Apostila Integral

Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 4

Autores1:

Ledina Lentz Pereira Cleide Regina Lentz Elisa Netto Zanette

Evânio Ramos Nicoleit Sandra Regina da Silva Fabris

SUMÁRIO

� INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................................................................. 5

� 1 O CÁLCULO INTEGRAL ............................................................................................................................................................................................ 7

1.1 O cálculo Integral: alguns fatos históricos ......................................................................................................................................................... 7

1.3 Redução ao absurdo ................................................................................................................................................................................................. 10

1.4 O que é integração? ................................................................................................................................................................................................. 12

� 2 INTEGRAL INDEFINIDA ....................................................................................................................................................................................... 12

2.1 Primitiva ....................................................................................................................................................................................................................... 12

2.2 Integral Indefinida .................................................................................................................................................................................................... 13

2.3 Propriedades da Integral Indefinida.................................................................................................................................................................... 14

2.4 Integrais Imediatas (Tabela de Integrais) ........................................................................................................................................................ 15

Lista 1 de Atividades - Integral Indefinida ............................................................................................................................................... 18

2.5 Integral por substituição ......................................................................................................................................................................................... 18

Lista 2 de Atividades - Integral Indefinida ............................................................................................................................................... 26

2.6 Integral por partes ................................................................................................................................................................................................... 27

Lista 3 de Atividades - Integral Indefinida por partes ........................................................................................................................... 31

Lista 4 de Atividades ..................................................................................................................................................................................... 32

1 Grupo de Pesquisa CNPq/Unesc em Educação a Distância na Graduação. Material didático em desenvolvimento e disponível no site www.ead.unesc.net/sitecalculo


2.7 Integrais Trigonométricas ...................................................................................................................................................................................... 33

2.7.1 Integração por transformação trigonométrica .............................................................................................................................. 33

2.7.2 Integração por substituição trigonométrica ................................................................................................................................... 37

Lista 5 de Atividades ..................................................................................................................................................................................... 41

2.8 Integração de funções racionais por frações parciais ................................................................................................................................... 42

Lista 6 de Atividades - Integração por frações parciais ......................................................................................................................... 53

2.9 Integrais - Expressões cbxax ++2 ..................................................................................................................................................................... 54

Lista 7 de Atividades - Completar Quadrado do Trinômio ..................................................................................................................... 58

� 3 INTERGRAL DEFINIDA .......................................................................................................................................................................................... 60

3.1 Introdução ................................................................................................................................................................................................................... 60

3.2 Propriedades da integral definida: ...................................................................................................................................................................... 64

Lista 8 de Atividades - Integral Definida .................................................................................................................................................. 64

� 4 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ........................................................................................................................................................ 65

4.1 Cálculo da área de uma figura plana .................................................................................................................................................................. 65

Lista 9 de Atividades - Área de figuras planas ........................................................................................................................................ 70

4.2 Cálculo do volume .................................................................................................................................................................................................... 72

Lista 10 de Atividades - Volume ................................................................................................................................................................. 77

4.3 Área da superfície de revolução ........................................................................................................................................................................... 78

Lista 11 de Atividades - A área de superfície de revolução .................................................................................................................. 85

4.4 Comprimento de arco .............................................................................................................................................................................................. 85

Lista 12 de Atividades: Comprimento de arco ......................................................................................................................................... 89

4.5 Trabalho W .................................................................................................................................................................................................................. 89

5.5.1 Trabalho com força variável ............................................................................................................................................................. 89

Lista 13 de Atividades .................................................................................................................................................................................. 91

4.6 Pressão hidrostática e força .................................................................................................................................................................................. 92

4.7 Momentos e Centros de Massa ............................................................................................................................................................................. 94

Lista 14 de Atividades .................................................................................................................................................................................. 96

INTRODUÇÃO


Para ANTON et.al (2006, p.1), um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas ou matemáticas. Estas relações podem ser descritas por gráficos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Estas relações matemáticas e físicas são definidas em sua maioria por funções – termo formalizado por Leibniz (1673) para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra.

A idéia de função originou-se na resposta matemática a pergunta do tipo: É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo? Desenvolveu-se com os estudos do italiano Galileu Galilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Em qualquer movimento, seja de uma bola jogada que cai de um avião, de um animal no campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: de tempo e de espaço. A cada instante do primeiro conjunto vai corresponder uma, e somente uma posição de um determinado corpo em movimento. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os movimentos numéricos em que essa relação especial acontece.

O desenvolvimento do Cálculo nos séculos XVII e XVIII foi motivado pela necessidade de entender os fenômenos físicos como as marés, as fases da Lua, a natureza da luz e a gravidade. Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem a forma como uma quantidade depende da outra. Quando o homem percebeu que na natureza tudo se transforma e se move, a representação matemática do movimento se tornou um problema para ser resolvido pelos matemáticos.

Enquanto alguns procuraram desenvolver a representação numérica e algébrica, outros buscaram a representação geométrica. Algumas funções mais comuns: constante, polinomiais (1º grau, quadrática, cúbica,...), definida por várias sentenças, modular, exponencial, logarítmica, trigonométrica e, outras funções elementares (y=1/x,...).

O estudo do cálculo baseia-se essencialmente no estudo de funções em determinados intervalos.

São muitas, as situações vivenciadas no nosso cotidiano que são quantificadas por um intervalo numérico e não por um número apenas. Por exemplo, em muitas ruas das cidades brasileiras, a velocidade máxima permitida aos automóveis é de 50 km/h e está indicado em placas de sinalizações. Isto significa que eles podem se deslocar com velocidades que variam num intervalo entre 0 e 50 km/h.

Estas situações podem ter várias alternativas. Responder com apenas um número não está errado, mas também não é totalmente correto. Para encontrar todas as possíveis soluções para esse tipo de problema, utiliza-se de intervalos numéricos. A partir disso, os matemáticos criaram as inequações. Surgem os conceitos de desigualdade (a<b; b>a;...).

O estudo dos limites de uma função seja ela, contínua ou descontínua, permite ampliar nosso conhecimento sobre seu comportamento e pode nos revelar quais serão os limites dessa função, ou seja, quais são os valores da variável f(x) quando x se aproxima de um determinado número à direita e a esquerda. Para algumas funções o limite não existe quando x tende ao número a, mas para aquelas que existem, o limite é único quando x tende ao número a, ou seja, quando x tende ao número a, a função não poderá ter dois limites diferentes.

Um exemplo de situação limite, citada por ANTON et.al (2006, p.101): A resistência do ar impede que a velocidade de um pára-quedista aumente indefinidamente. A velocidade tende a uma velocidade limite, chamada de “velocidade terminal”.

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.


Muitas das idéias básicas do Cálculo originaram de dois problemas geométricos: o problema da reta tangente a um gráfico de uma função f em um ponto P; e o problema da área entre o gráfico de uma função f num intervalo [a.b] no eixo x. Para ANTON et.al (2006, p.101), tradicionalmente, a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é denominada Cálculo Diferencial e a que foi originada do problema de área é denominada Cálculo Integral. Entretanto, os dois problemas estão estreitamente relacionados e a distinção entre estas duas partes é artificial.

O conceito de derivada está relacionado, geometricamente, com o conceito da reta tangente a uma curva. A noção de tangência é importante no cotidiano porque tem muitas aplicações.

Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam como a velocidade de um foguete, a inflação de uma moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade do tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico, etc.

Um exemplo de aplicação, do ponto de vista da Dinâmica, é o conceito da velocidade escalar (instantânea). A velocidade escalar é uma derivada e a aceleração também é. Note que, tanto na velocidade escalar quanto na aceleração, a derivada é vista como uma taxa de variação, ou seja, é a medida da evolução de uma grandeza, quando uma outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço percorrido por um objeto com relação ao tempo.

A derivada é a ferramenta matemática utilizada para estudar a taxa de variação, ou seja, a taxa segundo a qual varia uma quantidade em relação a outra. O estudo de taxas de variação está bastante relacionado ao conceito geométrico de uma reta tangente a uma curva o que nos leva a encontrar a equação geral da reta tangente e a inclinação da reta.

Matematicamente, afirmamos que a derivada da função f(x) no ponto da abscissa 0x , é o limite, se existir, da razão

x

xfxxf

∆

−∆+ )()( 00 quando ∆x

tende a zero e indicamos por:

f′ ( 0x ) = 0

lim→∆x x

xfxxf

∆

−∆+ )()( 00 . Ou, f′ ( 0x ) = 0

limxx→

0

0 )()(

xx

xfxf

−

−.

E, o valor f´(x0) encontrado é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) em estudo no ponto x0. Algumas notações de derivada de

y ou f(x) em relação à x: Dxf(x) , Dxy , f′ (x) ou dy

dx.

A Integral nos permite resolver problemas de área de regiões planas com contornos curvilíneos que podem ser a área da função em relação ao eixo x, num determinado intervalo. O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona os problemas de encontrar retas tangentes e áreas. Por exemplo, se conhecemos a velocidade de um carro de corrida durante um intervalo de tempo, podemos encontrar a distância percorrida neste intervalo.

Vamos conhecer um pouco sobre a história da Integral!

1 O CÁLCULO INTEGRAL 1.1 O cálculo Integral: alguns fatos históricos


Historicamente, foi a necessidade de calcular áreas de figuras planas com contornos curvos, que provocou o desenvolvimento da integral. Assim, no Cálculo, a integral de uma função foi criada, originalmente, para determinar a área de curvas.

As primeiras idéias de integral, também conhecida como antiderivada, surgiram a partir da concepção geométrica de cálculo de áreas de figuras com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.).

A primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Apesar de os estudos de Cauchy terem sido incompletos, foram muito importantes, porque deram início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Mais tarde, o conceito de integral foi sistematizado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716) a partir das idéias e dos métodos desses cientistas, surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII sendo os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543).

Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e, em sua homenagem, a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Posteriormente, outras integrais foram introduzidas no cálculo, como por exemplo, a Integral de Lebesgue.

A forma mais utilizada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão originária de Cauchy, por ser mais simples de compreensão.

Nos cursos de Análise Matemática normalmente, utiliza-se o conceito da Integral de Darboux-Riemann, uma versão mais aprofundada do conceito. Neste caso, são trabalhados os conceitos de: soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de exaustão usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

Os conceitos e a aplicação de integral são importantes na resolução de diversos problemas, como de Física, por exemplo. Aplicamos o conceito de integral na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade nestes instantes.

Conhecendo um pouco mais da História da Integral2

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas.

Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

2 Referência: Matemática Essencial. Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm Acesso em: Nov 2008.


A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História.

Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

A idéia básica do conceito de integral iniciou com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. Em síntese, esse conceito representava a possibilidade de obter-se a área de uma figura plana irregular ou conseguir calcular o volume de um sólido com o formato de um barril. O método da exaustão consiste encontrar a área "exaurindo" a figura dada, por meio de outras figuras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo.

Neste problema, o objetivo é encontrar a área do círculo trabalhando com polígonos regulares inscritos, cuja área, conhecemos. Assim, parte-se do objetivo de encontrar um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.

A primeira aproximação para a área do círculo é obtida pela área do quadrado inscrito no círculo. Acrescentando quatro triângulos isósceles a partir dos lados do quadrado inscrito de forma conveniente, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, com uma área mais aproximada da à área do círculo que o quadrado inscrito.

Acrescentando novos triângulos a cada lado que se forma, temos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, já nesta fase, temos a impressão do círculo estar exaurido. Entretanto, há pequenas áreas que não foram cobertas, ainda.

Assim, de forma sucessiva, repetimos o processo dos novos triângulos até obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, por meio de polígonos regulares inscritos de 2n lados.

Usando um procedimento similar ao método da exaustão, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário (r=1) mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre 3 +10/71 = 3,140845 < A < 3 + 1/7 = 3,142857.

O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que, para cada novo problema, havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. Mas, se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo e surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola ACB, Arquimedes usou, como primeira aproximação, o triângulo ABC. Neste caso, C foi tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C seja paralela à reta AB.


De modo semelhante, são escolhidos, o ponto D e o ponto E, e construídos os triângulos ACD e BCE.

Na seqüência, foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores.

Note que os triângulos inscritos estão exaurindo a área da região parabólica.

Historicamente, as experiências desses pesquisadores foram importantes nas definições e conceitos dos elementos matemáticos.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução.

Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

1.3 Redução ao absurdo

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou “De quadratura parábola” e onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas.

Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos:

cn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

.


Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.

O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.

que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que, em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas, em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e esse fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

Newton continuou o trabalho de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica.

Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por y´.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo ∫ - um

's' longo - para representar summa.

Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças

entre as abscissas... e, portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ∫ dxy. ".

Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.

O


Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

1.4 O que é integração?

processo do cálculo da integral de uma função é chamado de integração. Existem várias definições para a integração. Assim, o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Em algumas áreas do conhecimento, como a Análise Matemática, esse conceito é apresentado em grau maior de complexidade. No Cálculo, em geral, o conceito é apresentado de forma menos rigorosa ou formal com o objetivo de simplificar e ampliar a sua compreensão.

Independente da forma como o conceito de integral é apresentado, todos apresentam a mesma resposta para o resultado final de uma integração e objetivam resolver alguns problemas conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição.

Vamos, inicialmente, trabalhar como uma definição, também conhecida como integral indefinida.

2 INTEGRAL INDEFINIDA

amos conhecer alguns conceitos associados a integral indefinida.

2.1 Primitiva

Conceito Uma função P(x) é chamada primitiva de uma função ( )xfy = num intervalo I, se para todo x ∈ I temos P′ (x) = f(x).

Observe o seguinte problema: 1º exemplo:

Dada à função ( ) 2xxf = , encontre uma função P(x) tal que P′(x) = f(x).

Resolução: Para resolver este problema, devemos encontrar uma função cuja derivada é f(x) = x2.

O

V


Assim, ( )3

3

1

xxP = é uma função que satisfaz o problema, pois:

� ( ) ( )xfxx

xP ==

′

=

′ 23

13

;

� ( ) 13

3

2 +=x

xP também satisfaz pois, ( ) ( )xfxx

xP ==

′

+=

′ 23

2 13

Observe que outras funções, também satisfazem o problema:

� ( ) 33

3

3 −=x

xP

� ( )3

2

3

3

4 −=x

xP

� 10003

3

5 +=x

P

Em geral: ( ) cx

xP +=3

3

, onde c é uma constante, satisfaz o problema, pois ( ) ( )xfxcx

xP ==

′

+=′ 2

3

3.

