Interacción Gravitatoria 2º BACH

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El momento angular y las Leyes de Kepler

1. Define el momento angular de una partícula de masa 𝑚 y velocidad �⃗� respecto a un punto 𝑂. Pon un

ejemplo razonado y de ley o fenómeno físico que sea una explicación de la conservación del momento

angular.

2. Enuncia la primera y la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario. Prueba que la segunda ley

de Kepler es un caso particular del teorema de conservación del momento angular.

3. Una partícula de masa 2 𝑘𝑔 posee una velocidad �⃗� = 2𝑖 − 5𝑗 (𝑚/𝑠) cuando se encuentra situada en el

punto 𝑃(2, 3, 1). Calcula su momento angular respecto al origen de coordenadas.

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4. Cuando una partícula se encuentra. en el punto 𝑃(2, 3, 1) posee una velocidad �⃗� = 3𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗� (𝑆𝐼). Si en

ese instante su momento angular respecto al origen de coordenadas es: �⃗⃗� = 15𝑖 + 3𝑗 − 39�⃗⃗� (𝑆𝐼). ¿Cuál

es el valor de su masa?

5. Calcula el momento angular con respecto al centro de la Tierra de un satélite artificial de 850 𝑘𝑔 de masa

que se mueve en una órbita circular de 9 500 𝑘𝑚 de radio a una velocidad de 6 480 𝑚/𝑠.

6. Un planeta está en órbita circular alrededor de una estrella. ¿Es su momento lineal constante? ¿Y su

momento angular? Justifica las respuestas.

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7. Un planeta sigue una órbita elíptica alrededor de una estrella, cuando pasa por el periastro 𝑃, punto de su

trayectoria más próximo a la estrella, y por el apoastro 𝐴, punto más alejado, explica y justifica las

siguientes afirmaciones:

a) Su momento angular es igual en ambos puntos y su celeridad es diferente.

b) Su energía mecánica es igual en ambos puntos.

8. Un satélite de la Tierra describe una órbita elíptica. Las distancias máxima y mínima a la superficie de la

Tierra son 3 200 𝑘𝑚 y 400 𝑘𝑚, respectivamente. Calcula la velocidad del satélite en el punto más

alejado de su órbita sabiendo que la velocidad máxima es 𝑣1 = 5 250 𝑚/𝑠.

DATO: 𝑅𝑇 = 6′4 · 106 𝑚

Aplicación de las Leyes de Kepler

9. Si la velocidad areolar de un planeta es constante, ¿lo será su velocidad lineal en el caso de que la órbita

sea elíptica? ¿Y si fuera circular? ¿Por qué?

La constancia de la velocidad areolar del planeta obliga a una velocidad lineal del mismo variable,

si la órbita descrita es elíptica. En cambio, si la órbita es circular, la velocidad lineal también será

constante. La explicación, en ambos casos, se basa en la constancia de la velocidad areolar.

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10. Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su

valor actual, ¿cuál sería su periodo de revolución?

DATO: 𝑇𝐿 = 28 𝑑

11. Si consideramos que las órbitas de la Tierra y de Marte alrededor del Sol son circulares, ¿cuántos años

terrestres dura un año marciano?

NOTA: 𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1′468 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎.

12. Calcula el valor de la constante de Kepler sabiendo que la distancia media de la Luna a la Tierra es de

3′8 · 108 𝑚, y su periodo, de 28 𝑑.

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Ley de Gravitación Universal. Fuerzas centrales

13. Las tres masas 𝑚1, 𝑚2 y 𝑚3 de la figura tienen 100 𝑔. La escala de la grafica esta en centímetros.

Calcula la fuerza que 𝑚1 y 𝑚2 ejercen sobre 𝑚3.

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

14. Tres masas puntuales, 𝑚1 = 1 𝑘𝑔, 𝑚2 = 2 𝑘𝑔 y 𝑚3 = 3 𝑘𝑔, están situadas en los

vértices de un triángulo equilátero de lado 𝑎 = √3 𝑚, en una región del

espacio en la que no hay ninguna otra masa. Considerando el carácter vectorial

de la fuerza de atracción entre las masas, calcula el módulo de la fuerza de

atracción gravitatoria que experimente la masa 𝑚1.

