podemos formar tablas como las que se presentan a continuación:

. . . 16 8 4 2 1 o . . . 24 23 22 21 20

. . . . . .



El número binario 1101, que escribiremos 11012 cuando queramos indicar explícitamente que se trata de un número de base dos, se ordena así en forma de tabla:

8 4 2 1 1 1 0 1

Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente: 1101 = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 En otros términos 11012 equivale al número decimal (de base 10) 13. Es decir,

11012 = 1310

Las operaciones aritméticas en números decimales, dependen de varias reglas que se aprenden usualmente a temprana edad con lo que el proceso de aprendizaje se ve como “natural” más que dependiente de un juego de reglas y tablas. Por ejemplo; aprendemos a sumar memorizando la tabla de sumas en el sistema decimal (Tabla 1). Esta es una tabla que expresa los resultados de la suma de todas las posibles combinaciones de dos números. Sólo se necesita media tabla ya que es simétrica.

La suma de dos números se muestra en la intersección de uno de los números de las filas y de otro de las columnas. Tabla 1. Tabla de Sumas para el Sistema Decimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 5 6 7 8 9 10 11 3 6 7 8 9 10 11 12 4 8 9 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 6 12 13 14 15 7 14 15 16 8 16 17 9 18

Las reglas y tablas de suma para la aritmética binaria son mucho más simples que para la aritmética decimal. Por ejemplo, la tabla de sumar para aritmética binaria (Tabla 2) consiste de sólo cuatro entradas. La tabla se usa de la misma forma que la tabla de sumar en decimal. Se pueden elaborar tablas similares para la multiplicación y la resta. Tabla 2. Tabla de Suma para Sistema Binario

0 1

0 0 1 1 1 0

Como una breve muestra de la aritmética binaria se ilustran las reglas solamente para la operación Suma



Reglas para Suma Binaria

1 + 1 = 0 y acarree 1 para sumar a la siguiente columna 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0

A continuación se proponen algunos ejemplos de operaciones aritméticas en código binario.

SISTEMA OCTAL (Base 8) En el sistema octal se utiliza el 8 como base, y, por tanto ocho dígitos. Propiedades más importantes:

1. Se usan los ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.


Las tablas correspondientes son las siguientes:

. . . 512 64 8 1 o . . . 83 82 81 80

. . . . . . Así, el número octal 3278 queda representado en forma de tabla de la manera siguiente:

64 8 1 3 2 7

Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente: 327 = 3 x 64 + 2 x 8 + 7 x 1 = 192 + 16 + 7 = 215 En otras palabras 3278 equivale al número decimal (de base 10) 215. Es decir,

3278 = 21510

1 0 1 1 + 1 0 0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1 + 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0



SISTEMA HEXADECIMAL (Base 16) En el sistema de numeración hexadecimal se utilizan 16 dígitos y, por tanto 16 como base. Propiedades más importantes:

1. Se usan los dieciséis dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Como podemos advertir que A corresponde al decimal 10, B al 11, C al 12, D al 13, E al 14 y F al 15. Los símbolos literales se utilizan convenientemente porque, de otro modo; 10, 11, 12, 13, 14 y 15 deberían quedar representados tal como se los escribe en el sistema numérico decimal, es ceñir, como una combinación de dos dígitos. La escritura resultaría entonces muy confusa.


Las tablas correspondientes son las siguientes:

. . . 4096 256 16 1 o . . . 163 162 161 160

. . . . . . Así, el número hexadecimal 2A416 se tabulará de la manera siguiente:

256 16 1 2 A 4

Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente: 2A4 = 2 x 256 + 10 x 16 + 4 x 1 = 512 + 160 + 4 = 676 En otras palabras 2A416 equivale al número decimal (de base 10) 676. Es decir,

2A416 = 67610 CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO Del sistema binario al decimal y viceversa. Ejemplo 1: Escriba 1001010(2 como número decimal. Como el número binario consta de siete cifras, igualmente necesitamos tener una tabla con siete columnas.

64 32 16 8 4 2 1 Decimal 1 0 0 1 0 1 0 ¿?