Resposta: ( ) cx

xPi +=3

3

são primitivas da função f(x) = 2

xy = .

Note que: Este exemplo mostra que uma função pode ter muitas primitivas. De fato, se P(x) é uma primitiva de f(x) e C é uma constante, então P(x)

+C também é primitiva de f(x), pois: [ ] ).(0)('')( xfxPCxP =+=+

2.2 Integral Indefinida

Conceito Seja ( )xfy = uma função e ( )xP tal que ( ) ( )xfxP =′ , uma primitiva de ( )xf .

Definimos a integral indefinida de ( )xfy = , denotado por ∫ dxxf )( , por:


( ) ( ) cxPdxxf +=∫

Ou:

Se P(x) é uma função primitiva de f(x) + C se chama Integral Indefinida desta função e é denotada por: ∫ += cxPdxxf )()( . Onde c é uma constante e

P’(x) = f (x). Lê: se: a integral indefinida de f(x) é P(x) + c, onde c é constante e P(x) é uma primitiva de f(x).

De acordo com essa notação ∫ (forma de um S alongado) é chamado sinal da integração.

Da definição de integral indefinida segue que:

a) ∫ += CxFdxxf ).()( se e somente se F’(x)=f(x).

b) ∫ dxxf )( representa uma família de funções: a família de todas as primitivas da função integrando.

c) [ ]')(∫ dxxf = f(x).

d) [ ]∫ dxxf )( = f(x)dx.

2º exemplo

(a) Se f(x) = ex então a integral indefinida de f(x) é (ex + c) e indicamos por cedxexx +=∫ porque a derivada de ex é a própria ex. (eu)´=eu. u´

(b) Se f(x) =x3 então a integral indefinida de f(x) é (4

4x

+ c) e indicamos por ∫ += cx

dxx4

43

(c) ∫ dxx)(cos = sen x + C porque (sen x)’ = cos x.

2.3 Propriedades da Integral Indefinida

As propriedades são ferramentas importantes no cálculo das integrais pois simplificam nosso trabalho. Vamos conhecer duas dessas propriedades!

(a) Integral da soma de funções

( ) ( )( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫∫∫ +=+

A integral de uma soma é a soma das integrais

3º exemplo Se f(x) = ex + x2 então,


( )∫ + 2xex2

3

12

3c

xcedxxdxedx

xx +++=+= ∫∫ ( )21

3

3cc

xe

x +++= cx

ex ++=

3

3

→→→→ Observe que c1 + c2 é também uma constante, então fazemos c1 + c2 = c.

(b) Integral do produto de uma constante por uma função

( ) ( )∫ ∫= dxxfcdxxfc

A integral indefinida do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral indefinida da função.

4º exemplo (a) Se f(x) = 2 ex então,

( ) cececedxedxexxxx +=+=+== ∫∫ 222222 11

2

(b) Se f(x) = -5 x2 então,

cx

cx

cx

dxxdxx +=−=

+−=−=− ∫∫ 3

533

5553

1

3

1

322

2.4 Integrais Imediatas (Tabela de Integrais)

Das propriedades definidas decorrem fórmulas de integração de várias funções que são, em geral, organizadas em tabelas, conhecidas como tabela de integrais. Estas tabelas são muito úteis e práticas e você irá utilizar com freqüência na resolução de problemas que envolvem as integrais.

(1) ∫ += cxdx

(2) cn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

, se 1−≠n

(3) cedxexx +=∫

(4) ca

adxa

xx +=∫ ln

(5) cxx

dx+=∫ ln

Vamos aplicar as fórmulas da tabela, nos exemplos a seguir. 5º exemplo Calcule as Integrais indefinidas, das funções: a) f(x) = x + 2 Resolução:


( ) =+∫ dxx 2 → aplicamos a propriedade da soma;

∫ ∫ =+ dxxdx 2 → aplicamos a propriedade do produto por uma constante;

∫ ∫ =+ dxxdx 2 → aplicamos as fórmulas da tabela (Fórmulas 2 e 1);

cxx

++ 22

2

→ resultado.

b) f(x) = (x2 + 1)2 Resolução:

( ) =+∫ dxx2

2 1 → desenvolvemos o quadrado da soma;

( )dxxx∫ ++ 12 24 → aplicamos a propriedade da soma;

∫∫∫ ++ dxdxxdxx24 2 → produto pela constante;

∫∫∫ ++ dxdxxdxx24 2 → aplicamos as fórmulas da tabela;

cxxx

+++3

2

5

35

→ resultado.

c) f(x) = (xx

x12

3+− )

Resolução:

dxxx

x∫

+−

123

→ aplicamos a propriedade da soma;

∫∫∫ +−x

dxdx

xdxx

3

2→ transformamos a raiz do 1º termo em potência. No 2º termo, escrevemos a potência com expoente fracionário.

∫∫ ∫ +−= −

x

dxdxxdxx

32

1

2 → aplicamos as fórmulas da tabela;

cxxx

++−=−

ln2

2

2

3

22

3

= cxx

x +++ ln1

3

22

3 => resultado.

d) dxxx2∫


Resolução:

dxxx2∫ = dxxx 2

1

2.∫ → aplicamos a propriedade de potência→ bases iguais

dxx∫+

2

12

= dxx∫ 2

5

⇒ aplicamos fórmula 2 de nossa tabela.

= cx

+

2

7

2

7

= cx +2

7

.7

2 ou cx +7.

7

2 ou cxx +3.

7

2 => resposta final.

e) dxxx3∫

Resolução:

dxxx3∫ = dxxx 3

1

.∫ = dxx∫ 3

4

⇒ aplicamos a fórmula 2 da tabela.

= cx

+

3

7

3

7

= cx +3

7

.7

3 => reposta final.

f) ( )∫

++

x

dx2xx2

Resolução:

( )∫

++

x

dx2xx2

=> aplicando a propriedade da soma de funções e após do produto do 3º termo da expressão.

= ∫ ∫∫ ++ dxx

dxx

xdx

x

x 22

= ∫ ∫∫ ++−

x

dxdxdxxx 21.. 12 =

= ∫ ∫∫ ++x

dxdxdxx 2. ⇒ aplicando as fórmulas (2,1,5) da tabela.

= cxxx

+++ ln22

2

. => resposta final.


Lista 1 de Atividades - Integral Indefinida

Calcule a integral indefinida, consultando a tabela de integrais imediatas e as propriedades:

(1) ∫ xdx5

(2) dxx∫− 2

(3) dxx∫

(4) dxx∫ 32

(5) ∫ 2x

dx

(6) dxx∫2

(7) dxx

∫5

(8) dxex

∫ ⋅5

(9) ( )dxxx∫ +− 12

(10) ( ) dxx∫ −2

1

(11) ∫

+++dx

x

xxx 135

(12) dxx∫ 3

3

(13) dxxx

x∫

+− 32

42

(14) ( ) ( )dxxx 122

+−∫

(15) dxxx

ex

∫

+− 53

(16) ( )( )dxxx 21 23 +−∫

(17) dxxx

x∫

+− 2

3

3 43

(18) dxx

xx∫ 4 3

3

(19) dxx

x

xx∫

++− 3

4324

2

(20) ( )( ) dxxxx22 14 −−∫

Vamos conhecer os métodos de integração!

2.5 Integral por substituição

O cálculo da integral indefinida nem sempre é possível com a aplicação da tabela de integrais imediatas. Porém este cálculo, às vezes se torna possível, através de uma substituição conveniente da variável inicial. Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos considerar a função composta Fog. Pela regra da cadeia:


[ ] ='))(( xgF )('))(()('))((' xgxgfxgxgF ×=× , isto é, ))(( xgF é uma primitiva de ).('))(( xgxgf × Temos, então:

∫ +=× .))(()('))(( cxgFdxxgxgf

Fazendo u= g(x); du= g’(x) dx e substituindo:

∫ ∫ +==× .)()()('))(( cuFduufdxxgxgf

Na prática, devemos definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja a mais simples possível. Vamos conhecer alguns exemplos! 6º exemplo

Calcule ∫ +1x

dx.

Resolução: O primeiro passo é definir qual dos termos será a nossa função u. Neste caso escolhemos o termo (x + 1) como u. Para encontrar du é só derivar a função u. Assim, fazemos:

1+= xu e temos ( )dxxuud ′= = dx1

Então,

∫∫ =+ u

du

x

dx

1 => agora é só aplicar a fórmula da tabela que se aplica a resolução dessa equação (fórmula 5) e temos:

∫ u

du cu += ln => próximo passo é substituir u pelo valor inicial de x ou seja, retornamos à variável inicial x e obtemos:

cxx

dx++=

+∫ 1ln1

=> resposta final.

7º exemplo: Calcule as Integrais:

Observação importante: Como cxx

dx+=∫ ln , então toda integral

que puder ser reduzida a esta forma (o numerador é a derivada do

denominador) se calculará a integral como segue.


a) ∫ − x

dx

1

Resolução: Fazendo u= (1-x) e udu ′= temos du = (0 – 1) dx= -dx. Então dx=-du

Substituindo na integral obtemos:

∫ ∫ +−=−=−

cuu

du

x

dxln

1= cx +−− 1ln => resposta final.

b) ∫ − 4x

dx.

Resolução: Fazendo tx =− 4 , temos dtdx = Substituindo na integral obtemos:

∫ ∫ +==−

ctt

dt

x

dxln

4= cx +− 4ln => resposta final.

c) ∫ − 21 x

xdx.

Resolução:

Fazendo 21 xu −= temos

xdxdxxdu 2)20( −=−= . Se xdxdu 2−= então duxdx2

1−= .


∫∫∫−

=−

=− u

du

u

du

x

xdx

2

1

2

1

12

= cu +−

ln2

1= cx +−

− 21ln2

1=> resposta final.

8º exemplo Calcule as derivadas:

(a) dxex

∫+3

Resolução: Fazendo 3+= xu e 1=′u então dxdu = . Substituindo na integral obtemos:

ceduedxeuux +== ∫∫

+3


Voltando a variável inicial obtém-se: cedxexx += ++

∫33 => resposta final.

(b) dxex x 323 +

∫

Resolução: Fazendo 33 += xu e udu ′= então

dxxdu23= . Assim, dxx

du 2

3=


=+

∫ dxex x 323

=∫+

dxxex 23

)(3

ceduedu

e uuu +==⋅ ∫∫ 3

1

3

1

3

Voltando a variável inicial: dxex x 323 +

∫ = ce x ++33

3

1=> resposta final.

(c) dxxx

x∫

+

+2

12

Resolução: Fazendo xxu += 2 então ( )dxxdu 12 += .


=

+

+∫ dx

xx

x2

12cu

u

du+=∫ ln

Voltando à variável inicial: ∫ ++=

+

+cxxdx

xx

x 2

2ln

12=> resposta final.

(d) ∫ =+ dxxxx ³)5³2²(cos

Resolução: => Inicialmente, multiplicamos x2 por cada termo da expressão. Após, aplicamos a propriedade da soma e do produto e obtemos:

∫ ∫ =+ dxxxdxxx ²³.5²³.2cos ∫ ∫ =+ dxxdxxx5

5²³).2(cos => Note que, integramos por substituição o 1º termo somente. No 2º termo, integramos aplicando a

fórmula 5 da tabela de fórmulas. Assim, fazemos:

u = 2x³ e temos du = 6x2. Portanto dxxdu

²6

= ;



∫ ∫+ dxxduu55)(cos

6

1=

∫ ∫+ dxxduu55)(cos

6

1 → como (sen x)´= cos x dx então ∫ += csenxxdxcos c

xusen ++

65)(

6

16

= cxusen ++ 6

6

5)(

6

1=> substituindo u pelo seu valor;

.6

5³)2(

6

1 6cxxsen ++ => resposta.

(e) ∫ +

+dx

xx

x

4

1³4

=> Resolução: => fazendo u= x 4 +4x obtemos

du = 4x3 + 4 = 4(x3+1). Logo dxxdu

)1³(4

+= ;


∫ =u

du

4∫ =

u

dx

4

1∫ u

du

4

1 =>substituímos pela fórmula 5 da tabela;

=+ culn4

1 => substituindo u pelo seu valor;

.4ln4

1 4cxx ++ => resposta.

(f) ∫ =−

−dx

x

x

²1

35

Resolução: => Iniciamos com a separação dos termos da expressão transformando em subtração de duas frações;

∫ =−

−−

dxxx

x)

²1

3

²1

5( ∫ ∫ −

−− ²1

3²1

5x

dx

x

xdx=>

Vamos integrar os termos separados e depois agrupamos: 1º termo: Fazemos 21 xu −= e obtemos du = (0 – 2x) dx = -2xdx e, então:

xdxdu

=−2

.

Substituindo na integral do 1º termo, obtemos:

∫ − ²15

x

xdx= ∫

−

u

du

2

15 = ∫

−

u

du

2

5= cu +

−ln

2

5=> substituindo u pelo seu valor, obtemos cx +−

− 21ln2

5 Resposta parcial (1)


2º termo: Para encontrar a integral deste termo, necessitamos de aplicação de nova formula de integração.

∫ +−

+=

−c

ua

ua

aua

duln

2

122

Assim, fazemos 1 = a2 então a= 1 = 1 e se x2=u2 então u = x. Assim, se dx=du temos (1-x2) = (a2-u2).

=> fazendo as substituições de u e du encontramos:

∫ −−

²13

x

dx= ∫ −

−²

32 ua

du=> aplicando a fórmula acima em destaque, temos:

∫ −−

²3

2 ua

du = c

ua

ua

a+

−

+− ln

2

13 => substituindo u e a pelos seus valores, encontramos: c

x

x+

−

+−

1

1ln

2

3 Resposta parcial (2)

Resposta: Rp (1) + Rp (2) => ∫ =−

−dx

x

x

²1

35 2

1ln2

5x−

−c

x

x+

−

+−

1

1ln

2

3

(g) ∫ − 66

²7

x

dxx

Resolução:

=> Aplicando a propriedade do produto encontramos ∫ − 66

²7

x

dxx.

