ESTATISTICA APOSTILA

FEV/2010

Estatstica Aplicada Administrao Prof. Msc. Flvio H. Sato 1

1. Viso Geral da Estatstica

Estatstica e a cincia que estuda as tcnicas necessrias para coletar, organizar, apresentar, e interpretar os dados, a fim de extrair informaes a respeito de uma populao.

Quando falamos em pesquisa, estamos interessados em conhecer melhor determinados assuntos. Por exemplo, quando respondemos s perguntas de um questionrio de uma revista, a editora deseja conhecer alguns aspectos dos leitores desta revista. Quando a pesquisa termina, o coordenador da pesquisa se v com uma quantidade enorme de dados (respostas) resultantes dos questionrios. Para analisar este conjunto de dados, ele deve organiz-los racionalmente e apresent-los de alguma forma clara e concisa, e para facilitar a anlise e poder tirar concluses a respeito da pesquisa.

A estatstica pode ser dividida em duas partes que inter-relacionam: a estatstica descritiva e estatstica indutiva.

A Estatstica Descritiva a parte da estatstica que trabalha com organizao e apresentao dos dados.

A Estatstica Indutiva a parte da estatstica que trabalha com a anlise e interpretao dos dados.

Voltando ao exemplo anterior, vamos considerar um item referente idade do leitor, e outro referente a avaliao geral sobre a revista.

O conhecimento desses dados pela editora possibilitaria, por exemplo, a adequao do contedo da revista de acordo com a faixa etria dos leitores (atravs do item idade), e a reestruturao geral do contedo, desde que o resultado da avaliao geral tenha sido ruim.

Consideremos, tambm, que 100 questionrios foram respondidos e devolvidos pelos leitores da revista.

Os dados referentes idade foram:

28 25 70 18 50 64 38 18 36 19 33 36 20 18 38 72 23 35 53 22 22 46 65 20 18 21 58 25 62 20 31 59 24 42 27 28 40 21 29 20 24 23 16 38 27 23 52 23 74 22 36 29 30 17 34 18 37 32 33 27 37 43 31 21 26 17 15 30 33 31 26 45 47 42 41 19 44 40 22 41 21 45 27 23 52 19 54 16 31 17 33 53 61 25 21 68 21 23 19 33

E os dados referentes avaliao geral foram:

O B O O B R B O B B B O B B B B B R O B B P O B B O O B P O B B B B O B O B O O O B B B R B O O O B B O O B R B B B P B B R O B O O O B O B R B B B B B R B B B B O B P O B B B R O O O O P B B O O O B

Onde: O=tima, B=boa, R=regular e P=pssima.

Para o coordenador da pesquisa, qualquer interpretao sobre esses dados obtidos seria impossvel de ser feita, pois os dados esto totalmente desorganizados. Para organizar a apresentar os dados de uma forma clara e concisa, o coordenador poderia utilizar um dos seguintes mtodos:


1) Construo de uma tabela de freqncia.

Tabela 1 Tabela de Freqncia para Idade dos Leitores da Revista

Faixa Etria (anos) Freqncia Freqncia Relativa Porcentagem (%) 10 20 15 0,15 15 20 30 35 0,35 35 30 40 22 0,22 22 40 50 12 0,12 12 50 60 8 0,08 8 60 70 5 0,05 5 70 80 3 0,03 3 Soma 100 1,00 100

Tabela 2 Tabela de Freqncias para a Avaliao Geral da Revista.

Avaliao Geral Freqncia Freqncia Relativa Porcentagem (%)

tima 34 0,34 34 Boa 53 0,53 53

Regular 8 0,08 8 Pssima 5 0,05 5

Soma 100 1,00 100

2) Construo de um histograma, para o caso da idade dos leitores.

Nmero de Leitores por Faixa Etria

0

10

20

30

40

5 15 25 35 45 55 65 75

Idade (anos)

Freq

unc

ia

Figura 1 - Histograma de Idades dos Leitores.


3) Construo de um grfico de setores, para o caso da avaliao geral.

Avaliao Geral Sobre a Revista

tima34%

Boa53%

Regular8%

Pssima5%

Figura 2 - Grfico de setores da avaliao geral

Atravs das tabelas 1 e 2 e das figuras 1 e 2, o coordenador da pesquisa pode observar que o nmero de leitores se encontra na faixa etria de 20 a 30 anos, e que a aceitao da revista pelos leitores muito boa.

Como se pode notar, utilizando-se os mtodos estatsticos para organizar a apresentao dos dados resultantes de uma pesquisa, fica fcil e clara a visualizao e interpretao dos dados.

2. Populao e Amostra

Suponha que estamos interessados em estudar a altura dos alunos de uma sala de aula. Para conhecermos essa caracterstica, devemos medir a altura dos alunos. Essas informaes obtidas so chamadas de dados. Neste caso, os dados so os: 1,66m, 1,81m, 1,55m, 1,46m, etc.

Como interesse abrange somente uma determinada sala de aula, todos os alunos dessa sala formam a populao da pesquisa. Qualquer parte dessa populao forma uma amostra. Por exemplo, se a sala composta por 50 alunos, todos os alunos formam a populao. Se coletarmos informaes de apenas 10 alunos, esses 10 alunos formam uma amostra.

Assim sendo:

Populao o conjunto de todos os elementos (indivduos ou objetos) que tem pelo menos uma caracterstica em comum, e que est sob investigao ou estudo.

Amostra qualquer subconjunto de uma populao.

As informaes obtidas sobre toda a populao so chamadas de dados populacionais e sobre uma amostra so chamadas de dados amostrais.

Um levantamento estatstico (pesquisa) que abrange todos os elementos de uma populao denominado censo. Temos, por exemplo, censo demogrfico para fazer o levantamento de todos os habitantes de um pas.

Na figura 3, a seguir, que representa os moradores de um pequeno edifcio, observe como a populao modifica de acordo com o estudo. Nesta figura, temos 6 homens, 8 mulheres, 7 meninos e 4 meninas.


Cada uma dessas pessoas possui as seguintes caractersticas: idade, peso e estado civil. Queremos realizar trs tipos de estudo: 1 estudo: idade de todos os homens que moram no edifcio. 2 estudo: peso de todas as crianas (meninos e meninas) do edifcio. 3 e estudo: estado civil de todas as mulheres que moram no edifcio.

Figura 3 Populaes para cada tipo de estudo

Os quadros 1,2 e 3 da Figura 3 Populaes para cada tipo de estudo representam, todos, populaes, correspondentes aos 1, 2 e 3 de estudos, respectivamente.

Se considerarmos a idade de somente 3 homens, estes constituem uma amostra, pois um conjunto da populao constituda por 6 homens.

2.1 Amostragem

A anlise estatstica geralmente realizada atravs de amostras, uma vez que a maioria das populaes constituda por nmeros muito grande de elementos (indivduos ou objetos), resultando, conseqentemente, em quantidade muito grande de dados. O processo de obter amostras denominado amostragem.

Quadro 1 Idade de todos os homens

Quadro 2 Peso de todas as crianas

Quadro 3 Estado civil de todas as mulheres


Exerccios:

1) Em uma fruteira, existem 10 bananas, 5 laranjas, 4 pras e 8 maas, como mostra a figura abaixo. Para cada quadro indicado, identifique se uma populao ou amostra:

2) Para cada item abaixo, identifique se populao ou amostra:

a) ( ) Tamanho de 6 televisores de uma grande loja de eletrodomsticos

b) ( ) Peso de todos os bebs que nasceram ente 01 e 31, no ms.

c) ( ) Numero de pginas de 50 livros de uma grande livraria.

Quadro 1 Comprimento das bananas

( )

Quadro 2 Peso das

Pras ( )

Quadro 3 Acidez das

frutas ( )


3) Em uma fazenda existem 5 cavalos, 3 porcos e 7 galinhas. Para cada quadro da figura abaixo, identifique se uma populao ou amostra:

4) Para cada item a seguir, identifique se uma populao ou amostra:

a) ( ) Altura de todos os alunos de uma sala de aula;

b) ( ) Peso de 50 laranjas de uma grande plantao;

c) ( ) Marca de 300 automveis estacionados na rua de uma grande cidade;

d) ( ) Salrio de todos os funcionrios de uma empresa;

e) ( ) Idade de todos os funcionrios de um clube;

f) ( ) Preo de 20 pares de sapatos de uma grande loja de calados;

g) ( ) Cor de todas as camisas vendidas no ms;

h) ( ) Sexo de todos os animais participante de uma exposio;

i) ( ) Tempo de 8 nadadores em um campeonato mundial de natao;

j) ( ) Doenas que 100 crianas de uma grande cidade j tiveram.