Como se indicó anteriormente, sumamos los productos parciales de la tabla, pero antes recordemos que cualquier cantidad multiplicada por cero el resultado también es cero; por tanto únicamente sumemos los productos que resultan de multiplicar los dígitos 1. 1 x 64 + 1 x 8 + 1 x 2 = 74; entonces 10010102 = 7410 Ejemplo 2: Escriba 11101(2 a base 10.

16 8 4 2 1 Operación Resultado 1 1 1 0 1 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 1 2910

Si queremos abreviar las operaciones podemos hacerlo de la forma siguiente:

16 8 4 2 1 Operación Resultado 1 1 1 0 1 16 + 8 + 4 + 1 2910

Está claro que el procedimiento inverso nos permitirá convertir números decimales en números binarios. El problema se reduce al de ajustar el número a una tabla binaria. Ejemplo 3: Convierta 5210 en un número binario. La tabla binaria puede limitarse hasta la columna correspondiente al 32, puesto que el siguiente elemento (64) es mayor que el número que deseamos convertir, 52.

64 32 16 8 4 2 1 Χ

Ahora veamos que las operaciones inician con el primer dígito de la izquierda. ¿Cuántas veces el número 32 está contenido en 52? Una sola vez. Por lo tanto anotamos un 1 en la columna correspondiente, con ello indicamos que 32 está contenido una vez en 52.

32 16 8 4 2 1 1

Pasamos a la columna siguiente, notemos que en el resto (20) cabe 16 una vez, por lo tanto colocamos un 1 en la columna que corresponde al 16, quedando un resto de 4.

32 16 8 4 2 1 1 1

Como el 8 no cabe en este resto, ponemos un 0 en la columna del 8.

32 16 8 4 2 1 1 1 0

En el resto de cabe 4 cabe en cambio un 4. Ponemos un 1 en la columna correspondiente, y ahora ya no queda resto alguno.

32 16 8 4 2 1 1 1 0 1

←52

← 52 – 32 = 20; es decir, nos restan 20

← 20 – 16 = 4 es el resto

← 4 – 0 = 4 resto

← 4 – 4 = 0 resto



Puesto que ya no hay resto, no tenemos ni doces ni unos en el número binario, para preservar el valor posicional de estos dígitos es necesario anotar en las columnas correspondientes ceros.

32 16 8 4 2 1 1 1 0 1 0 0

Luego entonces: 5210 = 1101002 Ejemplo 4: Convierta 6710 en binario. En 67 si cabe 64, por tanto hasta esta columna debemos utilizar nuestra tabla de conversión. Restando 64 del número original, queda un resto de 3 (67 – 64 = 3). El resto equivale evidentemente, a un 2 y un 1. Por lo que en la tabla tendremos un 1 en las columnas del 64, 2 y 1, y un 0 en todas las otras columnas.

64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 1 1

Entonces tenemos que: 6710 = 10000112 3.2 Del sistema octal al decimal y viceversa. Escriba el número octal 3728 a base 10. Puesto que son tres cifras el número queda representado en forma de tabla de la manera siguiente:

64 8 1 Operación Resultado 3 7 2 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 25010


64 8 1 Operación Resultado 3 7 2 192 + 56 + 2 25010

Con lo que queda indicado un método conveniente para convertir un número octal en un número decimal. Consideremos el proceso inverso de convertir un número de base 10 en un número de base 8. El mecanismo es el mismo que el caso del sistema binario, con la diferencia de que ahora hay que usar una tabla octal. Ejemplo 1: Convierta 5910 en octal. Observemos que si utilizamos la tabla nos sobrará la columna que corresponde al 64, ya que es mayor a 59.

64 8 1



Hay siete ochos en 59. Por tanto, anotaremos 7 en la columna del 8, dejando un resto de 3.

Este resto equivale a tres unos en la tabla. Luego entonces, anotaremos 3 en la columna del 1.

Ejemplo 2: Convierta 13510 en octal. En este caso, entra dos veces 64 en el número dado, quedando un resto de 7.

64 8 1 2

Como no entra ningún 8 en 7, se pondrá un 0 en la columna correspondiente y se considerará 7 como nuevo resto.

64 8 1 2 0

Hay siete unos en 7. Lo anotamos y el resto es cero.

64 8 1 2 0 7

Del sistema hexadecimal al decimal y viceversa. Ejemplo 1: Convierta el número hexadecimal 5DE16 a base 10.