Fazendo u2 = x6 temos u = 6

x = x3. Assim, se

u = x3, du= 3x2dx e dxxdu 2

3=

a2 = 6 então a = 6 => Substituindo os termos encontrados na integral, obtemos:

∫ =− 66

²7

x

dxx ∫ − 22

37ua

du

= ∫ − 223

17

ua

du= ∫ − 223

7

ua

du

=> Aplicamos a fórmula da integral ∫ +−

+=

−c

ua

ua

aua

duln

2

122


=>Obtemos ∫ =− ²²3

7

ua

duc

ua

ua

a+

−

+ln

2

1

3

7 => substituir os valores de a e u;

∫ − 66

²7

x

dxx= .

³6

³6ln

66

7c

x

x+

−

+ => resultado.

(h) ∫ =++ 136² xx

dx

Resolução: => para resolver está integral utilizamos o artifício de encontrar o quadrado de uma soma de dois termos no denominador. Para isso, completamos adequadamente o quadrado do denominador; => x²+6x+13 = x²+2.3x+9–9+13 = (x2+2.3x+9)-9+13=(x+3)2+4 Portanto,

∫ =++ 136² xx

dx ∫ ++

.4)²3(x

dx

Fazendo u2 = (x + 3)2 temos u = x+3 e du=dx. Fazendo a2 = 4 temos a = 2.

=> Substituindo os termos encontrados na integral, obtemos:

∫ ++ 4)²3(x

dx= ∫ + ²² au

du

=> Aplicamos a fórmula da integral ∫ +=+

−c

a

utg

aua

du 1

22

1

=> Obtemos ca

utg

a+−11

. Substituindo os valores de a e u¸ encontramos:

cx

tg ++−

2

3

2

1 1 . Como tg-1 representa arc tg, nossa resposta é:


∫ =++ 136² xx

dx.

2

3

2

1c

xarctg +

+

Você pode desenvolver a integral de forma mais simplificada, ou seja:

∫ =++ 136² xx

dx∫ ++ 4)²3(x

dx= ∫ + ²² au

du= c

a

utg

a+−11

= .2

3

2

1c

xarctg +

+

=> resposta


Vimos no desenvolvimento dos exemplos, mais fórmulas de integrais. Vamos atualizar nossa tabela!

(1) ∫ += cxdx ou ∫ += cudu

(2) cn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

, se 1−≠n ou

cu

uduu

nn +

+=

+

∫ 1

1

(3) cedxexx +=∫ ou cedne

nn +=∫

(4) ca

adxa

xx +=∫ ln

ou ca

adua

nn +=∫ ln

(5) cxx

dx+=∫ ln ou cu

u

du+=∫ ln

(6) cuduusen +−=∫ )cos()(

(7) cusenduu +=∫ )()cos(

(8) ∫ +−

+=

−c

ua

ua

aua

duln

2

122

(9) ∫ +=+

−c

a

utg

aua

du 1

22

1 ou

(9) ∫ +=+

ca

uarctg

aua

du 122

Lista 2 de Atividades - Integral Indefinida

1. Calcule as integrais abaixo, utilizando o método da substituição.

1) dxx

x∫ + 21

2

2) xdxx cos.sen 2

∫

3) ∫ − 8)53( x

dx

4) dxxx )3sec( 2

∫ +

5) ∫ =+− )44²( xx

dx

6) dxxxx )12()322( 102 +−+∫

7) dxxx27

13 )2(∫ −

8) ∫−5 2 )1(x

xdx

9) dxxx∫ − 2345

10) dxxx∫ + 42 2


Vamos ver o próximo método de integração: a Integral por Partes.

2.6 Integral por partes

A integração por partes é um processo que utiliza a fórmula da derivada do produto de duas funções ( ) uxu = e ( ) vxv = .

Como ( ) vduudvvud +=⋅ , isolando udv , temos:

( ) vduuvdudv −=

Integrando membro a membro, obtemos:

∫ ∫−= vduuvudv

Esta é a fórmula do método de Integral por Partes →→→→ ∫ ∫−= vduuvudv .

É aplicada para integrar algumas funções do tipo udv , isto é, aquelas onde é possível reconhecer o produto de uma função ( )xu pela diferencial de

outra função dv (facilmente integrável).

Vamos identificar essa aplicação no exemplo a seguir! Exemplo 1

Determine a integral da função f(x) = x ln x, ou seja, calcule ∫ xdxx ln .

Resolução: Atribuído para u o valor de ln x e para dv o valor de xdx, calculamos o valor de du (derivando o u) e o valor de v (integrando dv).

Assim, considerando{ {

dvu

xdxx ⋅∫ ln temos:

==⇒=

=⇒=

∫ 2

ln

2x

xdxvxdxdv

x

dxduxu

Lembre-se que (ln x)´= dxx

1

Aplicando a fórmula:

∫ ∫ ⋅−⋅= duvvuudv ⇒ obtemos,

{ {dvu

xdxx ⋅∫ ln = x

dxxx

x

∫−2

ln2

22

⇒ simplificando o integrando temos:


∫−= xdxxx

2

1ln

2

2

⇒ resolvendo à integral, temos;

cx

xx

xdxx +−=⋅∫ 2.

2

1ln

2ln

22

⇒simplificando

cx

xx

xdxx +−=⋅∫ 4ln

2ln

22

⇒resultado

Exemplo 2

Determine a integral indefinida da função dxexx

∫−⋅ 2 .

Resolvendo: Fazendo u = x e dv= dxex2− , calculamos o valor de du, derivando u, isto é:

dxduxu =⇒=

Para calcular o v é necessário integrarmos por substituição o dv, observe:

∫−

−

=

=

dxev

dxedv

x

x

2

2

=> faça y = -2x,

Derivando y=-2x

temos:

dxdy

dxdy

xy

=−

−=

−=

2

2

2

Logo nosso v será:

∫∫ −=−

= dyedy

evyy

2

1

2 => xy

eev2

2

1

2

1 −−=⋅−=

Agora que temos nosso u, du, v e dv; podemos aplicar a fórmula da integração por partes:

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ −duvvudxex

x2 =

∫ ∫−−− ⋅

−−⋅

−⋅=⋅

−⋅ dxeexdxex

xxx 222

2

1

2

1

2

1= => aplicando a propriedade do produto;


∫ ∫−−−

−−⋅

−⋅=⋅ dxeexdxex

xxx 222

2

1

2

1= => calculando a integral;

∫ +⋅

−+⋅−=⋅ −−−

Ceexdxexxxx 222

2

1

2

1

2

1 => simplificando a expressão;

∫ +−⋅−=⋅ −−−Ceexdxex

xxx 222

4

1

2

1 => resultado.

Exemplo 3

Determine a integral indefinida da função ∫ =dxxx26 )(ln .

Resolvendo: Fazendo u =lnx e dv= dxx6 , calculamos o valor de du, derivando u, isto é:

dxx

duxu1

ln =⇒=


∫ ==

=

dxxv

dxxdv

6

6

Logo nosso v será:

∫∫ =+

==+16

6

16

xdxxv

=> 7

7x

v =


∫ ∫ ⋅−⋅= duvvudxxx )²(ln6 =

= ∫ =− dxx

xxx

1.

77.ln

77

=> resolvendo à integral;

= ∫ =− dxxxxx

)(ln7

2)².(ln

7

67

=> simplificando o integrando temos;

= =

−− ∫ dx

x

xxxx

x 1.

77).(ln

7

2)²(ln

7

777

=> aplicar novamente u e dv;


= =+

−− c

xxxx

x

7.

7

1

7)(ln

7

2)²(ln

7

777

=> simplificando;

= .497

)(ln7

2)²(ln

7

777

cxx

xxx

+

−− => resposta.

Exemplo 4

Determine a integral indefinida da função ∫ =− xdxx ²seccos)1( .

Resolvendo: Fazendo u =x-1 e dv= xdx²seccos , calculamos o valor de du derivando u, isto é:

dxduxu =⇒−= 1


∫ ==

=

xdxv

xdxdv

²seccos

²seccos

Logo nosso v será: .cot gxv −=


∫ ∫ ⋅−⋅=− duvvudxxx ²seccos)1( =

= ∫ =−−−− dxgxgxx .cotcot).1( => simplificando à integral;

= ∫ =+−− gxdxgxx cotcot).1( => resolvendo;

= .lncot).1( csenxgxx ++−− => resposta.

Exemplo 5

Determine a integral indefinida da função ∫ =dxxx5² .

Resolvendo: Fazendo u =x 2 e dv=5 dx

x , calculamos o valor de du derivando u, isto é:

xdxduxu 2² =⇒=


∫ ==

=

dxv

dxdv

x

x

5

5

Logo nosso v será: 5ln

5x

v =



∫ ∫ ⋅−⋅= duvvudxxx5² =

= ∫ =− xdxxxx

2.5ln

5

5ln

5².

=> simplificando à integral;

= ∫ =− dxx x

x

55ln

2

5ln

5.2

=> resolvendo;

= =

−− ∫ dx

xx xxx

5ln

5

5ln

5.

5ln

2

5ln

52

=> integrar por partes novamente;

= =

−−

5ln

5.

5ln

1

5ln

5.

5ln

2

5ln

52 xxx xx => resolvendo a integral;

= .)³5(ln

5.2

)²5(ln

52

5ln

52

cxx xxx

++−

=> resposta.

Lista 3 de Atividades - Integral Indefinida por partes

1 Calcule as integrais

(a) dxexx

∫ ⋅ (b) dxexx

∫−⋅

(c) dxexx

∫ ⋅ 2 (d) ( ) dxxex 2

1+∫

2 Encontre as integrais

(a) ∫ =xsenxdx (b) ∫ =dxxeax

(c) ∫ =dxxex2 (d)

∫ =+ xdxxx 2cos)1(

(e) ∫ =xdxln (f) ∫ + xx 1 dx =


(g) ∫ =+ dxxex )²1( (h) ∫ x ln xdx =

(i) ∫ =xdx3cos (j) ∫ =xdxx 2cos

Lista 4 de Atividades

a) Integre, consultando a tabela de integrais imediatas: 1- dxxcos5∫ =

2- dxxsec2∫ =

3- ∫ =dxx

x

seccos

²sec=

4- ( )∫ − dxxcos5xsen2 =

5- ∫+ x1

dx=

6- ∫− 2x44

dx=

7- ∫+

−2x33

dx=

8- ∫−

−

2x99

dx

9- ∫+ 2x55

dx=

10-( )∫

+ 2x14

dx=

b) Calcule as integrais usando o método da substituição:

1- ∫ =+ dxxsen )7(

2- ∫ =−+

+dx

xx

xx

4

5757

46

3- ∫ =−

dxx

x4)2³(

²4

4- ∫ =dxx

3

2cos1

5- ∫ =+

dxbx

ax44

6- ∫ =+ dxeexx 262 )2(

c) Aplicando o método de integração por partes, calcule as integrais:


1- ∫ =xcoxdx

2- ∫ =arctgxdx

3- ∫ =senxdxx2

4- ∫ =xdxe x cos

5- ∫ =xdx2cos

6- ∫ =xdx3sec

2.7 Integrais Trigonométricas

Existem algumas integrais que devem ser conduzidas a integrais imediatas com simples transformações trigométricas: Lembrete: Sabendo que...

xsen² = ( 1- cos²x) cos² x = ( 1- sen² x) tg² x = ( sec² x-1) sec² x = (tg² x+1) cotg² x = (cossec² x-1) cossec² x = (cotg² x+1)

2.7.1 Integração por transformação trigonométrica

Então, verificamos como aplicar as seguintes integrais aplicando as transformações trigométricas, veja os exemplos:

(I): ∫ uduusennm cos

=> quando m ou n é inteiro positivo ímpar não importando o que o outro possa ser.


Transformando o integrando usaremos ∫ ++

=+

Cn

vdvv

nn

1

1

.

Se m é impar, escrevemos ( 1−msen u). sen u. Como (m-1) é par o primeiro fator ( 1−m

sen u) é uma potência de sen² u e pode ser substituído por sen² u= 1-cos² u.

Se n é impar, escrevemos uun cos.cos 1− e usamos .1²cos 2

usenu −=

Exemplo 1: ∫ xdxxsen5cos.² = => ∫ xdxxxsen cos.cos.² 4 =

∫ − xdxxsenxsen cos)²²1(² = => ∫ +− xdxxsenxsenxsen cos)²21(² 4 =

∫ xdxxsen cos.² ∫ ∫ =+− xdxxsenxdxxsen cos.cos.2 64

u= senx => du= cosx dx

∫ ∫ ∫+− duuduuduu642² = => c

uuu++−

75

2

3

³ 75

=

=> resposta.

Exemplo2: dxxsen∫ ³ = ∫ senxdxxsen .² = ∫ − senxdxx)²cos1( = ∫ ∫− xsenxdxsenxdx ²cos =

∫ −−− )²(cos duux = cu

x ++−3

³cos =

u= cosx => du= -senx

cx

x ++−3

³coscos => resposta.

Exemplo II: ∫ udutgn ou ∫ udug

ncot ====> o método consiste, principalmente em usar as igualdades )1²(sec² 22 −== −−uutguutgtgutg

nnn ou

).1²sec(coscot²cot.cotcot 22 −== −−uugugugug

nnn

Exemplo 1: xdxtg4 = ∫ =xdxxtgtg ²² ∫ − dxxxtg )1²(sec² = ∫ ∫− xdxtgxdxxtg ²²sec² =

∫ ∫ −− dxxxxtg )1²(sec²sec² = ∫ ∫ ∫+− dxxdxxdxxtg ²sec²sec² =

u= tgx ⇒ du=sec²xdx

cxsenxsenxsen

+++75

23

³ 75


∫ ++− cxtgxduu² = cxtgxu

++−3

3

= cxtgxxtg

++−3

³. ⇒ resposta.

