MTODOS NUMRICOS1.1 Sistemas de numeracin

1.1Sistemas numricos. Los nmeros son los mismos en todos lados. Sus nombres y su simbologa podrn ser diferentes, pero tienen el mismo significado. Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no podan alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus necesidades. Si queran recordar algunos nmeros, hacan incisiones en un palo o marcas en una roca.

1.1Sistemas numricos. An ahora, para contar algunas cosas, es til usar rayas verticales, agrupando de cinco en cinco.

Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco, porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los nmeros que sirven para contar se llaman naturales: x N. Cuando la gente empez a escribir, tambin encontr la forma de representar los nmeros de manera ms sencilla, con smbolos.

1.1.1 Los nmeros egipcios.Los egipcios fueron quiz los primeros que crearon una forma de escritura numrica, usando diferentes smbolos:

|110001 000 000 1010 00010 000 000100100 000

El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no hace uso del cero; para representar un nmero, se repetan los ocho smbolos anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de representacin de 1 a 99 999 999.De izquierda a derecha, primero aparecan las unidades, luego las decenas, en seguida las centenas y as, sucesivamente. La interpretacin de los nmeros se hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los smbolos.

Ejemplo:| | | | | | | | | | | | | | | | |

18102 1997

1.1.2 Los nmeros romanosLos romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de numeracin que resultaba algo ms fcil de manejar:IV X L C D M1510501005001000Los nmeros romanos todava se usan, por tradicin, en relojes, para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes de los nmeros, pero ya no para fines aritmticos.Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres smbolos iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar correctamente la representacin de algunos nmeros: IV, cinco menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC, cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la progresin se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales bsicos para representar nmeros en el rango de 1 a 3999:

1.1.2 Los nmeros romanosPara las unidades: I II III IV V VI VII VIII IX 1 2 3 4 5 6 7 8 9Para las decenas: X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC 10 20 30 40 50 60 70 80 90Para las centenas: C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM 100 200 300 400 500 600 700 800 900Para las unidades de millar: M MM MMM 1000 2000 3000Con objeto de aumentar el rango de escritura de los nmeros romanos, ms tarde se opt por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un milln de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del nmero IV y hasta el nmero MMMCMXCIX.

Ejemplos: XVIII CII MCMXCVII X|VIII C|II M|CM|XC|VII 10 | 8 100 | 2 1000 |900| 90 | 7 18 102 1997

1.1.3 Los nmeros mayasEl sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta superior por cuanto al uso del cero y porque en ningn caso es necesario restar para interpretar un nmero. El sistema maya usa solamente tres smbolos:01 5Con estos smbolos se puede representar cualquier nmero de 0 a , para lo cual requiere del uso de veinte numerales bsicos:051015 1 6 11 16 2 7 12 17 3 8 13 18 4 9 14 19

1.1.3 Los nmeros mayasEl sistema de numeracin maya es vigesimal, es decir, que la progresin se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo que le da la caracterstica de ser posicional, donde la primera posicin representa unidades, la segunda veintenas, las tercera mltiplos de cuatrocientos, la cuarta mltiplos de ocho mil, etc. Se escribe y se lee de arriba hacia abajo.

Ejemplos: 4 x 400 = 1600

5 x 20 = 100 19 x 20 = 380

18 x 1 = 18 2 x 1 = 2 17 x 1 = 17

18 102 1997

1.1.4 La evolucin de los nmeros.Adems de contar, la gente empez a necesitar hacer algo ms con los nmeros: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. As naci la aritmtica, la que ha evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas cosas que calcular y tambin muy distintas maneras de hacerlo. Pero toda la matemtica se basa en el simple acto de contar.La necesidad de utilizar nmeros cada vez mayores trajo consigo la nocin de infinito: , descubierta por los griegos a travs de un elevado nivel de abstraccin.Los nmeros naturales ya no fueron suficientes; haba la necesidad de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y as nacieron los nmeros racionales: Q = {q q = a/b}, (a, b N).