• Recordemos que A corresponde al decimal 10, B al 11, C al 12, D al 13, E al 14 y F al 15. Puesto que son tres cifras el número queda representado en forma de tabla de la manera `siguiente:

256 16 1 Operación Resultado 5 D E 5 x 256 + 13 x 16 + 14 x 1 25010


256 16 1 Operación Resultado 5 D E 1280 + 208 + 14 150210

8 1 7

8 1 7 3

← 59 – 56 = 3 resto

← 3 – 3 = 0 resto. Tenemos entonces que 5910 = 738

← 135 – 128 = 7 resto.

← 7 resto.

← Luego 135(10 = 207(8



Ejemplo 2: Convierta 52310 en hexadecimal. Usando una tabla hexadecimal, comenzamos por registrar las dos veces que cabe 256 en 523. El resto es 11.

256 16 1 2

No cabe ningún 16 en 11. Se anota 0 en la columna del 16 y se considera 11 como nuevo resto.

256 16 1 2 0

Hay once unos en 11. Anotamos, por tanto, B en la columna del 1.

256 16 1 2 0 B

Del sistema binario al octal y viceversa. Es cosa fácil convertir números binarios a octales y a la inversa. Veamos primeros cómo podemos pasar del sistema binario al octal. Una manera de hacerlo sería pasar primero de la base binaria a la decimal y luego de la decimal a la octal. Es decir:

N2 N10 N8 Pero en este caso hay que hacer dos conversiones, lo que es innecesario. Observemos la tabla siguiente:

Binario Octal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7

Observemos que cada combinación de tres dígitos binarios (3 columnas) corresponde a un solo dígito octal. En otros términos, todas las posibles ternas binarias (de 000 a 111) se convierten en los ocho dígitos octales posibles (de 0 a 7).

← 523 – 512 = 11 resto.

← 11 resto.

← Luego 52310 = 20B16



Ejemplo 1: Convierta 1110111000012 a octal. Agrupemos los dígitos binarios de tres en tres, empezando por la derecha.

111 011 100 001 Convirtamos cada grupo en el número octal correspondiente.

7 3 4 1 Luego entonces, 1110111000012 = 73418 Aunque en el ejemplo anterior parece carecer de importancia, si empezáramos a agrupar desde la izquierda podría obtenerse un resultado incorrecto, como puede verificarse en el ejemplo que sigue. Ejemplo 2: Convierta 11010111110102 a octal.

1101011111010 = 1 101 011 111 010

= 1 5 3 7 2

= 153728

Recíprocamente, podemos convertir números octales en binarios remplazando cada dígito octal del número que se desea convertir, por el grupo equivalente de tres dígitos binarios. Ejemplo 3: Convierta 73068 a binario.

7306 = 7 3 0 6

= 111 011 000 110

= 111 011 000 110(2 Debe observarse que todos los ceros que se incluyen en este resultado, son necesarios para conservar el valor de posición de los otros dígitos. Es fácil de comprobar; si suprimimos uno o más ceros del número binario resultante y vuelva a convertirlo en octal; se obtendrá un resultado muy diferente de 7306. Del sistema binario al hexadecimal y viceversa. Así como a cada dígito octal le corresponde un grupo de tres dígitos binarios, a cada dígito hexadecimal le corresponde un grupo de cuatro dígitos binarios.

Binario Hexadecimal 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4



0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A (10) 1011 B (11) 1100 C (12) 1101 D (13) 1110 E (14) 1111 F (15)

Ejemplo 1: Convierta 101101010012 a hexadecimal. Agrupando de cuatro en cuatro, empezando por la derecha.

101 1010 1001 = 5A9(16 Ejemplo 2: Convierta F7CD a binario.

F7CD = F 7 C D

= 1111 0111 1100 1101

= 1111 0111 1100 1101(2 Del sistema binario al hexadecimal y viceversa. Ya sabemos bastante sobre los sistemas de numeración como para aprovechar ciertos métodos abreviados para convertir números octales en hexadecimales y viceversa. También en este caso podría creerse que lo más simple es pasar primero de octal a decimal y luego de decimal a hexadecimal.

N8 N10 N16 Pero este proceso es bastante laborioso. Es preferible tomar 2 como base intermedia.