Exemplo2: ∫ =xdxtg5 ∫ =xtgxtg ².³ ∫ =− dxxxtg )1²(sec³ ∫ ∫ =− xdxtgxdxxtg ³²sec³

∫ ∫ =− xdxtgtgxxdxxtg ².²sec³ ∫ xdxxtg ²sec³ - ∫ =− dxxtgx )1²(sec

∫ xdxxtg ²sec³ - ∫ ∫ =− tgxdxxdxtgx ²sec ∫ ∫ ∫ =−− tgxdxududuu³ =++− cxuu

cosln2

²

4

4


cxxtgxtg

++− cosln24

24

==> resposta.

Exemplo III: ∫ udunsec ou ∫ udu

nseccos ====> quando n é um inteiro positivo par, o primeiro passo é escrever:

uutguuu

n

nn ²sec)1²(²secsecsec 2

2

2

−

− +== ou .²seccos)1²(cot²seccos.seccosseccos 2

2

2 uuguuu

n

nn

−

− +==

Se n for ímpar trabalhar integral por partes.

Exemplo1: ∫ =xdx6sec ∫ =xdxx

24 sec.sec ∫ =+ xdxxtg ²sec)².1²(

∫ =++ xdxxtgxtg ²sec).1²2( 4 ∫ ∫ ∫ =++ xdxxdxxtgxdxxtg ²sec²sec.²2²sec4


∫ ∫ ∫ =++ xdxduuduu ²sec2 24 =+++ ctgxuu

32

5

35

.3

2

5

35

ctgxxtgxtg

+++

Exemplo2: ∫ =xdx4sec ∫ =xdxx ²sec.²sec ∫ =+ xdxxtg ²sec)1²( ∫ ∫ =+ xdxxdxxtg ²sec²sec.² ∫ ∫ =+ xdx

u²sec

2

² ctgx

u++

3

³=

.3

³ctgx

xtg++

Exemplo IV: ∫ uduutgnm sec. ou ∫ uduug

nm seccos.cot ====> quando n é inteiro positivo par procedemos como no exemplo:

Exemplo1: ∫∫ ∫ =+== dxxtgxxtgxdxxxtgxdxxtg )1²(sec²sec.²secsec 26646


∫ ∫ ∫ ++=++=+ cxtgxtg

cuu

xdxxtgxdxxtg7979

²sec²sec7979

68 .

u= tgx ⇒ du=sec²xdx Quando m é ímpar podemos proceder como no exemplo seguinte:

Exemplo2: ∫ =xdxxtg ³sec.5 ∫ dxxtgxxxtg )sec.(²sec.4 = ∫ − dxxtgxxx )sec..(²sec)²1²(sec =

∫ +− dxxtgxxxx )sec.(²sec)1²sec2(sec4

∫ ∫ ∫+− xdxtgxxxdxtgxxxdxxtgx sec..²secsec..sec2sec.sec 46 =

u= secx ⇒ du= secx.tgx dx

∫ ∫ ∫+− duuduuduu ²2 46 = cuuu

++−35

27

357

= .3

³secsec

5

2

7

sec 57

cx

xx

++−

Exemplo V: ∫ uduusennm cos , por meio de ângulos múltiplos.

Quando m ou n é um inteiro positivo par, o meio mais simples é do exemplo 1. Quando m e n são simultaneamente inteiros positivos pares, fazemos substituições trigométricas envolvendo senos e cossenos de ângulos múltiplos. Para isso usaremos as fórmulas:

sen u. cos u = usen22

1 sen² u= u2cos

2

1

2

1− cos²u= u2cos

2

1

2

1+

Desse modo, vejamos os exemplos a seguir:

Exemplo1: ∫ =xdx²cos ∫

+ dxx2cos

2

1

2

1= ∫ ∫+ xdxdx 2cos

2

1

2

1= .2

4

1

2cxsen

x++

Exemplo2: ∫ ∫ ∫ =

== dxxsendxxsenxxdxxsen

2

22

1)²cos.(²cos.² ∫ =

dxxsen 2

4

1 2

∫ +−=

− .4

32

1

84cos

2

1

2

1

4

1cxsen

xdxx


Exemplo VI: ∫ nxdxsenmx cos. ou ∫ sennxdxsenmx. ou ∫ nxdxmx cos.cos , quando m ≠ n. Usaremos as fórmulas:

)(2

1)(

2

1cos. yxsenyxsenysenx ++−=

)cos(2

1)cos(

2

1. yxyxsenysenx +−−=

)cos(2

1)cos(

2

1cos.cos yxyxyx ++−=

A seguir exemplo de como utilizar a fórmula:

Exemplo1: =xdxxsen 4cos.2 =

++−∫ dxxxsenxxsen )42(

2

1)42(

2

1

∫ ∫ =+− dxxsendxxsen )6(2

1)2(

2

1 ∫ ∫ =+− dxxsendxxsen )6(

2

1)2(

2

1

u= -2x⇒ dxdu

=−

2 dx

duxu =⇒=

66

∫ ∫ =+

−senudusenudu

6

1.

2

1

2

1

2

1 .6cos

12

1)2(

4

1cxxcox +−−

2.7.2 Integração por substituição trigonométrica Freqüentemente, substituições trigométricas convenientes levam a solução de uma integral. E se no integrando existir expressões como:

22ua − 22

ua + 22au −

Onde a > 0, podemos fazer uma substituição trigométrica apropriada, como nas figuras abaixo:


Lembrete:

.

.

hip

opcatsen =θ

..

.cos

opcat

hip=θ

.

..cos

hip

adjcat=θ

..

.sec

adjcat

hip=θ

..

..

adjcat

opcattg =θ

..

..cot

opcat

adjcatg =θ

a) a função integrando envolve: 22ua − .

Neste caso usamos u= a senθ ⇒ du= a cosθ . Supondo que 22

πθ

π≤≤

−, temos:

θ22222senaaua −=− = θ22 1( sena − = θ22

cosa = θcosa .

b) a função integrando envolve: 22ua + .

Neste caso, usamos u= θatg ⇒ du= .sec2 θθda Supondo que 22

πθ

π≤≤

−, temos:


22ua + = θ222

tgaa = )1( 22 θtga + = θ22seca = θseca .

c) a função integrando envolve: 22au − .

Neste caso, usamos u = θseca ⇒ du= θseca . θtg θd . Supondo θ tal que 0 2

πθ ≤≤ ou, temos:

=− 22au 222

sec aa −θ = θ22tga = a θtg .

Exemplo1: ∫ =+ 32 )2(x

dx ∫

+ 322)( au

du=

Resolvendo: 22

xu = → xu = au = tg z →du= a sec2z dz.

22 =a → a = 2

∫+

3222

2sec

atgu

zdza= => substituindo;

∫ + zu

zdza33

2

sec

sec= => simplificando;

∫ z

dz

a sec

12

= ∫ =zdza

cos1

2 .

12

csenza

+

u= a tgz a= senz= 22

ua

u

+

tg z=a

u

→ cua

u

a+

+ 222

1= .

22

1

2c

x

x+

+

Exemplo2: ∫ =− 42

2

x

dxx ∫

− 22

2

au

duu=


Resolvendo:

u2= x

2 → xu = u= a sec z → du= a secz tgz

a2= 4 → a = 2

∫− 222

22

sec

.sec.sec

aza

tgzdzzaza = => substituindo;

∫ tgza

tgzdzza

.

.sec33

= => simplificando;

∫ =zdza32 sec ∫ =dzzza )sec.(sec22 [ ]=− ∫ zdzztgtgzza sec..sec 22 [ ]=−− ∫ zdzztgzza sec)1(sec.sec 22 [ ]=−− ∫ ∫ zdzzdztgzza secsec.sec 32

∫ ∫ =+ zdzzdza332 secsec a 2 secz.tgz-a 2 ln (secz + tgz)+c =

ctgzzatgzza ++− )ln(sec.sec 22 = ctgzza

aztgza

a++

+−

+)ln(sec.

)1(sec

)1(

12

22

2=

u= a sec z tg z = a

au 22 −

secz= a

u

→ ca

au

a

u

a

au

a

u+

−+−

− 2222

ln45

1= .

2

4

2ln4

4

4

5

1 22

cxxxx

+

−+−

−

Exemplo 3: ∫ =

− 2

3

2 )5( x

dx ∫ =

− 22ua

du

Resolvendo: u

2= x

2 → xu = asenzu = → du= a cosz dz

52 =a → a= 5

∫ =

−3

222

cos

zsenaa

zdza => substituindo;

∫ =za

zdza33 cos

cos => simplificando;


∫ ∫ +== ctgza

zdzaz

dz

a2

2

222

1sec

1

cos

1 => resolvendo a substituição trigométrica;

tg = 22

ua

u

−

→ cx

x

a+

− 225

1= .

55

1

2c

x

x+

−


PARTE I – Integrais Trigonométricas Calcular as integrais trigométricas:

1- ∫ =x

xdxsen5

3

cos 2- ∫ =xdxtg 24

3- ∫ =xdx3seccos 6 4- ∫ =xdxxtg 2

3

5 sec

5- ∫ =xdx3cos4 6- ∫ =xdxxsen cos.5

7- ∫ =xdxxsen34cos 8- ∫ =xdxtg

3

9- ∫ =xdx4seccos 4 10- ∫ =xdxxsensen 23

11- ∫=

3

3

4cos

4

x

xdxsen 12- ∫ =+ xdxxtg 2)13( 23

13- ∫ =− xdxx )1(sec 24 14- ∫ =xdxxtg 3

5

3 sec

PARTE II – Atividades de integração por substituição trigonométrica


Calcular as integrais usando o método de substituição trigométrica:

1- ∫ =+

+29

)3(

x

dxx 2- =

−∫ dx

x

x2

281

3- ∫ =−

+dx

x

x

16

)1(

2 4- ∫ =

− 32 )3( x

dx

5- ∫ =

− 2

3

22 )( ua

du 6- ∫ =

+ 2

3

2 )2(x

dx

7- ∫ =−

+

9

)1(

2x

dxx 8- ∫ =

− 225 xx

dx

9- ∫ =− 722

xx

dx 10- ∫ =

+ xx

dx

42

2.8 Integração de funções racionais por frações parciais

O método das Frações Parciais consiste em decompor funções racionais em soma de funções racionais mais simples, objetivando processos mais simples de integração. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para tanto, usaremos uns resultados importantes da álgebra, que revisaremos a seguir. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos todos com coeficientes reais. Veremos alguns exemplos práticos para entender melhor este método. a) O polinômio ( ) 232 +−= xxxq pode ser escrito como o produto dos fatores lineares 2−x e 1−x , ou seja, ( ) ( )( )12 −−= xxxq .

Explicando: se você realizar a multiplicação dos termos 2−x e 1−x irá chegar ao termo 232 +− xx . b) O polinômio ( ) 123 −+−= xxxxq pode ser escrito como o produto do fator linear 1−x pelo fator quadrático irredutível 22 +x , isto é:

( ) ( )( )122 −+= xxxq

Explicando: se você realizar a multiplicação dos termos 22 +x e 1−x irá chegar ao termo 123 −+− xxx .


c) O polinômio ( ) ( ) ( )4313

13

22++−

+= xxxxxp é a decomposição do polinômio ( ) 4716243 2345 ++−−+= xxxxxxp .

Explicando: se você multiplicar os fatores do polinômio, o obterá na sua forma estendida.

A decomposição da função racional ( )( )( )xq

xpxf = em frações mais simples é subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompõe nos

fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Em nossos exemplos, vamos considerar os vários casos separadamente. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados de Álgebra e não serão demonstradas. Para o desenvolvimento do método, podemos considerar que o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio do denominador ( )xq é 1.

Caso isso não ocorra, dividimos o numerador e o denominador da função racional ( )xf por esse coeficiente.

Iremos supor também, que o grau de ( )xp é menor que o grau de ( )xq . Se isso não acontecer, devemos efetuar a divisão de ( )xp por ( )xq .

As diversas situações serão exploradas nos exemplos a seguir. Caso 1: Os fatores de ( )xq são lineares e distintos.

Nesse caso, pode-se escrever ( )xq na forma: ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq −−−= ...21 onde os ia , 1=i ...,n, são distintos dois a dois.

A decomposição da função racional ( ) ( )( )xq

xpxf = em frações mais simples é dada por: ( )

n

n

ax

A

ax

A

ax

Axf

−++

−+

−= ...

2

2

1

1 , onde nAAA ,...,, 21 são

constantes que devem ser determinadas. Vamos ver um exemplo prático?

Exemplo 1: Calcular: dxxxx

xI ∫ +−−

−=

33

223

.

Resolvendo: Vamos decompor o denominador:

33

223 +−−

−

xxx

x =

( )( )( )311

2

−+−

−

xxx

x =

( ) ( ) ( )311

321

−+

++

− x

A

x

A

x

A

Vamos determinar os valores de A. Para tanto vamos reduzir tudo ao mesmo denominador:

( )( )( )311

2

−+−

−

xxx

x =

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )311

113131 321

−+−

+−+−−+−+

xxx

AxxAxxAxx


Aqui multiplicamos os termos de cada coeficiente.

( )( )( )311

2

−+−

−

xxx

x =

( ) ( ) ( )( )( )( )311

13432 3

2

2

2

1

2

−+−

−++−+−−

xxx

AxAxxAxx

Agora realizaremos a multiplicação de cada termo por seu coeficiente, e depois vamos colocar em evidência o que existe de comum nos

temos que se originarem dessa multiplicação. O resultado será esse:

( )( )( )311

2

−+−

−

xxx

x =

( ) ( ) ( )( )( )( )311

3342 32121

2

321

−+−

−+−+−−+++

xxx

AAAxAAxAAA

Agora eliminamos os denominadores, e igualamos os coeficientes correspondentes (das mesmas potências de x), ficando assim:

( ) ( ) ( )32121

2

321 33422 AAAxAAxAAAx −+−+−−+++=−

−=−+−

=−−

=++

233

142

0

321

21

321

AAA

AA

AAA

Por meio do sistema de equações, vamos obter:

8

3 ,

4

121

−== AA e

8

13 =A

Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:

( )( )( )311

2

−+−

−

xxx

x =

3

81

1

83

1

41

−+

+

−+

− xxx =

3

1.

8

1

1

1.

8

3

1

1.

4

1

−+

+−

− xxx

Então,

dxxxx

xI ∫ +−−

−=

33

223

= ∫

−+

+−

−dx

xxx 3

1.

8

1

1

1.

8

3

1

1.