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

15. Dos camiones de 10 𝑡 cada uno se encuentran a 10 𝑚 de distancia. Calcula:

a) La fuerza gravitatoria que ejerce cada uno sobre el otro.

b) La aceleración producida en cada uno de ellos por esta fuerza de atracción.

c) Suponiendo que no hubiera rozamiento, el tiempo que tardaría uno de ellos en recorrer un centímetro

desde el reposo.

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16. Tres masas puntuales, dos de 1 𝑘𝑔 y una de 2 𝑘𝑔, se hallan situadas en los vértices de un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 10 𝑐𝑚 cada uno. La masa de 2 𝑘𝑔 está libre en el vértice del ángulo

recto. Las otras están fijas. ¿Con qué aceleración se moverá la masa de 2 𝑘𝑔 debido a la fuerza

gravitatoria ejercida por las otras dos?

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

17. Dos masas iguales, 𝑀 = 20 𝑘𝑔, ocupan posiciones fijas separadas

una distancia de 2 𝑚, según indica la figura. Una tercera masa,

𝑚′ = 0′2 𝑘𝑔, se suelta desde el reposo en un punto 𝐴

equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de

1 𝑚 de la línea que las une (𝐴𝐵 = 1 𝑚). Si no actúan más que la acciones gravitatorias entre estas

masas, determina:

a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa 𝑚′ en la posición 𝐴.

b) Las aceleraciones de la masa 𝑚′ en las posiciones 𝐴 y 𝐵.

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

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18. Cuatro masas de 2 𝑘𝑔 cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 𝑚 de lado. Calcula la

fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras.

Introducción al Campo Gravitatorio

19. La Luna, en su movimiento uniforme alrededor de la Tierra, describe una trayectoria circular de 3′84 ·

108 𝑚 de radio y 2′36 · 106 𝑠 de periodo. Calcula la velocidad lineal y la aceleración normal de la

Luna, y dibuja en un esquema ambos vectores.

20. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una distancia del centro igual a tres veces el radio de esta.

Sabiendo que la masa de la Tierra es 5′98 · 1024 𝑘𝑔, ¿cuál es el período del satélite?

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2; 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′378 · 106 𝑚

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21. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre hay que colocar un cuerpo para que la fuerza con que es

atraído sea la mitad de la que experimenta en su superficie?

DATO: 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′378 · 106 𝑚

22. Un satélite geoestacionario es aquel que se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie

terrestre. ¿A qué altura se debe situar un satélite para que sea de este tipo?

DATOS: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2; 𝑀𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5′98 · 1024 𝑘𝑔

23. Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que se anulan

las dos fuerzas gravitacionales. Calcula la distancia de ese punto al centro de la Tierra, sabiendo que

la distancia entre el centro de la Tierra y el de la Luna es 𝐷 = 3′8 · 105 𝑘𝑚 y que 𝑀𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 =

81𝑀𝐿𝑢𝑛𝑎.

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24. ¿A qué distancia de la Tierra la fuerza de la gravedad sobre un cuerpo seria nula?

25. Determina la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte sabiendo que su densidad media es

0′72 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 la densidad media de la Tierra y que el radio de dicho planeta es 0′53 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 el radio

terrestre.

DATO: 𝑔 = 9′8 𝑚/𝑠2

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26. La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1988, describía en torno a la Tierra una órbita circular

con una velocidad de 7′62 𝑘𝑚/𝑠. Calcula:

a) ¿A qué altura se encontraba?

b) ¿Cuál era su periodo? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 ℎ los astronautas que viajaban en

el interior de la nave?