N8 N2 N16

Octal Binario Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 1000 8 1001 9



1010 A (10) 1011 B (11) 1100 C (12) 1101 D (13) 1110 E (14) 1111 F (15)

Ejemplo 1: Convierta 743518 a base 16.

74351 = 111 100 011 101 001 Base 2

= 111 1000 1110 1001 Base 2

= 78E9(16 Ejemplo 2: Convierta A5716 a octal.

A57 = 1010 0101 0111 Base 2

= 101 001 010 111 Base 2

= 51278 4. Fracciones decimales Sabemos ya que 0.94 en base 10 equivale a cualquiera de las tres sumas siguientes:

210*4110*9

;01.0*41.0*9

;100

1*4

10

1*9

−+−

+

+

Pero, ¿qué significa 0.112? Es fácil comprender que, teniendo presente el ejemplo anterior, esta expresión equivale a cualquiera de las tres sumas siguientes.

22*112*1

;25.0*15.0*1

;4

1*1

2

1*1

−+−

+

+

El equivalente en base decimal es, pues, ¾ o 0.75. En otros términos, 0.112 = 0.7510. Ejemplo 1: Convierta 0.10112 a base decimal.

161*1

81*1

41*0

21*11011.0 2( +++=

= 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.687510



Ejemplo 2: Convierta 0.37510 a binario. Esta conversión se realiza haciendo encajar el número decimal fraccionario en una tabla binaria; es decir, en:

2

1

4

1

8

1

16

1 . . .

o en

0.5 0.25 0.125 0.0625 . . .

Empezando por la izquierda, vemos que no cabe 0.5 en 0.375. Luego

0.5 0.25 0.125 0.0625 . . .

0

Pero si cabe 0.25

0.5 0.25 0.125 0.0625 . . .

0 1

El resto, 0.125, da

0.5 0.25 0.125 . . .

0 1 1

y el resultado es exacto porque no queda resto alguno. Luego 0.375(10 = 0.011(2 Ejemplo 3: convierta 0.568 a base 10. 0.568 significa 5 x 8-1 + 6 x 8-2 o bien;

6446

641

*681

*5 =+

o 5 x 0.125 + 6 x 0.015625 = 0.718750 Luego, 0.568= 0.71875(10

, y 0.375 – 0.25 = 0.125 es el resto

, y 0.375 – 0.25 = 0.125 es el resto



Consideremos algunas tablas de fracciones

Base 2 Fracción Decimal Base 8 Fracción Decimal 2-1 1/2 0.5 8-1 1/8 0.125 2-2 1/4 0.25 8-2 1/64 0.015625 2-3 1/8 0.125 8-3 1/512 0.00195313 2-4 1/16 0.0625 8-4 1/4096 0.00024414 2-5 1/32 0.03125 2-6 1/64 0.015625 Base 16 Fracción Decimal 2-7 1/128 0.0078125 16-1 1/16 0.0625 2-8 1/256 0.00390625 16-2 1/256 0.00390625

16-3 1/4096 0.00024414 ADICIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Pueden comprenderse mejor los sistemas de numeración estudiando el proceso de adición o suma de números en distintas bases. Adición en base 10. Este proceso puede parecer trivial, pero si se llega a comprender el procedimiento (no simplemente a dominar la mecánica de la suma), la adición en otras bases no resultará más difícil que en base 10. sumemos 29 48 15 13 ----- Si la adición se ejecuta correctamente, el resultado será 105. Pero ¿qué podemos aprender con esto sobre los sistemas numéricos? Comprendiendo cómo se suma, nos daremos cuenta de que al sumar los dígitos de la primera columna de la derecha se tiene 9 + 8 + 5 + 3 = 25. Pero 25 no es un dígito, por lo que 25 no puede entrar en una sola columna. De modo que lo que se hace es algo así como “pongo 5 y me llevo 2”. Se quiere decir con esto que 25 = 2 x 10 + 5; o sea, hay dos decenas en 25, con un resto de 5. Este resto equivale a cinco unos, por lo que anotamos 5 en la primera columna (la de los unos). Las “dos decenas” indican que hay que agregar un 2 a la segunda columna (la de las decenas). De ahí la expresión “me llevo 2”. Tal vez esto sea suficiente para intentar la adición en base 2. Adición en base 2. Vamos a ilustrarlo con el siguiente ejemplo: Realice la suma binaria 10 11 -----