4

1 => aplicamos as propriedades da integral que já conhecemos.

∫∫∫ −+

+−

− 3.

8

1

1.

8

3

1.

4

1

x

dx

x

dx

x

dx = ∫∫∫ −

++

−− 38

1

18

3

14

1

x

dx

x

dx

x

dx => resolvendo.


Cxxx +−++−− 3ln8

11ln

8

31ln.

4

1 => resultado.

Exemplo 2: Calcular: dxxxx

xI ∫ +−+

−=

122

423

3

Resolvendo: para resolver esse exemplo, devemos começar preparando o integrando. Podemos observar que o grau de ( )xp é igual ao grau de

( )xq , ao efetuarmos a divisão de polinômios, obtemos o seguinte resultado.

122

423

3

+−+

−

xxx

x =

122

2422

23

2

+−+

−−+−

xxx

xx

Logo nossa integral fica da seguinte forma:

dxxxx

xI ∫ +−+

−=

122

423

3

= ∫∫ +−+

−−+− dx

xxx

xxdx

122

2422

23

2

= 12 I+−

Onde: ∫ +−+

−−= dx

xxx

xxI

122

24223

2

1 .

Para resolver 1I , existe ainda a necessidade de preparar o integrando. Dividindo o numerador e o denominador da função integrando por 2,

obtemos.

( )( )∫

+−+

−−= dx

xxx

xxI

1222

1

2422

1

23

2

1 = ∫

+−+

−−dx

xxx

xx

2

1

2

1

12

23

2

Podemos observar que as raízes obtidas são: 1=x , 2

1−=x e 1−=x . Logo

+−+

−−

2

1

2

1

12

23

2

xxx

xx =

( ) ( ) ( )12

11

321

++

++

− x

A

x

A

x

A.

Eliminando os denominadores, vamos obter:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 321

2

211111

2112 AxxAxxAxxxx +−++−+++=−−


Substituindo x, pelos valores: 1=x , 2

1−=x e 1−=x . Temos:

1=x => 1.2.2

32 A=− =>

3

21

−=A

21−=x => 2.

2

1.

2

3

4

1A

−= =>

3

12

−=A

1−=x => 3.2

1.22 A−

−= => 23 =A

Substituindo na função.

+−+

−−

2

1

2

1

12

23

2

xxx

xx =

1

1.2

21

1.

3

1

1

1.

3

2

++

+−

−−

xxx daí:

dxxxx

I ∫

++

+−

−−=

1

1.2

21

1.

3

1

1

1.

3

21

Aplicamos as propriedades da integral que já conhecemos.

dxx

dxx

dxx

I ∫∫∫

++

+−

−−=

1

1.2

21

1.

3

1

1

1.

3

21 =

= ∫∫∫ ++

+−

−−

12

213

1

13

2

x

dx

x

dx

x

dx = => resolvendo.

= 11ln22

1ln3

11ln.

3

2Cxxx ++++−−−

Logo: 11ln22ln12ln3

11ln.

3

22 CxxxxI +++++−−−−=

CxxxxI ++++−−−−= 1ln212ln3

11ln.

3

22

Onde 2ln3

11 += CC .

Caso 2: Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem.


Se um fator linear 1ax − de )(xq tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma

( ) ( ) ( )r

r

rrax

B

ax

B

ax

B

1

1

1

2

1

1 ...−

++−

+−

−

Onde 1B , 2B ,..., rB são constantes que devem ser determinadas.

Exemplo 1: Calcular dxxx

xx∫ −

−+24

3

4

13.

Resolvendo: As raízes de ( )xq são 2=x , 2−=x e 0=x , sendo que 0=x tem multiplicidade 2. Dessa forma, o integrando pode ser escrito na

forma:

24

3

4

13

xx

xx

−

−+ =

( )( ) 2

3

22

13

xxx

xx

+−

−+ =

x

B

x

B

x

A

x

A 2

2

121

22++

++

−.

Ao eliminar os denominadores, vamos obter.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 212

2

1

23 22222213 xBxxBxxAxxAxxxx +−++−+−++=−+

Atribuindo a x os valores 2=x , 2−=x e 0=x , temos:

2=x => 14.413 A= => 16

131 =A

2−=x => 24.415 A−=− => 16

152 =A

0=x => 12.21 B−=− => 4

11 =B

Com esse procedimento não é possível determinar o valor de 2B . Para determiná-lo, usamos uma equação conveniente do sistema obtido

igualando os coeficientes das mesmas potências de x. Usando a igualdade dos coeficientes de 3x , vamos conseguir:

2211 BAA ++= => 216

15

16

131 B++= =>

4

32 −=B

Então:

xxxxxx

xx 1.

4

31.

4

1

2

1.

16

15

2

1.

16

13

4

13224

3

−++

+−

=−

−+

Logo,


∫∫

−

+

++

−=

−

−+dx

xxxxdx

xx

xx 1.

4

31.

4

1

2

1.

16

15

2

1.

16

13

4

13224

3

Aplicando as propriedades da integral que conhecemos:

dxx

dxx

dxx

dxx

dxxx

xx∫∫∫∫∫ −+

++

−=

−

−+ 1.

4

31.

4

1

2

1.

16

15

2

1.

16

13

4

13224

3

=>

∫∫∫∫∫ −++

+−

=−

−+

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xx

xx

4

3

4

1

216

15

216

13

4

13224

3

=>

= Cxx

xx +−+++− ln4

3

4

12ln

16

152ln

16

13

Exemplo 2: Calcular dxxxx

x∫ −+− 16128 23

Resolvendo: primeiro encontramos a integral indefinida.

dxxxx

xI ∫ −+−

=16128 23

Como o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio do denominador é diferente de 1, para resolvermos I, necessitamos preparar o integrando. Dividindo o numerador e o denominador da função integrando por 8, vamos obter:

dxxxx

x

I ∫−+−

=

8

1

8

6

8

12

8

8

823

=> dx

xxx

xI ∫

−+−

=

8

1

4

3

2

3

1.

8 23

dx

xxx

xI ∫

−+−

=

8

1

4

3

2

38

1

23

O polinômio ( )8

1

4

3

2

3 23 −+− xxxxq possui raiz 2

1=x com multiplicidade 3. Assim, o integrando por ser escrito na forma:

8

1

4

3

2

3 23 −+− xxx

x =

−

+

−

+

−

2

1

2

1

2

1

3

2

2

3

1

x

A

x

A

x

A.

Eliminando os denominadores:


3

2

212

1

2

1AxAxAx

−+

−+= => ( ) 12323

2

32

1

4

1AAAxAAxA +−++−+

Igualamos os coeficientes das mesmas potências de x, segue que:

=+−

=−

=

04

1

2

1

1

0

321

32

3

AAA

AA

A

Ao resolvermos esse sistema de equação vamos obter:

2

11 =A , 12 =A e 03 =A

Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:

8

1

4

3

2

3 23 −+− xxx

x =>

23

2

1

1

2

12

1

−

+

− xx

Logo,

( ) ( )

−+

−= ∫∫ 23

21

212

1

8

1

x

dx

x

dxI =>

( ) ( ) Cxx

+

−−

−=

21

1

21

1.

4

1

8

12

Então:

dxxxx

x∫ −+− 16128 23

=> ( ) ( )

−−

−=

21

1

21

1.

4

1

8

12

xx

Podemos observar que o procedimento prático utilizado nos outros exemplos para calcular as constantes das frações parciais, não é eficiente neste exemplo, pois ele fornece apenas o valor de uma das constantes. No entanto, ele pode ser usado como ferramenta auxiliar.


Caso 3: Os fatores ( )xq são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem.

A cada fator quadrático cbxx +−2 de ( )xq , corresponderá uma fração parcial da forma.

cbxx

DCx

++

+2

Exemplo 1: Calcular dxxxx

xxI ∫ −++

++=

3

45223

2

.

Resolvendo: o polinômio ( ) 323 −++= xxxxq tem apenas uma raiz real, 1=x . Sua decomposição em fatores lineares e quadráticos é dada por:

( ) ( )( )321 2 ++−= xxxxq

Então é possível expressar o integrando na forma:

3

45223

2

−++

++

xxx

xx =

321 2 ++

++

− xx

DCx

x

A

Eliminando os denominadores teremos: ( ) ( )( )132452 22 −++++=++ xDCxxxAxx => ( ) ( ) DAxDXAxCA −++−++ 322

Logo:

=−

=+−

=+

43

52

2

DA

DCA

CA

Resolvendo o sistema, vamos obter:

6

11=A ,

6

1=C e

6

9=D .

Substituindo na função:

3

45223

2

−++

++

xxx

xx =

( ) 32

9.

6

1

1

1.

6

112 ++

++

− xx

x

x

Dessa forma, nossa integral fica assim:

( )dx

xx

x

xI ∫

++

++

−=

32

9.

6

1

1

1.

6

112

=> aplicando as propriedades da integral.

( )dx

xx

xdx

xI ∫∫

++

++

−=

32

9.

6

1

1

1.

6

112

=> ( )

dxxx

x

x

dxI ∫∫ ++

++

−=

32

9

6

1

16

112

Resolvendo parte da integral:


CIx ++− 16

11ln

6

11

Onde:

dxxx

xI ∫ ++

+=

32

921

O integrando 1I é uma fração racional cujo denominador é um polinômio quadrático irredutível. Integrais dessa forma aparecem na integração das

funções racionais e podem ser resolvidas completando o quadrado do denominador e fazendo as substituições convenientes. Logo vamos ter:

( ) 311232 22 +−++=++ xxxx => ( ) 212

++x

O integrando 1I fica da seguinte forma:

( )dx

x

xI ∫

++

+=

21

921 => podemos agora resolver pelo método da substituição.

Definimos nosso 1+= xu obtemos 1−= ux e dudx = . Aplicando na integral.

duu

uI ∫ +

+−=

2

9121 = du

u

u∫ +

+

2

82

= duu

duu

u∫∫ +

++ 2

8

2 22

∫∫ ++

+ 28

2 22u

du

u

udu = ( ) C

utgarcu +++

2.

2

82ln

2

1 2

Substituindo u por seu valor, obteremos:

( ) Cx

tgarcxx ++

+++2

1.

2

822ln

2

1 2

Nossa resposta ficará assim:

( ) Cx

tgarcxxxI

+

+++++−=

2

1.

2

822ln

2

1

6

11ln

6

11 2

Exemplo 2: Calcular ( )( )∫ ++++ 541 22

xxxx

dx.

Vamos calcular a integral indefinida.

( )( )∫ ++++=

541 22xxxx

dxI


O polinômio ( ) ( )( )541 22 ++++= xxxxxq não possui raízes reais e já se encontra decomposto em fatores quadráticos irredutíveis. Podemos

escrever o integrando na seguinte forma.

( )( )541

122 ++++ xxxx

= 541 2

22

2

11

++

++

++

+

xx

DxC

xx

DxC

Ao eliminarmos os denominadores vamos conseguir:

( )( ) ( )( )154 2

22

2

11 +++++++= xxDxCxxDxCI

= ( ) ( ) ( ) '212121

2

2121

3

21 5454 DDxDDCCxDDCCxCC +++++++++++

Montamos nosso sistema que fica assim:

=+

=+++

=+++

=+

155

0445

04

0

21

2121

2121

21

DD

DDCC

DDCC

CC

Depois do sistema resolvido, temos:

13

31 −=C ;

13

32 =C ;

13

11 =D e

13

82 =D .

Então:

( )( )541

122 ++++ xxxx

=

++

++

++

+−

54

83.

13

1

1

13.

13

122

xx

x

xx

x

Dessa forma:

∫∫

++

++

++

+−= dx

xx

xdx

xx

xI

54

83.

13

1

1

13.

13

122

=> aplicando as propriedades da integral.

∫∫

++

++

++

+−= dx

xx

xdx

xx

xI

54

83

13

1

1

13

13

122

Completando o quadrado dos denominadores.

( ) ( )

++

++

++

+−= ∫∫ dx

x

xdx

x

xI

12

83

43

21

13

13

122

Utilizando o método da substituição, atribuímos 2

1+= xu na primeira integral e 2+= xv na segunda, vamos obter:


( ) ( )

+

+−+

+

+−−= ∫∫ dv

v

vdu

u

uI

1

823

43

12

13

13

122

++

++

++

+−= ∫∫∫∫ 1

21

3

432

5

43

313

12222 v

dv

v

vdv

u

du

u

uduI

( ) ( ) Cvtgarcvutgarcu +

+++++− ...21ln

2

3

3

2..

3

2.

2

5

43ln

2

3

13

1 22

Substituindo pelo valor inicial de u e v obteremos:

( ) ( ) ( ) Cxtgarcxxx

tgarcxx +

+++++

++++− 2..254ln

2

3

3

12.

3

351ln

2

3

13

1 22

Lista 6 de Atividades - Integração por frações parciais

Calcular a Integral Indefinida pelo método por Frações Parciais:

1- ∫ =+−

−dx

xx

x

45

532

6- ∫ =+−

+dx

xx

x

23

32

2- ∫ =+++

+dx

xxx

xx

)3)(2)(1(

73 2

7- ∫ =+−−

−dx

xxx

x

84²2³

84

3- ∫ =−+−

+dx

xxx

x

1²³

72 8- ∫ =

−+−

+dx

xxx

x

8126

16223

4- ∫ =−+

+dx

xx

x

82

72

9- ∫ =−

+dx

x

x

)²1(

2³

5- ∫ =+− 342

xx

dx 10- ∫ =

+−

+dx

xx

x

23

22

2


2.9 Integrais - Expressões cbxax ++2

Algumas integrais que envolvem a expressão cbxax ++2 com a ≠ 0 podem ser resolvidas usando-se uma substituição conveniente. Podemos completar o quadrado do trinômio: ax²+bx+c, para visualizar a substituição. Os exemplos a seguir são do tipo onde, após a substituição, a integral incidiu numa integral tabelada ou numa integral dos tipos apresentados anteriormente.

Exemplo 1: Calcular I = ∫++ 1582

xx

dx.

Vamos completar o quadrado do trinômio x²+8x+15. Temos: x² + 8x +15 = (x+4)² -1.

