Apostila Cálculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran
DAMAT Departamento Acadmico de Matemtica
Clculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)
SRIES - TRANSFORMADASNOTAS DE AULA
Rudimar Luiz Ns
2o
semestre/2011
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No paradoxo dizer
que nos nossos momentos de inspirao mais terica
podemos estar o mais prximo possvel
de nossas aplicaes mais prticas.
A. N. Whitehead (1861-1947)
[email protected]://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos
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SUMRIO
1. SRIES.................................................................................................................................................................................9
1.1SEQUNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9
1.2SRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................91.3CONVERGNCIA DE SRIES..........................................................................................................................................101.3.1 A srie geomtrica..............................................................................................................................................101.3.2 Condio necessria convergncia.................................................................................................................111.3.3 Teste da divergncia...........................................................................................................................................111.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................121.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes).........................................................................................................121.3.7 Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13
2. A SRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17
2.1FUNES PERIDICAS .................................................................................................................................................172.2SRIES TRIGONOMTRICAS..........................................................................................................................................18
2.3SRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................222.3.1 Definio............................................................................................................................................................222.3.2 Coeficientes ........................................................................................................................................................222.3.3 Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................252.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet ........ ........... ......... ............ ......... ........... ............ ......... ........... ......... .......... 25
2.4SRIE DE FOURIER DE UMA FUNO PERIDICA DADA................................................................................................272.5FUNES PARES E FUNES MPARES..........................................................................................................................352.6SRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................392.7SRIE DE FOURIER DE SENOS .......................................................................................................................................402.8OFENMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................442.9AIDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SRIES DE FOURIER..............................................................................................452.10CONVERGNCIA DE SRIES NUMRICAS ATRAVS DA SRIE DE FOURIER ..................................................................472.11DERIVAO E INTEGRAO DA SRIE DE FOURIER....................................................................................................482.12AFORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA)DA SRIE DE FOURIER...............................................................................502.13APLICAES DA SRIE DE FOURIER NA SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55
2.13.1 Equaes diferenciais ......................................................................................................................................552.13.2 Equao do calor .............................................................................................................................................562.13.3 Equao da onda..............................................................................................................................................592.13.4 Equao de Laplace.........................................................................................................................................61
2.14EXERCCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................652.15EXERCCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER.........................................................................91
3.1AINTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................923.2CONVERGNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92
3.2.1 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................933.3AINTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................933.4AINTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................943.5FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................953.6DEFINIO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................973.7TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................993.8TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................1003.9FUNO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................1023.10ESPECTRO,AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................1043.11PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER........................................................................106
3.11.1 Comportamento de F() quando || ........................................................................................................1073.11.2 Linearidade ....................................................................................................................................................1083.11.3 Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................1083.11.4 Conjugado......................................................................................................................................................1093.11.5 Translao (no tempo) ...................................................................................................................................1093.11.6 Translao (na frequncia)............................................................................................................................110
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3.11.7 Similaridade (ou mudana de escala) e inverso de tempo .......... .......... ........... ......... ........... ......... ............ ...1103.11.8 Convoluo ....................................................................................................................................................1113.11.9 Multiplicao (Convoluo na frequncia)....................................................................................................1143.11.10 Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................1153.11.11 Derivadas de transformadas de Fourier .......... .......... ........... ......... ........... ......... ........... ......... ............ ......... .116
3.12RESUMO:PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................1193.13DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120
3.13.1 Propriedades do delta de Dirac.....................................................................................................................1213.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac..................................................................................................122
3.14MTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................1223.14.1 Uso da definio.............................................................................................................................................1223.14.2 Uso de equaes diferenciais .........................................................................................................................1263.14.3 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................128
3.15TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ............................................................................................1303.15.1 A funo constante unitria ...........................................................................................................................1303.15.2 A funo sinal.................................................................................................................................................1313.15.3 A funo degrau .............................................................................................................................................1323.15.4 Exponencial....................................................................................................................................................1323.15.5 Funo cosseno..............................................................................................................................................133
3.16RESUMO:TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ...........................................................................1343.17IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................1353.18CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS ......................................................................................................................1373.19SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141
3.19.1 Equaes diferenciais ordinrias...................................................................................................................1413.19.2 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................142
Derivao sob o sinal de integrao Regra de Leibniz ..................................................................................................................1423.19.2.1 Equao do calor (EDP parablica) ..................................................................................................................................1443.19.2.2 Equao da onda (EDP hiperblica).................................................................................................................................1463.19.2.3 Equao de Laplace (EDP elptica) ..................................................................................................................................148
3.20SOLUO DE EQUAES INTEGRAIS E DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................1513.21EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................1543.22EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE............................................................................................................................1654.1DEFINIO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165
4.1.1 Motivao.........................................................................................................................................................1654.1.2 Funo de Heaviside........................................................................................................................................166
4.1.2.1 - Generalizao ........................................................................................................................................................................ 1674.1.3 Transformada de Laplace ................................................................................................................................168
4.2FUNES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................1714.3CONVERGNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174
4.3.1 Convergncia absoluta e condicional ..............................................................................................................1744.3.2 Condies suficientes para a convergncia .....................................................................................................174
4.4TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNES ELEMENTARES ...............................................................1754.4.1 f(t) = t
n..............................................................................................................................................................175
4.4.2 f(t) = eat
............................................................................................................................................................177
4.4.3 Transformada de algumas funes elementares ..............................................................................................1774.5PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................1784.5.1 Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s ....................................................................1784.5.2 Linearidade......................................................................................................................................................1784.5.3 Primeira propriedade de translao ou deslocamento ......... .......... .......... ........... ......... ........... ......... ............ ...1814.5.4 Segunda propriedade de translao ou deslocamento.....................................................................................1814.5.5 Similaridade (ou mudana de escala) ..............................................................................................................1824.5.6 Transformada de Laplace unilateral de derivadas ......... ............ ......... ........... ............ ......... ........... ......... ........1834.5.7 Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................1854.5.8 Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicao por t