En la primera columna tenemos 0 + 1 = 1, de modo que nuestro resultado hasta ahora es 10 11 ----- 1 En la segunda columna tenemos 1 + 1. Esto es, 2. Pero en base 2 no tenemos un dígito llamado 2 (sólo tenemos los dígitos 0 y 1). En realidad, dado que la base es 2, resulta que 2 = 1 x 2 + 0, es decir, un dos y ningún uno, o “pongo 0 y llevo 1”. El resultado hasta el momento, es el siguiente: 1 10 11 ----- 01 Pasando a la columna siguiente de la izquierda y sumando, el resultado final es 1 10 11 ----- 101 Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: 111(2 + 101(2.

111 101

1 111 101

0

1 1 111 101 00

111 111 101 100

111 111 101

1100 El resultado es 1100

Adición en base 8. Veamos un ejemplo de cómo se aplica el método. Ejemplo 1: Realice la siguiente operación: 37(8 + 24(8.

37 24

1 37 24 3

7 + 4 es “11” en base 10, pero equivale a 1 x 8 + 3, puesto que estamos sumando en base 8; de otra forma podemos decir: 11/8 = 1 y sobran 3.

1 37 24 63

El resultado es: 63(8

(El “1” en negrita y cuerpo menor es el 1 que se lleva)



Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: (746 + 157 + 567)(8.

2 746 157 567

4

6 +7 + 7 es “20” = 20/8 = 2 y sobran 4. O bien: 2 x 8 + 4

2 2 746 157 567 14

2 + 4 + 5 + 6 es “17” = 17/8 = 2 y sobran 1. O bien: 2 x 8 + 1

1 2 2 746 157 567 714

2 + 7 + 1 + 5 es “15” = 15/8 = 1 y sobran 7. O bien: 1 x 8 + 7

1 2 2 746 157 567

1714

Adición en base 16. Veamos un ejemplo de cómo se aplica el método. Ejemplo 1: Realice la siguiente operación: A9(16 + 89(16.

A9 89

1 A9 89 2

9 + 9 es “18” = 1 x 16 + 2; o bien, 18/16 = 1 y sobran 2.

11 A9 89 32

1 + A + 8 es “19” = 1 x 16 + 3; o bien 18/16 = 1 y sobran 3.

11 A9 89

132



Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: (B3E + 127 + 1F3)(16.

1 B3E 127 1F3

8

E +7 + 3 es “24” = 24/16 = 1 y sobran 8. O bien: 1 x 16 + 8

1 B3E 127 1F3

58

1 +3 + 2 + F es “21” = 24/16 = 1 y sobran 5. O bien: 1 x 16 + 5

1 1 B3E 127 1F3

58

1 +3 + 2 + F es “21” = 24/16 = 1 y sobran 5. O bien: 1 x 16 + 5

1 1

B3E 127 1F3 E58

1 +B + 1 + 1 es “14” = E

SUSTRACCIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Podemos restar números en diferentes bases esencialmente del mismo modo que en base 10. Sustracción en base 10. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método. Ejemplo 1: Realice la operación 947 – 263(10.

947 263

Restamos primero 3 de 7 y obtenemos 4

947 263

4

Ahora tratamos de restar 6 de 4. Sin embargo, como 6 es mayor que 4, “quitamos 1” al 9. Puesto que el 9 está en la primera columna a la izquierda de la del 4, el 1 quitado equivale en realidad a pasar 10 para la columna del 4. Por otra parte, el 9 se reduce a 8.

10

947 263

4

Restamos 6 de (10 + 4) y obtenemos 8

10947 263

84

Finalmente, restamos 2 de 8.



10

947 263 684

Podemos verificar el resultado, 684, sumándolo a 263 para obtener 947.

684 263 947

Sustracción en base 8. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método. Ejemplo 1: Realice la operación (63 – 47)(8.

63 47

No podemos restar 7 de 3, de modo que “quitamos 1” del 6. El 1 quitado equivale a pasar 8 en la columna que contiene al 3, puesto que estamos calculando en base 8. Al mismo tiempo, el 6 se reduce a 5.