Neste caso, a substituição conveniente é: u= x+4; du=dx; que transforma a integral I numa integral tabelada. Temos, então:

I= 12 −u

du = arc cos u + c = ln .12

cuu +−+

Portanto:

I= arc cos (x+4)+c ou I= ln .1584 2cxxx +++++

Exemplo 2: Calcular I = ∫−−

+.

4169

23

2dx

xx

x

Completar o quadrado do trinômio: 9 - 16x - 4x². Temos: 9 - 16x - 4x² = 25 – (2x +4)².

Logo, I = ∫+−

+.

)42(25

23

2dx

x

x

Para resolver essa integral, podemos utilizar uma substituição trigométrica. Desta forma, temos:

2x + 4 = 5 sen θ , 22

πθ

π≤≤

−;

dx = θcos2

5θd e 2)42(25 +− x = 5 θcos .


Logo, I = θθ

θcos

2

5

cos5

2)225(3×

+−∫

senθd

= ∫

− θθ dsen 2

4

15

= .2cos4

15c+−

−θθ

Como 2x + 4 = 5 sen θ , temos que sen θ = 5

42 +x; θ = arc sen

5

42 +x e cos θ = .)42(25

5

1 2+− x

Portanto: I = cx

arcsenx +

+−+−×

−

5

422)42(25

5

1

4

15 2

= cx

arcsenxx +

+−−−

−

5

4224169

4

3 2 .

A seguir iremos demonstrar outros tipos de substituições utilizadas para a resolução de quadrados de trinômio. Vejamos os seguintes casos: a) O trinômio ax² + bx + c, apresenta a > 0.

Neste caso, podemos usar acbxax ±=++2tx + .

b) O trinômio ax² + bx + c, apresenta c > 0.

Neste caso, podemos usar cxtcbxax ±=++2 . c) O trinômio ax² + bx + c tem raízes reais.

Usamos, neste tipo de caso, a substituição trxcbxax )(2 −=++ , onde r é qualquer uma das raízes do trinômio ax² + bx + c.

Vejamos alguns exemplos que mostram estes casos:

Exemplo 1: Calcular I = ∫−+ 34 2

xxx

dx.

Neste caso, o trinômio apresenta a = 4 > 0 e raízes reais. Portanto, podemos escolher entre as substituições dos casos (a) e (c).

Vamos escolher o caso (a), utilizando o sinal positivo. Temos, .2342

txxx +=−+ Então, 4x² + x - 3 = (2x+t)² 4x² + x - 3 = 4x² + 4xt + t² x – 4xt = t² + 3 x(1-4t) = t² + 3


x = t

t

41

32

−

+; dx = dt

t

tt2

2

)41(

1224

−

++−

e

342 −+ xx = 2 t

t

t+

−

+×

41

32

342 −+ xx =

t

tt

41

62 2

−

++−.

Substituindo essas expressões na integral, vem:

I = ∫−

++−×

−

+

−

++−

dt

t

tt

t

t

t

tt

41

62

41

3

)41(

1224

22

2

2

= ∫ +dt

t 3

22

= ct

arctg +33

2 = ∫ +

−−+c

xxxarctg

3

234

3

2 2

.

Exemplo 2: Calcular I = 94)4( 2 +++ xxx

dx.

O trinômio x² + 4x + 9 tem a = 1> 0 e c = 9 > 0. Portanto, podemos escolher entre os casos (a) e (b).

Vamos utilizar o caso b com sinal positivo. Temos, 3942 +=++ xtxx .

Então, x² + 4x + 9 = (xt + 3)²

x = ²1

46

t

t

−

−; dx =

²)²1(

68²6

t

tt

−

+−

e

31

4694

2

2 +−

−=++ t

t

txx

= 2

2

1

343

t

tt

−

+−.

Substituindo esses resultados na integral, vem:


I = ∫−

+−×

+

−

−

−

+−

dt

t

tt

t

t

t

tt

²1

34²34

²1

46

²)²1(

68²6

= ∫ +− tt

dt

3²2 = ∫ −

−

tt

dt

23²2

1.

Para resolver esta integral usamos pelo método de frações parciais. Como as raízes de q (x) = t² - t23 são t = 0 e t = 3/ 2, temos:

tt2

3²

1

−

=

2

321

−

+

t

A

t

A. => eliminando os denominadores;

1 = A 1(t- +)23 A 2 t. => substituindo t pelos valores;

t = 0 ⇒ 1 = 12

3A

−

3

21

−=A .

t = 2

3 ⇒ 1 = 2

2

3A

3

22 =A .

Logo, I =

−+

−−∫ ∫ dt

tdt

t 23

3232

2

1

= ctt +−×−−

×−

23ln3

2

2

1ln

3

2

2

1

= .32ln3

1ln

3

1ctt +−−

Voltando á variável x, temos,

I = .6394²2

ln3

1394²ln

3

1c

x

xxx

x

xx+

−−++−

−++


Exemplo 3: Calcular I = ∫−+

.6² xxx

dx

Neste exemplo, a= 1> 0 e o trinômio x² + x -6 apresenta raízes reais r 1= 2 e r 2 = -3. Podemos, então escolher entre (a) e (c). Escolhemos

(c) com r =2. Temos:

txxx )2(6² −=−+ → ²)²2(6² txxx −=−+

(x-2) (x+3) = (x-2)²t² → x + 3 = (x-2) t²

x = 1²

3²2

−

+

t

t; dx =

)²1²(

10

−

−

t

t

e

tt

txx ×

−

−

+=−+ 2

1²

3²26² →

1²

56²

−=−+

t

txx .

Substituindo em I, obtemos:

I = ∫−

×−

+

−

−

dt

t

t

t

t

t

t

1²

5

1²

3²2

)²1²(

10

= ∫ +

−dt

tt

t

15³10

10 = ∫

+

−

2

3²t

dt

= ct

arctg +−

2

3

2

3

1 = - .

2

6²

3

2

3

2c

x

xxarctg +

−

−+×

Lista 7 de Atividades - Completar Quadrado do Trinômio

Calcular completando o quadrado e depois calcular a integral:


1- ∫ =+− 56² xx

xdx 2- ∫ =

+− 74² xx

dx

3- ∫ =+− 108²2 xx

dx 4- ∫ =

−+ 54² xx

xdx

5- ∫ =++ 148² xx

dx 6- ∫ =

−+ 2² xxx

dx


3 INTERGRAL DEFINIDA

3.1 Introdução

A integral indefinida surgiu com a formalização matemática dos problemas de área. Ela pode ser definida da seguinte maneira:

Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a até b, é denotada por:

∫b

adxxf )( , onde:

� a é o limite inferior de integração; � b é o limite superior de integração; � f(x) é o integrando.

Se f(x) > 0, ∫b

adxxf )( representa a área entre o eixo de x, a curva f(x), e as retas x = a e x = b, para a < x < b.

Figura 1

A= ∫b

adxxf )( .

Exemplo: =∫ dxx3

1

2

3

1

3

3

x= => cálculo da integral;


=−3

)1(

3

)3( 33

=> substituir o valor de x, na integral indefinida por a e b;

3

26

3

1

3

27=− => aritmética e resposta final.

Veja como fica o gráfico da integral acima:

Figura 2

Se f(x) > g(x), ∫ −b

axgxf )]()([ dx representa a área entre as curvas para a < x < b:

Figura 3


A= ∫ −b

adxxgxf )]()([

Exemplo: Identifique a área entre curvas nos intervalos definidos e calcule o valor destas áreas: f(x)=2x 2e g(x)=8; x=2 a x=-2.

A= ∫− −2

2

228( x )dx= ∫ ∫− −−

2

2

2

2

228 dxxdx => propriedade da soma de funções;

8x -

2

2

3

3

2

−

x= => cálculo da integral;

8(2)-3

)2(2 3

-

−−−

3

)2(2)2(8

3

= => substituir o valor de x, na integral indefinida por a e b;

3

16481648 −+−= au.

3

64. => aritmética e resposta final.

Verificando a área entre curvas:

Figura 4

Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f(x) uma função definida e contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F(x) uma primitiva de f(x). A integral definida de f(x) de a até b

denotado por ∫b

adxxf )( é determinada por:


∫b

adxxf )( = F(b) – F(a).

Exemplo 1: ∫ +−1

0

23 )]14( dxxx => aplicando a propriedade da soma de funções;

∫ ∫∫ +−1

0

1

0

1

0

23 4 dxdxxdxx => nosso próximo passo é o calculo da integral;

1

0

1

0

31

0

4

3.4

4x

xx+− .

Até agora, como você deve ter observado, calculamos a integral indefinida a qual já estávamos habituados, a partir de agora entramos no

calculo da integral definida propriamente dita. O que vamos fazer é substituir o valor de x, na integral indefinida por a e b, isto é vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Vamos ver?

)01(3

01.4

4

012344

−+

−−

− => agora é uma simples aritmética;

1

1

3

4

4

1+− =

12

12163 +− =

12

1− => essa é

nossa resposta final!

Exemplo 2: ∫ +

1

0 2 1x

xdx => iniciamos a resolução através da integração por substituição;

12 += xu → xdxdu .2=

xdxdu

=2

=> substituindo e resolvendo o calculo;

∫1

02

1

u

du=

1

0

ln2

1u =

1

0

2 1ln2

1+x =

1

0

2 1ln2

1+x = => agora só precisamos atribuir o valor de a e b para x;


( ) ( )[ ]00ln11ln.2

1 22 +−+ => temos um cálculo simples em mãos;

[ ]1ln2ln.2

1− = => É só resolver!

2ln.2

1 => e assim fica nossa resposta final.

3.2 Propriedades da integral definida:

1) ∫ =a

adxxf 0)( , pois ∫ =−==

a

a

a

aaFaFxFdxxf 0)()()()(

2) ∫ =b

adxxf )( ∫−

a

bdxxf )( , pois ∫ −=

a

bbFaFdxxf ).()()(

3) ∫ =b

adxxkf )( ∫

b

adxxfk )( -> essa é a propriedade do produto de uma constante pela função

4) ∫b

adxxf )( = ∫ ∫+

c

a

b

cdxxfdxxf )()( , a < c < b.

Como citado no inicio de nosso estudo, o cálculo integral, devidamente adaptado, possui aplicações diversas, entre estas o cálculo de áreas. A partir de agora, vamos ver algumas dessas aplicações.

Lista 8 de Atividades - Integral Definida

1- Calcular as integrais definidas:

a- ∫ =2

1

3dxx b- ∫ =+−

2

0

2 )53( dxxx


c- ∫ =+5

04dxx d- =∫ dxx

4

0

3

e- ∫ =−9

0

2 )9( dxx f- =+

∫ dxx

5

0 4

10

4 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

4.1 Cálculo da área de uma figura plana

Vamos começar pela aplicação que originou a definição desse conceito matemático: a determinação da área de uma região R de um plano.

Devemos sempre fazer um esboço do gráfico da região e adaptar a definição de integral definida para fazer acertadamente o cálculo. Vamos supor que R seja a região entre as funções f(x) e g(x) que são funções contínuas em um intervalo fechado [a,b] e que )()( xgxf ≥

para todo x em [a,b]. Logo a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a e a direita pela reta x=b, exatamente

como na ilustração a seguir, é calculada por: ( ) ( )( )dxxgxfb

a∫ − .

Figura 5 No caso da Figura5, S é uma região simples de se entender, para regiões mais complexas é necessária uma reflexão cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integração. Vamos calcular área dessas regiões? Para isso é importante seguir os seguintes passos:

Passo 1: Faça um esboço do gráfico da região, para que seja possível ver qual curva limita acima e qual curva limita abaixo.


Passo 2: Determine os limites de integração. Os limites a e b podem ser as abscissas x dos dois pontos de intersecção das curvas y=f (x) e y= g (x); para determiná-los basta igualar f(x) e g(x), ou seja, fazer f(x) = g(x) e resolver a equação resultante em relação à x.

Passo 3: Calcule a integral definida para determinar a área da região delimitada.

Vamos aplicar agora esse passo a passo!

Exemplo 1: Determine a área da região limitada pelas curvas: ( ) ( )6+== xxfy e ( ) 2

xxgy == .

Primeiro passo: esboço da figura.

Figura 6

Passo 2: igualar as funções f(x) e g(x), logo: 26 xx =+ ou 62 += xx que pode nos fornecer a seguinte equação: 062 =+− xx .

Aplicando a fórmula de Bhaskara é possível encontrar as raízes da equação: x= -2 e x=3, que serão os limites da nossa integração.

Pelo gráfico, podemos ver que 26 xx ≥+ , para todo x em [-2,3]. Passo 3: agora que temos nossos limites e a fórmula, vamos calcular a integral definida. Para tanto temos:

( ) ( )( )dxxgxfAb

a∫ −= => substituindo pelas funções e pelos limites.

( )( )dxxxA ∫− −+=3

2

26 ou ( )dxxxA ∫− −+=3

2

26 => calculando a integral indefinida primeiro

3

2

32

36

2−

−+=x

xx

A => substituindo x pelos valores de a e b

( ) ( ) ( )

−−−+

−−

−+=

3

22.6

2

2

3

33.6

2

33232

A => resolvendo:


( ) ( )

−−−+−

−+=

3

812

2

4

3

2718

2

9A =>

( )

−−−−

−+=

3

8122918

2

9A

( )

−−−−

+=

3

8109

2

9A =>

+−−

+=

3

830

2

189A

−−

=

3

22

2

27A =>

3

22

2

27+=A

+=

6

4481A =>

6

125=A u.a.

Logo, nossa resposta ficaria área limitada por: ( ) ( )6+== xxfy e ( ) 2xxgy == é

6

125 unidades de área (u.a).

Exemplo 2: Determinar a área da região limitada por: ( ) 4== xfy e ( ) 2xxgy ==

Passo 1: esboço da região.

Figura 7

Passo 2: Igualamos as funções f(x) e g(x): 24 x= ou 42 =x .

Logo, 4−+=x ou 2−

+=x , ou seja: 21 −=x e 22 +=x .

Dessa maneira: 2−=a e 2=b .

Passo 3: a região limitada por ( ) 4== xfy e ( ) 2xxgy == em [-2,2] será.

( ) ( )( )dxxgxfAb

a∫ −= => ( )dxxA ∫− −=2

2

24 => aplicando integral indefinida.

