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ESTTICA

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En Esttica, cuerpos grandes o pequeos pueden ser considerados como PARTCULAS cuando el tamao y la forma de estos no afectan en la solucin del problema. En tales condiciones, la masa del cuerpo se puede considerar concentrada en un pun-to. Como en un cuerpo que se considera punto material se supone que la masa est concentrada en un punto y que puede prescindirse de su forma y tamao, dicho cuerpo podr estar sometido solamente a un sistema de fuerzas concurrentes. En esta unidad estudiaremos el efecto de las fuerzas que actan sobre las partculas. Aprenderemos a sustituir dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula por una sola.

1. FUERZA SOBRE UNA PARTCULA

Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicacin, magnitud o mdulo y direccin. Pero las fuerzas sobre una partcula tienen el mismo punto de aplicacin. Por tanto, cada fuerza considerada en esta unidad estar completamente definida por su magnitud o mdulo y direccin. La magnitud o mdulo de una fuerza se caracteriza por cierto nmero de unidades. Las unidades del SI usa-das por los ingenieros para medir la magnitud de una fuerza son el newton (N) y su mltiplo el kilonewton (kN), mientras que las unidades del sistema de uso co-mn en Estados Unidos, empleadas con el mismo fin, son la libra (lb) y su mltiplo la kilolibra (kip), igual a 1000 lb. La direccin de una fuerza se define por la lnea de accin y el sentido de la fuerza. La lnea de accin es la lnea recta infinita a lo largo de la cual acta la fuerza; se caracteriza por el ngulo que forma con algn eje fijo (fi-gura 1).

Fig. 1

La fuerza en s se representa por un segmento de esa l-nea; mediante el uso de una escala apropiada, puede es-cogerse la longitud de este segmento para representar la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definicin de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las mostradas en las ( Fig. 1), que tienen la misma magnitud y la misma lnea de accin pero diferente sentido, tendrn efectos opues-tos sobre una partcula.

2. RESULTANTE DE DOS FUERZAS

La evidencia experimental muestra que dos fuerzas y que actan sobre una partcula A (Fig. 2.a) pueden susti-

tuirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partcula (Fig. 2.c).

A esta fuerza se le llama resultante de las fuerzas y y puede obtenerse, como se muestra en la figura 2.b,

construyendo un paralelogramo con y como lados. La diagonal que pasa por A re presenta la resultante. Esto se conoce como la ley del paralelogramo para la adi-cin de dos fuerzas, y se basa en la evidencia experimen-tal; no puede probarse ni derivarse de manera matemti-ca.

3. ESCALARES Y VECTORES

Todas las cantidades fsicas en ingeniera pueden medir-se mediante escalares o vectores.

3.1. ESCALARES

Es cualquier cantidad fsica positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de canti-dades fsicas.

3.2. VECTORES

Los vectores se definen como expresiones matemticas que poseen magnitud, direccin y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vec-tores se representan por flechas, la magnitud de un vec-tor determina la longitud de la flecha correspondiente. Un vector con el que se representa una fuerza que acta sobre una partcula tiene un punto de aplicacin bien de-finido, a saber, la partcula misma. A tal vector se le lla-ma vector fijo o ligado, y no puede cambiarse su posicin sin modificar las condiciones del problema. Sin embargo, otras cantidades fsicas, como los pares se pueden repre-sentar por vectores que pueden moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les conoce como libres. Existen otras cantidades fsicas, como las fuerzas sobre un cuerpo rgido que estn representadas por vectores que pueden moverse o deslizarse a lo largo de su lnea de accin; a stos se les conoce como vectores deslizan-tes. Dos vectores de la misma magnitud, direccin y sentido se dice que son iguales, tengan o no el mismo punto de aplicacin (Fig. 3); los vectores iguales pueden represen-tarse por la misma letra.

(a) (b)

(c)

A

A

A

Fig. 2 (c)

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ESTTICA

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El vector negativo de un vector se define como aquel

que tiene la misma magnitud que y una direccin

opuesta a la de (Fig. 4); el negativo del vector se re-

presenta por . A los vectores y se les llama vec-tores iguales y opuestos. Se tiene:

4. OPERACIONES CON VECTORES

4.1. SUMA DE VECTORES

En la seccin anterior se vio que, por definicin, los vec-tores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo.