Quadro 1 Peso do porcos

( )

Quadro 2 Peso das galinhas

brancas ( )

Quadro 3 Cor dos Cavalos

( )


3. Variveis

Vimos anteriormente que em cada populao existe uma caracterstica em estudo que pode assumir diferentes valores. A esta caracterstica chamamos de varivel. No 1 estudo, a varivel a idade de todos os homens, no 2 estudo, a varivel o peso de todas as crianas e no 3 estudo, a varivel o estado civil de todas as mulheres. Geralmente, representamos estas variveis por meio de letras, como x, y, z, etc.

3.1 Varivel:

Caracterstica dos elementos de uma populao ou de uma amostra, que pode assumir diferentes valores, sejam numricos ou no numricos, e que interessa ao estudo.

As variveis podem ser classificadas em variveis qualitativas e variveis quantitativas. 3.1.1 Varivel Qualitativa:

Tipo de varivel que no pode ser medida numericamente. Exemplo: cor dos cabelos, marca de refrigerantes, cor dos olhos, etc. Os dados correspondentes a uma varivel qualitativa so denominados dados qualitativos. 3.1.2 Varivel Quantitativa:

Tipo de varivel que pode ser medida numericamente. Exemplo: peso, altura, numero de faltas de cada aluno, numero de gols em cada jogo, etc. Os dados correspondentes a uma varivel quantitativa so denominados dados quantitativos.

As variveis qualitativas podem ser classificadas em ordinais e nominais.

Uma varivel qualitativa dita ordinal, quando os elementos desta varivel tm relao de ordem entre elas. Exemplos:

a) Colocao: primeiro lugar, segundo lugar, terceiro lugar, etc.

b) Conceito: timo, bom, regular e pssimo. Uma varivel qualitativa dita nominal, quando os elementos desta varivel so identificados por nome. Exemplos:

a) Cor dos olhos: azul, castanho, preto e verde

b) Marcas de carro: Fiat, Chevrolet, Mercedes, Volkswagem, Ford, etc.

As variveis quantitativas, por sua vez, podem ser classificadas em variveis discretas e variveis contnuas.

Uma varivel quantitativa dita discreta, quando seu valor muda em saltos ou passos, no admitindo valores intermedirios entre cada salto ou passo. Exemplos:

a) Nmero de carros vendidos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

b) Nmero de filhos dos casais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Uma varivel quantitativa dita contnua, quando esta admite infinitos valores dentro de um intervalo. Exemplos:

a) Altura das pessoas: 1,48m, 1,52m, 1,66m, 1,70m, 1,83m, etc.

b) Peso dos recm-nascidos: 2,8kg, 3,0kg, 3,2kg, 3,5kg, etc.


4. Representao de Nmeros

Observe os nmeros abaixo:

3,141592... = 2 1,414213562...=

2,718281828...e =

Esses nmeros no tm representao finita, e uma dvida que deve surgir no momento de utilizar esses valores a quantidade de algarismos que devemos utilizar, ou seja, qual a sua melhor representao numrica.

3,141592 3,142 3,14

2 1,4142136 2 1,4142 2 1,412,718282 2,7183 2,72

ou ou

ou oue ou e ou e

= = == = =

= = =

Quando representamos o valor de por 3,14, estamos cometendo um erro, pois o valor verdadeiro de 3,1415... O valor do erro dado pela diferena, em valor absoluto, entre o valor verdadeiro e o valor representado, portanto o erro cometido na representao do valor de por 3,14 de:

Erro= 3,1415...- 3,14=0,0015...

4.1 Aproximao por Arredondamento O processo de arredondamento consiste em obter o menor erro ao representar o ltimo algarismo de um nmero. Observe que o nmero e = 2,7182... est entre os nmeros inteiros 2 e 3.

Ao representarmos o nmero e por um nmero inteiro, o valor mais prximo seria 3, isto , o erro que cometeramos seria menor ao represent-lo por 3, em vez de represent-lo por 2, da mesma forma, e = 2,7 com uma casa decimal, ou e = 2,72 com duas casas decimais.

O processo de arredondamento consiste em analisar o digito posterior a ultima casa decimal a ser considerada e, se este dgito for maior ou igual a 5, somar 1 a ltima casa decimal, ou caso contrrio (menor que 5), manter a ltima casa decimal inalterada. Exemplos:

a) Representao com duas casas decimais:

2 3

2,7182...

2,7182818...

ltima casa

decimal

dgito posterior

> 5

2 , 7 1+ 1

2,72


b) Representao com trs casas decimais:

4.2 Notao cientfica

O emprego da notao cientfica aconselhvel quando os nmeros que representamos so muito grandes (Ex.: 123.500.000) ou quando so muito pequenos (Ex.: 0,00000001235). A representao mais usual nas apresentaes emprega a potncia de 10, a notao cientfica consiste em um operando, uma base e um expoente. Exemplo: 8 81, 235 10 1,235 10e

Vale lembrar alguns conceitos de operaes com potncias, importantes para trabalhar com nmeros em notao cientfica.

4.3.1 Propriedades da Potenciao Adio e Subtrao com Potncias de Dez: Ajustar as potncias de dez dos operandos para um mesmo expoente e somar ou subtrair os seus algarismos significativos, conforme a operao desejada. Exemplos:

) ( )) ( )

5 4 5 5 5 5

8 7 8 8 8 8

1 4,56 10 7,82 10 4,56 10 0,782 10 4,56 0,782 10 5,34 10

2 2,45 10 8,23 10 2,45 10 0,823 10 2,45 0,823 10 1,63 10

+ = + = + = = = =

Multiplicao e Diviso com Potncias de Dez: Multiplicar ou dividir os algarismos significativos dos operandos e, respectivamente, somar ou subtrair os expoentes das potncias de dez, conforme a operao desejada. Exemplos:

) ( ))

5 3 5 3 8

77 4 3

4

1 2,57 10 1,32 10 2,57 1,32 10 3,39 10

6, 27 10 6, 272 10 1,64 103,82 10 3,82

+

= = = =

Exerccios:

1- Represente com trs casas decimais, os seguintes nmeros, fazendo arredondamento:

a) 5,145316

b) -47,609901

c) 0,578692

d) -35,865423

e) 126,04782

f) 2049,67882

g) -0,0376891

h) -0,999547

2,7182818...

ltima casa

decimal

dgito posterior

< 5

2,718

inalterada


2- Represente em notao cientfica com trs casas decimais, os seguintes nmeros:

a) 1674500

b) 0,0056742

c) -203689000

d) -3506956

e) 0,000036215

f) 23771000

g) 79058

h) -0,0147692

3- Calcule as seguintes expresses:

)( ) ( )3 21, 25 10 5,00 10a )( ) ( )5 85,621 10 7,126 10b )( ) ( )4 72,60 10 3,77 10c )( ) ( )2 66,05 10 3,15 10d )( ) ( )7 31, 235 10 3,038 10e )( ) ( )1 45, 21 10 1,87 10f ) 947,83 105, 27 10g

)

7

3

1,052 106,851 10

h

) 242,50 102,50 10i )

5

9

6,95 101,56 10

j

) 734,887 108, 250 10k

)12

4

1,57 101, 29 10

l

) 527,902103,525 10m )

7

12

2,75 102,00 10

n

) 3 35,75 10 2, 25 10o + ) 5 47,361 10 3, 452 10p + ) 7 89, 45 10 3,50 10q + ) 9 52,55 10 6, 28 10r + ) 5 45,753 10 3,350 10s + ) 12 72,065 10 5, 451 10t + ) 6 64,95 10 1,67 10u ) 4 43,704 10 7,935 10v ) 8 61,673 10 9,355 10w ) 5 57,35 10 8, 25 10x +


5. Tabela de Freqncia para Dados Qualitativos

Uma tabela constituda por dados organizados em linha e colunas. Quando esta tabela constituda por uma coluna referente a dados de uma varivel e outra referente s freqncias (nmero de ocorrncias) associadas a cada dado, recebe o nome de tabela de freqncia.

A freqncia de um dado o nmero de ocorrncias ou repeties deste dado.

Os dados qualitativos obtidos em uma pesquisa podem ser organizados em forma de tabelas, para facilitar a visualizao e anlise dos dados.

Consideremos, como por exemplo, a seqncia de conceitos obtidos na prova de Matemtica por uma turma de 60 alunos:

D A B A C B A C E B C A A B C B B C B B C C C B B B C C C B C C C B C B C A C B C D C D C B C B C C A C C A D C C A E B

Para organizar esses dados em forma de tabela, devemos fazer a contagem de cada conceito, percorrendo a seqncia at o fim, de um em um, at o ltimo dado, obtendo a freqncia. Uma linha na parte inferior da tabela acrescida para indicar a soma das freqncias.