2

2

3

34

−

−=

xxA => substituindo x por a e b, e resolvendo.


( ) ( )

−−−−

−=

3

22.4

3

22.4

33

A => ( ) ( )

−−−−

−=

3

88

3

88A

( )

+−−

−=

3

88

3

88A =>

+−−

−=

3

824

3

824A

−−=

3

16

3

16A =>

3

32=A u.a

Assim, nossa resposta é: a área limitada por ( ) 4== xfy e ( ) 2xxgy == é

3

32 u.a.

Exemplo 3: Determinar a área da região limitada pela curva ( ) xxxfy 52 −== e o eixo x e as retas x=1 e x=3.

Passo 1: esboço da região:

Figura 8

Passo 2: Nessa situação já temos nossos a e b: a=1 e b=3. Passo 3: Como só temos o f(x), nossa resolução fica bem mais simples. Observe:

3

1

2 5∫ −= xxA => aplicando a integral indefinida.

Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 69 3

1

23

2.5

3

xxA −= => substituindo x por a e b e resolvendo.

−−

−=

2

1.5

3

1

2

3.5

3

3 2323

A =>

−−

−=

2

1.5

3

1

2

9.5

3

27A

−−

−=

2

5

3

1

2

459A =>

−−

−=

6

152

2

4518A

−−

−=

6

13

2

27A =>

+−=

6

1381A

6

34−=A =>

6

34=A u.a

Assim, nossa resposta é: a área limitada por ( ) xxxfy 52 −== , o eixo x e as retas x=1 e x=3 é 6

34 ua.

Exemplo 4: Determinar a área da região limita pela curva ( ) senxxfy == e pelo eixo x de 0 a 2π .

Passo 1: Esboço da região.

Figura 9

Passo 2: pelo gráfico acima, temos que determinar o limite da integração no intervalo [ ]π,0 , ( ) 0≥= senxxf e no intervalo [ ]ππ 2, , ( ) 0≤= senxxf .

Ou seja, nos temos dois intervalos.


Passo 3: Como temos dois intervalos é necessário calcular a integral em cada um, por isso calculamos duas vezes e somamos o resultado.

π

π

π 2

0∫∫ += senxdxsenxdxA => calculando a integral indefinida.

π

π

π 2

0coscos xxA −+−= => substituindo x por a e b e resolvendo.

( ) ( )πππ cos2cos0coscos −−−+−−−=A

( ) ( )( )111)1( −−−−+−−−−=A => 1111 −−+++=A

22 −+=A => 22 −+=A

22 ++=A => 4=A u.a Logo, a área da região limita pela curva ( ) senxxfy == e pelo eixo x de 0 a 2π é de 4 unidades de área.

Observação importante: Se calculássemos a integral definida de f(x) = senx de x = 0 a x = 2π obteríamos:

] 0)11()0cos2(coscos2

0

2

0=−−=−−=−=∫ π

ππ

xsenxdx , este seria o resultado da integral definida que não representaria o valor da área da região em

estudo... Pense um pouco e análise o gráfico e conclua porque deu zero. Pelo cálculo anterior é possível concluir que é muito importante a representação gráfica da região que se quer calcular a área.

Lista 9 de Atividades - Área de figuras planas

1- Encontre a área limitada pela curva y = 4-x² e o eixo dos x. Nos intervalos [-2,2], identifique o gráfico. 2- Calcule a área limitada pela curva y= -4+x² e o eixo dos x, nos pontos [-2,2], faça o esboço do gráfico. 3- Dada à função f(x)= 3x-9 e as retas x=0 e x=5, determinar a região limitada pela f(x) e o eixo x, no intervalo indicado. 4- Determine a área da região f(x)= 2x²-4x+6 e g(x)= x²+2x+1, no intervalo de x=1 a x=2. Identifique a região a ser calculada. 5- Identifique a área entre curvas nos intervalos definidos e calcule o valor destas áreas:


a) f(x)= 2x² e g(x)= 8 [-2,2] b) f(x)=13-3x² e g(x)=1 [-2,2] c) f(x)= x²-6x+12 e g)x)= 1 [0,4]


4.2 Cálculo do volume

O volume de um sólido desempenha um papel importante em muitos problemas nas ciências físicas, tais como, determinação de centro de

massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam formas simples. Nessa categoria, temos os sólidos de revolução. O sólido de revolução surge da rotação de uma região R do plano, em torno de uma reta, que recebe o nome de eixo de revolução, contida neste plano. Considerando que S, é o sólido que surge da rotação de R em torno do seu eixo, e que R limitado por ( )xfy = , o eixo x, e as retas ax = e bx =

gire em torno do eixo x. O volume V deste sólido é obtido por meio de:

∫=b

adxxfV )]²([π

Podemos provar que a fórmula acima está correta usando argumentos semelhantes aos que foram utilizados para calcular a área de uma região plana e limitada. Mas não é esse o nosso objetivo. Abaixo a figura da nossa função antes e depois da revolução.

Figura 10

Se o eixo de revolução for o eixo y e a região plana R for limitada pela curva ( )ygx = e as retas cy = e dy = , então o volume V do sólido de

revolução é dado por:

∫=d

cdyxgV )]²([π


Figura 11

Sejam ( )xf e ( )xg funções contínuas no intervalo [ ]ba, e suponhamos que ( ) ( ) 0≥≥ xgxf para todo [ ]bax ,∈ . Logo o volume de revolução

gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas ( )xfy = e ( )xgy = e as retas ax = e bx = é dado por:

[ ]{ }∫ −=b

adxxgxfV )]²([²)(π

Abaixo estão às figuras da região R e do sólido de revolução gerado.

Figura 12

Exemplo 1: A região limitada pela curva 2xy = , o eixo x e as retas 1=x e 2=x , sofre

uma rotação em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido de revolução gerado.


Figura 13

Passo 1: construir o gráfico da curva dada.

Passo 2: definir a função para o cálculo do volume, calcular sua integral indefinida e depois a definida.

( )( ) dxxfVb

a∫=2

π => substituindo pelos dados que temos.

( ) dxxV ∫=2

1

22π => calculamos sua integral indefinida.

2

1

5

5.x

V π= => calculamos sua integral definida.

( )1325

−=π

V => π5

31=V u.v (unidades de volume).

Exemplo 2: Calcule o volume do sólido obtido a partir da rotação da região limitada por y= x³ e pela reta y=8 em torno do eixo y. Passo 1: construir o gráfico da curva dada.

Figura 14

Passo 2: definir a função para o cálculo do volume, calcular sua integral indefinida e depois a definida.


A partir de 3xy = pode deduzir: 3

1

yx = . Portanto:

∫=d

cdyxgV )]²([π => dyyV ∫=

8

0

3 2][π => calculamos sua integral indefinida.

8

0

3

5

5

3yV

π= => V=

5

3π8 3

5

=> calculamos a sua integral definida.

5

96π=V u.v.


Exemplo 3: calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por 22 −= yx , 22 =− xy , 0=x e 1=x em torno do eixo x.

Passo 1: construir o gráfico da curva dada.

Figura 15

Passo 2: definir a função para o calculo do volume, calcular sua integral indefinida e depois a definida. Que nesse caso é:

( )( ) ( )( )[ ]dxxgxfVb

a∫ −=22

π => colocando na fórmula;

( ) dxxxV ∫

+−+=

1

0

222 1

2

12π => simplificando a função, calculamos a potência;

dxxxxV ∫

+−+=

1

0

243

4

3π => calculando a integral indefinida;

1

0

235

3212

3

5

+−+= x

xxxV π => calculando a integral definida;

+−+= 3

2

1

12

3

5

1πV => agora é só resolver;

20

59π=V u.v. => resultado.


Lista 10 de Atividades - Volume

1- Calcular o volume gerado pela revolução em torno de OX das áreas limitadas pelos lugares geométricos: a) y=x³ ; x =0 a x =3. b) ay² = x³; x =0 a x =a c) y²= (2-x)³; x =0 a x =1. d) y = x+1 [0,2] e) y= x² + 1 [0,2] 2- A área é girada em torno de OY, calcular o volume de revolução limitado pelos lugares geométrico: a) 2y²=x³ [0,2]

b) y= x [0, 2 ] c) y= 3x+2 [2,11]


4.3 Área da superfície de revolução

Considerando uma curva suave, que esteja acima do eixo x. A rotação dessa curva em eixo x gera uma superfície de revolução. No gráfico abaixo,

obtemos uma superfície de revolução da curva 2

1

xy = em torno do eixo x, com x variando no intervalo [ ]3,1

Figura 16

Ao fazermos um arco de curva girar em torno da reta situada em um mesmo plano que ele, a superfície obtida recebe o nome de superfície de revolução.

Da mesma forma que o volume de um sólido de revolução, na superfície de revolução tem-se o problema para calcular a área desta superfície. Pode-se obter uma aproximação para esta área em torno do eixo x, de uma das poligonais usadas para aproximar o comprimento do arco descrito pela curva geratriz da superfície original. Em cada um dos subintervalos considerados esta rotação gerará um tronco de cone, como a figura abaixo.

Figura 17

Assim, considerando o problema de determinar a área da superfície de revolução S obtida quando uma curva C de equação εxxfy ),(= [a,

b] gira em torno do eixo dos x, como na figura abaixo:


Figura 18 Vamos supor que f(x) ≥ 0, para todo xε [a,b], e que f é uma função derivável em [a,b]. Definição: Seja C uma curva de equação y=f(x), onde f e f” são funções contínuas em [a,b] e f(x) ≥ 0, εx∀ [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, e é definida por:

A= lim0→∆ ixmáx

2π ∑=

+n

i

difcif1

)]²('[1)( ix∆ .

Assim, é possível mostrar que o limite da função é a integral desta função. Temos, então:

A= 2π ∫ +b

axfxf )]²('[1)( dx.


Se passarmos a considerar uma curva x = g(y), yε [c, d] girando em torno do eixo dos y, como na figura 17:

Figura 19

A área será dada por:

A= 2 ∫ +d

cygyg )]²('[1)(π dy.


Exemplo 1: Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por xy .4= , 44

1≤≤ x .

Resolução: A derivada de f(x) será:

xy .4= = 2

1

.4 xy = =>

12

1

.2

1.4'

−

= xy => 2

1

.2'−

= xy => x

y2

'=

Logo:

( )[ ] dxxfyAb

a∫ +=2

'12π => colocando na fórmula e simplificando.

dxx

xA ∫ +=4

41

4142π => dx

x

xxA ∫

+=

4

41

442π

dxxA ∫ +=4

41

48π => calculando a integral indefinida.

( )

4

41

23

2

3

4.8

+=

xA π => ( )

4

41

23

4.3

2.8 += xA π

( )4

41

23

4.3

16+= xA

π => substituindo x;

( )

+−+=

23

23

44

144

3

16πA => ( )

+−=

23

23

4

1618

3

16πA

−= 17.

4

1

4

178.8

3

162

2πA =>

−= 17

2

1.

4

172.28

3

16 2πA


−= 17

8

17816

3

16πA =>

−=

8

17178128

3

16πA

( )171781283

2−=

πA unidades de área.


Exemplo 2: Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo y, da curva dada por 3yx = , 10 ≤≤ y .

Resolução: A derivada de g(y) será: 3yx = =>

23' yx =

Logo:

( )[ ] dyygygAd

c∫ +=2

'1)(2π => colocando na fórmula e simplificando.

( ) dyyyA ∫ +=1

0

223 312π => dyyyA ∫ +=1

0

43 912π

Vamos calcular a integral indefinida agora, utilizando o método por partes. Logo, atribuímos para 491 yu += , então dyydu

336= =>

dyydu 3

36= .

Substituindo e simplificando para facilitar a resolução:

∫=1

0.

362 u

duA π => duuA .

36

12

1

0

12

1

∫+

= π

Calculando a integral indefinida: 1

0

2

3

3

2.

36

12 cuA += π =>

1

0

2

3

54

12 CuA += π

Substituindo pelo valor de u.

( )1

0

4 2

3

9154

12 CyA ++= π => ( ) ( )2

34

2

34 0.911.91

54

12 +−+= πA

( ) 11054

12 2

3

−= πA => ( )110.10.54

12 2 −= πA

( )11010.27

−=π

A unidades de área.

Ou pelo método de substituição:

Faça 491 yu += então

336ydu =

Que substituindo obteremos:


dyyyA ∫ +=1

0

43 912π => ∫=1

0

2

1

362

duuA π = =

1

0

2

3

2

336

12

u

=1

0

2

3

)91(

3

2

36

12

y+ = 1

0

2

3

)91(

27

1 y+ = =

+−+ 2

3

2

3

)01()91(27

1

=

− )1()10(

27

12

3

= [ ]1101027

1− u.a


Lista 11 de Atividades - A área de superfície de revolução

1- Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo OX do arco da curva y²=2x, de x=0 a x=4.

2- Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo OY, do arco da curva y= 3 x de y=0 a y=2.

3- A curva y= ²4 x− , -1≤ x ≤ 1, é um arco do círculo x²+y²= 4. Encontre a área da superfície obtida pela rotação desse arco ao redor do eixo x.

4- Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e x , 0 ≤ x ≤ 1, ao redor do eixo x. 5- Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de f(x) = sen x, 0≤ x ≤ π .

6- Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo x, do arco da curva

+=

=

tx

yy

24

;2 => [t=0 à t=2]

4.4 Comprimento de arco

Vamos apresentar a seguir o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Para f(x) uma função contínua no intervalo fechado [ ]ba, . Vamos considerar o gráfico da função ( )xfy = .

Figura 20


Seja C uma curva de equação y=f(x), onde f é uma função contínuas e derivável em [a,b]. O comprimento da curva C, do ponto ( )( )afaA ,

ao ponto ( )( )bfbB , , que denotamos por s, é dado por:

A= lim0→∆ ixmáx

i

n

i

xcif ∆+∑=1

)]²('[1

Se o limite à direita existir. Então, pela definição da integral definida temos:

∫ +=b

adxxfs .)]²('[1

Vamos ver alguns exemplos?

Exemplo 1: Determinar o comprimento de um arco da curva dada pela função: 12

+=x

y , 30 ≤≤ x .