n) ....................................................186
4.5.9 Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (diviso por t)..................................................................1874.5.10 Convoluo ....................................................................................................................................................1894.5.11 Valor inicial ...................................................................................................................................................190
4.5.12 Valor final ......................................................................................................................................................1914.6TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNES PERIDICAS......................................................................192
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4.7CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS........................................................................................................................1944.8MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196
4.8.1 Uso da definio...............................................................................................................................................1964.8.2 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................1964.8.3 Uso de equaes diferenciais...........................................................................................................................2004.8.4 Outros mtodos ................................................................................................................................................2004.8.5 Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................2004.9TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNES.........................................................................2004.9.1 Funo nula .....................................................................................................................................................2004.9.2 Funo degrau unitrio ...................................................................................................................................2004.9.3 Funo impulso unitrio ..................................................................................................................................2014.9.4 Algumas funes peridicas.............................................................................................................................202
4.10MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................2044.10.1 Completando quadrados ................................................................................................................................2044.10.2 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................2044.10.3 Expanso em srie de potncias.....................................................................................................................2094.10.4 Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................2114.10.5 A frmula de Heaviside..................................................................................................................................2114.10.6 A frmula geral (ou complexa) de inverso........... .......... .......... .......... ......... ............ ......... ........... ......... ........212
4.11SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................2134.11.1 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes constantes......................................................................2134.11.2 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes variveis........................................................................2194.11.3 Equaes diferenciais ordinrias simultneas...............................................................................................2214.11.4 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................223
4.12SOLUO DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS....................................................................................................2294.13EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................2324.14EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................240
5. TRANSFORMADAS ZZZZ...................................................................................................................................................251
5.1DEFINIO DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .......................................................................................................2525.2TRANSFORMADAZUNILATERAL DE ALGUMAS SEQUNCIAS.....................................................................................253
5.2.1 Verso discreta da funo delta de Dirac........................................................................................................253
5.2.2 Sequncia unitria ou passo discreto unitrio.................................................................................................2535.2.3 Exponencial......................................................................................................................................................2545.2.4 Potncia............................................................................................................................................................255
5.3SRIES DE POTNCIAS:DEFINIO,RAIO DE CONVERGNCIA ....................................................................................2565.4EXISTNCIA E DOMNIO DE DEFINIO DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .............................................................2585.5PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .................................................................................................260
5.5.1 Linearidade......................................................................................................................................................2605.5.2 Translao (ou deslocamento) .........................................................................................................................2645.5.3 Similaridade .....................................................................................................................................................2655.5.4 Convoluo ......................................................................................................................................................2665.5.5 Diferenciao da transformada de uma sequncia..........................................................................................2675.5.6 Integrao da transformada de uma sequncia ...............................................................................................2695.5.7 Valor inicial .....................................................................................................................................................270
5.5.8 Valor final ........................................................................................................................................................2715.6RESUMO:TRANSFORMADAZUNILATERAL DAS FUNES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................2725.7TRANSFORMADAZUNILATERAL INVERSA ................................................................................................................2725.8MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA ZUNILATERAL INVERSA ..............................................................273
5.8.1 Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................2735.8.2 Decomposio em fraes parciais..................................................................................................................2745.8.3 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................2775.8.4 Estratgia geral de inverso ............................................................................................................................279
5.9TRANSFORMADAZBILATERAL .................................................................................................................................2805.9.1 - Srie de Laurent................................................................................................................................................280
5.8.1.1 - Singularidades.......................................................................................................................................................................2805.9.2 Definio..........................................................................................................................................................282
5.10EQUAES DE DIFERENAS .....................................................................................................................................286
5.10.1 Definio........................................................................................................................................................2865.10.2 Equaes de diferenas lineares ....................................................................................................................287
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5.10.3 Soluo de equaes de diferenas lineares .......... .......... .......... .......... ......... ............ ......... ........... ......... ........2875.11EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................2945.12EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301
6. FORMULRIO ...............................................................................................................................................................307
REFERNCIAS...................................................................................................................................................................317
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1. SRIES
1.1 Sequncias infinitas
Uma sequncia infinita uma funo discreta cujo domnio { }0\N .
Notao: { } { } ( )nfa,0\Nn,a nn =
Exemplos
1o) { } ( ) { } ,14
25,
11
16,
8
9,
5
4,
2
1a
1n3
n1a n
21n
n
=
= +
L
2o) A sequncia { }1n2
na n
+= convergente ou divergente?
{ } ,3n2
1n,
1n2
n,,
11
5,
9
4,
7
3,
5
2,
3
1a n
+
+
+
= KL
Se nn
alim
existe, ento { }a n convergente. Caso contrrio, { }a n divergente.
Como2
1
n
12
1lim
1n2
nlim
nn=
+
=+
, { }a n convergente.
1.2 Sries infinitas
Uma srie infinita definida como sendo a soma dos termos de uma sequncia infinita.
Notao: LL +++++=
=
n321
1n
n aaaaa
Somas parciais:
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
Se SSlim nn
=
, ento a srie infinita convergente. Se o limite S no existe, ento a srie
infinita divergente.
Exemplo
( ) ( ) LL +
++++++=
+
= 1nn
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1nn
1
1n
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( )
11n
nlimSlim
1nn
1n11S
1n
1
n
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11aaaaS
1n
1
n
1
1nn
1a
nn
n
n
n321n
n
=+
=
+=
+=
+++
+
+
=++++=
+=
+=
LL
Logo, a srie infinita convergente.
1.3 Convergncia de sries
Diferenciar:
Condies necessrias convergncia; Condies suficientes convergncia; Condies necessrias e suficientes convergncia.
1.3.1 A srie geomtrica
Teorema: A srie geomtrica
K++++=
=
32
1n
1-n arararara , com a0,
(i) converge, e tem por somar1
a
, se ( )1r11r
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1.3.2 Condio necessria convergncia
Teorema: Se a srie infinita
=1n
na convergente, ento 0alim nn
=
.
A recproca no sempre verdadeira.
1.3.3 Teste da divergncia
Se nn
alim
no existir ou 0alim nn
, ento a srie infinita
=1n
na divergente.
1.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral
Teorema: Se f uma funo contnua, decrescente e de valores positivos para todo 1x , entoa srie infinita
( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=
=
nf2f1fnf
1n
(i) convergese a integral imprpria ( )
1
dxxf converge;
(ii) divergese a integral imprpria ( )
1
dxxf diverge.
Exemplo
A srie harmnica L+++++=
=
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
divergente.
0n
1limn
=
(condio necessria, porm no suficiente)
( )[ ] ( )[ ] ====
0blnlimxlnlimdxx1
limdxx
1
b
b1
b
b
1b
1
Como a integral diverge, a srie harmnica diverge.
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1.3.5 Convergncia absoluta e condicional
A srie
=1n
na dita absolutamente convergentese K+++=
=
321
1n
n aaaa convergir.
Se
=1n
na convergir mas
=1n
na divergir, ento
=1n
na dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se
=1n
na converge, ento
=1n
na tambm converge.
Exemplo
A srie L++++2222222 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 absolutamente convergente, uma vez que
6n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1n
22222222
==++++++++
=
L (provaremos usando a srie de Fourier).
1.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes)
Srie de nmeros reais
K+++=
=
321
1n
n aaaa
Exemplo:
Srie de funes
( ) ( ) ( ) ( ) K+++=
=
xuxuxuxu 3211n
n
Exemplo:
K+++++=
=
!5
32
!4
16
!3
8
!2
42
!n
2
1n
n
( )( )
( ) ( ) ( )K++++=
=
!4
x4sen
!3
x3sen
!2
x2senxsen
!n
nxsen
1n
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A srie de Fourier
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a uma srie de funes trigonom-
ricas.