1.1.4 La evolucin de los nmeros.La aparicin del cero: 0, nace de la necesidad de representar la diferencia entre dos nmeros idnticos y constituye el elemento fundamental para la construccin de los sistemas numricos posicionales.Con la invencin del lgebra, aparecieron los nmeros negativos como solucin de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la clasificacin de los nmeros enteros en positivos y negativos:Z+ = {z > 0}; Z- = {z < 0}La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los desarrollos geomtricos trajo consigo el advenimiento de los nmeros irracionales: , e, 2, etc. Qc = {u u R, u Q}La unidad y fundamento lgico del estudio de los nmeros se alcanz a travs de la construccin del sistema de los nmeros reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.Los nmeros complejos, C, aparecieron de la misma manera que los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requera de la introduccin de los llamados nmeros imaginarios.

1.1.5 El sistema decimal indo-arbigo.Los numerales que han resultado ms apropiados son los que usamos en la actualidad. Fueron introducidos a Europa a travs de los rabes, pero no fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindes, que desde hace diecisiete siglos usaban smbolos muy similares a los guarismos que se manejan hoy en da.Los clculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los rabes inventaron el diez y, con l, el sistema decimal posicional que conocemos, conviniendo en que el valor de un guarismo vara con su posicin, acompandolo de uno o varios ceros:10 es diez veces uno.100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno.1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno.etc.

Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el nmero ochocientos cincuenta y tres, y se interpreta como sigue: 8 5 3 (8 x 102) + (5 x 101) + (3 x 100) = 800 + 50 + 3 = 853

1.1.5 El sistema decimal indo-arbigo.El sistema decimal permite manejar no solamente nmeros enteros, sino todos los nmeros reales, incluyendo racionales e irracionales, y tambin los nmeros complejos.En el sistema decimal, los nmeros reales se representan de la misma manera que los enteros, slo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, vara con su posicin, anteponindole uno o varios ceros:0.1 es la dcima parte de uno.0.01 es la centsima parte de uno.0.001 es la milsima parte de uno.etc.

Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representacin del nmero fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milsimos"..0745 (7 x 10-2) + (4 x 10-3) + (5 x 10-4) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745

1.1.6 El sistema binario.El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar de diez y utiliza solamente dos smbolos o dgitos binarios: 0 y 1, en vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los unos vara con su posicin, acompandolos de uno o varios ceros:10 es dos veces uno.100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno.1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno.etc.El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque los alambres que forman los circuitos electrnicos presentan solo dos estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa o no corriente por ellos.

1.1.6 El sistema binario.En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el nmero trece, representado a travs de marcas simples e iguales:

| | | | | | | | | | | | | se agrupa por parejas, de izquierda a derecha:

| | | | | | | | | | | | |

luego se agrupa por parejas de valos, otra vez de izquierda a derecha:

| | | | | | | | | | | | |luego por parejas de valos ms grandes y as, sucesivamente:

| | | | | | | | | | | | |

El nmero de marcas agrupadas dentro de cada valo, e incluso la marca que queda fuera de ellos, corresponde a una potencia de 2.

23 22 20

Sumando los valores obtenidos, se tiene: 23 + 22 + 20 = 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal,

o bien: (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

1.1.6 El sistema binario.Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se obtiene el numeral:1101que representa el nmero trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1 representa una unidad (20); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ningn grupo de dos unidades (21); el siguiente 1 representa dos grupos de dos unidades (22); y el ltimo 1 representa cuatro grupos de dos unidades (23).Al igual que en el sistema decimal, en el binario tambin se pueden representar nmeros fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, vara con su posicin, anteponindoles uno o varios ceros:0.1 es la mitad de uno.0.01 es la cuarta parte de uno.0.001 es la octava parte de uno.etc.

Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representacin del nmero fraccionario "trece dieciseisavos

.1101 (1 x 2-1) + (1 x 2-2) + (0 x 2-3) + (1 x 2-4) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125

1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 smbolos, los cuales pueden ser los mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan convencionalmente. El valor de un guarismo vara con su posicin, acompandolo de uno o varios ceros:10 es ocho veces uno.100 es sesenta y cuatro veces uno.1000 es quinientas doce veces uno.etc.

Aqu la agrupacin se hace de ocho en ocho, como se muestra: | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

que se puede expresar: (2 x 81) + (3 x 80)

equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal.

Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se obtiene el numeral 23 que se lee "dos, tres y representa al nmero diecinueve en sistema octal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (80) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (81).

1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.La representacin de nmeros fraccionarios en el sistema octal se hace considerando:0.1 es la octava parte de uno.0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno.0.001 es la quinientos doceava parte de uno.etc.

El sistema hexagesimal, o de base diecisis, requiere de 16 smbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dgitos del sistema decimal, del 0 al 9, complementados, por convencin, por las primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 (podran utilizarse, en su lugar, otros cinco smbolos cualesquiera). El valor de un guarismo vara con su posicin, acompandolo de uno o varios ceros:10 es diecisis veces uno.100 es doscientos cincuenta y seis veces uno.1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno.etc.

1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal.Aqu la agrupacin se hace de diecisis en diecisis, como se muestra:

| | | | | | | | | | | | | | | | | | |

que se puede expresar: (1 x 161) + (3 x 160)

equivalente a: 16 + 3 = 19, en sistema decimal.

Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que se lee "uno, tres y representa al nmero diecinueve en sistema hexagesimal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (160) y el 1 representa un grupo de diecisis unidades (161).

La representacin de nmeros fraccionarios en el sistema hexagesimal se hace considerando:0.1 es la dieciseisava parte de uno.0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno.0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno.etc.

1.1.8 Conversin de nmeros enterosde un sistema a otro.Conversin de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El entero decimal n se divide entre la base b (2, 8 o 16) y se registra el cociente c1 y el residuo r1 resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente c1 se divide entre la base b, registrando el cociente c2 y el residuo r2 de igual manera; el procedimiento se repite hasta alcanzar un cociente ck, que sea cero, con un residuo rk. El nmero n, expresado en base b, se construye a partir de los residuos, en el orden: rk, rk-1, ..., r2, r1.Ejemplo: Convertir el nmero decimal 199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal.A binario:divisiones sucesivas entre 2.19971 9980 4991 2491 1240 620 311 151 71 31 11 0lecturaEl nmero 199710 en binario es:

111110011012

1.1.8 Conversin de nmeros enterosde un sistema a otro.A octal: divisiones sucesivas entre 8.19975 2491 317 33 0

A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16.

199713 = D 12412 = C 7 7 0El nmero 199710 en octal es: 37158El nmero 199710 en hexagesimal es:

7CD16

1.1.8 Conversin de nmeros enterosde un sistema a otro.Conversin de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los dgitos que conforman el nmero m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posicin del dgito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La suma de estos productos es el nmero m, en base decimal.

Ejemplo: Convertir el nmero binario 111001101 al sistema decimal.1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20 = 256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 46110

Ejemplo: Convertir el nmero octal 5438 al sistema decimal.5 x 82 + 4 x 81 + 3 x 80 = 320 + 32 + 3 = 35510

Ejemplo: Convertir el nmero hexagesimal 9B216 al sistema decimal.9 x 162 + 11 x 161 + 2 x 160 = 2304 + 176 + 2 = 248210

La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decimal aparece slo como referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversin de cualquier entero de un sistema a otro.

Conversin de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimal.