Tabela 3 Tabela de Freqncia.

Conceito Freqncia

A 9 B 18 C 27 D 4 E 2

SOMA 60

5.1 Freqncia Relativa

A freqncia relativa de um dado a razo entre a freqncia deste dado e o nmero total de dados (soma de todas as freqncias).

Esta freqncia expressa em nmero decimal. Pela tabela 3, podemos calcular a freqncia relativa, por exemplo, do conceito A, que resulta:

Freqentemente, expressamos a freqncia relativa em termos de porcentagem (%). Para calcular a porcentagem, basta multiplicar a freqncia relativa por 100.

Portanto, a porcentagem do conceito A, resulta:

Porcentagem = 0,15 x 100 = 15%

Isso significa que 15 por cento dos alunos obtiveram conceito A na Prova de Matemtica.

Freqncia Relativa = Freqncia do dadoNmero total de dados

Freqncia Relativa = 960

=0,15

Porcentagem = (freqncia relativa) x 100


Calculando as freqncias relativas para os demais conceitos da tabela 3, obtemos os dados mostrados na tabela 4, na ltima linha desta tabela, alm de indicar a soma das freqncias, comum indicar tambm a soma das freqncias relativas e das porcentagens, para simples conferncia desses valores, uma vez que a soma das freqncias relativas deve, necessariamente, resultar em 1,00, e a soma das porcentagens deve resultar em 100%.

Tabela 4 Tabela de Freqncia

Conceito Freqncia Freqncia Relativa Porcentagem (%) A 9 0,15 15 B 18 0,30 30 C 27 0,45 45 D 4 0,07 7 E 2 0,03 3

Soma 60 1,00 100

s vezes, a soma das freqncias relativas pode resultar em 0,99 ou em 1,01, e a soma das porcentagens pode resultar em 99% ou em 101%, devido ao erro de arredondamento. Exerccios:

1) As cores dos 20 primeiros carros que passaram em uma determinada rua foram anotadas, resultando os seguintes dados:

Branca Verde Cinza Branca Preta Preta Cinza Verde Branca Preta Cinza Branca Branca Cinza Branca Preta Verde Cinza Branca branca

Organize esses dados em forma de uma tabela de freqncia.


2) Uma pesquisa realizada na rua, sobre a primeira lngua estrangeira que a pessoa tenha estudado, obteve os seguintes dados, coletados entre 50 pessoas entrevistadas:

I I N E I I I F N N I I N N I A O I I O N I A I I F I F O N N I F E E I E I I O J O I E J I F I F A

Organize esses dados em forma de uma tabela de freqncia. Onde:

I = Ingls

E = Espanhol

A = Alemo

J = Japons

F = Francs

N = Nenhuma

O = Outras

3) Em uma turma de 36 alunos de educao fsica, foi perguntado a cada aluno sobre o esporte

preferido, resultando os seguintes dados:

N V N F A T N V V B F F F V V N T T N V V N A T T N N B T F V N F T V N

Organize esses dados em forma de uma tabela de freqncia. Onde:

F = Futebol

V = Vlei

A = Atletismo

B = Basquete

N = Natao

T = Tnis


5.2 Tabela de Freqncia para Dados Discretos

Os dados quantitativos discretos, da mesma forma que os dados qualitativos, podem ser agrupados em freqncia para se construir uma tabela de freqncia.

Consideremos, como exemplo, uma pesquisa sobre o nmero de irmos de cada aluno, em uma sala de aula com 20 alunos, em que se obteve os seguintes dados:

1 3 0 5 2 1 1 0 0 1 4 3 1 0 1 2 2 1 3 1 Fazendo-se o processo de contagem obtemos a tabela 5, abaixo:

Tabela 5 Tabela mostrando o processo de contagem.

N de irmos Freqncia0 4 1 8 2 3 3 3 4 1 5 1

A tabela de freqncia, incluindo a freqncia relativa e porcentagem, esta mostrada na tabela 6.

Tabela 6 Tabela de Freqncia

N de irmos Freqncia Freqncia Relativa Porcentagem (%) 0 4 0,20 20 1 8 0,40 40 2 3 0,15 15 3 3 0,15 15 4 1 0,05 5 5 1 0,05 5

Soma 20 1,00 100

5.3 Freqncia Acumulada

Para dados quantitativos discretos podemos definir a chamada freqncia acumulada, que o nmero total de elementos menores ou iguais a um determinado dado, ou seja:

Freqncia acumulada a soma das freqncias dos dados menores ou iguais ao dado considerado.

Podemos definir:

Freqncia Relativa Acumulada = Freqncia acumulada Nmero total de dados

Porcentagem Acumulada = (freqncia relativa acumulada) x 100


No exemplo anterior, podemos determinar a freqncia acumulada, a freqncia relativa acumulada e a porcentagem acumulada, como mostra a Tabela 7.

Tabela 7 Freqncias Acumuladas.

N de irmos Freqncia Acumulada Freqncia Relativa Acumulada Porcentagem

Acumulada (%) 0 4 0,20 201 4+8=12 0,20+0,40=0,60 20+40=602 4+8+3=15 0,20+0,40+0,15=0,75 20+40+15=753 4+8+3+3=18 0,20+0,40+0,15+0,15=0,90 20+40+15+15=904 4+8+3+3+1=19 0,20+0,40+0,15+0,15+0,05=0,95 20+40+15+15+5=955 4+8+3+3+1+1=20 0,20+0,40+0,15+0,15+0,05+0,05=1,00 20+40+15+15+5+5=100

A partir da Tabela 7, podemos obter informaes, tais como: quantos alunos tm at 3 irmos? Neste caso, a resposta que 18 alunos tm at 3 irmos. Esta resposta imediata, pois basta simplesmente ver a freqncia acumulada para dado 3 (nmero de irmos). Alm disso, podemos afirmar que 90% dos alunos tm at 3 irmos. Exerccios:

1) Um dentista anotou o nmero de clientes atendidos por dia, durante um perodo de 30 dias, e obteve os dados:

4 6 7 4 4 5 4 6 5 5 4 5 7 5 5 4 7 5 6 5 4 5 5 6 5 7 4 6 6 7

Organize esses dados em forma de tabela de freqncia.

2) Em uma empresa, foram entrevistados 30 funcionrios a respeito do nmero de carros que cada um possui. Os dados obtidos na pesquisa forma:

1 1 1 0 1 1 0 2 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 4 1 0 3 2 2 1 1 0 1


3) Uma pessoa anotou durante 30 dias, o nmero de vezes por dia que vai ao banheiro fazer necessidades, e obteve os seguintes dados:

4 3 2 3 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 3 3 2 2 4 2 3 3 2 5 3 2 2 3 3


4) O nmero de carros vermelhos que passou por minuto em uma rua foi anotado, durante o perodo de uma hora, obtendo-se os seguintes dados:

0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 2 2 0 1 0 0 2 1 3 1 1 0 0 1 1 3 4 1 0 1 1 0 2 1 0 2 2 1 1 0 0 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 4 2 1 1 2 2 0 1


5) O nmero de carros vendidos por dia em uma concessionria foi anotado, durante 60 dias. Os dados obtidos foram:

5 7 6 9 1 5 7 4 5 5 6 8 2 1 3 5 6 7 3 4 5 7 1 0 2 7 2 5 6 6 7 4 7 6 6 3 6 7 9 1 5 6 7 0 6 6 4 8 0 1 5 6 2 5 5 7 3 6 6 4

Monte uma tabela de freqncia.

6) Os seguintes dados correspondem ao nmero de dependentes por famlia, para 20 famlias:

2 0 3 1 1 2 0 1 0 2 1 2 2 2 0 3 2 1 2 2 Monte uma tabela de freqncia.


6. Grfico de Barras

Aps a coleta de dados de uma pesquisa, vimos que a maneira de organizar dados de forma concisa construir tabelas de freqncia. Uma vez obtida a tabela de freqncia, podemos visualizar melhor os dados desta tabela, construindo-se grficos. Existem diversos tipos de grficos e a escolha adequada depende basicamente do tipo de dado e da finalidade da apresentao.

Grfico de barras um tipo de grfico em que as barras horizontais com larguras iguais e comprimentos proporcionais freqncia de cada dado so desenhados lado a lado com algum espaamento entre elas. Os valores da varivel so colocados no eixo vertical, e as freqncias, no eixo horizontal.

O grfico de barras mais apropriado para representar graficamente os dados quantitativos discretos.