Sejam a srie ( )
=1n
n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n= uma sequncia de funesdefinidas em
[a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da srie e ( ) ( )xSxSlim nn
=
. A srie
converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0> e cada [ ]b,ax existe um 0N> tal que
( ) ( ) . O nmero N depende geralmente de e x . Se N depende
somente de , ento a srie converge uniformemente ou uniformemente convergenteem [ ]b,a .
Teorema 1: Se cada termo da srie ( )
=1nn
xu uma funo contnua em [a,b] e a srie
uniformemente convergente para S(x) em [a,b], ento a srie pode ser integrada termo a termo, isto ,
( ) ( )
=
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxudxxu .
Teorema 2: Se cada termo da srie ( )
=1n
n xu uma funo contnua com derivada contnua
em [a,b] e se ( )
=1n
n xu converge para S(x) enquanto ( )
=1n
'n xu converge uniformemente em [a,b],
ento a srie pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto , ( ) ( )
=
=
=
1n
n
1n
n xudx
dxu
dx
d.
1.3.7 Teste M de Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemtico alemo.
Se existe uma sequncia de constantes ,1,2,3,n,Mn K= tal que para todo x em um intervalo
(a) ( ) nn Mxu e
(b)
=1n
nM converge,
ento ( )
=1n
n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo.
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Observaes:
1a) O teste fornece condies suficientes, porm no necessrias.
2a) Sries uniformemente convergentes no so necessariamente absolutamente convergentes ou vice-
versa.
Exemplo
( )( )
( ) ( ) ( )
=
++++=
1n
2222 4
x4cos
3
x3cos
2
x2cosxcos
n
nxcosL uniforme e absolutamente
convergente em [0,2] (ou em qualquer intervalo), uma vez que
( )22 n
1
n
nxcos
e 6n
1 2
1n
2
=
=.
Exerccios
01. Mostre que a srie
=
+1n
2
2
4n5
ndiverge.
R.: Use o teste da divergncia.
02. Mostre que a srie( )( )
=+
1n1n21n2
1converge e determine sua soma.
R.:2
1
03. Determine se as sries infinitas a seguir so convergentes ou divergentes.
a)
=+
1n
2 1n
n R.: A srie divergente: =
+
12
dx1x
x.
b)( )
=1n
3n
nln R.: A srie convergente:
( )
4
1dx
x
xln
13
=
.
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c)
=
1n
nne
R.: A srie convergente:e
2dxxe
1
x =
.
d)( )
=2nnlnn
1 R.: A srie divergente:( )
=
2xlnx
dx .
04. Verifique se as sries de funes seguintes so uniformemente convergentes para todo x .
a)( )
=1n
n2
nxcos R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
b)
=+
1n
22 xn
1 R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
c)( )
=
1n
n
2
12
nxsen R.: A srie uniformemente convergente para todo x .
05. Seja ( ) ( )
=
=1n
3n
nxsenxf . Prove que ( ) ( )
==
1n
4
0 1n2
12dxxf
.
R.: Use( )
33 n
1
n
nxsen , o teste M de Weierstrass (prove que
=1n3n
1 converge usando o teste da
integral) e o fato de que uma srie uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.
Observao: Mostraremos futuramente que( ) 961n2
1 4
1n
4
=
=
. Assim,( )
48dx
n
nxsen 4
0 1n
3
=
=
.
06. Prove que( ) ( ) ( )
0dx7.5
x6cos
5.3
x4cos
3.1
x2cos
0
=
+++
L .
-
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16
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
17/317
17
2. A SRIE DE FOURIER
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): fsico, matemtico e engenheiro francs. Principaiscontribuies: teoria da conduo do calor, sries trigonomtricas.
Por que aproximar uma funo por uma funo dada por senos e cossenos?
Para facilitar o tratamento matemtico do modelo, uma vez que as funes trigonomtricas senoe cosseno so peridicas de perodo fundamental 2 , contnuas, limitadas e de classe C , ou seja, soinfinitamente diferenciveis.
2.1 Funes peridicas
Uma funo RR:f peridicade perodo fundamental P se
( ) ( ) 0Px,xfPxf >=+ .
Exemplos
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , funo de perodo fundamental 2P= ; (b) ( ) ( )xcosxf = , funo deperodo fundamental 2P= ; (c) ( ) 5xf = , funo de perodo fundamental 0k,kP >= ; (d) funo
onda triangular, de perodo fundamental 2P= .
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
18/317
18
Como as funes ( )xsen e ( )xcos so 2-peridicas, temos que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) L
L
=+=+=+=
=+=+=+=
6xcos4xcos2xcosxcos
6xsen4xsen2xsenxsen.
Funes peridicas surgem em uma grande variedade de problemas fsicos, tais como asvibraes de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotao da terra em torno do seueixo, o movimento de um pndulo, a corrente alternada em circuitos eltricos, as mars e osmovimentos ondulatrios em geral.
2.2 Sries trigonomtricas
Denomina-se srie trigonomtrica a uma srie da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
ou
( ) ( )[ ]
=
++
1n
nn0 nxsenbnxcosa
2
a (2.2.1)
ou
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a . (2.2.2)
Obtm-se a forma (2.2.2) atravs de uma transformao linear que leva um intervalo deamplitude L2 em um intervalo de amplitude 2 .
Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmnico da srie e 0a , na e nb so os
coeficientesda srie.
0a : constante
( )nfan= e ( )nfb
n= : sequncias infinitas
Exemplo
( ) ( )
{ }
=
== K,5
2,
2
1,
3
2,
1,
2a
n
12ncos
n
2a n
n
n
A srie trigonomtrica (2) tambm pode ser escrita na forma
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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19
=
+
+
1n
nn0 nsenA
2
a
L
x, (2.2.3)
onde 2n2nn baA += , ( )nnn senAa = e ( )nnn cosAb = .
A forma (2.2.3) obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2
n ba + .
= +
+
+
+
+
+
1n
2n
2n
2n
2n
nn2n
2n
2n
2n0
ba
bansenb
ncosa
ba
ba
2
a
L
x
L
x
=
++
+++
1n
2n
2n
n2
n2
n
n2
n2
n0
nsenba
bncosba
aba2
a
L
x
L
x
Considerando n2
n2
n Aba =+ , ( )nn
n senA
a= e ( )n
n
n cosA
b= , temos que:
( ) ( )
=
+
+
1n
nnn0 nsencos
ncossenA
2
a
L
x
L
x
=
+
+
1n
nn0 nsenA
2
a
L
x
Em (2.2.3), o termo
+
nn
nsenA
L
x chamado harmnico de ordem n e pode ser
caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ngulo de fase n .
Questes
01. Dada uma funo f(x) 2L-peridica, quais as condies que f(x) deve satisfazer para que exista umasrie trigonomtrica convergente para ela?
