INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA

ANTONIO JOS DE SUCRE

BARQUISIMETO EDO LARA

Estudiante: kariangel Rincn

Aula: 1S1

Se define momento angular de una partcula respecto del punto

O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector

momento

lineal mv

L = r m v

Momento angular de una particular

Momento angular de un solido rgido

Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje

fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una

velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia.

que describen vi = w ri

Teorema de Steinerfrmula que permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto

de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de

inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del slido

respecto de un eje que pasa por O

es

El momento de inercia respecto

de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que

relacionar ri y Ri

.

Ejemplos:

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m

y radio r simtrica-mente dispuestas a una distancia d del eje de rotacin

que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.

Un pndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de formacilndrica de masa m y radio r. El pndulo puede oscilar alrededor de un ejeperpendicular a la varilla que pasa por su extremo O

Energa cintica de rotacin

La energa cintica total es la suma de las energas cinticas de

cada una de las partculas. Esta suma se puede expresar de

forma simple en trminos del momento de inercia y la velocidad

angular de rotacin

Movimiento giroscpico

Un girscopo es un dispositivo mecnico

que sirve para medir, mantener o

cambiar la orientacin en el espacio de

algn aparato o vehculo.

Esta formado por:

Cuerpo con simetra de

rotacin que gira alrededor

del eje de dicha simetra

tiene un comportamiento

aparentemente paradjico

cuando cambia de

orientacin

Propiedades

inercia

giroscpica

precesin

Descripcin del efecto giroscpico

Supongamos un girscopo formado por un disco montado sobre un eje

horizontal, alrededor del cual el disco gira libremente a gran velocidad,

Un observador mantiene el eje del fondo con la mano izquierda y el eje de

delante con la mano derecha

Si el observador trata de hacer girar el eje hacia la derecha (bajando la mano

derecha y subiendo la mano izquierda) sentir un comportamiento muy curioso,

ya que el girscopo empuja su mano derecha y tira de su mano izquierda

El observador acaba de sentir el efecto giroscpico.

Ejercicios

1. Determina el momento angular de un satlite que se encuentra a 1000 km

sobre la superficie de la Tierra respecto al centro de la misma sabiendo

que su masa es de 1200 kg y describe una rbita completa cada 87

minutos. El radio de la Tierra es de 6.37106 m.

Datos:

Radio de la Tierra: Rt = 6.37106 m

Altura sobre la Tierra: h = 1000 km =106m

Masa del satlite: m = 1200 kg

Velocidad angular: 1 revolucin cada 87 minutos = 1/87 r.p.m => =287

rad/min = 287 /60=2610rad/s

Solucin:

Podemos considerar el satlite como una partcula puntual para

resolver este problema, pues la trayectoria que describe es mucho

mayor que su tamao. La expresin del momento angular es:

L =r p =r mv

Por otro lado, podemos calcular el valor de dicho momento angular

teniendo en cuenta que en el movimiento circular, el ngulo que forman

r y v es de 90. Aplicamos la expresin:

Donde hemos tenido en cuenta que r, la distancia del satlite al centro de la

Tierra, es la suma del radio de la Tierra ms la altura a la que se encuentra

el satlite sobre la superficie de la misma. La direccin de L ser perpendicular al plano en el que gira el satlite y para determinar el sentido

aplicaramos la regla de la mano derecha si nos diesen el sentido de giro del

satlite.

L =|r mv |=rmvsin(90)=rmv=rmr=r2m=

=(Rt+h)2m= (6.37106+106)212001610=127.181012 kgm2s1

2. El seor de la figura aplica una fuerza constante sobre la polea de 40

N. Determina su velocidad angular al cabo de 10 segundos sabiendo que

el radio de la polea es de 12 cm, la masa es de 2 kg y el momento de

inercia de una polea se puede aproximar por la expresin I = mr2 .

Datos

Valor de la fuerza aplicada F = 40 N

Radio de la polea r = 12 cm = 1210-2 m

Masa de la polea m = 2 kg

Consideraciones previas

La fuerza que ejercemos se traslada a la polea a travs de la cuerda

con lo cual es responsable, a travs de un momento de fuerza, de su

giro. El valor de dicho momento viene dado por:

M =r F M=rF=1210240=4.8 Nm

Debemos determinar, en primer lugar, la aceleracin angular de la

polea, a partir de la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin:

Solucin:

M =I M=I=M12mr2=4.8122(12102)2=333.3 rad/s2

Por tanto, la velocidad angular al cabo de 10 segundos ser:

f=i+t=333.310=3333 rad/s

3. Un cilindro se encuentra girando alrededor de un eje vertical sin friccin,

con momento de inercia I y con velocidad angular 0 . Posteriormente sobre l cae un segundo cilindro que inicialmente no se encuentra girando. El momento

de inercia de este nuevo cilindro es I' . Puesto que las superficies de ambos

cilindros son rugosas, ambos acaban adquiriendo la misma velocidad anuglar

f .

Determina la velocidad angular final del sistema Qu relacin hay entre la energa cintica antes y despus de la

colisin?

Solucin:

Para determinar la expresin de la velocidad angular final hemos de

tener en cuenta que al no actuar momentos de fuerza externos el

momento angular debe conservarse. Por ello podemos escribir:

Por tanto, la velocidad angular final del conjunto es menor que la inicial.

La energa cintica de rotacin viene dada por:

Ecrot=12I2=L=I12I(LI)2=L22I

Teniendo en cuenta que el momento angular permanece constante,

podemos encontrar la relacin que guarda la energa cintica antes de

la colisin con la que hay despus:

Ecrotantes=L22I ; Ecrotdespus=L22(I+I')

Ecrotdespus=II+I'Ecrotantes

Observa la analoga que hay con aquellos casos de colisin lineal en los que

los cuerpos quedaban adheridos: se conservaba el momento lineal (en este

caso se conserva el angular) pero no la energa cintica (que tampoco se

conserva en este caso).