DATOS: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2; 𝑀𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5′98 · 1024 𝑘𝑔; 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′37 · 103 𝑘𝑚

27. Júpiter, el mayor de los planetas del sistema solar, tiene doce satélites. El más grande, Ganímedes, fue

descubierto por Galileo en 1610 (es lo suficientemente grande como para poder ser visto con unos

buenos binoculares). Está situado a 15 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑗𝑜𝑣𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 (𝑅𝐽) del centro del planeta y tiene un

periodo de 620 000 𝑠. Halla:

a) La densidad media de Júpiter.

b) Sabiendo que 𝑀𝐽 = 1′9 · 1027 𝑘𝑔, calcula el radio del planeta.

DATOS: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

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28. Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie de la Tierra: la aceleración

de la gravedad en dicha superficie (9′8 𝑚/𝑠2), el radio terrestre (6′37 · 106 𝑚) y el periodo de la

órbita lunar (27𝑑 7ℎ 44𝑠). Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la

masa de la Tierra, calcula:

a) La distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.

b) La densidad de la Tierra sabiendo que 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2.

El Campo Gravitatorio

29. Calcula la energía potencial de una masa de 5 𝑘𝑔 que se

encuentra en el centro de un cuadrado de 3 𝑚 de lado

cuyos vértices están ocupados por masas de 100, 200,

300 y 400 𝑘𝑔 respectivamente.

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

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30. Dos masas puntuales 𝑀 y 𝑚 se encuentran separadas una distancia 𝑑. Indica si el campo o el potencial

gravitatorios creados por estas masas pueden ser nulos en algún punto del segmento que las une.

Justifica la respuesta.

DATO: 𝑔 = 9′8 𝑚/𝑠2

31. Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra.

Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en

la superficie terrestre, averigua:

a) La velocidad del satélite.

b) Su energía mecánica

DATO: 𝑔 = 9′8 𝑚/𝑠2; 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′378 · 106 𝑚

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32. Un meteorito de 1 000 𝑘𝑔 colisiona con otro, sobre la superficie terrestre a una altura de ℎ = 6𝑅𝑇, y

pierde toda su energía cinética.

a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía cinética tras la colisión?

b) Si cae a la Tierra, haz un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la

superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida?

DATOS: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2; 𝑀𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6 · 1024 𝑘𝑔; 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′4 · 103 𝑘𝑚

33. Un planeta de radio 𝑅𝑃 = 5 000 𝑘𝑚 tiene a 195 000 𝑘𝑚 de distancia un satélite que gira a su alrededor

con un período de 15𝑑 7′17ℎ. Calcula la velocidad de escape desde su superficie.

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34. La densidad media de Júpiter es 𝑑𝐽 = 1′33 · 103 𝑘𝑔/𝑚3, y su radio medio, 𝑅𝐽 = 7′15 · 107 𝑚. Calcula:

a) La aceleración de la gravedad en su superficie.

b) La velocidad de escape.

DATOS: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

35. La órbita de Venus, en su recorrido alrededor del Sol, es prácticamente circular. Calcula el trabajo

desarrollado por la fuerza gravitatoria hacia el Sol a lo largo de media órbita. Si esa órbita, en lugar

de ser circular, fuese elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita completa?

En ambos casos el trabajo realizado es cero.

a) Si la órbita es circular, la fuerza conservativa es perpendicular al desplazamiento en todo

momento. Por tanto, el trabajo realizado por esta fuerza es cero.

b) Si la órbita es elíptica, el trabajo a lo largo de una órbita completa es cero, porque en un campo

conservativo el trabajo a lo largo de una línea cerrada es nulo.

36. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 𝑚 de lado están ocupados por masas de 100 𝑘𝑔.

Calcula el trabajo necesario para alejar sucesivamente las masas desde los puntos que ocupan hasta

el infinito.

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37. Una masa de 10 𝑘𝑔, por la acción de una fuerza conservativa, incrementa su velocidad de 5 a 20 𝑚/𝑠.