02. Sendo Nn,m , mostre que:
(a) 0n,0dxL
xncos
L
L
=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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20
dun
Ldxdx
L
ndu
L
xnu
===
( ) ( )[ ] 0nsennsenn
L
L
xnsen
n
Ldx
L
xncos
L
L
L
L
=
=
=
[ ] ( ) L2LLxdxdxL
xncos0n LL
L
L
L
L
====
=
(b) 0dxL
xnsen
L
L
=
( ( )
=
L
xnsenxf mparno intervalo [ ]L,L )
dunLdxdx
Lndu
Lxnu
===
( ) ( )[ ] 0ncosncosn
L
L
xncos
n
Ldx
L
xnsen
L
L
L
L
=
=
=
00dxdxL
xnsen0n
L
L
L
L
==
=
(c)
=
=
0nmseL,
nmse0,dx
L
xncos
L
xmcos
L
L
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )nmse0dx
L
xn-mcos
L
xnmcos
2
1dx
L
xncos
L
xmcos
vucosvucos2
1vcosucos:queLembrando
L
L
L
L
=
+
+=
++=
[ ] Lx
2
1dx
2
1dx1
L
xn2cos
2
1dx
L
xncos0nm LL
L
L
L
L
L
L
2 ===
+
=
=
[ ] L2xdx2
2
1dx
L
xncos
L
xmcos0nm LL
L
L
L
L
===
==
(d)
=
=
0nmseL,
nmse0,dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
(o produto de duas funes mpares par)
-
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21
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2
1vsenusen:queLembrando +=
( ) ( )nmse0dx
L
xnmcos
L
xn-mcos
2
1dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
L
L
=
+
=
[ ] Lx2
1dx
2
1dx
L
xn2cos1
2
1dx
L
xnsen0nm LL
L
L
L
L
L
L
2 ===
=
=
0dx0
2
1dx
L
xnsen
L
xmsen0nm
L
L
L
L
==
==
(e) 0dxL
xnsen
L
xmcos
L
L
=
(o produto de uma funo par por uma mpar mpar)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )0dx
L
xm-nsen
L
xmnsen
2
1dx
L
xncos
L
xmsen
vusenvusen2
1vcosusen:queLembrando
L
L
L
L =
+
+=
++=
Observaes:
1a)Os resultados encontrados anteriormente continuam vlidos quando os limites de integrao Le Lso substitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .
2a)Funes ortogonais
Definio 1: O produto interno ou produto escalar de duas funes ( )xf e ( )xg em umintervalo [a,b] o nmero
( ) ( ) ( )
=
b
a
dxxgxfg|f .
Definio 2: Duas funes fe g so ortogonaisem um intervalo [ ]b,a se
( ) ( ) ( ) 0dxxgxfg|f
b
a
== .
Assim, as funes ( )
=
L
xnsenxf
e ( )
=
L
xncosxg
so ortogonais no intervalo ( )L,L .
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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22
2.3 Srie de Fourier
2.3.1 Definio
Seja a funo f(x) definida no intervalo ( )L,L e fora desse intervalo definida como
( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf 2L-peridica. A srie de Fourier ou a expanso de Fouriercorrespondente a f(x) dada por
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a
sendo que os coeficientes de Fourier nn0 bea,a so dados pelas expresses a seguir.
( )
=
L
L
0 dxxfL1a
( )
=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
( )
=
L
L
n dxL
xnsenxf
L
1b
2.3.2 Coeficientes
Se a srie
=
+
+
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaA
converge uniformementepara ( )xf em ( )L,L , mostre que, para K,3,2,1n= ,
1. ( )
=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
;
2. ( )
=
L
L
n dxL
xnsenxf
L
1b ;
3.2
aA 0= .
-
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23
1. Multiplicando ( )
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
por
L
xmcos
e integrando de L
a L, obtemos:
( )
=
=
+
+
+
=
1n
m,,1,2,3,nII
L
L
n
L
L
n
I
L
L
L
L
dxL
xnsen
L
xmcosbdx
L
xncos
L
xmcosa
dxL
xmcosAdx
L
xmcosxf
4444444444444 34444444444444 21
444 3444 21
KK
Considerando 0m em I e mn= em II:
( ) LadxL
xmcosxf m
L
L
=
( )
=
L
L
m dxL
xmcosxf
L
1a ou ( )
=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
Para 0n= , ( ) =L
L
0 dxxfL
1a . (2.3.2.1)
2. Multiplicando ( )
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
por
L
xmsen
e integrando de L
a L, obtemos:
( )
=
=
+
+
+
=
1n
m,,1,2,3,nI
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dxL
xnsen
L
xmsenbdx
L
xncos
L
xmsena
dxL
xmsenAdxL
xmsenxf
4444444444444 34444444444444 21KK
Considerando mn= em I:
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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24
( ) LbdxL
xmsenxf m
L
L
=
( )
=
L
L
m dxLxmsenxf
L1b ou ( )
=
L
L
n dxLxnsenxf
L1b
3. Integrando ( )
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
de L a L, obtemos:
( )
=
+
+=
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dx
L
xnsenbdx
L
xncosadxAdxxf
Para ,,3,2,1n K= obtemos:
( ) AL2dxxfL
L
=
( ) dxxf
L2
1A
L
L
= (2.3.2.2)
Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), conclumos que2
aAAL2La 00 == .
Observao: Os resultados encontrados continuam vlidos quando os limites de integrao Le Lsosubstitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .
Teorema 1: Se ( )
=1nn xu e ( )
=1nn xv so uniformemente convergentesem bxa e se
( )xh contnua em bxa , ento as sries ( ) ( )[ ]
=
+
1n
nn xvxu , ( ) ( )[ ]
=
1n
nn xvxu ,
( ) ( )[ ]
=1
n
n xuxh e ( ) ( )[ ]
=1n
n xvxh so uniformemente convergentesem bxa .
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 393.
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
25/317
25
Teorema 2: Toda srie trigonomtrica uniformemente convergente uma srie de Fourier.Mais precisamente, se a srie
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa
2
a332211
0
converge uniformemente a ( )xf para todo x , ento ( )xf contnua para todo x , ( )xf tem perodo
2 e a srie trigonomtrica a srie de Fourier de ( )xf .
2.3.3 Continuidade seccional ou por partes
Uma funo seccionalmente contnua ou contnua por partes em um intervalo t seeste intervalo pode ser subdividido em um nmero finito de intervalos em cada um dos quais a funo contnua e tem limites, direita e esquerda, finitos.
Exemplo
Figura 2: Funo seccionalmente contnua [13].
2.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemtico alemo.
Suponha que:
(1) ( )xf definida em ( )L,L , exceto em um nmero finito de pontos;
(2) ( )xf 2L-peridica fora de ( )L,L ;
(3) ( )xf e ( )xf' so seccionalmente contnuas em ( )L,L .
Ento, a srie
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a ,
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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26
com coeficientes de Fourier, converge para:
(a)f(x), se x um ponto de continuidade;
(b)( ) ( )
2
xfxf + +, se x um ponto de descontinuidade.