6.1 Grficos de Barras para Dados Qualitativos

Consideremos, por exemplo, os dados resultantes de uma pesquisa realizada entre 135 jovens, sobre os tipos de filmes preferidos. A Tabela 8 mostra esses dados j organizados em forma de tabela de freqncia.

Tabela 8 Tabela de freqncia dos tipos de filmes preferidos pelos jovens.

Tipo de Filme Freqncia Aventura 42 Drama 20 Policial 26

Romance 35 Terror 12 Soma 135

Observando-se os dados da Tabela 8, fica difcil ter uma idia comparativa entre as freqncias dos diversos atributos, de maneira imediata. A visualizao desses dados se torna mais fcil e clara, quando representamos graficamente em forma de grfico de barras, conforme a figura 4.

Tipos de filme preferidos pelos jovens

0 10 20 30 40 50

Aventura

Drama

Policial

Romance

Terror

tipos

de

film

es

freqncia

Figura 4 Grfico de barras dos tipos de filmes preferidos pelos jovens.


6.2 Grfico de Barras para Dados Discretos Uma pesquisa sobre acidentes de trnsito coletou dados do nmero de acidentes ocorridos por dia, em uma rodovia interestadual, durante um perodo de 30 dias. Os resultados obtidos esto resumidos na tabela 9.

Tabela 9 Tabela de freqncia do nmero de acidentes de trnsito por dia.

N de Acidentes por Dia Freqncia 0 5 1 4 2 10 3 6 4 3 5 2

Soma 30 Para facilitar a visualizao desses dados, podemos, ento, construir um grfico de barras, como mostra a figura 5, abaixo:

Acidente por dia em uma rodovia

0 2 4 6 8 10 12

0

1

2

3

4

5

freqncia

Figura 5 Grfico de barras do nmero de acidente por dia

6.3 Roteiro para a Construo do Grfico de Barras

1) Desenhe dois eixos ortogonais de bom tamanho, isto , que no sejam muito pequenos nem exageradamente grandes.

2) Divida o eixo vertical em tantas partes iguais, quanto forem os valores da varivel. 3) Coloque os valores da varivel centralizados em cada diviso feita no eixo vertical, comeando de

baixo para cima, de acordo com a ordem que aparece na tabela de freqncia. Por exemplo, para os dados da tabela 8, em que existem 5 valores (atributos, neste caso) para a varivel, divida o eixo vertical em cinco partes iguais, e coloque os cinco atributos centralizados em cada diviso, como mostra a figura 6.



0 10 20 30 40 50

Aventura

Drama

Policial

Romance

Terrortip

os d

e fil

mes

freqncia

Figura 6 Diviso do eixo vertical em partes iguais.

4) Determine a maior freqncia, escolha um nmero inteiro maior que essa freqncia e marque

este nmero no extremo direito do eixo horizontal. 5) Divida o eixo horizontal em algumas partes iguais e coloque um nmero correspondente em cada

diviso. Por exemplo, observando as freqncias da tabela 8, podemos ver que a maior freqncia 42, logo escolheremos o nmero 50 como o extremo direito do eixo horizontal, e dividimos este eixo em cinco partes iguais, rotulando as marcas de diviso de 0 a 50, de 10 em 10, como tambm mostra a figura 6, acima. 6) Desenhe as barras horizontais com comprimentos correspondentes freqncia de cada dado,

ajustando-se esquerda, no eixo vertical. Essas barras devem ser da mesma largura, e cada barra deve ser centralizada em cada diviso do eixo vertical, mantendo certo espaamento em relao s barras adjacentes, como mostra a figura 7.


0 10 20 30 40 50

Aventura

Drama

Policial

Romance

Terror

tipos

de

film

es

freqncia

Figura 7 Desenho das barras utilizando os dados da tabela 8.


7) Por fim, coloque o ttulo do grfico, o nome da varivel no eixo vertical, a freqncia no eixo horizontal. O aspecto final do grfico o da figura 4.

Exerccios:

1) Uma pesquisa realizada entre 256 turistas, sobre o principal meio de transporte utilizado nas viagens, resultou nos seguintes dados, j organizados em uma tabela de freqncia:

Meio de Transporte Freqncia

Avio 52 Carro 120 Navio 5

nibus 86 Trem 2 Soma 265

Construa um grfico de barras com os dados da tabela de freqncia acima.

2) Em uma pesquisa sobre marcas de automveis preferidas pelos consumidores, contou-se o nmero de carros de cada marca em um estacionamento de um shopping center, durante um dia, e obtiveram-se os dados apresentados na tabela de freqncia:

Marcas de Carro Freqncia

Chevrolet 173 Fiat 132 Ford 105

Volkswagen 216 Soma 626

Construa um grfico de barras com os dados da tabela de freqncia acima.

3) O nmero de carros vendidos por um dia em uma concessionria foi anotado durante um perodo de 20 dias, obtendo-se os seguintes dados:

3 5 1 4 5 6 2 3 4 2 5 5 4 5 3 5 4 6 3 5

Monte uma tabela de freqncia e construa um grfico de barras.


7. Grfico de Colunas

Grfico de colunas um tipo de grfico em que barras verticais com larguras iguais e comprimentos proporcionais freqncia de cada dado so desenhadas lado a lado com algum espaamento entre elas. Os valores da varivel so colocados no eixo horizontal, e as freqncias, no eixo vertical.

O grfico de colunas mais apropriado para representar graficamente os dados quantitativos discretos, porm pode, tambm, ser utilizado para representar dados qualitativos, principalmente, quando os nomes dos atributos forem pequenos, de tal modo a poderem ser escritos sem sobreposio no eixo horizontal.

O roteiro para a construo do grfico de colunas semelhante ao do grfico de barras descrito anteriormente. A diferena que os dados da varivel so colocados no eixo horizontal, enquanto as freqncias so colocadas no eixo vertical.

7.1 Grfico de Colunas para Dados Discretos

Consideremos, por exemplo, o nmero de gols de cada partida de futebol, registrado durante 13 jogos. Os resultados obtidos esto resumidos na tabela de freqncia abaixo:

Tabela 10 Tabela de freqncia do nmero de gols por partida de futebol.

Gols por Partida Freqncia

0 2 1 3 2 4 3 2 4 1 5 1

Soma 13

Esses dados podem se melhor visualizados em um grfico de colunas, como mostrado na figura 8.

Gols por partida de futebol

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

gols por partida

freq

nc

ia

Figura 8 Grfico de colunas do nmero de gols por partida de futebol


7.2 Grfico de Colunas para Dados Qualitativos

Uma pesquisa entrevistou diversos moradores da cidade de So Paulo, no nascidos no Estado de So Paulo, para saber o local de nascimento (Estado) de cada um.Os resultados obtidos esto apresentados na tabela 11, abaixo:

Tabela 11 Tabela de freqncia dos Locais (Estados) de nascimento.

Estado Freqncia

AL 9 BA 21 MG 28 MT 13 MS 21 PE 10 PR 4 RJ 37 SC 4 SE 13

Soma 160

Podemos construir um grfico de colunas para apresentar esses dados como mostrado na figura 9.

Pessoas nascidas em outros Estados

0

10

20

30

40

AL BA MG MT MS PE PR RJ SC SE

Estado onde nasceu

freq

nc

ia

Figura 9 Grfico de colunas das pessoas nascidas em outros Estados.


7.3 Grfico de Mltiplas Colunas

Quando temos duas ou mais sries de dados para uma mesma varivel, pode ser interessante fazer uma comparao entre as sries. Para facilitar esta comparao, podemos representar os dados das sries em um mesmo grfico de colunas, uma vez que a varivel a mesma.

Consideremos, por exemplo, um teste de 5 questes que foi aplicado em uma turma de 50 estudantes (30 alunos e 20 alunas). O nmero de acertos para aluno e alunas esta resumido nas tabelas 12a e 12b, respectivamente.

Tabela 12 Tabelas de freqncias do nmero de acertos dos alunos (a) e alunas (b).

Nmero de Acertos Freqncia Freqncia Relativa Nmero de Acertos Freqncia Freqncia Relativa

1 1 0,03 1 1 0,05 2 4 0,13 2 3 0,15 3 8 0,27 3 5 0,25 4 12 0,40 4 8 0,40 5 5 0,17 5 3 0,15

Soma 30 1,00 Soma 20 1,00

(a) (b)

Podemos construir ento, um grfico de colunas, representando no mesmo grfico, o nmero de acertos dos alunos e das alunas, como mostrado na figura 10.