As, la suma de dos vectores y se obtiene uniendo los dos vectores al mismo punto A y construyendo un pa-

ralelogramo que tenga por lados a y a (Fig. 5). La diagonal que pasa por A representa la suma vectorial de

y , y se representa por .

Puesto que el paralelogramo construido con los vectores

y no depende del orden en que y se seleccio-nen, se concluye que la adicin de dos vectores es con-mutativa, y se escribe:

A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro mtodo para determinar la suma de dos vectores.

Este mtodo llamado regla del tringulo se obtiene como sigue: considrese la figura 5, donde la suma de

los vectores y ha sido determinada por la ley del pa-ralelogramo. Puesto que el lado del paralelogramo o-

puesto a es igual a en magnitud y direccin, se po-dra dibujar slo la mitad del paralelogramo (Fig. 6.a). De esta manera, la suma de los dos vectores puede encon-

trarse colocando y de punta a cola y uniendo la cola

de con la punta de . En la Fig. 6.b se considera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el mismo re-sultado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial es conmutativa. La resta de un vector se define como la adicin del vec-tor negativo correspondiente. De manera que el vector

que representa la diferencia de los vectores y

se obtiene agregndole a el vector negativo . (Fig. 7). Se escribe:

Ahora se considerar la suma de tres o ms vectores.

La suma de tres vectores se obtendr por defi-

nicin, sornando primero los vectores y agregan-

do el vector al vector . De manera que:

En forma semejante, la suma de cuatro vectores se obtiene agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Por consiguiente, la suma de cualquier nmero de vectores se puede obtener al aplicar en forma repeti-da la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vecto-res, hasta que todos los vectores sean sustituidos por uno solo.

4.2. PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR

Como es conveniente representar la suma como

, a la suma como , y en general a la su-

ma de n vectores iguales como el producto , se de-

finir el producto de un entero positivo n y un vector

, como un vector que tiene la misma direccin que y

magnitud (lase n veces P). Al ampliar esta definicin para incluir a todos los escala-res y si recordamos la definicin de un vector negativo

dada en la anteriormente, se define el producto de

un escalar k y un vector como un vector que tiene la

misma direccin y sentido que (si k es positivo), o la

misma direccin pero sentido opuesto al de (si k es ne-gativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k (Fig. 8).

Fig. 3 Fig. 4

A

A

A

Fig. 6

Fig. 5

(a)

(b)

(1)

(2)

Fig. 7

(3)

t

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Fig. 8

4.3. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURREN-TES.

Considrese una partcula A sujeta a varias fuerzas co-planares, es decir, a varias fuerzas contenidas en el mis-mo plano (Fig. 9.a). Como todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes los vectores que repre-sentan las fuerzas que actan sobre A pueden sumarse con la regla del polgono (Fig. 9.b). Puesto que el uso de la regla del polgono es equivalente a la aplicacin repe-

tida de la ley del paralelogramo, el vector obtenido re-presenta la resultante de las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre la partcula A que las fuerzas dadas. Como se indico antes, no importa el orden en el que se sumen

los vectores que representan las fuerzas sobre la partcula.

Fig. 9

4.4. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES.

Se ha visto que dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula pueden sustituirse por una sola fuerza que pro-duce el mismo efecto sobre la partcula. De la misma

manera, una sola fuerza que acta sobre una partcula puede remplazarse por dos o ms fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partcula. A estas fuerzas

se les llama componentes de la fuerza original , y al

proceso de sustituirlas en lugar de se le llama descom-

posicin de la fuerza en sus componentes.

Fig. 10

En este sentido, para cada fuerza existe un nmero in-finito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de

dos componentes son los ms importantes en cuanto a aplicaciones prcticas se refiere. Pero aun en

este caso, el nmero de formas en las que una fuerza puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (Fig. 10). Dos casos son de especial inters:

1) Una de las dos componentes, , se conoce. La se-

gunda componente, , se obtiene aplicando la regla

del tringulo y uniendo la punta de a la punta de

(Fig. 11); la magnitud, la direccin y el sentido de se determinan grficamente o por trigonometra. Una

vez que se ha determinado, ambas componentes

y deben aplicarse en A.