Observaes:
1a) ( )+xf e ( )xf representam os limites laterais de f(x), direita e esquerda, respectivamente.
( ) ( )hxflimxf0h
+=+
+ e ( ) ( )hxflimxf0h
=+
2a) As condies (1), (2) e (3) impostas a f(x) so suficientes para a convergncia, porm nonecessrias.
Demonstrao: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Clculo avanado. 2a ed. Porto Alegre:Bookman.
Teorema fundamental: Seja ( )xf uma funo definida e muito lisa por partes no intervalo x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha perodo 2 . Ento a srie
de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que no contenha
descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a srie converge para
( ) ( )
+
+xflimxflim
21
00 xxxx.
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 461.
Observao: Uma funo contnua por partes lisa por partesse em cada subintervalo tem derivadaprimeira contnua; muito lisa por partesse em cada subintervalo tem derivada segunda contnua.
Teorema daunicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funes seccionalmente contnuas no intervalo x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Ento, ( ) ( )xfxf 21 = ,
exceto talvez nos pontos de descontinuidade.
Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 456.
-
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27
2.4 Srie de Fourier de uma funo peridica dada
Exemplo 1
Seja ( )
-
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28
( )
+
=
=
5
0
0
5
L
L
n dx5
xncos3dx
5
xncos0
5
1dx
L
xncosxf
L
1a
( ) ( )[ ] 00sennsenn3
5xnsen
n5
53a
5
0
n =
=
=
0a n =
( )
+
=
=
5
0
0
5
L
L
n dx5
xnsen3dx
5
xnsen0
5
1dx
L
xnsenxf
L
1b
( ) ( )[ ] ( )[ ]
=
=
= ncos1
n
30cosncos
n
3
5
xncos
n
5
5
3b
5
0
n
( )[ ] ( )[ ]11n
311
n
3b 1nnn +
=
=
+
( )[ ]11n
3b 1nn +
=
+
Srie de Fourier de ( )xf :
( ) ( )
=
+
+
+=
1n
1n
5
xnsen
n
113
2
3xf
( )
+
+
+
+
+= K
5
x7sen
7
2
5
x5sen
5
2
5
x3sen
3
2
5
xsen
1
23
2
3xf
( )
+
+
+
+
+= K
5
x7sen
7
1
5
x5sen
5
1
5
x3sen
3
1
5
xsen
6
2
3xf
( ) ( )
=
+=
1n5
x1n2sen
1n2
16
2
3xf
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
29/317
29
(a) (b)
Figura 4: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 19n= ; (b) expanso de f(x) em srie deFourier com 49n= .
d) Redefina f(x) para que a srie de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 .
( )
=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
30/317
30
b) Expanda f(x) em uma srie de Fourier.
=== L2L2P
Lembre-se de que a funo est definida em ( )L2,0 , e no em ( )L,L .
( ) ( )3
808
3
1
3
x1dx x
1dxxf
L
1a
23
2
0
32
0
2
L2c
c
0
=
=
=
==
+
3
8a
2
0
=
( ) ( ) +
=
=
2
0
2
L2c
c
n dxnxcos x1
dxL
xncosxf
L
1a (2.4.1)
Usando integrao por partes, temos que:
= vduuvudv
( ) ( )nnxsen v,dxnxcosdv2xdx,du,xu 2 ====
( ) ( )
( ) = dxnxsenxn2
n
nxsenxdxnxcosx
22
( ) ( )
n
nxcos v,dxnxsendvdx,du,xu ====
( ) ( ) ( ) ( )
+= dxnxcosn1n nxcosxn2n nxsenxdxnxcosx
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
++= Cnnxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenxdxnxcosx
32
22
Voltando a (2.4.1), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
+
=
=
2
032
22
0
2n
n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenx1dxnxcos x
1a
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
31/317
31
22n n
40
n
41a =
=
2n n
4a =
( ) ( ) +
=
=
2
0
2
L2c
c
n dxnxsen x1
dxL
xnsenxf
L
1b (2.4.2)
Usando integrao por partes, temos que:
( ) ( )nnxcos v,dxnxsendv2xdx,du,xu 2 ====
( ) ( )
( ) += dxnxcosxn2
n
nxcosxdxnxsenx
22
( ) ( )
n
nxsen v,dxnxcosdvdx,du,xu ====
( ) ( ) ( )
( )
+= dxnxsen
n
1
n
nxsenx
n
2
n
nxcosxdxnxsenx
22
( ) ( ) ( ) ( )
+++= Cnnxcos2
n
nxsenx2
n
nxcosxdxnxsenx
32
22
Voltando a (2.4.2), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
++
=
=
2
032
22
0
2n n
nxcos2
n
nxsenx2
n
nxcosx1dxnxsen x
1b
n
4
n
2
n
2
n
41b
33
2
n
=
+
=
n
4bn
=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
32/317
32
Srie de Fourier de ( )xf :
( )
( ) ( )
=
+
=1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos
43
4
xf (2.4.3)
Em 0x= , (2.4.3) converge para a mdia dos limites laterais, ou seja
22
22
04=
+.
Figura 6: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 10n= ; (b) expanso de f(x) em srie deFourier com 20n= .
c) Usando a srie de Fourier de f(x), prove que64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
=++++=
=
L .
Considerando 0x= em (3), temos que:
=
+
=
1n
2
22
n
14
3
42
3
2
3
42
n
14
222
1n
2
=
=
=
-
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33
( )
>
+
-
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34
Exerccios
01. Seja ( ) +=xxf ,
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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35
03. Seja o sinal representado no grfico abaixo.
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Figura 8: Sinal.
a) Determine a srie de Fourier correspondente ao sinal.
R.: ( ) ( )
( )
=
+
+
+=
1n
1n
xnsenn
1141xf
b) Para quanto converge a srie de Fourier do sinal em 1x= ? E em 2x= ?
R.: 1
c) Use a srie de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a srie numrica
=1n
2n
1.
R.:6
2
d) Plote simultaneamente os grficos de ( )xf e da srie de Fourier de ( )xf .
2.5 Funes pares e funes mpares
Uma funo f(x) parse
( ) ( )xfxf = .
Assim, ( )2
1 xxf = , ( ) 5x4x2xf26
2 += , ( ) ( )xcosxf3 = e ( )xx
4 eexf
+= so funes pares.
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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36
Figura 9: Grfico da funo ( ) xx eexf += .
Uma funo f(x) mparse
( ) ( )xfxf = .
Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf35
2 += , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf4 = so funes mpares.
Figura 10: Grfico da funo ( ) x2x3xxf 35 += .
Teorema Propriedades das funes pares e mpares
(a) O produto de duas funes pares par.
(b) O produto de duas funes mpares par.
(c) O produto de uma funo par e uma funo mpar mpar.
(d) A soma (ou diferena) de duas funes pares par.