Resultado do teste

0

5

10

15

1 2 3 4 5

nmero de acertos

freq

nc

ia

AlunosAlunas

Figura 10 Grfico de Colunas do nmero de acertos dos alunos e alunas

Observando-se o grfico da figura 10, aparentemente, o desempenho dos alunos foi melhor que o das alunas. Porm, devemos lembrar que temos 30 alunos e 20 alunas, isto , estamos comparando nmeros diferentes de dados. Em situaes como esta, torna-se mais segura comparar freqncias relativas ou porcentagens.

Utilizando-se as freqncias relativas da tabela 12, podemos construir o grfico de colunas da figura 11.


Resultado do teste

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 2 3 4 5

nmero de acertos

freq

nc

ia re

lativ

aAlunosAlunas

Figura 11 Grfico de Colunas do nmero de acertos dos alunos e alunas

Desta vez, podemos observar que o desempenho das alunas aproximadamente igual a dos alunos.

recomendvel, portanto, que se considerem as freqncias relativas ou as porcentagens no grfico comparativo de duas ou mais sries de dados.

Exerccios

1) Uma pesquisa entrevistou 30 famlias sobre o nmero de aparelhos de televiso que cada famlia possui em casa. Os dados coletados nessa pesquisa encontram-se resumidos na tabela de freqncia a seguir:

N de Televisores Freqncia 1 16 2 8 3 4 4 2

Soma 30

Construa um grfico de colunas com esses dados.

2) Os seguintes dados correspondem ao nmero de pessoas que moram em casa, considerando-se 30 casas escolhidas aleatoriamente:

3 5 4 4 5 3 4 4 2 5 4 6 4 5 3

5 4 4 4 3 5 6 2 1 5 3 2 4 5 4

Organize os dados em uma tabela de freqncia e construa um grfico de colunas.


7.4 Grfico de setores Outra forma de representarmos graficamente no conjunto de dados o grfico de setores, que consiste em

representar a freqncia de cada dado como uma fatia (um setor) proporcional de um crculo. Este tambm conhecido como grfico de torta ou de pizza. O grfico de setores apropriado para representar dados qualitativos em que se ter uma viso da proporo de um dado em relao ao todo.

Consideremos, por exemplo, uma pesquisa realizada entre 60 pessoas sobre os animais de estimao preferidos. Os resultados obtidos foram organizados em uma tabela de freqncia, como mostrado na tabela 13.

Tabela 13 Tabela de freqncia dos Animais de Estimao Preferidos

Animais Freqncia

Ces 33 Gatos 12

Pssaros 5 Peixes 3 Outros 7 Soma 60

A visualizao dos dados da tabela 13 melhora substancialmente quando representamos em forma de um grfico de setores, como mostrado na figura 12.

Animais de Estimao

Ces

Gatos

Pssaros

Peixes Outros

Figura 12 - Grfico de setores dos animais de estimao e preferidos.


7.4.1 Roteiro para a construo do grfico de setores.

1- Calcule o ngulo do setor para cada dado, multiplicando a freqncia relativa por 360, como o mostrado na tabela 14 abaixo:

Tabela 14 Clculo do ngulo do setor para cada dado

Animais Freqncia Freqncia Relativa ngulo do Setor

Ces 33 0,55 0,55 x 360 = 198 Gatos 12 0,20 0,20 x 360 = 72

Pssaros 5 0,08 0,08 x 360 = 29 Peixes 3 0,05 0,05 x 360 = 18 Outros 7 0,12 0,12 x 360 = 43 Soma 60 1,00 1 x 360 = 360

2- Desenhe uma circunferncia de bom tamanho, com auxilio de um compasso.

3- Divida a circunferncia em setores com ngulos correspondentes a cada dado conforme calculado na tabela 14, com o auxlio de um transferidor, marque os pontos na circunferncia e faa a unio com o centro.

Aps as etapas 1, 2 e 3, obtemos a figura 13.

72

30

18 42

198

Figura 13 Diviso da circunferncia em setores com ngulos correspondentes a cada dado.

4- Identifique (rotule) cada setor com seu respectivo dado.


5- Preencha cada setor com um padro (pinte ou hachure) de maneira a diferenciar cada setor dos demais, como mostra a figura 14.

Ces

Gatos

PssarosPeixes Outros

Figura 14 Grfico depois de rotular e preencher com padro os setores.

6- Por fim, coloque um ttulo no grfico, que seja auto-explicativo.

Exerccios

1) A tabela a seguir mostra as frutas preferidas por 50 pessoas entrevistadas, construa um grfico de setores.

Frutas Freqncia Abacaxi 8 Banana 5 Maa 12

Laranja 18 Outras 7 Soma 50

2) Em uma empresa, 100 pessoas foram entrevistadas sobre as bebidas preferidas durante as refeies. Os resultados obtidos esto resumidos na tabela abaixo, construa um grfico de setores.

Bebidas Freqncia

gua 18 Cerveja 7

Refrigerante 27 Suco 36

Outras 12 Soma 100

3) Os seguintes dados referem-se s preferncias de cor das camisas de 80 clientes de uma loja de confeces, construa um grfico de setores.

Cores Freqncia Azul 7 Bege 14

Branca 45 Marrom 5 Outras 9 Soma 80


8. MEDIDAS DE POSIES

Tais medidas orientam-nos quanto posio da distribuio no eixo x (eixo dos nmeros reais), possibilitam comparaes de sries de dados entre si pelo confronto desses nmeros. So chamadas medidas de tendncia central, pois apresentam os fenmenos pelos seus valores mdios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.

8.1 Mdia Aritmtica Dados No Agrupados

Sejam x1,x2,...,xn, portanto n valores da varivel X. A mdia aritmtica simples de X representada por x definida por:

1

n

ii

xx

n==

, ou simplesmente x

xn

= , em que n o numero de elementos do conjunto. Exemplo: Determinar a mdia aritmtica simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11.

xx

n= =

8.2 Mdia Aritmtica Dados Agrupados

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuio de freqncia usaremos a mdia aritmtica dos valores x1,x2,...,xn, ponderados pelas respectivas freqncias absolutas: F1, F2, F3, ..., Fn, assim:

1

n

i ii

x Fx

n==

ou i ix Fx

n=

Exemplos:

a) Dada a seguinte distribuio:

Xi 1 2 3 4

Fi 1 3 5 1

Determinar a mdia.

Xi Fi XiFi 1 1

2 3

3 5

4 1

10

i ix Fxn

= =


Determinar a mdia da distribuio:

Renda Familiar

(milhes de $) 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12

N De Famlias 5 10 14 8 3

Nesse caso, as classes so representadas pelos seus pontos mdio, portanto:

Classes Fi Xi XiFi 2 4 5 3

4 6 10 5

6 8 14 7

8 10 8 9

10 12 3 11

40 Como a renda familiar foi dada em milhares, pode-se dizer que a renda mdia desse grupo de 40 famlias de $ __________.

8.3 Mdia Geral

Sejam, 1 2 3, , , ... , kx x x x as mdias aritmticas de k sries e 1 2 3, , , ..., kn n n n os nmeros de termos destas sries, respectivamente. A mdia aritmtica da srie formada pelos termos das k sries dada pela frmula:

1 1 2 2

1 2

k k

k

n x n x n xxn n n+ + += + + +

Exemplo: Sejam as sries:

1) 4, 5, 6, 7 e 8 em que: 1 15 6n e x= = 2) 1, 2, 3 em que: 2 23 2n e x= = 3) 9, 10, 11, 12, 13 em que: 3 35 11n e x= = Ento, a mdia geral das sries, utilizando a frmula acima, ser:

5 6 3 2 5 11 75 3 5

x + + = =+ +

i ix Fxn

= =


8.4 Mdia Geomtrica

Utilizamos a MDIA GEOMTRICA quando estamos interessados em calcular a mdia de dados que crescem exponencialmente (em progresso geomtrica) como, por exemplo, o nmero de habitantes de uma regio;

Sejam x1,x2,...,xn, valores de X, associados s freqncias absolutas F1, F2, F3, ..., Fn, respectivamente. A mdia geomtrica de X definida por:

31 21 2 3

nF FF FnnMg x x x x=

Em particular, se F1= F2= F3= ...= Fn=1, tem-se:

1 2 3n

nMg x x x x= " Exemplo 1: Calcular a mdia geomtrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48. Logo:

5 53 6 12 24 48 248.832 12Mg Mg Mg= = =

Exemplo 2: Calcular a mdia geomtrica para a distribuio:

Xi 1 2 3 5

Fi 8 6 5 3

1 1 2 2 3 3log log log loglog n nF x F x F x F xMgn

+ + + += "

8log1 6log 2 5log3 3log5log22

Mg + + +=

( ) ( ) ( ) ( )8 0 6 0,3010 5 0,4771 3 0,6990log22

Mg+ + +=

0,2858log 0,2858 log 0,2858 10Mg ou Mg anti= = = Ou

Se for ln 0,658193557Mg e=

1,9311Mg =


8.5 Mdia Harmnica

A mdia harmnica particularmente recomendada para srie de valores que so inversamente proporcionais, como para o clculo da velocidade mdia, custo mdio de bens comprados com uma quantia fixa, etc. Sejam x1,x2,...,xn, valores de X, associados s freqncias absolutas F1, F2, F3, ..., Fn, respectivamente. A mdia harmnica de X definida por:

31 2

11 2 3

nn i

in i

n nMh F FF F Fx x x x x=

= =+ + + + "

Em particular, se F1= F2= F3= ...= Fn=1, tem-se:

1 2 3 1

1 1 1 1 1n

n i i

n nMh

x x x x x=

= =+ + + + "

Exemplo: Calcular a mdia harmnica para 2, 5, 8:

3 3,641 1 12 5 8

Mh = =+ +

Exerccios:

1) Determinar a mdia aritmtica das seguintes sries:

a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6

b) 7, 8, 8, 10, 12

c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75

d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90

2) A mdia mnima para aprovao em determinada disciplina 5,0. Se um estudante obtm as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questo, pergunta-se se ele foi ou no aprovado.