8 63 47 4


8

63 47

4

A continuación, restamos 4 de 5 8 63 47 14


La resta en otras bases se realiza en forma similar. En base 2, cada 1 quitado equivale a 2. En base 16, cada 1 quitado equivale a 16. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN La multiplicación de números es, en todos los caso, similar a la multiplicación en base 10. Multiplicación en base 10. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método. Ejemplo 1: Realice la operación 425 x 381(10.

425 381 425 3400 1275 161925

La multiplicación en base 10 nos resulta sencilla porque sabemos de memoria la tabla de multiplicar correspondiente a los dígitos de 0 a 9.



X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Observe que los dígitos en negrita representan en cada caso el “arrastre” o “acarreo” si lo hay. En base 2, la tabla de multiplicación es:

X 0 1 (no hay

transportes) 0 0 0 1 0 1

Ejemplo 1: Multiplicación en base 2

1011 1101

1011

1011 1101

1011 0000

1011 1101

1011 0000 1011

1011 1101

1011 0000 1011 1011

1011 1101

1011 0000 1011 1011

10001111 La tabla siguiente indica los resultados de la multiplicación de dígitos de base 8. También en este caso, los arrastres o acarreos están indicados en negrita.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

Para aclarar esta tabla, veamos por qué 5 x 7 = 43. En efecto, 5 x 7 = (35)10, pero aplicando las reglas de conversión ya conocidas se tiene que 3510 = 438, pues en 3510 caben cuatro ochos y sobran todavía tres unidades.



Ejemplo 2: Multiplicación en base 8 con ayuda de la tabla anterior.

45 73

3 x 5 = 17

45 73 1 7

3 x 4 = 14 a esto le sumamos 1 que “llevamos” = 15

45 73 157

7 x 5 = 43

45 73 157 4 3

7 x 4 = 34

45 73 157 4 343

7 x 4 = 34 a esto le sumamos 4 que “llevamos” = 38, es decir, 30 + “8” (8 = 10), entonces 34 + 4 = 40

45 73 157 403 4207

La tabla dada a continuación refleja los resultados de multiplicar dígitos en base 16. Los dígitos de la izquierda, como antes, indican los arrastres. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E

3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D

4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C

5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B

6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A

7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69

8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78

9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87

A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96

B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5

C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4

D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3

E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2

F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1



Ejemplo 2: Multiplicación en base 16 con ayuda de la tabla anterior. A3 94

4 x 3 = C

A3 94 C

4 x A = 28

A3 94 28C

A3 94 28C

9 x 3 = 1B

A3 94 28C 1 B

9 x A = 5A; 5A + 1 = 5B

A3 94 28C 5BB 5E3C

Cuestionario:

a) Los doce primeros números en base 10 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. ¿Cuáles son los doce primeros números en base 3’ ¿En base 5? ¿En base 4?

b) ¿En qué bases de las anteriores es inaceptable el número 12305? Ejercicios propuestos: Realice las conversiones indicadas a continuación:

1. 11002 a base 10

2. 100112 a base 10

3. 110102 a base 10

4. 1510 a base 2

5. 3310 a base 2

6. 8710 a base 2

7. 178 a base 10

8. 548 a base 10

9. 778 a base 10

10. 2910 a base 8

11. 5010 a base 8

12. 9910 a base 8

13. AB16 a base 10

14. F916 a base 10

15. 13C16 a base 10

16. 3810 a base 16

17. 9610 a base 16

18. 20810 a base 16

19. 13910 a base 2

20. 13910 a base 8

Unidad 1.- Sistemas de numeración

Ing. Miguel Ángel Durán J. 39

Realice las siguientes adiciones en las bases indicadas.

Base 2. a) 101 + 111 b) 1011 + 1111 c) 111 + 1011 d) 10011 + 1100 + 10001

Base 8. a) 73 + 6 b) 347 + 450 c) 54 + 36 + 21 d) 103 + 235 + 777 + 111

Base 16. a) 89 + 25 b) AB + CD c) 1DF + AB8 d) 5DE + F72 + 123

Realice las siguientes multiplicaciones en las bases indicadas.

Base 2. a) 101 x 101 b) 1110 x 1001 c) 111 x 1010 d) 1011 x 1000

Base 8. a) 16 x 24 b) 73 x 37 c) 145 x 65 d) 235 x 437

Base 16. a) 45 x 21 b) A7 x D8 c) CB x 3E d) 18F x 68A

Unidad 1 Sistemas de numeracion

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