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
37/317
37
(e) A soma (ou diferena) de duas funes mpares mpar.
(f) Se f par, ento ( ) ( ) =
a
0
a
a
dxxf2dxxf .
(g) Se f mpar, ento ( ) 0dxxfa
a
=
.
Demonstrao
Seja ( ) ( ) ( )xgxfxF = .
(a) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares.Assim:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) parxF
xFxgxfx-gxfxFxgx-g,xfxf
===
==
b) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares.Logo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) parxF
xFxgxfxg-xfx-gxfxF
xgx-g,xfxf
====
==
(c) Suponhamos f(x) par e g(x) mpar.Ento:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) mparxF
xFxgxfxg-xfx-gxfxF
xgx-g,xfxf
====
==
Seja ( ) ( ) ( )xgxfxF = .
(d) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares.
Dessa forma:( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) parxF
xFxgxfx-gxfxF
xgx-g,xfxf
===
==
(e) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares.Assim:
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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38
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) mparxF
xFxgxfxgxfx-gxfxF
mparxF
xFxgxfxgxfx-gxfxF
xgx-g,xfxf
==+==
=+==+=
==
(f) f(x) par ( ) ( )xfxf =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=+=+=
===
a
0
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
dxxf2dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxfdxxf
(g) f(x) mpar ( ) ( )xfxf =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxfdxxf
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
=+=+=
===
Exemplo
( ) ( ) ( ) ] [= ,- x,x3senx2cosxxf 5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )xf
x3senx2cosx
x3senx2cos-x
x3senx2cosxxf
5
5
5
=
=
=
=
( )xf funo par
Exerccios
Verifique a paridade das seguintes funes:
01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [ ,x
02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [ ,x
03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [ ,x
04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [ ,x
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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39
05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [ ,x
06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [ ,x
07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf7
= , ] [ ,x
08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [ ,x
09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [ ,x
10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx += , ] [ ,x
11. ( ) xexxf += , ] [ ,x
12. ( )x1xf = , ] [ ] [ ,00,x
13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10seneex
1xf xx
2+= , ] [ ] [ ,00,x
14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx = , ] [ ,x
2.6 Srie de Fourier de cossenos
Se f(x) umafuno parem ( )L,L , ento temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0dxL
xnsenxfL
1b
dxL
xncosxf
L
2xd
L
xncosxf
L
1a
dxxfL
2dxxf
L
1a
L
L
mparfuno
n
L
0
L
L
parfuno
n
L
0
L
L
0
=
=
=
=
==
44 344 21
44 344 21
Srie de Fourier de cossenos: ( )
=
+=
1n
n0
L
xncosa
2
axf
Exemplos
01. Expanda ( )
-
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40
R.: ( ) ( )
=
+=
1n
2
n
2 2
xncos
n
1141xf
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Figura 11: Grfico da funo ( )
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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41
( ) ( ) ==
L
0
L
Lparfuno
n dxL
xnsenxf
L
2dx
L
xnsenxf
L
1b
44 344 21
Srie de Fourier de senos: ( )
=
=
1n
n L
xnsenbxf
Exemplo
Expanda ( ) 2x2-,xxf
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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42
b) Determine para quanto converge a srie( )
=
+
1n
1n
1n2
1.
R.: 4
02. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 13: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com cinco harmnicos.
R.: ( )
=
+=
1n
22 2xncos
n
12
ncos
823xf
03. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 14: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com vinte harmnicos.
-
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43
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
2
1
1
2
3
x
y
R.: ( )( )
=
=
1n
n
2
xnsen
n2
nsen
n
21
6xf
04. Seja ( )
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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44
06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf,x-,x3cosxxf/RR:f =+
-
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45
1 1
1
x
y
Figura 16: Srie de Fourier da onda quadrada ( )
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
46/317
46
Demonstrao
Assumimos que a srie de Fourier correspondente a ( )xf converge uniformemente para ( )xf
em ( )L,L e que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) LbdxL
xnsenxfdx
L
xnsenxf
L
1b
LadxL
xncosxfdx
L
xncosxf
L
1a
LadxxfdxxfL
1a
n
L
L
L
L
n
n
L
L
L
L
n
0
L
L
L
L
0
=
=
=
=
==
Dessa forma, multiplicando
( )
=
+
+=
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
por ( )xf e integrando termo a termo de L a L, temos que:
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
=
=
=
=
++=
++=
++=
+
+=
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
nnnn00
L
L
2
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
0
L
L
2
ba2
adxxf
L
1
ba2
aLdxxf
LbbLaaLa2
adxxf
dxL
xnsenxfbdx
L
xncosxfadxxf
2
adxxf
Aplicaes
Convergncia de sries. Verificar se uma srie trigonomtrica a srie de Fourier de uma funo f(x).
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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47
Exerccio
Seja ( )
-
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48
90n
1 4
1n
4
=
=
(2.10.1)
Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:
( )
( )
( ) 1440n2
1
1440
1516
9690n2
1
8
1
6
1
4
1
2
1
n2
1
4
1n
4
4444
1n
4
4444
1n
4
=
==
++++=
=
=
=
L
2.11 Derivao e integrao da srie de Fourier
Teorema 1: Se ( ){ } K1,2,3,n,xu n = , forem contnuas em [ ]b,a e se ( )
=1n
n xu convergir
uniformemente para a soma ( )xS em [ ]b,a , ento
( ) ( )
=
=
1n
b
a
n
b
adxxudxxS ou ( ) ( )
=
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxudxxu .
Assim, uma srie uniformemente convergente de funes contnuas pode ser integrada termo atermo.
Teorema 2: Se ( ){ } K1,2,3,n,xu n = , forem contnuas e tiverem derivadas contnuas em [ ]b,a
e se ( )
=1n
n xu convergir para ( )xS enquanto ( )
=1n
'n xu uniformemente convergente em [ ]b,a ,
ento em [ ]b,a
( ) ( )
=
=
1n
'n
' xuxS ou ( ) ( )
=
=
=
1n
n
1n
n xudx
dxu
dx
d.
Dessa forma, a srie pode ser derivada termo a termo.
Observao: Os teoremas 1 e 2 oferecem condies suficientes, porm no necessrias.
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
49/317
49
Teorema 3: A srie de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de aax,
e a srie resultante convergir uniformemente para ( )x
a
duuf desde que f(x) seja seccionalmente
contnua em LxL e ambos, aex, pertenam a esse intervalo.