3) Calcule para cada uma das distribuies abaixo sua respectiva mdia.

a)

Xi 3 4 7 8 12

Fi 2 5 8 4 3

b)

Xi 10 11 12 13

Fi 5 8 10 6


4) Dadas as estaturas de 140 alunas, conseguiu-se a distribuio abaixo. Calcular a mdia.

Estaturas (cm)

145 150 150 155 155 160 160 165 165 170 170 175 175 180 180 185

N De Alunos

2 10 27 38 27 21 8 7

5) Abaixo temos a distribuio dos alugueis de 65 casas. Determine sua mdia.

Aluguel

(milhares de $) 1,5 3,5 3,5 5,5 5,5 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5

N De Casas 12 18 20 10 5

6) Dada a distribuio, determinar a mdia.

Classes 68 72 72 76 76 80 80 84

Fac 8 20 35 40

7) Dados os seguintes nmeros:

1 3 5 7 9 2 4 6 8 10

15 20 25 0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 9 8 7 8 6 5 4

3 2 1 0 10 15 20 25 12 11

8 6 4 2 1 3 5 7 9 11

a) Construa a distribuio de freqncia do tipo A varivel discreta.

b) Determine a mdia.

8) Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina:

Turma A (40 alunos) mdia 6,5

Turma B (35 alunos) mdia 6,0

Turma C (35 alunos) mdia 4,0

Turma D (20 alunos) mdia 7,5

Determinar a mdia geral.

c)

Xi Fac 2 3

3 9

4 19

5 25

6 28

d)

Xi fi 7 1/16

8 5/18

9 1/3

10 2/9

11 5/48

e)

Xi Fi 85 5

87 1

88 10

89 3

90 5


9) Dada a amostra

28 33 27 30 31 30 33 30 33 29

27 33 31 27 31 28 27 29 31 24

31 33 30 32 30 33 27 33 31 33

23 29 30 24 28 34 30 30 18 17

18 15 16 17 17 18 19 19 20 29

a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h=5.

b) Construa a tabela de distribuio de freqncia tipo B varivel contnua.

c) Determinar a mdia.

10) Calcular a mdia geomtrica para as sries:

a) 8, 15, 10, 12

b) 3, 4, 5, 6, 7, 8

c)

Xi 8 9 10 11 12

Fi 12 10 7 5 3

11) Encontre a mdia harmnica para as sries:

a) 5, 7, 12, 15

b)

Xi 2 3 4 5 6

Fi 3 4 6 5 2

12) Tem-se $ 2.000,00 disponveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto, respectivamente, $ 200,00; $ 500,00 e $ 700,00. Qual foi o custo mdio do artigo para esse perodo?

8.6 Mediana

Colocamos em ordem crescente, mediana ( )x o valor que divide a amostra, ou populao, em duas partes iguais. Assim:

0 50% 100%

x


8.6.1 Clculo da mediana varivel discreta

Se n for mpar, a mediana ser o elemento central (de ordem 1

2n +

).

Caso seja par, a mediana ser a mdia entre os elementos centrais (de ordem 12 2n ne + ).

Exemplo: a) Dada a distribuio:

Xi Fi Fac 1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 2 11

11 Por meio dessas freqncias acumuladas encontra-se o valor ( )ix correspondente mediana. Neste exemplo ser o ( )3 3x = . Observe que ser o ix correspondente classe que contiver a ordem calculada.

b) Seja:

Xi Fi Fac 82 5 5

85 10 15

87 15 30

89 8 38

90 4 42

42

8.6.2 Clculo da mediana varivel contnua

1. Passo: Calcula-se a ordem 2n

. Como a varivel contnua, no se preocupe se n par ou mpar.

2. Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contm a mediana (classe Md). 3. Passo: Utiliza-se a frmula:

2Md

Md

n f hx l

F

= +

n = 11, n impar, logo x ser o elemento de ordem 12

n +, ou seja,

11 1 62

o+ = . Ser, portanto, o sexto elemento. Para identific-lo, abre-se a coluna da Freqncia Acumulada Crescente (Fac)

n = 42, n par, logo x ser a mdia entre os elementos de ordem 2n

e 12n + , ou seja,

42 212

o= e 42 1 222

o+ = . Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Fac.

Assim: 21. Corresponde a 87 e 22. Corresponde a 87, logo: 87 87 87

2x += =


Em que:

Exemplo: Dada a distribuio amostral, calcular a mediana.

Classes Fi Fac 35 45 5 5

45 55 12 17

55 65 18 35

65 75 14 49

75 85 6 55

85 95 3 58

58

8.7 Quartis

Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:

Q1= 1. quartil, deixa 25% dos elementos

Q2= 2. quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos

Q3= 3. quartil, deixa 75% dos elementos

Determinao dos valores de Q1 e Q3 para o caso de variveis continuas:

Determinao de Q1:

1. Passo: Calcula-se 4n

2. Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac.

3. Passo: Aplica-se a frmula:

limite inferior da classe Mdn = tamanho da amostra ou nmero de elementos

soma das frequncias anteriores classe Mdamplitude da classe Md

frequncia da classe Md

Md

Md

l

fhF

=

===


. Como n = 58, temos 58 292

o= . 2. Passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Neste caso, a classe Md a 3. 3. Passo: Aplica-se a frmula:

2Md

Md

n f hx l

F

= +

No caso

55; 58; 17; 10; 18Md Mdl n f h F= = = = = Logo

58 17 10255 61,67

18x

= + =

0 50% 100% 25% 75%

Q1 Q2 Q3

1 11

4Q

Q

n f hQ l

F

= +


Determinao de Q3:


2. Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac.


Exemplo: Dada a distribuio, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana.


17 27 15 21

27 37 20 41

37 47 10 51

47 57 5 56

56 Determinao de Q1:

1. Passo: n = 56

1 ?Q = ?x = 3 ?Q = 056 14

4 4n = = 056 28

2 2n = = 03 42

4n =

2. Passo: Pela Fac identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3.

3. Passo: Uso da frmulas:

Para Q1 temos: 1 17Ql = , n = 56, 6f = , h = 10, 1 15QF = Para x temos: 27Mdl = , n = 56, 21f = , h = 10, 20MdF = Para Q3 temos: 3 37Ql = , n = 56, 41f = , h = 10, 3 10QF = Logo:

1

56 6 10417 22,33

15Q

= + = 56 21 10227 30,5

20x

= + = 33 56 41 10

437 3810

Q

= + =

Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuio, tem-se:

Isto : 22,33 deixa 25% dos elementos

30,5 deixa 50% dos elementos

38 deixa 75% dos elementos.

3 33

34

QQ

n f hQ l

F

= +

Classe Q1 Classe Md Classe Q3

7

25%

22,33 30,5 38

25% 25% 25%

57


8.8 Decis So os valores que dividem a sries em 10 partes iguais.

Clculo dos Decis:

1. Passo: Calcula-se 10i n

, em que 1,2,3,4,5,6,8 9i e= 2. Passo: Identifica-se a classe Di pela Fac.


10i Di

Di

i n f hD l

F

= +

Em que:

8.9 Percentis So as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim:

O clculo de um percentil dado por:

1. Passo: Calcula-se 100i n

, em que 1,2,3,...,98 99.i e= 2. Passo: Identifica-se a classe Pi pela Fac.