Resolução: 12

+=x

y => 2

1' =y

Colocando na fórmula:

( )( ) dxxfsb

a∫ +=2

'1 => dxs ∫=3

0 4

5

� Calculamos a integral indefinida, nesse caso 4

5 é uma constante.

3

04

5xs = => podemos retirar o denominador de dentro da raiz.

3

025

xs = => calculamos a integral definida.

52

3=s u.c. => resposta final.

Logo, o comprimento de 12

+=x

y , para 30 ≤≤ x é dada por 52

3=s unidades de comprimento.


Exemplo 2: Calcule o comprimento do arco da curva x 4 -24xy + 48 = 0 de x= 1 a x= 2. Resolução: primeiro vamos simplificar nossa função principal.

4x - 24xy + 48= 0 =====> y=

x

x

24

484 + =

x

xy

2

24

3

+= Agora vamos derivá-la,

2

2 2

8'

x

xy −= =====>

2

4

8

16'

x

xy

−=


( ) dxysb

a∫ +=2

'1 => dxx

xs ∫

−+=

2

1

2

2

4

8

161 => calculamos a potência.

( )dxxxx

s ∫ −++=2

1

48

432256

64

11 => ∫

+−+2

1 4

484

64

2563264dx

x

xxx

∫++

=2

1

28

²8

25632

x

xxs => dx

x

xs ∫

+=

2

1 2

4

8

)²16(

.

dxx

xs

²8

1642

1

+= ∫ => ∫

+= −

2

1

22

8

²dxx

xs

2

1

2

24

³

x

xs −= ==> calculando a integral definida.

==> ..24

31aus =

Exemplo 3: Calcular o comprimento do arco da curva dada por 42

3

−= xy de ( )3,1 −A até ( )4,4B .

Resolvendo: primeiro vamos derivar nossa função principal.

42

3

−= xy => 2

1

2

3' xy =

−−

−= 2

24

11

3

1s



( ) dxysb

a∫ +=2

'1 => dxxs ∫

+=

4

1

2

2

1

2

31 => calculamos a potência.

dxxs ∫ +=4

1 4

91 => dxxs ∫

+=

4

1

2

1

4

91 => calculamos a integral indefinida.

4

1

2

3

2

3

4

91

.9

4

+

=

x

s =>

4

1

2

3

4

91.

3

2.

9

4

+= xs

4

1

2

3

4

91.

27

8

+= xs => aplicando o Teorema do Cálculo;

2

3

2

3

1.4

91.

27

84.

4

91.

27

8

+−

+=s =>

2

3

2

3

4

91.

27

8

4

361.

27

8

+−

+=s

( )2

3

2

3

4

94.

27

891.

27

8

+−+=s =>

2

3

2

3

4

13.

27

810.

27

8

−=s

3

3

4

13

27

810

27

8

−=s =>

4

13.

4

13

27

810.10

27

82

2

−=s

4

13

4

13.

27

81010.

27

8−=s =>

4

13.

108

10410

27

80−=s

2

13.

27

2610

27

80−=s => 13

27

1310

27

80−=s

Resposta final: 1327

1310

27

80−=s unidades de comprimento.


Lista 12 de Atividades: Comprimento de arco

1- Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y²= x³ entre os pontos (1,1) e (4,8).

2- Calcule o comprimento da curva y = 2

²x, 0 ≤ x ≤ 1.

3- Calcule o comprimento do arco y= ln secx no intervalo fechado [0,4

π].

4- Dada à função f: [0,4] → IR definida por xxxf =)( , calcular o comprimento de arco de f.

5- Calcular o comprimento da circunferência de raio 3, centrada no ponto (0,0), x²+y²=9. O gráfico da função f: [-3,3] → IR dada por ²9)( xxf −= é a

metade da circunferência.

4.5 Trabalho W

O conceito de força é usado na Física para o ato de mover determinado objeto. Assim, a força utilizada pode ser constante ou variável. A força é constante para levantar um objeto do solo, por exemplo, e variável para empurrar um automóvel. Se a força é constante determinamos o trabalho W realizado por F sobre o objeto utilizando a fórmula. Onde, F é a força aplicada ao objeto fazendo que este objeto tenha um movimento até a distância d.

W = F × d Se a força for variável, definimos W usando a integral definida.

5.5.1 Trabalho com força variável

Um objeto se desloca sobre um eixo L e sofre uma força variável F. Suponhamos que F=F(x) é uma função contínua em [a, b]. Para definir o trabalho realizado pela força F no objeto, quando este tenha um deslocamento de x = a até x = b, com a < b.


Consideramos uma partição P de [a, b], dada por: a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x 1−i < x i < ...< x n = b

Assim, c i um ponto qualquer do intervalo [x 1−i , x i ] e ∆x i = x i - x 1−i .

Dessa forma a aproximação do trabalho realizado pela força F = F(x) sobre o objeto, quando se desloca de a até b é dado por:

W= ∑=

n

i 1

F(c i ) ∆x i .

Pode-se observar que á medida que n cresce e cada xi∆ →0, a soma se aproxima do trabalho total W, realizado pela força F(x) sobre o

objeto, quando este tem um deslocamento de a até b. Como é uma soma de Riemann da função contínua F(x), podemos definir W por:

W = ∫b

adxxF .)(

Lembrete: Soma de Riemann Sejam f uma função definida em [a,b] e P: a = x

0 < x 1 < x 2 <... < x 1−i < x

i< ...< x

n= b uma partição de [a, b]. Para cada índice i (i = 1, 2, 3,...

n) seja cium número em [x

1−i , xi] escolhido arbitrariamente.

Dessa maneira, o número ∑=

n

i 1

F(c i ) ∆x i = nn xcfxcfxcf ∆++∆+∆ )(...)()( 2211 denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P a aos

números c i . Então, por definição:

∫ =b

adxxf )( lim

0→∆ ixmáx

ii

n

i

xcf ∆∑=

)(1


Se ∫ =b

adxxf )( existe então f é integrável em [a, b].

Exemplo 1: Uma criança rolando uma pedra utiliza uma força de 120 + 25 senx Newtons sobre ela, quando está rola x metros. Quanto trabalho deve a criança realizar, para fazer a pedra rolar 2 m?

Resolução: Usando a fórmula W = ∫b

adxxF .)( , temos:

W = ∫ +2

0)25120( dxsenx => W= (120x – 25 cos x) ∫

2

0

W= 120 x 2 – 25 cos 2 – 120 x 0 + 25 cos 0 => W= 240 – 25 cos2 + 25 W= (265 – 25 cos2) Nm ( Newtons x metros= Joules).

Exemplo 2: Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox atua uma força paralela ao deslocamento e de componente f(x)= 2

1

x. Calcule o trabalho

realizado pela força no deslocamento de x = 1 até x = 2.

Resolução :

O trabalho realizado por F→

de x = 1 até x = 2 é W = .2

1112

1

2

1 2J

xdx

x=

−=∫



1- a) Quanto trabalho é feito quando se levanta um livro de 1,2 kg do chão até uma carteira de altura 0,7 m? Use o fato de que a aceleração da gravidade é g= 9,8 m/s². b) Quanto trabalho é feito levantando-se um peso de 20 lb a uma altura de 6 pés do chão? 2- Quando uma partícula está localizada a uma distância de x pés da origem, uma força de x² +2x lb age sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo-a de x= 1 a x= 3? 3- Uma força de 40N é necessária para manter uma mola esticada de seu comprimento natural de 10 cm para um comprimento de 15 cm. Quanto trabalho é feito esticando-se a mola de 15 cm para 18 cm? 4- Um cabo de 200 lb tem 100 pés de comprimento e está pendurado sobre a borda de um edifício alto. Qual trabalho necessário para puxar o cabo para o topo do edifício?

4.6 Pressão hidrostática e força

Mergulhadores notam que quanto mais profundo o mergulho, mais a pressão da água aumenta. Isso ocorre pelo peso da água em cima deles. Suponhamos uma placa fina com área A por metros quadrados seja submersa em um fluido de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma

profundidade d metros abaixo da superfície do fluido, como na figura:

Figura 21

O fluido diretamente acima da placa tem um volume V= Ad, assim sua massa é m= ρ V = ρ Ad. A força exercida pelo fluido na placa é,

portanto: F= mg = ρ gAd

Onde, g é a aceleração da gravidade. A pressão é medida em Newtons por metro quadrado, que é chamada pascal (1 N/m 2 = 1Pa) e como essa é uma unidade muito pequena, o Kilopascal (kPa) é mais usado. A pressão P na placa é definida como a força por unidade de área:


P= gdA

Fρ= = dσ

Um princípio importante da pressão de fluidos é o fato de em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Isso

possibilita determinar a força hidrostática contra uma placa vertical ou parede de uma represa em um fluido.

Exemplo 1: Uma represa tem formato do trapézio. A altura é 20m, e a largura é de 50m no topo e 30m no fundo. Calcule a força na represa devido à pressão hidrostática da água se o nível de água está a 4m do topo da represa.

Figura 22

Solução: Escolhemos um eixo vertical x com origem na superfície da água, como na figura 21(a). A profundidade da água é de 16 m, assim dividimos o intervalo [0,16] em subintervalos de igual comprimento com extremos ix e escolhemos ].,[* 1 iii xxx −ε A i-ésima faixa horizontal da represa é

aproximada por um retângulo com altura x∆ e largura iw , onde, por similaridade de triângulos na figura 21(b).

Figura 23

Desta forma temos:


20

10

*16=

− ix

a ou

2

*8

2

*16 ii xxa −=

−=

e assim, =iw 2(15+a) = 2(15+8- *2

1ix ) = 46 - *ix .

Se Ai é a área da i-ésima faixa, então: .*)46( xxxwiAi i ∆−=∆= Se x∆ é pequeno, então a pressão P i na i-ésima faixa é praticamente

constante, e podemos usar a equação para escrever:

P= gdA

Fρ= = dσ ====> P i =1.000g *ix

A força hidrostática Fi agindo na i-ésima faixa é o produto da pressão pela área:

xxgxPiAiFi ii ∆−== *)46(*000.1

Adicionando essas forças e tomando o limite quando n → ∞, obtemos a força hidrostática total na represa:

∫ ∆−16

0)46(1000 xxgx = 1.000(9,8) =−∫ dxxx )46(

216

0 9.800

16

0

32

323

−

xx = 4,43 x 10 7 N.

4.7 Momentos e Centros de Massa

O objetivo aqui é localizar o ponto P, onde uma fina placa de qualquer formato se equilibra horizontalmente, que é chamado centro de massa. Consideramos duas massa m1 e m 2 fixas e equilibradas em um bastão de massa desprezível em lados opostos. Logo, 2211 dmdm = e o eixo ficará em

equilíbrio como na figura:

Figura 24


Agora considere um sistema de n partículas com massas m1 ,m 2 ,....,m nnos pontos ( ),),...(,(),, 2211 nn yxyxyx no plano xy. Por analogia com o caso

unidimensional, definimos o momento do sistema com relação ao eixo y como:

∑=

=n

i

ii xmMy1

E o momento do sistema com relação ao eixo x como:

∑=

=n

i

iix ymM1

Então My mede a tendência de o sistema girar ao redor do eixo y e Mx mede a tendência de ele girar ao redor do eixo x. As coordenadas ( x , y )

do centro de massa são dadas em termos dos momentos pelas fórmulas:

m

Myx =

m

Mxy =

Considerando uma placa plana com densidade uniforme ρ ocupa uma região R do plano. O centro da massa da placa é chamado centróide. Para

encontrar o centro da massa usamos o princípio da simetria que diz que R é simétrico ao redor da reta l, desta forma R permanece fixo. Então o centróide de um retângulo é seu centro.

Em resumo, o centro de massa da placa ( ou o centróide de R) está localizado no ponto ( x , y ), onde:

∫=b

adxxxf

Ax )(

1 [ ]∫=

b

adxxf

Ay

2)(

2

11

Exemplo 1: Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3,4 e 8 nos pontos (-1,1), (2,-1) e (3,2).

Solução: usamos as equações: ∑=

=n

i

ii xmMy1

e ∑=

=n

i

iix ymM1

, para calcular os momentos:

My = 3(-1) + 4(2) + 8(3)= 29 Mx = 3(1) + 4(-1) + 8(2) = 15


Como m = 3 + 4 +8 = 15, usamos a equação m

Myx = e

m

Mxy = para obter:

m

Myx = =

15

29

m

Mxy = = 1

15

15=

Exemplo 2: Calcule o centro da massa de uma placa semicircular de raio r.

Solução: Colocamos o semicírculo de modo que f(x)= 22xr − e a= -r, b= r. O centro da massa deve estar sobre o eixo y, e dessa forma, 0=x . A

área do semicírculo é A=2

πr 2 e assim:

[ ]∫− ==r

rdxxf

Ay

2)(

2

11 ∫− =−×

r

rdxxr

r

222

2)(

2

1

2/

1

π =−∫ dxxr

r

r

²)²(2

02π

rx

xrr 0

2 3

³²

2

−

π=

3

³2

²

2 r

rπ= .

3

4

π

r

O centro da massa está localizado no ponto [0,4r/ (3 )]π .


As atividades se referem a: Pressão Hidrostática e Força; Momentos e Centros de Massa. 1- Uma chapa semicircular de 0,2 m de raio acha-se submersa verticalmente num líquido. Determinar a força exercida sobre um lado da chapa, sabendo-se que o líquido pesa 10 4 N por m 3 . 2- Uma barra mede 6m de comprimento. A densidade linear num ponto qualquer da barra é proporcional à distância desse ponto a um ponto q, que está sobre o prolongamento da linha da barra, a uma distância de 3m da mesma. Sabendo que na extremidade mais próxima a q, a densidade linear é 1kg/m. Determinar a massa centro de massa.

3- Encontre o centróide da região limitada pelas curvas y= cos x, y=0; x=0 e x= .2

π


4- Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3,4 e 8 nos pontos (-1,1), (2,-1) e (3,2). 5- Calcular o momento de uma viga homogênea de 2 metros de comprimento e massa 100Kg, em relação a uma de suas extremidades.

6- Calcular o momento correspondente à região do plano situada entre a curva y=1

1

+x, os eixos coordenados e a reta x=3, em relação à origem, sendo

x e y dados em metros.

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