Exemplo
Seja ( ) 2x2-,xxf
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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50
Em (1), se a soma
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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51
b) Mostrar que os coeficientes de Fourier nn0 bea,a podem ser escritos como uma nica
integral ( ) K3,2,1,0,n,dxexfL2
1c
L
L-
L
xni
n ==
.
a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemtico suo)
( ) ( ) senicose i =
Seja ( ) ( ) ( )[ ] xiexsenixcosxf += . (2.12.1)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) xixi eixsenixcosexsenxcosixfdx
d ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xf0exsenxcosixsenxcosixfdxd xi =+= constante
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1e0seni0cos0f 0i =+=
( ) 1xf =
Voltando a (2.12.1), temos que:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) xixi exsenixcosexsenixcos1 =++=
Assim:
=
+
=
+
=
L
xnseni
L
xncos
L
xnseni
L
xncose
L
xnseni
L
xncose
L
xni
L
xni
As igualdades anteriores conduzem a:
i2
ee
L
xnsen
2
ee
L
xncos
L
xni
L
xni
L
xni
L
xni
=
+=
Substituindo as igualdades acima na srie de Fourier de ( )xf , temos que:
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
52/317
52
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
=
++
+=
+
++=
+
++=
+++=
+
+=
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
L
xni
n
L
xni
L
xni
n0
1n
nn0
e2ibae2iba2axf
ei2
biae
i2
bia
2
axf
ei2
b
2
ae
i2
b
2
a
2
axf
i2 eeb2eea2axf
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
Considerando2
ibac nnn
= e cca
2
ibac nnn
nnn- +=
+= e ( )nnn ccib = :
( )
=
=
n
ni
necxfL
x
2ac0n 00==
Exerccio
Mostre que( )
=
=
nmse2L,
nmse,0dxe
L
L-
L
xmni
b) Multiplicando ( )
=
=
n
L
xni
necxf
por Lxm
ie
e integrando de L a L, obtemos:
( )
( )( )
=
=
=
=
n
L
L-
Lxmn
i
n
L
L-
Lxm
i
n
L
L-
L
xmi
L
xni
n
L
L-
L
xmi
dxecdxexf
dxeecdxexf
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
53/317
53
Considerando mn = :
( )
( )
=
=
L
L-
L
xni
n
n
L
L-
L
xni
dxexfL2
1c
L2cdxexf
Outra forma de mostrar:
( ) ( ) ( )
( )
=
==
L
Ln
L
L
L
L
nnn
dxL
xn
seniL
xn
cosxfL2
1
c
dxL
xnsenxf
L
1idx
L
xncosxf
L
1
2
1iba
2
1c
( )
=
L
L
L
xni
n dxexfL2
1c
( ) ( )2
acac2dxxf
L
1c2dxxf
L2
1c 0000
L
L
0
L
L
0 ====
Exemplo
( ) 2L4P2,x2- ==
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
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54
0c0n 0== (substitua n por 0 em (2.12.2))
( )
=
=
n
ni
n ecxfL
x
( ) ( ) ( )
=
=
=
=
n
ni
n
n
ni
en
1i2e1
n
i2xf 2
x
2
xn
Verificando a equivalncia entre as formas exponencial e usual:
( ) ( )
=
=
n
n
2
xnsen
2
xncosi
n
12xf
Para n opostos,( )
2
x
n ncosi
n
1se anula e
( )
2
xnsen
n
1 nduplica. Assim:
( ) ( )
=
+
=
1n
1n
2
xnsen
n
14xf
0dxx4
1c
2
0 ==
2
Exerccios
01. Determine a srie de Fourier na forma exponencial de ( ) xexf = ,
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
55/317
55
R.: ( ) ( )
=
+
==+
=
n
05
xni
1n
0c0n,en
11i10xf ou ( )
( )
=
=
n
5
x1n2i
1n2
ei20xf
03. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf,x-,x2xf =+= (2)
Uma equao diferencial parcial (EDP) uma igualdade envolvendo as derivadas de umafuno de duas ou mais variveis independentes.
Exemplos
( ) ( ) 0t2,x0,t,xu2t,xu xxt >
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
56/317
56
( ) ( )1y01,x0,xy2
y
y,xu
x
y,xu2
2
2
2
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
57/317
57
( ) ( )
( )
( )
+=
axx,0
axx,1axx
0
00 e u ( )[ ]
+=+
axx,0
axx,1axx
0
00 .
Considerando
( ) ( )0a0a
0 xxlimxx =
,
temos a distribuio delta de Dirac
( )
==
0
00 xxse0,
xxse,xx . (3.13.2)
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
121/317
121
A distribuio (3.13.2) pode ser escrita como ( ) ( )
===
cxse0,
cxse,cxxc .
Quando 0c= , temos que ( )
==
0xse0,
0xse,x .
Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em umsistema, razo pela qual recebe o nome de funo impulso de Dirac.
3.13.1 Propriedades do delta de Dirac
A distribuio delta de Dirac ( )x= apresenta as seguintes propriedades:
1. ( ) 0xse,0x = ;
2. ( ) ( ) Rx,xx = ;
3. ( ) = 0 ;
4. ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf = se ( )xf for contnua em 0x= ;
5. ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxfxxxf = se ( )xf for contnua em 0xx= ;
6. ( ) 1dxx =
;
7. ( )( ) ( )xfxf = , se ( )xf contnua;
8. ( ) ( ) ( )0fdxxxf =
, se ( )xf contnua em 0x= ;
9. ( )( ) ( )cfxf c = , se ( )xf contnua em cx= ;
10. ( ) = x u ( )dx
dx' = u ( )x , onde u ( )x a funo degrau unitrio;
11. ( ) ( )xa
1ax = .
Observao: Mais informaes a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P.Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman.
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
122/317
122
3.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac
Aplicando a transformada de Fourier propriedade 7, temos que:
( )( ) ( )xfxf =
( )( ){ } ( ){ }xfxf =
( ){ } ( ){ } ( ){ }xfxxf =
( ){ } 1x =
{ } ( )x11 =
Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas
( ) 1x .
3.14 Mtodos para obter a transformada de Fourier
3.14.1 Uso da definio
Mostre que { } ( ) 0aRe,a
a2e
22
xa>
+=
.
=
0x,e
0x,ee
ax
axxa
{ } ( ) ( )
+
+
+=+=
0
xia
0
xia
0
xiax
0
xiaxxa dxedxedxeedxeee
( ) ( ) 2
21
1
k
0
xia
k
0
k
xia
k ia
elim
ia
elim
++
+=
+
+
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2
21
1
k
0
ax
k
0
k
ax
k ia
xsenixcoselim
ia
xsenixcoselim
+
++
+
+=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
123/317
123
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ]
( )
+
+
++
+
+
+
+=
>
>
ia
1
ia
ksenikcoselim
ia
ksenikcose
ia
1lim
0aRese0
22ak
k
0aRese0
11ak
k
2
2
1
1
44444 344444 21
44444 344444 21
( )
( ) 222222 a
a2
a
a2
ai
iaia
ia
1
ia
1
+=
=
++=
+
+=
Exemplo 1
{ } ( ) 13632 32edxe 222x3
xi2x3
| =
+==
=
+
Exemplo 2
Seja ( ) xa6exxf/RR:f = .