BinarioOctalBinarioHexagesimalDecimal000000000000110001110102001022011300113310040100441015010155110601106611170111771000881001991010A101011B111100C121101D131110E141111F15

Conversin de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimal.Ejemplo: Convertir el nmero binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.A octal:011 111 001 101 3 7 1 5A hexagesimal: 0111 1100 1101 7 C D

Ejemplo: Convertir el nmero octal 5438 a los sistemas binario y hexagesimal.A binario: 5 4 3 101 100011A hexagesimal:0001 0110 0011 1 6 3

Ejemplo: Convertir el nmero hexagesimal 9B216 a los sistemas binario y octal.A binario: 9 B 2 1001 1011 0010A octal:100 110 110 010 4 6 6 2 El nmero 111110011012 en octal es: 37158El nmero 111110011012 en hexagesimal es 7CD16El nmero 5438 en binario es: 1011000112El nmero 5438 en hexagesimal es: 16316El nmero 9B216 en binario es: 1001101100102El nmero 9B216 en octal es: 46628

1.1.9Conversin de nmerosfraccionarios de un sistema a otro.Conversin de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fraccin decimal n se multiplica por la base b (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria resultante f1 y por el otro la parte entera correspondiente e1; la fraccin f1 se multiplica por la base b, registrando la fraccin f2 y el entero e2 asociado; el procedimiento se repite ocho veces hasta alcanzar una fraccin fk, que sea cero o cercana a cero (fk 0.9961 fk 0.0039 con su entero asociado ek. El nmero n, expresado en base b, se construye a partir de los enteros, en el orden: e1, e2, ..., ek-1, ek.

Ejemplo: Convertir la fraccin decimal 0.199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal.A binario: multiplicaciones sucesivas por 2. .1997 .39940 .79880 .59761 .19521 .39040 .78080 .56161 .12321 .24640El nmero 199710 en binario es aproximadamente: 0.001100112

1.1.9Conversin de nmerosfraccionarios de un sistema a otro.A octal: multiplicaciones sucesivas por 8. .1997 .56761 .78084 .24646 .97121 .76967 .15686 .25441 .03522 .28160

A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16..1997 .19523 .12323 .97121 .539215 = F .62728 .035210 = A .56320 .01129 .17920El nmero 199710 en octal es aproximadamente: 0.146176128El nmero 199710 en hexagesimal es aproximadamente: 0.331F8A0916

1.1.9Conversin de nmerosfraccionarios de un sistema a otro.Conversin de fracciones de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los dgitos que conforman la fraccin m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posicin del dgito, empezando por la potencia menos uno, de izquierda a derecha. La suma de estos productos es el nmero m, en base decimal.

Ejemplo: Convertir el nmero binario 0.11100110110 al sistema decimal.1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-6 + 1 x 2-7 + 1 x 2-9 = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 0-001953125 = 0.900390610

Ejemplo: Convertir la fraccin octal 0.5438 al sistema decimal.5 x 8-1 + 4 x 8-2 + 3 x 8-3 = 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.693359310

Ejemplo: Convertir la fraccin hexagesimal 0.9B216 al sistema decimal.9 x 16-1 + 11 x 16-2 + 2 x 16-3 = 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882= 0.605468710

Conversin de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimalConversin de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal, sirve tambin para hacer la conversin de cualquier fraccin de un sistema a otro.

Ejemplo: Convertir la fraccin binaria 0.111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal.A octal:0.111 110 011 0100. 7 6 3 2A hexagesimal: 0.1111 1001 10100. F 9 A

Ejemplo: Convertir la fraccin octal 0.5438 a los sistemas binario y hexagesimal.A binario:0. 5 4 30.101100 011A hexagesimal:0.1011 0001 10000. B 1 8El nmero 111110011012 en octal es: 0.76328El nmero 111110011012 en hexagesimal es: 0.F9A16El nmero 5438 en binario es: 0.1011000112El nmero 5438 en hexagesimal es: 0.B1816

Conversin de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimalEjemplo: Convertir la fraccin hexagesimal 0.9B216 a los sistemas binario y octal.A binario:0. 9 B 20.1001 1011 0010A octal:0.100 110 110 010 0. 4 6 6 2El nmero 9B216 en binario es: 0.1001101100102El nmero 9B216 en octal es: 0.46628

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