Si cuando poseía la velocidad de 5 𝑚/𝑠 su energía potencial era de −50 𝐽, calcula:

a) Su energía potencial cuando su velocidad es de 20 𝑚/𝑠.

b) La velocidad que posee cuando su energía potencial es de −425 𝐽.

c) ¿Cuánto valdría la velocidad de escape de la Tierra si se redujese su radio a la mitad?

DATOS: 𝑔0 = 9′8 𝑚/𝑠2; 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6′37 · 103 𝑘𝑚

38. Un planeta describe la órbita de la figura siguiente. Establece una

comparación en los puntos 𝐴 y 𝐵 de dicha órbita entre las siguientes

magnitudes del planeta:

a) Velocidad de traslación.

b) Momento angular respecto del Sol.

c) Energía potencial.

d) Energía mecánica.

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39. Un sistema estelar es una agrupación de varias estrellas que interaccionan gravitatoriamente. En un

sistema estelar binario, una de las estrellas, situada en el origen de coordenadas, tiene una masa

𝑚1 = 1 · 1030 𝑘𝑔, y la otra tiene una masa 𝑚2 = 2 · 1030 𝑘𝑔 y se encuentra sobre el eje X en la

posición (𝑑, 0), con 𝑑 = 2 · 106 𝑘𝑚. Suponiendo que dichas estrellas se pueden considerar masas

puntuales, calcula:

a) El módulo, dirección y sentido del campo gravitatorio en el punto intermedio entre las dos estrellas.

b) El punto sobre el eje X para el cual el potencial gravitatorio debido a la masa 𝑚1 es igual al de la masa

𝑚2.

c) El módulo, dirección y sentido del momento angular de 𝑚2 respecto al origen, sabiendo que su

velocidad es (0, 𝑣), siendo 𝑣 = 3 · 105 𝑚/𝑠.

DATO: 𝐺 = 6′67 · 10−11 𝑁 · 𝑚2/𝑘𝑔2

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Test sobre Fuerzas Centrales

1. Supón una línea que pasa por los centros de la Tierra y de la Luna, que ambos centros están separados por

una distancia de 384 000 𝑘𝑚, y que la masa de la Luna es 81 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 menor que la de la Tierra. Un punto

sobre esa línea en el que la intensidad de los campos gravitatorios de ambos astros sea la misma estará

alejado del centro de la Tierra:

c) 192 000 𝑘𝑚.

d) 225 370 𝑘𝑚.

e) 341 344 𝑘𝑚.

2. La derivada temporal del vector momento angular de una partícula respecto a un punto es igual a:

a) La fuerza aplicada.

b) El momento de la fuerza aplicada.

c) El producto vectorial del vector de posición de la partícula y el momento lineal.

3. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

a) En los cambios que experimentan los sistemas la cantidad de energía de un sistema puede aumentar o

disminuir, pero eso ocurre de manera que la cantidad total de energía no es constante.

b) En los cambios que experimentan los sistemas la cantidad de energía de un sistema puede aumentar o

disminuir, pero eso ocurre de manera que la cantidad total de energía se mantiene constante, es

siempre la misma.

c) En los cambios que experimentan los sistemas la cantidad de energía de un sistema ni aumenta ni

disminuye, pero eso ocurre de manera que la cantidad total de energía se mantiene constante, es

siempre la misma.

4. Una patinadora disminuye su velocidad angular al extender los brazos, ¿por qué?

a) Porque pierde la mayor parte de su energía al hacer actuar fuerzas no conservativas.

b) Porque el rozamiento de sus patines aumenta.

c) Porque aumenta su momento de inercia.