100i Pi

Pi

i n f hP l

F

= +

Em que:

10%

D1

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%0%

D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

limite inferior da classe , 1,2,3,...,9n = tamanho da amostra ou nmero de elementos

amplitude da classe Difrequncia da classe Di

soma das frequncias anteriores classe Di

Di

Di

l Di i

hF

f

= =

===

1%

P1

2% 3% ... 50% 97% 98% 99% 100%0%

P2 P3 P50 P97 P98 P99

...

limite inferior da classe , 1,2,3,...,99n = tamanho da amostra ou nmero de elementos

amplitude da classe Pifrequncia da classe Pi

soma das frequncias anteriores classe Pi

Pi

Pi

l Pi i

hF

f

= =

===


Exemplo: Determinar o 4. Decil e o 72. Percentil da seguinte distribuio:


9 14 12 20

14 24 17 37

19 24 3 40

40

Clculo de D4: Clculo de P72:

1. Passo 1. Passo

4 40 1610 10

oi n = = 72 40 28,8100 100

oi n = =

2. Passo: Identifica-se a classe D4 e P72 pela Fac.

3. Passo:

Para D4 temos: 4 9Dl = , 8f = , n = 40, h = 5, 4 12DF = Para P72 temos: 72 14Pl = , 20f = , n = 40, h = 5, 72 17PF =

4

4 40 8 5109 12,33

12D

= + = 7272 40 20 5

10014 16,8917

P

= + =

Portanto, nesta distribuio, o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos elementos e a outra com 60% dos elementos. O valor 16,89 indica que 72% da distribuio esto abaixo dele e 28% acima.

Para a determinao das separatrizes (mediana, quartis, decis e percentis) pode-se utilizar o grfico de freqncia acumulada. Assim:

Classe D4 Classe P72

Q1 Q3 D8=P80 Classes

FAC n

80n/100

3n/4

n/2

n/4

x


8.10 Moda

Dentre as principais medidas de posio, destaca-se a Moda. o valor mais freqente da distribuio. Para distribuies simples (sem agrupamento em classes), a identificao da Moda facilitada pala simples observao do elemento que representa maior freqncia. Assim, para a distribuio:

Xi 243 245 248 251 307

Fi 7 17 23 20 8

A Moda ser 248. Indica-se Mo=248. Para dados agrupados em classes, h diversas frmulas para o calculo da Moda. a) 1. Processo: frmula de Czuber

1. Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqncia)


1

1 2

Mo l h= + +

Em que:

1

2

limite inferior da classe modal diferena entre a frequncia da classe modal e a imediatamente anterior diferena entre a frequncia da classe modal e a imediatamente posterior

= amplitude da

l

h

= = =

classe

Exemplo: Determinar a moda para a distribuio.

Classes 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Fi 3 10 17 8 5 43

1. Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3. Classe 2 3


1

1 2

Mo l h= + + em que: 1

2

217 10 717 8 9

1

l

h

= = = = = =

Portanto: 72 1 2,44

7 9Mo = + =+


Exemplo: Calcular a moda para a distribuio.

Salrios (US$) 80 180 180 250 250 300 300 500

No. de Empregados 70 140 140 60

Observa-se que as amplitudes das classes no so iguais. Nestes casos preciso calcular as densidades das classes: Fi / h para se identificar qual a classe modal (aquela com maior densidade). Assim:

Salrios(US$) Fi Fi/h 80(100) 180 70 70/100=0,7

180 (70) 250 140 140/70=2,0

250(50) 300 140 140/50=2,8

300(200) 500 60 60/200=0,3

1. Passo: Classe Modal. No caso ser a 3. Classe 250 300.

2. Passo: Aplica-se a frmula, onde:

1

2

2502,8 2,0 0,8 0,8250 50 262,122,8 0,3 2,5 0,8 2,5

50

l

Mo

h

= = = = + = = = + =

Portanto o salrio mais freqente US$ 262,12.

2. Processo: Frmula de Pearson

3 2Mo x x Ou seja, a moda aproximadamente a diferena entre o triplo da mediana e o dobro da mdia. Esta frmula d uma boa aproximao quando a distribuio apresenta razovel simetria em relao mdia.

Exerccios:

1- Para cada srie, determine a mediana:

I) 1,3,3,4,5,6,6 (Resp: 4)

II) 1,3,3,4,6,8,8,9 (Resp: 5)

III) 12,7,10,8,8 (Resp: 8)

IV) 82,86,88,84,91,93 (Resp: 87)

2- Para cada distribuio, determine a mediana:

I) (Resp: 4)

Xi 2 3 4 5 7

Fi 3 5 8 4 2

Classe Modal


II) (Resp: 77)

Xi 73 75 77 79 81

Fi 2 10 12 5 2

III) (Resp: 13)

Xi 12 13 15 17

Fac 5 13 18 20

IV) (Resp: 235)

Xi 232 235 237 240

Fac 15 40 55 61

3- Para cada distribuio, determine a mediana:

I) (Resp. 6,63)

Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13

Fi 3 5 8 6 4 3

II) (Resp. 28,35)

Classes 22 25 25 28 28 31 31 34

Fi 18 25 30 20

4- Para cada srie, determine a moda:

I) 3,4,7,7,7,8,9,10 (Resp. 7)

II) 43,40,42,43,47,45,45,43,44,48 (Resp. 43)

5- Para cada distribuio, determine a moda:

I) (Resp: 80)

Xi 72 75 78 80

Fi 8 18 28 38

II) (Resp: 3,5)

Xi 2,5 3,5 4,5 6,5

Fi 7 17 10 5

6- Para cada distribuio, determine a moda pelos dois processos:

I) (Resp. 14,5)

Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 22

Fi 6 10 15 10 5

II) (Resp. 26,25)

Classes 10 20 20 30 30 40 40 50

Fac 7 19 28 32


7- Para as distribuies:

I) (Resp. 8,8; 9,03; 6,86)

Classes 4 6 6 8 8 10 10 12

Fi 4 11 15 5

Calcule D6, P65 e Q1.

II) (Resp. 33,6; 42,32; 50)

Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70

Fac 3 8 18 22 24

Calcule D2, P43 e Q3.

8- Abaixo temos a distribuio do nmero de acidentes por dia, durante 53 dias, em certa rodovia:

No. de Acidentes 0 1 2 3 4

No. de dias 20 15 10 5 3

Pede-se:

a) determinar a mdia; (Resp. 1,17)

b) determinar a mediana; (Resp. 1)

c) calcular a moda; (Resp. 0)

d) qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia? (Resp. 34%)

9- O nmero de operrios acidentados por ms, numa fbrica, nos ltimos dois anos foi:

ANO MS Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

1975 4 8 3 6 7 7 3 8 2 4 3 3

1976 7 4 6 5 10 5 4 3 5 4 4 1

Faa X nmero de acidentados por ms a) Construa a distribuio de freqncia (varivel discreta)

b) Calcule a mdia, mediana e moda. (Resp. 4,83; 4; 4)

10- Sendo:

Idade (anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42

No. de Pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5

a) Determinar a mdia; (Resp. 22,99)

b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos; (Resp. 21,85)

c) Determinar a moda (frmula de Czuber); (Resp. 20,18)

d) Calcular o 3. Decil; (Resp. 18,59)

e) Determinar a medida que deixa dos elementos; (Resp. 17,68)

f) Calcular o percentil 80. (Resp. 29,48)

g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade? (Resp. 74%)


11- Foi pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que escolhessem um dentre os nmeros 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Obteve-se o seguinte resultado:

8 0 2 3 3 5 7 7 7 9

8 4 1 9 6 6 6 8 3 3

7 7 6 0 1 3 3 3 7 7

6 5 5 1 2 5 2 5 3 2

a) Montar a distribuio de freqncia;

b) Determinar a mdia; (Resp. 4,63)

c) Qual foi o numero mais escolhido? O que ele representa? (Resp. 3, moda)

d) Calcule a mediana. (Resp. 5)

12- Abaixo esto dadas as notas (em crditos) de 50 alunos:

60 85 33 52 65 77 84 65 74 57

71 35 81 50 35 64 74 47 54 68

80 61 41 91 55 73 59 53 77 45

41 55 78 48 69 85 67 39 60 76

94 98 66 66 73 42 65 94 88 89

Pede-se

a) Determinar a amplitude total da amostra; (Resp. 65)

b) Nmero de classe pela frmula de Sturges. Dado log 50=1,7; (Resp. 7)

c) Amplitude das classes; (Resp. 10)

d) Quais as classes? (Inicie pelo 30);

e) Freqncias absolutas das classes;

f) Freqncias relativas;

g) Pontos mdios das classes;

h) Freqncia acumulada;

i) Histograma;

j) Polgono de freqncia

k) Grfico de freqncia acumulada;

l) Mdia; (Resp. 65,8)

m) Moda; (mo66) n) Mediana;

o) 1. e 3. Quartis;

p) 7. Decil e 55. Percentil. (Resp. D7676; P5567)


9. MEDIDAS DE DISPERSO

So medidas estatsticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou disperso dos valores em torno da mdia. Servem para medir a representatividade da mdia.