Fig. 11

2) Se conoce la lnea de accin de cada una de las com-

ponentes. La magnitud y el sentido de las componen-tes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y

trazando lneas, por la punta de , paralelas a las l-neas de accin dadas (Fig. 12). De esta forma se ob-

tienen dos componentes bien definidas y , que pueden determinarse grficamente o por trigonome-tra aplicando la ley de los senos.

Fig. 12

.

A

A

A

A

(a) (b)

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1. Determine la magnitud de la fuerza resultante

R 1 2F F F y su direccin, medida en sentido contrario al

de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

HIBBELER 12 2.1

2. Las dos fuerzas y actan sobre el perno A. Determi-ne su resultante.

BEER 9 Eje 2.1

3. Determine la magnitud de la fuerza resultante

R 1 2F F F as como su direccin, medida en sentido

contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x po-sitivo.

HIBBELER 12 2.3

4. La magnitud AF 80 lb y el ngulo 65 . La magni-

tud A BF F 120 lb . Determinar grficamente la magni-

tud de BF .

BEDFOR 5 2.8 - 28

5. Resuelva la fuerza 2F en componentes que acten a lo

largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes.

HIBBELER 12 2.4 /5/6

6. Determinar las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 1000 N de la figura.

RILEY 2.17

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7. La placa est sometida a las dos fuerzas en A y B, como se muestra. Si 60 , determine la magnitud de la re-

sultante de esas dos fuerzas y su direccin medida desde la horizontal.

HIBBELER 12 2.7 /8

8. Dos fuerzas y se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 60 N y Q = 25 N, de-termine en forma grfica la magnitud y la direccin de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la re-gla del tringulo.

BEER 9 2.1

9. La fuerza vertical F acta hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de

las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F=500N .

HIBBELER 12 2.9 /10

10. El ngulo 50 . Determine grficamente la magnitud

del vector ACr .

BEDFOR 5

11. La fuerza que acta sobre el diente del engrane es

F 200lb . Resuelva esta fuerza en dos componentes

actuando a lo largo de las lneas aa y bb.

HIBBELER 12 2.11/12

12. Se aplican dos fuerzas a un anclaje en la forma que se

indica en la figura. La resultante R de las dos fuerzas tienen por mdulo 1000 N y su recta soporte est dirigida

segn el eje x. Si la fuerza 1F tiene por mdulo 250 N,

determinar:

A. El mdulo de la fuerza 2F .

B. El ngulo que forma la recta soporte de la

fuerza 2F con el eje x.

RILEY eje 2.3

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13. La fuerza de 500 lb que acta sobre la estructura debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la componente de fuer-za a lo largo de AC debe ser de 300 lb, dirigida de A a C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ngulo de la fuerza de 500 lb.

HIBBELER 12 2.13

14. Los tirantes del cable AB y AD ayudan a sostener al poste AC. Si se sabe que la tensin es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine grficamente la magnitud y la direccin de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del tringulo.

BEER 9 2.3

15. El poste va a ser extrado del terreno usando dos cuerdas A y B. La cuerda A estar sometida a una fuerza de 600 lb y ser dirigida a 60 desde la horizontal. Si la fuerza resultante que actuar sobre el poste va a ser de 1200

lb, vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ngulo .

HIBBELER 12 2.14

16. Se aplica dos fuerzas en el gancho de apoyo que se

muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de es 35 N, determine por trigonometra a) el ngulo

re-

querido, si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal, y b) la magnitud corres-pondiente de R.

BEER 9 3.7

17. Dos fuerzas son aplicadas en el extremo de una armella

roscada para extraer el poste. Determine el ngulo

0 90 y la magnitud de la fuerza F para que la

fuerza resultante sobre el poste est dirigida verticalmen-te hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N.

HIBBELER 12 18.

18. Determinar las magnitudes de las componentes u y v

de la fuerza de 900 N representada en la figura.

RILEY eje 2.2.