1. Determine ( ) ( ){ }xfF = .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF,Fixfx nnn == e que { }22
xa
a
a2e
+=
, 0a> , temos
que:
{ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
+
=
+
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
=
+=
+==
422
23
3
3
422
23
3
3
422
2222
3
3
622
22222322
3
3
322
22
4
4
322
222
4
4
422
22222
4
4
2225
5
2225
5
226
6
226
66xa6
a
a
d
da48
a
a1212
d
da4
a
63aa6
d
da4
a
2a33aa6
d
da4
a
3a
d
da4
a
4a
d
da4
a
2a2a
d
da4
ad
da4
a
2
d
da2
a
1
d
da2
a
a2
d
diFex
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
124/317
124
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
+
+
=
+
++
=
522
232222
2
2
822
3222342222
2
2
a
8aaa3
d
da48
a
2a4aaa3
d
da48
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
++=
+
++=
+
+++=
+
++++=
+
+
=
+
+
=
+
+++
=
+
+
=
+
++
=
+
=
+
=
+
++
=
722
642246
722
624426
722
4325224224
1222
52243256224224
622
4325
622
4325
622
4532325432
622
44222232
1022
4224422
52232
522
4422
2
2
522
4422
2
2
522
224422224
2
2
a7a35a21a1440a
a
a3a63a10521a480
a
12a3a103aa3a3015a480
a
2a6a3a103aa3a3015a480
a
a3a103
d
da480
a
a30a10030
d
da48
a
a1050a100a2020a20a20
d
da48
a
10a5a10a20a20
d
da48
a2a5a5a10a20a20
dda48
a
a5a10
d
da48
a
a5a10
d
da48
a
a88aaa33
d
da48
{ }( )
0a,a
7a35a21a1440aex
722
642246xa6 >
+
+=
(3.14.1.1)
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
125/317
125
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
2. Plote os grficos de ( )xf e de ( ) ( ){ }xfF = para 2a= e comente-os.
( ) x26exxf =
( ) ( )
+
+
= 72
642
4
714033664
2880F
Figura 52: Grfico de ( )( )
+
+=
72
642
4
7140336642880F (azul) e de ( ) x26exxf = (vermelho).
Comentrios: ( )xf e ( )F so funes1. que se anulam no infinito;2. pares;3. limitadas;
4. contnuas;5. absolutamente integrveis;6. pertencentes ao espao de Schwarz.
3. Calcule( )
+
+
72
642
1x
x7x35x211.
Considerando 1a= em (3.14.1.1), temos que
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
126/317
126
( ) x6exxf = e ( )( )
+
+=
72
642
1
7352111440F .
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )== Fxf,f2xF
( ) ( )
=
=
=
+
+
0se,e720
0se,e720
e720
e1440
2
1x
x7x35x211
6
6
66
72
642
3.14.2 Uso de equaes diferenciais
Mostre que a22ax 22
ea
2e
=
e, conseqentemente, 22x 22
e2e
=
, sendo
( )2axexf = a funo gaussiana e 0a> .
Seja ( ) 2ax2
exf
= . Ento, ( )xf satisfaz equao diferencial ordinria de primeira ordem
( ) ( ) 0xaxfxf' =+ . (3.14.2.1)
Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos:
( ){ } ( ){ } { }0xfxaxf' =+
( ) ( ) ( ) 0Fd
diaFi =+
( ) ( ) FiFddia =
( )
( )( )[ ]
aFln
d
d
ad
dF
F
1 =
=
( )[ ]
=
da
dFlnd
d
( )1
2
C2a
1Fln +
=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
127/317
127
( ) a22
CeF
= (3.14.2.2)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a
( ) ( ){ } ( )
=
==
xia2
xi1 deCe2
1deF
2
1Fxf
2
. (3.14.2.3)
Considerando 0x= em (3.14.2.3), temos que
( )C
deC
2dede
2
C10f
0
a2
a2
a2
222
=
=
==
. (3.14.2.4)
Calculando a integral em (3.14.2.4):
dua2d,ua2ua2
22
===
0a,u,0u0 >
Cduea2dua2ede
0
u
0
u
0
a222
2
===
(3.14.2.5)
Calculando a integral em (3.14.2.5):
dww2
1ud,wwuwu 2
1
2
12
====
wu,0w0u
22
1
2
1dwew
2
1dww
2
1edue
0
w2
1
0
2
1w
0
u2 =
===
(3.14.2.6)
Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos
a
2
a2
2C
C2a2
=== . (3.14.2.7)
Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que
( ) a22
ea
2F
= . (3.14.2.8)
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
128/317
128
Considerando 1a= em (3.14.2.8), conclumos que 22x 22
e2e
=
.
Exemplo
{ }4
92
3
3
x
xi3x
ee
2
2edxe
2
22 | === =
+
3.14.3 Decomposio em fraes parciais
Seja ( ) ( )
6i8
i410F
2 +
=
. Determine ( ){ }F1 .
( )i104i10i42
40i806i82 ==
==+
( )( )[ ] ( )[ ]i104i104
i1040F
+
= (3.14.3.1)
Decompondo (3.14.3.1) em fraes parciais, temos que:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )i104B
i104
A
i104i104
i1040F ++=+
= (3.14.3.2)
i104Bi104Ai1040 ++=
( ) BABi104Ai104i1040 ++++=
( ) ( )i-5Bi,5A
40Bi104Ai104
i10BA==
=++
=+ (3.14.3.3)
Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos:
( )( ) ( )i104
i5
i104
i5F
+=
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )i
i
i104
i5
i
i
i104
i5F
+=
( )
( ) ( )
i104
5
i104
5F
+
+
++
=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
129/317
129
( )( ) ( )
i104
5
i104
5F
+
= (3.14.3.4)
Sabemos que { axe
u( )x } ( ) 0,aRe,ia1 >
= u ( )
=
0x0,0x,1x . (3.14.3.5)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a
( ) ( ){ }( ) ( )
+
==
>
>
i104
15
i104
15Fxf
0
1
0
11
4342143421
( ) x104e5 = u ( ) ( ) x104e5x + u( )x
5= u ( ) ( ) ( ) x104x104 eex + +
5= u ( ) x10x10x4 eeex +
( )x10coshe10 x4= u ( )x .
Exerccios
01. Seja ( ) ( )
>
=
x,0
x,xsenxf . Determine ( ){ }xf .
R.: ( ){ } ( )
21
seni2xf
=
02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular
{ }x2ex .
R.: { } ( )( )32
2x2
1
134ex
+
=
03. Calcule ( ){ }x2 ex1 .
R.: ( ){ }( )
( )( )32
2
222
x2
1
134
1
i8
1
2ex1
+
+
+=
-
7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z
130/317
130
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
04. Seja ( ) ( ) 0aRe,ax
1xf/CR:f
22 >
+= .
a) A funo ( )xf absolutamente integrvel? Calcule, se possvel,
+
22dx
ax
1.
R.: ( ) 0aRe,a
>
b) Mostre