Sejam as sries:

a) 20, 20, 20

b) 15, 10, 20, 25, 30

Tm-se: 20ax = e 20bx = Observe que apesar de as sries terem mdias iguais, na srie a no se tem disperso, enquanto os valores da srie b apresentam disperses em torno da mdia 20. Assim, a mdia muito mais representativa para a srie a do que para a srie b.

9.1 Amplitude Total

a diferena entre o maior e o menor dos valores da srie.

mx minAt x x=

Exemplo: Para a srie 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38, a amplitude total de:

38 10 28At = =

9.2 Desvio Mdio

Desde que se deseja medir a disperso dos dados em relao mdia, parece interessante a anlise dos desvios em torno da mdia. Isto , analisar os desvios:

( )i id x x=

A Soma de todos os desvios igual a zero. Isto :

( ) 0iid x x= = Logo, ser preciso encontrar uma maneira de se trabalhar com os desvios sem que a soma d zero. Dessa forma define-se o desvio mdio como:

x ix

disperso


i ii iM

x x Fd FD

n n

= = O mdulo evita que a soma dos desvios seja nula.

9.3 Varincia

Neste caso considera-se o quadrado de cada desvio ( )2ix x , evitando com isso que 0id = . Assim a definio de varincia populacional dada por:

( )2 22 i i i ix X F d FN N

= = Sendo a mdia aritmtica dos desvios.

Observao: 1- 2 indica varincia populacional e l-se sigma ao quadrado. 2- X da frmula a mdia ponderada da populao.

Para o caso do clculo da varincia amostral conveniente o uso da seguinte frmula:

( )221

i ix x FSn

=

Frmulas prticas para os clculos:

( )22 21 i ii i

X FX F

N N

= ( )22 21

1i i

i i

x FS x F

n n

=

Que foram obtidos por transformaes nas respectivas frmulas originais.

9.4 Desvio-Padro Observando-se a frmula original para o clculo da varincia, nota-se que uma soma de quadrados. Dessa forma, se a unidade da varivel for, por exemplo metro (m) teremos como resultado metro ao quadrado (m). Para se ter a unidade original, necessita-se definir outra medida de disperso, que a raiz quadrada da varincia o desvio-padro.


2 o desvio-padro populacional. = 2 o desvio-padro amostral.S S=

Resumindo: para o clculo do desvio-padro deve-se primeiramente determinar o valor da varincia e, em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.

Exemplo: Calcular o desvio-mdio, a varincia e o desvio-padro da seguinte distribuio amostral:

xi 5 7 8 9 11

Fi 2 3 5 4 2

1) Clculo do desvio mdio:

i ii iM

x x Fd FD ou

n n

= Primeiramente precisa-se do valor da mdia:

xi Fi xi . Fi 5 2 10

7 3 21

8 5 40

9 4 36

11 2 22

16 129 129 8,0616

i ix Fxn= = =

Para o clculo do DM so abertas novas colunas, assim:

xi Fi xi . Fi i ix x d = i id F5 2 10 5 8,06 3,06 = 6,12

7 3 21 7 8,06 1,06 = 3,18

8 5 40 8 8,06 0,06 = 0,30

9 4 36 9 8,06 0,94 = 3,76

11 2 22 11 8,06 2,94 = 5,88 16 129 19,24


Portanto: 19, 24 1, 20

16i i

M

d FD

n= = =

2) Clculo da varincia amostral:

( )22 211

i ii i

x FS x F

n n

=

Temos: 16n = , 129i ix F = , bastando apenas encontrar 2i ix F .

xi Fi xi . Fi 2ix F5 2 10 50

7 3 21 147

8 5 40 320

9 4 36 324

11 2 22 242

16 129 1083 2 212 22

5 2 50

7 3 147

x Fx F = = = =

( )2 22 21 1 12910831 16 1 16

i ii i

x FS x F

n n

= =

2 1 16641 1 17328 16641108315 16 15 16

S = = 2 687 2,86

15 16S = =

Logo a varincia amostral 2,86.

3) Clculo do desvio-padro amostral:

Como 2S S= , logo 2,86 1,69S = =

Resumindo: A distribuio possui mdia 8,06. Isto seus valores esto em torno de 8,06 e seu grau de concentrao de 1,2 pelo Desvio Mdio, e de 1,69 medido pelo Desvio-Padro.


Exerccios:

1. Dada a Distribuio amostral, encontrar a mdia, o desvio mdio e o desvio-padro.

Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12

Fi 2 4 7 4 3

2. Calcular a varincia populacional para a srie.

Xi 2 3 5 6 7

Fi 1 4 5 3 2

9.5 Coeficiente de Variao

Trata-se de uma medida relativa de disperso til para a comparao em termos relativos do grau de concentrao em torno da mdia de sries distintas. dado por:

100CVX= ou 100SCV

x=

Onde:

desvio-padro populacional

mdia populacionalS=desvio-padro amostral

=mdia amostral

X

x

==

O coeficiente de variao expresso em porcentagem.

Exemplo:

Numa empresa, o salrio mdio dos homens de $ 4.000,00, com desvio-padro de $ 1.500,00 e o das mulheres em mdia de $ 3.000,00, com desvio-padro de $1.200,00. Ento:

Para os homens: 1500100 100 37,5%4000

CVX= = =

Para as mulheres: 1200100 100 40%3000

CVX= = =

Logo podemos concluir que os salrios das mulheres apresentam maior disperso relativa que o dos homens. Diz-se que a distribuio possui pequena variabilidade (disperso) quando o coeficiente der at 10%, mdia disperso quando estiver acima de 10% at 20%, e grande disperso quando superior a 20%.


A partir do coeficiente de variao pode-se avaliar a homogeneidade do conjunto de dados e, conseqentemente, se a mdia uma boa medida para representar estes dados.

utilizado, tambm, para comparar conjuntos com unidades de medidas distintas. Uma desvantagem do coeficiente de variao que ele deixa de ser til quando a mdia est prxima de zero. Uma mdia muito prxima de zero pode inflacionar o CV.

Um coeficiente de variao superior a 50% sugere alta disperso o que indica heterogeneidade dos dados. Quanto maior for este valor, menos representativa ser a mdia. Neste caso, opta-se pela mediana ou moda, no existindo uma regra prtica para a escolha de uma destas medidas.

O pesquisador, com sua experincia, que dever decidir por uma ou outra. Por outro lado, quanto mais prximo de zero, mais homogneo o conjunto de dados e mais representativa ser sua mdia.

9.6 Medidas de Assimetria

A medida de assimetria um indicador da forma da distribuio dos dados. Ao construir uma distribuio de freqncias e/ou um histograma, est-se buscando, tambm, identificar visualmente, a forma da distribuio dos dados que ou no confirmada pelo coeficiente de assimetria de Pearson (As) definido como:

sMoA

= ou s X MoA S=

para dados populacionais e amostrais, respectivamente.

Uma distribuio classificada como:

simtrica se mdia = mediana = moda ou As = 0; assimtrica negativa se mdia mediana moda ou As < 0. O lado mais longo do

polgono de freqncia (cauda da distribuio) est esquerda do centro.

assimtrica positiva se moda mediana mdia ou As > 0. O lado mais longo do polgono de freqncia est direita do centro.

Exerccios: Calcule o coeficiente de assimetria da Tabela 10.


9.7 Medidas de Curtose

A medida de curtose o grau de achatamento da distribuio, um indicador da forma desta

distribuio. definido como:

A curtose ou achatamento mais uma medida com a finalidade de complementar a caracterizao da disperso em uma distribuio. Esta medida quantifica a concentrao ou disperso dos valores de um conjunto de dados em relao s medidas de tendncia central em uma distribuio de freqncias.

Uma distribuio classificada quanto ao grau de achatamento como:

Leptocrtica: quando a distribuio apresenta uma curva de freqncia bastante fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro, K < 0,263.

Mesocrtica: quando os dados esto razoavelmente concentrados em torno de seu centro, K= 0,263

Platicrtica: quando a distribuio apresenta uma curva de freqncia mais aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro, K > 0,263

Classificao da distribuio quanto curtose

Exerccio: Classifique o grau de achatamento da Tabela 10, conforme os clculos abaixo:

ESTATISTICA APOSTILA

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