5. De las siguientes expresiones, señala cuál obedece a la ecuación fundamental de la dinámica de rotación:

a) �⃗⃗⃗� = 𝐼 · �⃗�

b) �⃗⃗⃗� = 𝐼 · �⃗⃗⃗�

c) �⃗⃗⃗� = �⃗⃗�

6. Al momento angular de rotación de un sólido con respecto a su eje le corresponde la siguiente ecuación de

dimensiones:

a) 𝑀 · 𝐿2 · 𝑇

b) 𝑀 · 𝐿−2 · 𝑇

c) 𝑀 · 𝐿2 · 𝑇−1

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7. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones dimensionales es falsa?

a) Momento de una fuerza: 𝑀 · 𝐿2 · 𝑇−2

b) Momento angular: 𝑀 · 𝐿2 · 𝑇−1

c) Cantidad de movimiento: 𝑀 · 𝐿 · 𝑇

8. Indica cuál de las siguientes propuestas es cierta:

a) El momento angular total de un sistema varía cuando la suma de los momentos de las fuerzas

exteriores que se le aplican es nula.

b) Un movimiento de rotación de un sólido rígido se produce debido al momento de un par de fuerzas.

c) El momento de inercia de un sólido rígido es una constante del sólido.

9. ¿Cuál de las siguientes premisas es correcta?

a) La velocidad lineal y la velocidad angular tienen las mismas dimensiones.

b) Todas las partículas de una rueda en rotación alrededor de su eje tienen la misma aceleración angular.

c) El momento de inercia de un cuerpo no depende de la posición del eje de rotación.

10. ¿Cuántos momentos de inercia pueden considerarse en una esfera?

a) Uno.

b) Dos.

c) Infinitos.

11. En un campo gravitatorio, a toda masa situada en un punto de dicho campo se le puede adjudicar un

determinado valor de energía potencial en función de:

a) El punto, la masa y el sistema de coordenadas.

b) El punto, la superficie de la masa y su peso.

c) El punto, la masa y la intensidad del campo.

12. Señala la proposición verdadera con respecto a los campos conservativos:

a) Las fuerzas de gravedad, rozamiento y elásticas son conservativas.

b) Los campos vectoriales son conservativos cuando el vector que los caracteriza puede ser obtenido por

el gradiente de una magnitud escalar.

c) Los campos de fuerzas centrales son campos vectoriales pero no son conservativos.

13. De las siguientes proposiciones, señala la que haga referencia únicamente a fuerzas conservativas:

a) Peso, elásticas, eléctricas y gravedad.

b) Gravedad, elásticas, peso y rozamiento.

c) Peso, elásticas, rozamiento y eléctricas.

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14. ¿Cuál de las siguientes premisas es correcta?

a) La Ley de Kepler de las áreas iguales nos dice que la gravedad varía de forma inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que separa las dos masas.

b) El planeta más cercano al Sol en valor medio tiene el periodo de revolución más corto alrededor del Sol.

c) El valor del campo gravitatorio está indicado por las líneas de fuerza, pero no la dirección del mismo.

15. En un sistema en el que sólo actúan fuerzas centrales:

a) La cantidad de momento angular �⃗⃗� es una constante del movimiento.

b) La cantidad de momento angular �⃗⃗� varía.

c) La cantidad de momento lineal 𝑝 es una constante del movimiento.

16. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

a) La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre

una partícula alfa y un núcleo no es central pero sí conservativa.

b) La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre

una partícula alfa y un núcleo también es central y conservativa.

c) La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol no es central ni conservativa. La fuerza de repulsión

entre una partícula alfa y un núcleo sí es central y conservativa.

17. Si el momento �⃗⃗⃗� de una fuerza es cero entonces:

a) �⃗⃗� conserva su módulo, dirección pero no el sentido.

b) �⃗⃗� conserva su módulo, dirección y sentido.

c) �⃗⃗� no conserva el módulo pero sí la dirección y el sentido.

18. El vector �⃗⃗� es:

a) Perpendicular al plano en el que se encuentran el vector posición y el vector velocidad.

b) Paralelo al plano en el que se encuentran el vector velocidad y el vector posición.

c) Es perpendicular al vector velocidad y paralelo al vector posición.

Respuestas:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) NOTA:

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

Solución:

1) C 2) B 3) B 4) C 5) A 6) C 7) C 8) C 9) B

10) C 11) C 12) B 13) A 14) B 15) A 16) B 17) B 18) A